Emneopgave Jesper og Patrick Matematik A Camilla Wendelboe d. 11/08 2011 Sandsynlighedsteori Indenfor sandsynligheds teori arbejder man med forskellige begreber: udfaldsrum, en hændelse, σ-algebra, sandsynlighedsmål og stokastiske variabler. Et udfaldsrum er de muligheder der forekomme i eksempelvis et terningkast, så er udfaldsrummet {1,2,3,4,5,6} En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet σ-algebra kan beskrives som hele mængden i et udfaldsrum så hvis x er udfaldsrummet så er σ-algebra alle tallene der forekommer. Sandsynlighedsmål er et mål med total masse 1? Stokastiske variabler er defineret ved udfaldet af et tilfældigt eksperiment hvis og kun hvis tallet kan beskrives ved et tal. Dertil hører også at udfaldet ikke kan bestemmes på forhånd da x antager forskellige værdier med bestemte sandsynligheder. Betinget sandsynlighed er en hændelse der er givet ved at en anden hændelse forekommer. som eksempel kunne vi bruge det fra de udleverede noter: I en landsby blev 100 personer af befolkningen udspurgt om deres holdning til fri abort. Resultatet fremgår af følgende tabel: Mand Kvinde I alt for 27 24 51 Det kan hurtigt aflæses at I mod 21 28 49 I alt 48 52 100 og Og hvis vi kigger på hvor mange af dem der er for er mænd ser vi: Hvis nu at vores hændelse er at personen skal være for og personen skal være en mand aflæses fra skema: Dette er betinget sandsynlighed, da vi har en hændelse der er betinget af en anden hændelse Emneopgave Jesper og Patrick Matematik A Camilla Wendelboe d. 11/08 2011 Uafhængige hændelser er to hændelser der ingen indflydelse har på hinanden, som eksempel kunne vi bruge lotto, det første tal der bliver trukket, har ikke indflydelse på det næste tal, så derfor er hændelserne uafhængige Regneregler for sandsynlighedsteori og uafhængige hændelser 1) for en vilkårlig hændelse A er 2) for to disjunkte hændelser A og B er 3) for to vilkårlige hændelser A og B gælder Multiplikationsformlen for uafhængige hændelser: hvis A1,A2.....An er parvis uafhængige er: Middelværdi og Varians Middelværdi for en stokastisk variabel udregnes som følgende. Vi kalder middelværdien µ. Dette skal forstås som den summerede værdi af forekomster. hvor er frekvensen og er antal Variansen for en stokastisk variabel udregnes som følgende. Her skal vi bruge middelværdien som stadig er betegnet ved µ. Eksempel Lad os antage at en restaurant har en oversigt over antallet af personer pr. selskab betegnet ved x. xi f(xi) 1 2 3 4 5 6 sum 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,1 1 sum f(xi) 0,2 0,5 0,6 0,8 0,9 1 middelværdi varians 0,2 0,6 0,3 0,8 0,5 0,6 3 0,2 0,7 1,4 3,4 5,5 8,4 11,6 Emneopgave Jesper og Patrick Matematik A Camilla Wendelboe d. 11/08 2011 For at finde middeltallet bruges formlen der sættes ind i formlen og middeltallet er 3. Dernæst findes variansen ved formlen Der sættes ind i formlen Vi har nu fundet middeltallet og variansen og kan til sidst finde standard afvigelsen ved at kvadrere variansen altså Transformation af Stokastiske variable Eksempel: Lad os gå tilbage til vores restaurant. Hvis man antager at restauranten tjener 100 kr. pr. kunde og har 200 kr. i faste omkostninger pr. selskab vil overskuddet på et selskab være: Vi bruger middeltallet fra tidligere som var 3 dette er vores variabel og sættes ind på x’s plads, overskuddet vil derfor fra dette være Et andet eksempel kan være en firmaproduktion. Hvis vi antager at et firma har faste produktion omkostninger på 100.000 kr. og de variable omkostninger er 200 kr. pr. produceret genstand vil formlen for dette være Lad os antage at indtægten pr solgt vare er 500 kr. Så vil det koste firmaet at producere eksempelvis 1000 vare indtjeningen vil være . og Hvilket vil sige ar for 1000 vare produceret vil det samlede indtjente beløb være hvilket vil sige at, ved 1000 vare produceret vil firmaet tjene 200.000 kr. Emneopgave Jesper og Patrick Matematik A Camilla Wendelboe d. 11/08 2011 Binomialfordelinger Binomialfordelingen dækker beskrivelsen af sandsynligheder, hvor en udvælgelse eller et forsøg kan beskrives som en række gentagne udførelser af samme basiseksperiment. Eksempelvis terningekast eller møntkast. Her gøres brug af formlen forklaret nærmere i eksemplet. som vil blive Eksempel: Lad os antage at 3 personer kommer ind til en bilforhandler for at købe bil, og der gælder følgende formel: hvor n er antalsparametrene p er sandsynligheden hvor p skal omregnes til decimaltal altså følgende parametre er givet: 1) en kunde kan købe en bil eller ikke-købe en bil. 2) Sandsynligheden for at en person køber er 30 %. Derfor ved vi at og Vi gør nu brug af formlen. Sandsynligheden for at alle 3 køber en bil er derfor givet ved Sandsynligheden for at 2 køber en bil er: Sandsynligheden for at 1 køber en bil er: Sandsynligheden for at ingen køber en bil er: Emneopgave Jesper og Patrick Matematik A Camilla Wendelboe d. 11/08 2011 Kontinuerte fordelinger Ved kontinuerte fordelinger har man med intervaller at gøre, dette kan eksempelvis være tidsintervaller. Her skal man ind på tæthedsfunktioner. For en tæthedsfunktion f(x) for en kontinuert stokastisk variabel X med værdier i intervallet gælder følgende 1: for alle 2: Sandsynligheden for at er: Fordelingsfunktionen F er givet ved hvor NB alle punktsandsynligheder vil altid give 0 da: Eksempel: vi har ventetiden ved et busstop og den har den følgende tæthedsfunktion Grafen for dette vil se ud som til højre. y Sandsynligheden for at X ligger mellem 2 og 4 bestemmes som arealet under tæthedskurven markeret ved de grønne og sorte streger. f(x)=0+0.10 Shading 1 Shading 2 0.4 Series 1 Series 2 0.3 Disse to værdier sættes ind i formlen 0.2 0.1 x 0.5 For at finde den forventede ventetid bruges 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Emneopgave Jesper og Patrick I eksemplet vil dette være For at finde variansen bruges formlen Hvilket i dette eksempel giver Matematik A Camilla Wendelboe d. 11/08 2011