Viidennen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion jatkuvuus LaMa 1U syksyll¨a 2011 Perustuu Trench’in verkkokirjan lukuun 2.2. Esko Turunen [email protected] Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion f (x) jatkuvuus voidaan nyt m¨a¨aritell¨ a: M¨a¨aritelm¨a (Funktion jatkuvuus pisteess¨a) Olkoon funktio f (x) m¨a¨aritelty jollakin avoimella v¨alill¨a (a, b), joka sis¨alt¨a¨a pisteen x0 . Funktio on jatkuva t¨ass¨a pisteess¨a, jos funktion arvo ja raja–arvo ovat samat, ts limx→x0 f (x) = f (x0 ). Samalla tavalla m¨a¨aritell¨a¨an toispuoleisten raja-arvojen avulla funktion jatkuvuus vasemmalta/oikealta pisteess¨a x0 . Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion f (x) jatkuvuus voidaan nyt m¨a¨aritell¨ a: M¨a¨aritelm¨a (Funktion jatkuvuus pisteess¨a) Olkoon funktio f (x) m¨a¨aritelty jollakin avoimella v¨alill¨a (a, b), joka sis¨alt¨a¨a pisteen x0 . Funktio on jatkuva t¨ass¨a pisteess¨a, jos funktion arvo ja raja–arvo ovat samat, ts limx→x0 f (x) = f (x0 ). Samalla tavalla m¨a¨aritell¨a¨an toispuoleisten raja-arvojen avulla funktion jatkuvuus vasemmalta/oikealta pisteess¨a x0 . Funktion jatkuvuus pisteess¨ a palautuu seuraavaan teoreemaan, joka muistuttaa hyvin paljon raja–arvon m¨ a¨ aritelm¨a¨a: Teoreema (Funktion jatkuvuus δ–tekniikalla) Funktio f (x), joka on m¨a¨aritelty avoimella v¨alill¨a (a, b), on jatkuva pisteess¨a x0 ∈ (a, b) jos, ja vain jos aina, kun > 0 on olemassa sellainen δ > 0, ett¨a |f (x) − f (x0 )| < kun |x − x0 | < δ. Esimerkki. Tarkastellaan v¨ alill¨ a [0, 2] m¨ a¨ aritelty¨a funktiota x2 kun 0 ≤ x < 1, f (x) = x + 1 kun 1 ≤ x ≤ 2 Osoitetaan [liitutaululla], ett¨ a se on oikealta jatkuva pisteess¨a x = 0, vasemmalta jatkuva pisteess¨ a x = 2, mutta ei ole jatkuva pisteess¨a x = 1. Esimerkki. Tarkastellaan v¨ alill¨ a [0, 2] m¨ a¨ aritelty¨a funktiota x2 kun 0 ≤ x < 1, f (x) = x + 1 kun 1 ≤ x ≤ 2 Osoitetaan [liitutaululla], ett¨ a se on oikealta jatkuva pisteess¨a x = 0, vasemmalta jatkuva pisteess¨ a x = 2, mutta ei ole jatkuva pisteess¨a x = 1. M¨a¨aritelm¨a (Funktion jatkuvuus avoimella v¨alill¨a) Funktio f (x), joka on m¨a¨aritelty avoimella v¨alill¨a (a, b), on jatkuva v¨alill¨a (a, b) jos se on jatkuva jokaisessa v¨alin (a, b) pisteess¨a. Funktion jatkuvuus avointen, erillisten v¨ alien unionissa m¨a¨aritell¨a¨an luonnollisella tavalla. M¨a¨aritelm¨a (Paloittain jatkuva funktio) Funktio f (x), joka on m¨a¨aritelty suljetulla v¨alill¨a [a, b], on paloittain jatkuva v¨alill¨a (a, b) jos I f (x0+ ) on olemassa aina, kun x0 ∈ [a, b), I f (x0− ) on olemassa aina, kun x0 ∈ (a, b], I f (x0+ ) = f (x0− ) = f (x0 ) aina, kun x0 ∈ (a, b), mahdollisesti ¨a¨arellist¨a m¨a¨ar¨a¨a poikkeuksia lukuun ottamatta. Poikkeukset (’jumps’) ovat ep¨ajatkuvuuskohtia. Esimerkki. V¨alill¨a [0, 3] m¨ a¨ aritelty funktio  1 kun x = 0,  x kun 0 < x < 1 2 kun x = 1 f (x) = 1<x ≤2  −1x kun kun 2 < x < 3 0 kun x = 3 on jatkuva v¨alill¨a [0, 3] lukuun ottamatta pisteit¨a x = 0, 1, 2, 3. Huomaa, ett¨a edellisen funktion ep¨ ajatkuvuuskohdat voidaan poistaa muuttamalla m¨ a¨ aritelm¨ a¨ a (asetetaan ep¨ajatkuvuuskohdassa x = x0 vain limx→x0 f (x) = f (x0 ): se on mahdollista, onhan limx→x0 f (x) olemassa). Huomaa, ett¨a edellisen funktion ep¨ ajatkuvuuskohdat voidaan poistaa muuttamalla m¨ a¨ aritelm¨ a¨ a (asetetaan ep¨ajatkuvuuskohdassa x = x0 vain limx→x0 f (x) = f (x0 ): se on mahdollista, onhan limx→x0 f (x) olemassa). Esimerkiksi edellisen esimerkin funktio f (x) saadaan jatkuvaksi v¨alill¨a [0, 2] asettamalla  0 kun x = 0,    x kun 0 < x < 1   1 kun x = 1 f (x) = x kun 1 < x ≤ 2    −1 kun 2 < x < 3   2 kun x = 3 mutta koko v¨alill¨a [0, 3] sit¨ a ei saada jatkuvaksi. Huomaa, ett¨a edellisen funktion ep¨ ajatkuvuuskohdat voidaan poistaa muuttamalla m¨ a¨ aritelm¨ a¨ a (asetetaan ep¨ajatkuvuuskohdassa x = x0 vain limx→x0 f (x) = f (x0 ): se on mahdollista, onhan limx→x0 f (x) olemassa). Esimerkiksi edellisen esimerkin funktio f (x) saadaan jatkuvaksi v¨alill¨a [0, 2] asettamalla  0 kun x = 0,    x kun 0 < x < 1   1 kun x = 1 f (x) = x kun 1 < x ≤ 2    −1 kun 2 < x < 3   2 kun x = 3 mutta koko v¨alill¨a [0, 3] sit¨ a ei saada jatkuvaksi. Aina ei n¨ain voida menetell¨a, esim. funktiolle f (x) = sin x1 pisteess¨a x = 0, sill¨a raja–arvoa limx→0 sin x1 ei ole olemassa, kuten muistetaan. Teoreema Jos f (x) ja g (x) ovat jatkuvia, niin (f + g )(x), (f − g )(x) ja (fg )(x) ovat jatkuvia. Lis¨aksi ( gf )(x) on jatkuva, kun g (x) 6= 0. Teoreema Jos f (x) ja g (x) ovat jatkuvia, niin (f + g )(x), (f − g )(x) ja (fg )(x) ovat jatkuvia. Lis¨aksi ( gf )(x) on jatkuva, kun g (x) 6= 0. 2 Esimerkiksi funktio 9−x x+1 on jatkuva kaikkialla muualla paitsi pisteess¨a x = −1: siell¨ a nimitt¨ aj¨ a g (x) = x + 1 on = 0. Teoreema Jos f (x) ja g (x) ovat jatkuvia, niin (f + g )(x), (f − g )(x) ja (fg )(x) ovat jatkuvia. Lis¨aksi ( gf )(x) on jatkuva, kun g (x) 6= 0. 2 Esimerkiksi funktio 9−x x+1 on jatkuva kaikkialla muualla paitsi pisteess¨a x = −1: siell¨ a nimitt¨ aj¨ a g (x) = x + 1 on = 0. Koska 2 2 9−x limx→−1− 9−x x+1 = −∞ ja limx→−1+ x+1 = ∞, ei funktiota voida m¨a¨ aritell¨ a siten, ett¨ a se olisi jatkuva pisteess¨a x = −1 [yksityiskohdat liitutaululla]. Todistetaan liitutaululla seuraava Teoreema (Yhdistetyn funktion jatkuvuus pisteess¨a) Jos f (x) ja g (x) jatkuvia, niin (f ◦ g )(x) jatkuva siell¨a, miss¨a g (x) kuuluu f (x):n m¨a¨arittelyjoukon sis¨apisteiden joukkoon. Todistetaan liitutaululla seuraava Teoreema (Yhdistetyn funktion jatkuvuus pisteess¨a) Jos f (x) ja g (x) jatkuvia, niin (f ◦ g )(x) jatkuva siell¨a, miss¨a g (x) kuuluu f (x):n m¨a¨arittelyjoukon sis¨apisteiden joukkoon. q √ 2 9−x 2 Esimerkki f (x) = x, g (x) = 9−x , jolloin (f ◦ g )(x) = x+1 x+1 , tarkastellaan liitutaululla sen jatkuvuutta. [Maple-kuva] Todistetaan liitutaululla seuraava Teoreema (Yhdistetyn funktion jatkuvuus pisteess¨a) Jos f (x) ja g (x) jatkuvia, niin (f ◦ g )(x) jatkuva siell¨a, miss¨a g (x) kuuluu f (x):n m¨a¨arittelyjoukon sis¨apisteiden joukkoon. q √ 2 9−x 2 Esimerkki f (x) = x, g (x) = 9−x , jolloin (f ◦ g )(x) = x+1 x+1 , tarkastellaan liitutaululla sen jatkuvuutta. [Maple-kuva] Funktio f (x) on ylh¨a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, jos on sellainen M ∈ R, ett¨a f (x) ≤ M aina, kun x ∈ S. Samoin m¨a¨aritell¨a¨an: funktio f (x) on alhaalta rajoitettu joukossa S, jos on sellainen m ∈ R, ett¨a f (x) ≥ m aina, kun x ∈ S. Todistetaan liitutaululla seuraava Teoreema (Yhdistetyn funktion jatkuvuus pisteess¨a) Jos f (x) ja g (x) jatkuvia, niin (f ◦ g )(x) jatkuva siell¨a, miss¨a g (x) kuuluu f (x):n m¨a¨arittelyjoukon sis¨apisteiden joukkoon. q √ 2 9−x 2 Esimerkki f (x) = x, g (x) = 9−x , jolloin (f ◦ g )(x) = x+1 x+1 , tarkastellaan liitutaululla sen jatkuvuutta. [Maple-kuva] Funktio f (x) on ylh¨a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, jos on sellainen M ∈ R, ett¨a f (x) ≤ M aina, kun x ∈ S. Samoin m¨a¨aritell¨a¨an: funktio f (x) on alhaalta rajoitettu joukossa S, jos on sellainen m ∈ R, ett¨a f (x) ≥ m aina, kun x ∈ S. Jos funktio f (x) on alhaalta rajoitettu joukossa S, on (arvo-) joukolla V = {f (x)|x ∈ S} reaalilukujen t¨ aydellisyysaksioman perusteella suurin alaraja eli infx∈S f (x) ∈ R. Todistetaan liitutaululla seuraava Teoreema (Yhdistetyn funktion jatkuvuus pisteess¨a) Jos f (x) ja g (x) jatkuvia, niin (f ◦ g )(x) jatkuva siell¨a, miss¨a g (x) kuuluu f (x):n m¨a¨arittelyjoukon sis¨apisteiden joukkoon. q √ 2 9−x 2 Esimerkki f (x) = x, g (x) = 9−x , jolloin (f ◦ g )(x) = x+1 x+1 , tarkastellaan liitutaululla sen jatkuvuutta. [Maple-kuva] Funktio f (x) on ylh¨a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, jos on sellainen M ∈ R, ett¨a f (x) ≤ M aina, kun x ∈ S. Samoin m¨a¨aritell¨a¨an: funktio f (x) on alhaalta rajoitettu joukossa S, jos on sellainen m ∈ R, ett¨a f (x) ≥ m aina, kun x ∈ S. Jos funktio f (x) on alhaalta rajoitettu joukossa S, on (arvo-) joukolla V = {f (x)|x ∈ S} reaalilukujen t¨ aydellisyysaksioman perusteella suurin alaraja eli infx∈S f (x) ∈ R. Voi kuitenkin olla, ettei f (x) saavuta t¨at¨ a arvoa. Jos kuitenkin on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = infx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion pienen arvo joukossa S. Jos kuitenkin on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = infx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion pienen arvo joukossa S. M¨a¨aritell¨a¨an my¨os: jos funktio f (x) on ylh¨ a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, on joukolla V = {f (x)|x ∈ S} pienen yl¨araja eli supx∈S f (x) ∈ R (jota arvoa f (x) ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a saavuta!). Jos kuitenkin on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = infx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion pienen arvo joukossa S. M¨a¨aritell¨a¨an my¨os: jos funktio f (x) on ylh¨ a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, on joukolla V = {f (x)|x ∈ S} pienen yl¨araja eli supx∈S f (x) ∈ R (jota arvoa f (x) ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a saavuta!). Jos on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = supx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion suurin arvo joukossa S. Jos kuitenkin on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = infx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion pienen arvo joukossa S. M¨a¨aritell¨a¨an my¨os: jos funktio f (x) on ylh¨ a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, on joukolla V = {f (x)|x ∈ S} pienen yl¨araja eli supx∈S f (x) ∈ R (jota arvoa f (x) ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a saavuta!). Jos on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = supx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion suurin arvo joukossa S. 1 Esim. funktio e x(x−1) sin x(x−1) oskilloi avoimella v¨alill¨a (−1, 1), muttei saavuta arvoja −1 tai 1, ks. Maple-kuva seur. sivulla. Jos kuitenkin on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = infx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion pienen arvo joukossa S. M¨a¨aritell¨a¨an my¨os: jos funktio f (x) on ylh¨ a¨ alt¨ a rajoitettu joukossa S, on joukolla V = {f (x)|x ∈ S} pienen yl¨araja eli supx∈S f (x) ∈ R (jota arvoa f (x) ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a saavuta!). Jos on sellainen x0 ∈ S, ett¨ a f (x0 ) = supx∈S f (x), sanotaan, ett¨a f (x0 ) on on funktion suurin arvo joukossa S. 1 Esim. funktio e x(x−1) sin x(x−1) oskilloi avoimella v¨alill¨a (−1, 1), muttei saavuta arvoja −1 tai 1, ks. Maple-kuva seur. sivulla. Teoreema Suljetulla v¨alill¨a [a, b] jatkuva funktio f (x) on rajoitettu t¨all¨a v¨alill¨a. Todistus perustuu Heine–Borel’in lauseeseen, jota k¨asitell¨a¨an kurssilla Reaalimuuttujan analyysi. My¨os seuravan lauseen todistus perustuu Heine–Borel’in lauseeseen. Teoreema (2.2.9) Suljetulla v¨alill¨a [a, b] jatkuva funktio f (x) saavuttaa maksiminsa ja minimins¨a t¨all¨a v¨alill¨a, ts. on sellaiset x1 , x2 ∈ [a, b], ett¨a f (x1 ) = infx∈[a,b] f (x) ja f (x2 ) = supx∈[a,b] f (x). My¨os seuravan lauseen todistus perustuu Heine–Borel’in lauseeseen. Teoreema (2.2.9) Suljetulla v¨alill¨a [a, b] jatkuva funktio f (x) saavuttaa maksiminsa ja minimins¨a t¨all¨a v¨alill¨a, ts. on sellaiset x1 , x2 ∈ [a, b], ett¨a f (x1 ) = infx∈[a,b] f (x) ja f (x2 ) = supx∈[a,b] f (x). N¨aiden tulosten avulla voimme todistaa liitutaululla seuraavan keskeisen teoreeman: Teoreema (V¨aliarvolause) Suljetulla v¨alill¨a [a, b] jatkuva funktio f (x) saavuttaa kaikki arvonsa v¨alill¨a [infx∈[a,b] f (x), supx∈[a,b] ], ts. jos f (a) 6= f (b) ja µ ∈ R on lukujen f (a) ja f (b) v¨aliss¨a, niin on olemassa luku c ∈ (a, b) siten, ett¨a f (c) = µ. Jatkuvien funktioiden v¨ aliarvolause on intuitiivisesti itsest¨a¨anselvyys: jos esimerkiksi f (x) on jatkuva funktio v¨alill¨a [1, 2] ja sen arvot v¨alin p¨a¨atepisteiss¨ a ovat f (1) = 3 ja f (2) = 5, on f (x):n arvo = 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 v¨ aliss¨ a. Jatkuvien funktioiden v¨ aliarvolause on intuitiivisesti itsest¨a¨anselvyys: jos esimerkiksi f (x) on jatkuva funktio v¨alill¨a [1, 2] ja sen arvot v¨alin p¨a¨atepisteiss¨ a ovat f (1) = 3 ja f (2) = 5, on f (x):n arvo = 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 v¨ aliss¨ a. V¨aliarvolauseen idea on yksinkertaisesti se, ett¨a jatkuva funktio voidaan piirt¨a¨a nostamatta kyn¨ a¨ a paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdist¨ a¨ a katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4. Jatkuvien funktioiden v¨ aliarvolause on intuitiivisesti itsest¨a¨anselvyys: jos esimerkiksi f (x) on jatkuva funktio v¨alill¨a [1, 2] ja sen arvot v¨alin p¨a¨atepisteiss¨ a ovat f (1) = 3 ja f (2) = 5, on f (x):n arvo = 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 v¨ aliss¨ a. V¨aliarvolauseen idea on yksinkertaisesti se, ett¨a jatkuva funktio voidaan piirt¨a¨a nostamatta kyn¨ a¨ a paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdist¨ a¨ a katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4. V¨aliarvolauseen t¨asm¨ allinen todistus on kuitenkin kaikkea muuta kuin helppo, mahdollisesti t¨ am¨ an kurssin vaikein todistus. Katsotaan se kuitenkin liitutaululla. Kun m¨a¨arittelimme funktion f (x) jatkuvaksi joukossa S, ajatuksena oli, ett¨a f (x) on jatkuva jokaisessa joukon S sis¨apisteess¨a x0 , esitimme seuraavan tuloksen: Teoreema (Funktion jatkuvuus δ–tekniikalla) Funktio f (x), joka on m¨a¨aritelty avoimella v¨alill¨a (a, b), on jatkuva pisteess¨a x0 ∈ (a, b) jos, ja vain jos aina, kun > 0 on olemassa sellainen δ > 0, ett¨a |f (x) − f (x0 )| < kun |x − x0 | < δ. T¨ass¨a m¨a¨aritelm¨ass¨a [Teoreemassa!] δ:n arvo voi riippua sek¨a :sta, ett¨a pisteest¨a x0 . Kun m¨a¨arittelimme funktion f (x) jatkuvaksi joukossa S, ajatuksena oli, ett¨a f (x) on jatkuva jokaisessa joukon S sis¨apisteess¨a x0 , esitimme seuraavan tuloksen: Teoreema (Funktion jatkuvuus δ–tekniikalla) Funktio f (x), joka on m¨a¨aritelty avoimella v¨alill¨a (a, b), on jatkuva pisteess¨a x0 ∈ (a, b) jos, ja vain jos aina, kun > 0 on olemassa sellainen δ > 0, ett¨a |f (x) − f (x0 )| < kun |x − x0 | < δ. T¨ass¨a m¨a¨aritelm¨ass¨a [Teoreemassa!] δ:n arvo voi riippua sek¨a :sta, ett¨a pisteest¨a x0 . Funktion jatkuvuus joukossa S voidaan m¨a¨aritell¨a ankarammin eli siten, ett¨ a δ:n arvo riippuu vain :sta. M¨a¨aritelm¨a (Tasainen jatkuvuus) Funktio f (x) on tasaisesti jatkuva m¨a¨arittelyjoukkonsa osajoukossa S jos ∀ > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a |f (x) − f (x 0 )| ≤ kun |x − x 0 | < δ ja x, x 0 ∈ S. Esimerkki. Todistetaan liitutaululla, ett¨ a funktio • f (x) = 2x on tasaisesti jatkuva koko m¨ a¨ arittelyalueessaan, • f (x) = x 2 on tasaisesti jatkuva kaikilla reaalilukuv¨aleill¨a [−r , r ], mutta ei ole tasaisesti jatkuva koko m¨ a¨arittelyalueessaan, • f (x) = cos x1 on jatkuva v¨ aleill¨ a (0, 1], mutta ei ole tasaisesti jatkuva t¨all¨a v¨alill¨a. Esimerkki. Todistetaan liitutaululla, ett¨ a funktio • f (x) = 2x on tasaisesti jatkuva koko m¨ a¨ arittelyalueessaan, • f (x) = x 2 on tasaisesti jatkuva kaikilla reaalilukuv¨aleill¨a [−r , r ], mutta ei ole tasaisesti jatkuva koko m¨ a¨arittelyalueessaan, • f (x) = cos x1 on jatkuva v¨ aleill¨ a (0, 1], mutta ei ole tasaisesti jatkuva t¨all¨a v¨alill¨a. Heine–Borel’in lauseesta seuraa seuraava tulos: Teoreema Suljetulla v¨alill¨a [a, b] jatkuva funktion f (x) on tasaisesti jatkuva v¨alill¨a [a, b]. Jos erityisesti f (x) on tasaisesti jatkuva joukossa T , on se tasaisesti jatkuva jokaisella T :n suljetulla osav¨ alill¨a. Tasainen jatkuvuus tarkoittaa sit¨ a, ett¨ a pient¨ a muutosta x:ss¨a vastaa pieni muutos funktion arvossa f (x), ja t¨am¨an muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteest¨a x. Tasainen jatkuvuus tarkoittaa sit¨ a, ett¨ a pient¨ a muutosta x:ss¨a vastaa pieni muutos funktion arvossa f (x), ja t¨am¨an muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteest¨a x. Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f (x) on jatkuva (tai ep¨ajatkuva) tietyss¨ a pisteess¨ a. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin v¨ alill¨ a, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa v¨alin pisteess¨ a. Tasainen jatkuvuus tarkoittaa sit¨ a, ett¨ a pient¨ a muutosta x:ss¨a vastaa pieni muutos funktion arvossa f (x), ja t¨am¨an muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteest¨a x. Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f (x) on jatkuva (tai ep¨ajatkuva) tietyss¨ a pisteess¨ a. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin v¨ alill¨ a, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa v¨alin pisteess¨ a. Sit¨a vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on m¨a¨ aritelty joukossa, ei pisteess¨a. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa v¨ alin pisteess¨ a olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva t¨all¨ a v¨ alill¨ a. Edell¨a olevien tulosten valossa voidaan tarkastella k¨a¨ateisfunktioita hiukan tarkemmin, nimitt¨ ain on voimassa Teoreema Jos funktio f (x) on aidosti kasvava suljetulla v¨alill¨a [a, b] ja f (a) = c, f (b) = d, niin on olemassa f (x):n k¨a¨anteisfunktio g (x), joka on m¨a¨aritelty, jatkuva ja aidosti kasvava v¨alill¨a [c, d]. Lis¨aksi g (x) on yksik¨asitteinen. Todistus. Liitutaululla, jos aika sallii.