Integraalimuunnokset
Harjoitus 3
2015
1. Laske Fourier-muunnos funktiolle
(
0
f (x) =
e−x/2
x<0
x>0.
2. Käytä edellisen kohdan tulosta yhdessä Parsevalin relaation kanssa ja laske intergraali
Z ∞
dx
.
1 + 4x2
0
3. Laske Fourier-muunnokset ja käänteismuunnokset funktioille
f (x) = eikx ,
f (x) = a = vakio .
Huomaa, että funktiot eivät ole normittuvia, joten Fourier-muunnosten olemassaolon
yleiset ehdot eivät täyty. Kun muistetaan, että kvanttimekaniikassa impulssin ominaistilassa olevan hiukkasen aaltofunktio paikka-avaruudessa on tasoaaltomuotoa ψ(x) ∝ eikx ,
voitko sanoa jotain edellä laskettujen tulosten yhteydestä epätarkkuusperiaatteeseen?
4. Gaussiselle integraalille pätee
Z ∞+iσ
−z 2
dze
−∞+iσ
∞
Z
2
dze−z =
=
√
π.
−∞
2
Laske tätä käyttäen funktion f (x) = e−ax (a > 0) Fourier-muunnos. Voiko tästä
tuloksesta sanoa jotain epätarkkuusperiaatteen valossa?
5. Fourier-muunnos voidaan suoraviivaisesti yleistää useamman muuttujan funktioille. Tarkastellaan esimerkkinä kolmiulotteisessa paikka-avaruudessa määriteltyä funktiota f (x), missä
siis x = xêx + yêy + zêz ∈ R3 on paikkavektori. Fourier-muunnos ja käänteismuunnos
ovat nyt muotoa
Z
Z
1
1
3
−ik·x
d xf (x)e
,
f (x) =
d3 kg(k)eik·x ,
g(k) =
(2π)3/2
(2π)3/2
P
missäpk·x = 3i=1 ki xi on pistetulo. Laske Fourier-muunnos funktiolle f (r) = e−ar , missä
r = x2 + y 2 + z 2 ja a > 0. Koska tarkasteltava funktio riippuu vain paikkavektorin
pituudesta r, tässä on kätevintä käyttää pallokoordinaatteja d3 x = r2 sinθdrdθdφ.