Painopiste ja kiertymä

Painopiste ja kiertymä
Tomi
Painopiste
• Piste, jonka kautta painovoiman vaikutussuora kulkee
• Painopisteen paikan määritys:
– symmetriset tasalaatuiset kappaleet:
symmetriakeskipisteessä; esim ympyrällä ympyrän
keskipisteessä
– Epäsymmetrisen kappale: eri osien painopisteiden
avulla
m x
X
m
i i
i
i
i
m y
,Y 
m
i
i
i
i
i
Esimerkki
• Laske ympyräkiekon
painopiste, kun siitä puuttuu
ympyrän muotoinen osa
(r=3cm). Puuttuvan ympyrän
keskipiste on 5cm päässä
kiekon keskipisteestä.
Kiekon säde on 10cm.
Kiertymä eli kiertokulma
kaarenpituus
kiertymä 
säde
•yksikkö: radiaani, rad
•kiertokulma on 1 rad, kun
kaaren pituus = säde
•radiaanit vs. asteet
360
x rad  ( x 
)
2
2
y  ( y 
)rad
360
eli
s
 
r
Kulmanopeus ω


t
eli kulmanopeus 
-yksikkö: 1 rad/s, merkitään yleensä vain 1/s
Ratanopeus v
v  r
kiertokulma
aika
Kierrosaika ja kierrostaajuus
•
Kierrosaika T
– yhteen kierrokseen kuluva aika
•
T
2

Kierrostaajuus eli pyörimisnopeus, n (tai f)
– kierrosten lukumäärä aikayksikössä
• perusyksikkö 1/s, eli kierrosta sekunnissa
1
n
T

n
2
• usein käytössä yksikkö rpm eli 1/min eli kierrosta minuutissa
• Muuta laskettaessa aina perusyksiköksi!
Kulmakiihtyvyys α
• pyörimisnopeuden muutosnopeus

• yksikkö:
  0
t  t0


t
  rad s


  
s
 t 
 rad
s2
Rata- ja normaalikiihtyvyys
• Liike on kiihtyvää paitsi silloin kuin nopeuden arvo
muuttuu, myös silloin, kun nopeuden suunta muuttuu.
• Kun kappaleen rata ei ole suora, niin radan suuntainen
kiihtyvyys on tangentiaalikiihtyvyys. Ympyräradalla
at   r
• Radan kaareutumissäteen (ympyrän) keskipistettä
kohden on normaalikiihtyvyys
v2
an 
r
atan

an
Kokonaiskiihtyvyys
• Kappaleen tangentiaalikiihtyvyys ja keskeiskiihtyvyys
ovat aina kohtisuorassa toisiaan vastaan eli a t ┴ an
• Kokonaiskiihtyvyys on tällöin (Pythagoras):
akok  a  a
2
t
2
n
at
a

r
P
ar
Tasainen pyöriminen
• Kappaleen kulmanopeus,
ratanopeus sekä keskeiskiihtyvyys
vakioita
• Kappaleella ei
tangentiaalikiihtyvyyttä
→ kokonaiskiihtyvyys suoraan
kohti ympyrän/liikekaaren
keskipistettä
  vakio
v  vakio
v  r
an  vakio
at  0
v
ar
ar
v
Tasaisesti muuttuva pyörimisliike
  vakio
  0   t
α
ω
P
φ
A
ω0
t=0
φ=0
  k t 
0  
2
1 2
  0t   t
2
t
Etenemisliike vs. pyörimisliike
etenemisliike
yhteys
pyörimisliike
v  vakio
v  r
  vakio
s  s0  vt
s  r
     t
tasainen liike
tasaisesti kiihtyvä liike
a  vakio
a  r
  vakio
v  v0  at
    t
s  s0  v0 t  1 at 2
2
      t  1 2 t 2
Esimerkki
• Mikä on 23 cm:n päässä olkapäästäsi
olevan kyynärpääsi kulmanopeus ja
ratanopeus, jos heilautat sen alhaalta
(alussa siis kohti maata) etukautta ylös
osoittamaan kohti kattoa 0,70 sekunnissa?
Entä 32 cm kauempana olevien
sormenpäidesi?
Ratkaisu :
Lasketaan ensin kulmanopeu s, joka on sama sekä kyynärpäälle että sormille,
koska se ei riipu pyörimissä teestä.
    180 
2 (rad )
  (rad ),
360
  (rad )


 4,5 rad
s
t
 s
t  0,7 s
Vastaus :    rad
s
Ratanopeus v    r
1.) kyynärpää : vkyynärpää    rkyynärpää 
2.) sormet : vsormet    rsormet 


 0,23m  1,022... m  1,0 m
s
s
0,7 s
 (0,23  0,32)m  2,468... m  2,5 m
s
s
0,7 s
Keskeisvoima eli keskihakuvoima
• voima, joka pitää kappaleen ympyräradalla
• suuntautuu kohti ympyrän keskipistettä
• Jos keskeisvoima lakkaa vaikuttamasta, kappale jatkaa
matkaansa ympyräradan tangentin suuntaisesti,
Newtonin I lain mukaisesti
v2
ympyräliikkeessä an  , joten Newton II saa muodon
r
mv 2
F  man 
r
Esimerkki 2
• Väinö pyörittää kiveä (m=70,0g)
pystysuoran akselin ympäri narun päässä
(0,90m) niin, että kivi kiertää ympyräradan
ympäri 5 kertaa 2,5 sekunnissa. Mikä on
narun kulma vaakatasoon nähden? Ilmoita
kahden desimaalin tarkkuudella.