1. No category

Introduktion til cosinus, sinus og tangens
Jes Toft Kristensen
24. maj 2010
1
Forord
Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved
at forstå, derfor denne introduktion.
Hvis du har spørgsmål, forbedringer eller kommentarer er du velkommen til at kontakte mig via email.
Addresseinfo etc. kan findes på http://buskefjomp.dk.
1.1
Dokumenthistorie
Dato
100523
Forfatter
Jes Toft Kristensen
Historie
Dokument oprettet
1
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
Indhold
1
Forord
1.1 Dokumenthistorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
Symbolliste
3
2
Motivation
4
3
Grader og radianer
3.1 Kort om trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
4
Definition af cosinus og sinus
4.1 Grundformler . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cosinus og sinus som forhold . . . . . .
4.3 Cosinus og sinus med omløb i radianer .
4.4 Cosinus og sinus med kontinuert omløb
4.5 En opgave . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
. 6
. 7
. 7
. 9
. 12
5
Eksemple på anvendelse
12
6
Tangens
13
7
Løsning af flyver-problemet
15
8
Inverse funktioner
15
INDHOLD
2
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
Symbolliste
lineære funktioner Funktioner der umiddelbart kan lægges sammen og give samme resultat. Eksempelvis
er multiplikation en lineær operation (2 ∗ (4 + 5) = 2 ∗ 4 + 2 ∗ 5) imens opløftning i potens ikke
er en lineær operation ((4 + 5)2 6= 42 + 52 ). Ligeledes er sinus, cosinus og tangens ikke lineære
funktioner. NB
Dette er ikke den fulde definition på linearitet, side 11
origo
center for enhedscirklen, har koordinatet (0,0) , side 12
periferi yderste kant. Ved cirkler er cirklens periferi således lig med cirkelbuen. , side 3
periodicitet er at et fænomen gentager sig periodisk, side 8
radian Længde på cirklens omkreds, side 3
INDHOLD
3
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
2
Motivation
Hvorfor nu alt det her med sinus, cosinus, grader og vinkler? Det korte og affejende svar er at du skal
bruge det senere på videregående uddannelser (gymnasiet, htx, universitetet etc.). Det lidt dybere svar er
at nærværende stof anvendes til beskrivelse af bevægelser, positioner, fysiske fænomener, vinkler og en
masse andre ting. Derfor skal du forstå og kunne anvende vinkelberegninger og forhold, som er hvad sinus
og cosinus dybest set dækker over.
Det er vigtigt at forstå at sinus/cosinus er et forhold der gælder under bestemte forudsætninger. Dette
forhold anvendes så i vid udstrækning som et matematisk værktøj. Men dybest set er det et forhold og ikke
andet. Derfor er sinus/cosinus ikke svært, det handler bare om at forstå forholdet det hele bygger på.
Men for at det hele ikke skal fortabe sig i gode hensigter vil jeg starte med et eksempel på hvad der
kunne beregnes med cosinus og sinus. Forestil dig at du er ude at flyve med dit modelfly. Du kan hele
tiden se flyet og det har en indbygget højdemåler. Men hvordan finder du ud af hvor langt flyet er væk?
Scenariet er vist i figur 1 . Her er flyet og dig indtegnet sammen med vinklen v, flyets højde h og
afstanden til flyet d. Phytagoras formler duer ikke idet du ikke kender den stiplede linies længde. Derfor
skal du lære noget nyt.
Vi vil senere beregne afstanden d, men først skal vi have fundet de rigtige værktøjer.
h
v
d (?)
Figur 1: Indledende flyver scenarie. Du kender vinklen v og flyets højde h, men hvordan bestemmer du
afstanded d?
3
Grader og radianer
Som en lille opvarmning til abstraktionerne kan vi se på hvordan vinkler også kan defineres. Matematikken
er for det meste enige om at der er 360 grader rundt på en cirkel1 . Det betyder at den rette vinkel i en
retvinklet trekant er 90 grader og at en cirkel kan halveres så vinklen er 180 grader. Disse tre vinkler er
vist i figur 2 på næste side .
En anden måde at beskrive positioner på en cirkel er vha. radianer. En radian beskriver hvor langt på
cirklens periferi man har bevæget sig. På figur figur 3 på den følgende side er både vinkler og radianer
vist. Når der måles i radianer har man besluttet at en hel cirkels omløb er fastsat til 2 · π og ikke 360 grader.
En halvcirkels periferi er således 2 · π/2 = π og en kvart cirkels periferi er 2 · π/4 = π/4. Som det ses af
1 Nogen
steder i geografien bruger man 400 grader for en hel cirkel
4
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
90
180
360
Figur 2: Cirkel med de tre vinkler, 90, 180 og 360 grader indtegnet
figuren kan man omsætte direkte fra grader til radianer og omvendt ved følgende funktioner
fgrad→rad (g)
=
frad→grad (r)
=
g
·2·π =r
360
r
· 360 = g
2 · pi
(1)
(2)
hvor g er i grader og r er radianer.
90
2*pi/2 = pi
2*pi/4 = pi/2
gra
der
er
rad
g
0
18
2*pi
360 grader
radius = 1
Figur 3: Enhedscirkel med radianer og grader indtegnet for 90, 180 og 360 grader.
En eksakt værdi for π er defineret ved 22
7 = π. En dybere forklaring er at π er det konstante forhold
mellem en cirkels periferi og radius, således at:
2·r·π =O
(3)
hvor r er radius i cirklen og O er cirklens omkreds. Det betyder også at en enhedscirkel, med en radius på
1, har en omkreds på 2π. Se yderligere information her http://en.wikipedia.org/wiki/Pi
5
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
3.1
Kort om trekanter
For lige at slå fast ud fra figur 4
• I denne tekst betragter vi den retvinklede trekant fra der hvor den lille pindemand står.
• hypotenusen er den længde/side der står modsat den rette vinkel.
• katete 1 er den længde/side der ligger ved observatøren. Derfor kaldes denne også for den ”hosliggende” katete/side.
• katete 2 er den længde/side der står modsat observatøren. Derfor kaldes denne den ”modstående”
katete/side (meget kreativt).
hy
po
ten
use
katete 2
(modstaaende)
• vinklen a dannes mellem hypotenusen og den hosliggende side (katete 1).
a
katete 1
(hosliggende)
Figur 4: Grundlæggende om trekanter
4
Definition af cosinus og sinus
Cosinus og sinus er som sagt et forhold. Mere specifikt er cosinus forholdet mellem den hosliggende side
divideret med den hypotenusen i en trekant ved en given vinkel a. Mere specifikt er dette vist til venstre i
figur 5 på den følgende side (her er definitionen også vist for sinus til højre).
4.1
Grundformler
Opstillet matematisk kan målene i figuren beskrives ved følgende:
cos(a) =
hos
hyp
sin(a) =
mod
hyp
(4)
Det vil altså sige at ved en bestemt vinkel a er der et fast forhold mellem hypotenusen og den hosliggende side i en trekant eller mellem den modstående side og hypotenusen. Som i alle andre formler kan vi
reducere/ombygge på denne for at isolere de ønskede variable. Dette betyder at hvis vi kender 2 af informationerne i (a) eller (b) på figur 5 på næste side kan vi finde den sidste. Det er dette som gør cosinus og
sinus beregninger til et meget effektivt værktøj.
3.1
Kort om trekanter
6
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
Cosinus
Sinus
hyp
hyp
mod
a
a
hos
Figur 5: Forhold for cosinus og sinus vist
4.2
Cosinus og sinus som forhold
hyp = 1
a
hos
hos
hos
(a)
(b)
(c)
a
mod
mod
=1
a
hyp = 1
hyp
mod
På figure figur 6 er der vist forskellige trekanter, hypotenuser og hosliggende sider for cosinus. Fælles for
dem alle er at hypotenusen i alle tilfælde har længden 1. Afhængigt af hvordan vinklen a varieres opnåes
forskellige længder for den hosliggende side og modstående side. På figuren er vinklerne 25, 85 og 10
grader indtegnet. Læg specielt mærke til at den hosliggende side i (b) på figuren er meget kort pga. den
høje vinkel. Det modsatte ses i (c) i figuren hvor den hosliggende side er lang i forhold til den modstående
side. De præcise tal er angivet i tabel 1.
Figur 6: Eksempler på trekanter med vinklen a, den hosliggende og hypotenusen angivet i tabel 1
Hypotenuse
Vinkel a
Hosliggende
Modstående
(a)
1
25
0.906
0.423
(b)
1
85
0.087
0.996
(c)
1
10
0.985
0.17365
[enh]
[længde]
[grader]
[længde]
[længde]
Tabel 1: Størrelser for eksempler på trekanter
4.3
Cosinus og sinus med omløb i radianer
Ved at fastholde længden på 1 for hypotenusen indtegnes en enhedscirkel (defineret ved at radius, her
hypotenusen, er 1). Vist på figur 7 på den følgende side er der en enhedscirkel med vinklen a og akser for
4.2
Cosinus og sinus som forhold
7
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
cosinus og sinus indtegnet.
(modstaande)
sin(a)
a
cos(a)
(hosliggende)
Figur 7: Cosinus og sinus indtegnet i enhedscirkel ud fra radianer.
Her regnes vinklen i radianer og er således ikke længere en direkte ”vinkel”, men et tal for hvor langt
på et omløb på enhedscirklens periferi der er foretaget. Man kan dog frit konvertere imellem grader og
radianer som tidligere beskrevet. Bemærk at lommeregnere typisk forventer radianer som input til sinus
og cosinus funktioner og at 30 radianer IKKE er det samme som 30 grader, derfor omregning.
Det ses af figuren at den hosliggende side er lang ved lave vinkler (kort omløb) og derefter bliver
mindre og mindre. Det modsatte gælder så for den modstående side (sinus), der bliver længere og længere
jo større a bliver. Dette er vist i figur 8 på næste side for cosinus, der som vist er aftagende. Samtidig kan
det også ses at cosinus aldrig bliver længere end længden 1, hvilket er radius i cirklen.
4.3
Cosinus og sinus med omløb i radianer
8
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
Cosinus for 0 <= a <= pi/2
x−akse
y−akse
1
Laengde af cosinus
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0pi
0.1pi
0.2pi
0.3pi
a [radianer]
0.4pi
0.5pi
Figur 8: Cosinus i intervallet 0 til π/2 = 1.57 radianer
4.4
Cosinus og sinus med kontinuert omløb
Men der findes jo også vinkler der er større end 90 grader. Dette svarer til at omløbet fortsatte over de π/2
radianer. Dette er vist i figur 9 på den følgende side hvor omløbet er fortsat den halve cirkel rundt. Her ses
det at cosinus aftager jo tættere på de π/2 vi kommer, men begynder at bliver længere (omend negativ) jo
tætter vi kommer på de 180 grader (π). .
Fortsættes omløbet rundt kontinuerligt fremkommer bestemte kurver, nemlig cosinus og sinus svingninger. Disse er vist i figur 10 på side 11. Her ses det at sinus starter lavt men stiger indtil 0.5π hvorefter
den aftager. Efter 2π gentager kurverne sig, dette er hvad man kalder periodicitet af sinus og cosinus.
4.4
Cosinus og sinus med kontinuert omløb
9
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
0.5 * pi= pi/2
0.75*pi = 3*pi/4
0.25*pi = pi/4
pi
sin(a)
(modstaande)
a
cos(a)
(hosliggende)
(a) Omløb for cosinus
Cosinus for 0 <= a <= pi
x−akse
y−akse
1
Laengde af cosinus
0.5
0
−0.5
−1
0pi
0.125pi
0.25pi 0.375pi 0.5pi 0.625pi
a [radianer]
0.75pi 0.875pi
1pi
(b) Længde af cosinus med omløb af a
Figur 9: Cosinus længde for omløb af halvcirkel
4.4
Cosinus og sinus med kontinuert omløb
10
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
Cosinus
Sinus
x−akse
y−akse
1
Laengde
0.5
0
−0.5
−1
0pi
0.5pi
1pi
1.5pi
2pi
a [radianer]
2.5pi
3pi
3.5pi
4pi
Figur 10: Cosinus- og sinus-svingninger ud fra omløb a
4.4
Cosinus og sinus med kontinuert omløb
11
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
4.5
En opgave
Proev nu at vende tilbage til figur 9 på side 10 og indtegn sinus i (b) af figuren. Start med de angivne
reference punkter (0.25 ∗ π og 0.75 ∗ π) og udmål længderne, divider herefter længderne med den længde
af den røde streg i (a) du måler, så skulle du gerne kunne tegne direkte ind i (b). Tjek herefter med figur 10
på foregående side om du ramte rigtigt.
Prøv også at måle og indtegne din egen tabel som i tabel 1 på side 7 og indsæt i grundformlerne ((4))
for at finde ubekendte.
5
Eksemple på anvendelse
For at anvende sinus og cosinus skal vi vende tilbage til grundformlerne angivet i (4). Vores tidligere
eksempler har vist at hvis hypotenusen saettes til 1 bliver længder ud fra vinkler meget nemme at beregne.
Eksempel
cos(a) =
hos
⇔ cos(a) = hos
hyp = 1
(5)
altså giver cosinus os et direkte udtryk for længden af den hosliggende side.
De cosinus og sinus funktioner der er på din lommeregner kan du opfatte som en stor tabel, der kan
omsætte et vilkårligt input i radianer (omløbet a) til enten en hosliggende sidelængde (cosinus) eller en
modstående sidelængde (sinus).
Grunden til at introducere sin() og cos() funktionerne er at omløbene som vist i figur 10 på foregående
side ikke er lineære og samtidig ikke helt nemme at beregne præcist2 . Derfor er det nemmest at opfatte
sin() og cos() som opslagsfunktioner, eller som en nem måde at aftegne og måle på i figur 9 på side 10
Hvis hypotenusen ikke har en længde på en kan vi omformulere grundformlerne og stadig finde den
hosliggende sides længde.
cos(a) =
hos
⇔ cos(a) · hyp = hos
hyp
(6)
den samme reduktion kan foretages for sinus.
Til bestemmelse af hypotenusen kan man bruge følgende
cos(a) =
hos
hos
⇔ hyp =
hyp
cos(a)
(7)
Som en lille kuriositet kan det bemærkes at phytagoras formler har en vis relation til sinus og cosinus
formlerne. Det er nemlig givet at ”summen af kateterne kvadrat er lige hypotenusens kvadrat” som egentilgt bare er
hyp2 = hos2 + mod2
(8)
Hvis hypotenusen har længden 1 får vi en lidt anden formel, nemlig
1 = hos2 + mod2
(9)
Prøv at indtegne et vilkår omløb af a i figur 7 på side 8 og mål derefter hypotenusen, den modstående
og den hosliggende. Indsæt derefter i (8) og regn efter (du kan bare måle direkte på papiret - det gælder
stadig).
2 Der
anvendes en såkaldt rækkeudvikling for at få præcise værdier for sinus og cosinus, de er nærmere beskrevet her: http:
//en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions#Series_definitions
4.5
En opgave
12
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
6
Tangens
For at gøre diskutionen om cosinus og sinus komplet kan vi ikke undgå at nævne tangens-funktionen.
Den kvikke læser har måske opdaget allerede nu at flyver-problemet fra indledningen ikke kan løses med
sinus og cosinus alene. Problemet er at begge grundformler anvender længden af hypotenusen, der er
ukendt i figur 1 på side 4 . Altså skal vi finde noget andet. Der eksistere heldigvis et 3. forhold i disse
trekantsberegninger som vi kan anvende, nemlig tangens.
Denne defineres på samme som cosinus og sinus, men nu som en vinkel der angiver et forhold imellem
den modstående og hosliggende side.
tan(a) =
mod
hos
(10)
Variablen a er stadig angivet i radianer. Det specielle ved tangens er dog at længden skal måles som en
”tangent” til enhedscirklen, som vist i figur 11 på næste side . Her er tangens vist og læg mærke til
at det er den tangerende blå linie der måles afstand på. De cyan-farvede fuldt-optrukne linier fortsætter
altså udover enhedscirklen indtil de rammer den lodrette tangent. De cyan-farvede fuldt-optrukne linier er
samtidig projiceret ned på de hosliggende og modstående sider med stiplede linier. Det er afstanden fra
der hvor den stiplede linie og indtil origo
Dette er igen et forhold der gælder for enhedscirklen som kan udvides til at beregne på alle længder,
typisk vha. omskrivning af grundformlen i (10).
Samtidig kan tangens funktionen igen opfattes som et tabel-opslag så man undgår at måle selv. Specielt
tangens er dette vigtigt for idet det eksempelvis ses at ved omløbslængden for c bliver hjæxlpe-linien og
tangens liniens skæring meget højt ude af papiret. Faktisk går tangens mod en uendelig værdi for omløb af
π/2 og 4/3π (90 og 270 grader). Her bliver hjælpe-linien og tangenten paralelle hvorved de aldrig skærer
hinanden, derfor en uendelig værdi3 .
3 Der
er nu ikke noget specielt problematisk i dette, hvis en ”trekant” har to vinkler på 90-grader må det nødvendigvis være en
firkant. . .
13
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
(modstaande)
b
tangens
c
a
(hosliggende)
Radius = 1 (enhedscirkel)
Figur 11: Tangens indtegnet for forskellige omløb af a, b og c
14
Copyright/ejerskab: Jes Toft Kristensen, 2010
7
Løsning af flyver-problemet
Med tangens kendt kan vi nu løse flyver-problemet fra indledningen. På figur 1 på side 4 kan du se hvilke
informationer der er ukendte og kendte.
Vi ønsker at bestemme den hosliggende side d hvor vi kender højden h der er 70m og vinklen v der er
45 grader4 . Cosinus- og sinus-relationerne kan vi ikke bruge idet vi ikke kender længden af hypotenusen
(den stiplede linie). Derfor er der kun tangens-relationen tilbage. Denne er vist i (10) og omskrevet her til
at indeholde vores navne for variable
tan(v) =
h
d
(11)
hvor vi ønsker at isolere og bestemme d. Ved hjælp af funktionen i (1) kan vi omregne fra grader til
radianer, hvor vi når frem til at 45 grader er 0.7854 radianer = π/4 (regn gerne efter og/eller indtegn i
figur 9 på side 10 ).
d =
h
tan(v)
(12)
m
d =
d =
d =
70m
tan(0.7854)
70m
1
70m
(13)
(14)
(15)
Altså kan vi bestemme flyets afstand vha. vinkel-relationer. Det er det nye værktøj du har lært.
Men kan du nu beregne hypotenusen (der er flere måder at gøre det på, ingen er mere rigtig end den
anden?
8
Inverse funktioner
Skal I bruge inverse funktioner? Hvis ja, saa husk at disse heller ikke er linær, og sådan set bare kan
beregne en vinkel ud fra et forhold
hos
mod
mod
−1
−1
−1
a = cos
,
a = sin
,
a = tan
(16)
hyp
hyp
hos
(igen er funktionen på lommeregneren bare et opslags-værktøj i stedet for at kigge i en bog)
4 Vinklen
i tegningen er ikke 45 grader, men ignorer dette
15