4 Funktioner
Faglige mål
Kapitlet Funktioner tager udgangspunkt i følgende faglige mål:
•
Lineære sammenhænge: vide hvad der kendetegner lineære sammenhænge samt kende de forskellige
repræsentationsformer inden for funktioner og kunne vælge hensigtsmæssigt imellem dem.
•
Forskrifter og grafer: kende sammenhængen mellem en lineær funktions forskrift og graf.
•
Den rette linjes ligning: kunne forstå sammenhængen mellem funktionsforskriften for en ret linje og
grafens hældningskoefficient og skæring med y-aksen.
•
Skæringspunkter: kunne aflæse grafers skæring og forstå hvad de fortæller.
•
Manipulation med grafer: kende til manipulation af grafer, så valg af repræsentationer inden for
funktioner styrkes.
I kapitlet arbejdes der videre med den viden, som eleverne fik i kapitlet Funktioner fra 6. klasse. Kapitlet
repeterer og bygger videre på elevernes forståelse for funktioner ved fordybelse i den lineære funktions
repræsentationsformer og hverdagssammenhænge, hvori funktionen indgår.
Lineære sammenhænge
Arbejdet med lineære sammenhænge tager udgangspunkt i det eleverne arbejdede med i 6. klasse. Udtryk
som graf, talpar, tabel og funktionsforskrifter er ikke nye for eleverne, men i dette opslag arbejdes der med
sammenhængen mellem disse begreber.
Repræsentationskompetencen er i fokus i kapitlet. Eleverne arbejder med forskellige repræsentationer af det
samme matematiske indhold og skal begrunde valg af bestemte repræsentationsformer i forskellige
situationer.
Forskrifter og grafer
Eleverne har tidligere arbejdet med forskrifter og grafer i 6. klasse. Formålet med dette opslag er at repetere
samt introducere eleverne for en mere undersøgende tilgang til at opdage sammenhænge ved brug af
GeoGebra.
Funktionsforskriftens variable og konstanter undersøges ved at udfylde tabeller og indsætte punkter eller
funktionsforskrifter i et koordinatsystem. Eleverne formulerer hypoteser om sammenhængen mellem x- og yværdier i en funktionsforskrift, men en egentlig teoretisk gennemgang af funktionsforskriftens opbygning er
der ikke tænkt på i dette kapitel.
Den rette linjes ligning
I 6. klasse blev eleverne introduceret til den rette linjes ligning, men en egentlig teoretisk forståelse af
hældningskoefficient og skæring med y-aksen var ikke i fokus. I dette opslag skal eleverne arbejde
undersøgende ved at opstille hypoteser for deres undersøgelser for på den måde at få en større forståelse for
linjens ligning. Til dette arbejde anvendes GeoGebra.
Udgangspunktet for opgaverne er hverdagssituationer, som kan beskrives ved en ret linje, og GeoGebra
anvendes til løsning af disse opgaver.
Skæringspunkter
Med udgangspunkt i hverdagssituationer sammenlignes flere forskellige lineære funktioner, så eleverne får
kendskab til betydningen af to linjers skæring.
Hvor eleverne i det foregående opslag har arbejdet med forståelsen af de indgående variable i den rette linjes
ligning, er fokus nu på funktionsforskrifter, som bl.a. beskriver økonomiske situationer, som eleverne skal
vælge hensigtsmæssigt imellem. De skal med andre ord finde svar på: ”Hvad kan bedst betale sig?”. Dette
arbejde skal lede eleverne over i en konkret forståelse af funktionsbegrebets anvendelighed.
Manipulation med grafer
Arbejdet med manipulation af grafer tager udgangspunkt i forskelligt statistisk materiale. Eleverne får en
forståelse for, hvordan der kan manipuleres med graferne for at underbygge sit budskab, så de selv kan blive
kritiske over for mediernes fremstilling af statistisk materiale.
I arbejdet indgår konstruktion at grafiske repræsentationer, som underbygger forskellige ønskelige udtryk.
Side til side-vejledning
Lineære sammenhænge
Intro
1 Vindruer (klasseaktivitet) og kopiark 4.01 og 4.02
Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen. Eleverne får hver en brik fra kopiark 4.01, som beskriver
en sammenhæng mellem kilogram og pris på vindruer. Alle går rundt mellem hinanden og skal finde
sammen i grupper på tre, som har en brik, der beskriver den samme sammenhæng. Kopiark 4.02 udfyldes af
eleverne med en anden sammenhæng og aktiviteten gentages.
2 Historien til grafen
Eleverne skal ud fra en given graf finde den tekst, der passer til.
3 Grafen til historien (paraktivitet) og kopiark 4.03
På kopiarket findes grafen, der passer til teksten. Der er tre muligheder for hver opgave.
4 Talpar (paraktivitet)
I opgave a-d afgøres det hvilke talpar, der beskriver en lineær sammenhæng. Herefter konstrueres historier,
der passer til de lineære sammenhænge.
5 Repræsentation (gruppeaktivitet) og kopiark 4.04, 4.05 og 4.06
Hver gruppe får udleveret de 16 brikker på kopiark 4.04. Brikkerne sorteres, så de beskriver den samme
lineære sammenhæng. Der er 6 forskellige sammenhænge på kopiarket:
4 brikker med y = 22x
2 brikker med y = 16x
3 brikker med y = x + 8
3 brikker med y = 7x
2 brikker med y = 30x
2 brikker med y = 4x
De tomme brikker på kopiark 4.05 udfyldes således, at hver sammenhæng bliver udtrykt ved 5 forskellige
repræsentationer og fordele og ulemper ved de forskellige repræsentationsformer formuleres på kopiark 4.06.
6 Lommetyve (paraktivitet)
Eleverne skal finde sammenhænge i en journalistisk tekst, og omsætte sammenhængene til forskellige
repræsentationsformer.
7 Ungdomsbladet (klasseaktivitet)
I opgaven skal eleverne skrive artikler, som skal formidle statistisk materiale. Eleverne kan vælge flere
forskellige repræsentationer af sammenhængen, men eleverne skal begrunde deres valg og deres valg af
overskrifter, brødtekst, billedtekst osv.
Artiklerne udstilles sammen med beregninger, billeder og konstruktioner m.m.
Forskrifter og grafer
8 Graftegning
Opgaven repeterer det faglige stof fra 6. klasse. Eleverne skal ud fra en forskrift fremstille en tabel og en
graf. Tabellen kan udarbejdes i regneark i GeoGebra, så det bliver nemmere for eleverne at plotte punkterne
ind efterfølgende.
9 Alder (paraktivitet)
Ud fra en sproglig formulering af en alderssammenhæng mellem to søskende konstrueres en tabel og en
tilhørende graf. Herefter arbejder eleverne gennem forskellige opgaver med sammenhængen mellem de to
personers alder, og når frem til en forståelse af den tilhørende forskrift.
Opgaven udbygges med endnu en bror, således at der er tre forskellige sammenhænge.
10 Tegn og fortæl (gruppeaktivitet) og kopiark 4.07
På skift kastes en 12-sidet terning to gange for at få et koordinatsæt, som plottes ind på kopiark 4.07.
Herefter tegner eleven en ret linje fra punktet til et af punkterne, som er markeret på y-aksen. Punkterne på yaksen må kun anvendes en gang. Der skal fortælles en regnehistorie, som passer til grafen. Gruppen
godkender historien. Dette gentages på skift af eleverne i gruppen, indtil der ikke er flere ledige punkter på
y-aksen
Vinderen af spillet er den elev, som gruppen kan blive enige om, har fortalt den bedste regnehistorie.
11 Punkter i kvadranter (gruppeaktivitet)
Gruppen deles i par, som på skift vælger et af kravene i skemaet. Parret indsætter i GeoGebra tre punkter,
som alle lever op til kravet. Punkterne skal være placeret i mindst to kvadranter. Grafen til punkterne tegnes
og endnu et punkt findes ved hjælp af grafen. Det andet par godkender arbejdet.
Der er lagt op til at parrene på skift arbejder med et krav af gangen, men der er også mulighed for at lade de
to par arbejde samtidig, og så stadig kunne få hjælp af hinanden. Parrene venter så på hinanden efter hver
løst opgave, og de skal stadig godkende hinandens arbejde.
12 Sammenhængen (paraktivitet)
Eleverne arbejder undersøgende i GeoGebra for at finde sammenhængen mellem et givent punkt på en graf
og x- og y-værdierne i den tilhørerende forskrift. Arbejdet leder eleverne mod formulering af hypoteser, som
efterprøves. Dette styrker elevernes tankegangskompetence.
13 Træningspriser (paraktivitet)
Her arbejder eleverne med at opstille forskrifter for tre forskellige træningssituationer, som er illustreret med
reklameskilte. Graferne tegnes i samme koordinatsystem. Eleverne konstruerer opgaver, som kan løses ved
at aflæse på graferne, hvilket styrker tankegangskompetencen. Eleverne bytter opgaver med makkeren, og de
løser hinandens opgaver. Parret gennemgår efterfølgende opgaverne for hinanden. Eleverne skal huske at
anvende begreberne x-værdi, y-værdi og forskrift i deres forklaringer.
14 Sandwichboden (gruppeaktivitet)
Inden eleverne går i gang med opgaven, kan der i klassen tales om de begreber, eleverne skal anvende.
Begreberne indtjening, overskud og fortjeneste anvendes i opgaven. Det kan være vanskeligt for nogle elever
at disse begreber betyder det samme.
Der skal træffes en række beslutninger, som får betydning for elevernes indtjening på sandwich. De skal
vælge antal deltagere til skolefesten, mængden af ingredienser pr. sandwich og indhente priser, så
produktionsprisen kan beregnes. Herefter beslutter de enkelte grupper en salgspris.
For at undgå at eleverne fordyber sig i unødig lang tid i disse beslutninger, kan der sættes tid på de
forskellige delopgaver.
Det efterfølgende arbejde sætter fokus på sammenhængen mellem antal solgte sandwich og fortjenesten.
Herefter opstilles en forskrift for funktionen, grafen for funktionen tegnes og til sidst ændres på grafens
parametre for at ændre overskuddet.
Den rette linjes ligning
15 Biografbilletter (gruppeaktivitet)
Indholdet i denne opgave kobler elevernes arbejde fra de to foregående afsnit sammen. Eleverne kan vælge
at anvende den teoretiske viden omkring den rette linjes ligning, som står i de grå bokse, når de skal benytte
begrebet funktionsudtryk.
16 Hældningskoefficient
Eleverne sammenligner hældningskoefficienten udtrykt ved tabel og funktionsforskrift.
17 Bambusvækst (paraktivitet)
Opgaven tager udgangspunkt i en lineær sammenhæng med bambus vækst. Eleverne undersøger forskellige
planter og træers vækst og opstiller tabeller og funktionsforskrifter. Opgaven kan udvides til en grafisk
fremstilling, hvor de forskellige planter og træers vækst sammenlignes.
18 Josefine (paraktivitet)
Hældningskoefficienten findes ved at plotte punkter ind i GeoGebra og anvende værktøjet hældning.
Dernæst skal eleverne forklare, hvad hældningskoefficientens værdi fortæller.
19 Gæt hældningskoefficienten (gruppeaktivitet)
Gruppen deles op i to par, som konkurrerer mod hinanden. Hver person trækker et kort, således at hvert par
tilsammen har to kort. Disse to kort repræsenterer et talpar, så gruppen i alt har to talpar, som skrives på et
stykke papir, der lægges midt på bordet. Parrene skal nu gætte hældningskoefficienten for den linje, som går
gennem de to punkter. Resultatet kontrolleres i GeoGebra. Parret, der kommer nærmest det rigtige svar, får 1
point. Der spilles til 5 point
20 Koefficienten til x
GeoGebrafilen åbnes og a-værdiens betydning for grafens hældning undersøges. I opgave d udfyldes et
skema. Eleverne aflæser y-værdien for x-værdien 1. Hvis de har svært ved at aflæse værdien, kan eleverne
trække i x-aksen, så værdien 1 fremkommer.
21 Bestilte biografbilletter
I opgaven undersøges b-værdiens betydning for skæring med y-aksen ved at opstille to funktionsforskrifter,
hvis grafer tegnes i GeoGebra.
22 Konstanten b
Eleverne arbejder videre med b-værdiens betydning for skæring med y-aksen ved at anvende skydere i
GeoGebra. Opgaveteksten findes også i filen. Eleverne kan nedskrive værdierne, de aflæser i regnearket.
23 Find forskriften
Eleverne tegner grafer ud fra to punkter og aflæser a-værdien og b-værdien. Funktionsforskriften skrives og
resultatet kontrolleres ved at åbne algebravinduet. Det er vigtigt, at algebravinduet holdes lukket, mens
eleverne arbejder frem mod løsninger, og kun åbnes ved kontrol af resultat.
24 Samme egenskab (paraktivitet) og kopiark 4.08
Hvert par får udleveret brikkerne fra kopiarket. Funktionsforskrifterne sorteres efter deres egenskaber. Der er
flere løsninger til opgaverne.
Skæringspunkter
25 Smykker (paraktivitet)
Konteksten synliggør betydningen af funktioners skæringspunkt. Eleverne arbejder undersøgende ud fra
teksten i opgave a-f. I de sidst to opgaver skal eleverne ændre på opgavens præmis, således at graferne og
dermed funktionsforskrifterne ændres.
26 Valutaveksling (paraktivitet)
Indled med at tale om begrebet valuta. Eleverne undersøger dernæst forskellige kurser på samme valuta og
sammenligner dem ved grafisk aflæsning.
Der er en problematik vedr. kontinuert/ikke-kontinuert funktion samt med startværdien, da man ved køb af fx
0 euro ikke betaler et vekselgebyr, som grafen fortæller. Denne metode har derfor sin begrænsning ift.
konkret opgaveløsning.
Eleverne kan finde valutakurser ved at søge på ”vekselbureau”, og på de banker, de kender.
27 Ferie på motorcykel (paraktivitet)
Eleverne skal opstille funktionsforskrifter for to tilbud, der sammenlignes ud fra en tur, de planlægger. De
skal tage udgangspunkt i de afstandstabeller, som findes på internettet. Tilbuddene ændres undervejs i
opgaven, og eleverne skal derfor ændre på funktionsforskrifterne.
Resultaterne skal nenyttes i opgave 34
28 Kalorier og kopiark 4.09
Der tegnes grafer i GeoGebra for 3 af motionsformerne fra kopiarket. Herefter tegnes graferne over Jespers
forbrænding af Snøfler ud fra motionsformer, som eleverne selv vælger.
29 Sif
Eleverne arbejder med forbrænding af kalorier ved grafisk fremstilling. Eleverne ser den store forskel, der er
på kalorieindtaget ved agurk i forhold til Snøfler.
30 Maraton
Temperaturstigning ved maratonløb undersøges af eleverne.
Eleverne skal opdage, at grafen for temperaturstigningen er stykkevis lineær, dog indføres begrebet ikke her,
og at grafen har en begrænsning som udtryk for løberens temperatur.
31 Maksimal puls (gruppeaktivitet)
Eleverne konstruerer funktionsforskrifter ud fra en sproglig formuleret sammenhæng om makspuls. I opgave
a hjælpes eleverne på vej ved at at navngive makspulsen m og alderen a. For at kunne sætte værdierne ind i
GeoGebra, skal disse værdier omskrives til x-værdier og y-værdier.
Der er flere metoder til at teste makspuls. Det er meget anstrengende at lave en makspuls-test, så eleverne
skal være friske. De skal stoppe, hvis de oplever smerter i brystet. Værdierne varierer efter den valgte
sportsgren, hvori testen foretages. Med en gruppe elever skal der tages højde for, at ikke alle elever vil kunne
gennemføre testen på grund af for dårlig kondition. En løbetest med 15-30 minutters opvarmning inden selve
testen kan for en del elever være for anstrengende.
Hvis eleverne arbejder sammen 4 og 4, kan man nøjes med at lade en eller to fra gruppen gennemføre testen,
og lade resten af gruppen arbejde med disse resultater. Et samarbejde med idrætslæreren kan også være
relevant.
Manipulation med grafer
32 Vold
GeoGebrafilen indeholder samme opgavetekst som i bogen. Hvis eleverne bruger værktøjet Formindsk, kan
grafen og opgaveteksten overlappe hinanden. Teksten kan flyttes med værktøjet Flyt. Opgaven er et
eksempel på, at ikke alle funktioner kan beskrives ved en lineær sammenhæng.
33 Trafikdrab
Eleverne arbejder med grafiske fremstillinger, hvor inddelingen på y-aksen har stor betydning for aflæsning
af graferne. Eleverne aflæser først de to grafer i bogen og konstruerer derefter begge grafer i samme
GeoGebrafil, så de ser, hvordan der er blevet manipuleret med graferne i bogen.
Afslutningsvis kan der tales med eleverne om, hvilke budskaber læseren kan få ved graferne i bogen ift.
graferne i Geogebrafilen. Der kan også i klassen diskuteres hvilke interessenter, der kunne drage fordel af
den ene grafiske fremstilling frem for den anden.
34 Motorcykelleje
Funktionsforskrifterne fra opgave 27 skal repræsenteres grafisk. Eleverne skal manipulere med graferne, så
de fremstår som gunstige for den ene forhandler.
35 Funktionsspil (gruppeaktivitet) og kopiark 4.10 og 4.11
Hver gruppe får udleveret de 20 brikker fra kopiark 4.10. Hver brik har to punkter. Gruppen deles op i to par,
som konkurrerer mod hinanden om at få flest stik. Kortene lægges med bagsiden opad på bordet. Hvert par
trækker 4 kort og forsøger at danne stik. Kopiark 4.11 anvendes af hvert par til at plotte punkterne ind. På
skift trækker parrene en brik og undersøger, om der er et stik. Spillet slutter, når alle kort er trukket. Det par,
som har flest stik, vinder.
36 Indbrud
Eleverne arbejder dynamisk med GeoGebrafilen, så graferne beskriver et bestemt synspunkt. Eleverne
plotter punkterne ind ved brug af input-linjen.
37 Middellevetid
Eleverne skal plotte punkterne fra tabellen ved brug af input-linjen og manipulere med grafen ved at ændre
på indstillingen x-akse:y-akse.
38 Punktspil (gruppeaktivitet) og kopiark 4.12
Hver gruppe får udleveret brikkerne på kopiark 4.12. Gruppen deles i par, som spiller mod hinanden.
Brikkerne fordeles på bordet med bagsiden opad. Hvert par har en computer, hvor GeoGebra er åbnet og
gjort klar til at spille. 2 brikker vendes. Hvert par skal nu så hurtigt som muligt plotte de to punkter ind i
GeoGebra og indstille tegneblokken, så begge punkter ses med størst mulig afstand. Det hurtigste par får et
point. Der kan enten spilles på tid eller til alle brikker er blevet brugt.
39 Ram punktet (klasseaktivitet) og kopiark 4.13
Alle elever har brug for kopiarket, en blyant, lineal og en 6-sidet terning. Eleverne går rundt mellem
hinanden og finder en makker. Begge elever kaster med terningen og noterer kastet som en valgfri b-værdi
nederst på kopiarket. Den pågældende linje tegnes på kopiarket, og det antal punkter, som linjen går
igennem, noteres som antal point. Makkeren kontrollerer linjen og pointtal. Eleverne finder nye makkere og
gentager aktiviteten. Spillet slutter, når alle elever har tegnet de 10 linjer. Vinderen er den elev, som har flest
point.
Eleverne er ikke lige hurtige til at løse opgaven, og derfor vil nogle elever blive hurtigere færdig end andre.
De hurtige elever kan evt. hjælpe de elever, som endnu ikke er færdige.
Skriftlig problemløsning
1 Is på søen
Eleverne arbejder med grafiske fremstillinger og aflæsning af grafer med udgangspunkt i tykkelse af is. De
kan anvende de samme grafer og blot omdefinere dem i GeoGebra.