2.1 Eksempel a) s 2 F (s) − sf (0) − f 0 (0) + 4F (s) = 4 Løsning af begyndelsesværdiproblemer og differentialligninger 1 s2 4 7s 2 + 4 +7= 2 s s2 2 7s + 4 F (s) = 2 2 s (s + 4) (s 2 + 4)F (s) = Søren Nørgaard, AAU b) Ved at finde rødder i det nederste polynomium, og skrive rødderne som faktorisering, kan man sætte A, B, C og D ind. 22. maj 2012 Et begyndelsesværdiproblem kunne se således ud 7s 2 + 4 A B Cs + D = + 2+ 2 2 2 s (s + 4) s s s +4 F (s) = f 00 (t) + 4f (x) = 4t f (0) = 0 Et udtryk kan nu fås ved at gange nævneren fra F (s) over på højre side: (1) f 0 (0) = 7 7s 2 + 4 = As(s 2 + 4) + B(s 2 + 4) + (Cs + D)s 2 Der er 2 måder at løse disse på: Gennem den generelle løsning eller gennem Laplace transformen. 1 (2) Nu skal den inverse Laplace transform findes. Til dette er der to metoder: Find konstanterne en af gangen og gennem et lineært ligningssystem. Løsning via generel løsning 2.1.1 a) Find den fuldstændige løsning til den homogene ligning Find konstanterne hvert for sig Advarsel: Denne metode involverer at differentiere udtrykket, hvis der findes en dobbeltrod. f 00 (t) + 4f (t) = 0 b) Find den partikulære løsning til den inhomogene ligning s = 0 indsættes: f 00 (t) + 4f (t) = 4t 4 = 4B ⇔ B = 1 og opskriv den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning Da s er en dobbeltrod, må udtrykket (2) differentieres. c) Bestem løsningen til begyndelsesværdiproblemet. 14s = A(1(s 2 + 4) + s2s) + B2s + (Cs 2 + (Cs + D)2s) (3) s = 0 indsættes i (3). 2 Gennem Laplace transformen 0 = 4A ⇔ A = 0 a) Vis at den Laplace transformerede af løsningen er givet ved 7s 2 + 4 F (s) = 2 2 s (s + 4) Vi går tilbage til (2) og indsætter s = 2i (som er en kompleks rod). 7(−4) + 4 = (C2i + 0)(−4) − 24 + 0i = −4D − 8Ci b) Find partialbrøksdekompositionen af F (s) Dette giver 2 ligninger c) Find løsningen f (t) ved at invers Laplace Transformere F(s). − 24 = −4D ⇔ D = 6 − 8C = 0 ⇔ C = 0 Laplacemetoden vil nu blive gennemgået som eksempel. 1 Altså F (s) = 7s 2 + 4 1 6 = 2+ 2 s 2 (s 2 + 4) s s +4 (4) Som nu let løses vha. tabellen 1 2 +3 2 ) s2 s +4 1 2 = L−1 ( 2 ) + 3L−1 ( 2 ) s s +4 = t + 3 sin 2t f (t) = L−1 ( 2.1.2 Lineært ligningssystem Alternativ metode 2 til at bestemme A, B, C og D. Gang (2) ud: 7s 2 + 4 = As(s 2 + 4) + B(s 2 + 4) + (Cs + D)s 2 = As 3 + 4As + Bs 2 + 4B + Cs 3 + Ds 2 0s 3 + 7s 2 + 0s + 4 = (A + C)s 3 + (B + D)s 2 + (4A)s + 4B Hvilket giver følgende “koefficienter” til s A+C =0 B+D =7 4A = 0 4B = 4 Som kan skrives som en totalmatrix, med A, B, C og D som søjler 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 7 0 1 0 0 1 (5) 4 0 0 0 0 ∼ 0 0 1 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 1 6 2 f (t) L[f (t)] = F (s) 1 1 s t 1 s2 tn n = int (1) (2) n! (3) s n+1 ae at − be bt a−b s (s − a)(s − b) (21) te at 1 (s − a)2 (22) t n e at n! (s − a)n+1 (23) e at f (t) F (s − a) (4) e at sin kt k (s − a)2 + k 2 (24) U(t − a) e −as s (5) e at cos kt s −a (s − a)2 + k 2 (25) f (t − a)U(t − a) e −as F (s) (6) e at sinh kt k (s − a)2 − k 2 (26) δ(t) 1 (7) δ(t − t0 ) e −st0 (8) e at cosh kt s −a (s − a)2 − k 2 (27) t n f (t) (−1)n (9) t sin kt 2ks (s 2 + k 2 )2 (28) f 0 (t) sF (s) − f (0) t cos kt s2 − k2 (s 2 + k 2 )2 (29) t sinh kt 2ks (s 2 − k 2 )2 (30) (31) f n (t) d n F (s) ds n (10) s n F (s) − s (n−1) f (0)− · · · − f (n−1) (0) (11) F (s)G(s) (12) t cosh kt s2 − k2 (s 2 − k 2 )2 (13) sin at t arctan Γ(x + 1) s x+1 (14) 1 2 √ e −a /4t πt e −a s √ s k + k2 (15) a 2 √ e −a /4t 2 πt 3 e −a cos kt s s2 + k2 (16) e at 1 s −1 (17) sinh kt k s2 − k2 (18) cosh kt s s2 − k2 (19) e at − e bt a−b 1 (s − a)(s − b) (20) Z t f (x)g(t − x)dx 0 t n (n ∈ Z) x t (x ≥ −1 ∈ R) sin kt n! s n+1 s2 a s (32) √ erfc 3 a √ 2 t √ e −a s s √ (33) (34) s (35)
© Copyright 2024