Painopiste ja kiertymä Tomi Painopiste • Piste, jonka kautta painovoiman vaikutussuora kulkee • Painopisteen paikan määritys: – symmetriset tasalaatuiset kappaleet: symmetriakeskipisteessä; esim ympyrällä ympyrän keskipisteessä – Epäsymmetrisen kappale: eri osien painopisteiden avulla m x X m i i i i i m y ,Y  m i i i i i Esimerkki • Laske ympyräkiekon painopiste, kun siitä puuttuu ympyrän muotoinen osa (r=3cm). Puuttuvan ympyrän keskipiste on 5cm päässä kiekon keskipisteestä. Kiekon säde on 10cm. Kiertymä eli kiertokulma kaarenpituus kiertymä  säde •yksikkö: radiaani, rad •kiertokulma on 1 rad, kun kaaren pituus = säde •radiaanit vs. asteet 360 x rad  ( x  ) 2 2 y  ( y  )rad 360 eli s   r Kulmanopeus ω   t eli kulmanopeus  -yksikkö: 1 rad/s, merkitään yleensä vain 1/s Ratanopeus v v  r kiertokulma aika Kierrosaika ja kierrostaajuus • Kierrosaika T – yhteen kierrokseen kuluva aika • T 2  Kierrostaajuus eli pyörimisnopeus, n (tai f) – kierrosten lukumäärä aikayksikössä • perusyksikkö 1/s, eli kierrosta sekunnissa 1 n T  n 2 • usein käytössä yksikkö rpm eli 1/min eli kierrosta minuutissa • Muuta laskettaessa aina perusyksiköksi! Kulmakiihtyvyys α • pyörimisnopeuden muutosnopeus  • yksikkö:   0 t  t0   t   rad s      s  t   rad s2 Rata- ja normaalikiihtyvyys • Liike on kiihtyvää paitsi silloin kuin nopeuden arvo muuttuu, myös silloin, kun nopeuden suunta muuttuu. • Kun kappaleen rata ei ole suora, niin radan suuntainen kiihtyvyys on tangentiaalikiihtyvyys. Ympyräradalla at   r • Radan kaareutumissäteen (ympyrän) keskipistettä kohden on normaalikiihtyvyys v2 an  r atan  an Kokonaiskiihtyvyys • Kappaleen tangentiaalikiihtyvyys ja keskeiskiihtyvyys ovat aina kohtisuorassa toisiaan vastaan eli a t ┴ an • Kokonaiskiihtyvyys on tällöin (Pythagoras): akok  a  a 2 t 2 n at a  r P ar Tasainen pyöriminen • Kappaleen kulmanopeus, ratanopeus sekä keskeiskiihtyvyys vakioita • Kappaleella ei tangentiaalikiihtyvyyttä → kokonaiskiihtyvyys suoraan kohti ympyrän/liikekaaren keskipistettä   vakio v  vakio v  r an  vakio at  0 v ar ar v Tasaisesti muuttuva pyörimisliike   vakio   0   t α ω P φ A ω0 t=0 φ=0   k t  0   2 1 2   0t   t 2 t Etenemisliike vs. pyörimisliike etenemisliike yhteys pyörimisliike v  vakio v  r   vakio s  s0  vt s  r      t tasainen liike tasaisesti kiihtyvä liike a  vakio a  r   vakio v  v0  at     t s  s0  v0 t  1 at 2 2       t  1 2 t 2 Esimerkki • Mikä on 23 cm:n päässä olkapäästäsi olevan kyynärpääsi kulmanopeus ja ratanopeus, jos heilautat sen alhaalta (alussa siis kohti maata) etukautta ylös osoittamaan kohti kattoa 0,70 sekunnissa? Entä 32 cm kauempana olevien sormenpäidesi? Ratkaisu : Lasketaan ensin kulmanopeu s, joka on sama sekä kyynärpäälle että sormille, koska se ei riipu pyörimissä teestä.     180  2 (rad )   (rad ), 360   (rad )    4,5 rad s t  s t  0,7 s Vastaus :    rad s Ratanopeus v    r 1.) kyynärpää : vkyynärpää    rkyynärpää  2.) sormet : vsormet    rsormet     0,23m  1,022... m  1,0 m s s 0,7 s  (0,23  0,32)m  2,468... m  2,5 m s s 0,7 s Keskeisvoima eli keskihakuvoima • voima, joka pitää kappaleen ympyräradalla • suuntautuu kohti ympyrän keskipistettä • Jos keskeisvoima lakkaa vaikuttamasta, kappale jatkaa matkaansa ympyräradan tangentin suuntaisesti, Newtonin I lain mukaisesti v2 ympyräliikkeessä an  , joten Newton II saa muodon r mv 2 F  man  r Esimerkki 2 • Väinö pyörittää kiveä (m=70,0g) pystysuoran akselin ympäri narun päässä (0,90m) niin, että kivi kiertää ympyräradan ympäri 5 kertaa 2,5 sekunnissa. Mikä on narun kulma vaakatasoon nähden? Ilmoita kahden desimaalin tarkkuudella.