1. No category

Enhedscirklen og
de trigonometriske Funktioner
Frank Nasser
12. april 2011
c 2008-2011.
Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som
abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis
ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold
1 Introduktion
1
2 Enhedscirklen
2
3 De
3.1
3.2
3.3
trigonometriske funktioner
Sinus og Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Store vinkler, negative vinkler og omløbsretning . . .
Egenskaber ved sinus og cosinus . . . . . . . . . . . .
3
3
7
8
4 Flere trigonometriske funktioner
4.1 Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Tangens og enhedscirklen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Cotangens, Sekans og Cosekans . . . . . . . . . . . .
9
10
10
13
5 Retvinklede trekanter
5.1 Inverse trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . .
14
17
6 Radianer
6.1 Radiantallet for en vinkel . . . . . . . .
6.2 Omregning mellem grader og radianer .
6.3 Radiantal og enhedscirklen . . . . . . .
6.4 Det hele om igen . . . ? . . . . . . . . . .
6.5 Lommeregnere og vinkler . . . . . . . .
6.6 Lidt radianmagi . . . . . . . . . . . . .
6.7 Nygrader . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
20
21
22
23
26
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Resumé
Vi definerer de trigonometriske grundfunktioner, sinus, cosinus og tangens, ved hjælp af enhedscirklen i det todimensionale koordinatsystem, og vi beviser hvordan de opfører sig
i forbindelse med retvinklede trekanter. Til sidst indfører vi
radianbegrebet.
1
Introduktion
De trigonometriske funktioner er (som navnet antyder) meget nyttige når man arbejder med vinkler i trekanter. Men det er faktisk
den allermindste grund til at de er vigtige. Det viser sig at de optræder utroligt mange steder i naturen, når man skal beskrive fænomener der „svinger“ og gentager sig selv „periodisk“ (vekselstrøm,
lyd, lys, vibrationer, udsving omkring en ligevægtstilstand, ting der
roterer. . . bare for at nævne nogle få.)1
Ikke nok med det: De trigonometriske funktioner følger også med
når man laver meget mere avanceret matematik: De spiller f.eks. en
vigtig rolle i forståelsen af de komplekse tal, hvor de har en meget
smuk sammenhæng2 med den naturlige eksponentialfunktion 3 . Og det
viser sig at andre funktioner kan approksimeres med trigonometriske
funktioner ved hjælp af såkaldte Fourierrækker. Dette er en dyb og
grundlæggende forudsætning i kvantemekanik.
Alt dette var blot et forsøg på at vise at de trigonometriske funktioner kan bruges til noget. Nu skal vi i gang med at lære dem at
kende.
Forudsætninger
Dokumentet kan i princippet læses af enhver der kender det todimensionale koordinatsystem. Det er dog en fordel hvis man allerede har
1
Læs om harmoniske svingningsfunktioner her
Læs om Eulers identitet her
3
Læs om eksponentialfunktioner her
2
side 1
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
arbejdet med klassisk geometri (især trigonometri).
2
Enhedscirklen
I vores definitioner skal vi bruge en vigtig delmængde af det todimensionale koordinatsystem, nemlig enhedscirklen. Den er defineret
som:
E = {(x; y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}
Hvis man er vant til at arbejde med cirkler, genkender man straks
ligningen som:
(x − 0)2 + (y − 0)2 = 12
og så er det klart at E er en cirkel (se figur 1) med centrum i origo
og radius 1 (deraf navnet: „enhedscirklen“).
2
1
-2
-1
0
1
-1
-2
Figur 1: Enhedscirklen
side 2
2
c
MatBog.dk
3
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
De trigonometriske funktioner
Vi er nu klar til at definere de trigonometriske funktioner.
3.1
Sinus og Cosinus
Definitionerne af sinus og cosinus er temmeligt indviklede. Hvis man
skal forstå dem, er det vigtigt at holde overblikket over hvad der
foregår: Vi er ude på at definere to såkaldte funktioner, som til enhver
tænkelig vinkel udregner et tal der afhænger af vinklen. Sinus og
cosinus er altså ikke bare nogle tal, men derimod en slags „maskiner“,
der udregner et tal, hver gang man propper en vinkel ind i dem.
Hvis v betegner en eller anden vinkel, så vil vi skrive de tal som
sinus og cosinus udregner som:
sin(v)
og
cos(v)
Det læses som henholdsvis: „sinus til v“ og „cosinus til v“.
Nu er vi klar til at definere hvordan disse funktioner fungerer:
Definition 1
Hvis v er en vinkel, så beregnes sin(v) og cos(v) på følgende måde:
1. Indtegn vinklen i det todimensionelle koordinatsystem, sådan at vinkelspidsen ligger i origo, og højre ben peger langs
med x-aksen i den positive retning. (Se figur 2.)
2. Nu vil venstre ben af vinklen pege i en eller anden retning, og
hvis man fortsætter i den retning vil man på et tidspunkt
skære enhedscirklen. Lad P betegne dette skæringspunkt.
(Se figur 3.)
side 3
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
3. cos(v) er pr. definition førstekoordinaten til P .
4. sin(v) er pr. definition andenkoordinaten til P .
2
1
v
-2
-1
0
1
2
-1
-2
Figur 2: Enhedscirklen med en indtegnet vinkel
Eksempel 1
Vi vil beregne cosinus og sinus til en vinkel på 45◦ . Derfor indtegnes vinklen i et koordinatsystem som beskrevet i definitionen.
Dette er gjort på figur 4 nedenfor.
Det kan ses på figuren at cos(45◦ ) og sin(45◦ ) er præcis lige
store (hvorfor?), og at deres fælles værdi er omkring:
cos(45◦ ) = sin(45◦ ) ≈ 0,71
side 4
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
2
P
sin(v)
1
v
-2
-1
0
1
2
cos(v)
-1
-2
Figur 3: Definitionen af cosinus og sinus til en vinkel v
Det er dog aldrig tilstrækkeligt med en omtrentlig aflæsning
på en tegning. Vi kan i stedet bestemme den nøjagtige værdi ved
at være lidt smarte. Kald i første omgang den fælles værdi af
cos(45◦ ) og sin(45◦ ) for x.
På figur 4 er der således en retvinklet trekant (find den!), hvor
begge kateterne er x lange. Eftersom hypotenusen i denne trekant er en radius i enhedscirklen, har den længde 1. Pythagoras’
sætning siger derfor at:
x2 + x2 = 12
dvs.
2x2 = 1
dvs.
x2 =
side 5
1
2
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
dvs.
s
x=
1
≈ 0,7071
2
1
1
x
45o
-1
0
x
1
-1
Figur 4: Beregning af cosinus og sinus til 45◦
Øvelse 1
Beregn følgende værdier af cosinus og sinus. I de tilfælde hvor
værdien ikke kan aflæses præcist, aflæs da en cirkaværdi og sammenlign med lommeregnerens resultat.
Vigtigt: Husk at din lommeregner skal være indstillet til at
måle vinkler i grader! Det kan du læse mere om i afsnit 6.
side 6
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
cos(0◦ )
cos(90◦ )
cos(180◦ )
cos(360◦ )
cos(60◦ )
cos(81◦ )
3.2
,
,
,
,
,
,
sin(0◦ )
sin(90◦ )
sin(180◦ )
sin(360◦ )
sin(60◦ )
sin(205◦ )
Store vinkler, negative vinkler og omløbsretning
Hvis man får en god fornemmelse af hvordan den givne vinkel ganske
enkelt flytter punktet P rundt på enhedscirklen, så er det ikke svært
at gætte hvordan vi skal definere cosinus og sinus til vinkler der er
større end 360◦ — eller til vinkler der er negative.
Vi vedtager at en vinkel på over 360◦ skal forstås som at punktet
P kører mere end en hel omgang rundt på enhedscirklen, men at
cosinus og sinus stadig bare skal være koordinaterne til det punkt
hvor P „lander“ på enhedscirklen. På den måde vil en vinkel på 410◦
f.eks. se ud på præcis samme måde som en vinkel på 50◦ når den
indtegnes, og derfor er cosinus og sinus til 410◦ præcis det samme
som til 50◦ .
Tilsvarende bestemmer vi at en negativ vinkel bare skal forstås
som at P kører den modsatte vej (altså i urets retning) rundt på
enhedscirklen.
På den måde bliver f.eks.
sin(−90◦ ) = sin(270◦ ) = sin(630◦ ) = −1
(Kig selv efter på enhedscirklen!)
side 7
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Øvelse 2
Beregn følgende:
cos(−36000◦ )
Omløbsretning
Bemærk den lille detalje at negative vinkler svarer til at punktet P
bevæger sig rundt om enhedscirklen i urets retning — mens positive
vinkler svarer til en bevægelse imod urets retning.
Dette er en lidt forvirrende detalje som man ganske enkelt skal
vænne sig til. (Det er i virkeligheden uret som går den forkerte vej
rundt.) Vi indrammer det lige som en definition:
Definition 2
I matematik bruges udtrykket positiv omløbsretning om en cirkulær bevægelse som bevæger sig imod urets retning.
3.3
Egenskaber ved sinus og cosinus
Hvis du har forstået definition 1 er det ikke noget problem at indse
følgende egenskaber ved cosinus og sinus:
• cosinus og sinus giver altid værdier mellem −1 og 1.
• Hvis man kender cos(v) eller sin(v) til en vinkel v, så er der
uendeligt mange muligheder for hvad v kan være. Som regel4
vil to af disse muligheder ligge mellem 0◦ og 360◦ .
4
Den eneste undtagelse er hvis den kendte værdi af cos er −1 eller den kendte
værdi af sin er 1 eller −1
side 8
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
• Hvis en vinkel er mellem 0◦ og 180◦ (som f.eks. vinkler i en
trekant), og man kender cosinus til vinklen, så er der kun én
mulighed for hvad den kan være.
• Hvis en vinkel er mellem 0◦ og 90◦ (som f.eks. vinkler i en
retvinklet trekant), og man kender sinus til vinklen, så er der
kun én mulighed for hvad den kan være.
Den næste sætning kan være enormt nyttig når man arbejder med
trigonometriske funktioner. Samtidigt er den utroligt nem at bevise
(det handler bare om at kigge grundigt på definitionen af cosinus og
sinus).
Navnet er ikke en fornærmelse, men derimod en beskrivelse af
hvordan mange matematikere har følt sig når de på et kritisk tidspunkt har glemt at bruge denne sætning.
Sætning 1 („Idiotformlen“)
For enhver vinkel v gælder at:
cos(v)2 + sin(v)2 = 1
Bevis. Eftersom punktet P (se definition 1) ligger på enhedscirklen,
vil dets koordinater opfylde enhedscirklens ligning:
x2 + y 2 = 1
Men P ’s koordinater er jo lige præcis cos(v) og sin(v).
4
Flere trigonometriske funktioner
Sinus og cosinus er langt de vigtigste af de trigonometriske funktioner.
Der findes dog hele fire andre, som blandt andet er nyttige når man
side 9
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
laver såkaldte integraler 5 . Den mest kendte af disse hedder tangens,
og den er faktisk navngivet af en dansk matematiker6 .
4.1
Tangens
Definitionen af tangens er meget simpel når først sinus og cosinus er
defineret:
Definition 3
Hvis v er en vinkel, hvor cos(v) 6= 0, så definerer vi:
tan(v) =
sin(v)
cos(v)
Bemærk at tangens ikke er defineret til vinkler hvor cosinus giver
nul! Derfor vil lommeregneren lave en fejlmeddelelse hvis man beder
den om f.eks. at beregne tan(90◦ ).
Øvelse 3
Angiv fire forskellige vinkler v hvortil tangens ikke er defineret.
4.2
Tangens og enhedscirklen
Selvom man ikke har brug for enhedscirklen til at definere tangens,
så har de to ting alligevel meget med hinanden at gøre. For at forstå
dette, skal vi læse figur 3 på en lidt anden måde.
5
Læs om integration ved substitution her
Tangens blev opfundet i Perserriget omkring år 800, men den blev først indført og navngivet i Europæisk matematik i 1583 af danskeren, Thomas Fincke.
6
side 10
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
2
1
tan(v)
v
-1
0
1
2
-1
Figur 5: Den geometriske betydning af tangens til en vinkel v
På figur 5 har vi indtegnet en vinkel v, hvor cos(v) ikke er nul, i
koordinatsystemet, og samtidigt forlænget vinklens venstre ben, indtil det skærer den lodrette tangent til enhedscirklen som er givet ved
ligningen:
x=1
Det viser sig at tan(v) angiver i hvilken højde at vinklens venstre
ben skærer denne tangent. (Deraf navnet „tangens“).
Hvis vi skal indse at dette er rigtigt, skal vi lige have cosinus og
sinus med ind i historien. (Se figur 6.)
Lad os kalde cos(v) for ∆x og sin(v) for ∆y. Nu kan vi nemlig se
hvad tan(v) betyder, nemlig:
tan(v) =
∆y
sin(v)
=
cos(v)
∆x
—Altså hældningen af vinklens venstre ben! Dermed er det klart at
side 11
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
2
1
tan(v)
sin(v)
v
-1
cos(v)
1
2
-1
Figur 6: Den geometriske betydning af tangens til en vinkel v
hvis man går 1 til højre i koordinatsystemet så vil venstre ben stige
med præcis tan(v) som vist på figur 5.
Dette indrammer vi lige i en sætning:
Sætning 2
Hvis v er en vinkel, hvor cos(v) 6= 0, så angiver tan(v) hældningen
af vinklens venstre ben, når den indtegnes i et koordinatsystem
som beskrevet i definition 1.
Øvelse 4
Gennemgå alle påstandene og tegn alle tegningerne i dette afsnit
i nogle tilfælde hvor vinklen v ikke er mellem 0◦ og 90◦ . (Prøv
side 12
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
f.eks. med v = 120◦ .) Læg mærke til at cosinus og/eller sinus i
disse tilfælde bliver negative!
4.3
Cotangens, Sekans og Cosekans
De sidste tre trigonometriske funktioner er næsten ukendte i Danmark, men de bruges flittigt i matematikundervisningen i f.eks. USA.
De hedder cot (udtales: cotangens), sec (udtales: sekans) og csc (udtales: cosekans), og de er defineret ved:
cot(v) =
1
tan(v)
sec(v) =
1
cos(v)
csc(v) =
1
sin(v)
Eftersom disse tre funktioner blot er reciprokke værdier af de
„rigtige“ trigonometriske funktioner, kan man godt argumentere for
at de ikke behøver af have navne. Vi skal da hellere ikke bruge dem
til noget som helst, og den eneste grund til at vi nævner dem her er
at de ofte findes som taster på amerikanske lommeregnere.
side 13
c
MatBog.dk
5
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Retvinklede trekanter
Vi fortsætter med at vise hvordan de trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens giver en sammenhæng mellem vinkler og sider
i en retvinklet trekant.
Husk at Pythagoras´ sætning giver en sammenhæng mellem de
tre sider. Dermed kan den bruges til at finde en af siderne hvis man
kender de to andre.
De sammenhænge vi nu skal bevise handler alle tre om en vinkel
og to af siderne. Derfor kan de bruges til at bestemme enten en sidelængde (hvis man i forvejen kender en sidelængde og en vinkel) eller
en vinkel (hvis man i forvejen kender to sidelængder)7 .
Sætning 3
Hvis A er en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant, a er
længden af den katete som står modsat A, b er længden af den
katete som udgår fra A og c er længden af hypotenusen (se figur
7), så er:
b
cos(A) =
c
a
sin(A) =
c
a
tan(A) =
b
Bevis. Vi starter med at skalere den givne trekant, idet alle sidelængderne divideres med c. Dermed opstår en trekant som er ensvinklet
med den første, men hvor hypotenusen har længde 1 (se figur 8).
Denne trekant indtegnes nu i koordinatsystemet, sådan at vinklen
A placeres i origo, og den hosliggende katete lægges ud langs x-aksen.
7
Se nogle eksempler på problemløsning i retvinklede trekanter her
side 14
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
c
A
a
b
Figur 7: Navngivning af sider og vinkel i sætning 3
1
A
a/c
b/c
Figur 8: Den skalerede trekant fra sætning 3
På den måde passer tegningen perfekt sammen med enhedscirklen (se
figur 9).
Hvis vi sammenholder figur 9 med definitionen af sinus og cosinus
(se f.eks. figur 6), er det klart at:
cos(A) =
side 15
b
c
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
1
a/c
A
-1
1
b/c
-1
Figur 9: Den skalerede trekant indtegnet i koordinatsystemet
og
a
c
Den sidste påstand er bare lidt brøkregning:
sin(A) =
tan(A) =
sin(A)
=
cos(A)
a
c
b
c
=
a c
a
· =
c b
b
Bemærkninger
• Bemærk at man altid kan få en retvinklet trekant med en given
vinkel til at vende sådan som det er vist på figur 7 alene ved at
dreje og eventuelt spejle den givne trekant. — Altså med den
rette vinkel nederst til højre og den angivne vinkel nederst til
venstre.
side 16
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
• Det er en god ide at lære sætning 3 udenad, uden at læse bogstaverne. Således bør man huske de tre påstande som følgende:
– Cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den „hosliggende“ katete divideret med hypotenusen.
– Sinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den „modstående“ katete divideret med hypotenusen.
– Tangens til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den
„modstående“ katete divideret med den „hosliggende“.
• Bemærk at ordene „hosliggende“ og „modstående“ ovenfor fortæller hvordan den omtalte katete ligger i forhold til den omtalte vinkel. Man kan således først benytte disse to ord når man
har besluttet hvilken vinkel man vil kigge på.
5.1
Inverse trigonometriske funktioner
Ofte står man i en situation8 , hvor man kender værdien af enten
sinus, cosinus eller tangens til en vinkel, men vi mangler at vide hvad
selve vinklen er.
Hvis man forestiller sig de trigonometriske funktioner som nogle
„maskiner“ der beregner et tal hver gang man propper en vinkel ind
i dem, så svarer vores situation til at der er kommet et tal ud af en af
disse maskiner, men vi har „glemt“ hvilken vinkel der blev proppet
ind.
Løsningen på problemet svarer til at man tager det tal som er
kommet ud, og kører det baglæns igennem maskinen, sådan at den
oprindelige vinkel bliver gendannet.
De „baglæns“ udgaver af de trigonometriske funktioner kaldes de
inverse trigonometriske funktioner, og de skrives som:
sin−1
8
Se nogle konkrete eksempler her
side 17
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
cos−1
og
tan−1
(Man læser dem som f.eks. „sinus i minus første“ eller „invers sinus“.)
Hvordan disse „baglæns“ funktioner er defineret skal vi ikke komme ind på her9 . I stedet vil vi blot nævne at de findes som knapper
på de fleste lommeregnere, og give et eksempel på hvordan de virker:
Eksempel 2
En vinkel v fra en retvinklet trekant opfører sig sådan at:
cos(v) =
2
3
For at beregne selve vinklen, bruger vi den inverse cosinus:
−1
v = cos
2
≈ 48,19◦
3
(Beregn selv cosinus til denne vinkel og se at det passer.)
Advarsel!
Inden du kaster dig ud i at bruge de inverse trigonometriske funktioner, så bør du lige huske hvad vi opdagede i afsnit 3.3:
To forskellige vinkler kan godt give den samme værdi
af cosinus, sinus og tangens!
Heldigvis er det sådan at hvis en vinkel er mellem 0◦ og 90◦ , og
man kender værdien af enten cosinus, sinus eller tangens til denne
9
Det kræver nemlig at man ved lidt mere om funktionsbegrebet. Du kan læse
om konstruktionen af de inverse trigonometriske funktioner her
side 18
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
vinkel, så er der kun en mulighed for hvad den kan være. —Og det er
denne mulighed som de inverse trigonometriske funktioner beregner.
Moralen er derfor:
Så længe vi arbejder med vinkler fra retvinklede
trekanter, så kan vi uden problemer bruge de inverse
trigonometriske funktioner som baglæns udgaver
af de trigonometriske funktioner.
6
Radianer
Vi slutter med en definition, nemlig af det såkaldte radiantal for en
vinkel. Det viser sig at „grader“ slet ikke er den bedste måde at angive
størrelsen af en vinkel på. Hvis man tænker lidt over det, så er det
egentlig ret tilfældigt10 at „en hel omgang“ lige præcis skal angives
med tallet 360 og at „en ret vinkel“ skal angives med tallet 90.
Vi vil derfor indføre en ny måde at „måle“ vinkler på. I første
omgang virker den nok mindst lige så tilfældig som gradtallet, men
det viser sig senere11 at det er den helt rigtige måde, fordi vi hermed opnår det helt rigtige forhold mellem størrelsen af den variable
(vinklen) og funktionsværdierne af de trigonometriske funktioner.
6.1
Radiantallet for en vinkel
Babylonerne vedtog engang for 3500 år siden at „en hel omgang“
skulle skrives som:
360◦
10
Den historiske forklaring har noget at gøre med at de gamle Babylonere havde
lidt af en fetish med tallet 60 (måske fordi det kan deles med både 2, 3, 4, 5 og
6 uden at man behøver at bruge brøker).
11
Mere præcist: I det øjeblik vil begynder at behandle de trigonometriske funktioner som funktioner. Du kan læse om de trigonometriske funktioner i forbindelse
med funktionsbegrebet her
side 19
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Dermed var det logisk hvordan man skulle angive dele af en hel omgang. F.eks. skulle en kvart omgang (også kendt som en ret vinkel)
skrives som en fjerdedel af 360◦ , altså 90◦ .
På præcis samme måde vil vi nu lave en helt anden beslutning,
nemlig at „en hel omgang“ skal skrives som:
2π
— altså et irrationelt tal som cirka er lig 6,28. Således skal „en halv
omgang“ fremover skrives som halvdelen, altså:
π
— og en ret vinkel skal skrives som:
π
2
Når vi angiver vinkler på denne måde, siger man at vinklen er „angivet i radianer“ eller at vi oplyser vinklens „radiantal“.
Bemærk at der ikke er noget symbol som betyder „radianer“. Man
angiver slet og ret et tal, og siger at dette er vinklens størrelse. På
den måde vil vi fremover f.eks. oplyse at v er en vinkel, og at
v=
π
4
(Kan du allerede se hvor stor denne vinkel er?)
6.2
Omregning mellem grader og radianer
Skulle man være uheldig at få oplyst en vinkel „på den forkerte måde“
er det heldigvis nemt at omregne mellem gradtal og radiantal for en
vinkel.
side 20
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Sætning 4 (Omregning mellem radianer og grader)
Hvis v er en vinkel som er angivet i grader, så får man dens
radiantal ved at dividere gradtallet med 360 og derefter gange med
2π.
Hvis v er en vinkel som er angivet i radianer, så får man dens
gradtal ved at dividere med 2π og gange med 360.
Prøv selv efter med vinklerne: 360◦ , 180◦ og 90◦ . Bliv ved indtil
du kan se systemet.
Øvelse 5
Tag en god, gammeldags vinkelmåler (eller bare en tegning af
en — se figur 10) hvor vinklerne er angivet i grader. Slet alle
disse vinkelmål og marker i stedet nogle udvalgte vinkler, angivet
i radianer.
, 3 og
Sørg for at følgende vinkler er markeret: 0, π4 , 1, π2 , 2, 3π
4
π.
6.3
Radiantal og enhedscirklen
Det første tegn på at radiantallet er den „rigtige“ måde at angive
vinkler på er at det passer fint sammen med enhedscirklen.
Enhedscirklen har jo radius 1, og derfor er dens omkreds lig med:
2 · π · 1 = 2π
— Og det er lige præcis dette tal som vi har sat til at være radiantallet
for „en hel omgang“.
En "halv omgang"betegnes med halvdelen, altså π, og dette er
sjovt nok halvdelen af enhedscirklens omkreds. Hvis man tænker lidt
mere over dette, indser man følgende:
side 21
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Figur 10: En vinkelmåler til brug i opgave 5
Sætning 5
En vinkels radiantal angiver hvor stor en bue på enhedscirklen den
spænder over (se figur 11)
6.4
Det hele om igen . . . ?
Nu har vi totalt omdefineret hvordan vinkler måles og angives. Betyder det så at alt hvad vi hidtil har sagt om vinkler skal laves om?
Svaret på dette spørgsmål er heldigvis: „Nej, overhovedet ikke!“
Hvis man kigger grundigt efter i definitionerne og resultaterne
i dette dokument, så er de fuldkommen uafhængige af hvordan man
side 22
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
1
Buelængde: x
-1
1
2
-1
Figur 11: En vinkel med radiantal x, indtegnet i koordinatsystemet
måler vinkler. En vinkel er jo præcis den samme, uanset om vi kalder
den 90◦ eller som π2 , bare vi er enige om at det er en ret vinkel.
Det eneste problem som kommer ud af det nye vinkelbegreb er
altså at man altid skal gøre det tydeligt hvilket af de to vinkelbegreber
man arbejder med, når man kommunikerer. Men hvis bare man er
omhyggelig med at skrive „grader“–tegnet hver eneste gang en vinkel
er angivet i grader, så er der ingen risiko for misforståelser.
6.5
Lommeregnere og vinkler
En lommeregner kan beregne cosinus, sinus og tangens til vinkler. Og
den kan udregne vinkler ud fra deres cosinus–, sinus– og tangensværdier ved hjælp af de inverse trigonometriske funktioner. Men det er
i begge tilfælde ekstremt vigtigt at fortælle lommeregneren hvordan
vinkler skal angives.
Desværre har de fleste lommeregnere ikke mulighed for at skrive
„grader“–tegnet. I stedet har de en indstillingsmulighed, hvor man
kan fortælle om vinkler skal angives i grader eller i radianer. Hvis
man her indstiller lommeregneren til „grader“, så vil lommeregneren
side 23
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
opfatte alle tal som gradtal for vinkler når man bruger de trigonometriske funktioner, og den vil oplyse gradtallet for vinkler når man
bruger de inverse trigonometriske funktioner.
Man man lave frygteligt mange sjove fejl hvis man ikke holder styr
på om ens lommeregner måler vinkler i grader eller radianer. Derfor
fremhæver vi følgende gode råd:
Hver eneste gang du rører ved tasterne
cos, sin, tan, cos−1 , sin−1 eller tan−1
på lommeregneren, så kig efter
om den regner i grader eller radianer!
De fleste lommeregnere har heldigvis deres vinkelindstilling oplyst i displayet hele tiden. På engelsksprogede lommeregnere står der
„deg“ (forkortelse for „degrees“) hvis den regner i grader, og „rad“
(forkortelse for „radians“) hvis den regner i radianer. På dansksprogede lommeregnere er det temmeligt forskelligt hvordan vinkelindstillingen angives. For en sikkerheds skyld giver vi her en mere sikker
metode:
Sætning 6
Hvis du vil tjekke om en lommeregner er indstillet til at måle
vinkler i grader eller radianer, så bed den om at beregne cosinus
til enten:
360
eller
30 · π ≈ 94,2477796
Hvis den førstnævnte beregning giver 1, så regner lommeregneren
i grader. Hvis den sidstnævnte beregning giver 1, så regner lommeregneren i radianer.
side 24
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Øvelse 6
Udregn både:
sin(12◦ )
og
sin(12)
på en lommeregner. (Eftersom den sidste vinkel ikke er angivet
med et „grader“-tegn, skal den forstås som et radiantal.)
Øvelse 7
Udregn både:
tan
◦ π
4
og
π
4
på en lommeregner. (Eftersom den sidste vinkel ikke er angivet
med et „grader“-tegn, skal den forstås som et radiantal.)
tan
Øvelse 8
En lommeregner har oplyst at
cos−1
1
= 1,0471975512
2
Hvilken vinkelangivelse er lommeregneren indstillet til?
Den næste opgave er meget, meget svær. Så hvis du ikke trænger
til udfordringer, så spring den over.
side 25
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Øvelse 9
En vinkel på 0◦ er præcis den samme som en vinkel på 0 (underforstået: radianer). Derfor vil en lommeregner udregne:
cos(0) = 1
uanset om den er indstillet til at angive vinkler i grader eller
radianer.
1. Findes der andre tal end 0 som giver præcis den samme
værdi af cosinus, uanset om lommeregneren er indstillet til
at måle vinkler i grader eller radianer?
2. Findes der andre tal end 0 hvor cosinus giver værdien 1,
uanset om lommeregneren er indstillet til at måle vinkler i
grader eller radianer?
6.6
Lidt radianmagi
Hvis du stadig synes at radianbegrebet er fjollet, så prøv følgende
lille eksperiment: Vi minder lige om definitionen af fakultet–tegnet:
Definition 4
Hvis n er et naturligt tal, så er n! (læses: „n-fakultet“) defineret
som:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1
F.eks. er:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Her kommer eksperimentet:
side 26
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Øvelse 10
Et eksperiment med radiantal:
1. Vælg en vinkel (frit valg!) og lad x være vinkels radiantal.
2. Udregn cos(x) og sin(x). (Husk at indstille lommeregneren
til at regne i radianer!)
3. Udregn følgende:
1−
1 2 1 4 1 6 1 8
x + x − x + x − ...
2!
4!
6!
8!
(Indse mønstret og tag så mange led med som du har lyst
til.)
4. Udregn følgende:
x−
1 3 1 5 1 7 1 9
x + x − x + x − ...
3!
5!
7!
9!
(Indse mønstret, og tag så mange led med som du har lyst
til.)
5. Hvordan tror du at lommeregneren beregner de trigonometriske funktioner?
6.7
Nygrader
Nogle totalt mærkelige mennesker fra Frankrig indførte på et tidspunkt omkring 1970 endnu et vinkelbegreb, nemlig de såkaldte nygrader. Ideen var at „en hel omgang“ skulle angives med tallet
400
og at en ret vinkel således skulle angives med tallet 100.
side 27
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Dette er en kandidat til den dummeste og mest ubrugelige definition der nogensinde er lavet i matematik. Det bliver endnu værre af
at „nygrader“ på engelsk (og fransk) forkortes: grad, hvilket minder
frygteligt meget som det danske ord „grader“ (der på både engelsk
og fransk forkortes: „deg“).
Forvirret? Det kan jeg godt forstå! Dette er grunden til at man
som regel vælger latinske eller græske navne til matematiske begreber,
fordi sådanne ord lyder næsten ens på alle sprog. — Og grunden til
at man sjældent lader franskmænd navngive noget som helst. :)
Nygrader bliver stort set ikke brugt nogen steder (der findes dog
undtagelser f.eks. i visse spejderbevægelser og i det franske artelleri).
Men nogle lommeregnere har denne tredie indstillingsmulighed for
vinkelangivelse, så vi nævner at den findes for at undgå forvirring i
forbindelse med den slags lommeregnere.
Hvis din lommeregnere har en indstilling for vinkler
der hedder „grad“, så lad være med at tro
at det betyder „grader“!
Kig i stedet på sætning 6 hvis du vil være sikker på hvilken indstilling din lommeregner bruger.
side 28