1. No category

Udgave 2.1
Differentialregning
Infinitesimalregning
Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et
yderligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel II
side 49 til 100 i Vejen til matematik B2. Der er endvidere stof fra Vejen til
matematik A2 bogen side 81-87
Sct. Knud Gymnasium
Henrik S. Hansen
Indhold
Infinitesimalregning ............................................................................................................................. 1
Overgang fra sammenhænge til væksthastighed .................................................................................. 1
Funktionstilvækst ............................................................................................................................. 2
Grænseværdi ........................................................................................................................................ 2
Sekant ................................................................................................................................................... 3
Differentialkvotient (differentiering) ................................................................................................... 3
Definition af differentialkvotient ................................................................................................. 4
Sætning: Differentialkvotienten af en konstant ........................................................................... 4
Sætning: Differentialkvotienten af en potens............................................................................... 5
Sætning: Differentialkvotienten for en konstant gange funktion ................................................. 6
Sætning: Sumregel/differensregel for differentialkvotienten ...................................................... 7
Sætning: Differentialkvotienten for et produkt (Produktregel).................................................... 8
Sætning: Differentialkvotienten for en brøk (Brøkregel) ............................................................ 9
Sætning: Differentialkvotienten for en sammensat funktion ..................................................... 10
Differentiering af grundfunktioner ................................................................................................. 11
Tangent............................................................................................................................................... 11
Sætning: Tangentens ligning .......................................................................................................... 11
Monotoniforhold (monotoniintervaller) ............................................................................................. 12
Optimering...................................................................................................................................... 13
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Infinitesimalregning
Infinitesimalregning er en gren inden for matematikken, grundlagt af Isaac Newton og Gottfried
Leibniz med skabelsen af differentialregning. Der var en lang kontrovers om, hvorvidt det var
Newton eller Leibniz, der skabte infinitesimalregningen. Den almindelige konsensus er, at begge
opdagede den uafhængigt af hinanden, men at Newton kom først, og Leibniz publicerede først.
Infinitesimalregning beskæftiger sig med "uendeligt små" ændringer af kontinuerte funktioner, dvs.
matematiske funktioner, der beskriver noget, der ændrer sig "glat". Et eksempel er bevægelse; man
kan ikke bevæge sig fra et sted til et andet uden at have været alle steder imellem.
For at forstå begrebet "uendeligt lille" (differentielt) kan man som analogi betragte fotografering: Vi
tænker på et fotografi som et billede taget på et bestemt tidspunkt, men i virkeligheden er billedet
eksponeret i et kort tidsrum. Jo kortere man kan gøre eksponeringstiden, jo mindre ser man rystelser
etc. Hvis eksponeringstiden kunne gøres uendelig kort, ville billedet blive perfekt.
Infinitesimalregningen kan groft sagt opdeles i to intimt relaterede discipliner: Differentialregning
og integralregning. Vi vil i det efterfølgende kigge nærmere på differentialregningen.
Overgang fra sammenhænge til væksthastighed
Vi har tidligere set på begrebet funktion på baggrund af
sammenhænge mellem den afhængige variabel og den
uafhængige variabel. Hertil kiggede vi lidt på
monotoniintervaller.
En bestemt vækst f(x) kunne være den som vist på
figuren. Det ses at væksten (i graf området) i starten er
aftagende, derefter voksende for til sidst igen at være
aftagende. Vi nævnte tidligere begrebet
monotoniintervaller i denne sammenhæng.
Der efter koblede vi begreberne lineærvækst,
eksponentielvækst og potensvækst på specielle
sammenhænge, som var monotone.
y
40
36
32
28
24
20
16
12
(3.28256, 38.729)
f(x)
P
8
4 (.050773, 4.97474)
-0.75
-4
-8
0.75 1.5
2.25
3
3.75
x
Nu går vi skridtet videre og kigger på hvor hurtigt at funktioner/sammenhænge vokser til bestemte
tidspunkter. (video)
Det kunne være interessant at spørge hvor stor væksten var ved punktet P altså ved x=2.
Løst sagt: Jo større væksthastigheden er i et punkt, jo stejlere er kurven i det videre forløb.
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
1
Funktionstilvækst
Vi får brug for begrebet funktionstilvækst for en funktion ud fra
et punkt x0 i definitionsmængden. Et punkt lidt til højre eller
venstre for x0 på x-aksen kaldes et nabopunkt til x0. Et sådan
(
punkt betegnes
, hvor
er en MEGET lille størrelse.
)
Funktionstilvæksten er dermed givet som
(
)
( )
( )
Tilvæksten kan være negativ, positiv eller 0 afhængig af grafens
udseende omkring punktet i x0.
Grænseværdi
Grænseværdi har været et centralt begreb i matematikken siden infinitesimalregningens opståen i
slutningen af det 17. århundrede. Man siger, at en talfølge x1,x2,...,xn,... har grænseværdien x, hvis
tallet xn er vilkårligt tæt på x, blot tallets nummer n er tilstrækkelig højt. Dette skrives sædvanligvis
limn→∞xn = x under brug af det latinske ord limes 'grænse'.
Kig på ( )
y
, hvor 0 < x og bestem grænseværdien når
10
9
→
.
8
Denne bliver
( )→
→
. Kan også tit se skrevet som
→
7
6
5
4
3
Her bliver akserne asymptoter til grafen.
f(x) = 1/x
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
I sammenhæng med differentialregning, så skal man kunne finde en konkret grænseværdi fra begge
sider for at en kontinuert funktion kan kaldes differentiabel. Med andre ord: funktionen skal være
sammenhængende og glat. (se evt noterne om funktioner)
Lav øvelse 1.1 side 53 og side 1 i ”tillæg til differentialregning.pdf”
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
2
Sekant
En sekant er i matematikken en ret linje, der skærer en kurve. Her bruger vi den til at bestemme
tangenten og dermed hældningen/differentialkvotienten i et punkt .
En ret linje kan bestemmes ud fra to punkter,
men en tangent rører jo kun i ét punkt på
grafen!!
Hvis vi benytter egenskaben for en sekant og
vores nye viden om grænseværdier, så kan vi
bestemme tangentens hældning til en given xværdi (og senere tangentens ligning i punktet
P). (video)
y
39
Q1
37.5
36
g(x)
Q2
34.5
33
f(x)
31.5
30
28.5
Vi tager fat på vores vækst fra tidligere og
zoomer lidt ind omkring x=2 (altså punktet P)
Y = 15.X + -3. h(x)
(3.28256, 38.729)
27
P
25.5
24
Udgangspunktet er P og Q1. Her udfra kan g(x)
22.5
bestemmes. Nu holdes P fast og Q1 flyttes over
1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 x i
Q2 du har vi h(x). Ved at lade Q2 gå mod P, vil
den beregnede linje nærme sig tangenten i P (her
).
Se illustrationen af ovenstående i geometer. (programmet)
Lav opgave 51 side 96 og opgave 52 side 96
Differentialkvotient (differentiering)
Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel ændres, hvis
der sker små ændringer i den uafhængige variabel. Forholdet mellem ændringerne i hhv. den
afhængige og den uafhængige variabel kaldes differenskvotienten, og spiller en central rolle i
differentialregningen. Differenskvotienten er funktionstilvæksten divideret med forskellen i x. Når
afstanden i x er uendelig lille vil differenskvotienten være lig med differentialkvotienten.
Differentialkvotienten er hældningen på tangenten i punktet .
Lav opgaver i ”tillæg til differentialregning.pdf”
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
3
Definition af differentialkvotient
En kontinuert* funktion f siges at være differentiabel i et tal
(
)
(
)
, har en grænseværdi for
, hvis differenskvotienten
→
Denne grænseværdi kaldes funktionens differentialkvotient i
og betegnes
( ) eller
*En graf kaldes kontinuert hvis dens graf er sammenhængende. Se side 53 for yderligere info.
Hvis vi kigger på hvordan en sekant beregnes, bliver det tydeligere, at differenskvotienten
(hældningen på sekanten) vil ”blive det samme som” (gå imod) differentialkvotienten
(hældningen på tangenten) , når
→ .
Når en funktion differentieres så bestemmes en funktion til bestemmelse af
differentialkvotienten til givne x-værdier.
I praksis benyttes tretrinsreglen til at bestemme differentialkvotienten. (video)
1. Bestem differenskvotienten
(
)
(
)
2. Reducer udtrykket
3. Bestem, hvis det er muligt, grænseværdien for
Der vil altså gælde jf. ovenstående at
→
for
→
for
→
Gennemgå side 59
Lav opgave 53 side 96, opgave 54 side 96, opgave 55 side 96 og opgave 56 side 96
I de næste sætninger kunne vi lige så godt erstatte med , da det vil gælde for alle x i
definitionsmængden. Endvidere fordi, at differentiering resulterer i en funktion (den afledede
funktion af f(x)), som kan bestemme differentialkvotienter til givne x-værdier. Beviserne føres dog
med (for at minde mest mulig om bogen).
Lad os starte fra en ende af, og kigge på polynomier hvor vi lader graden stige løbende. Her kigger
vi først på en konstant.
Sætning: Differentialkvotienten af en konstant
Differentialkvotienten af en konstant k er 0:
( )
( )
Bevis (video)
Hvis vi tegner den grafisk, kan vi se at den ikke vokser på noget tidspunkt, så intuitivt må
differentialkvotienten være 0 uanset hvor vi er på grafen
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
4
( )
, hvor k er konstant
Bruger tretrinsreglen
(
1.
)
(
)
2.
(
3.
)
→
Hermed bevist
Sætning: Differentialkvotienten af en potens
Vi kigger nu på polynomier, hvor vi starter med den lineære som den første.
Differentialkvotienten af en potens er for alle reelle tal n givet ved
( )
( )
Bevis (video)
Funktionen ( )
er en potensfunktion.
Lad n=1 (her har vi et førstegradspolynomium)
Nu har vi funktionen ( )
dermed skal
( )
Bruger tretrinsreglen
(
1.
)
(
)
2.
( )
3.
→ , hermed bevist med n=1
Lad nu n=2 (her har vi et andengradspolynomium)
Nu har vi funktionen ( )
dermed skal
( )
Bruger tretrinsreglen
(
1.
(
2.
3.
)
)
(
(
)
→
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
)
(
)
(
)
(
( )
)
→ , hermed bevist med n=2
5
Lad nu n=3
Nu har vi funktionen ( )
( )
dermed skal
Bruger tretrinsreglen
(
1.
(
2.
)
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)(
)
(
( )
→
3.
)
→ , hermed bevist med n=3
Det gælder for alle reelle n. NB:
HUSK at alle rødder kan skrives som potenser √
, og dermed løses differentialkvotienter
for rødder som ved potenser. Eks. kan √
. Ligeledes kan
Hermed bevist
Lav øvelse 3.6 side 64, opgave 58 side 96 og opgave 59 side 96
Sætning: Differentialkvotienten for en konstant gange funktion
Hvis g er en differentiabel funktion, og k er konstant, gælder der at:
( )
( )
( ) så bliver
( )
Bevis (video)
Vi har ( )
( )
Bruger tretrinsreglen
(
1.
(
2.
3.
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Da g er differentiabel vil den have en grænseværdi for
→
( )
( )
( )
→
derfor vil vi få
→ ,
Hermed bevist. (kobling af sætninger)
Lav øvelse 3.9 side 66
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
6
Sætning: Sumregel/differensregel for differentialkvotienten
Hvis h og g er differentiable funktioner, så gælder der at:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Bevis (video)
Vi har ( )
( )
( )
Bruger tretrinsreglen
(
1.
(
(
(
(
) ( (
Tilsvarende vil gælde for ( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
)
(
))
→
( )
)
)
Da g og h er differentiable vil de have en grænseværdi for
( )
)
(
)
)
→
)
(
(
2.
3.
)
( )
(
)
derfor vil vi få
→
( )
Hermed bevist
y
Nu kan vi igen vende blikket mod vores graf i starten og
væksten i x=2.
Der gælder at ( )
35
30
25
20
15
10
5
Vi bestemmer den afledede funktion jf. ovenstående
sætninger ( )
Når vi så spørger efter væksten til x=2 bestemmes blot
( )
Læg mærke til at den afledede er en funktion og
differentialkvotienten er et tal.
-0.75
-5
-10
-15
-20
-25
f(x)
P
(2,15)
0.75 1.5
2.25
3
3.75 x
f ´ (x)
Vi kan tydeligt se at når f´(x) er negativ så er f(x) aftagende
og når f´(x) er positiv er f(x) voksende. (video)
Se en illustration af ovenstående i geometer. (programmet)
Når vi senere skal kigge på monotoniintervaller igen, udnytter vi at f´(x) kan afgøre om f(x) er
voksende eller aftagende.
Lav øvelse 3.12 side 67, opgave 60 side 96, opgave 61 side 96 og opgave 62 side 96
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
7
Sætning: Differentialkvotienten for et produkt (Produktregel)
( ) ( ) differentiabel og
Hvis h og g er differentiable, er ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Bevis (video)
Vi bruger tretrinsreglen på ( )
(
(
3.
)
( )
)
(
( )
( )
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)( (
)
( ))
( )( (
)
( ))
(
)( (
)
( ))
( )( (
)
( ))
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
(
)
Man kan vise at grænseværdien for et produkt er produktet af grænseværdierne. Vi kan
derfor bestemme grænseværdierne for hvert led og hver faktor for sig.
Da h og g er differentiable er grænseværdierne for brøkerne ( ) og ( ) når
→
) → ( ) når
Da g er kontinuert vil (
→
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
→ ( ) ( )
når
→
Hermed bevist.
Lav øvelse 4.5 side 82 A2, opgave 75 side 113 A2
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
8
Sætning: Differentialkvotienten for en brøk (Brøkregel)
( )
, er ( )
Hvis h og g er differentiable og ( )
( )
( )
differentiabel
( )
( )
( )
( ( ))
( )
Bevis: (video)
( )
( )
( )
kan omskrives til
( )
( )
( )
Nu kan vi benytte produktreglen til at differentiere.
Nu isolerer vi
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )) ( )
( )
( )
( )
( ( ))
( )
Hermed bevist
Lav øvelse 4.8 side 83 A2, opgave 76 side 113 A2
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
9
Sætning: Differentialkvotienten for en sammensat funktion
Hvis h og g er differentiabel, er ( )
( ( )) differentiabel:
( )
( ( ))
( )
Bevis: (video)
Vi benytter tretrinsreglen på ( )
Hvis vi forudsætter, at (
( (
)
))
)
( )
( )
kan vi lave følgende omskrivning:
( ( ))
( (
))
( (
))
( ( ))
(
(
)
)
( )
( )
( (
))
)
( ( ))
( )
(
)
( )
(
Tilvæksten (
Da (
( ( ))
(
)
)
( ( ))
( ) kalder vi for k og ( ) kalder vi for
(
)
( )
(
Da g er differentiabel vil →
( )
→ ( )
( )
)
.
( )
( )
samtidig med at
→
( )
( ( ))
(
)
( )
vil vi få følgende grænseværdi
( )
( )
( ( ))
→
Hermed bevist.
Lav øvelse 4.12 side 85 A2, opgave 77 side 113 A2 og opgave 78 side 113 A2
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
10
Differentiering af grundfunktioner
I bogen side 69 B2 eller 79 A2 ses en tabel over differentiering af nogle grundformler. Der vil ikke
blive ført bevis for disse.
Lav opgave 62, opgave 63 (via TII) og opgave 70
Tangent
Nu har vi kigget på den afledede funktion, som til en bestemt -værdi gav en differentialkvotient.
Det kan dog i mange henseender være praktisk at kunne bestemme tangentens ligning. Se
Illustration af en tangent i geometer. (programmet)
Hældningen har vi allerede beskæftiget os med, nemlig differentialkvotienten.
Sætning: Tangentens ligning
Hvis f(x) er differentiabel og vi har
( )(
( )
)
, så vil tangenten i dette punkt have ligningen.
( )
Bevis (video)
y
( )) har tangenten hældningen
I punktet (
definitionen af differentialkvotienten.
( ) jf.
f´(x)
(x0,f´(x0))
f(x)
Sætningen: En ret linje, der har hældningen a og går gennem et
( )) har ligningen ( )
(
)
punkt (
( )
Giver os nu: ( )
(
)
( )
)
( )(
x
x0
( )
(x0,f(x0))
tangent
Hermed bevist
Nu kan vi igen vende blikket mod vores graf i starten og bestemme tangentligningen i x=2.
Hældningen bliver ( )
og funktionsværdien ( )
Tangentligningen bliver ( )
y
-0.5
)
y
34
t(x) = 15x-3
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
(
f(x)
t(x) = 15x-3
f(x)
32
30
P
P
28
26
24
22
20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
18
1.5
1.75
2
2.25
2.5 x
Lav øvelse 7.4 side 83, opgave 75 side 98, opgave 77 side 98 og opgave 78 side 98
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
11
Monotoniforhold (monotoniintervaller)
I noterne for funktioner gennemgik vi
monotoniintervaller og ekstremaer. Nu har vi fået et
nyt værktøj til at bestemme dette eksakt. Vi
foretager en monotoniundersøgelse.
Vi kan se en sammenhæng mellem ( ) og
grafen til højre.
( ) på
Funktionsværdierne for f´(x) er negative når ( ) er
aftagende og positive når ( ) er voksende.
Når ( )
har vi en vandret tangent og dermed
er væksten 0. (video)
y
(3.28, 38.729)
38.5
35
f(x)
31.5
28
24.5
21
17.5
14
10.5
7 (.05, 4.97)
3.5
-0.75
-3.5
0.75 1.5
(.05, 0.)
(3.28, 0)
2.25
3
3.75
x
f ´ (x)
Til bestemmelse af monotoniforhold i praksis
(monotoniundersøgelse):
( )
1.
Bestem den afledede funktion
2.
Løs
3.
Tegn fortegnslinje udfra resultaterne i (2.)
Bestem funktionsværdierne i intervallerne og angiv disse med et tegn som angiver om
de er voksende eller aftagende.
4.
Konklusion. Se nederst på side 86 i bogen.
( )
I vores tilfælde
1.
2.
3.
( )
( )
. Dette er et andengradspolynomie og har maks. to rødder.
Her er de tidligere bestemt til
( )
( )
( )
Så ser fortegnslinjen således ud
f´(x)
0
+
0
--------------------0,05----------------3,28-----------------> x
f(x)
min
max
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
12
4.
Konklusion
f(x) er aftagende på intervallet
f(x) er voksende på intervallet
f(x) er aftagende på intervallet
Der er et lokalt minimum i
Der er et lokalt maksimum i
med minimumsværdien (
med maksimumsværdien (
Denne funktion har ingen globale ekstremaer da ( ) →
og ( ) →
)
)
→
→
Lav øvelse 8.6 side 90, opgave 90 side 99, opgave 91 side 99 og opgave 96 side 99
Optimering
Tidligere i vores rapport og afleveringer har vi arbejdet med optimering. Nu kan vi via en
monotoniundersøgelse bestemme den optimale værdi.
Se eksempel 9.1 side 92
Lav opgave 100 side 100 og bestem minimale materialeforbrug i jeres rapport udfra
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
( )
13