1. No category

KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Oversigt over Modul D:
Funktioner af to variable
Forelæsning D1:
Funktioner af to variable
Grafer og partielle afledede
Matematik og databehandling 2012
• Graf og niveaukurve
Thomas Vils Pedersen
Institut for Matematiske Fag
• Partielle afledede og tangentplan
[email protected]
• Ekstremumsundersøgelse (maksimum og minimum)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
• Dobbeltintegraler
10
2
8
4
t
6
8
4
10
6
x
2
12
0
22. oktober 2012 — Dias 1/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Oversigt over i dag
1
Dias 2/38
Oversigt over Anvendelseseksempler i dag
Grafer og snitfunktioner
• Anvendelseseksempel D.1: BMI
2
Niveaukurver
• Anvendelseseksempel D.2: Temperatursvingninger i jord
3
R-funktionerne overflade, image og contour
• Anvendelseseksempel D.3: Stofskifte
4
Partielle afledede
Læs selv
• Anvendelseseksempel D.4: Isbjørne
5
Tangentplan
6
Praktiske oplysninger og kursusevaluering
• Anvendelseseksempel D.5: Kropsareal
• Anvendelseseksempel D.6: Kuldeindeks
Dias 3/38
Dias 4/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel D.1: BMI – regning
BMI(h, v ) =
Anvendelseseksempel D.1: BMI – graf
v
h2
Grafer for BMI med fast højde
Grafen for BMI
Hvordan regner man med sådan en funktion?
• Henrik P vejer
kg og er
Gæt fra tidligere år:
70
m høj. Hvad er hans BMI?
60
50
1.68
98.5
34.89
højde
vægt
BMI
1.80
75
23.14
1.70
81
28.03
1.58
75
30.04
40
30
20
10
0
• Fætter Guf er 1.30 m høj og har et BMI på 35. Hvor meget vejer han?
v
1
1.5
h
2
1 .3 2
20
= 35 dvs v = 35 · 1.3 = 59.15
v
BMI(1.65, v ) = 1.65
2 = 0.37 v
Aktivering
50
100
v
150
200
Alle disse sættes sammen
BMI(1.8, v ) = 1.v82 = 0.31 v
Modellen er 1.80 m høj og vejer 45 kg. Modellens mor ser gerne et BMI på
20. Hvor meget skal hun tage på? [Modellen altså; ikke hendes mor ...]
Dias 5/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 6/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel D.1: BMI – med vægten fastholdt
Definition D.1.1
Grafen for en funktion af to variable
• For hver værdi af x og y beregnes f (x , y ) og punktet (x , y , f (x , y ))
tegnes i et tre-dimensionalt koordinatsystem.
100
• Grafen er en flade i det tre-dimensionelle rum, og består af punkterne
(x , y , f (x , y )).
75
50
20
25
15
1.4
1.6
h 1.8
50
75
2.0
100
125
150
175
v
10
200
2.2
5
–2
–2
Udtryk for BMI ved en vægt på 80 kg
BMI(h, 80) =
–1
y
80
h2
x
1
2
2
Dias 7/38
Dias 8/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Definition D.2.1
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Snitfunktion
• Når y fastholdes på en værdi b, så kaldes funktionen
Anvendelseseksempel D.3: Stofskifte
g (x ) = f (x , b )
Anvendelseseksempel A.8:
en snitfunktion. Dens graf kaldes en snitgraf.
S = 0.4 K 0.75,
• Når x fastholdes på en værdi a, så kaldes funktionen
hvor K er kropsvægten og S stofskiftet hos et pattedyr.
h (y ) = f (a , y )
Mere generel model
en snitfunktion. Dens graf kaldes en snitgraf.
• Kropstemperaturen T (målt i Kelvin) indgår.
På 3D-grafen kan man se grafer for snitfunktioner (af én variabel):
• Gælder også for andre organismer end pattedyr.
20
• Stofskiftet som funktion af kropsvægten og kropstemperaturen:
15
S = S (K , T ) = S0 K 0.75 e −a/T .
10
5
0
–2
0
y
2
1
2
–1
0
–2
x
Dias 9/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 10/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anv.eks. D.3: Stofskifte – fastholdt kropstemperatur
S = S (K , T ) = S 0 K
Anv.eks. D.3: Stofskifte – fastholdt kropsvægt
0.75 −a/T
e
S = S (K , T ) = S0 K 0.75 e −a/T
Fastholdt kropstemperatur T0
Fastholdt kropsvægt K0
ln S = ln S0 e −a/T0 + 0.75 ln K
ln S = ln S0 K00.75 − Ta .
• Lineær sammenhæng mellem ln K og ln S
(som i Anvendelseseksempel D.8).
• Lineær sammenhæng mellem 1/T og ln S.
• Hældningen er −a uanset kropsvægten K0 .
• Hældningen er 0.75 uanset kropstemperaturen T0 .
• Skæringen med andenaksen afhænger af kropsvægten K0 .
(Jo højere kropsvægt, jo højere skæring med andenaksen.)
• Skæringen med andenaksen afhænger af kropstemperaturen T0 .
(Jo højere kropstemperatur, jo højere skæring med andenaksen.)
Dias 11/38
Dias 12/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Niveaukurver
Højdekurver – et eksempel på niveaukurver
Anvendelseseksempel D.1: BMI – under- og overvægt
Højder indtegnet på kort:
Grænser for under- og overvægt:
BMI
BMI under 18,5
BMI mellem 18,5-24,9
BMI mellem 25-29,9
BMI mellem 30-39,9
BMI over 40
Beskrivelse
undervægtig
normalvægt
overvægtig
fedme
svær fedme
Dias 13/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel D.1: BMI – niveaukurve
Hvem har et BMI på 25?
Dias 14/38
BMI(h, v ) = 25 ⇔
v
h2
Anvendelseseksempel D.1: BMI – niveaukurve (fortsat)
= 25 ⇔ v = 25h2
Niveaukurven genfindes via grafen for BMI:
• Vi skærer grafen med den vandrette plan i højden 25.
• Vi tegner skæringskurven i (h, v )-planen.
70
60
50
40
30
20
Grafen for v = 25h2
10
0
Denne graf
{(h, v ) | BMI(h, v ) = 25 }
1
1.5
h
20
50
100
v
150
200
kaldes en niveaukurve for BMI i niveauet 25.
Dias 15/38
Dias 16/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Definition D.2.2
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Niveaukurve
Grafen for en funktion af to variable med R
Niveaukurven for f (x , y ) hørende til niveauet c er mængden
Enkel metode
{(x , y ) ∈ D | f (x , y ) = c }
Bemærk
Niveaukurver ligger i XY-planen og ikke på grafen for f (x , y ).
Resultat
Eksempel D.2.2(a)
v
Niveaukurven for f (x , y ) = x 2 + 2y 2 + 2 i niveauet 4:
z
BMI <- function(h,v) {v/h^2}
h <- seq(1.4, 2.2, len=50)
v <- seq(25, 200, len=50)
z <- outer(h,v,BMI)
persp(h,v,z)
6
5
h
4
3
2
Bedre resultater ved brug af R-funktionen overflade:
den skal downloades fra hjemmesiden og indlæses i R.
1
0
–1
–0.5
0
y
0.5
1 1.5
1
0.5
0
–0.5
–1
–1.5
x
Dias 17/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 18/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelse af overflade fra hjemmesiden
Anvendelse af overflade (fortsat)
(Se også Appendiks H i R-noterne.)
NB
Det følgende kræver at man har indlæst R-funktionen overflade i R.
Nogle nyttige parametre til overflade:
> BMI <- function(h,v) {v/h^2}
> overflade(BMI, 1.4, 2.2, 25, 200, ticktype="detailed", col="blue")
Drej grafen ved venstreklik nær kanterne af grafvinduet.
Afslut med højreklik i grafvinduet.
>
• ticktype="detailed"
• phi=40, theta=30
• showangles=TRUE
Resultat (efter en hel del venstre- og et højreklik):
• showhelp=TRUE
(betragtningsvinkler)
(vis vinkler ved hvert venstreklik)
(eller FALSE :-))
• interactive=TRUE
100
(inddelinger på akserne)
(mulighed for klikkeri)
80
• Diverse persp eller plot-parametre, fx col, scale, shade
z
60
40
Læs mere om denne funktion i R-noterne.
20
1.4
1.6
1.8
x
200
150
2.0
100
2.2
50
y
Dias 19/38
Dias 20/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelse af R-funktionen contour
BMI <- function(h,v) {v/h^2}
h <- seq(1.4, 2.2, len=50)
v <- seq(25, 200, len=50)
z <- outer(h,v,BMI)
image(h,v,z)
BMI <- function(h,v) {v/h^2}
h <- seq(1.4, 2.2, len=50)
v <- seq(25, 200, len=50)
z <- outer(h,v,BMI)
contour(h,v,z, levels=c(20,25,30,35,40), col="red")
50
50
100
100
v
150
150
200
200
Anvendelse af R-funktionen image
1.4
1.6
1.8
2.0
1.4
2.2
KØBENHAVNS UNIVERSITET
1.8
2.0
2.2
Dias 22/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Grafisk illustration af fx′ (x , y )
Partielle afledede
Definition D.3.1
1.6
Dias 21/38
h
Partielle afledede
Fasthold y . . .
Den partielle afledede fx′ (x , y ) af f (x , y ) mht. x er den afledede af
snitfunktionen g (x ) = f (x , y ) hvor y er fastholdt:
. . . og få en funktion af x. . .
8
20
fx′ (x , y ) = g ′ (x ).
6
15
Den partielle afledede fy′ (x , y ) mht. y defineres på tilsvarende måde.
10
4
Bestemmelse af fx′ (x , y ):
Bestemmelse af fy′ (x , y ):
Tænk på y som en konstant i
f (x , y ) og differentiér mht. x.
Tænk på x som en konstant i
f (x , y ) og differentiér mht. y .
5
2
0
–2
Alternativ notation (kære børn har mange navne)
∂f
(x , y )
∂x
og
0
y
∂f
(x , y )
∂y
2
2
1
–1
0
x
–2
–2
–1
0
1
2
x
. . . og differentiér denne funktion
“f (x , y ) differentieret mht. x eller mht. y ”
Dias 23/38
Dias 24/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Eksempler
• Eksempel D.3.1(a): Lad
Definition D.3.2
f (x , y ) = x 2 + 2y 2 + 2.
Gradient
grad(f )(x , y ) = (fx′ (x , y ), fy′ (x , y ))
Da er
fx′ (x , y ) = 2x
og
fy′ (x , y ) = 4y .
Funktioner af én versus to variable
• Lad
Funktioner af én variabel
Grafen er en kurve
Én differentialkvotient
f ′ (x )
g (x , y ) = ln(x 2 + y ).
Da er
gx′ (x , y ) =
2x
og
x2 + y
gy′ (x , y ) =
1
x2 + y
.
Tangenten er en ret linje
Funktioner af to variable
Grafen er en flade
To partielle differentialkvotienter
fx′ (x , y ), fy′ (x , y )
Samles nogle gange i en gradient
Tangenten er en plan
Aktivering
Lad
h(x , y ) = ye xy .
Bestem hx′ (x , y )
og hy′ (x , y ).
Dias 25/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 26/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Definition D.3.3
Tangentplan
Tangentplan
Tangentplanen for f (x , y ) i punktet (a, b ) er givet ved ligningen
Repetition: Tangenten for en funktion af én variabel
Tangenten er en linje som
• har ligningen y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
• tilnærmer f (x ) for x tæt ved a
z = c + p (x − a) + q (y − b ),
hvor
c = f (a, b ),
p = fx′ (a, b )
og
q = fy′ (a, b ).
12
10
8
6
Hvordan udregner man ligningen for tangentplanen i (a, b )?
• Udregn de partielle afledede fx′ (x , y ) og fy′ (x , y ).
4
2
• Indsæt a og b, dvs. udregn p = fx′ (a, b ) og q = fy′ (a, b ).
• Udregn c = f (a, b ).
0
-1
0
1
x
2
3
• Sæt ind i formlen z = f (a, b ) + p (x − a) + q (y − b ).
Dias 27/38
Dias 28/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Eksempel D.3.3 og D.3.4
Lad
f (x , y ) = x 2 + 2y 2 + 2.
Bemærkning D.3.2 Lineær approksimation af funktion af to
variable
• Ligning for tangentplan for f (x , y ) i punktet (a, b ) = (2, 1):
Lineær approksimation for (x , y ) i nærheden af (a, b )
f (x , y ) ≃ f (a , b ) + p (x − a ) + q (y − b )
z = 8 + 4 (x − 2 ) + 4 (y − 1 )
[= f1 (x , y )]
[= f1 (x , y )].
30
20
10
0
–10
–1
Tilnærmelse af en funktion af to variable med Taylorpolynomier af anden
grad af to variable. . . kan man sige meget om, men jeg tror vi springer det
over.
0
1
x
3
2
2
3
1 y
0
4
–1
• Lineær approksimation af f (x , y ) i nærheden af punktet (a, b ) = (2, 1):
f (2.1, 0.95) ≃ 8 + 4(2.1 − 2) + 4(0.95 − 1) = 8.2
[= f1 (2.1, 0.95)].
Dias 29/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 30/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel D.2: Temperatursvingninger i jord
Anv.eks. D.2: Temperatursvingninger – snitgrafer
• Temperatur ved overfladen:
Temperaturen i forskellige dybder indtegnet på den tre-dimensionelle graf:
T0 (t ) = 8 + 8 sin( π6 t )
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
• Temperatur 1 meter nede i jorden:
T1 (t ) = 8 + 5.4 sin( π6 t − 0.4)
10
2
8
4
t
6
8
Idé: samle disse udtryk til en funktion af to variable:
T (t , x ) = 8 + 8e −0.4x sin( π6 t − 0.4x )
4
10
6
x
2
12
0
Temperaturen til forskellige tidspunkter på den tre-dimensionelle graf:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
• t måles i måneder (t = 0 svarer til april)
• x måles i meter (x = 0 svarer til jordoverfladen)
Bemærk:
T (t , 0 ) = T 0 (t )
10
2
8
4
t
T (t , 1 ) = T 1 (t )
Dias 31/38
6
8
4
10
6
x
2
12
0
Dias 32/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anv.eks. D.2: R-graf for T (t , x )
Anv.eks. D.2: Temperatursvingninger – niveaukurver
Er den ikke fin? / Henrik P
T (t , x ) = 8 + 8e −0.4x sin( π6 t − 0.4x )
Tidsforskydning af temperaturændringer:
T (0 , 0 ) = 8
• I april er temperaturen 8 grader ved jordoverfladen
• Hvornår er temperaturen 8 grader i x meters dybde?
15
T (t , x ) = 8
• Grafisk illustration:
T(t,x)
10
5
10
0
10
2
t
6
8
4
10
6
4
8
4
8
2
6
x
t
6
4
8
2
10
2
12
x
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
12 0
0
Dias 33/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 34/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Læs selv
Anv.eks. D.2: Temperatursvingninger – generel model
T (t , x ) = M + A0 e −kx sin
π
6
t − kx
Anvendelseseksempel D.4: Isbjørne
Vægten af en isbjørn:
M (x , y ) = 0.00020 x 1.28 y 1.49 ,
Parametre
• M:
hvor x er længden og y er omkredsen (under skuldrene) af isbjørnen.
Årets middeltemperatur.
Anvendelseseksempel D.5: Kropsareal
• A0 : Temperatursvingningens amplitude (maksimale udsving) ved
overfladen.
Kropsarealet af et menneske:
A(v , h) = 0.024 v 0.51 h0.42 ,
• k : Temperaturkonstanten (afhænger af jordens sammensætning).
hvor v er vægten og h er højden.
Bemærk:
Anvendelseseksempel D.6: Kuldeindeks
• Amplituden i dybden x er A0 e −kx og aftager eksponentielt med dybden.
Kuldeindeks (den reelle kuldepåvirkning):
• Niveaukurverne i niveauet M er rette linjer.
W (T , v ) = 13 + 0.62 T − 14 v 0.16 + 0.49 Tv 0.16 ,
Se også Opgave D.7.
hvor T er lufttemperaturen og v er vindhastigheden.
Dias 35/38
Dias 36/38
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Praktiske oplysninger
Kursusevaluering
Hvorfor
• Kursusevalueringen er af stor nytte for de kursusansvarlige.
Databehandling på onsdag
• Handler om regneark; ikke R.
• Jeres forslag og kommentarer tages i høj grad i betragtning ved
fremtidig planlægning af kurset.
• Forelæsningen er baseret på, at I har løst forberedelsesopgaverne
Dat-D-1 og Dat-D-2.
• I må derfor meget gerne udfylde evalueringsskemaerne.
• Opgaverne fylder en del sider pga. mange billeder, men bør ikke tage
særlig lang tid.
• Resultatet af evalueringen diskuteres til den mundtlige evaluering
mandag 5/11.
Miniprojekt D
Hvordan
• Evalueringen foregår via et elektronisk evalueringsskema:
• Kommer på hjemmesiden mandag den 29/10 kl. 17.
• Gruppearbejde og vejledning onsdag 31/10 kl. 8–16.30
(ingen forelæsning kl. 8).
• Følg link i mail om evaluering eller
• Log på KUnet og vælg “Kursusevaluering LIFE” til højre under
“Systemadgange”.
• Afleveres onsdag 31/10 kl. 16.30–17.00.
• Sidste chance for at udfylde skemaerne er tirsdag 30/10.
Dias 37/38
Dias 38/38