1. No category

Juho Leppäkangas
Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate
kandidaatintyö
Tarkastajat:
Professori Keijo Ruohonen
TkT Simo Ali-Löytty
TIIVISTELMÄ
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO
Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma
¨
JUHO LEPPAKANGAS
: Fourier − muunnos ja ep¨
atarkkuusperiaate
Kandidaatintyö, 61 sivua
Elokuu 2014
Pääaine: Matematiikka
Tarkastajat: Professori Keijo Ruohonen, TkT Simo Ali-Löytty
Avainsanat: Epätarkkuusperiaate, Fourier-muunnos, kvanttimekaniikka
Tässä tutkielmassa esitellään aluksi Fourier-muunnoksen teoriaa neliöintegroituvien
funktioiden avaruudessa, minkä jälkeen tuloksia sovelletaan kvanttimekaniikassa.
Koska kyseessä on osittaisdierentiaaliyhtälöllä (Schrödingerin yhtälö) kuvattava ja
hiukkasten todennäköisyysaaltoina tulkittava luonnon tilastollinen perusteoria, niin
Fourierin menetelmät tarjoavat luonnollisen matemaattisen työkalun, niin kvanttimekaniikan teorian tulkinnalle kuin fysikaalisten ongelmien ratkaisemisellekin.
Kvanttimekaniikan ehkä tunnetuin yksittäinen tulos on Heisenbergin epätarkkuusperiaate, jonka mukaan on mahdotonta mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekä
hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää. Työssä osoitetaan, että Heisenbergin epätarkkuusperiaate on vain erään Fourier-muunnosta koskevan integraaliepäyhtälön
fysikaalinen sovellus. Seuraavaksi epätarkkuusperiaate yleistetään koskemaan myös
muitakin fysikaalisia suurepareja kuin hiukkasen paikkaa ja liikemäärää. Tämän
jälkeen näytetään, etteivät joidenkin kvanttimekaanisesti kuvattavien fysikaalisten
systeemien kokonaisenergiat voi olla mielivaltaisen negatiivisia. Edeltävä perustuu
myös epätarkkuusperiaatteen ideaan, mutta matemaattiset välineet, jotka tapauskohtaisesti tarjoavat fysikaalisille malleille rajoittavia ehtoja, voivat olla hyvinkin
erilaisia. Esimerkkeinä tutkielmassa todistetaan Coulombin systeeminä kuvattavan
vetyatomin rakenteellinen vakaus sekä fysikaalisia systeemeitä koskevan nollapisteenergian olemassaolo. Edeltävät esimerkit ovat selitettävissä vain kvanttimekaniikan
matemaattisen, epävisuaalisen ja osin epäintuitiivisen mallin avulla. Yleistajuisesti
epätarkkuusperiaate kertoo, ettei pientä kvanttihiukkasta voi puristaa mielivaltaisen
pieneen tilavuuteen, ilman, että hiukkasen liike-energia kasvaa rajoittamattomasti.
Tutkielmassa käsiteltävät fysikaaliset ilmiöt on pyritty kohtuullisesti motivoimaan
ja kaikki matemaattiset todistukset on kirjoitettu kattavin välivaihein auki.
i
¨
SISALLYS
1.
Johdanto
2.
Peruskäsitteitä
2.1 Hilbertin avaruus
1
6
L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.2 Lineaariset operaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.
Fourier-muunnos
16
3.1 Fourier-muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
3.2 Fourier-muunnos avaruudessa L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Heisenbergin epäyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.
Kvanttimekaniikan sovellukset
31
4.1 Schrödingerin yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Heisenbergin epätarkkuusperiaate aaltohiukkasille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Heisenbergin epätarkkuusperiaate operaattoreille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Ajan ja energian epätarkkuusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Coulombin epätarkkuusperiaate ja atomien vakaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja nollapiste-energia . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Yleinen epätarkkuusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.
Heisenbergin mikroskooppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.
yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lähteet
60
ii
¨
LYHENTEET JA MERKINNAT
|a| (tai |a|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . luvun a ∈ C (tai a ∈ Cn ) itseisarvo
a (tai a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . luvun a (tai a) kompleksikonjugaatti
C 0 (Ω) . . . . . . . . . joukossa Ω ⊂ Rn jatkuvien (kompleksiarvoisten) funktioiden joukko
C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . joukossa Ω k -kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko
supp(f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f kantaja
C0k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kompaktikantajaisten C k (Ω) -luokan funktioiden joukko
∇f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ C 1 (Ω) gradientti
2
2
∇
f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ C (Ω) Laplacen operaattori
f dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f (x) Riemannin tai Lebesguen integraali
Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p-integroituvien funktioiden avaruus joukossa Ω
H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolevin avaruus joukossa Ω
kf kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . avaruuden Lp normi; Lp -normi
m(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon Ω Lebesguen mitta
m.k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . melkein kaikkialla
[f ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ekvivalenssiluokka
H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbertin avaruus
D(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineaarisen operaattorin T määrittelyjoukko, D(T ) ⊂ H
kT k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . operaattorin T normi
(ψ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineaarisen vektoriavaruuden alkioiden ψ ja φ sisätulo
T ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . operaattorin T adjungoitu operaattori
[S, T ] ja {S, T } . . . . . . operaattoreiden S ja T kommutaattori ja antikommutaattori
F{f } = fˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ L1 (tai f ∈ L2 ) Fourier-muunnos
F (n) {f } . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ L1 (tai f ∈ L2 ) kertaluvun n Fourier-muunnos
4a (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f hajonta pisteen x = a suhteen
Eψ (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f odotusarvo funktion ψ suhteen
inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon suurin alaraja, inmum
sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon pienin yläraja, supremum
max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon suurin alkio, maximum
' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . suurempi tai likimain yhtäsuuri kuin
&
N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . suurempi tai positiivinen vakio kertaa yhtäsuuri kuin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukkojen tensoritulo
V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukkojen antisymmetrinen tensoritulo
ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kulmataajuus
k, k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aaltoluku, aaltolukuvektori
A(k, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aaltoliikkeen amplitudifunktio
h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planckin vakio, ~ := h/2π
vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ryhmänopeus
me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . elektronin massa
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alkeisvaraus
ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coulombin vakio
a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bohrin säde
ρψ = |ψ|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . paikan todennäköisyystiheys tilassa ψ
A ja Aˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . observaabeli A ja vastaava operaattori Aˆ
4ψ (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . observaabelin A epätarkkuus tilan ψ suhteen
E(ψ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kokonaisenergiafunktionaali tilalle ψ
ψ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perustila
E0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perustilan energia
1
1.
JOHDANTO
Klassisen fysiikan mukaan kolmiulotteisessa avaruudessa etenevän kappaleen tai
hiukkasen tilasta saadaan tarkka informaatio paikan ja liikemäärän avulla, eikä
ole mitään periaatteellista estettä mitata näitä arvoja mielivaltaisella tarkkuudella. Kvanttifysiikassa absoluuttinen alaraja on kuitenkin olemassa ja tämän ilmaisee
1
Werner Heisenbergin
vuonna 1927 muotoilema epätarkkuus- tai epämääräisyyspe-
riaate, jonka mukaan on mahdotonta mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekä
hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää. Kyseistä epämääräisyyttä on kvanttimekaniikan mallin mukaan mahdotonta kiertää.
Kaikki käyttö sanoille 'paikka' tai 'nopeus', tarkkuudella, joka alittaa annetun
yhtälön, on yhtä merkityksetöntä kuin käyttää sanoja, joita ei ole määritelty.
Werner Heisenberg
Tämän tutkielman alkuosassa esitetään Fourier-muunnoksen perusominaisuuksia
neliöintegroituvien funktioiden joukossa ja erityisesti tarkastellaan kvanttimekaniikan sovellusten kannalta hyödyllisiä tuloksia. Muun muassa Parsevalin yhtälöt se2
2
kä lause, jonka mukaan Fourier-muunnos on isomorsmi joukolta L joukkoon L ,
ovat esitettyinä. Tutkielman päätuloksena on Fourier-muunnosta ja tämän kään-
f ja sen
fˆ ei voida molempia paikallistaa tarkasti. Kyseinen tulos tunne-
teismuunnosta koskeva mielenkiintoinen yhteys: nollasta eroavaa funktiota
Fourier-muunnosta
taan matemaattisena epätarkkuusperiaatteena ja Heisenbergin epätarkkuusperiaate on tämän kvanttifysikaalinen ilmentymä. Toisaalta epätarkkuusperiaatteella on
käytännöllisiä tulkintoja myös klassisessa fysiikassa: jos esimerkiksi
f (t)
esittää sig-
naalin amplitudia (esimerkiksi äänen paineaalto tai valon sähkömagneettinen aalto)
ajanhetkellä
t
ja Fourier-muunnos
fˆ(ω)
rakentuu eri taajuisista siniaalloista, niin
matemaattinen epätarkkuusperiaate antaa alarajan missä määrin signaali voi olla
sekä aikarajoitettu että taajuusrajoitettu.
Matemaattinen fysiikka tuntee useita epätarkkuusperiaatteen nimellä kulkevia tuloksia, mutta johtuen näiden lauseiden melko vaativista esityksistä, tässä tutkielmassa tarkastellaan vain kolmea esimerkkitapausta: Heisenbergin, Coulombin sekä
Sobolevin mukaan nimettyjä epätarkkuusperiaatteita. Kyseiset epätarkkuusperiaatteet ovat sopivassa funktioavaruudessa määriteltyjä integraaliepäyhtälöitä, jotka antavat tärkeitä alarajoja reaalimaailman ilmiöiden teoreettisille tarkasteluille.
Fysikaalisia ongelmia ratkaistaan usein vain numeerisesti, joten tapaukseen soveltuvan epäyhtälön tarjoamat rajoitukset ovat erittäin arvokkaita. Sopivien epäyhtälöiden avulla ollaan esimerkiksi todistettu, että luonnossa esiintyvä aine/massa on
kvanttimekaniikan mallissa vakaata, ks. [21], tai, että usean kappaleen kvanttimekaanisissa systeemeissä ytimen tunneloitumisella on olemassa yläraja, joten kylmäfuusio
on voitu tietyissä tapauksissa sulkea pois, ks. [22]. Tässä tutkielmassa epätarkkuusperiaatetta sovelletaan kvanttimekaniikan perusyhtälöön ja näin arvioidaan erilaisten systeemien liike-energioiden alarajoja. Varsinaiset yhtälönratkaisutekniikat eivät
siis ole mielenkiinnon kohteina.
1Werner
Karl Heisenberg (19011976) oli merkittävä saksalainen fysiikko, jolle myönnettiin vuo-
den 1932 fysiikan Nobelin palkinto kvanttimekaniikan kehityksestä sekä sovelluksista.
2
Klassisen fysiikan mallien mukaan fysikaalisen maailman perustan luovat aine, joka liikkuu hyvin paikallistettavina kappaleina, ja kentät, jotka ovat levittäytyneet
avaruuteen ja etenevät aaltomaisesti. Tätä maailmankuvaa tuli tarkistaa, kun uudet kokeelliset menetelmät mahdollistivat mikroskooppisten ilmiöiden havainnoimisen. Planck
2
ehdotti vuonna 1900 ratkaisua erääseen tiedeyhteisöä askarruttanee-
seen mustankappaleen ongelmaan, jossa kappaleen termodynaamista vuorovaikutusta ympäristön kanssa ei kyetty selittämään sen ajan jatkuvaluonteisilla säteilymalleilla. Planck postuloi, että aineessa värähtelevät partikkelit tulee ymmärtää
harmonisina värähtelijöinä, jotka eivät emittoi tai absorboi valoa jatkuvasti, vaan
diskreetteinä kvantteina. Matemaattisesti säteily, jonka taajuus on
energiaa aineen kanssa kuin energiapaketteina
hν .
Termi
h
ν,
ei voi vaihtaa
on nimeltään Planckin
vakio ja sillä on lukuarvo
h = 2π~ ≈ 6, 62606957(29) · 10−34 Js.
Termiä
aika)
~
kutsutaan redusoiduksi Planckin vakioksi. Vakion
h
laatu on
(energia ·
eli aktio, joka on tärkeä dynaaminen suure luonnon prosesseissa. Planckin
kvanttipostulaatti voidaan esittää myös sanomalla, että säteily, jonka taajuus on
ν,
käyttäytyy samoin kuin joukko fotoneita, joiden energia on
E := hν = ~ω,
(1.1)
jonka aine voi emittoida tai absorboida. Termiä
ω = 2πν .
ω
kutsutaan kulmataajuudeksi,
Lauseke (1.1) tunnetaan Planckin lakina. Lähtökohtaisesti Planckin vakio
mittaa diskreettiyden astetta, joka vaaditaan selittämään mustankappaleen säteilyn energiajakauma. Energian diskreettiys on oleellista kvanttimekaniikan kannalta,
mutta täysin yhteensovittamatonta klassisessa mielessä. Lisäksi on vielä todettava,
että lauseke (1.1) on melko yleinen tulos, eli se voidaan yhdistää mihin vain kvanttimekaaniseen systeemiin ehdoksi energian
E
ja systeemiin liittyvän oskilloimisen
ω
välille.
3
1923 de Broglie julkaisi idean, joka vei varhaista kvanttimekaniikkaa eteenpäin. Hän
oli pohtinut kovasti aiemmin havaittua valon hiukkasluonnetta ja päätyi silloin jopa
lapselliseen ajatukseen: jos elektromagneettisella säteilyllä on hiukkasluonnetta, niin
miksei myös hiukkasilla (kuten elektroneilla tai molekyyleillä) voisi olla aaltomaisia
ominaisuuksia? Käyttäen apunaan Planckin lakia ja suhteellisuusteoriasta tuttua
2
kaavaa E = mc de Broglie päätyi seuraavaan yhtälöön ainehiukkasille
Edeltävässä
ja
k
h
= ~k.
λdb
liikemäärä, λdb on hiukkasen
p :=
(1.2)
p
on hiukkasen
on aaltoluku,
k = 2π/λ.
de Broglien aallonpituus
De Broglien aallonpituus tuli myöhemmin osoitetuk-
si kokeellisin menetelmin (elektronidiraktio) ja hiukkaset siis omaavat merkillistä
aalto-ominaisuutta. Vastaavasti valoaaltojen hiukkasominaisuuksia (kvanttien liikemäärää ja rajattua sijaintia) edustavat kokeellisesti havaitut valosähköinen ilmiö ja
Comptonin sironta.
2Max
Karl Ernst Ludwig Planck (18581947) oli saksalainen fyysikko, joka sai kvanttihypotee-
sistaan Nobelin palkinnon vuonna 1918.
3Louis
Victor Pierre Raymond de Broglie (Herttua) (18921987) oli ranskalainen fyysikko. De
Broglie teki vastaavanlaisen löydön 1936, kun hän ensimmäisenä ehdotti julkisesti: Jokaisella
hiukkasella on antihiukkanen, jolla on vastakkaismerkkiset kvanttiluvut , [6, s. 68]. Hän sai vuoden
1929 fysiikan Nobelin palkinnon aaltohypoteesistaan. Sukunimi lausutaan dö bjor .
3
4
Bohr
esitteli jo 1913 oman semiklassisen ja puutteelliseksi osoittautuneen kvant-
titeoriansa selittääkseen atomien elektronien radat sekä säteilyspektrin diskreetin
luonteen, mutta de Broglien aaltohypoteesin jälkeen kävi kuitenkin ilmi, että nämä
ilmiöt heijastelivat sitä, että riittävän pienillä etäisyyksillä pienet hiukkaset käyttäytyivät aaltomaisesti. Elektronien diskreetit tilat ovat ilmentymiä seisovista aalloista
atomisessa potentiaalikuopassa ja analogia tähän ilmiöön löytyy seisovista sähkömagneettisen säteilyn aalloista kaviteetissa. Tästä oudosta aaltoluonteesta ja matemaattisesta epätarkkuusperiaatteesta johtuen hiukkasia ei voi puristaa mielivaltaisen pieneen tilaan, ilman, että niiden taajuus ja siten energia kasvaa rajattomasti,
ja tämä ilmaisee sen, ettei sekä paikkaa että liikemäärää voi määritellä tarkasti.
Sama ilmiö estää elektronia romahtamasta ytimeen, mikä olisi väistämätöntä klassisessa fysiikassa. Edeltävän kaltainen systeemin pienin energia, nollapiste-energia,
on vain epätarkkuusperiaatteen seuraus, sillä hiukkanen ei voi lähestyä potentiaalinsa minimiä (tarkkaa avaruudellista tilaa), ilman kasvavaa liike-energiaa. Ilmiö on
myös senkin taustalla, että hiukkanen voi siirtyä tai tunneloitua alueelle, jonne sen
ei pitäisi liike-energiansa puolesta klassisessa mielessä päästä.
Kvanttiteoria sai oleellisesti lopullisen muotonsa vuosina 1925 ja 1926. Vuonna 1925
Heisenberg kehitti oman matriisimekaniikkansa, jossa fysikaalisen systeemin kokonaisenergiaa kuvaa matriisi, jonka ominaisarvot vastaavat sallittuja energiatiloja.
5
Tämä kehitys kulminoitui tammikuussa vuonna 1926, kun Schrödinger esitteli omaa
nimeään kantavan yhtälön. Schrödingerin yhtälö on osittaisdierentiaaliyhtälö, joka kuvaa mikroskooppisen systeemin dynamiikkaa liittämällä siihen sen kvanttitilaa
kuvaavan aaltofunktion
ψ(x, t).
Kyseinen
ψ
on kompleksiarvoinen, eikä aluksi ollut
mitenkään selvää, että miten tuota aaltoa pitäisi tosiasiallisesti tulkita. Schrödinger
itse sovelsi yhtälöään menestyksekkäästi esimerkiksi vetyatomiin, muttei kuitenkaan
ymmärtänyt ratkaisuiden täyttä olemusta.
6
Samana vuonna kuin Schrödinger julkaisi yhtälönsä, niin Born , tarkasteltuaan elektronien sirontakulmia, ehdotti, että ψ tulkittaisiin todennäköisyysamplitudiksi ja re2
aalinen arvo ψψ = |ψ| kuvaisi todennäköisyystiheyttä löytää hiukkanen paikasta x.
Pian myös osoittautui, että todennäköisyystulkinnalla Schrödingerin ja Heisenbergin kvanttimekaaniset mallit olivat matemaattisilta sisällöiltään yhtenevät, mutta
helposti lähestyttävä aaltoyhtälö osoittautui kuitenkin suositummaksi kuin epävisuaalinen matriisiformalismi. Bornin tulkinta hyväksyttiin nopeasti ja se merkitsi
mullistusta fysiikan lososissa perusteissa. Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa
mistään aiemmista tuloksista, joten siihen tulee suhtautua samoin kuin Newtonin
lakeihin, jotka on todettu käytännössä hyvin toimiviksi. Näin muodostunut kvanttimekaniikan malli saavutti heti syntyessään menestystä ja kvanttimekaniikka on
vuosien saatossa mullistanut fysiikan ja kemian tieteet sekä mahdollistanut huiman
teknisen kehityksen ihmisten arkipäivässä. Luvussa 4 osoitetaan, että Heisenbergin
epätarkkuusperiaate on luonnollinen seuraus kvanttimekaniikan perusyhtälöstä sekä
Bornin tulkinnasta.
4Niels
Henrik David Bohr (18851962) oli tanskalainen fyysikko, joka sai vuonna 1922 Nobelin
palkinnon semiklassisen atomimallinsa kehittämisestä.
5Erwin
Rudolf Josef Alexander Schrödinger (18871961) oli itävaltalainen fyysikko, joka sai
löydöstään vuoden 1933 Nobelin palkinnon. Kuuluisa yhtälö syntyi talvilomalla Alpeilla, jossa hän
majaili entisen heilansa kanssa. Vaimo Anny vietti joulun kotona Zürichissä. [7, s. 194196.]
6Max Born (18821970) oli saksalainen matemaatikko ja fyysikko, joka sai havainnostaan vuoden
1954 Nobelin palkinnon.
4
Todennäköisyyteen pohjautuva fysiikan perusteoria on kuitenkin vieras klassisen
fysiikan kannalta, ja osa tiedemiehistä, esim. Schrödinger tai de Broglie, puolusti
7
voimakkaasti todennäköisyystulkinnan hylkäämää luonnon determinismiä. Einstein
hyökkäsi kvanttimekaniikkaa vastaan kiivaasti, eikä koskaan suostunut hyväksymään
kvanttifysiikan tarjoamaa kuvaa todellisuudesta sen sisältämän perustavanlaatuisen
epädeterministisyyden vuoksi.
Klassisessa fysiikassa systeemin kehitys määräytyy sen alkutilasta ja siihen vaikuttavista voimista. Kvanttimekaniikan mukaan näin ei ole ja maailman käyttäytymistä
on mahdotonta ennustaa; alkutilasta voi laskea vain eri tulevaisuuksien todennäköisyydet, eikä itse alkutilaakaan voi määrittää edes periaatteessa. Siten ei ole mitään
paluuta vanhanajan absoluuttiseen determinismiin, jossa, kuten markiisi de Laplace
toivoi, tieto nykyhetkestä kertoisi kaiken niin menneestä kuin tulevastakin.
Tässä tutkielmassa kvanttimekaanista hiukkasta, esimerkiksi elektronia, kuvataan
aluksi yksiulotteisesti
x-akselin
suunnassa etenevällä aaltofunktiolla, mutta kaikki
matemaattiset tulokset yleistyvät suoraan kolmiulotteiseen maailmaan. Hiukkasen
tai hiukkasista koostuvan systeemin tilaa kuvaa täydellisesti
funktio, ja määrätty integraali
8
siihen liitettävä aalto-
b
|ψ(x, t)|2 dx
a
antaa todennäköisyyden löytää hiukkanen väliltä
[a, b].
Erityisesti
∞
|ψ(x, t)|2 dx = 1,
−∞
sillä hiukkasen tulee löytyä jostakin päin avaruutta.
Havaintojen mukaan kvanttihiukkanen (kvanttiobjekti) käyttäytyy joskus kuten hiukkanen ja joskus kuten aalto. Joten kumpi se on? Kööpenhaminassa työskennelleen,
ja Kööpenhaminan tulkinnan kvanttimekaniikasta esitelleen, Bohrin mukaan kvanttihiukkanen on sitä, mitä sen mitataan olevan. Ihminen tulkitsee kvanttisuureiden
mittausprosessia aina klassisin termein: kun jokin näyttää hiukkaselta, niin se on
hiukkanen, ja kun jokin näyttää aallolta, niin se on aalto. Kvanttiobjekteilla on sekä
hiukkas- että aalto-ominaisuuksia aaltohiukkasdualismi ja yritys mitata tarkasti
hiukkasominaisuus jättää aalto-ominaisuuden määrittelemättömäksi, ja vastaavasti
aalto-ominaisuuden tarkka määritys jättää hiukkasominaisuuden määrittelemättömäksi. Toisin sanoen hiukkas- ja aalto-ominaisuudet ovat komplementaarisia ominaisuuksia. Edelleen, Kööpenhaminan tulkinnan mukaan, on merkityksetöntä kuvailla kvanttiobjektien ominaisuuksia, tai edes olemassaoloa, jos niitä ei olla mitattu.
Bohr siis ilmoitti, ettei mikään ole todellista, jos sitä ei ole ensin jotenkin havaittu.
Vaikka kyseinen tulkinta nostaa esiin havaitsijaa (Schrödingerin kissa -ajatuskoe)
ja fysikaalista todellisuutta koskevia kysymyksiä, niin se on kuitenkin ylivoimaisesti
suosituin malli, sillä se tarjoaa yleistasoisen selityksen, eikä oleta enempää kuin on
mahdollista osoittaa toteen.
7Albert
Einstein (18791955) oli yksi historian merkittävimmistä fyysikoista, joka loi tieteellisiä
läpimurtoja usealla rintamalla. Tosin ainoan Nobelin palkinnon saksalaissyntyinen Einstein sai
vuonna 1921 kvanttimekaniikan tutkimuksesta (valosähköisen ilmiön selittäminen).
8Tämä
ei ole aivan täsmällistä, sillä hiukkasilla on ominaisuus nimeltä spini, mutta tällä seikalla
ei ole roolia tässä tutkielmassa.
5
Muitakin tulkintoja kvanttimekaniikalle löytyy ja osa näistä saattaa olla hyvinkin
mielikuvituksellisia, kuten monimaailmatulkinta, tai enemmän pragmaattisempia,
kuten dekoherenssi, mutta tässä tutkielmassa ilmiöitä tarkastellaan ortodoksisesti
Kööpenhaminan tulkinnan näkökulmasta. Hyvä yleisteos eri tulkinnoista on [29].
Schrödingerin yhtälössä aaltofunktio kuvaa siis vain todennäköisyyttä hiukkasen paikalle, joten aineaalloista puhuminen voi olla hyvin harhaanjohtavaa. Vaikka ei ole
mitään väliä kuinka suurelle alueelle aaltofunktio on levittäytynyt, niin koskaan ei
ole havaittu, että yksittäisen hiukkasen massa tai varaus olisi myös levittäytynyt
tuolle alueelle. Päinvastoin: alkeishiukkaset, kuten elektroni, on aina havaittu pistemäisinä kappaleina, ja jos tietylle alueelle on aseteltu ilmaisimia, niin havaitaan, että
hiukkanen saapuu yhdelle ja vain yhdelle ilmaisimelle ja saapuu sinne kokonaisena.
Yhteys hiukkasen havaitsemisella ja aaltofunktiolla on tilastollinen ja jos toistetaan
samalla tavalla valmisteltua mittausta uudestaan ja uudestaan, niin havaitaan, että hiukkanen löytyy useimmin alueilta, joissa aaltofunktio on suuri ja vastaavasti
harvemmin alueilta, joissa aaltofunktio on pieni.
Mitattaessa aaltofunktio romahtaa välittömästi havaitulle tilalle, mutta tämän jälkeen todennäköisyysaalto jälleen leviää Schrödingerin yhtälön aikakehityksen myötä.
Jos nyt samalle hiukkaselle toistetaan mittaus välittömästi uudelleen, niin hiukkasen
tulee tietysti löytyä samasta paikasta, mutta Kööpenhaminan tulkinta ei edelleenkään ota mitään kantaa siihen, missä hiukkanen oli ennen ensimmäistä mittausta.
Satunnaisuus ei ole puute kvanttimekaniikassa, vaan kyseessä on luonnon sisäänrakennettu perusominaisuus, ja klassinen maailma jossa elämme on vain utuinen kuva
pinnan alla olevasta todellisuudesta.
Mutta miten hiukkanen sitten liikkuu avaruudessa paikasta toiseen? Kvanttimekaanisesti tämä ilmaistaan paikan todennäköisyyksien muutoksina kullakin alueella.
Mekanismi tämän taustalla on aaltofunktion muutos Schrödingerin yhtälössä, mutta tämä tulkinta ei kerro mitään siitä, miten hiukkanen todellisuudessa liikkuu. Ei
ole mitään sellaista kuin klassinen liikerata, kuten esimerkiksi arkikäsitys lentävistä
tykinkuulista. Tilastollinen tulkinta on kuitenkin minimaalinen siinä mielessä, ettei
se oleta mitään kvanttihiukkasen perimmäisestä luonteesta: kun selitetään luonnosta
saatavia havaintoja, niin mielenkiintoisia ovat vain mitattavissa olevat suureet.
Tämän tutkielman tarkoitus ei kuitenkaan ole alkaa enempää pohtia kvanttimekaniikan ontologisia tai epistemologisia kysymyksiä, vaan voidaan tältä osin siteerata
erästä kuuluisinta kvantti-ilmiöiden parissa työskennellyttä fyysikkoa:
Luulenpa, että on turvallista sanoa, ettei kukaan ymmärrä kvanttimekaniikkaa.
Richard Phillips Feynman (19181988)
6
2.
¨
¨
PERUSKASITTEIT
A
Fyysikot huomasivat 1920-luvulla, että Hilbertin avaruus tarjoaa mainion rakenteen
kuvaamaan modernia kvanttimekaniikkaa ja sen puitteissa johdannossa mainitut
0
2
ehdot kvanttimekaaniselle aaltofunktiolle voi luokitella seuraavasti: xψ, ψ ∈ L (R)
kψk2 = 1. Hilbertin avaruus on myös täydellinen, mikä on tärkeä ominaisuus
kvanttimekaniikan matemaattisen esityksen kannalta, sillä kaikille avaruuden (tila-
ja
avaruus ) alkioille, jotka siis kuvaavat fysikaalisen systeemin tilaa, on löydettävissä
ortogonaalinen kanta. Kvanttimekaniikalle ominainen kvantittuminen ilmaisee sen,
että systeemi voi sallia vain tiettyjä arvoja mitattaville suureille (esimerkiksi energia
tai kulmaliikemäärä) ja tämän ominaisuuden kuvaaminen on mahdollista Hilbertin
avaruudessa tarkasteltaessa operaattoreiden spektraaliesityksiä. Kvanttimekaniikka
on myös lineaarinen teoria, ja aaltojen superpositioperiaatteen mukaisesti tilaa ei
tarvitse kuvata vain yhden aaltofunktion avulla, vaan kahden tai useamman aallon summana. Juuri superpositioperiaate mahdollistaa monet kokeellisesti todetut
kvanttimekaniikan ilmiöt, jotka vaikuttavat ristiriitaisilta klassisen maailmankuvan
kannalta.
Tässä luvussa esitetään pintapuolisesti kvanttimekaniikan kannalta tärkeää avaruut2
ta L (R) sekä lineaaristen operaattoreiden teoriaa. Aluksi määritellään tärkeä joukn
ko, jonka jäseniä ovat funktiot, eivätkä tavanomaiset vektoriavaruuden C alkiot.
Joukossa
I ⊂ R
jatkuvat funktiot voi ajatella ääretönulotteisina vektoreina, joi-
den komponentit ovat arvot
f (x),
kun
x
saa arvoja joukossa
I.
kaltaiset kompleksiarvoiset jatkuvat funktiot muodostavat joukon
Kaikki edeltävän
C 0 (I; C). Vekto-
reiden summaus ja skalaarilla kertominen ovat tutut funktioiden yhteenlasku sekä
vakiolla kertominen. Vektorinormia tarkasteltaessa ollaan kiinnostuneita itseisarvon
integroituvuudesta, siis onko esimerkiksi funktion
f (x) itseisarvon p:nnen
potenssin
integraali äärellinen, ja näin saadaan, tutun kolmioepäyhtälön hengessä, metriikka
p
muodostetuksi. Tällaiseen joukkoon kuuluvat funktiot muodostavat joukon L (I).
p
Kun integraali määritellään sopivalla tavalla, niin joukko L (I) voidaan osoittaa
täydelliseksi integraalinorminsa suhteen.
2.1. Hilbertin avaruus
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.1
0
Funktio f ∈ C (I; C)
L2 .
kuuluu joukkoon
Lp (I), p ≥ 1,
jos
|f (x)|p dx < ∞.
I
1
Joukkoon L (I) kuuluvia funktioita kutsutaan yleisesti integroituviksi ja joukkoon
L2 (I) kuuluvia neliöintegroituviksi.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.2
p
Jos f ∈ L (I), niin
voidaan merkitä
p1
|f (x)| dx .
p
kf kp =
I
7
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.3
0
Olkoon funktiot f, g ∈ C (I; C).
Merkitään
f (x)g(x) dx.
(f, g) =
I
Joukolle
L2 (I)
Lause 2.1
Jos f ja g
esitetään seuraavaksi kaksi tärkeää epäyhtälöä.
(CauchynSchwarzin epäyhtälö ).
2
kuuluvat joukkoon
L (I),
niin
kf gk1 ≤ kf k2 kgk2 .
Todistus :
Väite selvästi pätee, jos
f =0
Seuraavaksi todetaan, että
Valitaan
s = |f (x)| / kf k2
tai
g = 0,
joten voidaan olettaa, että
(s − t)2 = s2 − 2st + t2 ≥ 0,
ja t = |g(x)| / kgk2 , jolloin
joten
f, g 6= 0.
st ≤ s2 /2 + t2 /2.
|f (x)| |g(x)|
1 |f (x)|2 1 |g(x)|2
+
.
≤
kf k2 kgk2
2 kf k22
2 kgk22
Integroidaan puolittain yli välin
kf gk1
=
kf k2 kgk2
I:
|f (x)g(x)|
dx
I kf k2 kgk2
|f (x)| |g(x)|
dx
=
I kf k2 kgk2
1
≤
2
=
I
|f (x)|2
1
2 dx +
2
kf k2
1 kf k22
(
2 kf k22
+
I
|g(x)|2
dx
kgk22
kgk22
)
kgk22
= 1.
Siispä
kf gk1 ≤ kf k2 kgk2 .
Lause 2.2
Jos f ja g
(Minkowskin epäyhtälö ).
2
kuuluvat joukkoon
L (I),
niin
kf + gk2 ≤ kf k2 + kgk2 .
Todistus :
Jos
kf + gk2 = 0,
niin väite on totta. Oletetaan, että
kf + gk2 6= 0.
8
kf +
gk22
|f (x) + g(x)|2 dx
=
I
|f (x) + g(x)| |f (x) + g(x)| dx
=
I
≤
|f (x) + g(x)| |f (x)| dx +
|f (x) + g(x)| |g(x)| dx
I
I
≤ kf + gk2 kf k2 + kf + gk2 kgk2
= kf + gk2 (kf k2 + kgk2 ).
Yllä on käytetty ensin kolmioepäyhtälöä sekä tämän jälkeen lausetta
lauseke termillä
kf + gk2
2.1. Jakamalla
saadaan haluttu muoto.
Jatkossa käytetään tavanomaisen Riemannin integraalin sijaan yleisempää Lebesguen integraalia, joka kehitettiin 1900-luvun alkupuolella. Fourierin muunnoksen,
ja etenkin sen käänteismuunnoksen, määritteleminen on selkeämpää kuin perinteisellä Riemannin integraalilla. Lisäksi Lebesguen integraali mahdollistaa epätavallisempienkin funktioiden integraalien määrittämisen. Tällaisia ovat esimerkiksi origon
läheisyydessä villisti käyttäytyvä funktio
sin(1/x)
sekä jotkin kaikkialla määritellyt
funktiot, jotka eivät kuitenkaan ole Riemann-integroituvia millään välillä.
Lebesguen integraali kykenee käsittelemään edeltävän kaltaisia erittäin epäsäännöllisiä funktioita ja vaatii vain heikkoa säännöllisyyttä, mitallisuutta, mutta tähän
tekniseen seikkaan ei ole mahdollista paneutua kattavasti tässä esityksessä.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.4
Funktiota f sanotaan
nollafunktioksi, jos
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.5
Joukon I karakteristinen
|f | = 0.
funktio on seuraavanlainen
(
1,
XI (x) =
0,
∈ I,
jos x ∈
/ I.
jos x
I sanotaan nollamitalliseksi, jos sen karakteristinen funktio on nollafunktio.
1
Joukko I ⊂ R on äärellisesti mitallinen, jos XI ∈ L (I), ja kyseinen mitta vastaa
lukuarvoa m(I) = kXI k1 . Joukko I ⊂ R on mitallinen, jos leikkaus I ∩ [−n, n] on
äärellisesti mitallinen kaikilla n ∈ N. Yleisesti mitallisen joukon I mitta, joka ei
välttämättä ole äärellinen, vastaa raja-arvoa m(I ∩ [−n, n]), kun n → ∞.
Joukkoa
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.6
Mitallisten joukkojen
joukon
U ⊂Y
X ja Y välinen kuvaus f on mitallinen, jos jokaisen mitallisen
f −1 (U ) ⊂ X on mitallinen.
esikuva
Jokainen numeroituva joukko on nollamitallinen ja nollamitallisten joukkojen numeroituva yhdiste tai osajoukko on myös nollamitallinen. On olemassa myös ylinumeroituvia joukkoja, jotka ovat nollamitallisia, esimerkiksi Cantorin joukko. Mitallisia
joukkoja ovat kaikki tavanomaiset joukot, esimerkiksi suljetut ja avoimet välit sekä
näiden karteesiset tulot. Välin
[a, b]
mitta on yhtä kuin välin pituus
b − a,
ja aivan
9
erityisesti yksittäisen pisteen, siis välin [a, a], mitta on nolla. Yleisemmin avaruun
dessa R mitta vastaa joukon volyymia ja pistevieraiden joukkojen numeroituvan
yhdisteen mitta on yhtä kuin kyseisten osajoukkojen mittojen summa. Käytännössä
n
kaikki avaruuden R funktiot, joita fyysikoiden täytyy käsitellä, ovat mitallisia. Syy
tähän on se, että on erittäin vaikeaa esittää ei-mitallista funktiota tai edes yhtä eimitallista joukkoa: on välttämätöntä jossain vaiheessa hyödyntää valinta-aksioomaa,
eikä tämä ole enää kovinkaan fysikaalinen tilanne. Kuuluisa BanachinTarskin para-
doksi näyttää, että ei-mitallisilla joukoilla on joitain todella erikoisia ominaisuuksia:
3
Tarkastellaan palloa B ⊂ R , jonka säde on yksi. On olemassa tapa jakaa pallo seitsemään erilliseen palaan
˙ 7
B = B1 ∪˙ . . . ∪B
siten, että vain siirtelemällä ja kiertämäl-
lä paloja voidaan muodostaa kaksi erillistä palloa, joiden säde on yksi! Vaikuttaa,
että tulos olisi vastoin fysiikan lakeja, mutta toisaalta juuri tästä onkin kyse: palat
Bi ,
tai ainakin jotkin niistä, eivät ole mitallisia ja siten tilavuuden määritelmä
9
ei enää vastaa todellisuutta . Aiheesta lisää lähteessä [18]. Lebesguen integraalista
on myös todettava, että kyseessä on Riemannin integraalin laajennus ja jos funktio
on Riemann-integroituva, niin se on myös Lebesgue-integroituva ja nämä kaksi integraalin arvoa ovat samat, joten jatkossa esitettäviin integraaleihin suhtaudutaan
samalla tavalla kuin tuttuun Riemannin integraaliin.
Jotta saadaan määritelmä
tella eri tapauksia, joissa
f
2.2 vastaamaan tavanomaista normia, niin tulee tarkaskf kp = 0. Se, että normi häviää, ei määritä funktiota
yksikäsitteisesti, sillä kaikki ne funktiot, jotka saavat vain yksittäisissä pisteissä
nollasta eroavia arvoja, omaavat integraalin arvon nolla.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.7
Olkoon funktiot f ja g määritelty joukossa I ⊂ R. Jos niiden pisteiden joukko, jossa
f (x) 6= g(x) on nollamitallinen, niin voidaan sanoa, että f on g melkein kaikkialla.
Edeltävää merkitään f = g m.k.
Nyt saadaan määritelmä
2.2
mielekkäämmäksi normin kannalta, kun samaistetaan
f ja g kutsutaan ekvivalenteiksi, jos funktio f − g
1
f ∈ L (I) ekvivalenssiluokkaa merkitään [f ]:llä;
joukko funktioita: funktioita
nollafunktio. Funktion
on
[f ] := g ∈ L1 (I) : f = g m.k. .
Mainitaan seuraavaksi kaksi hyödyllistä lausetta, jotka kertovat milloin integroimisen ja raja-arvon ottamisen järjestys voidaan vaihtaa. Lauseiden avulla voidaan esi2
merkiksi osoittaa tärkeä tulos, joka antaa avaruudelle L (R) ortogonaalisista funktioista muodostetun kannan, jonka avulla on mahdollista approksimoida jokaista
2
2
funktiota f ∈ L (R) mielivaltaisen tarkasti. Lisäksi L (R) on separoituva, eli sillä
on numeroituva ja tiheä osajoukko. Lauseen
ja lauseen
2.4
lähteestä [2, s. 54]. Lause
2.4
2.3
todistus löytyy lähteestä [2, s. 50]
ei päde Riemannin integraalille, sillä
Riemann-integroituvien funktioiden rajafunktio ei aina ole Riemann-integroituva.
Lause 2.3
(Monotonisen konvergenssin lause ).
{fn }, n ∈ N, on jono ei-negatiivisia mitallisia
kaikilla j ∈ N, ja lim fn = f . Silloin lim
fn =
Oletetaan, että
fj ≤ fj+1 ,
9Vaikka
n→∞
n→∞
funktioita siten, että
lim fn
n→∞
=
f
.
modernissa spekulatiivisessa fysiikassa onkin melko hurjia visioita, kuten multiversumi
tai 11-ulotteinen säieteoria, niin alkemiaa ei edelleenkään kelpuuteta tieteeksi.
10
Lause 2.4
(Dominoidun konvergenssin lause ).
{fn }, n ∈ N,
Oletetaan, että jono
funktiota
f
integroituvia funktioita suppenee m.k. kohden
n ∈ N.
Silloin
Lause 2.5
Kompaktikantajaisten
f
on integroituva ja lim
n→∞
10
ja jatkuvien funktioiden joukko
2
tuvien funktioiden joukossa L -normin suhteen.
Lause
2.5
φ
ja on olemassa integroituva ei-negatiivinen funktio
m.k., kaikilla
on helppo ymmärtää, sillä
L2 -funktion
fn =
|fn | ≤ φ
siten, että
lim fn
n→∞
=
f
.
C00 (R) on tiheä neliöintegroi-
tulee olla jatkuva ja hävitä ää-
rettömyydessä. Todistus löytyy lähteestä [27, s. 136] ja se perustuu askelfunktioilla
tehtävään approksimaatioon sekä dominoidun konvergenssin lauseeseen.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.8
Olkoon vektoriavaruus
V
sisätuloavaruus. Jos
V
on täydellinen sisätulon indusoiman
normin suhteen, niin sitä kutsutaan Hilbertin avaruudeksi.
Lause 2.6 (RieszinFischerin
L2 (R) on Hilbertin avaruus.
lause ).
Todistus : [2, s. 183].
Määritelmän
2.3
ja lauseen
2.2
perusteella on selvää, että kyseessä on normeerat-
tu vektoriavaruus. Tunnetusti normeerattu vektoriavaruus
V
on täydellinen, jos ja
vain jos jokainen avaruudessa V itseisesti suppeneva sarja suppenee. Oletetaan, että
P
P
P
< ∞. Olkoon Gn = n1 |fk | ja G = ∞
{fk } ⊂ L2 ja ∞
1 |fk |. Siten
1 kfk k2 = BP
n
lauseen 2.2 nojalla kGn k2 ≤
1 kfk k2 ≤ B , kaikilla n ∈ N, joten lauseen 2.3 mu 2
2
2
2
≤
B
. Siten G ∈ L (R), ja erityisesti G(x) < ∞ m.k.,
kaan
G = limn→∞
G
P∞ n
summaa termillä F ,
joka ilmaisee, että
1 fk suppenee m.k. Merkitään edeltävää
Pn 2
2
2
1
jolloin |F | ≤ G ja edelleen F ∈ L (R). Lisäksi |F −
1 fk | ≤ (2G) ∈ L , joten
lauseen 2.4 perusteella
2
n
X
lim F −
fk = lim
n→∞ n→∞
k=1
joten sarjat
P∞
1
fk
2
suppenevat
2 n
X
fk =
F −
k=1
L2 -normin
2
n
X
fk = 0,
F − lim
n→∞
k=1
suhteen. Siispä
L2 (R)
on täydellinen.
Esimerkki 2.1
Osoitetaan, että jono
{en }
on ortonormaali joukossa
L2 ([−π, π]).
1
{en } := { √ e−inx : n ∈ Z}.
2π
Lasketaan suoraan sisätulon avulla, kun
10Funktion f kantaja
n 6= m,
määritellään sulkeumana seuraavasti: supp(f )
:= {x ∈ R : f (x) 6= 0}.
11
Kun
1
1
√ e−inx , √ e−imx
2π
2π
π
1
=
e−inx e−imx dx
2π −π
π
1
1
i(m−n)x
=
e
2π i(m − n)
−π
= 0.
1 −inx √ e
= 1
2π
2π
n=m:
2
Lause 2.7
Jono {en }
on joukon
Edeltävän lauseen
L2 ([−π, π])
2.7
12
π
e−inx e−inx
dx
= 1.
−π
ortonormaali kanta.
todistus löytyy lähteestä [27, kappale 19.4] ja se perustuu
Weierstrassin approksimaatiolauseeseen. Todistuksen idea on erittäin intuitiivinen:
0
jokaista f ∈ C ([−π, π]) voidaan approksimoida jonon {en } lineaarikombinaatiolla,
0
2
2
ja koska
C ([−π, π]) on L -normin suhteen
{en } lineaarikombinaatiolle,
L ([−π, π]), niin tiheys
L2 ([−π, π]) orto-
tiheä joukossa
periytyy jonon
joka on siten joukon
normaali kanta.
Lause 2.8 (Fubinin lause ).
(a, b) ja (c, d) rajoitettuja tai rajoittamattomia
(a, b) × (c, d). Jos f on integroituva funktio joukossa J ,
Olkoon
joukon
R
välejä sekä
J =
niin funktio
d
F (x) =
f (x, y) dy
c
on määritelty m.k. välillä
(a, b), F
b
f=
J
on integroituva välillä
b
sekä on voimassa
d
F =
a
(a, b)
f (x, y) dydx.
a
c
Fubinin lauseen todistus löytyy lähteestä [1, s. 80]. Eräs Riemannin integraalin puute
on se, että jos integroituva funktio
f (x, y)
rajoitetaan toiseen muuttujistaan, niin
näin saatu funktio ei välttämättä ole enää integroituva, ks. aiheesta lisää [31, s. 4].
Lebesguen integraali on siten paljon käyttökelpoisempi teoreettisissa tarkasteluissa.
2.2. Lineaariset operaattorit.
Seuraavaksi tutustutaan hyvin lyhyesti lineaarisiin operaattoreihin. Kvanttimekaniikan matemaattisessa esityksessä lineaarisilla operaattoreilla on keskeinen merkitys,
sillä kaikki fysikaaliset mitattavat suureet on kuvattu niiden avulla. Matemaattisesti lineaariset operaattorit ovat kuvauksia vektoriavaruudelta toiselle siten, että
avaruuden lineaarinen rakenne säilyy.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.9
Kuvausta T : D(T ) → H,
missä
D(T )
on Hilbertin avaruuden
H
lineaarinen ali-
avaruus, kutsutaan lineaariseksi operaattoriksi, jos
T (aψ + bϕ) = aT ψ + bT ϕ,
∀ψ, ϕ ∈ D(T )
ja
a, b ∈ C.
12
Kaksi lineaarista operaattoria
S
ja
T
voidaan myös kertoa keskenään, jolloin tulo
on määritelty yhdistettynä kuvauksena
(ST )ϕ = S ◦ T ϕ = S(T ϕ).
Tulon
ST
määrittelyjoukko ilmaistaan tutusti:
D(ST ) := {ψ ∈ D(T ) : T ψ ∈ D(S)}.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.10
T on rajoitettu,
ψ ∈ D(T ).
Lineaarinen operaattori
kT ψk ≤ c kψk,
kaikilla
jos on olemassa sellainen vakio
Edellisessä määritelmässä pienin mahdollinen luku
c
on operaattorin
T
c > 0,
että
normi,
kT k := sup kT ψk .
kψk≤1
T kutsutaan
T sanotaan olevan isometria, jos kuvaus säilyttää
normin; kT ψk = kψk , ∀ψ ∈ D(T ). Operaattorin T jatkuvuus määritellään tutusti
suppenemisen avulla; kT ψn − T ψk → 0, kun kψn − ψk → 0, missä ψn , ψ ∈ D(T ).
Jos ylläoleva supremum ei ole olemassa, niin lineaarista operaattoria
rajoittamattomaksi. Operaattorin
Lause 2.9
Lineaarinen operaattori
T
on tasaisesti jatkuva, jos ja vain jos
T
on rajoitettu.
Todistus : [1, s. 27].
Rajoittuvuus ilmaisee tasaisen jatkuvuuden, sillä normin määritelmän avulla
kT φ − T ψk ≤ kT k kφ − ψk ,
φ, ψ ∈ D(T ).
Käänteisesti, jos T ei olisi rajoitettu, niin silloin jokaisella n ∈ N löytyisi ϕn ∈ D(T )
siten, että kT ϕn k > n kϕn k. Määritellään jono ξn = ϕn /(n kϕn k), jolloin ξn → 0,
kun n → ∞. Toisaalta kT ξn k > 1, kaikilla n ∈ N, joten T ei voi olla jatkuva tai
tasaisesti jatkuva.
{ψn } ⊂ D(T ) ⊂ H rajapiste ψ ei kuulu tasaisesti
jatkuvan lineaarisen operaattorin T määrittelyjoukkoon. Tästä huolimatta voidaan
kuvaus T ψ määritellä luonnollisella, ja lauseen 2.9 avulla, yksikäsitteisellä tavalla:
Oletetaan, että suppenevan jonon
T ψ :=
Näin voidaan laajentaa operaattori
T
lim T ψn .
n→∞
suurempaan määrittelyjoukkoon, johon kuu-
luvat kaikkien alkuperäisen määrittelyjoukon
D(T ) suppenevien jonojen rajapisteet,
11
ja tämä prosessi säilyttää operaattorinormin
D(T )
on tiheä joukossa
avaruus
H,
sekä vektoriavaruuden rakenteen. Jos
niin tämä laajennettu määrittelyjoukko on Hilbertin
H.
Kaikkien kvanttimekaniikan fysikaalisten operaattoreiden on havaittu
2
olevan tiheästi määriteltyjä Hilbertin avaruudessa L (R).
11Vektoreiden
summauksen ja vakiolla kertomisen jatkuvuudesta seuraa, että tämä laajennus
on lineaarinen. Lopuksi normin jatkuvuudesta päätellään, ettei normi voi kasvaa tai vähetä.
13
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.11
Joukko A on tiheä joukossa H,
{ϕn } ⊂ A rajapiste.
A
Olkoon
Hilbertin avaruuden
jos jokainen vektori
H
ϕ ∈ H
on suppenevan jonon
osajoukko. Jos lisätään joukkoon
rajapisteet, niin saadaan muodostettua joukon
A
Joukko, joka sisältää kaikki rajapisteensä on suljettu. Joukko
H,
jos ja vain jos
T
Olkoon
T
kaikki sen
A
A:lla.
on tiheä joukossa
A = H.
D(T ). Operaattorista
joukon D(T ) sulkeuma,
lineaarinen operaattori, jonka määrittelyjoukko on
muodostettu uusi operaattori, jonka määrittelyjoukko on
on puolestaan operaattorin
joukossa
A
sulkeuma, jota merkitään
T
sulkeuma. Jos alkuperäinen määrittelyjoukko on tiheä
H, niin operaattorin T
sulkeuma on määritelty kaikkialla joukossa
H. Seu-
raavassa luvussa annetaan esimerkki tiheästi määritellyn lineaarisen operaattorin
laajentamisesta koko Hilbertin avaruuteen, kun Fourier-muunnos määritellään jou2
1
kossa L (R) approksimoimalla joukkoon L (R) kuuluvilla funktioilla, jotka siis ovat
Fourier-muunnoksen alkuperäinen määrittelyjoukko. Täsmällisemmin todetaan, et1
2
1
2
tä joukko L (R) ∩ L (R) ⊂ L (R) on tiheä joukossa L (R), kun approksimoidaan
2
L -normilla.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.12
Olkoon joukossa D(T ) ⊂ H
määritelty lineaarinen operaattori T rajoitettu.
T ∗ , jolle on voimassa
T :n
adjungoitua operaattoria merkitään termillä
(ψ, T ϕ) = (T ∗ ψ, ϕ),
∀ψ, ϕ ∈ D(T ).
T∗
määritellään siis sisätulon avulla. Lisäksi huomataan, että
∗
selvästi operaattorin T määrittelyjoukko on vähintään D(T );
D(T ) ⊂ D(T ∗ ), sillä
T ∗ on T :n laajennus.
Edeltävän sisätulon kompleksikonjugaatti on vastaavasti
(T ϕ, ψ) = (ϕ, T ∗ ψ),
Jos
S
ja
T
∀ψ, ϕ ∈ D(T ).
ovat kaksi rajoitettua lineaarista operaattoria, niin määritelmästä seuraa
∗
∗ ∗
välittömästi:
(ψ, (ST )ϕ) = (S ψ, T ϕ) = (T S ψ, ϕ);
(ST )∗ = T ∗ S ∗ .
Lisäksi voidaan näyttää, että
ty kaikkialla joukossa
T∗
on yksikäsitteisesti määritelty, rajoitettu, määritel-
D(T ) sekä kT ∗ k = kT k. Edeltäviä ominaisuuksia ei voi johtaa
suoraan, vaan todistaminen vaatii seuraavaa tärkeää tulosta, jonka todistus löytyy
esimerkiksi lähteestä [1, s. 133], ja josta esitetyt ominaisuudet seuraavat melko suoraan edeltävien lauseiden ja määritelmien avulla.
Lause 2.10 (Rieszin esityslause ).
f jatkuva lineaarinen kuvaus f : H → C. On olemassa yksikäsitteinen z ∈ H
Olkoon
siten, että
f (x) = (x, z),
Lisäksi
kf k = kzk.
∀x ∈ H.
14
Tyypillisesti operaattorit, jotka kuvaavat fysikaalisia mitattavia suureita, ovat rajoittamattomia ja ne ovat määriteltyjä vain jossain Hilbertin avaruuden tiheässä
aliavaruudessa. Esimerkiksi liikemäärää kuvaava derivaattaoperaattori
tai paikkaoperaattori
X =x
ovat rajoittamattomia
12
P = ∂/∂x
. Tämä tilanne vaatii hieman
muokkaamista adjungoidun operaattorin määritelmään.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.13
Olkoon joukossa D(T )
määritelty lineaarinen operaattori T tiheä joukossa
T ∗ , jolla on ominaisuus
H. T :n
adjungoitu operaattori on lineaarinen operaattori
kaikilla
ϕ ∈ D(T )
Nyt operaattorin
ja kaikilla
T∗
(ψ, T ϕ) = (T ∗ ψ, ϕ),
ψ ∈ D(T ∗ ).
ψ on joukossa D(T ∗ ),
(ξ, ϕ) = (ψ, T ϕ), kaikilla
määrittelyjoukko on annettu seuraavasti:
ξ ∈H
jos ja vain jos löytyy sellainen vektori
siten, että
ϕ ∈ D(T ). Ehto, että D(T ) on tiheä, takaa Rieszin esityslauseen kanssa, että vektori
ξ edeltävässä yhtälössä on määritelty yksikäsitteisesti vektorilla ψ . Siten T ∗ on hyvin
∗
∗ ∗
∗
määritelty asettamalla T ψ = ξ . Kaksoisadjungantti (T ) on olemassa, jos D(T )
∗ ∗
on tiheä. Tässä tapauksessa (T ) on T :n laajennus. Aiheesta lisää [1, kappale 4.11].
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.14
∗
∗
Operaattori T on symmetrinen, jos T = T , kun D(T ) ⊂ D(T ). Operaattori T
∗
∗
on antisymmetrinen, jos T = −T , kun D(T ) ⊂ D(T ). Operaattori T on lisäksi
∗
∗
itseadjungoituva, jos T = T , kun D(T ) = D(T ).
Kvanttimekaniikan fysikaaliset operaattorit ovat itseadjungoituvia ja tiheästi mää2
riteltyjä joukossa L (R), mutta operaattoria on huomattavasti vaikeampi osoittaa
13
itseadjungoiduksi kuin symmetriseksi
, ks. [13, luku 2; 26, luku 2].
Lause 2.11
Lineaarista operaattoria
jos
T
T
vastaava sisätulo
(T ψ, ψ), ∀ψ ∈ D(T ),
on reaalinen,
on symmetrinen. Vastaavasti sisätulo on puhtaasti imaginaarinen, jos
T
on
antisymmetrinen.
Todistus :
Jos
T
on symmetrinen, niin
Jos taas
T
(T ψ, ψ) = (ψ, T ψ) = (T ψ, ψ), siis sisätulo on reaalinen.
(T ψ, ψ) = (ψ, T ψ) = −(T ψ, ψ) ja sisätulo on
on antisymmetrinen, niin
puhtaasti imaginaarinen.
12Helppo löytää esimerkki funktiosta ψ(x) siten, että ψ ∈ L2 (R), mutta xψ ∈
/ L2 (R).
13Symmetrisen operaattorin ominaisvektorit (kvanttimekaniikan ominaistilat ) virittävät
kan-
nan äärellisulotteisessa avaruudessa, mutta eivät ääretönulotteisessa ja separoituvassa Hilbertin
avaruudessa. Siten vaaditaan itseadjungoituvuutta, joka takaa tärkeän ortonormaalin kannan avaruudessa
L2 ,
sillä kvanttimekaniikassa operaattoria vastaavan mittauksen tulos vastaa aina yhtä
ominaistilaa. Tämä onkin kvanttiteoriassa outoa, sillä kun mittaus tehdään, niin ominaistilojen
virittämä systeemi romahtaa välittömästi yhdelle ominaistilalle, joka antaa vastaavan ominaisarvon. Kyseiset ominaisarvot
ominaistilat
φi
qi
vastaavat mittaustapahtuman vaihtoehtoisia numeerisia tuloksia ja
määräävät niiden todennäköisyyden lukuarvolla
2
|(ψ, φi )|
, kun
kψk2 = kφi k2 = 1.
15
Kahden operaattorin tulo ei yleisesti kommutoi ja tämä seikka on epätarkkuusperiaatteen keskiössä operaattorialgebran tasolla. Seuraavat operaattorifunktiot on
määritelty operaattoreiden
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.15
Operaattoreiden S
ST
ja
TS
määrittelyjoukkojen leikkauksessa.
(Kommutaattori ).
ja
T
kommutaattori määritellään seuraavasti
[ST ] = ST − T S.
Jos edellinen lauseke häviää, niin operaattoreiden sanotaan kommutoivan
voidaan määritellä antikommutaattori :
14
. Lisäksi
{ST } := ST + T S.
Lause 2.12
Kahden symmetrisen operaattorin
S
ja
T
tulo on symmetrinen, jos ja vain jos ope-
raattorit kommutoivat.
Todistus :
Olkoot
S
ja
T
kaksi symmetristä operaattoria. Tällöin
(ST ψ, ϕ) = (T ψ, Sϕ) = (ψ, T Sϕ).
ST = T S , niin ST on symmetrinen. Käänteisesti, jos ST
∗
ylläolevasta saadaan ST = (ST ) = T S .
Siispä, jos
niin
on symmetrinen,
Lause 2.13
Kahden symmetrisen operaattorin
S
ja
T
tulo voidaan hajoittaa symmetriseen ja
antisymmetriseen osaan
1
1
ST = {S, T } + [S, T ].
2
2
Todistus :
∗
∗
∗
Symmetrisyyden nojalla {S, T } = (ST ) + (T S) = ST + T S = {S, T } on symmet∗
∗
∗
rinen, ja [S, T ] = (ST ) − (T S) = T S − ST = −[S, T ] antisymmetrinen.
Määritellään tämän kappaleen lopuksi isomorsmi, jota voidaan yleisellä tasolla
pitää avaruuden rakenteen säilyttävänä lineaarisena ja bijektiivisenä kuvauksena.
M¨
a¨
aritelm¨
a 2.16
H0 ovat isomorsia ja kuvaus T
0
bijektio T : H → H siten, että
Kaksi Hilbertin avaruutta
on olemassa lineaarinen
H
ja
(T ψ, T ϕ) = (ψ, ϕ),
14Jos
on isomorsmi, jos
∀ψ, ϕ ∈ H.
kaksi lineaarista operaattoria kommutoi, eli ovat yhtäaikaa diagonalisoituvat, niin niillä
n × n-matriisit
A ja B ovat yhtäaikaa diagonalisoituvat, jos löytyy kääntyvä matriisi S siten, että sekä S −1 AS että
S −1 BS ovat diagonaalimatriiseita. Koska (S −1 AS)(S −1 BS) = (S −1 BS)(S −1 AS), niin AB = BA.
on samat ominaisvektorit. Lineaarisia operaattoreita voidaan kuvata matriiseilla ja
16
3.
FOURIER − MUUNNOS
Fourier-muunnos, ja samalla koko Fourier-analyysi
15
, on erittäin tärkeä menetelmä
monella matematiikan ja fysiikan osa-alueella. Kvanttimekaniikassa Fourier-analyysi
on välttämätön väline niin teorian tulkinnalle kuin ongelmien ratkaisemisellekin.
Tässä tutkielmassa muunnoksen avulla saadaan kvanttimekaniikan keskeinen tulos
Schrödingerin yhtälö ratkaistua integraalimuodossa, saadaan esitysmuoto tärkeille
odotusarvoille sekä lisäksi osoittautuu, että Heisenbergin epätarkkuusperiaate on
vain Fourier-muunnosta koskevan matemaattisen tuloksen fysikaalinen sovellutus.
Fourier-analyysi perustuu ideaan, että miltei jokainen funktio voidaan esittää trigonometristen funktioiden summana, superpositiona. Tässä luvussa tarkastellaan
kuitenkin suoraan Fourier-muunnosta, sillä kattavan esityksen antaminen muodostuisi aivan liian laajaksi. Kyseinen integraalimuunnos koskee koko reaalilukuväliä,
p
p
joten jatkossa merkitään L (R) := L . Fourier-muunnos F on lineaarinen kuvaus
Hilbertin avaruuden integroituvien funktioiden joukosta funktioiksi, jotka kuuluvat
edelleen samaan Hilbertin avaruuteen, joten
F
on esimerkki lineaarisesta operaatto-
rista. Aluksi määritellään muunnos integroituvien funktioiden joukossa ja kun tämä
on esitetty, niin kyseinen muunnos voidaan edelleen laajentaa koskemaan kvantti2
mekaniikan kannalta mielenkiintoista avaruutta L .
Tutkielmassa tarkastellaan sekä tila-avaruuden (Hilbertin avaruus) vektoreita että
vastaavia aaltofunktioita niiden integraalimuodoissa, jotka siis ilmaistaan Fouriermuunnoksen avulla. Seuraavaksi esiintyvät funktiot ovat tavanomaisia funktioita,
mutta luvussa
4
käsitellään fysikaalisia olioita, kun tutustutaan kvanttimekaanisen
kappaleen dynamiikkaa kuvaavaan Schrödingerin yhtälöön.
3.1. Fourier-muunnos.
M¨
a¨
aritelm¨
a 3.1
1
Jos f ∈ L , niin
(Fourier-muunnos ).
funktion
f
Fourier-muunnosta merkitään
F{f } = fˆ ja
muunnos
määritellään integraalina
1
fˆ(k) = √
2π
(3.1)
Muuttuja
k ∈ R
∞
e−ikx f (x) dx.
−∞
kuuluu käänteisavaruuteen, Fourierin avaruuteen tai kvantti-
mekaniikan puitteissa liikemääräavaruuteen. Näin tehdään ero paikka-avaruuden
x ∈ R. Vastaavasti funktiota f kutsutaan
funktiota fˆ funktioksi käänteisavaruudessa.
kanssa, mikä muodostuu muuttujista
funktioksi paikka-avaruudessa ja
Seuraavaksi voidaan todistaa Fourier-muunnokselle joukko ominaisuuksia ja jatkon
kannalta tärkeitä laskusääntöjä.
15Jean
Baptiste Joseph Fourier (17681830) oli merkittävä ranskalainen matemaatikko, fyysikko
ja insinööri, joka vaikutti voimakkaasti matemaattisen fysiikan kehitykseen. Lisäksi hän oli mm.
ensimmäinen tiedemies, joka ennusti kasvihuoneilmiön. Napoleonin kaverina hän johti Eqyptin
sotaretkellä tieteellistä retkikuntaa, joka mm. löysi eqyptologiassa tärkeän Rosettan kiven. Ranskan
vallankumouksen pyörteissä Fourier onnistui välttämään vain täpärästi giljotiinin. [28, luku 1.]
17
Lause 3.1
1
Jos f ∈ L ,
fˆ(k)
(2.) fˆ(k)
(1.)
niin Fourier-muunnokselle
on rajoitettu, kun
fˆ pätevät
seuraavat ehdot
k ∈ R.
on tasaisesti jatkuva, kun
k ∈ R.
Todistus : [1, s. 259].
(1.) Rajoittuneisuus seuraa suoraan määritelmästä, sillä
∞
1
ˆ e−ikx f (x) dx
f (k) = √
2π −∞
∞
−ikx 1
e
|f (x)| dx
≤ √
2π −∞
1
= √ kf k1 .
2π
Funktion
f L1 -normi
on äärellinen, joten
fˆ(k)
on rajoitettu;
F
on siten rajoitettu
lineaarinen operaattori.
f ∈ L1 .
k, h ∈ R on voimassa
∞
1 ∞ −i(k+h)x
ˆ
−ikx
ˆ
e
f (x) dx −
e
f (x) dx
f (k + h) − f (k) = √ 2π −∞
−∞
∞
−ikx −ihx
1
e
e
≤ √
− 1 |f (x)| dx
2π −∞
∞
−ihx
1
e
− 1 |f (x)| dx.
≤ √
2π −∞
(2.) Olkoon
Kaikille
Koska
−ihx
e
− 1 |f (x)| ≤ 2 |f (x)|
ja
lim e−ihx − 1 = 0,
h→0
niin voidaan päätellä lauseen
2.4
1
lim √
h→0 2π
∀x ∈ R,
avulla, että
∞
−ihx
e
− 1 |f (x)| dx = 0.
−∞
Edeltävä suppeneminen on tasaista, sillä integraali on riippumaton muuttujasta
Mainitaan lisäksi, että jatkuvuudesta seuraa myös muunnoksen
k.
fˆ mitallisuus.
Lause 3.2 (RiemanninLebesguen
1
Jos f ∈ L , niin lim fˆ(k) = 0.
|k|→∞
Todistus : [1, s. 260].
lause ).
18
Ensin huomataan, että
e−ikx = −e−ikx−iπ ,
siispä
∞
π
1
ˆ
√
e−ik(x+ k ) f (x) dx,
f (k) = −
2π −∞
∞
1
π
0
= −√
e−ikx f (x0 − ) dx0 .
k
2π −∞
(x0 = x +
π
)
k
Nyt muunnos voidaan antaa hajoitelmana
o
1nˆ
fˆ(k) =
f (k) + fˆ(k)
2
∞
∞
1
1
1
π
−ikx
−ikx
√
=
e
f (x) dx − √
e
f (x − ) dx
2
k
2π −∞
2π −∞
∞
h
i
1
π
= √
e−ikx f (x) − f (x − ) dx
k
2 2π −∞
∞
−ikx 1
e
f (x) − f (x − π ) dx
≤ √
k
2 2π −∞
∞
π 1
≤ √
f (x) − f (x − ) dx.
k
2 2π −∞
Tästä päätellään, että
lim
|k|→∞
ˆ f (k) ≤
1
√
lim
|k|→∞ 2 2π
∞
π f (x) − f (x − ) dx = 0.
k
−∞
Edeltävän integraalin raja-arvon laskeminen ei ole aivan selvää, eikä tapauksessa
voi soveltaa dominoidun konvergenssin lausetta, mutta tarvittava translaatioiden
1
jatkuvuutta joukossa L koskeva tulos löytyy vaikkapa lähteestä [1, s. 50].
Lause 3.3
1
Jos f ∈ L
ja
α ∈ R,
niin
(1.) (modulaatio )
F{eiαx f (x)} = fˆ(k − α).
(2.) (translaatio )
F{f (x − α)} = e−iαk fˆ(k).
(3.) (skaalaus )
F{f (αx)} = α1 fˆ( αk ), α > 0.
Todistus :
(1.)
F{e
iαx
∞
1
f (x)} = √
e−ikx eiαx f (x) dx
2π −∞
∞
1
= √
e−i(k−α)x f (x) dx = fˆ(k − α).
2π −∞
19
(2.)
∞
1
F{f (x − α)} = √
e−ikx f (x − α) dx,
2π −∞
∞
1
= √
e−ik(ξ+α) f (ξ) dξ
2π −∞
−iαk ˆ
f (k).
= e
(ξ = x − α)
(3.)
∞
1
F{f (αx)} = √
e−ikx f (αx) dx,
2π −∞
∞
k
1
= √
e−i α ξ f (ξ) d(ξ/α)
2π −∞
1ˆ k
=
f ( ).
α α
(ξ = αx)
Eräs Fourier-muunnoksen tärkeimmistä ominaisuuksista on se, että derivoiminen
voidaan muuntaa algebralliseksi laskutoimitukseksi, ja tästä on tietysti hyötyä esim.
dierentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.
Lause 3.4
Jos f on jatkuva,
paloittain derivoituva funktio,
f, f 0 ∈ L1 ,
ja
lim f (x) = 0,
|x|→∞
niin
F{f 0 } = ikF{f }.
Todistus :
Yksinkertainen osittaisintegroiminen antaa tuloksen
∞
1
F{f } = √
e−ikx f 0 (x) dx
2π −∞
∞
∞
1 −ikx
ik
e−ikx f (x) dx = 0 + ik fˆ(k).
= √
e
f (x) −∞ + √
2π
2π −∞
0
Lause
3.4 pätee yleisemminkin ja on helppo osoittaa toistuvan lauseen 3.4 käytön tai
toistuvan osittaisintegroinnin sekä matemaattisen induktion avulla seuraava tulos.
Lause 3.5
Jos f on jatkuva, n-kertaa paloittain derivoituva
(k)
lim f
(x) = 0, kun k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1}, niin
funktio,
|x|→∞
F{f (n) } = (ik)n F{f }.
f, f 0 , ..., f (n) ∈ L1 ,
ja
20
3.2. Fourier-muunnos avaruudessa
L2 .
Toistaiseksi ollaan esitelty Fourier-muunnosta joukossa
L1 , mutta tutkielman tavoit-
teena on tarkastella kvanttimekaniikan matemaattisen rakenteen kannalta oleellista
2
joukkoa L . Kun siirrytään tutkimaan Fourier-muunnosta neliöintegroituvien funktioiden tapauksessa, niin törmätään heti ongelmiin: integraali (3.1) ei välttämättä
2
1
suppene, jos f on joukossa L muttei joukossa L . On kuitenkin mahdollista laajen1
2
2
taa Fourier-muunnos surjektiivisesti joukosta L ∩ L joukkoon L .
2
Seuraava tulos on L -teorian kannalta tärkeä, sillä sekertoo,
että jos jatkuva funktio
f
kf k2 = fˆ .
häviää rajoitetun välin ulkopuolella, niin
2
Lause 3.6 (Plancherelin lause ).
2
0
Jos f ∈ C0 (R), niin fˆ ∈ L ja kf k2 = fˆ
.
2
Todistus : Laajennettu versio lähteestä [1, s. 263].
f = 0 välin [−π, π] ulkopuolella. Koska jono {en } on ortonormaali
2.7, niin funktio voidaan esittää lineaarikombinaationa seuraavasti16
Oletetaan, että
kanta, lause
f=
∞
X
(f, en )en ,
jossa
(en , em ) = δnm .
n=−∞
Nyt voidaan määrittää normi sisätulon avulla
kf k22 = (f, f )
∞
∞
X
X
(f, em )em )
(f, en )en ,
= (
n=−∞
∞
∞
X
X
=
=
=
m=−∞
(f, en )(f, em )(en , em )
n=−∞ m=−∞
∞
X
(f, en )(f, en )
n=−∞
∞
X
|(f, en )|2
n=−∞
∞ ∞
X
2
1
inx
,
√
=
e
dx
f
(x)
2π
−∞
n=−∞
∞ X
ˆ 2
=
f (k) .
(k = −n)
k=−∞
g(x) = e−iξx f (x),
∞ 2
X
ˆ
kf k22 = kgk22 =
f (n + ξ) .
Koska edeltävä yhtälö pätee myös funktiolle
niin
n=−∞
Integroimalla nyt ovelasti muuttujan
16Koska {e }
n
on joukon
L2
ξ
suhteen yli välin
[0, 1]
ortonormaali kanta, niin jokainen funktio
saadaan
f ∈ C00 (R) ⊂ L2
esittää äärettömänä lineaarikombinaationa ja tuota sarjaa kutsutaan Fourier-sarjaksi.
voidaan
21
kf k22
=
∞ X
n=−∞
1
2
ˆ
f (n + ξ) dξ =
∞
−∞
0
2
ˆ f (ξ) dξ = fˆ .
2
f 6= 0 välin [−π, π] ulkopuolella, niin valitaan positiivinen reaaliluku λ, jolla
g(x) = f (λx) häviää välin [−π, π] ulkopuolella. Silloin gˆ(x) = fˆ(x/λ)/λ, ja siten
0
yhdistämällä edeltävät tulokset ja käyttämällä muuttujanvaihtoa ξ = λξ :
∞
∞
1 ξ 2
ˆ 0 2 0 ˆ2
2
2
2
fˆ( ) dξ =
kf k2 = λ kgk2 = λ kˆ
g k2 = λ
f
(ξ
)
dξ
=
f .
λ 2
−∞ λ
−∞
Jos
Lauseen
2.5
mukaan kaikkien joukossa R jatkuvien kompaktikantajaisten funktioi2
den joukko on tiheä joukossa L . Lause 3.6 taas näyttää, että Fourier-muunnos on
2
jatkuva kuvaus tuosta joukosta joukkoon L . Koska kuvaus on lineaarinen, niin sillä
2
2
on yksikäsitteinen laajennus lineaarikuvaukseen joukosta L joukkoon L . Tätä laa2
jennusta tullaan kutsumaan Fourier-muunnokseksi joukossa L (FourierPlancherel-
muunnos ).
M¨
a¨
aritelm¨
a 3.2 (Fourier-muunnos avaruudessa L2 ).
2
Olkoon f ∈ L , ja olkoon {ϕn } jono kompaktikantajaisia jatkuvia funktioita, jot2
ka suppenevat kohden funktiota f joukossa L , siis kf − ϕn k2 → 0, kun n → ∞.
Funktion f Fourier-muunnos on määritelty seuraavasti
(3.2)
fˆ = lim ϕˆn .
n→∞
Lause
3.6
takaa, että raja on olemassa ilman, että se riippuisi erikseen jonosta, jol-
17
la funktiota f approksimoidaan
. On syytä myös huomata, ettei suppeneminen
2
joukossa L merkitse pisteittäistä suppenemista, joten neliöintegroituvan funktion
Fourier-muunnos ei välttämättä ole määritelty jokaisessa pisteessä, toisin kuin integroituvien funktioiden kohdalla. Neliöintegroituvien funktioiden Fourier-muunnos
onkin määritelty melkein kaikkialla, m.k. Tästä syystä ei voidakaan sanoa, että jos
f ∈ L1 ∩ L2 , niin Fourier-muunnos määriteltyinä lausekkeissa (3.1) ja (3.2) olisivat
identtiset. Muunnosten kohdalla tullaan kuitenkin käyttämään samoja symboleita,
kunhan vain ollaan tietoisia tästä eroavaisuudesta.
Nyt päästään esittelemään Fourier-muunnoksen ominaisuuksia neliöintegroituvien
funktioiden tapauksissa. Ensinnäkin kyseessä on isometria.
Lause 3.7 (Parsevalin
2
Jos f ∈ L , niin
yhtälö ).
kf k2 = fˆ .
2
Todistus :
Suoraan määritelmästä
3.2
lauseen
3.6
avulla.
17Jos {χ }
n
olisi toinen jono, niin
jonoilla on sama raja-arvo ja
fˆ on
{χn − ϕn } ja {χ
ˆn − ϕˆn } suppenevat nollaan joukossa L2 . Siten
määritelty yksikäsitteisesti.
22
Lause 3.8
2
Jos f ∈ L ,
niin
fˆ(k) =
missä suppeneminen tapahtuu
1
lim √
n→∞ 2π
n
e−ikx f (x) dx,
−n
L2 -normin
suhteen.
Todistus : [1, s. 265].
Kaikilla
n = 1, 2, 3, ...
määritellään funktio
(
f (x),
fn (x) =
0,
Nyt
kf − fn k2 → 0
ja siten
|x| < n,
jos |x| ≥ n.
isometrisyydestä fˆ − fˆn → 0,
jos
kun
n → ∞.
2
Lause 3.9 (Heikko
2
Jos f, g ∈ L , niin
Parsevalin yhtälö ).
∞
∞
fˆ(x)g(x) dx.
f (x)ˆ
g (x) dx =
−∞
−∞
Todistu s: [1, s. 265].
Kaikilla
n = 1, 2, 3, ...
määritellään funktiot
(
f (x),
fn (x) =
0,
jos
jos
|x| < n,
|x| ≥ n,
ja
(
g(x),
gn (x) =
0,
Koska
1
fˆm (x) = √
2π
niin
∞
1
fˆm (x)gn (x) dx = √
2π
−∞
jos
jos
|x| < n,
|x| ≥ n.
∞
e−ixξ fm (ξ) dξ,
−∞
∞
∞
e−ixξ fm (ξ) dξdx.
gn (x)
−∞
−∞
Funktio
e−ixξ gn (x)fm (ξ)
on integroituva joukossa
R2 ,
jolloin Fubinin lausetta voidaan soveltaa. Siten
∞
1
fˆm (x)gn (x) dx = √
2π
−∞
∞
∞
e−ixξ gn (x) dxdξ
fm (ξ)
−∞
−∞
∞
=
fm (ξ)ˆ
gn (ξ) dξ.
−∞
23
Koska
kg − gn k2 → 0
avulla
kˆ
g − gˆn k2 → 0,
ja
kun
∞
n → ∞,
∞
fˆm (x)g(x) dx =
−∞
Lopuksi, kun asetetaan
fm (x)ˆ
g (x) dx.
−∞
m → ∞,
18
niin sisätulon jatkuvuuden
saadaan
∞
∞
fˆ(x)g(x) dx =
−∞
f (x)ˆ
g (x) dx.
−∞
Viimeisessä Parsevalin nimeä kantavassa lauseessa näytetään, että Fourier-muunnos
säilyttää normin lisäksi myös sisätulon.
Lause 3.10 (Yleinen
2
Jos f, g ∈ L , niin
Parsevalin yhtälö ).
∞
∞
fˆ(k)ˆ
g (k) dk.
f (x)g(x) dx =
−∞
−∞
Todistu s: Laajennettu versio lähteestä [1, s. 267].
Polarisaatioidentiteetti
(f, g) =
näyttää, että
esimerkiksi
1
kf + gk22 − kf − gk22 + i kf + igk22 − i kf − igk22
4
(f, g) = (fˆ, gˆ),
kf +
gk22
=
sillä muunnoksen isometrian ja lineaarisuuden nojalla
2
ˆ
2
kF{f + g}k2 = f + gˆ .
2
Itse polarisaatioidentiteetti seuraa suoraan sisätulon laskusäännöistä:
kf + gk22 − kf − gk22 = (f + g, f + g) − (f − g, f − g) = 2(f, g) + 2(g, f )
ja
kf + igk22 − kf − igk22 = (f + ig, f + ig) − (f − ig, f − ig) = 2(f, ig) + 2(ig, f ).
Edeltävistä saadaan
kf + gk22 − kf − gk22 + i kf + igk22 − i kf − igk22
= 2 {(f, g) + (g, f ) + i(f, ig) + i(ig, f )}
= 2 {(f, g) + (g, f ) + (f, g) − (g, f )}
= 2 {2<(f, g) + 2i=(f, g)}
= 4(f, g).
Seuraava hieman tekninen lause on hyödyllinen, kun todistetaan tärkeää käänteis2
toimitusta Fourier-muunnokselle joukossa L .
Lause 3.11
2
Olkoon f ∈ L
ja
g = fˆ.
Silloin
f = gˆ.
18|(x, y) − (x , y)| = |(x − x , y)| ≤ k(x − x )yk ≤ kx − x k kyk → 0,
n
n
n
n 2
1
2
kun
kx − xn k2 → 0.
24
Todistu s: [1, s. 266].
Lauseiden
3.7
ja
3.9
g = fˆ avulla voidaan kirjoittaa
2
¯
ˆ
ˆ
ˆ
(f, gˆ) = (f , g¯) = (f , f ) = fˆ = kf k22 .
sekä oletuksen
2
Edellisestä saadaan
(f, gˆ) = kf k22 .
Parsevalin yhtälöstä seuraa
2
kˆ
g k22 = kgk22 = fˆ = kf k22 .
2
Nyt edeltävien tulosten avulla kirjoitetaan seuraava sisätulo auki
f − gˆ2 = (f − gˆ, f − gˆ) = kf k2 − (f, gˆ) − (f, gˆ) + kˆ
g k22 = 0.
2
2
Normin häviämisen perusteella
f = gˆ.
Kaikki on valmista seuraavan tärkeän tuloksen esittämiseen, mikä kertoo, miten on
mahdollista palauttaa alkuperäinen funktio Fourier-muunnoksesta.
Lause 3.12 (Fourier-käänteismuunnos
2
Olkoon f ∈ L . Silloin
avaruudessa
1
f (x) = lim √
n→∞ 2π
missä suppeneminen tapahtuu
L
2
L2 ).
n
eikx fˆ(k) dk,
−n
-normin suhteen.
Todistus : [1, s. 267].
Olkoon
f ∈ L2 .
Asetetaan
g = fˆ,
joten lauseiden
f (x) = gˆ(x)
3.11
ja
3.8
perusteella
n
1
= lim √
e−ikx g(k) dk
n→∞ 2π −n
n
1
= lim √
eikx g(k) dk
n→∞ 2π −n
n
1
= lim √
eikx fˆ(k) dk.
n→∞ 2π −n
Lauseen
3.12
perusteella voidaan todeta, että jos
yhtäsuuruus
1
f (x) = √
2π
f ∈ L1 ∩ L2
, niin on voimassa
∞
eikx fˆ(k) dk
m.k.
−∞
Edeltävää tulosta kutsutaan Fourier-käänteismuunnokseksi ja se muodostaa yhdessä
Fourier-muunnoksen kanssa parin:
25
∞
1
F{f (x)} = √
e−ikx f (x) dx,
2π −∞
∞
1
−1
eikx f (k) dk.
F {f (k)} = √
2π −∞
Fourier-muunnosparin duaalisuutta voidaan havainnollistaa esimerkiksi seuraavasti:
1
2
(2)
jos f ∈ L ∩ L , niin F
{f (x)} = f (−x) m.k., jolloin F (4) {f (x)} = f (x) m.k.
Kvanttimekaniikassa aaltofunktioita esitetään Fourier-muunnoksen avulla, mutta
myös käänteismuunnoksella saatavilla funktioilla on fysikaalista merkitystä. Esimerkiksi paikka- ja liikemääräavaruudet ovat käänteisiä. On siis hyvä osoittaa vielä,
että jokainen neliöintegroituva funktio on jonkin toisen neliöintegroituvan funktion
Fourier-muunnos.
Lause 3.13
Fourier-muunnos
F
on isomorsmi avaruudelta
L2
avaruuteen
L2 .
Todistus : [1, s. 268].
Fourier-muunnos säilyttää lauseen
3.10 mukaisesti sisätulon, (F{f }, F{g}) = (f, g).
19
Lisäksi muunnos on lineaarisena injektiivinen
2
f ∈L
visuus. Olkoon
, ja määritellään
h=f
, joten tulee näyttää vielä surjektii-
ja
ˆ
g = h.
Nyt lauseen 3.11 perusteella f = h = g
ˆ, ja edelleen f = gˆ. Siispä jokaiselle funktiolle
f ∈ L2 löytyy aina funktio g ∈ L2 siten, että f = F{g}.
Tässä vaiheessa on hyvä laskea pari esimerkkiä Fourier-muunnoksista. Lisää teoriaa
Fourier-analyysistä löytyy esimerkiksi lähteistä [1; 2; 4; 5].
Esimerkki 3.1
Suorakulmainen yksikköpulssifunktio tai -laatikkofunktio on seuraavanlainen
(
1,
f (x) =
0,
jos
jos
|x| < b,
|x| ≥ b.
Muunnos on suoraviivainen laskutoimitus määritelmän perusteella
1
fˆ(k) = √
2π
19Lineaarinen
operaattori
b
e
−ikx
−b
T : X → Y
[0].
nollafunktioiden ekvivalenssiluokkaa
eikb − e−ikb
dx = √
=
2πik
r
on injektio, jos Ker(T )
2 sin(bk)
.
π
k
= {0}.
Edeltävässä
0
vastaa
26
Kuva 3.1 :
Vasemmalla yksikköpulssifunktio
f (x)
ja oikealla muunnos
fˆ(k).
Esimerkki 3.2
Gaussin funktio määritellään seuraavasti
2
f (x) = e−ax ,
a > 0.
Muunnos saadaan määritelmän mukaisesti
1
fˆ(k) = √
2π
∞
2
e−ax e−ikx dx.
−∞
Derivoidaan edeltävä lauseke puolittain muuttujan
k
suhteen sekä tämän jälkeen
osittaisintegroidaan.
∞
∂ ˆ
∂ 1
2
√
f (k) =
e−ax e−ikx dx
∂k
∂k 2π −∞
∞
1
2
e−ax (−ix)e−ikx dx
= √
2π −∞
∞
∂ −ax2 −ikx
i
√
=
(e
)e
dx
2a 2π −∞ ∂x
h
∞
i∞
i
−ax2 −ikx
−ax2 −ikx
√
e
=
e
+ ik
e
e
dx
−∞
2a 2π
−∞
∞
i
−ax2 −ikx
√
0 + ik
e
e
dx
=
2a 2π
−∞
k
= − fˆ(k).
2a
Siispä
fˆ(k)
toteuttaa ensimmäisen asteen dierentiaaliyhtälön, jonka ratkaisuna on
2
fˆ(k) = Ce−k /4a , C ∈ C.
Integroimisvakio
C
saadaan muunnoksen määritelmän avulla
1
fˆ(0) = √
2π
∞
−ax2 −i·0·x
e
−∞
e
1
dx = √
2π
∞
2
e−ax dx.
−∞
27
Asetetaan
J=
∞
2
−∞
J
2
e−ax dx,
joten napakoordinaattien avulla
∞
−ax2
e
=
∞
=
= 2π
0
p
π/a,
−∞
∞
−ar2
e
1
= 2π
2a
J=
−a(x2 +y 2 )
e
−∞
ja edelleen
2
e−ay dy
−∞
−∞
∞ Siispä
∞
dx ·
dxdy
(s = ar2 ; ds = 2ar dr)
r dr,
∞
π −s ∞ π
−e 0 = .
a
a
0
√
√
fˆ(0) = J/ 2π = 1/ 2a = C .
e−s ds =
Gaussin funktion Fourier-muunnos on siten
k2
1
2
F{e−ax } = √ e− 4a .
2a
Kuva 3.2 :
Vasemmalla Gaussin funktio
f (x)
ja oikealla muunnos
fˆ(k).
3.3. Heisenbergin epäyhtälö.
Fourier-muunnos koostuu trigonometristen aaltojen superpositiosta. Eksponentti
e−itω voidaan hajoittaa reaali- ja imaginaariosaan, ja jos amplitudifunktio f (t) on
reaalinen, niin samoin voidaan kyseinen superpositiokin esittää reaalisten ja imaginaaristen aaltojen summana. Fysikaalisessa mielessä Fourier-muunnos kuvaa aaltopakettia/signaalia, ja johdannossa mainittiin, ettei signaalia voi rajata tarkasti sekä
aika- että taajuustasossa: aikaskaalan kutistuessa taajuus-skaala venyy, ja päinvastoin (lause
3.3).
Ilmiön visualisoimiseksi otetaan seuraavaksi muunnoksen reaaliosa
ja tarkastellaan sinimuotoisista aalloista, joilla on vakioamplitudi
det vaihtelevat taajuuskaistavälillä
[ω − 4ω, ω + 4ω],
A ja joiden taajuu-
muodostettua aaltopakettia
ω+4ω
Acos(ω 0 t) dω 0 .
g(t) =
ω−4ω
Laskemalla määrätty integraali, funktio saadaan muotoon
g(t) = S(t)cos(ωt),
jossa
S(t) = 2A4ω
· t)
.
4ω · t
sin(4ω
28
Jos
4ω ω ,
niin kyseessä on nopeasti vaihteleva sinimuoto cos(ωt), jonka ampli-
tudia moduloi hitaasti vaihteleva funktio
S(t),
jolla on maksimi kohdassa
t=0
ja
π/4ω välein. Kokonaisuutena saadaan aaltopaketti, jonka efektii4t on noin 2π/4ω . Kolme tämänkaltaista tilannetta, eri 4ω :n arvoilla,
on esitetty kuvassa 3.3. On huomattavaa, että aaltopakettien pituus kasvaa samalla,
minimit lukujen
vinen leveys
kun taajuuskaistan väli kapenee ja aaltopaketit muuttuvat monokromaattisiksi, kun
4ω → 0.
Ilmiö koskee kaikenlaisia aaltopaketteja, joten yleisesti
4t4ω ≈ 2π.
Kuva 3.3 : Kuvissa tulo A4ω on vakio. Tapauksessa (a) luvun 4ω arvo
ω
ω
ja (c) luvun 4ω arvo on
. [10, s. 24.]
(b) luvun 4ω arvo on 16
32
on
ω
,
8
Edeltävä kuva ilmaisee selvän käänteisyyden olemassaolon käänteisavaruuksien muuttujien välillä. Tämän tutkielman tarkoitus on selvittää fysikaalisen epätarkkuusperiaatteen matemaattista perustaa, joten on hyvä olla jokin matemaattinen malli
epätarkkuudelle. Määritellään siis funktion hajonta pisteen suhteen.
M¨
a¨
aritelm¨
a 3.3
2
Olkoon f ja xf joukossa L ,
kun
f 6= 0,
sekä
a ∈ R.
Seuraavaa lukuarvoa
∞
4a (f ) =
(3.3)
(x − a)2 |f (x)|2 dx
−∞
∞
−∞
kutsutaan funktion
4a (f )
hajonnaksi pisteen
|f (x)|2 dx
x=a
suhteen.
on siis mitta sille kuinka paljon funktio levittäytyy valitun pisteen
ympärille; luku
x = a
f
! 21
x = a
4a (f )
on pieni, jos funktio häviää (on itseisarvoltaan pieni) pisteen
2
ympärillä. Jos funktio elää lähellä pistettä x = a , niin tekijä (x − a)
saa osoittajan huomattavasti nimittäjää pienemmäksi lausekkeessa
funktio elää kaukana pisteestä
suuremmaksi.
x=a
(3.3), ja jos taas
, niin sama tekijä saa osoittajan nimittäjää
29
Esimerkki 3.3
Yksikköpulssifunktio sekä tämän Fourier-muunnos annettiin esimerkissä
(
1,
f (x) =
0,
jos
jos
3.2,
|x| < b,
|x| ≥ b,
ja
r
fˆ(k) =
Kuten olettaa sopii, niin funktio
f
2 sin(bk)
.
π
k
on kasautunut pisteen
x=0
ympäristöön, kun
b
saa pieniä arvoja. Funktion hajonta origon suhteen on
v
u b
u −b (x − 0)2 dx
b
40 f = t b
=√ .
3
1 dx
−b
b kasvaessa.
ˆ
f (k) sen sijaan ei ole äärellistä hajontaa origon
!2
r
2 ∞
2 sin(bk)
(sin(bk))2 dk = ∞,
dk =
π
k
π −∞
Siispä hajonta kasvaa pulssin leveyden
Fourier-muunnoksella
∞
k2
−∞
joten
fˆ(k)
levittäytyy kauas pisteen
x=0
ulkopuolelle, ks. kuva
suhteen:
3.1.
Seuraavaksi on luvassa tärkeä tulos, joka antaa alarajan Fourier-muunnoksen ja
tämän käänteismuunnoksen hajontojen tulolle. Muunnosparin yhdistävistä ominaisuuksista seuraa, ettei funktioita
tarkasti: jos
f
f
ja
fˆ voida
molempia paikallistaa mielivaltaisen
häviää jonkin pienen välin ulkopuolella, niin
fˆ on silloin levittäytynyt
laajalle ja päinvastoin.
Lause 3.14 (Heisenbergin epäyhtälö ).
0
2
Jos f (x) ja f (x) kuuluvat joukkoon L (R),
niin on voimassa
1
4α (f )4β (fˆ) ≥ ,
2
Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos
α, β ∈ R.
2
f (x) = Ce−ax , C ∈ C
ja
a > 0.
Todistus : [4, s. 58; 5, s. 232].
Oletetaan ensin, että
α = β = 0.
Lisäksi voidaan olettaa, että normi
kxf (x)k2
äärellinen, sillä muutoin todistettava väite on triviaali.
Seuraavassa osittaisintegroinnissa huomioidaan, että
B
x |f (x)|2 A =
Koska
z + z = 2<[z],
B
B
|f (x)|2 + xf (x)f 0 (x) + xf (x)f 0 (x) dx.
A
niin edeltävä lauseke saadaan muotoon
B
|f (x)| dx = x |f (x)|2 A −
2
A
|f (x)|2 = f (x)f (x).
B
0
B
xf 0 (x)f (x) dx
xf (x)f (x) dx −
A
A
B
B
2
0
= x |f (x)| A − 2<
xf (x)f (x) dx .
A
on
30
f, fˆ ja f 0 kuuluvat joukkoon L2 , niin edeltävä integraali on olemassa, kun
A → −∞ ja B → ∞. Siten tulee olla olemassa myös rajatapausten A |f (A)|2 sekä
B |f (B)|2 , ja nämä arvot ovat nollia20.
Koska
Siispä integraali saa muodon
∞
2
∞
|f (x)| dx = −2<
(3.4)
xf (x)f (x) dx .
−∞
−∞
Parsevalin yhtälön, lause
0
3.7,
ja derivaatan muunnoksen, lause
3.4,
avulla saadaan
aputulos
ˆ ˆ kf (x)k2 = kF{f (x)}k2 = ik f (k) = k f (k) .
0
(3.5)
0
2
Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön, lause
2.1,
sekä tulosten
helppo osoittaa todistettava väite:
kf k42
∞
(40 (f )) (40 (fˆ))2 =
∞
2
2
|xf (x)| dx
−∞
∞
−∞
∞
|xf (x)|2 dx
=
−∞
∞
2
(3.4)
(3.5)
avulla on nyt
ˆ 2
k f (k) dk
2
|f 0 (x)| dx
−∞
2
|xf (x)f (x)| dx ,
(|z| = |z|)
2
0
xf (x)f (x) dx ,
(|z| ≥ |<[z]|)
0
≥
−∞
∞
=
−∞
ja
≥
<
∞
2
xf (x)f (x) dx
0
−∞
2
1 ∞
2
=
−
|f (x)| dx
2 −∞
1
=
kf k42 .
4
Väite saadaan, kun edeltävässä lausekkeessa otetaan puolittain neliöjuuri ja jaetaan
normin neliöllä.
α 6= 0 tai β 6= 0, seuraa, kun havaitaan, että uusi funktio
f (x + β) toteuttaa samat oletukset kuin f (x) sekä
Tapaus, jossa
−iαx
F (x) = e
4α (f ) = 40 (F )
ja
4β (fˆ) = 40 (Fˆ ).
Epäyhtälön yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos funktio
f 0 (x)
on suoraan verrannol0
(ehto CauchynSchwarzin epäyhtälöstä) ja xf (x)f (x) on re2
0
2
aalinen. Koska lauseke xf (x)f (x) = xf (x) · bxf (x) = x |f (x)| b on reaalinen,
linen funktioon
xf (x)
b tulee olla myös reaalinen. Kyseessä on siis funktio,
0
joka toteuttaa dierentiaaliyhtälön f (x) = bxf (x). Yhtälön ratkaisuksi saadaan
2
f (x) = Ce−ax , jossa C ∈ C, ja neliöintegroituvuudesta seuraa, että a = − 2b > 0.
Tämä Gaussin käyrien eräänlainen optimaalisuus ilmenee kuvassa 3.2.
niin verrannollisuuskertoimen
20Muutoin |f (x)| & |x|−1/2 suurilla
muuttujan
x
arvoilla, eikä
f
enää kuuluisi joukkoon
L2 .
31
4.
KVANTTIMEKANIIKAN SOVELLUKSET
Aloitetaan kvanttimekaniikan tarkastelu Schrödingerin aaltoyhtälöstä, johon tulee
suhtautua postuloituna fysikaalisena mallina. Vaikka kyseiselle yhtälölle voi antaa
enemmän tai vähemmän uskottavia perusteluita, niin fundamentaalisesti tämä tulos
perustuu intuitioon siitä, miten aaltomaisesti ilmenevän hiukkasen tulisi käyttäytyä.
Vastaavasti Isaac Newton (16421727) selitti suurten kappaleiden liiketilan voiman
sekä matematiikan avulla, eikä tätäkään mallia pysty mistään johtamaan. Ihminen
ymmärtää Newtonin lait, sillä ne ovat visualisoitavissa ja käsitteet ovat osa arkista
havaintomaailmaa toisin kuin kvanttitilan kuvaus
ψ(x, t).
4.1. Schrödingerin yhtälö.
M¨
a¨
aritelm¨
a 4.1 (Schrödingerin
yhtälö ).
Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, massa
i~
(4.1)
m > 0,
potentiaalissa
V (x)
on
∂
~2 ∂ 2
ψ(x, t) = −
ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t).
∂t
2m ∂x2
Edeltävä yhtälö määrää kvanttimekaanisen systeemin aikakehityksen ja antaa kaikki sen ominaisuudet. Lähtökohtaisesti Schrödingerin yhtälö pätee epärelativistisille hiukkasille (nopeudet huomattavasti alle valonnopeuden) ja kun magneettikenttä ei ole läsnä, mutta laajennukset näihinkin tapauksiin ovat olemassa. Klassinen
mekaniikka taas seuraa rajatapauksena. Yhtälön ratkaisut riippuvat oleellisesti systeemiin vaikuttavasta potentiaalista
V (x).
Esimerkiksi tuttu Coulombin potentiaali
sitoo elektronia vetyatomissa ytimeen, mutta metallikiteissä taas potentiaalit voivat
olla hyvinkin monimutkaisia, eikä yhtälön analyyttinen ratkaisu ole mahdollista.
Tässä tutkielmassa ei Schrödingerin yhtälöä kuitenkaan ratkota käytännön sovelluksissa, mikä on yleisesti vaikeaa, vaan keskitytään tutkimaan miten fysikaalinen
epätarkkuusperiaate voidaan johtaa kyseisestä kvanttimekaniikan perusyhtälöstä.
2
Bornin tulkinnassa |ψ(x, t)| kuvaa todennäköisyystiheyttä, ja sekä paikan x että
21
n
n
n
funktion x odotusarvoilta vaaditaan
äärellisyyttä, Eψ (x ) = (x ψ, ψ) < ∞ ja
xn ψ ∈ L2 . Seuraavaksi näytetään, että normi kψk2 = 1 on ajastariippumaton.
Lause 4.1
(Todennäköisyyden säilyminen ).
Todennäköisyystulkinta
∞
|ψ(x, t)|2 dx = 1
−∞
ei riipu ajanhetkestä
t.
Todistus :
∂
∂t
∞
∂
|ψ| dx =
∂t
−∞
2
∞
∞
∂
ψψ dx =
ψ ψ dx +
−∞
−∞ ∂t
∞
ψ
−∞
∂
ψ dx.
∂t
21Kun potentiaali V (x) sitoo hiukkasta, niin voidaan olettaa: |ψ| ∼ e−C|x| , kun |x| → ∞. Vapaan
hiukkasen tapauksessa, siis
V (x) ≡ 0,
systeemi voidaan sisällyttää riittävän suuren laatikon sisään
(esim. Linnunrata), minkä ulkopuolella aaltofunktio
ψ
häviää. Siispä
xn ψ ∈ L2 .
32
Edeltävään sijoitetaan yhtälö
(4.1)
sekä tämän kompleksikonjugaatti:
∂
~ ∂2
1
ψ = −
V (x)ψ,
ψ
+
∂t
2im ∂x2
i~
∂
~ ∂2
1
ψ =
ψ − V (x)ψ.
2
∂t
2im ∂x
i~
Saadaan
∂
∂t
Koska
∞
∞
~
∂2
∂2
|ψ| dx =
ψ 2 ψ − ψ 2 ψ dx
∂x
∂x
−∞
−∞ 2im
2
2
∂
~
∂
ψ, 2 ψ −
=
ψ, ψ
2im
∂x
∂x2
∂
∂
∂
∂
~
−
ψ, ψ +
ψ, ψ
= 0.
= −
2im
∂x ∂x
∂x ∂x
ψ ∈ L2 ,
Jos potentiaali
2
niin edeltävässä voidaan osittaisintegroida:
V (x) ≡
(vakio) yhtälössä
(4.1),
∂
∂
ψ, ψ) = −(ψ, ∂x
ψ).
( ∂x
niin silloin voidaan aaltoyhtälön
ratkaisuksi hakea optiikasta tuttua yksinkertaista tasoaaltoa
ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) ,
(4.2)
jossa
A
on amplitudi,
k
on aaltoluku ja
ω
Sijoittamalla edeltävä tasoaalto yhtälöön
kulmataajuus.
(4.1)
todetaan, että kyseessä on ratkaisu,
jos seuraava relaatio pitää paikkansa
i~(−iω) = −
~2
(ik)2 + V
2m
ja edelleen
~ω =
(4.3)
(~k)2
+ V.
2m
22
(4.3)
kutsutaan de Broglien aallon dispersiorelaatioksi , joka näyttää, että
2
potentiaalienergian V sekä liike-energian (~k) /2m summa vastaa kokonaisenergiaa
Tulosta
~ω .
Edelleen, liike-energia voidaan kirjoittaa
2
T :=
Edeltävässä termi
v
(1.2)
avulla tutumpaan muotoon
2
(~k)
p
1
=
= mv 2 .
2m
2m
2
on klassisen hiukkasen nopeus. Tulos
(4.3)
sopii hyvin yhteen
Planckin ja de Broglien oletusten kanssa, mutta itse ratkaisuaalto
(4.2)
ei voi esit-
tää todellista fysikaalista systeemiä, sillä se on levittäytynyt kaikkialle avaruuteen,
eikä ole neliöintegroituva, eikä näin ollen voi kuvata todennäköisyysamplitudia. Fysikaalinen aalto sen sijaan on joka ajanhetkellä paikallistettavissa jossain päin avaruutta ja lokalisoitunut jonkin pisteen
x
ympärille. Ratkaisu ongelmaan saadaan,
kun summataan yhteen erilaisia tasoaaltoja, jotka ovat yhtälön
(4.1)
ratkaisuja, ja
Schrödingerin yhtälön lineaarisuudesta seuraa, että tämä summa superpositio on myös ratkaisu. Tasoaaltoja summataan siten, että ne interferoivat destruktiivisesti (aaltoilu häviää) jonkin alueen ulkopuolella ja tätä superpositiota kutsutaan
aaltopaketiksi. Aalto-hiukkasdualismin hengessä aaltopaketti kuvaa sekä aaltoa että
avaruudessa liikkuvaa hyvin paikallistettua hiukkasta.
22Jälkiviisaasti
yhtälöä:
voi vain ihmetellä, miksei de Broglie keksinyt vapaan hiukkasen Schrödingerin
i~ψt = −~2 /2m · ψxx .
Aineaaltohypoteesi jäikin de Broglien ainoaksi saavutukseksi.
33
Optiikasta tiedetään, että aaltopaketin tai -pulssin kulkunopeus on ryhmänopeus,
joka määritellään seuraavasti
vg :=
∂ω
.
∂k
Schrödingerin yhtälön ratkaisuna oleville vakiopotentiaaliaalloille voidaan, tuloksen
(4.3)
avulla, laskea ryhmänopeus ja todeta, että se vastaa kvanttimekaanisen hiuk-
kasen klassista kulkunopeutta
vg =
∂ω
=
∂k
23
∂
V
~
+
~k2
2m
=
∂k
~k
p
mv
=
=
= v.
m
m
m
Kun tasoaaltoja summataan jatkuvaluontoisesti kaikilla mahdollisilla aaltoluvuilla,
niin aaltopaketin esitysmuoto muuttuu integraaliksi. Muodostetaan vastaava aaltopaketti, kun ratkaistaan Schrödingerin yhtälö
(4.1)
vakiopotentiaalissa
V.
∂
~2 ∂ 2
i~ ψ(x, t) = −
ψ(x, t) + V ψ(x, t).
∂t
2m ∂x2
Ottamalla edeltävästä puolittain Fourier-muunnos saadaan lauseen
3.5
avulla
~2 ∂ 2
∂
= F −
ψ(x, t) + V ψ(x, t)
F i~ ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
∂ ˆ
~2 k 2 ˆ
ˆ t)
i~ ψ(k,
t) =
ψ(k, t) + V ψ(k,
∂t
2m 2
p
ˆ t)
= ψ(k,
+V
2m
ˆ t)E(k).
= ψ(k,
Muunnos muutti osittaisdierentiaaliyhtälön tavalliseksi dierentiaaliyhtälöksi, joka
on helppo ratkaista:
ˆ t) = ψ(k,
ˆ 0)e −iEt
~ .
ψ(k,
Fourier-käänteismuunnos, lause
3.12,
antaa ratkaisun yleisessä integraalimuodossa
Mukavuussyistä
sitä funktion
ψ
∞
1
ˆ t) dk
√
eikx ψ(k,
ψ(x, t) =
2π −∞
∞
i
1
1ˆ p
= √
ψ( , 0)e ~ (px−E(p)t) dp.
2π −∞ ~ ~
√
ˆ t)/ ~ ja
voi sijoittaa edeltävään φ(p, t) := ψ(k,
kutsutaan myös
käänteismuunnokseksi. Vakiopotentiaalissa olevan kvanttihiukkasen
Schrödingerin yhtälön ratkaisu voidaan siis esittää muodossa
1
ψ(x, t) = √
2π~
23Pätee
myös fysikaalisille aaltopaketeille, kun
∞
φ(p, t)e
ipx
~
dp.
−∞
p
nähdään sopivasti keskiarvona, ks. [9, s. 26].
34
Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen yleisessä potentiaalissa on huomattavasti hankalampaa, eikä tapausta käsitellä tarkasti tässä tutkielmassa. Mainitaan kuitenkin,
että osittaisdierentiaaliyhtälöiden ratkaisuja voidaan esittää integraalimuodossa,
kunhan integrandi vain valitaan sopivasti, ja näitä integrandeja kutsutaan Greenin
funktioiksi. Ratkaisua yhtälöön
(4.1)
24
voidaan
esittää seuraavasti
∞
G(x, t; y, s)ψ(y, s) dy,
ψ(x, t) =
x∈R
ja
t ≥ s.
−∞
Yleistä ratkaisua voidaan myös lähestyä heuristisesti seuraten edeltäviä tuloksia.
Vakiopotentiaalissa
V
olevan hiukkasen aaltofunktio voidaan muodostaa laskemal-
la yhteen tasoaaltoja eri liikemäärien pi ja amplitudien A(pi ) arvoilla, ja joilla on
2
siten energiat Ei = pi /2m + V . Yleisessä tapauksessa aaltopaketti muodostetaan
laskemalla yhteen tasoaaltoja, joilla on liikemäärät pi , energiat Ej sekä amplitudit
A(pi , Ej ).
Näin saadaan muodostettua yleinen aaltopaketti, kun hiukkanen kulkee
V (x),
XX
i
ψ(x, t) =
A(pi , Ej )e ~ (pi x−Ej t) .
mielivaltaisessa potentiaalissa
i
j
Edeltävässä summa, joka koskee aika-energia riippuvuutta, voidaan upottaa vaihetekijänä amplitudifunktioon. Kun summataan yli kaikkien mahdollisten energioiden
ja liikemäärien, niin tapaus muuttuu jatkuvaksi ja summa integraaliksi. Integraalin
muoto on (skaalaamalla) mielekästä valita kuten vakiopotentiaalin tapauksessa:
1
ψ(x, t) = √
2π~
(4.4)
∞
φ(p, t)e
ipx
~
dp.
−∞
4.2. Heisenbergin epätarkkuusperiaate aaltohiukkasille.
Aaltofunktio
ψ kuvaa täydellisesti systeemin tilaa, joten sen tulee sisältää myös tieto
hiukkasen nopeudesta tai liikemäärästä. Informaatiota liikemäärästä ei kuitenkaan
ole suoraan saatavilla, mutta Fourier-muunnos sisältää vastauksen. Tarkasteltaessa
2
aaltopakettia (4.4) funktion |φ| voidaan tulkita kuvaavan hiukkasen liikemäärän
todennäköisyystiheyttä, ja tämän tutkielman puitteissa perustelut ovat seuraavat:
3.13 perusteella on yksi-yhteen vastaavuus aaltofunktiolla ψ sekä tämän
käänteismuunnoksella φ, mikä täyttää vaatimuksen, että informaatio liikemäärästä
olisi sisällytettynä myös aaltofunktioon φ.
(1.) Lauseen
(2.) Parsevalin yhtälön perusteella
φ
kuvaa myös todennäköisyysamplitudia:
∞
∞
2
|φ(k~, t)|2 d(k~)
|φ(p, t)| dp =
−∞
−∞
∞
=
−∞
2
1
ˆ t) dk
~ √ ψ(k,
~
2
= ψˆ = kψk22 = 1.
2
24Jos
tutussa diuusiota kuvaavassa lämpöyhtälössä korvaa ajan
t
imaginaarisella ajalla
it,
niin päädytään Schrödingerin yhtälöön. Lämpöyhtälön mallintamaa prosessia (Brownin liikettä)
voi kuvata Wienerin polkuintegraalin avulla, ja jos tarkastellaan Brownin liikettä ajassa
it,
niin
päädytään luonnon kvanttiprosessia kuvaavaan Feynmanin polkuintegraaliin, ks. [30, s. 379406].
35
|ψ(x, t)|2 on hiukkasen paikan todennäköisyystiheys, niin luontevaa on
2
laskea yhtälöllä (4.1) ja osittaisintegroinnilla, kun xψ ∈ L , liikemäärän odotusarvo:
(3.) Koska
∂
∂ ∞
Eψ (p) = m Eψ (x) = m
x |ψ|2 dx
∂t
∂t −∞
∞
2
−i~
∂
∂2
=
xψ 2 ψ − xψ 2 ψ dx
∂x
∂x
−∞ 2
∂2
−i~
∂2
xψ, 2 ψ −
=
ψ, xψ
2
∂x
∂x2
∂
∂
∂
∂
−i~
−
(xψ), ψ +
ψ, (xψ)
=
2
∂x
∂x
∂x ∂x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−i~
− ψ, ψ − x ψ, ψ +
ψ, ψ +
ψ, x ψ
=
2
∂x
∂x ∂x
∂x
∂x
∂x
∂
∂
−i~
− ψ, ψ +
ψ, ψ
=
2
∂x
∂x
∂
= −i~ ψ, ψ .
∂x
Jos taas
|φ(p, t)|2
edustaa liikemäärän todennäköisyystiheyttä, niin kyseisen odo-
tusarvon tulisi vastata edeltävää integraalia. Nyt lauseiden
3.4
ja
3.10
avulla:
∞
p |φ|2 dp
Eφ (p) =
−∞
∞
=
pφφ dp
−∞
∞
k~ψˆψˆ dk
=
−∞
∞
F{−i~
=
−∞
∞
−i~
=
−∞
∂
ψ}F{ψ} dk
∂x
∂
ψ · ψ dx.
∂x
Tämä vahvistaa oletuksen ja liikemäärän odotusarvoksi voidaan määritellä
∂
Eψ (p) := −i~ ψ, ψ .
∂x
(4.5)
Aallon
ψ
Fourier-muunnos
φ
on liikemäärän todennäköisyysamplitudi; paikka- ja
liikemääräavaruudet ovat toistensa käänteisavaruuksia (konjugaatteja ), kuvattaessa
hiukkasen tilaa voi kumpaa tahansa aaltofunktiota käyttää symmetrisellä tavalla.
Tämä tilanne suorastaan vaatii soveltamaan Heisenbergin epäyhtälöä!
Bornin todennäköisyystulkinnalla on siten luonnontieteen ontologiassa fundamentaalinen seuraus, sillä jos hiukkanen on tarkoin rajattu paikka-avaruudessa, niin se
on samalla pakoitettu olemaan tasoaaltomainen liikemääräavaruudessa, ja samoin
käänteisesti. Seuraavaksi osoitetaan kuuluisa Heisenbergin epätarkkuusperiaate.
36
Lause 4.2 (Heisenbergin epätarkkuusperiaate ).
2
2
Olkoon |ψ| ja |φ| hiukkasen paikan ja liikemäärän todennäköisyystiheydet. Luvut
2
(4α (ψ)) ja (4β (φ))2 kuvaavat jakaumien variansseja sekä luvut α ja β vastaavia
odotusarvoja. Seuraava relaatio on voimassa kaikille hiukkasille
4α (ψ)4β (φ) ≥
(4.6)
Todistus
~
.
2
25
: [5, s. 234].
Suoritetaan ensin muuttujanvaihto hajonnan lausekkeessa
∞
4β (φ(p, t)) =
(p − β)2 |φ(p, t)|2 dp
−∞
(3.3):
! 21
∞
|φ(p, t)|2 dp

 12
2
∞
2 √1 ˆ
 −∞ (~k − β) ~ ψ(k, t) d(k~) 
= 
2

∞ 1
ˆ
√
ψ(k, t) d(k~)
−∞ ~

 21
2
∞
β 2ˆ
 −∞ (k − ~ ) ψ(k, t) dk 
ˆ t) .
= ~
ψ(k,
=
~4
β

2
∞ ~
ˆ t) dk
ψ(k,
−∞
−∞
Nyt lauseen
3.14
avulla saadaan juhlistettu tulos:
4α (ψ)4β (φ)/~ ≥ 1/2.
Tilastollinen epäyhtälö ilmaisee, että jos on annettuna suuri joukko samanlaisia
hiukkasia, joilla on identtinen aaltofunktio, niin mitattaessa puolet hiukkasista paikan suhteen ja puolet liikemäärän suhteen, ei varianssien tulo voi olla mielivaltaisen
pieni. Hiukkanen voi olla millaisessa tilassa tahansa, mutta Heisenbergin epätarkkuusperiaate antaa absoluuttisen alarajan paikan ja liikemäärän mittauksille.
Klassista tapausta lausekkeessa
(4.6)
vastaa
~ → 0
tai toisin sanottuna
λdb → 0;
silloin kun systeemin de Broglien aallonpituus on merkityksettömän pieni verrattuna
systeemin kokoon (esimerkiksi jalkapallo), niin systeemiä voidaan kuvata riittävällä
tarkkuudella klassisen fysiikan keinoin. Eräs suurimmista molekyyleistä, jotka on
laboratorio-oloissa saatu käyttäytymään merkittävän aaltomaisesti, on nanometrin
halkaisijaltaan oleva fullereenipallo
C60 ,
ks. [23].
Vaikka kokeellinen mittaus häiritsee systeemiä ja tavallisesti Heisenbergin epätarkkuusperiaate tulkitaan liittyvän mittausepätarkkuuteen, niin lausekkeella
(4.6)
ei
sinällään ole mitään tekemistä laboratoriomittauksen tarkkuuden kanssa: kvantti-
mekaniikan mallissa luonto ei ole edes määritellyt hiukkasen paikkaa sekä nopeutta samanaikaisesti mielivaltaisella tarkkuudella. Edeltävästä vaatimuksesta seuraa
klassisessa mielessä paradoksaalinen tilanne, joka tunnetaan Einsteinin ideoimana
EPR-ajatuskokeena.
25Heisenberg
26
johti tuloksen Gaussin aalloille vuonna 1927 ja yleisen tapauksen, lause
4.3, todisti
samana vuonna yhdysvaltalainen fyysikko Earle Hesse Kennard (18851968).
26A.
Einstein, B. Podolsky ja N. Rosen julkaisivat yhteisartikkelin: Can Quantum-Mechanical
Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review 47, 10: 777780, 1935.
37
EPR-kokeessa jonkin hiukkasen hajoamistuotteena lähtee kaksi hiukkasta,
A
ja
B,
eri suuntiin siten, että sekä hiukkasten liikemäärien että etäisyyksien summat pysyvät vakioina (P0
= pA + pB
ja
X0 = rA + rB ).
Odotetaan, että hiukkaset ovat
matkanneet valtavan etäälle toisistaan ja tämän jälkeen voidaan vapaasti mitata
A joko paikka tai nopeus mielivaltaisen tarkasti. Koska etäisyys ja liikeA:n mittaustulos kertoo samalla tiedon B :stä. Eikö silloin,
epätarkkuusperiaatetta, hiukkasella B ole samalla ajanhetkellä mielivaltai-
hiukkasesta
määrä ovat säilyneet, niin
vastoin
sen tarkasti määritellyt paikat ja nopeudet? Kysymys yllätti niin Heisenbergin kuin
koko Kööpenhaminan väen täysin! Voiko mittaus toisella puolen maailmankaikkeutta todella vaikuttaa välittömästi hiukkaseen siten, että epätarkkuusperiaate säilyy?
Toisaalta, eihän mikään informaatio voi kulkea valoa nopeammin? Einstein piti tätä
systeemin aavemaista kaukovaikutusta todisteena siitä, että kvanttimekaniikka on
epätäydellinen fysikaalinen teoria, vaikka se antaakin hyviä tuloksia. Lopulta Niels
Bohr vastasi haasteeseen pitkällä ja vaikeaselkoisella artikkelilla, jonka otsikko oli
sama kuin EPR-artikkelissa. Vastaus oli pääpiirteissään seuraava: kvanttiteoria on
niin täydellinen teoria kuin vain voi olla ja EPR-koe on näennäinen ristiriita vain,
koska siinä käytetään klassisen maailmankuvan käsitteitä, kuten suhteellisuusteorian
lokaliteettia, jotka eivät ole kvanttiteorian todellisuudelle ominaisia. [6, s. 8890.]
EPR-ajatuskoe oli Einsteinin viimeinen yritys osoittaa kvanttiteoria epätäydelliseksi kuvaukseksi fysikaalisesta todellisuudesta, mutta lopullista vastausta ei olla saatu
vieläkään. EPR:ssä tarkasteltavat hiukkaset ovat lomittuneet, eli kummankin aaltofunktio sisältää informaatiota toisesta ja ne vuorovaikuttavat keskenään. Lomittuneet hiukkaset voivat syntyä esimerkiksi jonkin toisen hiukkasen hajoamistuotteena tai vaikka keskinäisessä törmäyksessä. Myöhemmin on kehitelty koejärjestelyitä,
joiden avulla kvanttimekaniikan ennustamaa epälokaalisuutta on voitu jopa testata.
Lomittuneilla fotoneilla tehdyissä spinikorrelaatiokokeissa on havaittu kvanttimekaanisen kaukovaikutuksen nopeudeksi vähintään 10000-kertainen valonnopeus [11].
Vielä kun otetaan huomioon alkuräjähdysmalli, jossa maailmankaikkeuden nähdään
syntyneen singulariteetista, niin teoreettiset pohdinnat saavat jo hyvin metafyysiset
mittasuhteet: kaikki maailmankaikkeuden materia ja energia ovat jatkuvassa vuoro-
vaikutuksessa keskenään!
V : V (x) = V1 > 0, kun b ≥ x ≥ a, jossa
b − a > 0 on kapea, ja V (x) = 0 muutoin. Olkoon vapaan hiukkasen liike-energia
T (vg ) siten, että erotus V1 − T > 0 on pieni. Kun kyseinen hiukkanen lähestyy vallia alueelta x < a, niin reunan läheisyydessä termin 4(ψ) puristuessa termi 4(φ)
lauseen 4.2 mukaisesti suurenee, joten todennäköisyys sille, että liike-energia ylittää
potentiaalin ja hiukkanen siirtyy (klassisesti kielletylle) alueelle x > b, kasvaa. Mitä
suurempi liike-energia T on, niin sitä vähemmän termin 4(ψ) täytyy puristua, että potentiaalivallin ylittäminen on todennäköistä, ja samalla 4(ψ) pysyy riittävän
Määritellään seuraavaksi potentiaalivalli
väli
suurena, että hiukkasen oleminen vallin toisella puolella on todennäköistä. Tämä
kvantti-ilmiö tunnetaan tunneloitumisena ja se tulee ymmärtää jälleen tilastollisesti: suuresta joukosta samanlaisia hiukkasia osa heijastuu vallista takaisin ja osa
27
tunneloituu vallin läpi
. Tunneloitumisen avulla voidaan selittää useita luonnossa
havaittuja prosesseja, esimerkiksi radioaktiivinen
α-hajoaminen tai tähtien energian
lähteenä toimiva ydinfuusio.
27Jos
kvanttimaassa
(~ 1)
yrittäisi puristaa aaltoilevan epämääräistä palloa käsien väliin,
niin vastustava voima kasvaisi alati, kunnes pallo lopulta tunneloituisi kämmenten läpi vapaaksi.
38
4.3. Heisenbergin epätarkkuusperiaate operaattoreille.
Bornin tulkinnasta ja siten epätarkkuusperiaatteesta seuraa heti, että satunnaisuus
on erottamaton osa kvanttimekaniikkaa, ja yleisesti mittaustulos onkin satunnaismuuttuja, jolla on useita mahdollisia arvoja. Periaatteessa mitattavan suureen odotusarvo voidaan määrittää ottamalla keskiarvo äärettömän monesta samalla tavoin
valmistellusta mittauksesta, mutta tulos saadaan myös käyttämällä systeemiä kuvaavaa aaltoa
ψ(x, t),
joka määrää mittausten tulosten todennäköisyydet.
Observaabelit ovat fysikaalisia suureita, kuten paikka, liikemäärä tai energia, joita
voidaan mitata, kun halutaan saada tietoa systeemistä. Kvanttimekaniikassa obser2
vaabeleita kuvataan kompleksisen Hilbertin avaruuden L lineaarisin operaattorein,
ja jotta teoria voisi käyttökelpoisesti kuvata kaikkia tila-avaruuden fysikaalisia sys2
teemeitä ψ , niin määrittelyjoukkojen oletetaan aina olevan tiheitä avaruudessa L .
Esimerkiksi suure, jolla ilmaistaan hiukkasen paikkaa, on paikan odotusarvo, jota
merkitään seuraavasti
∞
x |ψ(x, t)|2 dx = (xψ, ψ).
Eψ (x) =
−∞
Paikan odotusarvo siis määritellään sisätulona vektoreiden
ψ
ja
ξ
välillä, joista
ξ
määritellään seuraavasti
ξ(x, t) := xψ(x, t).
Vektoreiden
ψ
ja
ξ
välinen kuvaus on lineaarinen operaattori neliöintegroituvien
funktioiden avaruudessa. Voidaan siis valita kyseinen lineaarikuvaus esittämään paikan observaabelia. Perinteisesti operaattoreita merkitään hatulla.
M¨
a¨
aritelm¨
a 4.2 (Paikkaoperaattori ).
Hiukkasen paikkaa kuvaava observaabeli määritellään lineaarisena operaattorina
joka kuvaa tilavektorin
ψ
xˆ,
seuraavasti
xˆψ = xψ.
Jotta operaattoreita voitaisiin käyttää, niin tulee tietysti määritellä niitä vastaavat
määrittelyjoukot. Odotusarvo on olemassa vain, jos integraali suppenee, joten operaattoria
xˆ
voidaan käyttää vain aliavaruudessa, jossa kuvaus
2
avaruuteen L :
2
2
xψ
kuuluu Hilbertin
D(ˆ
x) := {ψ ∈ L : xψ ∈ L }.
Lisäksi voidaan määrittää operaattorit kaikille funktioille, jotka riippuvat vain paikasta
x.
Esimerkiksi potentiaalia vastaava operaattori
Vˆ (x)
esitetään seuraavasti
Vˆ ψ := V (x)ψ,
D(Vˆ ) := {ψ ∈ L2 : V (x)ψ ∈ L2 }.
Edeltävä
D(Vˆ )
on tiheä
28
joukossa
L2
ja sama pätee kaikille muillekin fysikaalisille
operaattoreille, ks. [13, kappale 2.2]. Liikemäärän odotusarvo on annettu kohdassa
(4.5)
ja käytännön laskujen vuoksi odotusarvo on syytä tulkita aaltofunktion
ψ
suhteen, eikä tämän käänteisavaruudessa.
28Olkoon Ω = {x : |V (x)| ≤ n},
n
fn = XΩn f ∈ D(Vˆ ).
Siten lauseen
2.4
kun
n ∈ N,
perusteella
∪n Ωn = R. Jokaiselle f ∈ L2
kf − fn k2 → 0, kun n → ∞. [13, s.
joten
on voimassa
59.]
39
M¨
a¨
aritelm¨
a 4.3 (Liikemääräoperaattori ).
Hiukkasen liikemäärää kuvaava observaabeli määritellään lineaarisena operaattorina
pˆ,
joka kuvaa tilavektorin
ψ
seuraavasti
pˆψ = −i~
pˆ määrittelyjoukko
Liikemääräoperaattorin
∂
ψ.
∂x
annetaan lauseen
3.4
avulla
D(ˆ
p) := {ψ ∈ L2 : k ψˆ ∈ L2 }.
Edelleen, lauseiden
3.5
ja
3.10
sekä potenssisarjojen avulla päästään määrittämään
f (p)
mielivaltaisen (analyyttisen) funktion
tusarvo on seuraavanlainen
∞ 2
Eψ (T ) =
−∞
p
|φ|2 dp =
2m
Liike-energiaa vastaava operaattori
Tˆ
odotusarvo. Tärkeä liike-energian odo-
~2 2 ˆ ˆ
~2 ∂ 2
k ψ, ψ = −
ψ, ψ .
2m
2m ∂x2
on siten
~2 ∂ 2
Tˆψ := −
ψ,
2m ∂x2
D(Tˆ) := {ψ ∈ L2 : k 2 ψˆ ∈ L2 }.
Fourier-muunnoksen eleganttien ominaisuuksien avulla saadaan laskettua koko joukko odotusarvoja, mutta yleisesti
29
fysikaaliset suureet riippuvat sekä paikasta että
E = T + V tai, mikä vielä hankalamL = x × p. Edeltävistä tuloksista saadaan
liikemäärästä. Esimerkiksi kokonaisenergia
pi, (kolmiulotteinen) kulmaliikemäärä
kyllä odotusarvo kokonaisenergialle, mutta mikä on tätä vastaava todennäköisyysfunktio? Kulmaliikemäärästä ei ole toistaiseksi tietoa senkään vertaa. Tuleeko siis
jokaiselle dynaamiselle suureelle
liikemäärälle löydettiin
φ?
A(x, p) kehittää oma todennäköisyystulkinta, kuten
Tämänkaltaisissa tilanteissa ei todennäköisyysfunktioita
kuitenkaan tarvitse alkaa muodostamaan, vaan vastaavat tulokset saadaan korres-
pondenssiperiaatteella, joka on postuloitu toimivana sijoitussääntönä ja joka pätee
yleisesti vain karteesisessa koordinaatistossa.
M¨
a¨
aritelm¨
a 4.4 (Korrespondenssiperiaate ).
ˆ p)
Observaabelia A(x, p) vastaava operaattori A(x,
saadaan muodostettua sijoitta-
malla paikan ja liikemäärän operaattorit kyseisen observaabelin lausekkeeseen
x→x
ja
p → −i~
∂
.
∂x
M¨
a¨
aritelm¨
a 4.5 (Fysikaalisen suureen odotusarvo ).
Jokaista observaabelia A(x, p) vastaa tiheästi määritelty ja itseadjungoituva operaatˆ. Systeemillä, jonka tilaa kuvaa tilavektori ψ(x, t) ∈ D(A)
ˆ , on suureen A mittori A
tausta ajanhetkellä t vastaava odotusarvo
ˆ ψ).
Eψ (A) = (Aψ,
29Kvanttimekaniikassa
spini
on myös suureita, joille ei ole vastaavuutta klassisessa fysiikassa, kuten
S. Kyseessä on pistemäisen hiukkasen sisäinen kulmaliikemäärä, jota siis ei voida visualisoida
tai määritellä, eikä siten myöskään kvantisoida, klassisen systeemin avulla.
40
Observaabeleita vastaavia operaattoreita tarkastellaan syvällisesti lähteissä
[26].
[13]
tai
Itseadjungoituvuuden sisältämä symmetrisyys on tärkeä ominaisuus, sillä mit-
tausten tulosten tulee aina olla reaalilukuja, ja lause
2.11
takaa tämän.
Esimerkki 4.1
Osoitetaan, että
xˆ, pˆ ja Tˆ
ovat symmetrisiä operaattoreita.
Paikkaoperaattorille tulos on triviaali
∞
∞
xψψ dx =
(ˆ
xψ, ψ) =
−∞
ψxψ dx = (ψ, xˆψ).
−∞
Liikemääräoperaattorin tapauksessa käytetään osittaisintegrointia
(ˆ
pψ, ψ) =
∞
∞
∂
−i~ ψ · ψ dx = −i~ψψ −∞ + i~
∂x
−∞
∞
−i~
= 0+
−∞
∞
−∞
∂
ψ · ψ dx
∂x
∂
ψ · ψ dx = (ψ, pˆψ).
∂x
Liike-energian tapaus on nyt helppo
(Tˆψ, ψ) = (
1 2
1
1 2
pˆ ψ, ψ) = (ˆ
pψ,
pˆψ) = (ψ,
pˆ ψ) = (ψ, Tˆψ).
2m
2m
2m
M¨
a¨
aritelm¨
a 4.6 (Observaabelin epätarkkuus ).
Observaabelia A vastaavaa lukuarvoa
4ψ (A) = Eψ (A − Eψ (A))2
(4.7)
kutsutaan epätarkkuudeksi, mikä kuvaa tilassa
tusarvon
Eψ (A)
Määritelmästä
belia
A
ψ
21
,
mitattujen arvojen hajontaa odo-
ympärillä.
4.6
huomataan heti, että
vastaava ominaistila ja
Eψ (A)
4ψ (A) = 0,
ψ on observaaˆ
Aψ = Eψ (A)ψ.
jos ja vain jos
on vastaava ominaisarvo ;
Seuraavaksi on listattuna joitakin fysikaalisia suureita ja niitä vastaavat operaattorit. Mukana on myös kolmiulotteiset tapaukset, sillä tässä tutkielmassa esitellyt
tulokset yleistyvät komponenteittain korkeampiin ulottuvuuksiin.
Fysikaalinen suure
Operaattori
xi , x
xˆi = xi , x
ˆ = (ˆ
x1 , xˆ2 , xˆ3 ) = x
ˆ = (ˆ
Liikemäärä pi , p
pˆi = −i~∂xi , p
p1 , pˆ2 , pˆ3 ) = −i~∇
|p|2
p·p
~2
~2
ˆ
Liike-energia T =
= 2m
T = − 2m ∇ · ∇ = − 2m
∇2
2m
Potentiaalienergia V
Vˆ (x) = V (x)
ˆ = − ~2 ∇2 + V
Kokonaisenergia E = T + V
H
2m
ˆ=x
ˆ×p
Kulmaliikemäärä L = x × p
L
ˆ = −i~x × ∇
ˆ
Taulukko 4.1 : Fysikaaliset suureet ja vastaavat operaattorit. Termi H
Paikka
kokonaisenergiaa vastaava Hamiltonin operaattori.
on
41
30
Tässä kohtaa lienee paikallaan mainita, miten Paul Dirac
, joka oli luonteeltaan
hyvin omalaatuinen matematiikan opiskelija Cambridgen yliopistossa, liittyi kvanttimekaniikan kehitykseen. Heisenberg piti seminaaripuheen Cambridgessa 1925 ja
tämän jälkeen Diracin ohjaaja Ralph Fowler (18891944) sai käsiinsä Heisenbergin
kvanttiteoriaa käsittelevän artikkelin ja antoi sen Diracille. Aluksi Dirac ei innostunut Heisenbergin vaikeaselkoisesta ja lososia ideoita sisältävästä paperista, mutta
kahden viikon kuluttua hän marssi Fowlerin toimistoon ja ilmoitti: Suurenmoista,
se sisältää avaimen kvanttimekaniikkaan! [12, s. 145.]
Heisenbergin teoria perustui siihen, etteivät jotkin fysikaaliset suureet kommutoi, ja
tämä kauneutta sotkeva sekä mahdollisesti teorian tieteellisyyden vaarantava seikka
häiritsi niin paljon, että hän pyrki kirjoittamaan artikkelinsa siten, että luonnoton epäkommutatiivisuus peittyisi kaiken muun alle. Diracille epäkommutatiiviset
algebrat eivät kuitenkaan olleet vieraita ja taitavana matemaatikkona hän sai nopeasti selville, mistä tässä uudessa teoriassa oli pohjimmiltaan kyse. Dirac osoitti,
että kvanttimekaanisten suureiden ominaisuuksia voidaan ilmaista kommutaattorien
avulla ja kommutaattori on aina Planckin vakion moninkerta. Hän yleisti Heisenbergin matriisit lineaarisiin operaattoreihin ja 1926-vuoden puoliväliin mennessä hän
oli luonut oman kommutaattoreihin perustuvan version kvanttimekaniikasta. Dirac
myös kehitti tehokkaan bra-ket formalismin, joka yksinkertaisti huomattavasti laskutoimituksia. Bohr kutsui Diracin Kööpenhaminaan, ja siinä missä Bohr, Schrödinger ja Heisenberg kävivät kiivaita ja loputtomia väittelyitään kvanttimekaniikan
todellisesta luonteesta, niin Dirac keskittyi matematiikkaan. 1928 Dirac kehitti relativistisen version Schrödingerin yhtälöstä, Diracin yhtälön, ja tämän avulla ennusti
mm. antihiukkasten olemassaolon. Samana vuonna Dirac myös kirjoitti ensimmäiset
julkaisut kvanttielektrodynamiikasta. Kun Heisenberg julkaisi epätarkkuusperiaatteensa 1927, niin nähdessään kyseisen artikkelin Dirac totesi: Oh yes, indeed, I
proved that in 1925. [6, s. 5758, 6566, 97; 8, s. 140144; 12, s. 145146.]
Matemaattiset operaattorit eivät yleisesti kommutoi ja tähän seikkaan perustuu
Kennardin muotoilema yleinen versio Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta kahden
mielivaltaisen operaattorin välillä. Esimerkiksi operaattorit
xˆi pˆi
ja
pˆi xˆi
eivät ole
samoja, kuten suora lasku osoittaa:
∂
ψ,
∂xi
∂
(xi ψ) = xˆi pˆi ψ − i~ψ.
pˆi xˆi ψ = −i~
∂xi
xˆi pˆi ψ = −i~xi
Nyt voidaan laskea kyseisille operaattoreille kommutaattori
ˆ
[ˆ
xi , pˆi ] = xi pˆi − pˆi xi = i~I.
Edeltävässä
Iˆ on
identiteettioperaattori, sillä kommutaattori pätee kaikille määri-
tellyille vektoreille
raattorit
(4.8)
30Paul
xˆi
ja
pˆj
ψ.
Osittaisderivoinnista johtuen on selvää, että esimerkiksi ope-
kommutoivat, joten yleisesti on voimassa seuraavat tulokset
[ˆ
xi , xˆj ] = [ˆ
pi , pˆj ] = 0
ja
ˆ ij .
[ˆ
xi , pˆj ] = i~Iδ
Adrien Maurice Dirac (19021984) oli englantilainen teoreettinen fyysikko, joka mm.
ennusti positronin olemassaolon 1928 sekä vaikutti merkittävästi kvanttikenttäteorian kehitykseen.
Hän sai yhdessä Erwin Schrödingerin kanssa fysiikan Nobelin palkinnon vuonna 1933.
42
Kulmaliikemäärälle voidaan suoralla laskulla osoittaa seuraavat relaatiot
ˆ 1, L
ˆ 2 ] = i~L
ˆ 3,
[L
ˆ 2, L
ˆ 3 ] = i~L
ˆ1
[L
Esimerkin vuoksi näytetään tuloksen
(4.8)
ja
ˆ 3, L
ˆ 1 ] = i~L
ˆ 2.
[L
avulla ensimmäinen tapaus toteen
ˆ 1, L
ˆ 2] =
[L
=
=
ˆ 1L
ˆ2 − L
ˆ 2L
ˆ1
L
(ˆ
x2 pˆ3 − xˆ3 pˆ2 )(ˆ
x3 pˆ1 − xˆ1 pˆ3 ) − (ˆ
x3 pˆ1 − xˆ1 pˆ3 )(ˆ
x2 pˆ3 − xˆ3 pˆ2 )
xˆ2 pˆ3 xˆ3 pˆ1 − xˆ3 pˆ2 xˆ3 pˆ1 − xˆ2 pˆ3 xˆ1 pˆ3 + xˆ3 pˆ2 xˆ1 pˆ3
−ˆ
x3 pˆ1 xˆ2 pˆ3 + xˆ1 pˆ3 xˆ2 pˆ3 + xˆ3 pˆ1 xˆ3 pˆ2 − xˆ1 pˆ3 xˆ3 pˆ2
= xˆ2 (ˆ
p3 xˆ3 )ˆ
p1 − xˆ3 xˆ3 pˆ1 pˆ2 − xˆ1 xˆ2 pˆ3 pˆ3 + xˆ1 (ˆ
x3 pˆ3 )ˆ
p2
−ˆ
x2 (ˆ
x3 pˆ3 )ˆ
p1 + xˆ1 xˆ2 pˆ3 pˆ3 + xˆ3 xˆ3 pˆ1 pˆ2 − xˆ1 (ˆ
p3 xˆ3 )ˆ
p2
= xˆ2 (ˆ
p3 xˆ3 − xˆ3 pˆ3 )ˆ
p1 + xˆ1 (ˆ
x3 pˆ3 − pˆ3 xˆ3 )ˆ
p2
ˆ 3.
= i~(−ˆ
x2 pˆ1 + xˆ1 pˆ2 ) = i~L
Kulmaliikemäärän neliö,
ˆ2 = L
ˆ 23 ,
ˆ 22 + L
ˆ 21 + L
L
kommutoi kaikkien komponenttien
kanssa
ˆ 2, L
ˆ 2, L
ˆ 2, L
ˆ 1 ] = [L
ˆ 2 ] = [L
ˆ 3 ] = 0.
[L
ˆ 2 ei riipu akseleiden valinnasta ja
Edellinen on helppo ymmärtää, sillä neliö L
ˆ :n komponenttien suhteen.
raattori on siten kiertoinvariantti, eikä tee eroa L
ope-
Jos kvanttimekaniikan operaattorit ovat valmiiksi annettuina/postuloituina, niin
voidaan muodostaa lauseen
4.2
kaltainen relaatio ilman, että käytettäisiin Fourier-
muunnosta.
Lause 4.3 (Yleinen Heisenbergin epätarkkuusperiaate ).
ˆB)
ˆ ∩ D(B
ˆ A)
ˆ
Olkoon A ja B kaksi observaabelia. Jokaiselle tilalle ψ ∈ D(A
on voi-
massa seuraava relaatio
4ψ (A)4ψ (B) ≥
(4.9)
1 ˆ B])
ˆ .
Eψ ([A,
2
ˆ − Eψ (B))ψ = iλ(Aˆ − Eψ (A))ψ, λ ∈ R \ {0},
(B
A tai B ominaistila.
Yhtäsuuruus, jos
observaabelin
tai jos
Todistus : [13, s. 174; 14, s. 97].
ˆ0 = B
ˆ − Eψ (B).
Aˆ0 = Aˆ − Eψ (A) ja B
ˆ0 ˆ0 avulla: 4ψ (A) = A
ψ ja 4ψ (B) = B
ψ .
Valitaan ensin uudet muuttujat:
Nyt
(4.7)
ja symmetrisyyden
2
2
CauchynSchwarzin epäyhtälön ja symmetrisyyden nojalla
ˆ 0 ˆ0 ˆ0 ˆ 0
4ψ (A)4ψ (B) = 4ψ (B)4ψ (A) ≥ (B
ψ, A ψ) = (A B ψ, ψ) .
Lauseen
2.13
avulla kahdelle symmetriselle operaattorille saadaan hajoitelma
ˆ 0 } + 1 [Aˆ0 , B
ˆ 0 ].
ˆ 0 = 1 {Aˆ0 , B
Aˆ0 B
2
2
ψ
on
43
Lauseen
2.11
ˆ 0 }ψ, ψ) on reaalinen sekä ([Aˆ0 , B
ˆ 0 ]ψ, ψ) on puhtaasti
({Aˆ0 , B
2
|z| = x2 + y 2 , kun z = x + iy , niin edeltävän hajoitelman
mukaisesti
imaginaarinen. Koska
sekä sisätulon avulla seuraa lauseke
2
2 1
1 ˆ0 ˆ 0
ˆ0 ˆ 0
0 ˆ0
2
ˆ
(4ψ (A)4ψ (B)) ≥ (A B ψ, ψ) = ({A , B }ψ, ψ) + ([A , B ]ψ, ψ) .
4
4
2
Edeltävän, sekä
ˆ 0 ] = [A,
ˆ B]
ˆ
[Aˆ0 , B
avulla, saadaan
2
2
2
ˆ0 ˆ 0
1 ˆ ˆ
1 ˆ0 ˆ 0
(4ψ (A)4ψ (B)) ≥ (A B ψ, ψ) ≥ 4 ([A , B ]ψ, ψ) = 4 ([A, B]ψ, ψ) .
2
Väite seuraa ottamalla puolittain neliöjuuri.
ˆ 0ψ =
Yhtäsuuruus lausekkeessa (4.9), jos ψ ei ole triviaalisti ominaistila, vaatii, että B
ˆ 0 }ψ, ψ) tulee hävitä. Siten,
z Aˆ0 ψ CauchynSchwarzin epäyhtälössä sekä luvun ({Aˆ0 , B
yhdistämällä edeltävät vaatimukset, saadaan
(Aˆ0 (z Aˆ0 )ψ, ψ) + ((z Aˆ0 )Aˆ0 ψ, ψ) = (z Aˆ0 ψ, Aˆ0 ψ) + (Aˆ0 ψ, z Aˆ0 ψ) = (z + z)(Aˆ0 ψ, Aˆ0 ψ) = 0.
ˆ 0 ψ = z Aˆ0 ψ kanssa tästä
Siispä luvun z tulee olla puhtaasti imaginaarinen, ja ehdon B
seuraa lauseke
ˆ − Eψ (B))ψ = iλ(Aˆ − Eψ (A))ψ,
(B
λ ∈ R \ {0}.
Esimerkki 4.2
Valitaan lausekkeeseen
(4.9) Aˆ = xˆi
ja
ˆ = pˆj ,
B
jolloin saadaan tuloksen
(4.8)
avulla
tuttu relaatio
1
|Eψ ([ˆ
xi , pˆj ])|
2
1
|(i~δij ψ, ψ)|
=
2
1
~
=
|i~δij kψk2 | = δij .
2
2
4ψ (ˆ
xi )4ψ (ˆ
pj ) ≥
Minimi saavutetaan ehdolla
(−i~
∂
− Eψ (ˆ
p))ψ = iλ(x − Eψ (ˆ
x))ψ,
∂x
λ ∈ R \ {0}.
Ratkaisuksi edeltävään dierentiaaliyhtälöön saadaan Gaussin aaltopaketti, jolla on
alkuhetkellä minimiarvo epämääräisyyksien tulolla. Riippuen potentiaalista, jonka
hiukkanen kokee, hajonta leviää enemmän tai vähemmän nopeasti, eikä
4ψ (ˆ
x)4ψ (ˆ
p)
ole enää minimissään. Ainoastaan harmonisella oskillaattorilla minimiaaltopaketit
yhtenevät koherenttien tilojen kanssa ja pysyvät minimissä systeemin aikakehityksen kuluessa, kun symmetrinen potentiaali pitää paikan ja liikemäärän hajontojen
tulon vakiona, ks. [3, kappale 7.8]. Kyseisten tilojen liike (aikakehitys) on lähimpänä
klassisen mekaniikan mukaista oskillaatiota.
44
4.4. Ajan ja energian epätarkkuusperiaate.
Epätarkkuusrelaatiot käsittelevät kahden observaabelin variansseja tietyllä ajanhetkellä
t.
Näiden lisäksi on olemassa epätarkkuusperiaate myös ajalle ja energialle,
mutta kyseistä esitystä ei voida antaa yhtä täsmällisesti kuin lausessa
4.3.
Tärkein
syy tähän perustavanlaatuiseen eroon on se, että aika on vain klassinen parametri
kvanttimekaniikassa, eikä dynaaminen muuttuja, kuten paikka
funktion
ψ(x, t)
integroiminen sekä paikan
x
että ajan
t
rellistä/fysikaalista tulosta. Mikään ei myöskään estä tilaa
E
x. Esimerkiksi aalto-
suhteen ei anna mitään ää-
ψ
olemasta observaabelin
ominaistila ajanhetkellä t. Käytännöllinen epätarkkuusperiaate ajalle ja energialle
on kuitenkin muodostettavissa, kun
4t
tulkitaan aikaväliksi ja
4E
jonkin tyyppi-
seksi energiaeroksi kyseisellä aikavälillä. Lyhyesti esitellään lähteeseen [14, kappale
4.2] perustuen kolme esimerkkitapausta.
1. Paikan mittauksen epätarkkuus.
Energian epätarkkuus vapaalle aaltopaketille on
ajan epätarkkuus
4t
4E = (4p0 · p0 )/m.
jonka hiukkasen aaltopaketin pituus
4x
4t =
tarvitsee ohittaakseen
Määritellään
x, tai
paikan x.
aikana, jona hiukkanen voidaan löytää paikasta
aikana,
4x
m4x
=
.
v0
p0
Tämän avulla aika-energia epätarkkuudeksi saadaan
4(E)4(t) = 4(x)4(p) ' ~.
2. Energian mittauksen epätarkkuus.
Tarkkuudella
~/4E
4E suoritettuun energian mittaukseen tarvitaan aikaa vähintään 4t =
seuraavasta syystä: aaltopaketin energiajakauman mittaukseen vaaditaan ai-
kaa vähintään niin paljon kuin aaltopaketilta kuluu mittalaitteiston ohittamiseen.
~
~
4x
≥
=
.
v0
v0 4p
4E
4t '
Siispä aika-energia epätarkkuudeksi saadaan
4(E)4(t) ' ~.
3. Virittyneen tilan energian epätarkkuus.
Yhteys epätarkkuusperiaatteeseen löytyy myös virittyneen tilan (esimerkiksi virittynyt atomi, radioaktiivinen ydin tai epävakaa alkeishiukkanen) keskimääräisen elinajan
τ
ja energiavälin
4E
välillä. Kyseinen
4E
vastaa systeemin emittoimaa ener-
giaa/hiukkasta viritystilan lauetessa. Nyt kohdan
2
mukaisesti nähdään emittoitu
hiukkanen mittalaitteena, joka vuorovaikuttaa epävakaan systeemin kanssa ajan
ja siten vaatii energiaeron luokkaa
~/τ .
4(E)τ ≈ ~.
τ
45
4.5. Coulombin epätarkkuusperiaate ja atomien vakaus.
Eräs tärkeimmistä kvanttimekaniikan seurauksista on, että se ratkaisee atomin va-
kauden ongelman, joka on yksi suurimmista ristiriitaisuuksista klassisessa fysiikassa.
Newtonin ja Maxwellin oppeihin perustuvassa maailmassa aineen tulisi olla täysin
epävakaata ja kaiken pitäisi romahtaa kasaan välittömästi, kun atomeissa negatiiviset ja positiiviset varaukset vetäisivät toisiaan puoleensa. Kvanttimekaniikan mallissa juuri epätarkkuusperiaate ennustaa atomeille ja samalla kaikelle aineelle tietyn
tasapainotilan, jossa negatiivisesti varatut elektronit ja positiiviset protonit eivät voi
törmätä toisiinsa. Toisin sanoen atomisysteemin energia on alhaalta rajoitettu, eikä
suinkaan äärettömän negatiivinen. Aineen vakautta ilmentää myös sekin, että makroskooppisen systeemin energia on lineaarisesti riippuvainen systeemin hiukkasten
lukumäärästä, mutta tähän seikkaan ei nyt paneuduta
31
.
Yksinkertaisin atomi, vetyatomi, koostuu ytimessä olevasta protonista, varaus
ytimen ulkopuolella olevasta elektronista
32
, varaus
−e.
+e, ja
Vedynkaltainen atomi taas
on systeemi, jossa ydin koostuu hiukkasesta, jolla on varauksena alkeisvarauksen
moninkerta
Ze,
ja jolla on yksi elektroni. Protoni on elektronia noin 1800-kertaa
raskaampi, joten
4x1 ' ~/(3600me 4v1 )
ja ydintä voidaan pitää paikalleen origoon
sidottuna. Siten ainoa kvanttimekaaninen hiukkanen systeemissä on elektroni, jonka
tilaa voidaan kuvata aaltofunktiolla
ψ . Edelleen, sekä ydintä että elektronia voidaan
approksimoida pistemmäisinä hiukkasina. Koska fysikaalinen vetyatomi on kolmiulotteinen, niin tulee myös tilaa kuvaava aaltofunktio
Elektronin liike-energian odotusarvo on taulukon
4.1
ψ
esittää kolmiulotteisena.
perusteella
~2 2
~2
~2
Eψ (T ) = (Tˆψ, ψ) = (−
∇ ψ, ψ) = (
∇ψ, ∇ψ) =
2me
2me
2me
|∇ψ(x, t)|2 dx.
R3
ψ ∈ L2 (R3 ),
niin edeltävässä voi osittaisintegroida: −(∇ψ, ψ) = (ψ, ∇ψ).
2
2
Toisaalta symmetrisen liikemääräoperaattorin avulla: (−∇ ψ, ψ) = ((i∇) ψ, ψ) =
2
2
(i∇ψ, i∇ψ) = ki∇ψk2 = k∇ψk2 .
Koska
Systeemissä elektroniin vaikuttava voima, eli
F (x) = −∇V (x), on ytimeen sitova
ke ≈ 8, 988 · 109 N · m2 /C 2 ,
Coulombin potentiaali, jossa Coulombin vakio on
V (x) = −ke
Ze2
.
|x|
Potentiaalienergian odotusarvo elektronin aaltofunktion
2
Ze
Eψ (V ) = (Vˆ ψ, ψ) = (−ke
ψ, ψ) = −Zke e2
|x|
Tilassa
ψ
ψ
R3
suhteen on
1
|ψ(x, t)|2 dx.
|x|
olevan elektronin kokonaisenergian odotusarvo on siten
31Vuorovaikuttavien
termien kaksinkertaistuessa Coulombisen energian pitäisi nelinkertaistua,
ja tunnetusti jokainen fysikaalinen systeemi pyrkii minimoimaan oman sisäisen energiansa. Kahden
vesilasillisen yhdistäminen on kuitenkin arkipäiväisen vakaa prosessi, eikä räjähdä käsiin ja vapauta
valtavaa määrää energiaa ympäristöön. Ei ehkä paras keskustelunaihe humanistien kanssa.
32Elektronin
me ≈ 9, 109 · 10−31 kg
massa
voima dominoi noin
40
10
ja alkeisvaraus
e ≈ 1, 602 · 10−19 C.
Coulombinen
-kertaisesti elektronin ja protonin välistä gravitaatiovuorovaikutusta.
46
2
1
ˆ ψ) = ~
E(ψ) := (Hψ,
|ψ(x, t)|2 dx.
|∇ψ(x, t)|2 dx − Zke e2
2me R3
R3 |x|
ˆ:n määrittelyjoukon vuoksi äärelliseksi, joten f ja ∇f kuuLiike-energia vaaditaan T
2
3
luvat joukkoon L (R ). Selvästi E(ψ) voi olla valtavan suuri, mutta voiko se olla mielivaltaisen negatiivinen? Klassisesti vastaus on tietysti kyllä!. Funktiota E(x, p) ei
−1
olla rajoitettu alhaalta päin, sillä −|x|
voi olla mielivaltaisen negatiivinen ja p
taas nolla. Jokainen klassinen Coulombin systeemi, jossa kaikki varaukset eivät ole
saman merkkisiä, on rajoittamattoman energian lähde. Toisin kuitenkin on kvanttimekaniikassa, jossa systeemin pienin mahdollinen energia on äärellinen, kuten pian
osoitetaan. Tarkastellaan siis seuraavaa lukuarvoa.
E0 := inf {E(ψ) : kψk2 = 1} .
(4.10)
Jos inmum lausekkeessa
(4.10) on minimi, siis E0 = E(ψ0 ), niin E0
on alin energia-
taso jonka systeemi voi saavuttaa ja on siten perustilan energia, ja vastaavaa tilaa
ψ0
kutsutaan perustilaksi. Monimutkaisemmissa systeemeissä arvoa
E0
kutsutaan
myös perustilan energiaksi, vaikkei inmumia saavutettaisikaan millään tilalla
ψ,
ja
käytännössä inmumia ei saavuteta, jos atomissa on liikaa elektroneja. Fysikaalinen
totuus on myös se, että oli hiukkanen sitten missä (virittyneessä) tilassa tahansa,
niin se lopulta asettuu perustilalleen emittoimalla energiaa, useimmiten valokvantteina
33
.
Jos vedynkaltaisen systeemin potentiaalilla
V (x) ∼ − |x|−1
aletaan ratkaisemaan
Schrödingerin yhtälöä, niin ratkaisuista havaitaan kvanttimekaniikalle tyypillinen
kvantittuminen, kun energiatilat eivät muutu jatkuvasti, vaan saavat diskreettejä
arvoja perustilasta alkaen, ja tästä seuraavat vedyn spektriviivat. Toisaalta liian
−s
voimakkailla potentiaaleilla, esimerkiksi V (x) ∼ − |x| , kun s > 2, kokonaisenergia
ei ole enää alhaalta rajoitettu. Taas toisaalta ei ole mitenkään selvää, että löytyykö
34
näille hyvin singulaarisille potentiaaleille fysikaalisia vastineita
.
Systeemin vakautta tarkasteltaessa halutaan välttää teknisesti hankala kysymys
ˆ :n
H
ˆ :n pienimmän ominaisarvon määrittämisestä
H
ˆ = Eψ .
ominaisarvoyhtälössä Hψ
itseadjungoituvuudesta ja sitä kautta
ajasta riippumattomassa
E0 :n arvioimisessa käytetään integraaliepäyhtälöä, jolla potentiaalista ja hiukkasten
lukumäärästä riippuen hyvinkin vaikea minimoimisongelma saadaan huomattavas-
k∇ψk2 dominoi
integraalia, joka ei sisällä gradienttia, kutsutaan yleisesti epä-
ti yksinkertaisempaan muotoon. Integraaliepäyhtälöä, jossa termi
jotakin funktion
ψ
tarkkuusperiaatteeksi. Historiallisesti nimitys seuraa siitä, ettei potentiaalienergiaa
voi tehdä liian negatiiviseksi (paikantaa hiukkasta) ilman, että liike-energia kasvaa
erittäin suureksi, ja sama ilmenee Heisenbergin epätarkkuusperiaatteessakin. Tästä
puhtaasti kvanttifysiikan ilmiöstä käytetään nimitystä Heisenbergin paine (kvantti−15
paine ), mikä muuttuu merkittäväksi lyhyillä etäisyyksillä. Ytimen säde on n.
−10
metriä ja vetyatomissa elektroni on n.
33Fotonien
10
10
metrin etäisyydellä ytimestä.
emissio tai absorptio vaatii selitykseksi kvanttielektrodynamiikkaa. Schrödingerin
yhtälön (stationaariset) ratkaisut eli ominaistilat ovat vakaita, mutta ympäröivän kvanttikentän
häiriöt stimuloivat tilojen transition, jolloin systeemi mysteerisesti hyppää tilalta toiselle.
34Esimerkiksi
− |x|
−4
säieteoriassa voi esiintyä hyvinkin eksoottisia, ja singulaarisia, potentiaaleja:
potentiaalin on havaittu liittyvän braanin (korkeampiulotteinen kalvo, joka yleistää
kvanttimekaniikan pistemäistä hiukkasta) uktuaatioon 10-ulotteisessa avaruudessa, ks. [20].
47
Seuraavaksi todistetaan vetyatomin elektronin energian minimoimiseen loistavasti
soveltuva epäyhtälö
Lause 4.4 (Coulombin epätarkkuusperiaate ).
2
3
Jos f (x) ja ∇f (x) kuuluvat joukkoon L (R ),
R3
niin on voimassa
1
|f (x)|2 dx ≤ k∇f k2 kf k2 .
|x|
f (x) = Ce−a|x| , C ∈ C
Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos
ja
a > 0.
Todistus : Laajennettu versio lähteestä [15, s. 14].
Osittaisderivoimalla saadaan potentiaalin integrandi muotoon
1
x2 1
xi
xi
2
2
|f | = ∂xi
|f | + i 2
|f |2 −
∂xi |f |2 .
|x|
|x|
|x|
|x| |x|
Summataan yli kaikkien indeksien:
3 X
xi
xi
1
x2i 1
2
2
2
2
|f | =
∂xi
|f | + 2
|f | −
∂x |f | .
3·
|x|
|x|
|x| i
|x| |x|
i=1
(4.11)
Edeltävässä huomataan, että
3 2
X
xi 1
1
x21 + x22 + x23 1
2
|f
|
|f |2 =
|f |2 .
=
2
2
|x|
|x|
|x|
|x|
|x|
i=1
Järjestellään lauseke
uudelleen ja integroidaan yli joukon
3
2
(4.12)
(4.11)
R3
Edeltävässä
∂xi
R3
X
1
|f (x)|2 dx =
|x|
i=1
R3 :
xi
xi
2
2
|f | −
∂x |f | dx.
∂xi
|x|
|x| i
R3
∞ ∞ ∞
xi
xi
2
2
|f | dx =
∂xi
|f | dxi dxj dxk
|x|
|x|
−∞ −∞ −∞
∞
∞ ∞
xi
2
=
|f |
dxj dxk = 0.
−∞ −∞ |x|
−∞
Koska integroimisrajoja on luvallista vaihtaa, niin
3 X
i=1
∂xi
R3
xi
2
|f | dx = 0.
|x|
Koska
xi
xi
xi
∂xi |f |2 =
f ∂xi f +
f ∂xi f ,
|x|
|x|
|x|
niin
(4.13)
3 X
i=1
R3
3 X
xi
xi
xi
2
∂x |f | dx =
∂xi f,
f +
f, ∂xi f
.
|x| i
|x|
|x|
i=1
48
Yhdistämällä lausekkeet
(4.12)
(4.13):
ja
3
R3
xi
xi
∂xi f,
f +
f, ∂xi f
|x|
|x|
3
1X
xi
f, ∂xi f
= −
2<
2 i=1
|x|
3 X
xi
≤
|x| f, ∂xi f .
i=1
1
1X
|f (x)|2 dx = −
|x|
2 i=1
Nyt, käyttämällä CauchynSchwarzin epäyhtälöä, saadaan
X
3 3 X
xi xi
f k∂x f k .
( f, ∂x f ) ≤
i
i
2
|x| |x|
2
i=1
i=1
Edeltävässä pätee yhtäsuuruus, jos ja vain jos kaikilla indekseillä
∂ x i f = ai
xi
f,
|x|
ai ∈ C.
Koska integraali on lineaarinen ja normit ei-negatiivisia reaalilukuja, niin voidaan
käyttää tuttua Cauchyn epäyhtälöä
q
q
2
2
2
|α1 | |β1 | + |α2 | |β2 | + |α3 | |β3 | ≤ |α1 | + |α2 | + |α3 | |β1 |2 + |β2 |2 + |β3 |2 ,
jossa yhtäsuuruus, jos ja vain jos
β1 /α1 = β2 /α2 = β3 /α3 = a ∈ C (tai αi = 0 ∀i).
Edeltävän avulla saadaan
v
v
u 3 u 3
2
uX xi uX
xi f k∂x f k ≤ t
f t
k∂xi f k22
i
2
|x| |x| 3 X
i=1
2
2
i=1
s
=
R3
i=1
x21 + x22 + x23 2
|f | dx
|x|2
s
|∂x1 f |2 + |∂x2 f |2 + |∂x3 f |2 dx
×
R3
= kf k2 k∇f k2 ,
josta väite lopulta seuraa.
Yhtäsuuruus on voimassa, jos ja vain jos
∇f = a
Reaalisuusehdosta (vrt. lauseen
3.14
x
f.
|x|
todistus) seuraa, että verrannollisuusvakion
a
tulee olla reaalinen. Dierentiaaliyhtälölle saadaan ratkaisuksi
f (x) = Ce−a|x| ,
Vakion
a
C∈C
ja
a > 0.
tulee olla positiivinen, sillä muutoin funktio ei olisi neliöintegroituva.
49
Nyt on käytössä lause, jolla hankala variaatioyhtälö
(4.10)
saadaan huomattavasti
helpompaan muotoon. Seuraavaksi osoitetaan erittäin tärkeä fysikaalinen tulos.
Lause 4.5
(Vedynkaltaisen atomin vakaus ).
Vedynkaltaisen atomin yksikäsitteisen perustilan
E0 = inf
~2
2me
2
ψ0
2
|∇ψ(x, t)| dx − Zke e
R3
on alhaalta rajoitettu,
R3
energia
1
2
|ψ(x, t)| dx : kψk2 = 1
|x|
E0 = −Z 2 · ke2 me e4 /2~2 .
Todistus :
Perustilan energia on luonnollisesti ajasta riippumaton, jolloin
Arvioidaan kokonaisenergiaa alaspäin lauseella
4.4.
ψ0 (x, t) ≡ ψ0 (x).
Ongelma muuttuu nyt toisen
asteen yhtälön minimoimiseksi, missä muuttujana on gradientin normi
k∇ψk2 :
~2
k∇ψk22 − Zke e2 k∇ψk2 .
2me
Derivoimalla havaitaan, että lausekkeen minimi saavutetaan muuttujan arvolla Z ·
ke me e2 /~2 , ja perustilan energialla on siten äärellinen arvo −Z 2 ·ke2 me e4 /2~2 . Lauseen
4.4
mukaan perustila
ψ0
on myös yksikäsitteinen.
Vedynkaltaiset atomit ovat siis vakaita ja vetyatomin
−13, 56 eV ≈ −1 Ry
(Z = 1)
perustilan energia
vastaa hyvin tarkasti kokeellisia havaintoja. Tämä tulos on
vahva todiste kvanttimekaniikan sekä samalla epätarkkuusperiaatteen puolesta.
Perustilan energia on negatiivinen, sillä elektronin tulee olla sidottu ytimeen, että
atomisysteemi voi muodostua, ja kyseinen energia vaaditaan vähintään, jos halutaan
irroittaa vetyatomista elektroni. Kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus lähettää sähkömagneettista säteilyä ja tästä syystä jokainen klassinen protoni-elektronipari muodostaa vetypommin, mutta yksikäsitteisellä
35
perustilalla elektronilla ei ole fotonin
36
emissioon tarvittavaa energiaa. Lisäksi kulmaliikemäärä häviää , sillä perustila on
−a|x|
ˆ 0 = −i~(x × ∇)ψ0 = 0 ja Eψ0 (L) = 0. Kun
muotoa ψ0 = Ce
∈ L2 , joten Lψ
2
2
2
4
2
tiedetään k∇ψ0 k2 = ke me e /~ ja E0 = −ke me e /2~ , niin lausekkeesta (4.10) voi
1
2
2
ratkaista termin Eψ0 (
) = kme e /~ = 1/a0 , missä a0 ≈ 5, 2917721092(17)·10−11 m
|x|
on Bohrin säde, joka ilmaisee elektronin todennäköisimmän etäisyyden protonista.
Muille kuin vetyatomille perustilan energian laskeminen ei ole enää helppoa, sillä
atomien elektronirakenteen dynamiikassa on paljon muuttujia sekä lisäksi tulee ottaa
huomioon Paulin kieltosääntö, jonka mukaan kaksi samanlaista fermionia ei voi
olla samassa kvanttitilassa, jolloin kaikki elektronitkaan eivät voi siirtyä perustilalle,
josta taas esimerkiksi seuraa se, ettei tämän tutkielman lukijakaan mene tuolinsa
kanssa lattiasta läpi. Atomeista vain vedyn tapauksessa Schrödingerin yhtälölle on
löydettävissä analyyttiset ratkaisut, eikä sekään ole yksinkertainen tehtävä.
35Tämä
ei ole triviaalia, kuten ODY-teoriasta tiedetään, eikä asiaa yleensä kvanttimekaniikan
perusoppikirjoissa mainita. Aiheesta lisää, yleiselle potentiaalille
V (x),
lähteessä [25, luku 11].
36Vetyatomi on siis protonin ja elektronin muodostama tasapainotila, jota ei voi visualisoida
klassisella planeettamallilla; kiertoratojen sijaan tiloista on mielekkäämpää puhua orbitaaleina.
50
Jos jätetään huomiotta, että elektronit ovat fermioneita, niin seuraten lähdettä [26,
kappale 5.3] atomien vakautta voidaan kuitenkin perustella. Tarkastellaan atomia,
jossa on
N
kappaletta elektroneja sekä jälleen hyvin raskas origossa sijaitseva ydin,
(atomi on neutraali, jos N = Z ). Atomin elektronirakenteen
37
ψ : R3N → C, ψ(x1 , . . . , xN , t), ψ ∈ L2 (R3N ), jokainen
3N komponenttia gradientissa ∇ψ = (∇1 ψ, . . . , ∇N ψ), jossa ∇i := ( ∂x∂ 1 , ∂x∂ 2 , ∂x∂ 3 ) ja
i
i
i
xi := (x1i , x2i , x3i ), kuuluu joukkoon L2 (R3N ), sekä kψk2 = 1. Systeemin Hamiltonin
operaattori saadaan summaamalla yli kaikkien elektronien:
jonka varaus on
Ze
aaltofunktio on muotoa
ˆ at :=
H
N X
i=1
Operaattoria
ˆ at
H
~2 2
Ze2
−
∇i − ke
2me
|xi |
N
X
1
e2
.
+ ke
2 i=1:i6=j |xi − xj |
voidaan (odotusarvon suhteen) arvioida alaspäin, sillä termissä
oikealla esiintyvä elektronien Coulombinen repulsiopotentiaali on positiivinen:
ˆ at ≥
H
N X
i=1
~2 2
Ze2
−
∇ − ke
2me i
|xi |
.
Nyt voidaan käyttää vedynkaltaisen atomin Hamiltonin operaattoria ja lauseen
tulosta
E0 ,
4.5
jolloin atomien perustilan energialle saadaan karkea, mutta vakauden
38
kannalta toimiva arvio
E(ψ)at ≥ −N Z 2 · ke2 me e4 /2~2 .
Vuonna 1967 aineen vakaus todistettiin yksinkertaistetussa, mutta fermionisessa,
mallissa [21] ja myöhemmin ongelmaa on tarkasteltu ottamalla huomioon spini,
magnetismi, relativismi ja gravitaatio. Kattava lähde aineen vakauden käsittelyyn
4
on [16]. Raskaimmissa atomeissa perustilan energia on luokkaa 10 Ry , kun Z ≈ 90.
4.6. Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja nollapiste-energia.
Heisenbergin epätarkkuusperiaate soveltuu myös systeemin energian minimoimiseen,
kunhan potentiaali on sopivaa muotoa. Useissa oppikirjoissa vetyatomin vakautta
perustellaan Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen avulla, mutta hankalan Coulombin potentiaalin vuoksi nämä esitykset pohjautuvat malliin, jossa oletetaan, että
E(x) ≈ 4x ja vastaavasti liikemäärä E(p) ≈ 4p,
2
2
2
kun 4x4p ≈ ~, ja näin saadaan arviot E(T ) ≈ E(p) /2me ' ~ /(E(x) 2me ) ja
2
2
E(V ) ≈ −ke e /E(x). Täsmälliset tulokset ovat kuitenkin E(V ) = −ke e E(1/x) ja
E(T ) = E(p2 )/2me ≥ ~2 E(1/x)2 /2me , ks. lause 4.4.
elektronin etäisyys ytimestä on
Lause 4.6 (Heisenbergin epätarkkuusperiaate ).
2
3
Jos f (x) ja ∇f (x) kuuluvat joukkoon L (R ), niin on
3
kf k22 ≤ kxf k2 k∇f k2 .
2
Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos
37Kuten
N :n
voimassa
2
f (x) = Ce−a|x| , C ∈ C
ja
a > 0.
todettua, niin jokaiselle systeemille on oma aaltofunktionsa, joten kyseessä on yksi
muuttujan aalto, eikä
N
kappaletta yksittäisiä aaltoja. Termi
todennäköisyystiheydeksi löytää hiukkanen
1
paikasta
x1 ,
hiukkanen
2
|ψ(x1 , . . . , xN , t)|
2 paikasta x2 jne.
tulkitaan
Perustilan
elektronirakenteen ratkaisuun hyviä approksimaatioita ovat ns. tiheysfunktionaalimenetelmät.
38Siis E ∼ −Z 3 .
0
Suurille
Z
oikeampi tulos on
E0 ∼ −Z 7/3 ,
ks. [16, s. 128].
51
Todistus :
Kaikki tarpeellinen on jo valmisteltu lauseen
1
kf k22 ≤ kxi f k2 k∂xi f k2 ,
2
3.14
todistuksessa:
jossa yhtäsuuruus, jos ja vain jos
∂xi f = ai xi f,
kun
ai ∈ R.
Summataan yli kaikkien indeksien ja käytetään Cauchyn epäyhtälöä:
3
X
1
2
3 · kf k2 ≤
kxi f k2 k∂xi f k2
2
i=1
v
v
u 3
u 3
uX
uX
2t
t
≤
kxi f k2
k∂xi f k22
i=1
i=1
= kxf k2 k∇f k2 .
Yhtäsuuruus, jos ja vain jos
2
∇f = axf ; f (x) = Ce−a|x| , C ∈ C
ja
a > 0.
Edeltävää epätarkkuusperiaatetta voi soveltaa, kun minimoidaan seuraavanlaista
kokonaisenergian lauseketta
~2
E(ψ) :=
2m
1
|∇ψ(x, t)| dx + mω 2
2
R3
2
|x|2 |ψ(x, t)|2 dx.
R3
Perustilan energian määrittäminen menee vastaavalla tavalla kuin lauseessa
4.5
ja
minimointiongelma pelkistyy muotoon
~2
1
9
,
k∇ψk22 + mω 2
2m
2
4 k∇ψk22
jonka nollasta eroava minimiarvo on
3
E0 = ~ω.
2
Edeltävässä funktionaalissa potentiaali edustaa harmonista oskillaattoria, jolla on
useita tärkeitä sovelluksia kvanttimekaniikassa. Kyseinen malli auttaa esimerkiksi ymmärtämään molekyylien värähtelyspektrin tai kiinteän aineen ominaislämpökapasiteetin (molekyylit värähtelevät hilassa tasapainoasemansa ympärillä). Useita
monimutkaisia, mutta lokaalisti parabolisia, potentiaaleja voidaan approksimoida
harmonisella oskillaattorilla tasapainoaseman ympäristössä, ks. kuva
4.1.
Harmonisessa oskillaattorissa hiukkanen värähtelee elastisesti tasapainoaseman
x0
F = −k(x − x0 ) mukaisesti. Termi k on oskillaattorin jousivakio
p
k/m), ja hiukkasen potentiaalienergia on siten V (x) = V0 +k(x−x0 )2 /2. Kun
ympärillä voiman
(ω =
klassinen hiukkanen on jonkin potentiaalin suhteen stabiilissa tasapainoasemassa,
x = x0 ,
niin sen energia on minimissään. Siten
∂V (x)/∂x|x=x0 = 0
ja Taylorin
kehitelmä tasapainoaseman ympäristössä on seuraavanlainen
V (x) = V0 + k(x − x0 )2 /2 + c(x − x0 )3 + . . . ,
Kun värähtely pisteen
c ∈ R.
x0 ympärillä on pientä (|x=x0 | k/c), niin kuutiotermi lähes
häviää ja systeemiä voidaan approksimoida harmonisen oskillaattorin avulla.
52
Kuva 4.1 :
Monimutkaisen potentiaalin approksimoiminen tasapainoaseman
ympäristössä harmonisen potentiaalin avulla [9, s. 69].
Harmonisen oskillaattorin perustilalla aaltofunktio ei asetu potentiaalin minimiin,
vaan pisteen
x0
ympärille, mikä vastaa paikallista epämääräisyyttä (uktuaatiota).
Tämänkaltaista ominaisuutta kutsutaan nollapisteuktuaatioksi. Alinta energiatilaa,
jonka systeemi näin saavuttaa, sanotaan nollapiste-energiaksi. Nollapiste-energian
vuoksi esim. nestemäinen helium ei voi jäätyä normaalipaineessa, vaikka lämpötila
laskettaisiin kohden absoluuttista nollapistettä, ks. [19, s. 2]. Klassisessa fysiikassa
systeemi voi olla ilman liike-energiaa potentiaalin minimissä, mutta kvanttimekaanisen hiukkasen erikoisesta aaltoluonteesta johtuen liike-energia kasvaa rajatta, kun
lähestytään potentiaalin minimiä. Epätarkkuusperiaate takaa kaikille fysikaalisille
systeemeille nollasta eroavan määrän energiaa
39
.
4.7. Yleinen epätarkkuusperiaate.
Heisenbergin epäyhtälö soveltuu hyvin konjugaattisuureiden epätarkkuusperiaatteen
osoittamiseen, mutta on samalla huomattava, että vaikka pieni arvo termille
tarkoittaa, että
f
on rajoittunut lähelle origoa, niin suuri arvo ei tarkoita,
saisi kaukana origosta suuria arvoja. Itseasiassa
kxf k2
kxf k2
että f
voi olla valtava, vaikka suurin
osa massasta olisi origon ympäristössä, kunhan vain pieni osa sijaitsisi tarpeeksi
3.3. Jos hiukkasta kuvattaisiin kahden avaruudellisesti
avulla, ψ = ψ1 + ψ2 , niin Heisenbergin epätarkkuusperiaate ei
kaukana, kuten esimerkissä
erillisen aaltopaketin
yksinään riitä estämään kutakin aaltopakettia saamasta tarkkoja arvoja paikka- ja
liikemääräavaruudessa, ks. Liebin vastaesimerkki [24, s. 554555].
3
Käytännöllisempi ns. yleinen epätarkkuusperiaate takaa sen, ettei avaruuden R
1
3
kompaktikantajaista sekä jatkuvasti derivoituvaa aaltoa, siis luokan C0 (R ) aaltoa,
voi puristamalla rajata missään, ilman kasvavaa taajuutta. Nyt sopivasti asetetulla
tiheysargumentilla kyseinen epäyhtälö soveltuu myös fysikaalisten aaltofunktioiden
2
avaruuteen. Yleinen epätarkkuusperiaate antaa epäyhtälön k∇ψk2 ≥ C kρψ (x)k3 ,
2
jossa C on jokin positiivinen vakio ja ρψ (x) := |ψ| on todennäköisyystiheys, joten
V (x), kun gradientti
E(ψ). Kyseinen tulos ei rajoitu vain vetyspesi lause 4.4, joka toisaalta antaa tarkan
kyse on hyvin yleisestä epätarkkuusperiaatteesta potentiaalille
voidaan eliminoida energiafunktionaalissa
atomin Coulombin potentiaaliin, kuten
numeerisen vastauksen perustilan energialle.
39Näennäisen
houkutteleva ajatus nollapiste-energian talteenotosta on saanut monet huuhaa-
tieteilijät esittämään väitteitä ikiliikkujan tyylisistä voimageneraattoreista. Käytännön ongelmana
on tietysti se, ettei systeemillä ole enää alempaa tilaa minne siirtyä, jos energiaa otettaisiin pois.
53
Lause 4.7 (Hölderin epäyhtälö ).
−1
Jos p, q ∈ (1, ∞) ja p
+ q −1 = 1,
R3
niin seuraava epäyhtälö on voimassa
|f (x)g(x)| dx ≤ kf kp kgkq .
Todistus : [27, s. 132].
kf kp = 0 tai kgkq = 0, niin väite on triviaali,
sillä funktiot häviävät m.k. Olkoon F (x) = f (x)/ kf kp ja G(x) = g(x)/ kgkq , jolloin
kF kp = kGkq = 1 ja väitteen osoittamiseksi riittää, että R3 F (x)G(x) dx ≤ 1.
Oletetaan, että
Funktion
ex
p, q ∈ (1, ∞).
Jos
ex , joka
0 ≤ λ ≤ 1,
toinen derivaatta on
konveksista funktiosta. Olkoon
on kaikkialla positiivinen, joten kyse on
jolloin on voimassa
eλa+(1−λ)b ≤ λea + (1 − λ)eb ,
(4.14)
a ≤ b. Jos F, G 6= 0, niin asetetaan a = p ln F , b = q ln G,
1 − λ = 1/q . Siten (4.14) perusteella
kaikille reaalipareille
λ = 1/p
ja
F (x)G(x) ≤
Edeltävä pätee myös, jos
F =0
tai
F (x)p G(x)q
+
.
p
q
G = 0.
Integroimalla yli joukon
R3 :
kF kpp kGkqq
1 1
F (x)G(x) dx ≤
+
= + = 1.
p
q
p q
R3
Lause 4.8 (GagliardonNirenbergin epäyhtälö ).
f (x) kuuluu joukkoon C01 (R3 ), niin on olemassa
Jos
positiivinen vakio
c
siten, että
seuraava epäyhtälö on voimassa
kf k3/2 ≤ c k∇f k1 .
Todistus : [15, s. 20].
Aluksi voi todeta, että ehto supp(f ) on kompakti on välttämätön, sillä muutoin
voisi olla identtisesti
1, mikä johtaisi ristiriitaan. Toisaalta vakio c ei ole riippuvainen
kantajasta supp(f ), eikä sen tarkka arvo ole mielenkiinnon kohteena.
Dierentiaalilaskennan peruslauseen avulla
x1
f (x1 , x2 , x3 ) =
∂r f (r, x2 , x3 ) dr,
−∞
ja koska
f
f
on kompaktikantajainen, niin
∞
|∂r f (r, x2 , x3 )| dr =: g1 (x2 , x3 ).
|f (x1 , x2 , x3 )| ≤ c1
−∞
Tekemällä vastaava proseduuri muuttujille
x2
ja
x3
saadaan
|f (x1 , x2 , x3 )|3 ≤ c2 · g1 (x2 , x3 )g2 (x1 , x3 )g3 (x1 , x2 ),
54
ja siten juurtamalla, integroimalla ja juurtamalla, edelleen
kf (x1 , x2 , x3 )k3/2 ≤ c3
p
p
p
g1 (x2 , x3 ) g2 (x1 , x3 ) g3 (x1 , x2 ) dx1 dx2 dx3
2/3
.
R3
g1 ei riipu muuttujasta x1 , niin voidaan arvioida edeltävää lauseketta ylöspäin
CauchynSchwarzin epäyhtälön avulla muuttujan x1 suhteen:
s
s
!2/3
p
c4
g1 (x2 , x3 )
g2 (x1 , x3 ) dx1
g3 (x1 , x2 ) dx1 dx2 dx3
.
Koska
R2
R
R
x2
Toistamalla edeltävä muuttujalle
s
s
g1 (x2 , x3 ) dx2
c5
g3 (x1 , x2 ) dx1 dx2 dx3
x3 :
Toistamalla edeltävä vielä muuttujalle
s
s
g1 (x2 , x3 ) dx2 dx3
c6
!2/3
g2 (x1 , x3 ) dx1 dx3
g3 (x1 , x2 ) dx1 dx2
R2
R2
R2
g3 (x1 , x2 ) dx1 dx2
R2
R2
1/3
R2
1/3
g2 (x1 , x3 ) dx1 dx3 ·
g1 (x2 , x3 ) dx2 dx3 ·
= c6
.
R2
R
s
!2/3
g2 (x1 , x3 ) dx1
R
R
saadaan uusi yläraja:
s
= c6 (k∂x1 f k1 k∂x2 f k1 k∂x3 f k1 )
≤ c7 k∇f k1 .
Lopulliseksi epäyhtälöksi saadaan, kun asetetaan positiivinen vakio
c = c7 ,
kf (x1 , x2 , x3 )k3/2 = kf k3/2 ≤ c k∇f k1 .
Lause 4.9 (Sobolevin epäyhtälö Yleinen epätarkkuusperiaate ).
3
1
Jos f (x) kuuluu joukkoon C0 (R ), niin on olemassa positiivinen
vakio
c
siten, että
seuraava epäyhtälö on voimassa
kf k6 ≤ c k∇f k2 .
Todistus : [27, s. 321].
Jos
f = 0,
niin väite on triviaali, joten oletetaan, että
f 6= 0.
Asetetaan
w = |f |4 ,
|∇w| ≤ 4 |f |3 |∇f | .
(4.15)
4.8 funktioon40 w ja käyttämällä tulosta (4.15) sekä lausetta
asetetaan p = q = 1/2, siis CauchynSchwarzin epäyhtälöä, saadaan
2/3
3/2
|w| dx
≤ c1
|∇w| dx
Soveltamalla lausetta
4.7,
jossa
R3
3
R
|f |3 |∇f | dx
≤ c2
R3
6
≤ c3
1/2 |f | dx
R3
40Kuvaus x → |x|4
2
on jatkuvasti dierentioituva, joten
|∇f | dx
R3
w ∈ C01 (R3 ).
1/2
.
55
Sijoitetaan edeltävään lausekkeeseen
3/2
|w|
2/3
dx
|f | dx
=
R3
Siispä
|f | dx
.
R3
2/3
6
2/3
6
1/2 6
≤ c3
2
|f | dx
R3
|∇f | dx
R3
.
R3
c = c3 sekä
1/2
6
|f | dx
.
Todistus on siten valmis, kun asetetaan
1/2
jaetaan puolittain termillä
R3
Vakiolla
c
ei ole konseptuaalista merkitystä ja voidaan asettaa karkeasti
Aaltofunktiolle
41
ψ
c = 4.
liike-energian kannalta mielekkäämpi muoto on
k∇ψk22 ≥ C kψk26 = C |ψ|2 3 = C kρψ (x)k3 .
(4.16)
Optimaalinen vakio
C := 1/c2
3/4·(4π 2 )2/3 ,
(suurin epäyhtälön toteuttava vakio) on
tulos löytyy esimerkiksi lähteestä [25, s. 202], ja se on melko hankala todistettava.
Tuloksella
(4.16)
energiafunktionaalin
E(ψ)
alarajan arvioiminen on huomattavasti
helpompaa mille tahansa potentiaalille, sillä variaatioyhtälö ei sisällä gradienttia ja
siten voidaan soveltaa esimerkiksi Lagrangen kertoimien menetelmää.
Lähteeseen [24, s. 555] perustuen yleisestä epätarkkuusperiaatteesta saadaan myös
toinenkin arvio, joka on heikompi, mutta samalla paljon käyttökelpoisempi. Hölderin
2/3
epäyhtälöstä seuraa, kun valitaan f = ρψ , g = (ρψ )
, p = 3 ja q = 3/2, että
5/3
ρψ (x)
dx ≤
1/3 3
ρψ (x) dx
ρψ (x) dx
,
R3
R3
R3
2/3
ρ (x) dx = 1, niin lausekkeen (4.16) avulla muodostetaan integraalin
R3 ψ
42
suhteen lineaarinen sekä semiklassisen ThomasinFermin teorian
kaltainen arvio
ja koska
Eψ (T ) ∼
(4.17)
k∇ψk22
ρψ (x)5/3 dx.
&
R3
Elektroni on kuin kumipallo tai uidi, jonka energiatiheys on verrannollinen termiin
5/3
ρψ . Elektronin puristaminen vaatii liike-energiaa ja siten esimerkiksi Coulombiset
systeemit ovat vakaita, eivätkä romahda mielivaltaisen pieneen tilavuuteen.
Edeltävä tulos
(4.17)
on käytännöllisin muotoilu systeemin energiaa rajoittavasta
epätarkkuusperiaatteesta ja sitä voidaan soveltaa systeemiin, jossa on
elektroneja, siis
ρψ = N ,
N
kappaletta
ja näin kyetä todistamaan aineen kvanttimekaaninen
vakaus todellisessa fysikaalisessa tapauksessa, jossa elektronit ovat fermioneita ja
2
3N ∼
sallitut tilat ψ Paulin kieltosäännön mukaisesti antisymmetrisiä joukossa L (R
)=
NN 2 3
VN 2 3
1 L (R ), eli ψ ∈
1 L (R ). Tulos, joka mahdollistaa fermionisten systeemeiden
perustilan energian arvioinnin, on LiebinThirringin epäyhtälö, ks. [16, luku 4].
41Sillä ψ ∈ L2 (R3 )
C0∞ (R3 ) ⊃ C01 (R3 ) on
tiheä joukossa
s. 174]. Edeltävässä gradientti ∇ψ ymmärretään
1
3
distribuutiomielessä, ks. [25, luku 6], joten aalto ψ kuuluu Sobolevin avaruuteen H (R ). Kyseinen
1
3
joukko H (R ) voidaan kuten vaadittua osoittaa Hilbertin avaruudeksi, ks. [25, s. 172].
42Approksimaatio, jossa fysikaaliset suureet ilmaistaan yhden hiukkasen tiheyden ρ avulla.
ψ
ψ on dierentioituva.
{ψ : ψ, ∇ψ ∈ L2 (R3 )}, ks. [25,
ja
Täsmällisempi perustelu:
56
5.
HEISENBERGIN MIKROSKOOPPI
Tutkielman lopuksi kerrotaan vielä, miten Heisenberg löysi epätarkkuusperiaatteen,
joka teki hänen nimensä ikoniseksi niin tiedemaailman kuin populaarikulttuurin saralla. Vanhalle koulukunnalle taas Heisenbergin tulos oli täydellinen ikonoklastia,
mikä teki lopullisesti selväksi sen, että markiisi de Laplacen ja monen muun unelma
oli mennyttä. Epätarkkuusperiaatteen lososena seurauksena taas on eräänlainen
vapaa tahto, sillä kukaan ei pysty määrittelemään kenenkään tulevaisuutta pelkästään menneisyyden perusteella, joten mitään maailmankaikkeuden determinististä
43
kellokoneistoa ei voi olla olemassa
. Eräs henkilö oli kuitenkin edelleen vannoutunut
deterministi:
Kaikki on ennalta määrättyä, sekä alku että loppu, voimilla joihin emme voi
vaikuttaa. Se on määrättyä niin hyönteiselle kuin tähdellekin. Ihmiset, vihannekset
tai kosminen pöly, kaikki me tanssimme tämän mysteerisen soinnun tahtiin, jota
näkymätön pillipiipari kaukaisuudessa soittaa.
Albert Einstein
Einstein kehitti monta erilaista ajatuskoetta, joilla yritti kumota epätarkkuusperiaatteen luonnon perusominaisuutena, mutta EPR:n jälkeen hän jo antoi periksi.
Lentäväksi lauseeksi Einsteinilla muodostui heti Bornin todennäköisyystulkinnasta
lähtien, Jumala ei heitä noppaa maailmankaikkeudella, johon Bohr taas mielellään
vastasi, ettei se ole Einsteinin asia kertoa Jumalalle, mitä tehdä [6, s. 85].
1927 Heisenberg matkusti Kööpenhaminaan ja jatkoi intensiivisiä keskustelujaan
Bohrin kanssa kvanttimekaniikan olemuksesta. Asia, joka erityisesti mietitytti heitä,
oli kysymys miten sovittaa yhteen ilmeinen elektronin jatkuvan liikeradan olemassaolo sekä diskreetteihin havaintoihin perustuva kvanttiteoria. Heisenberg ymmärsi,
että oli välttämätöntä ryhtyä tarkastelemaan itse mittaustapahtumaa, jolla elektroni
on mahdollista havaita.
Klassinen näkeminen tai havaitseminen perustuu vuorovaikutukseen, ja jos halutaan
saada selville, missä elektroni on, niin täytyy lähettää muita hiukkasia sitä kohden ja
tarkastella, miten ne siroavat. De Broglien mukaan, mitä pienempi hiukkasen aallonpituus on, niin sitä suuremman energian/liikemäärän se omaa. Seuraavassa ajatuskokeessa käytetään hiukkasina fotoneita (valoa), sillä kuten tunnettua fotoneilla on
myös hiukkasluonnetta. On optiikan perustuloksia, että linssin erotuskyky (resoluu-
tio ) riippuu kokeissa käytetyn valon aallonpituudesta. Voidaan siis rajata elektronin
paikka hyvin tarkasti käyttämällä korkeaenergeettisiä fotoneita, kuten gammasäteilyä, mutta tällöin säteily häiritsee voimakkaasti elektronin liiketilaa ja muuttaisi
juuri sitä arvoa, jota ollaan mittaamassa. Pienemmän liiketilan häiriön toivossa voidaan käyttää matalaenergeettisiä fotoneita, kuten tavallista valoa, mutta sironneiden
fotonien aikaansaaman pienemmän erotuskyvyn vuoksi paikan määritys vuorostaan
olisi epätarkempi.
43Tämä
kysymys on hyvin losonen, sillä me elämämme vain omassa havaintomaailmassamme.
Todellisuushan saattaisi olla pelkkä tietokonesimulaatio, eikä ihmisillä olisi mitään keinoa erottaa
tätä simulaatiota ja oikeaa maailmaa. Suositeltava positivismi sivuuttaa koko kysymyksen.
57
Kuva 5.1 :
Heisenbergin mikroskooppi. Elektronia valaistaan, ja mikroskoopin
linssi kerää sironneen valon. Kuva muokattu lähteestä [14, s. 21].
Valon diraktion vuoksi pienin etäisyys, joka voidaan mikroskoopilla määrittää, on
erotuskyky
D := λ/ sin(ϕ).
Epätarkkuus elektronin paikallistamisessa on siten
4x ≈ D =
λ
.
sin(ϕ)
λ on käytettyjen fotonien aallonpituus ja ϕ on fotonien sirontakulma, ks.
5.1. Sironneiden fotonien liikemäärän p = h/λdb x-komponentti vaihtelee välillä
[−h/λ · sin(ϕ), h/λ · sin(ϕ)]. Siispä sironneen fotonin ja liikemäärän säilymisen
Edeltävässä
kuva
vuoksi elektronin liikemäärän epätarkkuus on luokkaa
4p ≈
h
sin(ϕ).
λ
Yhdistämällä edeltävät lausekkeet saadaan epämääräisyyksien tuloksi
4x4p ≈ h.
Tarkastellussa kokeessa ei paikkaa ja liikemäärää voida samanaikaisesti määrittää
tuon tarkemmin. Heisenbergin mikroskooppi -kokeesta on heti tietysti todettava,
että kyseessä on klassisen maailman yritys ymmärtää elektronin liikkeen problematiikkaa, eikä mielivaltaisen tarkkoja paikkoja sekä liikemääriä pystytä saavuttamaan
toisenlaisillakaan koejärjestelyillä; kvanttitila muuttuu aina, ja tämä muutos riippuu
häiriöstä/mittauksesta. Kuten lauseissa
4.2
ja
4.3
on osoitettu, niin kvanttiteoria ei
edes salli samanaikaisesti tarkkoja arvoja konjugaattisuureille, kuten paikka ja liike-
44
määrä. Kuuluisassa artikkelissaan
Heisenberg toteaakin, että hiukkasen liikeradan
olemassaolon voi määritellä siten, että liikerata on olemassa vain, kun se havaitaan,
ja tämä idea muodostui olennaiseksi osaksi Kööpenhaminan tulkintaa.
44Werner
Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und
Mechanik. Zeitschrift für Physik, 43: 172198, 1927. ("Kvanttiteorian sisältämän kinematiikan ja
mekaniikan täsmällisyydestä.") Kappaleen kinematiikka on täydellinen kuvaus hetkellisestä liiketilasta ja mekaniikan dynaamiset säännöt edelleen kertovat miten tuo liiketila kehittyy ajan myötä.
58
Heisenbergin mikroskoopissa linssin erotuskyky on ratkaisevan tärkeä seikka, ja jos
ei ole aivan päivänselvää, että miten juuri valon aallonpituus voi rajoittaa hiukkasen
paikan määritystä, niin mainitaan seuraava tieteenhistoriallinen anekdootti.
1923 Heisenberg viimeisteli tohtorin väitöskirjaansa Münchenin yliopistossa Arnold
Sommerfeldin (18681951) ohjauksessa ja aiheena hänellä oli kvanttimekaniikkaan
liittymätön virtausdynamiikka. Tuohon aikaan fysiikan tohtorin tuli osoittaa hyvät
tiedot sekä teoreettisesta että kokeellisesta fysiikasta. Väitöstilaisuudessa oli Sommerfeldin lisäksi kuulustelijana Wilhelm Wien (18641928), joka oli Münchenissä
kokeellisen fysiikan professori ja jonka laboratoriokurssin Heisenberg suoritti juuri
ennen väitöstään.
Kuulustelussa Heisenberg vastaili helposti matematiikkaa sekä väitöstutkimustaan
koskeneisiin hyvin teoreettisiin kysymyksiin, mutta ongelmat alkoivat, kun siirryttiin
käsittelemään kokeellista fysiikkaa. Wien pyysi kokelasta esittämään omalla laboratoriokurssillaan tutkitun interferometrin linssisysteemin erotuskyvyn kaavan, eikä
Heisenberg muistanut oppikirjan lauseketta ulkoa. Seuraavaksi Wien tivasi tavallisen mikroskoopin erotuskyvyn kaavaa, ja Heisenberg yritti keksiä lauseketta taululla,
muttei saanut sitä oikein. Wien oli tyrmistynyt. Lopuksi suuttunut Wien vaati selitystä akkupariston toimintaperiaatteesta, ja edelleen (kaiketi jo hyvin hermostunut)
kandidaatti oli aivan hakoteillä. Tämän jälkeen Wien ehdotti väitöstä hylättäväksi,
mutta tästä nousi ankara riita ohjaaja Sommerfeldin kanssa, eivätkä professoreiden
aiemmat tieteelliset erimielisyydet helpottaneet tilannetta. Neuvotteluiden jälkeen
väitöstyö lopulta hyväksyttiin keskinkertaisella arvosanalla, vaikka väitöstutkimus
oli alansa huippua ja edusti erittäin vaikeaa matemaattista virtausopin ongelmaa ja
45
jonka artikkeli
julkaistiin Wienin toimittamassa tieteen aikakauslehdessä Annalen
der Physik. [8, s. 105106; 17.]
Järkyttynyt Heisenberg lähti samana iltana, kesken valmistujaisjuhliensa, yöjunalla Göttingeniin, varmistaakseen, että Bornin tarjoama assistentin virka oli hänelle
edelleen avoin, huolimatta väitöstilaisuuden tapahtumista. Tämän jälkeen hän lähti
opiskelijakavereidensa kanssa lomailemaan Suomeen. Palattuaan matkalta hän keskittyi kokonaan teoreettiseen fysiikkaan ja erityisesti uuteen kvanttimekaniikkaan.
Jatkossa hän vaikutti menestyksekkäästi monessa paikassa ja toimi esim. (vähemmän
menestyksekkäästi) Natsi-Saksan ydinaseohjelman johdossa toisen maailmansodan
aikana. Sodan päätyttyä hän teki merkittävää tutkimusta erityisesti kenttäteorian
parissa. Werner Heisenbergille myönnettiin vuoden 1932 fysiikan Nobelin palkinto
osuudestaan kvanttimekaniikan kehittämiseen. [8, s. 106; 17.]
46
Vaikka Heisenbergin matriisiversio onkin jäänyt Schrödingerin yhtälön varjoon
,
niin epätarkkuusperiaate on, kvantittumisen ohella, tärkein klassisesta fysiikasta
erottava tekijä, joka asettaa fundamentaalisen rajoitteen eri systeemeistä saatavalle
informaatiolle, ilmaisee nollapiste-energian olemassaolon, paljastaa luonnon oudon
epälokaalisuuden sekä selittää, miksi Coulombiset hiukkas-systeemit ovat vakaita.
45Werner
Heisenberg, Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen. Annalen der
Physik (Leipzig), 379, 15: 577627, 1924.
46Heisenberg ei ollut tästä mielissään ja kirjeessään Wolfgang Paulille hän käytti painokelvotonta
tekstiä kuvaillessaan Schrödingerin muka-determinististä yhtälöä, ks. tarkemmin [8, s. 134].
Vuonna 1925 Heisenberg kyllä kävi Bornin ja Pascual Jordanin kanssa tapaamassa itse David
Hilbertiä, jolle esittivät kysymyksiä matriiseistaan. He kuitenkin poistuivat kohteliaasti silloin,
kun vanha Hilbert alkoi puhumaan dierentiaaliyhtälöiden ominaisarvo-ongelmista. Myöhemmin
Hilbert totesi vierailusta seuraavaa: Jos nuo röyhkeät nuorukaiset olisivat kuunnelleet minua, niin
he olisivat löytäneet Schrödingerin yhtälön puoli vuotta aiemmin. [12, s. 106107.]
59
6.
Tutkielman luvussa
3
YHTEENVETO
Fourierin muunnosta käsitellään lähinnä neliöintegroituvien
funktioiden osalta, sillä kyseinen funktioavaruus tarjoaa matemaattisen rakenteen
kuvaamaan modernia kvanttimekaniikkaa. Fourier-analyysi tarjoaa myös muitakin
hyödyllisiä välineitä, mutta tutkielmassa mielenkiinto kohdistuu vain kvanttiteorian
tulkintaan sekä Schrödingerin perusyhtälön kvalitatiivisiin tarkasteluihin siten, ettei
monimutkaista Schrödingerin yhtälöä tarvitse ratkaista käytännön ongelmissa.
Tutkielman keskeisiä tuloksia on Heisenbergin epäyhtälö, jonka mukaan nollasta
eroavaa funktiota
f (x) ja sen Fourier-muunnosta fˆ(k) ei voida molempia paikallistaa
tarkasti. Kyseinen tulos tunnetaan myös matemaattisena epätarkkuusperiaatteena,
4
ja sille löytyy sovelluksia useilta matematiikan ja fysiikan osa-alueilta. Luvussa
ratkaistaan Fourier-käänteismuunnoksen avulla Schrödingerin yhtälö vakiopontentiaalissa, ja tämän jälkeen päätellään kvanttisysteemiä kuvaavan aaltofunktion
ψ
esitysmuoto yleisessä potentiaalissa V (x). Bornin ehdottamalla tulkinnalla termille
ˆ 2,
|ψ|2 sekä Parsevalin yhtälöiden avulla saadaan fysikaalinen tulkinta termille |ψ|
minkä jälkeen voi soveltaa Heisenbergin epäyhtälöä ja näin johtaa kvanttiteoriassa
Heisenbergin epätarkkuusperiaate: ei ole mahdollista mitata mielivaltaisen tarkasti
yhtäaikaa sekä (kvantti)hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää, lause
4.2.
Korrespondenssiperiaatteen ja Fourier-muunnoksen avulla saadaan muodostettua
x ja liikep. Edeltävän sekä luvun 2 matemaattisia operaattoreita koskevien tulosten
voidaan todistaa yleinen Heisenbergin epätarkkuusperiaate, lause 4.3.
vastaavat operaattorit myös muille fysikaalisille suureille kuin paikalle
määrälle
avulla
Operaattoreiden avulla kvanttimekaanisen systeemin epärelativistinen energia E =
p2 /2m + V (x) voidaan ilmaista vastaavana odotusarvona Eψ (E) = E(ψ). Tämän
integraalimuotoisen odotusarvon sekä luonnon minimienergiaperiaatteen avulla voi
muodostaa erilaisia systeemeitä koskevia variaatio-ongelmia. Yleisesti epätarkkuusperiaatteiksi kutsutuilla integraaliepäyhtälöillä on mahdollista arvioida systeemin
alinta energiatilaa, esimerkiksi vedynkaltaisessa atomissa (lause
oskillaattorissa (lause
Kuva 6.1 :
4.6)
sekä yleisen potentiaalin
V (x)
4.4),
harmonisessa
tapauksessa (lause
4.9).
Matkalla noutamaan Nobelin palkintoa, Tukholman juna-asema
joulukuussa 1933. Oikealta vasemmalle: Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Diracin
äiti, rouva Anny Schrödinger ja Heisenbergin äiti. [12, s. 60.]
Tutkielmassa on myös, sopivissa kohdin, mainintoja kvanttiteorian historiallisesta
kehityksestä sekä keskeisten henkilöhahmojen, ks. kuva
6.1, edesottamuksista. Lisää
aihepiirin tieteenhistoriasta on luettavissa mm. lähteissä [6; 7; 8; 29].
60
¨
LAHTEET
[1] Debnath, L., Mikusinski, P. 2005. Introduction to Hilbert Spaces with
Applications, 3. edition. Academic Press. 600 p.
[2] Folland, G. B. 1999. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications,
2. edition. Wiley. 408 p.
[3] Thaller, B. 2000. Visual Quantum Mechanics. Springer. 283 p.
[4] Debnath, L., Bhatta, D. 2006. Integral Transforms and Their Applications, 2.
edition. Chapman and Hall/CRC. 728 p.
[5] Folland, G. B. 1992. Fourier Analysis and Its Applications. Thomson Brooks/Cole.
448 p.
[6] Peacock, K. A. 2007. The Quantum Revolution: A Historical Perspective.
Greenwood. 240 p.
[7] Moore, W. J. 1992. Schrödinger: Life and Thought. Cambridge University
Press. 528 p.
[8] Lindley, D. 2008. Uncertainty: Einstein, Heisenberg, Bohr, and the Struggle
for the Soul of Science. Anchor. 272 p.
[9] Basdevant, J-L., Dalibard, J. 2005. Quantum Mechanics. Springer. 511 p.
[10] Phillips, A. C. 2003. Introduction to Quantum Mechanics. Wiley. 282 p.
[11] Salart, D., Baas, A., Branciard, C., Gisin, N., Zbinden, H. 2008. Testing
spooky action at a distance. Nature, 454, pp. 861864.
[12] Basdevant, J-L. 2007. Lectures on Quantum Mechanics. Springer. 308 p.
[13] Teschl, G. 2009. Mathematical Methods in Quantum Mechanics. American
Mathematical Society. 305 p.
[14] Schwabl, F. 2007. Quantum Mechanics, 4. edition. Springer. 424 p.
[15] Loss, M. 2005. Stability Of Matter. [viitattu 8.12.2013]. Saatavissa:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lerdos/WS08/QM/lossstabmath.pdf.
[16] Lieb, E. H., Seiringer, R. 2009. The Stability of Matter in Quantum
Mechanics. Cambridge University Press. 310 p.
[17] American Institute of Physics [WWW]. [viitattu 8.12.2013]. Saatavissa:
http://www.aip.org/history/heisenberg/.
61
[18] Wagon, S. 1985. The Banach-Tarski Paradox. Cambridge University Press.
272 p.
[19] Vollhardt, D., Wole, P. 2013. The Superuid Phases of Helium 3. Dover. 656
p.
[20] Park, D. K., Tamaryan, S. N., Müller-Kirsten, H. J. W., Jian-zu Zhang. 2001.
D-branes and their absorptivity in Born-Infeld theory. Nuclear Physics B, 594,
pp. 243271.
[21] Dyson, F. J., Lenard, A. 1967. Stability of Matter. Journal of Mathematical
Physics, 8, pp. 423434 (part I); Dyson, F. J., Lenard, A. 1968. Stability of Matter.
Journal of Mathematical Physics, 9, pp. 698711 (part II).
[22] Baym, G., Leggett, A. J. 1989. Exact upper bound on barrier penetration
probabilities in many-body systems: application to cold fusion . Physical Review
Letters, 63, pp. 191194.
[23] Arndt, M., Nairz, O., Vos-Andreae, J., Keller, C., van der Zouw, G., Zeilinger,
A. 1999. Wave-particle duality of C60 molecules. Letters to nature, 401, pp.
680682.
[24] Lieb, E. H. 1976. Stability of matter. Reviews of Modern Physics, 48, pp.
553569.
[25] Lieb, E. H., Loss, M. 2001. Analysis, 2. edition. American Mathematical
Society. 346 p.
[26] Gustafson, S. J., Sigal, I. M. 2011. Mathematical Concepts of Quantum
Mechanics, 2. edition. Springer. 365 p.
[27] Bass, R. F. 2013. Real Analysis for Graduate Students, 2. edition.
CreateSpace. 418 p.
[28] Prestini, E. 2004. The Evolution of Applied Harmonic Analysis: Models of
the Real World. Birkhäuser. 349 p.
[29] Kuttner, F., Rosenblum, B. 2011. Quantum Enigma, Physics Encounters
Consciousness, 2. edition. Oxford University Press. 300 p.
[30] Zeidler, E. 1995. Applied functional analysis, applications to mathematical
physics. Springer-Verlag. 481 p.
[31] Klauder, J. R. 2011. A Modern Approach to Functional Integration. Birkhäuser.
298 p.