1. No category

Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
1
Øvelsesvejledning
Biologiske eksempler indenfor matematik:
Tilvækst, statistik og lydanalyse
Studieretningssamarbejde mellem Biologi A og Matematik B for stx
Marsvin, mor og kalv. Lillebælt. Foto: Anne Villadsgaard
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
2
Kære elev:
Hører du til en af de rigtigt mange gymnasieelever, som synes, det er svært at forstå, hvad
matematik skal bruges til? Måske har du valgt matematik på højt niveau i gymnasiet, fordi du
syntes matematik var sjovt i folkeskolen? I folkeskolen kunne du se en rigtigt god mening med at
lære matematik, men når du nu studerer gymnasiets matematik, synes du måske pludselig, at
den er enormt verdensfjern, abstrakt og svær at forstå.
Folkeskolens matematik er meget konkret og går i stor udstrækning ud på at løse regneopgaver.
I gymnasiet begynder du at lære ’rigtig’ matematik, dvs. forstå den basis, som ligger til grund for
de regnestykker, som skal løses. Du lærer avanceret geometri, bliver introduceret til
trigonometriske funktioner, afledede og integraler. Selv om matematikbogen er fyldt med gode
eksempler på, hvordan denne viden kan bruges i praksis, føler du måske alligevel, at al denne
teori ikke rigtigt kan bruges til noget.
Matematik er et ekstremt vigtigt sprog inden for alle dele af naturvidenskaben. Du har sikkert
oplevet en mængde eksempler i fysik og kemi, hvor matematik bliver brugt til at forstå og
gennemskue vigtige principper og fænomener. Men, vidste du, at også de biologiske
videnskaber i stor stil gør brug af lige den type af matematik, som du lærer i gymnasiet?
I denne vejledning gennemgår vi nogle eksempler på, hvordan matematik bruges til at forstå
biologiske fænomener. Vi håber, at du kan bruge disse eksempler til at få en bedre indsigt i, hvor
vigtig matematik kan være også indenfor nogle af de områder af naturvidenskaben, hvor du
mindst havde regnet med det.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
3
Matematisk modellering: Populationsdynamiske fænomener
Nu skal vi arbejde med numeriske modeller, som kan bruges til at forstå, hvordan bestande af dyr
vokser og påvirkes af ydre faktorer. Øvelserne giver indsigt i nogle af de tankegange, som ligger til
grund for teorien om evolution. Faktisk var populationsteorien en meget vigtig inspirationskilde
for Darwin under arbejdet med evolutionsteorien. En økonom, der hed Malthus påpegede, at hvis
mængden af mennesker voksede uhæmmet, så ville der meget hurtigt opstå store problemer med
at forsyne hele befolkningen med mad. For Darwin gav dette den meget vigtige indsigt, at hvis der
ikke var en meget høj dødelighed hos en given bestand af en dyreart, så ville denne bestand vokse
til ekstreme niveauer på meget kort tid. Darwin forklarede denne sammenhæng med, at der blandt
alle dyr var en enorm kamp om overlevelse, så kun få kunne overleve, parre sig og dermed få deres
gener ført videre.
Biologer tæller skarv ved Mågeøerne udenfor Bogense. Skarvbestandens udvikling kan
modelleres matematisk, hvis man ved, hvor mange unger skarven får per år, og hvor stor
dødeligheden er per individ. Foto: Thomas Bregnballe, Danmarks Miljøundersøgelser.
Antallet af dyr i en bestand styres af, hvor mange dyr bliver født, og hvor mange der dør. I
øvelserne nedenunder skal vi se nærmere på dette ved hjælp af nogle matematiske betragtninger.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
4
Lad os først lave nogle antagelser. For at gøre beregningerne nemmere, interesserer vi os i disse
øvelser kun for den del af bestanden, som er hunner. Det er jo hunnerne, som føder afkommet, og
derfor er det antallet af hunner, som i første omgang bestemmer, hvor hurtigt en bestand vokser.
Antallet af hanner kan lægges til bagefter, for hannernes rolle for bestandens vækst er i de fleste
tilfælde underordnet.
Lad os kalde antallet af hunner, som er der fra begyndelsen, for N0. Antallet af dyr i en vis
generation bliver så N(g), hvor g er antallet generationer. Det er vigtigt at forstå, at en generation i
disse sammenhænge har en lidt anden betydning end i hverdagstale. Med en generation mener vi
her hele perioden fra et individs fødsel og til dets død.
Lad os kalde antallet af afkom, som én hun i bestanden i gennemsnit føder i løbet af en
generation, for fekunditeten (f). Vi antager endvidere, at sandsynligheden for at et dyr dør, er den
såkaldte mortalitet (m). Hvis alle dyr i en bestand i gennemsnit dør efter generationslængden g, så
er m=1. Hvis dyr dør i en yngre alder, så er m>1. Lad os dog begynde med at lave den meget
urealistiske antagelse, at der slet ikke er nogle dyr i bestanden, som dør, så m=0.
Ved begyndelsen af den første generation er der som sagt N0 hundyr i bestanden. Efter den første
generation er antallet af hunner for den udødelige dyreart
ܰሺ1ሻ = ܰ଴ + ܰ଴ ݂ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ሻ
Efter næste generation har bestanden størrelsen
ܰሺ2ሻ = ܰሺ1ሻሺ1 + ݂ሻ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ሻଶ
Efter g generationer er antallet af individer (hunner)
ܰሺ݃ሻ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ሻ ௚
Antallet af individer efter generation g er altså en eksponentialfunktion af fekunditeten.
Lad os nu tilføje dødsfald ved at indføre mortaliteten (m). Der skal nu tilføjes en term i ligningen
over antallet af individer, som dør efter den første generation:
ܰሺ1ሻ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ሻ − ܰ଴ ݉ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ − ݉ሻ
Efter 2 generationer får vi
ܰሺ2ሻ = ܰሺ1ሻሺ1 + ݂ − ݉ሻ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ − ݉ሻଶ
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
5
og efter g generationer
ܰሺ݃ሻ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ − ݉ሻ ௚
Her er antallet individer efter generation g en eksponentialfunktion af fekunditet og mortalitet.
Af grunde som bliver nemmere at forstå længere fremme, deler vi mortaliteten op i to dele. Én del
består af de individer, som dør af sygdomme og alderdom, mv., som vi kalder m, og den anden del
består af de individer, som dør, fordi de bliver spist af rovdyr. Denne del kalder vi for p (fra
engelsk: predation). Den endelige ligning bliver derfor:
ܰሺ݃ሻ = ܰ଴ ሺ1 + ݂ − ݉ − ‫݌‬ሻ ௚
(Ligning 1)
Lad os nu åbne det vedlagte Excelarks første blad (’Populationsdynamik’). Her ses en liste i A søjlen
med 30 generationer. I D-F søjlerne findes input-parametre til bestandens oprindelige størrelse,
fekunditet og mortalitet. I B søjlen laves en funktion, som viser, hvordan bestanden udvikler sig i
hver generation, efter de parametre, som er tastede in i E søjlen. Figuren til højere plotter A som
funktion af B, dvs. antallet af individer (hunner) som funktion af tiden (i generationer).
1. Prøv at ændre populationens parametre i Excel-arket. Lad først al mortalitet være 0, og
fekunditeten 1.1 (for hver hun fødes der 1.1 nye hunner). Begynd med 10 individer. Som
du ser, øges antallet af individer eksplosivt. Det kan være meget svært at studere y -aksen,
som spænder over et så stort antal værdier. Prøv at dobbeltklikke på aksen, gå til
fanebladet Akse, og sæt kryds ved Logaritmisk y akse. Nu kommer alle data til at ligge på
en linje i stedet, og det er nemmere at aflæse y-aksen for både for store og små værdier.
Hvor mange generationer går der, før bestanden har tidoblet sin størrelse?
2. At gøre y-aksen logaritmisk i opgave 1 bevirker til, at den eksponentielle funktion (Ligning 1
og figuren i Excel-arket) bliver til en lineær funktion. Vis dette matematisk ved at tage
logaritmen af begge led i Ligning 1 ovenfor.
3. Læg nu en mortalitet på 1 til (dvs. at hver hun dør i slutningen af sin levetid). Vælg en
lineær y-akse ved at fjerne det kryds, som blev sat i beskrivelsen af opgave 1 (se ovenfor).
Hvor mange generationer skal der nu til, før bestanden tidobles?
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
6
4. Lad nu mortaliteten blive lidt mere end 1 (dvs. der er nogle individer, som dør før deres
generationstid er udløbet, f.eks. på grund af sygdom). Hvad sker der, hvis du vælger en
mortalitet på præcis 1 og hvorfor?
5. Lad mortaliteten stige til 1.2 i Excel-arket, og lad den oprindelige bestandsstørrelse være
1000. Hvor lang tid går der, før bestanden er nede på 10% af den oprindelige bestand?
Hvilket dyr, tror du, har de populationsparametre, du lige har studeret? - Disse data minder faktisk
meget om det moderne menneske! Mennesker og de fleste andre store dyr har en såkaldt Kstrategi. Hvad K betyder, kommer vi til nedenunder. K-strateger har et relativt lille antal afkom,
men også en relativt begrænset dødelighed for hver generation. Denne type dyr lever normalt i
lang tid og passer rigtigt godt på sit afkom, fordi de investerer meget af deres energi og deres
ressourcer i nogle ganske få individer.
Den
menneskelige
befolkningstilvækst
kan
undersøges
med
matematiske
modeller.
Billede
fra:
http://perspectivesinnature.blogspot.com/2009/12/implications-of-human-population-growth.html
6. Lad os nu skifte til et dyr med en helt anden strategi. En del fiskearter kan få rigtig meget
afkom i løbet af deres levetid. Mortaliteten hos de voksne (m) antages være 1, dvs. alle dyr
overlever en generation. Denne antagelse er selvfølgelig helt urealistisk, men er i hvert fald
en start. Begynd med et enkelt individ i Excel-arket, som får 100 afkom i løbet af sin levetid.
Selv om du vælger en logaritmisk skala (se ovenover) og lader y-aksen være inddelt i
videnskabelige enheder (ved at højreklikke på y aksen) så får Excel svært ved at håndtere
de meget store tal.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
7
En voksen huntorsk kan producere flere millioner æg hvert år. Forplantningen
sker om foråret, når han- og huntorsk samler sig på de så kaldte gydebanker.
Her spredes de enorme mængder befrugtede æg i vandmasserne. Foto: Tue S
Larsen, Fjord&Bælt.
7. Nu introducerer vi et rovdyr, som spiser en vis andel af bestanden. Som du kan se, så er det
først, når man begynder at nærme sig en prædation på 100%, at der virkelig sker noget
med bestandsstørrelsen. Konklusionen er derfor, at hvis prædatorer skal kontrollere
bestandsstørrelsen i en given population, så skal den være enormt intens for arter, som får
mange unger.
Delfiner er meget effektive rovdyr. Her ses to af arten almindelig delfiner, som
ernærer sig af fisk. Foto: Chris Johnson.
De arter, som får rigtig meget afkom i hver generation kaldes for r-selektive arter. I
populationsbiologien står r for fertilitieten fratrukket den totale dødelighed. Dette er typisk dyr
som f.eks. insekter og mange fiskearter. Disse typer dyr producerer enorme mængder afkom. De
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
8
har alle sammen det til fælles, at næsten al afkom dør i hver generation – ellers ville der være en
urealistisk stor tilvækst i bestanden.
Åbn nu det andet Excel-ark Carrying capacity. Her er lagt en kompensationsfaktor (K) ind, som
forhindrer antallet af individer i at komme over dette tal. K kaldes på engelsk for Carrying capacity
og definieres som den maksimale bestand, der kan leve i et givet område. Det er tydeligt, at
Carrying capacity er givet af eksterne faktorer så som fødetilgang, risiko for sygdomme, adfærd
m.v. Matematisk kan dette gøres ved at man tilføjer en faktor (Kb-N(g)) / Kb i vores ligning:
ܰሺ݃ + 1ሻ = ሾܰሺ݃ሻሺ1 + ݂ − ݉ − ‫݌‬ሻሿ
௄ିேሺ௚ሻ
(Ligning 2)
௄
Hvilken faktor spiller denne funktion? Lad os antage, at vi lægger ud med et lille antal individer.
Hvis N(g) er meget mindre end K, så er (K-N(g)) / K ≈ 1. Der er derfor ikke nogen forskellen mellem
Ligning 2 og 1 for små N(g). Lad nu bestanden vokse. Jo nærmere bestanden kommer til tallet K i
størrelse, jo mindre bliver faktoren (K-N(g)) / K. Derfor modarbejder denne faktor tilvæksten af
N(g), når N(g) er stor. Dette leder i praksis til, at bestanden ikke kan vokse sig større end Kb.
8. Når du indstiller en Carrying capacity på 1000 i Excel-arket, kan du se, at bestanden
begynder at lægge sig på et stabilt niveau efter et antal generationer. Lav den afledede af
N(g) i Ligning 2 for at forklare, hvorfor tilvæksten går ned, når N(g) nærmer sig Kb.
Lad os til sidst introducere et rovdyr, som lever af vores byttedyr N. Lad os for nemheds skyld
antage, at rovdyr og byttedyr har samme generationstid, g. Lad os ydermere antage, at antallet af
byttedyr, som bliver spist, afhænger lineært af, hvor mange rovdyr der er til stede. Faktisk kan vi
modellere denne andel ved brug af følgende formel:
ܰሺ݃ + 1ሻ = ሾܰሺ݃ሻሺ1 + ݂ே − ݉ே − ‫݌‬ோ − ܴܽሺ݃ሻሻሿ
௄ಿ ିேሺ௚ሻ
௄ಿ
.
(Ligning 3a)
I denne formel betyder a antallet af døde byttedyr for hvert rovdyr i bestanden, per generation. I
stedet for K skriver vi KN for at adskille denne Carrying capacity for byttedyret med den
nedenunder for rovdyret, som vi kalder KR.
Lad os nu antage, at rovdyrbestandens tilvækst afhænger af, hvor mange byttedyr et rovdyr kan
spise, og hvor mange rovdyr, der dør i hver generation. Vi får så at
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
ܴሺ݃ + 1ሻ = ሾܴሺ݃ሻሺ1 + ݂ܽோ − ݉ோ ሻሿ
9
௄ೃ ିோሺ௚ሻ
௄ೃ
.
(Ligning 3b)
hvor fR er en faktor, som bestemmer, hvor godt rovdyret er til at omsætte en given mængde mad
til afkom. KR er Carrying capacity for rovdyrsbestanden.
De to sidste to ligninger kaldes den klassiske Lotka-Volterra model. Den findes i det tredje Excelark
Rov- og byttedyr. Notationen minder meget om den i de to forrige Excel-ark. Der er to figurer, én
som viser bestandenes udvikling som funktion af antallet af generationer, og en som viser den ene
bestand som funktion af den anden.
Begynd med følgende parametre i Excel-arket:
Antal byttedyr fra begyndelsen
Byttedyr fekunditet
Byttedyr mortalitet
Predation*1000
Carrying capacity for byttedyr
N0
fN
mN
a
KN
1000
2.5
0.2
150
10 000
Antal Rovdyr fra begyndelsen
Predationseffektivitet
Rovdyrs mortalitet
Carrying capacity for rovdyr
R0
fR
mR
KR
10
2.0
0.2
1000
Notér, hvordan både rovdyr og bytte efter en kraftig stigning stabiliserer sig på henholdsvis 6600
og 600 dyr (husk, at antallet af rovdyr er multipliceret med 10 for at kunne vises på samme akse).
Lad os ændre lidt i inputparametrene. Vi antager, at rovdyrens effektivitet er lavere, lad os sige
0.9.
Når denne variabel mindskes, begynder både rovdyr og byttebestanden pludselig at svinge.
Svingningerne i rovdyrgenerationen kommer en generation efter byttedyrsbestanden.
9. Forklar, hvorfor oscillationerne ser ud, som de gør: hvorfor øges bestanden af byttedyr, og
hvorfor begynder den igen at mindskes? Hvorfor øges antallet rovdyr først i generationen
efter, at antallet af byttedyr er øget?
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
10
10. Til sidst prøver vi med nogle andre populations parametre i Excel-arket:
Antal byttedyr fra begyndelsen
Byttedyr fekunditet
Byttedyr mortalitet
Predation*1000
Carrying capacity for byttedyr
N0
fN
mN
a
KN
1000
3.0
0.2
150
10 000
Antal Rovdyr fra begyndelsen
Predationseffektivitet
Rovdyrs mortalitet
Carrying capacity for rovdyr
R0
fR
mR
KR
10
2.0
0.2
1000
Nu begynder bestandsudviklingen for både rovdyr og byttedyr at se mere kaotisk ud. Hvordan
hænger toppen i rovdyrbestanden sammen med toppen i byttedyrbestanden? I den nederste figur
i Excel-arket (som viser den ene bestand som funktion af den anden) så er der også mere kaos,
men det ser stadig ud som om, kurven kredser om et punkt i grafen.
Når man plotter bestanden af rovdyr mod bestanden af byttedyr, begynder kurven i Excel-arket at
nærme sig et bestemt område efter et antal generationer. Man kalder midtpunktet i den samling
af værdier for en attraktor.
Den matematiske fortolkning af byttedyrs-rovdyrspopulationsmetodikken er beslægtet med den
så kaldte kaosteori: selv om kurverne ikke eksakt gentager sig, så dannes der alligevel et mønster,
som kan studeres med matematiske og grafiske metoder: Selv om data varierer på en lidt
uforudsigelig måde, så er der på den ene eller anden måde orden i kaosset.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
11
Statistik
Statistik bruges i de biologiske videnskaber til at nå objektive konklusioner ud fra analyse af data.
Hvis man f.eks. har målt vægten af solsorte i Danmark, så kunne man spørge sig selv, om
solsortene på Fyn vejer mere end solsortene i Jylland. Svaret ville være let nok, hvis alle solsorte i
hvert område vejede præcis det samme, men data indeholder som regel store variationer. For
alligevel at kunne udtale sig om, hvorvidt solsortene vejer mere eller minde på Fyn, bruger man
statistiske redskaber. Dette gøres ved at sammenligne såkaldte statistiske parametre, så som
middelværdi, median og standardafvigelse. En meget almindelig metode er at bruge parametrene
til at formulere en hypotese til afprøvning. Til sidst tager vi et hastigt kig på de for
naturvidenskaben så vigtige begreber kausalitet og korrelation ved at studere et sjovt eksempel.
Åbn Excel-arkets første statistikside. Her findes to datasæt i to søjler. I den øverste figur vises
datapunkternes værdi. I den nederste vises det ene datapunkt som funktion af det tilsvarende
datapunkt i den anden serie.
For at beskrives disse dataserier bruges forskellige parametre. Hvert parameter beskriver nogle
egenskaber ved den data, vi har indsamlet:
•
Middelværdien er summen af alle dataværdier divideret med antallet af dataværdier.
•
Medianen er den midterste værdi, hvis alle værdier bliver sorteret i størrelsesorden.
•
Standardafvigelsen måler, hvor langt hvert datapunkt i gennemsnit afviger fra
middelværdien.
•
Standard error er standardafvigelsen divideret med kvadratroden af antallet af
datapunkter.
1. Prøv at variere dataserien, ved at ændre på faktoren i Excel-arkets celle F7. Hvordan
forandrer middelværdien og andre statistiske parametre sig?
2. Hvor meget skal du multiplicere dataserien med, for at deres middelværdier skal
adskille sig mere end 2 standardafvigelser?
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
12
Vi kan bruge de statistiske parametre til at udtale os om, hvorvidt vi mener, at de to dataserier er
forskellige fra hinanden. Dette er grunden til den i naturvidenskab så tit anvendte
hypotesetestning. Princippet er følgende. Først antager vi, at middelværdierne ikke er forskellige
fra hinanden. Undersøger vi, hvor stor sandsynlighed der er for, at data ikke er forskellig, vil vi
opleve den forskel i middelværdi mellem serierne, som vi observerer. Dette gøres med en såkaldt
t-test. Resultatet af en t-test er sandsynligheden for, at den forskel mellem middelværdierne, som
observeres, kan opstå.
Normalt antager man, at hvis sandsynligheden er mindre end 5%, dvs. 0.05, så er det ikke særlig
sandsynligt, at de to dataserier kommer fra samme datapulje. Derfor konkluderer vi, at de to
dataserier er forskellige fra hinanden.
Denne type hypotesetestning er meget almindelig inden for naturvidenskab til at besvare
spørgsmålet, om én serie målinger er forskellig fra en anden serie målinger.
3. Prøv at ændre størrelsen på værdierne i den anden dataserie i Excel-arket ved at
ændre faktoren. Hvad sker der med hypotesetestens sandsynlighedsberegning længst
nede på siden? Hvor stor skal faktoren være for at dataserierne bliver signifikant
forskellige fra hinanden?
Marsvinet, Danmarks egen lille hval. Hos marsvinet bliver hunnerne større end
hannerne. Dette kan undersøges ved statistisk at teste den hypotese, at hunner og
hanners størrelse er ens. Foto: Solvin Zankl, Fjord&Bælt.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
13
Nu åbner vi Excel-arkets anden statistik side. Her skal vi diskutere begreberne kausalitet og
korrelation.
Det datasæt, som du finder i søjle A til C i Excel-arket viser, hvor mange børn der blev født i Nedre
Sachsen i en 30 års periode. Samtidigt er der blevet målt på antallet af storke, som har bygget rede
i Nedre Sachsen i samme tidsperiode. Til højre i Excel-arket er de to dataserier plottet i den
samme graf.
Det mærkelige med disse data er, at hvis man laver en graf, hvor man plotter den ene dataserie på
x-aksen og den anden dataserie på y-aksen, så får man den nederste figur i Excel-arket. Det ser ud
til, at der er en sammenhæng mellem antallet af storkereder, og antallet af fødte børn: jo flere
storke, desto flere børn! Selvfølgelig! Endelig er det blevet bevist, at det er storken, som kommer
med børnene!
Eller…?
Fra http://storkcraft.blogspot.com/
Det, figuren nederst i Excel-arket viser, er, at der tilsyneladende er en sammenhæng mellem de to
dataserier. Vi siger, at de to dataserier er korrelerede. Men, det er vigtigt at indse, at vi ikke har
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
14
påvist, at der er et årsagssammenhæng mellem de to dataserier. Med et fint ord kalder man
denne sammenhæng mellem årsag og virkning for kausalitet. De data, du ser i Excel-arket, påviser,
at data er korrelerede, men den kan ikke påvise, om data også er kausalt forbundne. For at kunne
gøre dette, er det normalt at lave et eksperiment. F.eks. ville det i dette tilfælde være spændende
at se, hvad der ville ske, hvis man gjorde det lidt kedelige eksperiment, at man begyndte at
regulere, hvor mange storkepar, som fik lov at slå sig ned i Nedre Sachsen. Hvis man reducerer
antallet af storkepar, og hvis dette leder til færre børnefødsler, så ville der være en indikation af
en kausal sammenhæng mellem de to størrelser. Sandsynligheden for dette er dog ikke særlig
stor.
4. Hvilke andre forklaringer kan der være på, at dataserierne ser ud, som de gør? Hvad kan
være forklaringen på, at antallet af børnefødsler er korreleret med antallet af
storkereder?
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
15
Akustik
Hørelsen er en af vores vigtigste sanser. Også hos mange dyr er hørelsen utrolig vigtig. Specielt er
flagermus og tandhvaler specialiserede til at bruge ekkolokalisering for at finde deres bytte i totalt
mørke. De udsender korte kraftige lydpulser og lytter efter de ekkoer, som kommer tilbage fra
eventuelle byttedyr. Ud over ekkolokalisering og kommunikation udfylder hørelsen en enorm vigtig
rolle for både mennesker og dyr i forbindelse med at kunne orientere sig i omgivelserne og blive
advaret om eventuelle farer.
Lyd opstår ved, at man sætter partikler i omgivelserne i vibration. Det medium, som de akustiske
signaler bevæger sig igennem, kan enten være luft, vand eller en anden slags materiale. Lyd kan
forplante sig gennem medier som enten er på gas eller væskeform eller består af faste materialer.
Vibrationerne bevæger sig gennem mediet med en hastighed, som vi kalder for lydhastigheden. I
luft er lydhastigheden ca. 340 m/s, og under vand er den 4-5 gange højere, dvs. ca. 1500 m/s.
Vibrationerne danner en trykforandring i luften. Hvis man måler trykforandringen, får man et bud
på, hvor stor lydintensiteten er. Lydintensitet kan måles med enten lineære eller logaritmiske
enheder. Hvad er fordelen ved at måle dem med logaritmiske enheder? Det menneskelige øre
registrerer lyde fra ca. 10 µPa helt op til ca. 10 Pa. Lydtryk over 10 Pa er meget ubehagelige for et
menneske.
Lydintensiteten er givet ved
௣మ
‫ = ܫ‬ఘ௖
hvor ρ er mediets densitet (i luft 1.2 kg/m3 og under vand ca. 1 kg/m3) og c er lydhastigheden. Hvis
man kender lydtrykket, kan man derfor nemt beregne lydintensiteten. Enheden er W/m2.
En simpel måde at beregne lydstyrken på er at måle den så kaldte peak-to-peak værdi fra signalets
kraftigste værdi til des laveste værdi. Så snart vi har målt denne, er vi klar til at lave den om til
intensitet ved at bruge formelen ovenfor.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
16
Normalt måler vi lyde på en logaritmisk skala i stedet for på en lineær skala. Grunden til dette skal
vi diskutere længere nede. Lad os se på den matematiske fortolkning af dette. Decibellerne er
definerede som
ூ
݀‫ = ܤ‬10 ݈‫݃݋‬ଵ଴ ቀூ ቁ
బ
hvor I0 er en i forvejen defineret referenceintensitet. Ved hjælp af ligningen ovenfor kan vi
beregne decibellerne som
௣
݀‫ = ܤ‬20 ݈‫݃݋‬ଵ଴ ቀ௣ ቁ,
బ
hvor p er det målte lydtryk, og p0 er det såkaldte referencelydtryk, givet ved formelen I0 = p02 /
(ρc).
1.. Åben Excel-arket Lydmåling 1. Her ligger digitaliserede akustisk data fra en optagelse
af marsvin ved Fjord&Bælt. Marsvin laver nogle meget højfrekvente og meget korte
pulser. Pulserne bruges frem for alt, når marsvinet ekkolokaliserer.
2. Mål på lydsignalets peak-to-peak værdi i Pascal i Excelarket. Prøv at beregne den
linære intensitet ved brug af formelen ovenfor. Derefter beregnes decibeltallet. For
undervands-optagelser bruger vi en referenceenhed af 1 µPa.
´
3. Klik videre til næste Excel-ark, Lydmåling 2. Dette blad viser et spektrum af et
marsvineklik. Et spektrum gengiver de frekvenskomponenter, som opbygger et signal.
Frekvens måles i enheden Herz, som forkortes Hz. En Herz er det samme som en
svingning per sekund. Menneskets hørelse virker godt op til ca. 15-20 kHz. Et
marsvineklik indeholder kun energi i frekvenser over 100 kHz. Al den energi, vi ser
under 100 kHz, er elektrisk støj fra lydoptagelsen. Derfor kan mennesket ikke høre
marsvinets kliklyde, med mindre vi bruger noget specielt udstyr.
Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse
Marsvin kan trænes til at undersøge deres evner i at ekkolokalisere. Her ses marsvinet Sif
ved Fjord&Bælt, som er trænet til med bind for øjnene at mærke forskellen på to kugler, som
er lavet af forskellige materialer. Foto: Solvin Zankl, Fjord&Bælt.
Denne øvelsesvejledningen er udviklet af Magnus Wahlberg, Fjord&Bælt,
Margrethes Plads 1, 5300 Kerteminde, tfn. 42131548, [email protected], med
støtte fra Undervisningsministeriet. Alle billeder er gengivet med tilladelse fra
fotograferne.
17