1. No category

MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
1.
a) Derivoi f ( x)  2 xe54 x
b) Mikä on funktion f (x) =
c) Ratkaise yhtälö
2. Käyrälle
ln(5  x)
100  x 2
määrittelyjoukko.
log 4  x 2  12   2
g ( x)  2e2 x  8
6p
piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leik-
kaa y-akselin.
Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
6p
3.
2
a) Määritä funktion g (t )  ln(4t  t )
suurin ja pienin arvo. Perustele vas-
tauksesi derivaatan avulla, pelkkä kuvaaja ei riitä.
b) Radioaktiivisen plutonium-777 aineen määrä pienenee radioaktiivisen hajoamisen myötä 2,4 prosenttia vuodessa. Voimalaonnettomuuden saastuttamalla
alueella aineen määrä ylitti aluksi kymmenkertaisesti turvallisuusrajan. Kuinka
monen vuoden kuluttua aineen määrä on sallituissa rajoissa alueella ja sinne
voidaan rakentaa viehättävä asuinlähiö?
6p
4. a) Ratkaise yhtälö
2  2x  2x  4
5
b) Määritä tarkka arvo derivaatalle f ´(ln 2) , kun f ( x)  (3  x)e
5x
6p
f ( x)  x 2  x x monotoninen (pelkästään kasvava tai vähenevä)? Mikä on tämän funktion pienin arvo?
6p
5. Onko funktio
6. Järven yli kulkee suora jäätie. Matti lähtee moottorikelkalla rannasta tavoitteena
saari, jonka lyhin etäisyys jäätiestä on 800 m. Tämä lähin kohta jäätiestä on puolestaan 3,4 km päässä rannasta. Moottorikelkka kulkee jäätiellä 65 km/h ja tien
ulkopuolella 45 km/h. Mikä on nopein reitti rannasta saareen ?
6p
MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
7. Juuri valmistetun teen lämpötila on 90C . Jos tee laitetaan termospulloon, viiden
tunnin kuluttua lämpötila on 40C . Lämpötilan T muutos termospullossa noudattaa funktiota T (t )  m  e nt , missä m ja n ovat vakioita sekä t aika minuuteissa. a)
Määrää vakiot m ja n yksikköineen. b) Paljonko on lämpötilan muutosnopeus
kahden tunnin kuluttua? Anna vastauksessa myös muutosnopeuden yksikkö.
6p
8. a) Mitä arvoja funktio f ( x) 
x2
saa välillä
ln x
3 
 2 , e ?


b) Määritä funktion f ( x)  x  9  x 2 , ja  3  x  3 suurin ja pienin arvo annetulla
välillä. Piirrä funktion kulusta mallikuva annetulle välille.
6p
******************************************************************
BONUSTEHTÄVÄ +2p:
Määritä funktion f ( x)  ln(2 x)  5
käänteisfunktio.
OTA TÄMÄ KOEPAPERI MUKAASI! OIKEAT VASTAUKSET LÖYTYVÄT TÄMÄN PÄIVÄN
AIKANA (n. klo 11:30 jälkeen) NETISTÄ OSOITTEESTA:
http://jussityni.wordpress.com/
MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
MAA8.1 Ratkaisut:
1. a)
f ( x)  2 xe54 x
f '( x)  D2 x  e54 x  De54 x  2 x  2  e54 x  e54 x  (4)  2 x  e54 x (2  8 x)
b) f ( x) 
ln(5  x)
100  x 2
on määritelty kun logaritmin ja juuren sisustat ovat positiivisia, eli
5 x  0  x  5

  määritelty, kun  10  x  5
100  x 2  0  10  x  10
c)
log 4  x 2  12   2  42  x 2  12  16  x 2  12  4  x 2  x  2
2. Käyrä leikkaa y-akselia, kun x=0, koska y-akseli kulkee x-akselin kohdasta 0. Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla funktioon x=0.
g (0)  2e20  8  2  8  6
Koordinaattipiste on siis (0,-6). Derivaatta = käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, joten:
g '( x)  2e2 x  2  4e 2 x
g '(0)  4e20  4
löä:
=> Kulmakerroin x-akselin kohdassa 0 on siis 4. Nyt käytetään suoran yhtä-
y  y0  k ( x  x0 )
y  (6)  4( x  0)  y  6  4 x  y  4 x  6
Suoran yhtälöstä nähdään, että tangentti leikkaa y-akselin korkeudelta y=-6.
g (t )  ln(4t  t 2 )
3. a)
määritelty, kun 4t  t 2  0
Alaspäin aukeava parabeli, nollakohdat 0 ja 4, joten 0<x<4.
g (t )  ln(4t  t 2 )
4  2t
4  2t
g´(t ) 

g
´(
t
)

0
kun
0
4t  t 2
4t  t 2
 4  2t  0  4  2t  2  t
Tutkitaan merkkikaaviolla alkuperäisen funktion kulkua:
MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
Suurin arvo x=2, joten
g (2)  ln(4  2  22 )  ln 4
Funktio ei ole määritelty avoimen välinsä ]0,4[ päätepisteissä, joten sillä ei ole pienintä arvoa!
b)Olkoon M se määrä ainetta, joka on juuri ja juuri turvallisuusrajan mukainen. Kymmenkertainen
määrä on 10M. 2,4 prosentin mukainen vähentyminen tarkoittaa sitä, että ainetta jää jäljelle 0,976
osaa 10M:stä joka vuosi. Näin ollen:
0,976n 10M  M missä n on vuosien määrä. Ratkaistaan n:
0,976n 10 M  M : M
0,976n 10  1 :10
0,976n 
1
lg
10
1
)
10
n lg 0,976  lg1  lg10
lg 0,976n  lg(
n lg 0,976  0  1 : lg 0.976
n
1
 94, 785
lg 0,976
Eli noin 95 vuotta.
4. a) yhtälö 2  2 x  2 x  4 on määritelty, kun juuren sisusta on positiivien tai nolla, ja juuren
vastaus on positiivinen tai nolla, eli:
2  2x  0  1  x 
  2  x  1 Nyt uskaltaa korottaa puolittain toiseen.
2 x  4  0  x  2 
MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
2  2 x  2 x  4 () 2  2  2 x  (2 x  4) 2  2  2 x  4 x 2  16 x  16
 0  4 x 2  18 x  14
 x1  1


Nollakohdat: x   7
 2
2
x2 ei sovi määrittelyjoukkoon, joten x1  1 on ainoa ratkaisu.
b)
f ( x)  (3  x)e5 x
f '( x)  D(3  x)  e5 x  De5 x  (3  x)
 1 e5 x  5e5 x  (3  x)  e5 x (1  5(3  x))  e5 x (14  5 x)
f '(ln 5 2)  e5ln 2 (14  5ln 5 2)
5
1
1
5
1
5 ln 2
5
1
(14  5  ln 2)
5
ln 2
 e (14  ln 2)  2(14  ln 2)  28  2 ln 2
e
5ln 2 5
(14  5ln 2 )  e
5.
Funktio f ( x)  x 2  x x on määritelty, kun x  0.
Funktion f ( x)  x 2  x x derivaattafunktion f ( x)  2 x 
3
3 2 1
3
3
x  2x 
x  x (2 x  )
2
2
2
nollakohdat saadaan yhtälöstä
3
3
x (2 x  )  0  x  0 tai 2 x   0
2
2
9
1
1
1 3
3
. Koska f ( )  (2   )  0 ja f (1)  1  (2  1  )  0 , niin funktio
16
4
2
4 2
2
9
9


f ( x)  x 2  x x on aidosti vähenevä välillä 0,  ja aidosti kasvava, kun x  . Negatiivisilla
16
 16 
muuttujan arvoilla funktiota ei ole edes määritelty. Näin ollen funktion f ( x)  x 2  x x pienin
 x  0 tai x 
9
9
9
9
81 27 81  108
27




.
arvo on f ( )  ( ) 2  
16
16
16 16 256 64
256
256
6.
Olkoon piste A se jäätien piste, josta käännytään kohti saarta. Olkoon S saari, R rannan piste,
josta jäätie alkaa, ja L jäätien lähinnä saarta oleva piste. Valitaan muuttujaksi x  AL .
MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
Tällöin RA  3,4  x ja AS  x 2  0,82 (suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan
lauseella).
Nyt voimme muodostaa funktion, joka ilmoittaa kokonaisajan rannasta saareen:
t ( x) 
RA
65

AS
45

3,4  x

65
1
x 2  0,8 2 3,4 1
1

 x  ( x 2  0,8 2 ) 2 .
45
65 65
45
t (x) on määritelty ja derivoituva kaikkialla, mutta riittää tutkia suljettua väliä 0;3,4 .
t ( x)  

65 x  45 x 2  0,64
1
1 1 2
1
x
2
  ( x  0,64)  2 x   

 0 , kun
65 45 2
65 45 x 2  0,64
65  45 x 2  0,64
1
45 x 2  0,64 = 65 x . Koska yhtälön molemmat puolet ovat tarkasteltavalla välillä ei- negatiivisia, niin yhtälö voidaan korottaa puolittain neliöön. Tällöin saadaan
2025x 2  1296  4225x 2 ja edelleen x 2 
1296 162
162

 0,76752
, joten x  
2200 275
5 11
( negatiivinen nollakohta ei ole tarkasteltavalla välillä ).
Lasketaan lopuksi funktion arvo sekä välin päätepisteissä että derivaatan nollakohdassa:
162
)  0,065 . Siis funktion pienin arvo on derivaatan nol5 11
lakohdassa, jolloin 3,4km – 0,77km = 2,63km.
t (0)  0,070 , t (3,4)  0,078 ja t (
Vastaus: Matin kannattaa ajaa jäätietä 2630 metriä ja kääntyä siitä suoraan kohti saarta.
7.
 T (0)  90
a) Yhtälöparista 
. Ylemmästä yhtälöstä saamme m  e n0  90  m  90 . Koska kyT
(
5

60
)

40

seessä on lämpötila, niin m  90C . Sijoitamme tämän vakion m arvon alempaan yhtälöön, jolloin
4
4
4
saamme 90  e n300  40  e 300n   ln(e 300n )  ln( )  300n  ln( ) 
9
9
9
4
ln( )
9  2,70310...  10 3  2,70  10 3.
n
300
MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
4
ln( )
9 1   2,7  10 3 1 .
Koska eksponentissa oleva aika t on minuutteja, saamme n 
min
300 min
b) Lämpötilan T (t )  m  e nt muutosnopeus on derivaatta T (t )  mn  e nt ja hetkellä 120 min se on
4
4
ln( ) ln(9 ) 120
2
4
ln( )
3
4
T (120)  90  9  e 300
  ln( )  e 5 9  0,17588...  0,176 . Yksikkö huomioiden
300
10
9
2
4
ln( ) C
C
3
4
.
T (120)   ln( )  e 5 9
  0,176
min
10
9
min
c) Jäähtymisnopeus J (t ) on muutosnopeuden T (t ) vastaluku. Koska vakio m on positiivinen ja
vakio n negatiivinen sekä e nt positiivinen, niin T (t )  0 kaikilla ajan t arvoilla, joten
J (t )  mn  e nt  0 kaikilla ajan t arvoilla. Jotta saamme selville, milloin J (t ) on suurin, on meidän derivoitava J (t ) . Saamme J (t )  mn 2 e nt  0, joten J (t ) on kaikilla ajan t ei- negatiivisilla
arvoilla vähenevä, joten J (t ) on suurin, kun aika t = 0.
Vastaus: a) m  90C ja n  2,7  10 3
1
C
. b) T (120)  0,176
. c) t = 0 min.
min
min
8. a)
x2
(1) Lasketaan funktion f ( x) 
arvo välin päätepisteissä, saamme
ln x
3
( )2
e2
3
9
 e 2  7,389... .
f( ) 2 
 5,549... ja f (e) 
3
3
ln e
2
ln( ) 4 ln( )
2
2
x2
arvo välille
ln x
(2) Lasketaan funktion
f ( x) 
2 x ln x  x 2 
(ln x) 2
3 
 2 , e kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. Saamme


1
x  2 x ln x  x  x(2 ln x  1) , josta derivaatan nollakohdiksi saamme x  0
(ln x) 2
(ln x) 2
1
tai 2 ln x  1  0  ln x 
Saamme f ( e ) 
e
ln e
1
 x  e 2  e , joista x  0 ei kelpaa, koska se ei kuulu välille
2
2
1
2

3 
 2 , e .


e
 2e  5,436... .
1
2
x2
jatkuvana funktiona saa kaikki arvot pienimmän arvon f ( e )  2e ja suuln x
rimman arvon f (e)  e 2 väliltä, joten A f  2e, e 2 .
Funktio f ( x) 


MAA8
Juuri- ja logaritmifunktiot 27.3.2012
Jussi Tyni
VALITSE VAIN KUUSI TEHTÄVÄÄ! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytystaulukko!
Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
Vastaus: Arvojoukko f  2e, e2  .
f ( x)  x  9  x 2 , ja  3  x  3
b)
x
f '( x)  1 
9  x2
Derivaatan nollakohdat:
1
x
9 x
2
 0 1
x
9 x
9  x2  x2  9  2x2 
2
 9  x 2  9  x 2  x () 2 määritelty, kun 0  x  3
9
9
3
 x2  
x
x
2
2
2
=>
3

 x1   2  2,12

x1 ei käy vastaukseksi, koska ei kuulu juuriyhtälön määrittelyjoukkoon. Deri x  3  2,12
 2
2
vaatalla on siis vain yksi nollakohta, n. 2.12
Ääriarvot derivaatan nollakohdista, merkkikaaviolla onko min vai max.
Kokeiluarvot: f’(2)=0,1 ja f’(2,5)=-0,5
2,12
f'(x)
+
-
f(x)
On löydetty siis funktion maksimikohta x=2,12. Tällöin funktion arvo f(2,12)=4,24. Funktion ääriarvot voivat lisäksi löytyä tarkasteluvälin päätepisteistä. Lasketaan siis f(-3)=-3 ja f(3)=3. Maksimikohta on siis x=3 ja maksimiarvo on f(3)=3.