1. No category

Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Vi skal snakke om lys generelt. Først som elektromagnetiske bølger for at få
sammenhængen med bølgelæren vi havde i sidste lektion og elektromagnetismen fra
sidste år(34.1-2+6 SJ6.ed, 34.2-3+7 SJ7.ed). Dernæst skal vi se hvordan lys kan
tilnærmes som stråler (35.1+3-8 SJ 6.-7. ed), analysere strålegangene ved spejle og
gennem linser (36.1-4 SJ 6.-7. ed) og slutteligt se hvordan øjet og et mikroskop virker
i princippet (36.7-9 SJ 6.-7. ed).
Lys
Partikel- eller bølgemodel
Fra antikkens grækere op til slutningen af det 17. årh. blev lys opfattet som en byge af
partikler. En meget fremtrædende fortaler for denne opfattelse var Sir Isaac Newton,
som i 1672 fremsatte sin partikelteori for lys1.
Men i 1678 fremsatte hollænderen Christiaan Huygens en på daværende tidspunkt
meget kontroversiel teori, hvori han beskrev lys som et bølgefænomen. Teorien blev
generelt afvist, bl.a. med det argument, at en lysbølge ved passage af en forhindring
ville blive afbøjet, sådan at det ville være muligt at se om hjørner.
I 1801 påviste englænderen Thomas Young, at to lysstråler kan udslukke hinanden
(interferere destruktivt). Dette, sammen med en række andre resultater, kulminerende
med Maxwells beskrivelse i 1873 af lys som en elektromagnetisk bølge (figur 1), til
en udbredt accept af bølgebeskrivelsen af lys på bekostning af den tidligere
partikelmodel.
figur 1. En representation af en linear polariseret elektromagnetisk bølge som bevæger sig i xaksens retning med hastigheden c. Bemærk hvordan det E og B oscillerer omkring x aksen som
sinus bølger.
Maxwells ligninger havde stor succes, fordi de svarede på mange af datidens
spørgsmål, og så kan man måske også driste sig til at synes at de er elegante, hvis man
kan mene noget sådant om fysik.
1
Det skal nu ikke forstås sådan at han var langt foran sin tid med en moderne teori for lys. Newton
beskæftigede sig også en del med alkymi og andre af datiden aristokratiske sysler. På trods af disse
knapt så heldige ting må vi stadig se hans afhandling, Principia Mathematica, som et mesterværk. Den
lancerede i det væsentlige den videnskabelige tankegang. Måske det litterære værk, som har haft størst
betydning for moderne tankegang i det sidste årtusinde.
1/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
q
v∫ E ⋅ dA = ε
(Gauss’ lov)
(1.1)
0
v∫ B ⋅ dA = 0 (Gauss’ lov)
(1.2)
dΦB
(Faraday’s lov)
dt
dΦ
v∫ B ⋅ ds = µ0 I + µ0ε 0 dt E (Ampére-Maxwll’s lov)
v∫ E ⋅ ds =
(1.3)
(1.4)
, E er det elektriske felt, B er det magnetiske felt, dA er et lille areal gennem hvilket
felterne betragtes, ds er en lille lukket vej over hvilken der skal integreres, Φ E og Φ B
er hhv. den elektriske og magnetiske fluks gennem den integrerede vej. ε 0 er
permittiviteten af vakuum, q er ladning, I er strøm.
Vi skal se hvordan man ud fra Faraday’s (1.3) og Ampere-Maxwells (1.4) love kan
vise, at elektromagnetiskstråling er bølger, som udbreder sig med lysets fart i vakuum.
I vakuum er der af gode grunde ingen ladninger, og derfor heller ingen strøm, så q = 0
og I = 0. Man kan vise at Faraday’s og Ampere-Maxwells love kan omskrives til
∂E
∂B
(1.5)
=−
∂x
∂t
∂B
∂E
(1.6)
= − µ 0ε 0
∂x
∂t
Vi skal ikke vise det her, men skulle der være lidt tid juleaften eller sådan noget, så er
det alle tiders underholdning at vise det. Lad os nu differentiere (1.5) og indsætte (1.6)
så får vi:
∂2 E
∂ ⎛ ∂B ⎞
∂ ⎛ ∂B ⎞
∂2 E
µ
ε
=
−
=
−
=
(1.7)
0 0
⎜
⎟
⎜
⎟
∂x 2
∂x ⎝ ∂t ⎠
∂t ⎝ ∂x ⎠
∂t 2
Så gør vi det sammen bare omvendt. Vi differentierer (1.6) og indsætter (1.5).
∂2B
∂ ⎛ ∂E ⎞
∂ ⎛ ∂E ⎞
∂2 B
= − µ 0ε 0 ⎜
(1.8)
⎟ = − µ0ε 0 ⎜
⎟ = µ0ε 0 2
∂x 2
∂x ⎝ ∂t ⎠
∂t ⎝ ∂x ⎠
∂t
Hvis nu der havde stået
1
v2
i stedet for µ0ε 0 , ville vi have genkendt bølgeligningen
med det samme. Så hvis vi kalder lysets fart c og kan vi se at:
1
1
= µ 0ε 0 ⇒ c =
2
c
µ 0ε 0
(1.9)
Altså har vi vist at Maxwells ligninger forudsiger elektromagnetiske bølger, som
udbreder sig gennem vakuum med lysets fart.
Det elektromagnetiske spektrum
Vi har lige set at lysets hastighed i vakuum er en naturkonstant. Der er også en nær og
simpel sammenhæng mellem lysets hastighed, c, frekvensen, υ 2, og bølgelængden, λ,
nemlig:
c = λυ
Læg mærke til at lyset frekvens betegnes med υ , ikke at forveksle med lysets fart som kaldes c i
vakuum. Lysets fart i andre medier kaldes stadig v.
2
2/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Det vil sige, ved højere frekvens er bølgelængden lavere, og omvendt.
Figur 2. Det elektromagnetiske spektre.
Som I ved er elektromagnetisk stråling karakteriseret ved frekvensen eller
bølgelængden som vist på figuren. Læg mærke til at det synlige spektrum kun udgør
en ganske lille del af den elektromagnetiske stråling.
Maxwell’s ellers så succesrige bølgemodel kunne imidlertid ikke forklare, hvorfor
energien af elektroner løsrevet fra en metaloverflade ved den såkaldte fotoelektriske
effekt er uafhængige af lysets intensitet.
Albert Einstein kunne i 1905 forklare den fotoelektriske effekt ved at lysets energi
kommer i udelelige portioner E = hυ kaldet fotoner, hvor h ≅ 6, 63 ⋅10−34 Js er Plancks
konstant3. Løsrivelsen af en elektron sker således ved overførslen af energien fra én
foton, hvorfor elektronens efterfølgende kinetiske energi ikke er uafhængig af lysets
intensitet. Intensiteten er blot et udtryk for antallet af fotoner. Dét var der dog ikke
mange der troede på, ikke engang Plank, blandt andre tvivlere kan nævnes Bohr og
Hertz. I 1921 fik Einstein dog Nobel prisen, så på det tidspunkt var man da blevet
nogenlunde enige om rigtigheden af Einsteins betragtninger.
Dette var startskuddet til den moderne fysik. I første omgang var Niels Bohr ikke
overbevist om den her kvantisering af Einsteins lys, men der var en del ting som Bohr
ikke kunne forklare om sine atomer. I den klassiske fysik ville brintatomet ikke
overleve længere en 0,5 s. Bohr lancerede efter nogen tids tøven en kvantiserings teori
for elektronernes energi omkring atomkerne. Han forkastede fuldstændigt den
klassiske fysik. Einstein derimod kæmpede resten af sit liv for at finde
sammenhængen mellem den klassiske fysik og denne nye kvantefysik. I mellemtiden
nåede han også lige at fremsætte relativitetsteorierne.
3
Planck havde allerede på det tidspunkt indført kvantisering til at forklare strålingsspektret af en
glødetråd.
3/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Partikel-bølge-dualiteten
Som antydet er fotonenergiens afhængighed af lysets frekvens, men var Einsteins
teori ikke en tilbagevenden til Newtons partikelteori. Fotonerne er nemlig kendetegnet
ved en fase, sådan at to fotoner i modfase kan udslukke hinanden. Lyset har således
både partikel- og bølgenatur (den såkaldte partikel-bølge-dualitet), og adskiller sig
derfor fundamentalt fra alle dagligdagsfænomener. Den menneskelige hjerne er bedst
til at begribe ting, som kan opfattes med vores sanser, og må derfor kombinere to
modstridende mentale billeder, partikler og bølger, for at ’forstå’, hvad lys egentlig er.
Partikel-bølge-dualiteten er ikke speciel for lys, men kendetegner ifølge
kvantemekanikken al stråling og al stof (elektroner, protoner, neutroner, atomer,
molekyler, osv.), og dermed alle universets bestanddele! Det viser sig, at lys i en
given sammenhæng udviser enten partikel- eller bølgeadfærd, og man kan således
komme langt i sin beskrivelse af lysfænomener ved skiftevis at anvende en
partikelmodel eller en bølgemodel. Dette er selvfølgelig utilfredsstillende, og der
findes da også én samlet teori for lys kaldet kvanteelektrodynamikken. Men en samlet
teori for andre partikler findes ikke. Det er moderne fysikeres fineste mål at finde en
sådan teori for alt, men det er ikke pensum i dette kursus.
I det følgende vil vi nøjes med at fokusere på lysets bølgeegenskaber og endda
tilnærme det med en beskrivelse af strålegangen og den følgende geometri.
Når vi beskæftiger os med fysik, opstiller vi ofte modeller, til at beskrive de
fænomener vi observerer. Der findes hovedsagligt 3 modeller der beskriver lys under
forskellige forhold.
Geometrisk optik: Bølgelængden er kort i forhold til dimensionerne på udstyret og
fotonernes energi er lav i forhold til energifølsomheden af måleudstyret.
Bølge optik: Bølgelængden er i samme størrelsesorden som udstyret og fotonernes
energi er lav i forhold til energifølsomheden af måleudstyret.
Partikel optik: Hvis bølgelængden er kort, dvs. frekvensen og energien er høj, kan
bølgefænomener igen negligeres kan den elektromagnetiske stråling betragtes om
partikler.
Geometrisk optik
Inden for den geometriske optik beskrives lysudbredelsen vha. bølgefronter og
strålegange under anvendelse af den såkaldte strålegangstilnærmelse.
I strålegangstilnærmelsen antages lys i homogene medier at udbrede sig efter rette
linier kaldet strålegange, sådan at lyset kun skifter retning ved overgange mellem
medier med forskellige brydningsindeks.
Strålegangstilnærmelsen er kun gyldig for λ d , hvor d er udstrækningen af de
objekter, herunder huller, som lyset møder på sin vej (figur 3). I tilfælde (b) og (c) er
strålegangstilnærmelsen således ikke opfyldt, idet lyset skifter retning, selvom det
hele tiden udbreder sig i luft. At lyset på denne måde løber om hjørner, når det møder
små forhindringer, kaldes diffraktion.
4/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
figur 3. En plan bølge med bølgelængden λ møder en barriere med et hul med størrelsen d. (a)
Når λ << d fortsætter bølgefronten i en lige linje på den anden side af barrieren. (b) Når λ ~ d
spredes lyset på den anden side. (c) Hvis λ >> d vil åbningen virke som en punkt kilde og udsende
sfæriske bølger.
Lys ved en grænseflade
Når en lysstråle møder en grænseflade mellem to forskellige medier, vil en del af
lysstrålen blive reflekteret og den resterende del blive transmitteret (figur 4) (tænk på
et vindue, som man både kan se igennem og samtidig se sit spejlbillede i).
figur 4. Lys reflekteres og brydes i en glasoverflade.
Refleksion
Lad os se på hvordan en lysstråle reflekteres. Huygen betragtede en lysstråle som
bølger. Han mente at, fra enhver bølgefront udgik der ringformede bølger. Kun de
bølger der interfererer konstruktivt vil overleve. Det vil sige at de bølger der har toppe
samme sted overlever. Det betyder at en bølgefront vil forblive en bølgefront. Hvis vi
betragter en lysstråle (eller bølgefront), som reflekteres vil vi kunne finde
refleksionsvinklen. Den reflekterede stråle udbreder sig i den retning, hvor
betingelsen for konstruktiv interferens er opfyldt (figur 5):
BC
AD
og cos(γ ') =
(1.10)
cos(γ ) =
AC
AC
5/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Og da BC er lig AD , er cos(γ ) = cos(γ ') og da γ = 90° − θ og γ ' = 90° − θ ' , fås at
θ r = θi
Svarende til at refleksionsvinklen er lig indfaldsvinklen. Denne sammenhæng er kendt
som refleksionsloven.
figur 5. Huygens forklaring på refleksion. Lyset reflekteres kun i den retning hvor der er positiv
interferens.
Et spejls overflade skal være glat, sådan at en lysstråle reflekteres i en ganske bestemt
retning (jvf. begrebet spejlblank) (figur 6).
figur 6. En blank overflade reflekterer lys I samme retning, mens en ru overflade spreder lyset.
Hud er ru og ikke glat, og da refleksion af lys fra hud desuden finder sted ned til
forholdsvis stor dybde, er huden mat og ikke blank. Vi skal senere i kurset se mere på
hvad der sker når lys rammer huden. Implementeringen af denne dybderefleksion har
forbedret livagtigheden af computeranimerede figurer som Gollum, hvilket udløste en
teknisk Oscar til den danske datalogiprofessor Henrik Wann Jensen.
Brydning
Lad os betragte det transmitterede lyse. Med Huygens argumentation vil der være en
bølgefront hvor der er konstruktiv interferens. På figur 7 er der illustreret en lystråle,
der rammer en grænseflade. Lad os først gøre nogle simple geometriske betragtninger.
Først
BC
AD
og sin θ 2 =
(1.11)
sin θ1 =
AC
AC
6/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Man kan også beskrive afstanden BC , som lysets hastighed i medium 1 gange den
tid det tager lyset at bevæge sig fra B til C, altså BC = v1∆t , på samme måde vil
AD = v2 ∆t . Hvis man indsætter det i ligning 1.12 og deler de to ligninger med
hinanden får man
AC v1∆t v1
sin θ1
=
=
sin θ 2
AC v2 ∆t v2
Eller
sin θ1 v1
=
sin θ 2 v2
(1.12)
For v1 > v2 gælder således θ1 > θ 2 og omvendt.
figur 7. På samme måde som lyset reflekteres, brydes lyset også kun i den retning hvor der er
positive interferens.
Lyset brydes altså, når det møder en overgang mellem to medier, hvori det udbreder
sig med forskellig fart (på samme måde som en rullende tønde skifter retning, når den
ruller fra asfalt til græs eller omvendt). Eller som snorbølger har forskellig fart i snore
med forskellige tykkelser. Det er lysets brydning, der får en pind til at ”knække”, når
den nedsænkes i vand.
Når en foton bevæger sig, sker det altid med lysets fart c ≈ 3 ⋅108 ms . Når lys udbreder
sig i stof, vil de fotoner, som rammer et atom eller et molekyle, kunne blive
absorberet, hvorved fotonen går til grunde og overfører sin energi til stoffets
elektroner. En del af den absorberede energi vil blive genudsendt i form af nye
fotoner, der fortsætter deres udbredelse gennem materialet, hvorimod den resterende
del bliver til varme og fører til en svækkelse af lysstrålen. Da der går tid mellem en
fotons absorption og genudsendelse, vil lys udbrede sig langsommere i stof end i
vakuum, idet lyset således udbreder sig langsommere, jo tættere stoffet er. Lys
udbreder sig praktisk talt med samme fart i luft som i vakuum, hvorimod det i glas og
vand udbreder sig ca. 1,5 gang langsommere, og i et metal som aluminium ca. 200
gange langsommere.
Et materiales brydningsindeks, n, udtrykker, hvor mange gange langsommere lys
udbreder sig i det pågældende materiale ift. vakuum/luft:
7/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
n≡
Udtryk (1.12) kan således skrives
c
≥1
v
(1.13)
sin θ1 n2
=
eller
sin θ 2 n1
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
(1.14)
hvilket er kendt som brydningsloven eller Snells lov.
I øvrigt fås
λ c /υ
c
λ
=
= = n ⇒ λn =
λn vn / υ vn
n
(1.15)
Bølgelængden bliver således mindre, når en lysstråle går fra luft til et andet medie,
idet lysstrålen herved bremses op.
Total intern brydning
Lad os se på en lysstråle som udbredes i et medium med brydningsindeks n1.
Lysstrålen møder en grænse med vinklen, θ1 , til et andet medium med n2. (figur 8)
Som vi har set bestemmes brydningen til det nye medium efter Snells lov (1.14), men
lad os se på tilfældet hvor n1 > n2, altså hvor lyset kommer fra et medium med højere
brydnings, fx glas til et medium med lavere brydningsindeks, fx luft. Vinklen af det
brudte lys vil være givet ved:
n
sin θ 2 = 1 sin θ1 .
(1.16)
n2
n
Da 1 > 1 kan dette ikke gælde for alle θ1 , så hvis θ1 bliver større end en kritisk
n2
vinkel, θc , vil lyset ikke brydes, men reflekteres. θc er givet ved
n
sin θ c = 2 , (for n1 > n2)
(1.17)
n1
På den måde vil lyset altså blive i det første medium. Dette fænomen kaldes total
intern brydning, eller total refleksion.
figur 8. En bølge bevæger sig fra et medium med højere refraktionsindeks til et medium med
lavere refraktionsindeks. Hvis indfaldsvinklen er for stor kan lyset ikke brydes, men reflekteres
tilbage.
8/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Lyslederkabler, eller optiske fibre, er konstrueret med en kerne med at højt
brydningsindeks n1 omgivet af en kappe med brydningsindekse n2 hvor det netop
gælder at n1 > n2, (figur 9a). Udenom igen er der en kappe for at beskytte fiberen.
Lyset i fiberen kan ikke slippe ud andre stede end enderne. På den måde kan men
sende lys over lange afstande, eller få det bragt til steder, som ikke er så nemt
fremkommelige. Som det ses af (figur 9b) kan en optisk fiber bøjes, men hvis den
bøjes så meget at lyset ikke længere rammer væggen med en vinkel θ1 > θc vil lyset
slippe ud af fiberen.
figur 9. En optisk fiber. (A) En optisk fiber består af en kerne med højt refraktionsindeks
omgivet af et lag med lavere brydnings indeks. (B) Lyset kan ikke undslippe kernen så længe
fiberen ikke bøjes for meget.
Dispersion
En lysstråles udbredelsesfart i et materiale, og dermed materialets brydningsindeks,
afhænger af lysets bølgelængde: n (λ). For glas og de fleste andre materialer er n (λ)
en aftagende funktion, og rødt lys brydes således mindre end blåt lys ved en overgang
mellem luft og glas (figur 10).
figur 10. Refraktionsindekset er en funktion af bølgelængden.
Prisme
9/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Ovenstående fænomen er kendt som dispersion og forklarer, hvorfor en hvid lysstråle
splitter op i sine farvebestanddele, når den sendes gennem et glasprisme (figur 11).
Det var i øvrigt vha. sådant et prisme, at Newton opdagede, at det hvide sollys
indeholder alle regnbuens farver.
figur 11. En bestemt bølgelængde af lys vil brydes som δ, men andre bølgelængder vil brydes
anderledes. På den kan hvidt lys spildtes op i forskellige farver.
Regnbue
Hvidt sollys reflekteret i en vanddråbe vil pga. dispersionen splitte op i de forskellige
farver (figur 12), sådan at man i regnvejr med solen bag sig vil se en regnbue med
centrum i forbindelseslinien mellem solen og øjnene. Jo lavere solen står på himlen,
jo mere af en halvcirkel vil regnbuen således udgøre. Den del af sollyset, som tager en
ekstra tur rundt i regndråben, inden det bryder ud igen, ses som en væsentligt svagere
andenordens regnbue, i hvilken farverækkefølgen er byttet om.
figur 12. (A) Lysets gang gennem en regndråbe. (B) Regnbuen som den observeres.
Farvebegrebet
Når hvidt sollys rammer et grønt blad, vil en del af lyset blive absorberet, og en del af
lyset vil blive reflekteret, eks. op i vores øjne, så vi kan se bladet. De
klorofylmolekyler, som udgør bladets grønkorn, absorberer hovedsageligt i den røde
del af spektret, som derfor vil mangle i det reflekterede lys. Når vores øjne opfanger
lys, hvori den røde del af spektret mangler, fortolker vores hjerner lyset som værende
grønt, idet rød og grøn er hinandens komplementærfarver. Farvebegrebet er således
ikke kun en egenskab ved lyset, men er i høj grad bestemt af vores hjerner. Hvis
ovenstående mekanisme ikke fungerer, er man rød-grøn farveblind. En nissehue er
tilsvarende rød, fordi den hovedsageligt absorberer i den grønne del af spektret. En
appelsin er orange, fordi den absorberer i den blå del af spektret, idet blå og orange er
10/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
hinandens komplementærfarver, osv. En tavle er sort, fordi den absorberer i hele den
synlige del af spektret, og et stykke kridt er hvidt, fordi det ikke absorberer i den
synlige del af spektret.
Optisk billeddannelse
I det flg. beskrives spejle og linsers virkemåde inden for strålegangstilnærmelsen,
hvor lyset under antagelsen λ d udbreder sig efter rette linier. Optisk
billeddannelse udnytter det faktum, at et objekt udstråler lys i alle retninger, hvad
enten det lyser af egen kraft eller blot reflekterer lys fra en lyskilde.
Plane spejle
Spejlbilledet af et punkt O i et plant spejl findes ved at følge et antal strålegange fra O
under overholdelse af refleksionsloven, idet spejlbilledet I er der, hvor strålerne ser ud
til at divergere fra. Bemærk, at I’s placering er uafhængig af observatørens placering
(figur 13).
figur 13. Spejlbilledet af et punkt O spejlbilledet I.
Da strålerne ikke har passeret I, er I et virtuelt billede. Hvis strålerne passerer gennem
billedet, kaldes det et reelt billede. Alle spejlbilleder fra plane spejle er virtuelle
billeder. For et udstrakt legeme, som f.eks. en person, der kigger sig i spejlet, følges
strålegangene fra et tilstrækkeligt antal karakteristiske punkter. Denne metode til at
fastlægge billeddannelsen i et spejl eller en linse kaldes strålegangsanalyse.
For plane spejle gælder, at spejlbilledet er lige så langt bag spejlet, som objektet er
foran det, og dermed er det plane spejls forstørrelse M givet ved
II
(1.18)
M ≡ 1 2 =1
O1O2
Konkave spejle og konvekse spejle
Et spejl på indersiden af en kugleoverflade kaldes et konkavt spejl, og et spejl på
ydersiden af en kugleoverflade kaldes et konvekst spejl.
Brændpunkt og brændvidde
11/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Når et tyndt bundt parallelle lysstråler (plan bølge) reflekterer fra et konkavt spejl, vil
de reflekterede stråler med god tilnærmelse mødes i det samme punkt (konvergerende
kuglebølge) (figur 14). Dette punkt kaldes spejlets brændpunkt, og afstanden fra
spejlet til brændpunktet er spejlets brændvidde. Da lyset fra en uendeligt fjern
punktkilde netop er kendetegnet ved at være en plan bølge, er det konkave spejls
brændpunkt således der, hvor der dannes et virkeligt billede af en uendeligt fjern
punktkilde.
figur 14. Refleksionen af parallelle stråler i et konkavt spejl.
Virkelige billeder i modsætning til virtuelle billeder kan projekteres op på en skærm.
På skærmen placeret i brændpunktet ville der således fremkomme et skarpt billede af
den uendeligt fjerne punktkilde, hvorimod billedet i alle andre afstande ville være
udtværet (ude af fokus).
Når en tynd lysstråle i form af en plan bølge reflekterer fra et konvekst spejl, vil der
med god tilnærmelse dannes en divergerende kuglebølge (figur 15). Punktet, hvorfra
denne kuglebølge ser ud til at udgå, er det konvekse spejls brændpunkt.
figur 15. Billedformation af et billede i et sfærisk spejl.
Spejlloven
figur 16 viser en strålegangsanalyse for et konkavt spejl.
12/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
figur 16. Strålegangsanalyse af et konkavt sfærisk spejl. Billedet I formes af objektet O, som
ligger uden for spejlets centrum.
C: Spejlets krumningscentrum (kuglens centrum)
R: Spejlets krumningsradius
Da det herved fremkomne virkelige billede er vendt på hovedet (inverteret), anvendes
fortegnskonventionen h’ < 0, sådan at tan θ = hp = −qh ' og dermed
h'
q
=−
(1.19)
h
p
Forstørrelsen M er altså et udtryk for, hvor mange gange længere væk fra spejlet
billedet er i forhold til objektet. Desuden fortæller det negative fortegn at billedet er
inverteret.
M=
Yderligere ses at tan α =
h
p−R
=
−h'
R−q
sådan at
h'
h
= − Rp −−Rq .
Kombineret med (1.19) giver dette
R−q q
( R − q) p q(q − R)
1 1 1 1
= ⇒ ( R − q) p = q( p − R) ⇒
=
⇒ − = −
p−R p
Rqp
Rqp
q R R p
svarende til
1 1 2
+ =
p q R
(1.20)
= 0 ) har således q = R2 ,
så da en uendeligt fjern punktkilde pr. definition afbilledes i brændpunktet, er
brændvidden, f, givet ved
R
(1.21)
f =
2
Et objekt i form af en uendeligt fjern punktkilde ( p → ∞ ⇒
Der gælder dermed flg. spejllov for kugleformede spejle:
1 1 1 2
= + =
f
p q R
1
p
(1.22)
13/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Ud fra kendskab til spejlets udformning (R eller f) gør spejlloven det således muligt
at beregne billedafstanden, q, ud fra objektafstanden, p, idet q angiver, hvor langt fra
spejlet man skulle anbringe en skærm for at få et skarpt billede (i afstanden q fra
spejlet er billedet i fokus).
Sfærisk aberration
En tyk lysstråle reflekterer ikke ned i ét punkt, men bliver smurt ud over et område
mellem spejlets brændpunkt og spejlets overflade. Dermed vil spejlbilledet af en
punktkilde være uskarpt (figur 17). Denne afbildningsfejl, som kendetegner
kugleformede spejle, kaldes sfærisk aberration.
figur 17. Sfærisk aberration.
Sfærisk aberration kan begrænses ved at afskærme spejlet, sådan at det kun er en
begrænset del af lyset, som bidrager til billeddannelsen. En sådan afskærmning vil i
sagens natur gøre billedet mindre lys stærkt. Sfærisk aberration kan helt undgås ved at
anvende parabelformede spejle (figur 18), men sådanne parabolspejle er langt dyrere
at fremstille end kugleformede spejle.
figur 18. Parabolske spejle kendetegnes ved at lyset fra en fjern kilde konvergerer i et punkt.
Paraksialtilnærmelsen
Vi vil betragte kugleformede spejle, som enten er små eller afskærmede. De
betragtede spejle vil således kun reflektere tynde lysstråler, og dermed vil vi kunne se
bort fra den sfæriske aberration og opnå skarpe spejlbilleder. Et tyndt bundt lysstråler
er tilnærmelsesvist parallelle, og derfor kaldes denne tilnærmelse for
paraksialtilnærmelsen, eller parallaksetilnærmelsen.
Tynde linser
I det følgende skal vi udlede linseloven for tynde linser.
Først ser vi på en halvlinse. Eller mere nøjagtigt ser vi på overgangen mellem to
medier med brydningsindeksene n1 og n2. Senere skal vi bruge vores viden om en
halv linse til at beskrive en hel linse, men lad os tage et halvt skridt ad gangen.
14/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Overfladen af materialet med brydnings n2 beskrives af en cirkel (eller kugle, men vi
ser blot på to dimensioner) med centrum i C. Objektet, O, er placeret i mediet med n1
og billedet, I, i mediet med n2.
figur 19. En halvlinse med n1 < n2.
Snell’s lov beskriver forholdet mellem den indkomne og den transmitterede stråle ved
grænsefladen mellem to medier.
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
(1.23)
Lad os arbejde inden for parallaksetilnærmelsen hvor vinklerne er små. Derfor er
sin θ1 ≈ θ1 og Snell’s lov bliver:
n1θ1 = n2θ 2
(1.24)
Vi skal nu benytte af reglen om at en udvendig vinkel i en trekant er lig de to
modsatte indvendige vinkler. Det ses af figur 19 at
θ1 = α + β
(1.25)
β = θ2 + γ
Hvis vi indsætter dette i den tilnærmede Snells lov fås:
(1.26)
n1α + n2γ = ( n2 − n1 ) β
Nu skal vi igen bruge en af approksimationerne for små vinkler, nemlig at tan θ ≈ θ .
Derfor er:
d
d
d
α ≈ , β ≈ ,γ ≈
p
R
q
Dette indsættes i den foregående ligning:
n1 n2 n2 − n1
+ =
(1.27)
p q
R
På den måde kan vi slippe af med vinklerne finde en sammenhæng mellem objektets
og billedes placering blot ud fra radius og refraktionsindeks. Det betyder at alle stråler
fra O samles i I, blot de rammer den sfæriske overflade med en lille vinkel. Vi skal nu
bruge dette til at se på en hel linse. Vi skal antage at linsen er tynd, det vil sige at dens
tykkelse t << R, men det kommer først senere. Tricket er at forstå lysets overgang fra
luft til linse som beskrevet, og så se på lyset i overgangen fra linse til luft på den
anden side, som om det stammer fra billedet produceret som vi lige har beskrevet det.
15/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
figur 20. En linse med to radier, og en masse hjælpelinjer til at bestemme billedets placering.
Lad os se på en linse slebet med to overflade radier R1 og R2 (figur 20). Objektet O er
placeret med afstanden p1 fra overflade 1. Vi antager også at luften har
brydningsindekset 1 og linsen har brydningsindekset n. Da bliver ligning (1.10):
1 n n −1
+ =
(1.28)
p1 q1
R1
Dette beskriver spejlingen på den første overflade af linsen. Nu bruger vi ligning
(1.10) igen for at beskrive brydningen i den anden overflade. Da er n1 = n og n2 = 1.
n 1 1− n
+ =
(1.29)
p2 q2
R2
Nu bruger vi tricket at billedet som bliver dannet af den første overflade virker som
objekt for den anden overflade. Derfor forholder p2 sig til q1 som følger.
Virtuelt billede fra overflade 1 (figur 20 øverst): p2 = -q1 + t.
Virkeligt billede fra overflade 1 (figur 20 nederst): p2 = -q1 + t.
Men hvis t << R kan t elimineres, og hvis man kalder p1, p og q2, q, får man:
⎛ 1 1 ⎞
1 1
(1.30)
+ = ( n − 1) ⎜ − ⎟
p q
⎝ R1 R2 ⎠
At afbillede en kollimeret lysstråle ned i et punkt svarer til at danne et virkeligt billede
af en uendeligt fjern punktkilde. For at finde fokuslængden f, lader vi p gå mod
uendelig. Som for spejle q > 0 er for virkelige billeder, og brændvidden er dermed
positiv for samlelinser: f ≡ q p →∞ > 0 .
En samlelinse er også kendetegnet ved, at den kollimerer lyset fra en punktkilde
placeret i brændpunktet: p → ∞ for p = f.
16/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
⎛ 1 1 ⎞
1
(1.31)
= ( n − 1) ⎜ − ⎟
f
R
R
2 ⎠
⎝ 1
Dette kaldes linsemagerens ligning. Hvis vi indsætter den i den ovenstående ligning
fåes linseloven:
1 1 1
+ =
(1.32)
p q f
En tynd linse er et materiale (eks. glas eller plastik), som vha. lysets brydning ændrer
en lysstråles udbredelsesretning (figur 21)
figur 21. Effekten af en samlelinse og en spredelinse.
De her beskrevne linser er udformet med kugleformede overflader, der ses bort fra
linsernes tykkelse, og der arbejdes inden for paraksialtilnærmelsen.
Samlelinser
En samlelinse er kendetegnet ved, at den fokuserer en kollimeret (parallel) lysstråle
ned i et punkt i den såkaldte brændplan, der ligger i en brændviddes afstand f fra
linsen (figur 22). Da lys kan ramme en linse fra to sider, er linser kendetegnet ved to
brændpunkter på hver sin side af linsen.
17/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
figur 22. Samlelinse hvor lyset ikke kommer ind langs aksen. Billedet samles i fokusplanet.
Hvis den kollimerede lysstråle er parallel med linsens hovedakse, fokuseres den ned i
det bageste brændpunkt F (figur 21, øverst).
2
Spredelinser
En spredelinse er kendetegnet ved, at den af lyset fra en uendeligt fjern punktkilde
danner et virtuelt billede i sit forreste brændpunkt F1 (figur 21, nederst). Brændvidden
er dermed negativ for spredelinser: f ≡ q p →∞ < 0 .
Strålegangsanalyse
For en samlelinse/spredelinse tegnes flg. 3 strålegange fra det nødvendige antal
karakteristiske punkter (figur 23):
1. Parallelt med hovedaksen og transmitteret gennem bageste/væk fra forreste
brændpunkt.
2. Mod midten af linsen og lige igennem, (med det argument, at linsens to overflader
her er parallelle).
3. Gennem forreste/mod bageste brændpunkt og transmitteret parallelt med
hovedaksen.
figur 23. Strålegangsanalyse for tynde linser (a) når objektet er plaseret uden for brændpunktet
af en samlelinse (b) når objeketet er placeret inden for brændpunktet af en samlelinse og (c)
foran brændpunktet af en spredelinse.
Ud fra de to ligedannede trekanter beskrevet af hovedaksen, strålegang 2 og hhv.
objekt og billede fås som for spejle:
h'
q
M = =− .
h
p
(1.33)
18/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Virkelige billeder (q > 0) er således inverterede (M < 0), hvorimod virtuelle billeder
er ret op og ned.
Fresnellinser
Den brydning af en lysstråle, som fører til en linses billeddannelse, finder sted ved
linsens overflade. Dette udnyttes i såkaldte Fresnellinser til kraftigt at reducere en
linses tykkelse og dermed vægt under fastholdelse af den samme brændvidde (figur
24). De herved opståede kanter forstyrrer dog billeddannelsen så meget, at
Fresnellinser kun anvendes, når billedkvaliteten er mindre vigtig end vægt og
brudstyrke, hvilket eks. er tilfældet i billygter, eller landings guide lyset på en et
hangarskib.
figur 24. Fresnel linsen til venstre har samme brændvidde, men meget mindre masse.
Linsefejl
I ovenstående beskrivelse af linser har vi ligesom for spejle anvendt
paraksialtilnærmelsen. Ligesom kugleformede spejle fokuserer kugleformede linser
heller ikke en tyk lysstråle ned i ét punkt (figur 25). Det er således kun de (paraksiale)
stråler med en lille vinkel i forhold til hovedaksen, der fokuseres ned nær
brændpunktet. Kugleformede linser er altså også kendetegnet ved sfærisk aberration,
som kan afhjælpes ved afskærmning, hvilket gør billedet svagere, eller ved
anvendelse af væsentligt dyrere parabelformede linser.
figur 25. Sfærisk aberration for en samlelinse.
Ifølge spejlloven er udfaldsvinkel lig indfaldsvinkel uanset bølgelængden af lyset.
Brydningsloven derimod er dispersiv, idet brydningsindekset, og dermed
brydningsvinklen, afhænger af lysets bølgelængde. Da lys med kortere bølgelængde
brydes kraftigst, har blåt lys kortere brændvidde end rødt lys, hvilket giver anledning
til en linsefejl kaldet kromatisk aberration (”kroma” betyder farve på græsk) (figur
19/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
26). Det er muligt at korrigere for kromatisk aberration ved at anvende sammensatte
linsesystemer bestående af samle- og spredelinser lavet af materialer med forskellige
brydningsindeks.
figur 26. Kromatisk aberration
Øjet
Det menneskelige øje (figur 27) minder på mange måder om et kamera, idet en
samlelinse danner et virkeligt, inverteret billede på den lysfølsomme nethinde.
Nethinden består af ca. 125 millioner lysfølsomme celler (svarende til 125
megapixels), der kommunikerer synsoplevelsen til hjernen gennem ca. 1 million
nervetråde. Punktet, hvor nervetrådene forlader øjet, indeholder ingen lysfølsomme
celler og kaldes derfor det blinde punkt. De farvefølsomme tapceller er koncentreret
nær øjets bageste del, hvorimod de mere lysfølsomme stavceller er koncentreret i den
øvrige del af øjet og derfor giver anledning til det meget lysfølsomme perifere syn.
Regnbuehinden iris, som bestemmer øjenfarven, fungerer som lukkermekanisme, idet
den regulerer lysmængden ved at variere pupillens størrelse.
figur 27. Tværsnit af øjet.
Øjets billeddannelse
I modsætning til et kamera fokuserer øjet ved at ændre linsens brændvidde, hvilket
gøres ved at en muskel varierer linsens krumning.
Når øjet fokuserer på noget, der er langt væk, er øjets muskler slappe og linsen har sin
maksimale brændvidde svarende til afstanden mellem linsen og nethinden. Når øjet
skal fokusere på noget, der er tættere på, øges linsens krumning, sådan at
brændvidden mindskes, og billedet dannes på nethinden.
Synskorrektion
20/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
Øjets linse har en maksimal krumning og dermed en mindste brændvidde, og øjet kan
derfor ikke fokusere på objekter, der befinder sig tættere på end den såkaldte
nærpunktafstand.
En langsynet person har en stor nærpunktafstand og kan dermed ikke mindske
øjenlinsens brændvidde tilstrækkeligt til at fokusere på ting, der er tæt på. Øjenlinsens
evne til at krumme sig sammen falder naturligt med alderen. Dette skyldes at
proteinerne i linsen denaturer. Når nærpunktet er længere end en armslængde væk,
taler man om gammelmandssyn. Langsynethed kan korrigeres ved at en samlelinse i
form af et par briller eller kontaktlinser hjælper øjet med at fokusere, idet denne
samlelinse danner et virtuelt billede, der er længere væk end nærpunktet (figur 28).
Den maksimale afstand, som øjet kan fokusere på, kaldes fjernpunktet. Som angivet
på ovenstående tegning ligger fjernpunktet uendeligt langt væk for mennesker med
normalt syn.
figur 28. Korrektion af et langsynet øje.
En nærsynet person er imidlertid ikke i stand til at afslappe sin øjenlinse tilstrækkeligt
til at fokusere på ting, der er langt væk, og har altså en endelig fjernpunktsafstand.
Nærsynethed kan korrigeres ved at indsætte en spredelinse foran øjet, idet denne
spredelinse danner et virtuelt billede, der er tættere på end fjernpunktet (figur 29).
21/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
figur 29. Korrektion af et nærsynet øje.
Det billede, som briller eller kontaktlinser danner, er således objekt for øjets linse.
Styrken af brilleglas eller kontaktlinser defineres som P
1
P≡
(1.34)
f
En styrke på eks. -4 svarer således til en spredelinse med en brændvidde på f = -25
cm.
Det meste af øjets fokusering finder sted i hornhinden, og det er derfor muligt at
foretage synskorrektion ved at ændre på hornhindens form, hvilket i praksis gøres ved
at fordampe et antal cellelag vha. en laserstråle. Ved korrektion for nærsynethed skal
hornhinden gøres tyndere på midten, hvorimod det omvendte er tilfældet ved
korrektion for langsynethed.
Forstørrelsesglas
Nærpunktet er grænsen for hvor tæt på øjet det er muligt at fokusere på et objekt.
Nærpunktet er ca. 25 cm fra øjet. Når man skal se på små ting opnår man altså ikke
noget ved at flytte objektet tættere end ca. 25 cm på øjet. Ved antagelsen om små
vinkler ses at θ 0 = 25hcm . Hvis et forstørrelsesglas (samle linse) placeres så objektet er
tæt på linsens fokus punk, skabes et billede af objektet. Den angulære forstørrelse er
givet ved
m=
θ
θ0
(1.35)
, hvor θ0 er vinklen uden linse og θ er vinklen som objektet ses med gennem linsen.
Den angulære forstørrelse er størst når billedet er ved nærpunktet, altså når q = -25cm.
Fra linseligningen (1.32) ses
22/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
1
1
1
25cm ⋅ f
+
= ⇒ p=
25cm + f
p −25 f
(1.36)
h
.
p
Den maximale forstørrelse bliver derfor:
Af figuren ses at tan θ ≈ θ ≈
mmax =
θ
h/ p
25cm
=
= 1+
f
θ 0 h / 25cm
(1.37)
Øjet er dog mest afslappet hvis objektet ser ud til at være uendelig langt væk. Det er
netop tilfældet hvis objektet er i linsens fokuspunkt. Da vil det gælde at
h
tan θ ≈ θ ≈ , og derfor at:
f
25cm
mmin =
(1.38)
f
Mikroskopet
Et mikroskop er i princippet opbygget af to liner, en objekt linse og en fokuslinse.
Objektlinse har en ganske kort fokus længde, fo < 1cm og fokuslinse har en har en
fokuslængde fe ~ cm. Afstanden mellem linserne, L, er meget længere end
fokuslængderne. Objektet placeres tæt på, men udenfor objekt linsens fokuspunkt, og
der skabes et inverteret billede tæt på fokuslinses fokuspunkt. Fokuslinsen virker som
23/24
Billeddannende Fysik
Noter til lektion 2
et forstørrelsesglas på det inverterede billede. Den laterale forstørrelsen er som
tidligere vist
−q − L
Mo = 1 ≈
(1.39)
p1
fo
Og som vi tidligere har vist er den angulære forstørerlse
25cm
me =
(1.40)
fe
Mickroskpets forstørrelse er defineret som produktetet af den laterale forstørrelse og
den angulære forstørrelse
− L 25cm
M≈
(1.41)
fo fe
opgaver
35.9
35.13
35.16
N.a. Se herunder
N.a. Se herunder
36.31
Opg. 36.29 6th ed.
Opg 36.31 6th ed.
24/24