gudmandsen.net
Ophavsret ©
Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge,
sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse kræver forfatterens skriftlige tilladelse
[mailto:[email protected]].
Indholdet stilles til rådighed under Open Content License [http://opencontent.org/openpub/].
1 Trigonometriske relationer
I forbindelse med beregninger på trigonometriske funktioner, er der et væld af sammenhænge, overgange,
relationer og regneregler, som ofte er nyttige til at bevise nye sammenhænge.
Nedenstående er en oversigt over de mest relevante, men de bliver ikke beviset her.
1.1 Enhedscirklen
Defineret som cirklen med centrum i Origo (x,y) = (0,0) og med radius r = 1.
Positiv omløbsretning er mod uret..
cos(v) aflæses på 1.aksen
sin(v) aflæses på 2.aksen
tan(v) aflæses på x=1
sin  x
cos v
o
v ≠ {90 , 270o , osv. }
tan v =
Ret linjes hældning vs.
hældningsvinkel:
Δy
= tan( v)
Δx
⇔ tan−1 (α) = v
α =
Illustration 1: enhedscirklen, r = 1
P = cos v ; sin v
Q = 1 ; tan v
Stedvektorerne P og Q vil således have koordinaterne
(
)
⃗
P = cos(v )
sin (v )
⃗ =
og Q
( tan(v1 ))
...hvor P også er en enhedsvektor, |P| = 1, jfr. grundrelationen Grundrelationen side 3.
trigo_relationer.odt
Side 1 /7
Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.2 Trigonometriske grundfunktioner
Cosinus
cos (v) = x ⇔ v = cos−1 (v )
1
−1
csc (v) =
⇔ v = csc ( x)
cos (v )
Dm( f ) = ℝ , Vm ( f ) = [−1 ; 1]
Sinus
sin( v ) = x ⇔ v = sin−1 ( v)
1
−1
sec(v ) =
⇔ = sec ( x)
sin (v)
Dm( f ) = ℝ , Vm ( f ) = [−1 ; 1]
Tangens
−1
o
o
tan (v ) = x ⇔ v = tan (v )
sin( v)
tan (v ) =
cos(v)
1
cot (v ) =
⇔ v = cot −1 ( x)
tan (v)
o
Dm( f ) = ℝ ∖ {90 , 270 , .... ,+180 p }
Vm ( f ) = [−1 ; 1]
En oversigt over udvalgte værdier kan ses på
http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/trigo_vaerdier.pdf .
1.2.1 Inverse trigonometriske grundfunktioner
Ved de inverse funktioner skal opmærksomheden henledes på definitionsmængde og relationer der medfører
flere løsninger:
Invers Cosinus, cos-1 Dm(f)=[-1;1]
cos v  = cos−v 
-1
sin v = sin 180−v 
Invers Sinus, sin Dm(f)=[-1;1]
tan v  = tan v180
-1
Invers Tangens, tan Dm(f)= ℝ
1.2.2 Reciprokke trigonometriske funktioner
De reciprokke trigonometriske funktioner sec(x) (Sekant), csc(x) (Cosekant) og cot(x) (Cotangens) giver
anledning til flere interessante relationer 1.
1
cos  x 
 3
x≠
,
, ...
2 2
sec  x  =
{
sec−1  x = cos−1
}

1
x
x≠0
1
sin  x 
x ≠{0, , ... }
csc  x =
csc−1  x  = sin−1

1
x
x≠0
1
 x
tan
cos x
=
sin x 
x≠{0,  ,... }
cot  x =
cot −1  x = tan−1

1
x
x≠0
1Se mere om relationer vedrørende reciprokke og hyperbolske funktioner på
http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/hyperbolsk.pdf .
trigo_relationer.odt
Side 2 /7
Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.3 Sammenhænge mellem trigonometriske funktioner
1.3.1 Grundrelationen
Ved brug af Pythagoras' lærersætning på definitionerne for sinus og cosinus i enhedscirklen, hvor kateterne har
længderne henholdsvis cos(v) og sin(v) samt hypotenusen lig 1, fås:
1 = cos 2 (v)+sin 2 ( v)
1.3.2 Overgangsformler
Grader
Radianer
cos−v  = cos v
sin −v  = −sin v 
d.o.
cos v−180 = −cos v
sin v−180 = −sin v 
cos v180 = −cos v
sin v180 = −sin v 
cos 180−v  = −cos v
sin 180−v  = sinv 
cos (v−π) = −cos(v)
sin (v−π) = −sin (v )
cos (v+π) = −cos(v)
sin (v+π) = −sin (v )
cos (π−v ) = −cos(v)
sin (π−v) = sin (v)
cos  v90  = −sin v
sin  v90  = cos v
cos  v−90  = sin v
sin  v−90  = −cos v
cos  90−v  = sin v
sin 90−v  = cos v
1
cos 2 ( v)
1
1+cot 2( v) =
sin 2 (v )
d.o.
tan −v = −tan v
d.o.
tan v180 =tan v 
tan 180−v = −tan v
tan (v+π) =tan (v )
tan (π−v ) = −tan( v)
tan  90−v  = −tan v 
tan  90v  = tanv 
tan  v−90  = tanv 
tan ( π−v ) = −tan( v)
tan ( π+v ) = tan (v )
tan ( v−π ) = tan (v )
1+tan 2 ( v) =
cot (−v) = −cot (v )
sec(v ) = sec(v )
csc (−v ) = −csc (v )
trigo_relationer.odt
Side 3 /7
Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.3.3 Additionsformlerne
sin(u – v)=sin(u )cos ( v) – cos (u)sin( v)
sin(u+v )=sin(u) cos(v)+cos (u)sin( v)
cos (u+v)=cos( u)cos ( v) – sin (u) sin( v)
cos (u – v )=cos (u) cos (v )+sin (u)sin( v)
tan (u+v) =
sin (u+v )
sin (u )cos (v )+cos(u)sin (v )
tan (u)+tan (v )
=
=
cos (u+v)
cos( u) cos(v)−sin(u )sin (v )
1−tan(u) tan(v)
cot (u+v ) =
cot( u) cot(v)+1
cot( u)+cot (v )
Additionsformlerne ved vektorregning
cos (u+v)+cos(u – v)=2 cos (u)cos (v )
cos (u+v) – cos (u – v )=– 2 sin( u)sin (v )
sin(u+v )+sin(u – v)=2 sin(u) cos(v)
sin( u+v ) – sin( u – v)=2 cos( u) sin(v)
For u=v, og derved 2v
sin(2v)=2 sin( v) cos(v)
2
2
2
2
cos (2v )=cos (v ) – sin (v)=2 cos (v )– 1=1 – 2sin (v)
tan (2v ) =
2tan(v )
2
1−tan (v )
For v/2
√
√
v
1−cos(v)
sin( ) = ±
2
2
+hvis v / 2 er i 1. eller 2. kvadrant
−hvis v / 2 er i 3. eller 4. kvadrant
v
1+cos (v )
cos ( ) = ±
2
2
+hvis v/2 er i 1. eller 4. kvadrant
−hvis v/2 er i 2. eller 3. kvadrant
√
v
1−cos (v )
sin (v )
1−cos(v)
tan ( )=±
=
=
=csc( v)−cot(v) +hvis v /2 er i 1. eller 3. kvadrant
−hvis v /2 er i 2. eller 4. kvadrant
2
1+cos ( v) 1+cos (v )
sin(v )
Bemærk fortegn.
trigo_relationer.odt
Side 4 /7
Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.3.4 Sum, differens og produkt
sin( u)+sin (v ) = 2 sin
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
u+v
u−v
cos
2
2
)
)
)
)
sin(u)−sin (v ) = 2 cos
u+v
u−v
sin
2
2
cos (u)+cos (v ) = 2 cos
u+v
u−v
cos
2
2
cos (u)−cos(v) = 2 sin
u+v
v−u
sin
2
2
sin( u)sin (v) =
1
( cos (u−v)−cos( u+v) )
2
cos(u)cos (v ) =
1
( cos (u−v )+cos (u+v) )
2
sin( u) cos(v) =
1
(sin (u−v)+sin (u+v) )
2
1.4 Logaritmiske formler
For u+v = x og u-v = y u=
x+ y
x− y
og v=
2
2
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
x+ y
cos
2
x+ y
cos ( x )−cos ( y) = −2 sin
sin
2
x+ y
sin( x)+sin( y ) = 2 sin
cos
2
x+ y
sin( x)−sin ( y ) = 2 cos
sin
2
cos( x)+cos( y ) = 2 cos
trigo_relationer.odt
Side 5 /7
)
)
)
)
x− y
2
x− y
2
x− y
2
x− y
2
Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4.1 Relationer mellem inverse trigonometriske funktioner
sin −1 ( x)+cos−1 ( x) = π
2
−1
−1
tan (x)+cot ( x) = π
2
sec−1 (x)+csc−1 (x ) = π
2
csc −1 ( x ) = sin−1
−1
cot −1 ( x) = tan −1
trigo_relationer.odt
cos−1 (−x) = π−cos−1( x)
tan −1 (−x) = −tan −1 ( x)
()
()
()
−1
sec (x) = cos
sin −1 (−x ) = −sin−1 (x)
1
x
cot −1 (−x ) = π−cot −1 (x )
1
x
sec−1 (−x) = π−sec−1( x)
1
x
csc (−x) = −csc ( x)
−1
Side 6 /7
−1
Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4.2 Relationer mellem funktioner og vinkler i 1. kavdrant
sin(v)
cos(v)
sin(v)=u
cos(v)=u
tan(v)=u
cot(v)=u
sec(v)=u
csc(v)=u
u
√ 1−u 2
u
1
√ u2 −1
1
u
√ 1−u 2
tan(v)
u
cot(v)
√1−u 2
√1−u 2
sec(v)
trigo_relationer.odt
√1−u 2
u
√1+u 2
√1+u 2
u
√ u2 −1
1
u
√ u 2−1
1
1
u
u
1
√1+u 2
√1−u
1
1
u
√ 1+u 2
1
√1+u 2
1
u
2
√1−u
2
u
1
u
u
u
√1+u
2
1
u
√1−u
csc(v)
u
√1+u
2
√ u2 −1
u
2
u
Side 7 /7
√ u2 −1
√ u 2−1
u
√ u2 −1
u
√ 1+u 2
u
u
u
√ u −1
2
Jakob Gudmandsen 11-12-27