1. No category

MIILA NIEMI
BERTRANDIN PARADOKSI
Kandidaatintyö
Tarkastaja: Simo Ali-Löytty
Palautettu: 20.11.2011
II
TIIVISTELMÄ
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO
Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma
MIILA NIEMI: Bertrandin paradoksi
Kandidaatintyö, 18 sivua
Marraskuu 2011
Pääaine: Matematiikka
Tarkastaja: Simo Ali-Löytty
Avainsanat: Bertrandin paradoksi, geometrinen todennäköisyys, invarianttius, suoran parametrisointi
Tässä kandidaatintyössä esitetään ongelma, jossa tutkitaan millä todennäköisyydellä ympyrään sattumanvaraisesti piirretty jänne on pidempi kuin ympyrän sisään
piirretyn tasasivuisen kolmion sivu. Tätä ongelmaa kutsutaan Bertrandin paradoksiksi ja havaitaan ettei sen vastaus ole yksikäsitteinen. Työssä käydään läpi paradoksin eri ratkaisuvaihtoehdot sekä matemaattisesta että fysikaalisesta näkökulmasta ja
vertaillaan eri ratkaisuja. Paradoksiin tiukasti kytköksissä olevasta invarianttiudesta
esitetään rotaatio-, skaala- ja translaatioinvarianttius ja niiden liittyminen paradoksin ratkaisuun. Mikäli invarianttius asetetaan vaatimukseksi Bertrandin paradoksin
ratkaisulle, rajaa se ratkaisun yhteen vaihtoehtoon.
III
ALKUSANAT
Tämä tekniikan kandidaatintyö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitokselle.
Kiitän kandidaatintyön ohjaajaa ja tarkastajaa TkT Simo Ali-Löyttyä avusta
työn tekemisessä ja professori Robert Pichéä kiinnostavasta kandidaatintyön aiheesta. Lisäksi haluan kiittää Toni Fadjukoffia ja Henri Nurmista vertaistuesta sekä Simo
Martikaista avusta ja kannustuksesta työn tekemisessä.
IV
SISÄLLYS
1. Johdanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Bertrandin paradoksi . . . . . . . . . . . . .
2.1 Mielivaltainen säde . . . . . . . . . . . .
2.2 Mielivaltaiset päätepisteet . . . . . . . .
2.3 Mielivaltainen keskipiste . . . . . . . . .
2.4 Ratkaisujen vertailua . . . . . . . . . . .
2.5 Ongelman fysikaalinen näkökulma . . .
3. Parametrisointi . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Suorien parametrisointi . . . . . . . . .
3.2 Todennäköisyys parametrien muuttuessa
4. Invarianttius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Rotaatioinvarianttius . . . . . . . . . . .
4.2 Skaalainvarianttius . . . . . . . . . . . .
4.3 Translaatioinvarianttius . . . . . . . . .
4.4 Invarianttius Bertrandin paradoksissa .
4.5 Invarianttius geometrisesti . . . . . . . .
5. Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lähteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
3
4
4
5
6
6
8
8
9
11
11
12
13
15
16
18
19
V
TERMIT JA SYMBOLIT
P(A)
m(A)
m
[a, b]
]a, b[
[a, b[, ]a, b]
(x, y)
D, q
!
f, g, pA , pA
px,y
Geometrinen todennäköisyys joukolle A
Joukon A geometrinen mitta.
Koko kuvion geometrinen mitta.
Pisteiden a ja b välinen suljettu väli.
Pisteiden a ja b välinen avoin väli.
Pisteiden a ja b välinen puoliavoin väli.
Kaksiulotteisen koordinaatiston piste.
Vakioita.
Tiheysfunktioita.
Parametrisoinnin x tiheysfunktio esitettynä parametrisoinnissa y.
1
1.
JOHDANTO
Todennäköisyyslaskenta on lähtöisin 1600-luvun Ranskasta. Ensimmäiset todennäköisyyslaskennan ongelmat olivat hyvin käytännönläheisiä, esimerkkinä uhkapeleihin
liittyvät todennäköisyydet. Jo pian todennäköisyyslaskennan synnyn jälkeen alettiin
tutkia geometrista todennäköisyyttä, joka voidaan määritellä koko kuvion osajoukolle A
m(A)
,
(1.1)
P(A) =
m
jossa m(A) on joukon A geometrinen mitta ja m koko kuvion. Geometrinen todennäköisyys vaatii tutkittavan todennäköisyyden olevan symmetrinen siinä mielessä,
ettei tutkittavan suureen todennäköisyys saa riippua esimerkiksi suureen muodosta
tai sen sijainnista. [1]
Bertrandin paradoksin kehittäjä Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) oli
ranskalainen matemaatikko, joka työskenteli muunmuassa lukuteorian, differentiaaligeometrian ja todennäköisyysteorian parissa. Bertrand opiskeli jo nuorella iällä
korkeakoulussa École Polytechnique ja muutamia vuosia myöhemmin valmistui samasta koulusta. Tämän jälkeen, vuonna 1839, Bertrand pääsi töihin École Polytechniquehen, jossa hän viihtyi kaksi vuotta ja aloitti sitten tutkimuksen tekemisen ja
opettamisen École des Minesissä. [2]
Bertrand esitti kursseillaan ja kirjassaan Calcul des probabilités (1889) [3] geometriseen todennäköisyyteen liittyviä ongelmia, joiden vastaus ei ollut yksikäsitteinen, vaan riippui tehtävän ratkaisutavasta. Yksi näistä ongelmista nimettiin jälkikäteen Bertrandin paradoksiksi. Paradoksi tarkoittaa väitettä, joka näyttää ristiriitaiselta, mutta josta seuraa tosi.
Tämän kandidaatintyön alussa, kappaleessa 2, esitetään Bertrandin paradoksin
ongelma ja siihen kolme eri ratkaisuvaihtoehtoa, jotka ovat mielivaltainen säde, mielivaltaiset päätepisteet ja mielivaltainen keskipiste. Näitä ratkaisuja vertaillaan ongelman asettelun ja lähteiden perusteella. Ongelman fysikaalista näkökulmaa tutkitaan esittämällä kolme erilaista konetta, yksi jokaiselle ratkaisulle.
Kappaleessa 3 esitetään kaksi eri suorien parametrisointia ja parametrisoinnin
vaikutus todennäköisyyteen. Tämän jälkeen siirrytään käsittelemään invarianttiutta kappaleessa 4. Kappaleessa käydään läpi translaatio-, skaala-, ja rotaatioinvarianttius. Samassa kappaleessa pohditaan myös mikä olisi paradoksin oikea ratkaisutapa mikäli vaatimuksiin lisättäisiin invarianttius. Invarianttiutta tutkitaan tä-
1. Johdanto
2
män jälkeen myös geometrisesti. Lopuksi kappaleessa 5 esitetään yhteenveto työssä
esitetyistä asioista.
3
2.
BERTRANDIN PARADOKSI
Bertrandin paradoksi on esimerkki mielivaltaisuus-käsitteen aiheuttamasta ristiriidasta klassisessa todennäköisyyslaskennassa. Joseph Bertrand esitteli kirjassaan [3]
ongelman, jonka tulos riippui ongelman ratkaisutavasta. Nykypäivänä tätä ongelmaa
kutsutaan nimellä Bertrandin paradoksi. Ongelmassa tarkastellaan tilannetta, jossa
ympyrän sisään on piirretty tasasivuinen kolmio ja ympyrältä valitaan mielivaltainen
jänne. Tilanne on esitetty kuvassa 2.1. Mikä on todennäköisyys, että jänne on pidempi kuin tasasivuisen kolmion sivun pituus? Ympyrän
! sisään piirretyn tasasivuisen
√
)
=
3r.
kolmion sivun pituus on kosinilauseen nojalla s = r 2 + r 2 − 2r 2 cos( 2π
3
Ratkaisua tutkittaessa havaitaan, että mielivaltaisestsi valittu jänne ei ole hyvin
määritelty, sillä valitsemalla jänne eri tavalla, saadaan erisuuruisia todennäköisyyksiä. Kuvassa 2.1 on esitettynä Bertrandin paradoksin ongelma. Punaisella on merkitty jänne, joka ei toteuta paradoksin vaatimusta ja vihreällä suotuisa tapaus.




Kuva 2.1: Bertrandin paradoksi.
Bertrand esitti ongelmaan kolme eri ratkaisua: mielivaltainen säde, mielivaltaiset
päätepisteet ja mielivaltainen keskipiste. [1] Ensimmäisessä ratkaisutavassa valitaan
ympyrältä säde ja tältä säteeltä piste, jonka kautta piirretään sädettä kohtisuorassa
oleva jänne. Tämä voidaan myös ajatella siten, että ensin valitaan jänteen suunta
ja sitten etäisyys ympyrän keskipisteestä. Toisessa ratkaisussa valitaan kaksi pistettä ympyrän piiriltä ja piirretään niitä yhdistävä jänne. Voidaan myös ajatella,
että ensin valitaan päätepiste piiriltä ja sitten valitaan kulma, jonka suuntaisesti
jänne lähtee valitusta pisteestä, kulman ollessa välillä [− π2 , π2 ]. Kolmannessa ratkaisussa valitaan piste ympyrän sisältä ja piirretään jänne pitäen tätä pistettä jänteen
keskipisteenä.
2. Bertrandin paradoksi
4
Kun näitä kolmea eri ratkaisutapaa sovelletaan ongelmaan, saadaan kolme eri
todennäköisyyttä vastaukseksi. Seuraavissa kappaleissa on tarkemmin esitelty ongelman eri ratkaisutavat.
2.1
Mielivaltainen säde
Kuvassa 2.2 on esitetty ensimmäinen ratkaisutapa, jossa on r-säteinen ympyrä ja
säteeltä valitun pisteen läpi piirretty jänne. Jänteen keskipisteen ja ympyrän keskipisteen etäisyys oletetaan valituksi sattumanvaraisesti väliltä [0, r]. Koko kappaleen
geometrinen mitta on m1 = r, joka siis on ympyrän jänteen mitta. Ympyrän symmetrisyyden nojalla kulmalla, jonka suunnassa jänteen keskipiste on ympyrässä, ei
ole väliä. Suotuisissa tapauksissa jänteen keskipisteen ja ympyrän keskipisteen välinen etäisyys a on maksimissaan puolet ympyrän säteestä eli kuuluu välille [0, 2r [.
Tällöin suotuisten tapausten joukon A1 geometrinen mitta on m(A1 ) = 2r .
Silloin todennäköisyydeksi saadaan kaavan (1.1) mukaan
r
2
1
= .
r
2
P(A1 ) =


Kuva 2.2: Mielivaltainen säde -ratkaisutapa.
2.2
Mielivaltaiset päätepisteet
Toisessa ratkaisutavassa koko kappaleen geometrinen mitta on ympyrän kehän pituus, m2a = 2πr. Ympyrän symmetrian vuoksi ensimmäisen päätepisteen paikalla
ei ole vaikutusta, ainoastaan toisen päätepisteen paikalla. Suotuisissa tapauksissa
eli mikäli jänne leikkaa pienemmän ympyrän, jänteen toinen pää on jossain pistees. Tämä ympyrän kaaren osa on
sä ympyrän kaarella, jonka pituus on m(A2a ) = 2πr
3
merkitty kuvassa 2.3 turkoosilla.
Tällöin geometriseksi todennäköisyydeksi saadaan
P(A2a ) =
2πr
3
1
= .
2πr
3
2. Bertrandin paradoksi
5

Kuva 2.3: Mielivaltaiset päätepisteet -ratkaisutapa.
Jos taas päätepisteet määritetään ensin valitsemalla päätepiste ja sen jälkeen
kulma θ, on koko kappaleen geometrinen mitta koko mahdollisten kulmien välinen
alue [− π2 , π2 ] eli m2b = 2 π2 = π. Suotuisissa tapauksissa kulma θ on välillä ] − π6 , π6 [.
Tämän välin mitta on m(A2b ) = 2 π6 . Kuvassa 2.3 on kuvattu tämä ratkaisutapa.
Silloin geometrinen todennäköisyys saadaan valitsemalla ensin päätepiste ja sitten
kulma θ.
2π
1
P(A2b ) = π6 = .
22
3
Todennäköisyydet molemmille parametrisoinneille ovat siis yhtä suuret
1
P(A2a ) = P(A2b ) = .
3
2.3
Mielivaltainen keskipiste
Kolmannessa ratkaisussa jänteen keskipiste valitaan sattumanvaraisesti ympyrän sisältä, jolloin sen voidaan ajatella olevan kiekon {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ r 2 } sisällä.
Koko kappaleen geometrinen mitta on m3 = πr 2 eli r-säteisen kiekon pinta-ala.
Suotuisissa tapauksissa jänteen keskipiste on maksimissaan 2r etäisyydellä ympyrän keskipisteestä eli kuuluu kiekkoon {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < ( 2r )2 }, joka on
kuvassa 2.4 piirretty harmaalla. Tämän kiekon geometrinen mitta eli pinta-ala on
m(A3 ) = π( 2r )2 = π4 r 2 . Kuvassa 2.4 on esitetty mielivaltaisen keskipisteen ratkaisutapa.
Geometrinen todennäköisyys on
P(A3 ) =
π 2
r
4
πr 2
1
= .
4
2. Bertrandin paradoksi
6


Kuva 2.4: Mielivaltainen keskipiste -ratkaisutapa.
2.4
Ratkaisujen vertailua
Bertrandin paradoksi on ongelmana hyvä, ja kaikki Bertrandin paradoksin vastausvaihtoehdot vaikuttavat hyviltä ja oikeilta. Kuitenkin ongelmaa pohtiessa tuntuu,
että vastauksen pitäisi olla yksikäsitteinen.
Tämän ongelman paradoksaalisuus johtuu siitä, että sanaa mielivaltainen ei ole
kunnolla määritelty. Kaikki vastauksista ovat matemaattisesti hyväksyttäviä. Bertrand itse ei nosta mitään ratkaisua toisen yli oikeaksi, vaan sanoo, että yksikään
ratkaisuista ei ole väärin. Hän toteaa että yksikään ei ole tarkka, vaan ongelma on
huonosti asetettu.
Monet Bertrandin paradoksista kirjoittaneet eivät ole halunneet antaa mielipidettään oikeasta ratkaisusta. Jaynesin [4] mukaan esimerkiksi Poincaré 1912, Uspensky
1937 ja Gnedenko 1962 eivät ota kantaa oikeaan ratkaisuun todeten, että ongelmalla
ei ole yksiselitteistä ratkaisua, koska se on huonosti asetettu ja mielivaltaisuus ei ole
määritelty. Borel (1909) kertoo mielipiteensä oikeasta ratkaisusta, tosin todistamatta sitä.
2.5
Ongelman fysikaalinen näkökulma
Bertrandin paradoksia voidaan konkretisoida ajattelemalla, että tikkua heitetään
kaukaa maahan piirrettylle ympyrälle. Tikku oletetaan pitkäksi ja tikun heittotapaa
ei täsmennetä, eli tikku heitetään maahan mielivaltaisesti. Koska tikku on pitkä, sen
oletetaan leikkaavan ympyrän. Mikäli ympyrän kokoa kasvatetaan ja tikun heittäjän
taitotaso kasvaa, voi ongelman vastaukseen vaikuttaa niin halutessaan. [5]
Olisi mahdollista rakentaa koneet, jotka tuottaisivat kappaleissa 2.1-2.3 esitetyt
vastaukset. Kuvassa 2.5 on kuvattu tällaisten koneiden toimintaperiaatteet.
Ensimmäisen koneen toimintaa, kuvassa 2.5 vasemmalla, voidaan kuvata kepillä,
jota vieritetään ympyrän yli koko ajan samassa suunnassa. Tällöin saadaan sama
todennäköisyys kuin mielivaltainen säde -ratkaisutavalla. Esimerkki fysikaalisesta
vastineesta tälle koneelle on radioaktiivinen säteilylähde. Kuvassa 2.6 vasemman-
2. Bertrandin paradoksi
7
Kuva 2.5: Koneet eri ratkaisutavoille kuvattuna vasemmalta oikealle järjestyksessä mielivaltainen säde, mielivaltaiset päätepisteet ja mielivaltainen keskipiste.
puoleinen kuva kuvaa säteilylähdettä, joka aiheuttaa säteilylle sellaisen jakauman,
että kone vastaa mielivaltainen säde -ratkaisua.
Mielivaltaiset päätepisteet -ratkaisutavan vastaus saavutetaan koneella, jossa kepin toinen pää on kiinnitetty ympyrän kaarelle. Tätä keppiä käännellään enintään
180◦ verran, jolloin keppi leikkaa aina ympyrän kehää. Kone on esitetty kuvassa
2.5 keskellä. Tällainen voisi olla esimerkiksi radioaktiivinen säteilylähde, joka lähettää säteilyä pisteestä joka suuntaan tasaisesti ja tutkitaan vain pisteestä oikealle
lähtevää säteilyä, kuten kuvassa 2.6 keskellä.
Kuva 2.6: Koneet kuvattuna säteilylähteinä. Vasemmalla mielivaltainen säde, keskellä mielivaltaiset päätepisteet ja oikealla mielivaltainen keskipiste.
Mielivaltainen keskipiste -kone asettaa jänteen keskipisteen umpimähkään ympyrän sisälle. Tällöin kuvan 2.5 oikeassa laidassa esitetty pilkullinen ympyrä on suotuisten tapausten joukko. Mikäli tätä haluaisi miettiä säteilylähteenä, tulisi säteilylähteen olla vähintään ympyrän kokoinen ja lähettää tasaisesti kohtisuorasti säteilyä
ympyrälle, kuten kuvan 2.6 oikeimmaisin kuva.
8
3.
PARAMETRISOINTI
3.1
Suorien parametrisointi
Suoralle ja sen ympyrän rajaamalle osalle, jänteelle, voidaan esittää useita eri parametrisointeja. Kuvassa 3.1 on esitetty kaksi eri parametrisointia [6]: napakoordinaattija koordinaattipisteparametrisoinnit. Näille parametrisoinneille on laskettu paradoksin tapahtuman todennäköisyys olettaen, että todennäköisyysjakauma on tasajakauma kyseisessä parametrisoinnissa. Lähteestä [6] löytyy myös lisää parametrisointeja,
joita ei tässä esitetä.




Kuva 3.1: Jänteen eri parametrisoinnit, napakoordinaatti- ja koordinaattipisteparametrisointi.
Esitetään jänne ensin napakoordinaattimuodossa. Kuvassa 3.1 on esitetty käytetyt suureet; kulma 0 ≤ φ < 2π ja suoran etäisyys origosta 0 ≤ ρ ≤ r.
Suora origosta ympyrän pisteeseen (x, y) on muotoa
y = tan(φ)x,
φ∈
/
"
3π
π
0, , π,
2
2
#
.
Tätä suoraa kohtisuorassa oleva suora on haluttu jänne. Sen yhtälö on
y=−
1
ρ
x+
.
tan(φ)
sin(φ)
Erityistapaukset käsitellään erikseen:
Jos φ = 0, on origosta pisteeseen (x, y) kulkevan suoran yhtälö muotoa y = 0.
Tätä kohtisuorassa ja etäisyydellä ρ origosta olevasuora on x = ρ.
Jos φ = π2 , on origosta pisteeseen (x, y) kulkevan suoran yhtälö muotoa x = 0.
Tätä kohtisuorassa ja etäisyydellä ρ oleva suora on y = ρ.
3. Parametrisointi
9
Jos φ = π, on origosta pisteeseen (x, y) kulkevan suoran yhtälö muotoa y = 0.
Tätä kohtisuorassa ja etäisyydellä ρ origosta olevasuora on x = −ρ.
, on origosta pisteeseen (x, y) kulkevan suoran yhtälö muotoa x = 0.
Jos φ = 3π
2
Tätä kohtisuorassa ja etäisyydellä ρ oleva suora on y = −ρ.
Tällöin suoran yhtälö saadaan sievennettyä muotoon
cos(φ)x + sin(φ)y = ρ,
Koordinaattipisteparametrisoinnissa esitetään koordinaatiston piste (ξ, η) siten, että
ξ = ρ cos φ,
η = ρ sin φ.
Kuvassa 3.2 on kuvattu eri parametrisoinneilla jänteen pituutta. Tummalla on
erotettuna tilanne, jossa jänteen pituus on suurempi kuin paradoksin tasasivuisen
kolmion sivun pituus.










Kuva 3.2: Todennäköisyys tapahtumalle "jänne on pidempi kuin tasasivuisen kolmion sivu".
Ensimmäisellä, eli napakoordinaattiparametrisoinnilla tapahtuman “jänteen pi√
tuus on yli 3r” todennäköisyys on 12 , eli sama kuin mielivaltainen säde -menetelmällä
ratkaistu. Koordinaattipisteparametrisoinnilla vastaavan tapahtuman todennäköisyydeksi saadaan 14 , jonka havaitaan olevan yhtäsuuri kuin mielivaltainen keskipiste
-menetelmällä. Havaitaan, että eri parametrisoinnit tuottavat eri todennäköisyyden
ratkaisuksi jolloin ratkaisun tulisi olla parametrisoinnista riippumaton.
3.2
Todennäköisyys parametrien muuttuessa
Parametrisointia muutettaessa tapahtuman todennäköisyys ei pysy välttämättä muuttumattomana. Tiheysfunktion yleinen muuntokaava voidaan esittää muodossa [7]
g(y) = f (h(y))|det(h" (y))|,
(3.1)
3. Parametrisointi
10
jossa alkuperäistä muuttujaa x vastaa tiheysfunktio f ja jossa y on uusi muuttuja,
joka määritellään yhtälön x = h(y) avulla. Nyt kappaleessa 3.1 esitettyjen parametrisointien tiheysfunktioita voidaan verrata.
$
$
$ ∂ξ ∂ξ $
$ ∂ρ ∂φ $
dηdξ = $ ∂η ∂η $ dρdφ
$
$
$ ∂ρ ∂φ
$
$cos φ −ρ sin φ$
$
$
=$
$ dρdφ
$ sin φ ρ cos φ $
= (ρ cos2 φ + ρ sin2 φ)dρdφ
= ρdρdφ
Tapahtuman todennäköisyys on siten sama molemmilla parametrisoinneilla jos
1
p3,1
,
p3,3 (ξ, η) = p3,1 (ρ, φ) = %
ρ
(ξ 2 + η 2 )
jossa p3,3 on koordinaattipisteparametrisoitu tiheysfunktio ja p3,1 tiheysfunktio muunnettuna napakoordinaattiesitykseen.
Tiheysfunktio p3,3 voidaan päätellä kuvasta 3.2, sillä tiheysfunktion integraalin
arvo koko alueen yli tulee olla 1. Koordinaattipisteparametrisoinnissa koko alueen
pinta-ala on πr 2 , joten tiheysfunktio on silloin p3,3 (ξ, η) = πr1 2 . Tehtäessä muunnos
ensimmäiseen parametrisointtin, p3,1 (ρ, φ) = πrρ2 .
Napakoordinaattiparametrisoinnissa koko alueen pinta-ala on 2πr, joten silloin
1
haluttu tiheysfunktio.
p1,1 (ρ, φ) = 2πr
Mielivaltaiset päätepisteet -ratkaisu voidaan parametrisoida siten, että sen tiheysfunktioksi tulee p2,2 (β, l) = 2π12 r . Kun tämä muunnetaan vastaamaan ensimmäistä
parametrisointia, saadaan p2,1 (ρ, φ) = 2 √ 12 2 .
π
r −ρ ρ
11
4.
INVARIANTTIUS
Ongelmalla havaittiin olevan monta eri vastausta eri ratkaisutavoista riippuen. Jaynesin [5] mukaan ratkaisussa ei saisi käyttää muuta tietoa kuin mitä ongelmassa
on annettu. Bertrandin paradoksi ei esimerkiksi määrää ympyrän kokoa tai paikkaa, jolloin ratkaisukaan ei saisi riippua näistä suureista. Tällöin ratkaisun tulisi
olla rotaatio-, skaala- ja translaatioinvariantti. Mikäli vaatimukseksi otetaan alkuperäisen tehtävänannon lisäksi invarianttius, saadaan vastaus yksikäsitteiseksi. Invarianttius kuvaa matemaattisen suureen kykyä pysyä muuttumattomana munnoksen
aikana.
4.1
Rotaatioinvarianttius
Oletetaan r-säteinen ympyrä, johon määritetään jänne antamalla jänteen keskipiste napakoordinaateissa (ρ, φ). Haetaan tälle todennäköisyysfunktio f (ρ, φ)dA =
f (ρ, φ)ρdρdφ. Jänteen pituuden jakauma riippuu ainoastaan säteittäisestä jakaumasta
&2π
f (ρ, φ)dφ.
0
Oletetaan kaksi katsojaa tarkastelemaan tilannetta eri suunnista. Tarkastelukulma
ei saa kuitenkaan vaikuttaa todennäköisyyden suuruuteen, sillä tilanne on sama
katsotaan sitä mistä suunnasta vain. Jos siis oletetaan, että katselukulmien välinen
kulma on α, tulee olla
f (ρ, φ) = g(ρ, φ − α).
Koska tilanne näyttää samalta molemmille tarkkailijoille, tulee näiden funktioiden f
ja g olla samat rotaatiosymmetriasta johtuen:
f (ρ, φ) = g(ρ, φ) = g(ρ, φ − α).
Tämän tulee päteä kaikille kulmille 0 ≤ α ≤ 2π. Silloin tulee olla f (ρ, φ) = f (ρ).
4. Invarianttius
4.2
12
Skaalainvarianttius
Rotaatiosymmetrian vuoksi ongelma voidaan redusoida normalisoidun funktion f (ρ)
määrittämiseen:
&2π &r
0
(4.1)
f (ρ)ρdρdφ = 1.
0
Oletetaan kaksi ympyrää, joiden säteet ovat r ja ar, jossa 0 < a ≤ 1 ja joiden keskipisteet ovat samat. Jos jänne leikkaa pienemmän ympyrän, todennäköisyys sille,
että jänteen keskipiste on alueessa dA = ρdρdφ, on h(ρ)ρdρdφ. Pienemmän ympyrän leikkaava jänne määrittää jänteen myös isompaan ympyrään, jolloin funktion
f (ρ) tulee olla verrannollinen funktioon h(ρ). Funktio f (ρ) saadaan ehdollisen todennäköisyyden avulla johdettua muotoon [5]
f (ρ) = 2πh(ρ)
&ar
f (ρ)ρdρ,
0 ≤ ρ ≤ ar.
(4.2)
0
Jos on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, joka on riippumaton ympyrän koosta,
tulee olla riippuvuus funktioiden f (ρ) ja h(ρ) välillä. Tällöin toinen tapaus on vain
sama ongelma pienennettynä versiona. Todennäköisyyden tulee olla silloin sama
molemmissa tapauksissa, jolloin saadaan johdettua lauseke
h(aρ)(aρ)d(aρ)dφ = f (ρ)ρdρdφ,
eli
(4.3)
a2 h(aρ) = f (ρ).
Yhdistämällä yhtälöt (4.2) ja (4.3) havaitaan, että invarianttius skaalan vaihtuessa
vaatii, että tiheysfunktio täyttää ehdon
a2 h(aρ) = 2πh(ρ)
&ar
f (ρ)ρdρ,
0 < a < 1,
0 ≤ ρ ≤ r.
(4.4)
0
Kun tämä lauseke derivoidaan muuttujan a suhteen, saadaan
2aρh(aρ) + a2 h" (aρ)ρ = 2πh(ρ)f (ar)ar 2 .
Kun asetetaan a = 1, saadaan yhtälön (4.4) normalisointiehdon (4.1) täyttäväksi
ratkaisuksi
2h(ρ) + h" (ρ)ρ = 2πh(ρ)f (r)r 2,
4. Invarianttius
13
josta seuraa
h" (ρ)ρ = (2πf (r)r 2 − 2)h(ρ),
jossa voidaan merkitä termiä 2πf (r)r 2 vakiolla q. Tällöin h(ρ) saadaan muotoon
h(ρ) = Dρq−2 ,
josta saadaan yhtälön (4.1) avulla vakioksi D
D=
q
.
2πr q
Silloin funktio h(ρ) on
qρq−2
,
2πr q
jossa q on vakio välillä 0 < q < ∞. Kun a = 1, on kuitenkin h(ρ) = f (ρ), joten
myös
qρq−2
f (ρ) =
, 0 < q < ∞.
2πr q
h(ρ) =
Skaalainvarianttiuden mukaan kelvolliset tiheysfunktiot ovat siis mutoa f (ρ) = qρ
.
2πr q
1
Jos q = 1, saadaan ρf (ρ) = 2πr = p1,1 (ρ, φ), jossa p1,1 on mielivaltainen säde
-ratkaisutavan tiheysfunktio.
Jos q = 2, on ρf (ρ) = πrρ2 = p3,1 (ρ, φ), jossa p3,1 on mielivaltainen keskipiste
-ratkaisutavan tiheysfunktio.
Mielivaltaiset päätepisteet -ratkaisutavan tiheysfunktiota p2,1 (ρ, φ) = 2 √12 2 ei
q−2
π
saada esitettyä muodossa f (ρ) =
ole skaalainvariantti.
4.3
qρq−2
,
2πr q
r −ρ
joten se voidaan hylätä sen vuoksi, ettei se
Translaatioinvarianttius
Oletetaan kaksi hieman eri paikassa olevaa ympyrää, jotka parametrisoidaan kuvan
4.1 mukaan eli tehdään koordinaatistomuunnos (ρ, φ) → (ρ" , φ" ). Muuttujat ρ" ja φ"
määritellään seuraavasti
ρ" = |ρ − b cos φ|
(4.5)
φ" =

φ,
jos ρ > b cos φ
φ + π, jos ρ ≤ b cos φ
(4.6)
Todennäköisyys sille, että ympyrän C leikkaavan jänteen keskipiste on alueessa
X, on
&
&
q
f (ρ)ρdρdφ =
ρq−1 dρdφ.
(4.7)
2πr q
X
X
4. Invarianttius
14











Kuva 4.1: Suora lävistää kaksi hieman eri paikassa olevaa ympyrää.
Todennäköisyys sille, että ympyrän C " leikkaavan jänteen keskipiste on alueessa
X " , on
&
&
q
q
" q−1
"
"
(ρ ) dρ dφ =
|ρ − b cos φ|q−1 dρdφ,
(4.8)
2πr q
2πr q
X
X!
joka on muutettu samaan parametrisointiin kaavojen (4.5) ja (4.6) avulla. [5]
Yhtälöiden (4.7) ja (4.8) oikeat puolet tulee olla yhtäsuuret, jotta todennäköisyydet olisivat samat.
&
&
q
q
q−1
ρ dρdφ =
|ρ − b cos φ|q−1dρdφ
(4.9)
2πr q
2πr q
X
X
&
&
ρq−1 dρdφ =
|ρ − b cos φ|q−1dρdφ.
(4.10)
X
X
Koska X on mielivaltainen, voidaan tämä kirjoittaa muotoon
ρq−1 = |ρ − b cos φ|q−1 ,
ja jos oletetaan, että ρ − b cos φ > 0, voidaan kirjoittaa
ρq−1 = (ρ − b cos φ)q−1 .
4. Invarianttius
15
Jos asetetaan ehto, että q − 1 '= 0, saadaan
ρ = ρ − b cos φ,
josta seuraa, että
(4.11)
b cos φ = 0.
Yhtälön (4.10) tulee päteä kaikille joukoille ja koska yhtälö (4.11) rajoittaa joukon
alkoita, tulee olla q − 1 = 0. Silloin on q = 1, joten tiheysfunktio on muotoa ρf (ρ) =
1
= p1,1 (ρ, φ).
2πr
Tällöin mielivaltainen keskipiste -ratkaisutapa tulee hylätä, sillä se ei ole translaatioinvariantti.
4.4
Invarianttius Bertrandin paradoksissa
Todennäköisyysfunktio f on yksikäsitteisesti määrätty
f (ρ, φ) =
1
,
2πrρ
0 ≤ ρ ≤ r,
0 ≤ φ < 2π.
Tämä tiheysfunktio vastaa mielivaltainen säde -ratkaisutavan tiheysfunktiota p1,1 .
Mielivaltaiset päätepisteet - ja mielivaltainen keskipiste -ratkaisutavat saatiin suljettua pois, sillä ensimmäinen ei ollut skaalainvariantti ja jälkimmäinen translaatioinvariantti.
Bertrandin paradoksi ei ole hyvin määritelty, jonka vuoksi vastaus ei ole yksikäsitteinen. Mikäli paradoksin ehdoksi lisättäisiin ratkaisun invarianttius, olisi vastaus
yksikäsitteinen 21 .
Mielivaltainen säde -ratkaisun invarianttius voitaisiin todistaa myös toisella tavalla. Jos parametreja ρ ja φ muutetaan hieman, kuten kuvassa 4.1, nähdään parametrisoinnin vaikutus todennäköisyyteen. Jos molemmissa parametrisoinneissa todennäköisyyksien tulee olla samat, pätee [8]
&
A
p (ρ, φ)dρdφ =
X
&
!
pA (ρ" , φ" )dρ" dφ" kaikille X ⇐⇒ pA (ρ, φ) = vakio,
X!
!
jossa pA ja pA ovat tiheysfynktioita. Tiheysfunktion tulee siis olla vakio, jotta invarianttius toteutuisi. Tutkitaan eri tiheysfunktioita napakoordinaattiparametrisoin-
4. Invarianttius
16
nissa, jotta saadaan selville mikä niistä on vakio.
p1,1 (ρ, φ) =
1
,
2πr
p2,1 (ρ, φ) =
%
1
π 2 r 2 − ρ2
ρ
p3,1 (ρ, φ) = 2 .
πr
,
Näistä ainoastaan p1,1 on vakio napakoordinaattiparametrisoinnissa, muut ovat riippuvaisia muuttujasta ρ. Tällöin voidaan todeta, että mielivaltainen säde -ratkaisutapa
on ainoa invariantti rakaisutapa.
4.5
Invarianttius geometrisesti
Invarianttiutta voidaan tutkia myös geometrisesti. Kuvassa 4.2 on generoituna eri
tavalla parametrisoidut jänteet ympyrälle.
Kuva 4.2: Eri ratkaisutavoilla generoidut jänteet. Mielivaltainen säde -ratkaisutapaa vastaava kuva vasemmalla, mielivaltaiset päätepisteet keskellä ja mielivaltainen keskipiste oikealla.
Invarianttius vaatii, että todennäköisyys on sama kaikkialla. Jos kuvan 4.2 ympyrään piirretään sisälle kaksi pienempää ympyrää, tulee niiden sisällä olevien todennäköisyyksien olla samat. Kuvaan 4.3 on piirretty ympyröiden sisälle kaksi pienempää
ympyrää.
4. Invarianttius
17
Kuva 4.3: Todennäköisyys kahdelle pienemmälle ympyrälle, jotka on piirretty alkuperäisen
ympyrän sisään. Ratkaisut on esitetty järjestyksessä vasemmalta oikealle mielivaltainen
keskipiste, mielivaltaiset päätepisteet ja mielivaltainen keskipiste.
Kuvasta 4.3 havaitaan, että mielivaltainen säde -ratkaisutapa on ainoa, jossa todennäköisyyden ovat samat molemmissa pienissä ympyröissä. Mielivaltaiset päätepisteet -ratkaisussa ympyröiden sisällä oleva todennäköisyys on hieman eri. Mielivaltainen keskipiste -ratkaisutavalla todennäköisyys ei selvästikään ole sama molemmissa ympyröissä. Kuvien 4.2 ja 4.3 generointiin käytetyt lähdekoodit on saatavilla
osoitteesta http://www.students.tut.fi/~niemi39/kandi/.
18
5.
YHTEENVETO
Tässä työssä esitettiin Bertrandin paradoksi. Bertrandin paradoksi esittää ongelman, jossa annettuun ympyrään piirretään umpimähkään jänne. Mikä on todennäköisyys, että jänne on pidempi kuin ympyrän sisään piirretyn tasasivuisen kolmion
sivu? Tulokseksi saatava todennäköisyys riippuu kuitenkin ongelman ratkaisutavasta ja siten siitä, miten jänteiden mielivaltaisuus on valittu. Tästä havaitaan, että
mielivaltaisuus-termi ei ole hyvin määritelty.
Työssä käsiteltiin kolme eri ratkaisutapaa Bertrandin paradoksiin: mielivaltainen
säde, mielivaltaiset päätepisteet ja mielivaltainen keskipiste. Näitä vastaaviksi todennäköisyyksiksi saatiin
1
P(A1 ) = ,
2
1
P(A2a ) = P(A2b ) = ,
3
1
P(A3 ) = .
4
Näistä ratkaisutavoista ainoastaan mielivaltainen säde -ratkaisutavan havaittiin
olevan invariantti. Huomattiin, että sana mielivaltainen ei ole hyvin määritelty, joten
sitä ei tulisi käyttää tällaisissa ongelmissa. Joko jänteiden parametrisoitu jakauma
pitää esittää selvästi tai vaatia ratkaisulta invarianttiutta.
Toinen vastaava ongelma on Buffonin neula [9], jossa pudotetaan neulaa, jonka
pituus on l, samansuuntaisten ja toisistaan etäisyydellä d olevien suorien päälle.
Mikä on todennäköisyys, että neula leikkaa pudotessaan jonkun viivan? Tämän ongelman tarkastelua löytyy useista lähteistä, mukaanlukien [9], joten sitä ei nyt tässä
tarkastella.
Pystymme toteamaan, että Bertrandin paradoksilla ei ole yksikäsitteistä ratkaisua tehtävän alkuperäisen asettelun mukaisesti. Mikäli vastaukselta vaaditaan invarianttius, tulee vastauksesta yksikäsitteinen, P = 21 . Kuitenkaan alkuperäiseen
ongelmaan ei voida todeta olevan yhtä oikeaa ratkaisua, sillä tehtävä on huonosti
asetettu ja mielivaltaisuus ei ole hyvin määritelty.
19
LÄHTEET
[1] Mika Koskenoja, 2002. Sattuman matematiikkaa I - klassinen todennäköisyys, Solmu-lehti. [http://solmu.math.helsinki.fi/2002/2/sattuma/] viitattu 15.7.2011
[2] J. J. O’Connor ja E. F. Robertson, Joseph Louis François Bertrand. [http://
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bertrand.html] viitattu 15.7.2011
[3] J. Bertrand, 1889. Calcul des probabilités. Gauthier-Villars et fils.
[4] E. T. Jaynes, 2003. Probability Theory The Logic of Science, 1. painos. Cambridge University Press.
[5] E. T. Jaynes, 1973. Foundations of Physics. The Well-Posed Problem, ss. 477493.
[6] Luis A. Santaló, 1976. Integral Geometry and Geometry Probability. AddisonWesley Publishing Company.
[7] Armo Pohjavirta ja Keijo Ruohonen, 2005. Laaja tilastomatematiikka -opintomoniste. [http://math.tut.fi/~ruohonen/LTM.pdf] viitattu
18.11.2011
[8] H. Poincaré, 1912. Calcul des probabilités. Gauthier-Villars et fils.
[9] Herbert Solomon, 1978. Geometry Probability. J. W. Arrowsmith Ltd.