1. No category

MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler
/ -transformationer
Rækkeudvikling
Rækkeudvikling
og
og
Fourieranalyse
Fourieranalyse
Engineering Mathematics for Electronic Engineers 1
Kursusoversigt:
MM 1:
Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Potensrække- og Taylorrækkeudvikling - Cauchy-Hadamards formel
MM 2:
(a) Potensrækkeudvikling og konvergensundersøgelse (afslutning)
(b) Periodiske funktioner, Approximation på basis af Fourier rækkebestemmelse
MM 3:
Fourier rækkeudvikling (fortsat), Lige og ulige funktioner
Periodicitetsændring: 2π til 2L – Intervalændríng fra L til perioden 2L
MM 4:
Bestemmelse af Fourierkoefficienter – afsluttende orientering efter MM3
Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Lige (cosinus) og ulige (sinus) symmetri. Foldningssætningen
MM 5:
Fourierrækker ift. Fourierintegraler ift. Fouriertransformation; /eksempler
Foldning; /eksempler
MM 6:
Fourier- og Laplacetransformation i s-planet, amplitude- og fasespektre
Sampling og periodicitet i tid <> Periodicitet og sampling i frekvens
Diskret Fouriertransformation (DFT) og Fast Fouriertransformation (FFT)
-------MM 7:
Repetition, opsamling og opgaveregning for minimodul 1-6
1
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Oversigt over dagens forelæsning – introduktionsdelen
Afsluttende bemærkninger om:
• betydningen af trigonometriske funktioners orthogonalitet
• periodeskift fra 2π til en vilkårlig periode/interval-længde 2L
• bestemmelse af Fourier koefficienter for lige og ulige funktioner
• Fourier rækkers sum og konvergens
2
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler
/ -transformationer
Trigonometriske
funktioners
orthogonalitet
3
Periodeskift
fra 2π til en vilk
årlig periode/interval
-længde 2L
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler
/ -transformationer
Fourierrækken:
Fourierrækken:
Fourierkoefficienter:
Fourierkoefficienter:
4
Periodeskift
fra 2π til en vilk
årlig periode/interval
-længde 2L
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler
/ -transformationer
2π-periode > 2L-periode:
cos(nx)  cos(
2

nx)  cos( nx)
2L
L
5
MM4:
/ -integraler
/ -transformationer
FourierFourier-rækker
koefficienter for lige
og ulige funktioner
Rækkeudvikling for lige og ulige funktioner:
g(x) = - g(-x)
g(x) = g(-x)
6
MM4:
/ -integraler
/ -transformationer
FourierFourier-rækker
koefficienter for lige
og ulige funktioner;
Periode: –L<x<L
7
MM4:
/ -integraler / -transformationer
FourierFourier-rækker
rækkers sum og konvergens
8
MM4:
/ -integraler / -transformationer
FourierFourier-rækker
rækkers sum og konvergens
9
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
10
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Oversigt over dagens forelæsning:
Fourier-rækker / -integraler / -transformation
• Intervalsammensætning for Fourierrækker
- udvidelse af intervallet L til perioden 2L
- Fourier cosinus rækker (lige) og Fourier sinus rækker (ulige)
• Fourier rækker <> Fourier integraler
- fra Fourier rækker til Fourier integraler
- anvendelser af Fourier integraler
- Fourier cosinus og Fourier sinus integraler
• Fourier cosinus og Fourier sinus transformationer
• Fourier transformation
(komplekse Fourier integraler)
- den Fourier transformerede samt dens inverse
• Foldningssætningen
11
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Halv-interval udvidelse
(udvidelse af intervallet L til perioden 2L)
12
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
13
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
14
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Fra Fourier rækker til et Fourier integraler
Fourierrækker er generelt beskrevet således:
n
n 

f ( x)  a 0    a n  cos
 x  bn  sin
 x
L
L

n 1 

15
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Til opstilling af Fourier-integralet anvendes
koefficientbestemmelsen fra Eulers formel:
16
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
n 
n

 x  bn  sin
 x
f ( x)  a 0    a n  cos
L
L

n 1 

n 

 x
f ( x)  a0    an  cos
L 
n 1 
Opstilling af
Fourier cosinus
rækker for ”lige”
funktioner
n 

 x
f ( x)    bn  sin
L 
n 1 
Opstilling af
Fourier sinus
rækker for ”ulige”
funktioner


17
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
18
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
Fra Fourier rækker til et Fourier integraler
Fourierrækker er generelt beskrevet således:
n
n 

f ( x)  a 0    a n  cos
 x  bn  sin
 x
L
L

n 1 

19
MM4:Fourier
Fourier-rækker
MM4:
Integraler / -integraler / -transformationer
20
MM4:Fourier
Fourier-rækker
MM4:
Integraler / -integraler / -transformationer
Fourier integralet
A( w) 
1


 f ( )  cos(w )d


B( w) 
1


 f ( )  sin( w )d

f ( x)   A( w)  cos( wx )  B( w)  sin( wx)dw
0
21
MM4:
Fourier-rækker
MM4: Fourier
Integraler / -integraler / -transformationer
Fourier Cosinus integraler og Fourier Sinus integraler
f(x) lige:
f(x) ulige:
22
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
23
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler / -transformationer
MM4:
Fourier
Transformation
Fourier Cosinus Transformation (af lige funktioner)
Fourier Cosinus integralet er udgangspunktet:
- normalt skrevet Fc(f) eller Fc(ω)
24
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler / -transformationer
MM4: Fourier
Transformation
Fourier Sinus Transformation (af ulige funktioner)
Fourier Sinus integralet er udgangspunktet:
- normalt skrevet Fs(f) eller Fs(ω)
25
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler / -transformationer
MM4: Fourier
Transformation
Fourier transformation
(med udgangspunkt i komplekse Fourier integraler)
(det reelle Fourier integrale)
(det komplekse Fourier integrale)
26
MM4:
Fourier-rækker
/ -integraler / -transformationer
MM4: Fourier
Transformation
Fourier transformation
(komplekse Fourier integraler)

1
F (iw) 
  f ( )  e iw d
2 
27
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
28
MM4:
Fourier-rækker / -integraler / -transformationer
MM4: Foldningssætningen
Foldning
Foldningssætningen (side 527)
29