Funktion kulku (kalvot

Funktion kulku
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
b
x1 < x2 ⇒
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
b
x1
x2
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
f (x2 )
f (x1 )
b
b
x1
x2
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
f (x1 )=f (x2 )
b
b
• kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
x1 x2
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
b
• kasvava, jos
b
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
• aidosti vähenevä, jos
x1
x2
x1 < x2 ⇒
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
• kasvava, jos
f (x1 )
f (x2 )
b
b
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
• aidosti vähenevä, jos
x1
x2
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
• kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
• aidosti vähenevä, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
• vähenevä, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
aina, kun x1 , x2 ∈ I .
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion kasvavuus ja vähenevyys (monotonisuus)
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritelmä 1. Funktio f on välillä I ⊂ R
• aidosti kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
• kasvava, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
• aidosti vähenevä, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
• vähenevä, jos
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
aina, kun x1 , x2 ∈ I .
Funktio f on (aidosti) monotoninen välillä I , jos se on tällä välillä
(aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos
b
b
a
b
b
b
a
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
b
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos
b
b
a
b
b
b
b
a
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
terassikohta
b
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa,
b
b
a
b
b
b
b
a
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
terassikohta
b
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa,
• kasvava, jos
b
b
a
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
b
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa,
• kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0,
b
b
a
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
b
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa,
• kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0,
• aidosti vähenevä, jos välillä ]a, b[
on f ′ (x) ≤ 0 ja f ′ (x) = 0 vain
yksittäisissä kohdissa,
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Funktion monotonisuuden tutkiminen
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Lause 1. Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Funktio
f on välillä [a, b]
• aidosti kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0 ja f ′ (x) = 0 vain yksittäisissä kohdissa,
• kasvava, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≥ 0,
• aidosti vähenevä, jos välillä ]a, b[
on f ′ (x) ≤ 0 ja f ′ (x) = 0 vain
yksittäisissä kohdissa,
• vähenevä, jos välillä ]a, b[ on
f ′ (x) ≤ 0
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) =
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2
-2b
2b
f ′ (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2
-2b
f ′ (x)
+
–
2b
+
-2
2
f (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2
-2b
f ′ (x)
+
–
f (x)
ր
ց
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
2b
+
-2
2
ր
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2
-2b
f ′ (x)
+
–
f (x)
ր
ց
2b
+
-2
2
ր
f on aidosti kasvava, kun x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
f on aidosti vähenevä, kun −2 ≤ x ≤ 2
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Tutki funktion f (x) = x3 − 12x monotonisuutta.
f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −2
-2b
2b
f ′ (x)
+
–
f (x)
ր
ց
+
-2
2
ր
f on aidosti kasvava, kun x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
f on aidosti vähenevä, kun −2 ≤ x ≤ 2
10
-2
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
2
Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
maksimikohta
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x1
maksimikohta x1
maksimi(arvo)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
f (x1 )
x1
maksimikohta x1
maksimi(arvo) f (x1 )
maksimipiste
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
f (x1 )
b
x1
maksimikohta x1
maksimi(arvo) f (x1 )
maksimipiste (x1 , f (x1 ))
minimikohta
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
f (x1 )
b
x2
x1
maksimikohta x1
maksimi(arvo) f (x1 )
maksimipiste (x1 , f (x1 ))
minimikohta x2
minimi(arvo)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
f (x1 )
b
x2
x1
f (x2 )
maksimikohta x1
maksimi(arvo) f (x1 )
maksimipiste (x1 , f (x1 ))
minimikohta x2
minimi(arvo) f (x2 )
minimipiste
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Funktion paikalliset ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
f (x1 )
b
x2
x1
f (x2 )
b
maksimikohta x1
maksimi(arvo) f (x1 )
maksimipiste (x1 , f (x1 ))
minimikohta x2
minimi(arvo) f (x2 )
minimipiste (x2 , f (x2 ))
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktio on derivoituva
bc
x3
x1
x2
x4
b
x1
x2
x3
x4
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktio on derivoituva
bc
x3
x1
x2
x4
b
x1 minimikohta
x2 maksimikohta
x3 minimikohta
x4 ei ääriarvokohta
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktio on derivoituva
Funktio ei ole derivoituva kaikissa kohdissa
bc
bc
b
x3
x1
x2
bc
x4
b
b
bc
b
x1 minimikohta
x2 maksimikohta
x3 minimikohta
x4 ei ääriarvokohta
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktio on derivoituva
Funktio ei ole derivoituva kaikissa kohdissa
bc
bc
b
x3
x1
x2
bc
x4
b
b
bc
b
x1 minimikohta
x2 maksimikohta
x3 minimikohta
x4 ei ääriarvokohta
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1 minimikohta
x2 maksimikohta
x3 minimikohta
x4 maksimikohta
x5 ei ääriarvokohta
x6 ei ääriarvokohta
x7 ei ääriarvokohta
Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
1. derivaatan nollakohdat,
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
1. derivaatan nollakohdat,
2. määrittelyvälin päätepisteet,
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
1. derivaatan nollakohdat,
2. määrittelyvälin päätepisteet,
3. terävät kärjet,
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
1. derivaatan nollakohdat,
2. määrittelyvälin päätepisteet,
3. terävät kärjet,
4. epäjatkuvuuskohdat.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
1. derivaatan nollakohdat,
2. määrittelyvälin päätepisteet,
3. terävät kärjet,
4. epäjatkuvuuskohdat.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
derivoituva funktio
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Ääriarvokohtia — eri tapauksia
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Funktion ääriarvokohtia voivat
olla
1. derivaatan nollakohdat,
2. määrittelyvälin päätepisteet,
3. terävät kärjet,
4. epäjatkuvuuskohdat.
derivoituva funktio
Miten ääriarvokohdat löydetään?
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) =
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
b
2
b
f ′ (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
b
f ′ (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
2
b
0
2
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
2
b
f ′ (x) +
b
-
+
0
2
f (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
2
b
b
f ′ (x) +
-
+
f (x) ր
ց
ր
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
0
2
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
2
b
b
f ′ (x) +
-
+
f (x) ր
ց
ր
max
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
0
2
min
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
2
b
b
f ′ (x) +
-
+
f (x) ր
ց
ր
max
0
2
min
maksimikohta x = 0
maksimi f (0) = 3
minimikohta x = 2
minimi f (2) = 23 −3·22 +3 = −1
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
a) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
0
2
b
f ′ (x) +
f (x) ր
max
b
-
+
ց
0
2
ր
min
maksimikohta x = 0
maksimi f (0) = 3
minimikohta x = 2
minimi f (2) = 23 −3·22 +3 = −1
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
3
2
1
0
-1
-2
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
b) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
b) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
-1
b
0
3
2
b
b
b
f ′ (x)
+
-
+
f (x)
ր
ց
ր
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
0
2
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Esimerkki
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
Määritä funktion f (x) = x3 − 3x2 + 3 ääriarvot,
a) kun x ∈ R,
b) välillä [−1, 3].
b) f on jatkuva ja derivoituva polynomifunktiona.
f ′ (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
-1
b
0
3
2
b
b
b
f ′ (x)
+
-
+
f (x)
ր
ց
ր
min max
0
2
min max
maksimikohta
maksimi
minimikohta
minimi
x=0
x=3
f (0) = 3
f (3) = 3
x=2
x = −1
f (2) = 1
f (−1) = −1
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
f ′ (x) =
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 + 3) · 1
2x(x
−
1)
−
(x
=
f ′ (x) =
2
(x − 1)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
−1
1
3
b
bc
b
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
−1
1
3
b
bc
b
x2 −2x−3
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
+
−1
1
3
b
bc
b
-
-
+
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
+
+
−1
1
3
b
bc
b
+
+
+
+
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
f ′ (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
+
+
+
−1
1
3
b
bc
b
+
-
+
-
+
+
+
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
f ′ (x)
f (x)
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
−1
1
3
b
bc
b
+
+
+
+
-
+
-
+
+
+
ր
ց
ց
ր
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
f ′ (x)
f (x)
−1
1
3
b
bc
b
+
+
+
ր
max
+
-
+
-
ց
ց
+
+
+
min
ր
kasvava, kun
vähenevä, kun
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
f ′ (x)
f (x)
−1
1
3
b
bc
b
+
+
+
ր
max
+
-
+
-
ց
ց
+
+
+
min
ր
kasvava, kun x ≤ −1 ∨ x ≥ 3
vähenevä, kun −1 ≤ x < 1 ∨ 1 < x ≤ 3
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
f ′ (x)
f (x)
−1
1
3
b
bc
b
+
+
+
ր
max
+
-
+
-
ց
ց
+
+
+
min
ր
kasvava, kun x ≤ −1 ∨ x ≥ 3
vähenevä, kun −1 ≤ x < 1 ∨ 1 < x ≤ 3
maksimi f (−1) = −2 ja minimi f (3) = 6
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
Rationaalifunktion monotonisuus ja ääriarvot
• Funktion kasvavuus
ja vähenevyys
(monotonisuus)
• Funktion
monotonisuuden
tutkiminen
• Funktion paikalliset
ääriarvot
• Ääriarvokohtia — eri
tapauksia
• Rationaalifunktion
monotonisuus ja
ääriarvot
x2 + 3
monotonisuutta. Määritä
Esimerkki. Tutki funktion f (x) =
x−1
myös ääriarvot.
Määrittelyehto on x 6= 1.
f on jatkuva ja derivoituva, kun x 6= 1.
2 − 2x − 3
2 + 3) · 1
x
2x(x
−
1)
−
(x
=
=0
f ′ (x) =
2
2
(x − 1)
(x − 1)
x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
x2 −2x−3
(x−1)2
f ′ (x)
f (x)
−1
1
3
b
bc
b
+
+
+
ր
max
+
-
+
-
ց
ց
+
+
+
min
ր
kasvava, kun x ≤ −1 ∨ x ≥ 3
vähenevä, kun −1 ≤ x < 1 ∨ 1 < x ≤ 3
maksimi f (−1) = −2 ja minimi f (3) = 6
Hannu Lehto 25. marraskuuta 2010
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Lahden Lyseon lukio – 9 / 9