Funktion kulku (kalvot
Funktion kulku Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos b x1 < x2 ⇒ Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 b x1 x2 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 f (x2 ) f (x1 ) b b x1 x2 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) f (x1 )=f (x2 ) b b • kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 x1 x2 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) b • kasvava, jos b x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) • aidosti vähenevä, jos x1 x2 x1 < x2 ⇒ Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • kasvava, jos f (x1 ) f (x2 ) b b x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) • aidosti vähenevä, jos x1 x2 x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) • aidosti vähenevä, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) • vähenevä, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) aina, kun x1 , x2 ∈ I . Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R • aidosti kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • kasvava, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) • aidosti vähenevä, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) • vähenevä, jos x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) aina, kun x1 , x2 ∈ I . Funktio f on (aidosti) monotoninen välillä I , jos se on tällä välillä (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos b b a b b b a Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 b Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos b b a b b b b a Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 terassikohta b Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, b b a b b b b a Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 terassikohta b Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, • kasvava, jos b b a Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 b Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, • kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0, b b a Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 b Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, • kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0, • aidosti vähenevä, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≤ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio f on välillä [a, b] • aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, • kasvava, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≥ 0, • aidosti vähenevä, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≤ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa, • vähenevä, jos välillä ]a, b[ on f ′ (x) ≤ 0 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 -2b 2b f ′ (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 -2b f ′ (x) + – 2b + -2 2 f (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 -2b f ′ (x) + – f (x) ր ց Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 2b + -2 2 ր Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 -2b f ′ (x) + – f (x) ր ց 2b + -2 2 ր f on aidosti kasvava, kun x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 f on aidosti vähenevä, kun −2 ≤ x ≤ 2 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta. f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 -2b 2b f ′ (x) + – f (x) ր ց + -2 2 ր f on aidosti kasvava, kun x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 f on aidosti vähenevä, kun −2 ≤ x ≤ 2 10 -2 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 2 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot maksimikohta Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x1 maksimikohta x1 maksimi(arvo) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot f (x1 ) x1 maksimikohta x1 maksimi(arvo) f (x1 ) maksimipiste Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot f (x1 ) b x1 maksimikohta x1 maksimi(arvo) f (x1 ) maksimipiste (x1 , f (x1 )) minimikohta Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot f (x1 ) b x2 x1 maksimikohta x1 maksimi(arvo) f (x1 ) maksimipiste (x1 , f (x1 )) minimikohta x2 minimi(arvo) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot f (x1 ) b x2 x1 f (x2 ) maksimikohta x1 maksimi(arvo) f (x1 ) maksimipiste (x1 , f (x1 )) minimikohta x2 minimi(arvo) f (x2 ) minimipiste Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Funktion paikalliset ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot f (x1 ) b x2 x1 f (x2 ) b maksimikohta x1 maksimi(arvo) f (x1 ) maksimipiste (x1 , f (x1 )) minimikohta x2 minimi(arvo) f (x2 ) minimipiste (x2 , f (x2 )) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktio on derivoituva bc x3 x1 x2 x4 b x1 x2 x3 x4 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktio on derivoituva bc x3 x1 x2 x4 b x1 minimikohta x2 maksimikohta x3 minimikohta x4 ei ääriarvokohta Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktio on derivoituva Funktio ei ole derivoituva kaikissa kohdissa bc bc b x3 x1 x2 bc x4 b b bc b x1 minimikohta x2 maksimikohta x3 minimikohta x4 ei ääriarvokohta Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktio on derivoituva Funktio ei ole derivoituva kaikissa kohdissa bc bc b x3 x1 x2 bc x4 b b bc b x1 minimikohta x2 maksimikohta x3 minimikohta x4 ei ääriarvokohta Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 minimikohta x2 maksimikohta x3 minimikohta x4 maksimikohta x5 ei ääriarvokohta x6 ei ääriarvokohta x7 ei ääriarvokohta Lahden Lyseon lukio – 6 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla 1. derivaatan nollakohdat, Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla 1. derivaatan nollakohdat, 2. määrittelyvälin päätepisteet, Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla 1. derivaatan nollakohdat, 2. määrittelyvälin päätepisteet, 3. terävät kärjet, Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla 1. derivaatan nollakohdat, 2. määrittelyvälin päätepisteet, 3. terävät kärjet, 4. epäjatkuvuuskohdat. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla 1. derivaatan nollakohdat, 2. määrittelyvälin päätepisteet, 3. terävät kärjet, 4. epäjatkuvuuskohdat. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 derivoituva funktio Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Funktion ääriarvokohtia voivat olla 1. derivaatan nollakohdat, 2. määrittelyvälin päätepisteet, 3. terävät kärjet, 4. epäjatkuvuuskohdat. derivoituva funktio Miten ääriarvokohdat löydetään? Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 b 2 b f ′ (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 b f ′ (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 2 b 0 2 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 2 b f ′ (x) + b - + 0 2 f (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 2 b b f ′ (x) + - + f (x) ր ց ր Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 0 2 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 2 b b f ′ (x) + - + f (x) ր ց ր max Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 0 2 min Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 2 b b f ′ (x) + - + f (x) ր ց ր max 0 2 min maksimikohta x = 0 maksimi f (0) = 3 minimikohta x = 2 minimi f (2) = 23 −3·22 +3 = −1 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 0 2 b f ′ (x) + f (x) ր max b - + ց 0 2 ր min maksimikohta x = 0 maksimi f (0) = 3 minimikohta x = 2 minimi f (2) = 23 −3·22 +3 = −1 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 3 2 1 0 -1 -2 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. b) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. b) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 -1 b 0 3 2 b b b f ′ (x) + - + f (x) ր ց ր Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 0 2 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Esimerkki • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot, a) kun x ∈ R, b) välillä [−1, 3]. b) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona. f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 -1 b 0 3 2 b b b f ′ (x) + - + f (x) ր ց ր min max 0 2 min max maksimikohta maksimi minimikohta minimi x=0 x=3 f (0) = 3 f (3) = 3 x=2 x = −1 f (2) = 1 f (−1) = −1 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. f ′ (x) = Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 + 3) · 1 2x(x − 1) − (x = f ′ (x) = 2 (x − 1) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 −1 1 3 b bc b Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 −1 1 3 b bc b x2 −2x−3 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 + −1 1 3 b bc b - - + Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 + + −1 1 3 b bc b + + + + Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 f ′ (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 + + + −1 1 3 b bc b + - + - + + + Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 f ′ (x) f (x) Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 −1 1 3 b bc b + + + + - + - + + + ր ց ց ր Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 f ′ (x) f (x) −1 1 3 b bc b + + + ր max + - + - ց ց + + + min ր kasvava, kun vähenevä, kun Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 f ′ (x) f (x) −1 1 3 b bc b + + + ր max + - + - ց ց + + + min ր kasvava, kun x ≤ −1 ∨ x ≥ 3 vähenevä, kun −1 ≤ x < 1 ∨ 1 < x ≤ 3 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 f ′ (x) f (x) −1 1 3 b bc b + + + ր max + - + - ց ց + + + min ր kasvava, kun x ≤ −1 ∨ x ≥ 3 vähenevä, kun −1 ≤ x < 1 ∨ 1 < x ≤ 3 maksimi f (−1) = −2 ja minimi f (3) = 6 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9 Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot • Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus) • Funktion monotonisuuden tutkiminen • Funktion paikalliset ääriarvot • Ääriarvokohtia — eri tapauksia • Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot x2 + 3 monotonisuutta. Määritä Esimerkki. Tutki funktion f (x) = x−1 myös ääriarvot. Määrittelyehto on x 6= 1. f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1. 2 − 2x − 3 2 + 3) · 1 x 2x(x − 1) − (x = =0 f ′ (x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 x2 −2x−3 (x−1)2 f ′ (x) f (x) −1 1 3 b bc b + + + ր max + - + - ց ց + + + min ր kasvava, kun x ≤ −1 ∨ x ≥ 3 vähenevä, kun −1 ≤ x < 1 ∨ 1 < x ≤ 3 maksimi f (−1) = −2 ja minimi f (3) = 6 Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
© Copyright 2024