MAA5.2 2012 Loppukoe ja ratkaisut
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää – Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit a a) Laske 2i j 3k ja b 3i 2 j k ∣̄a∣ ja∣̄b∣ b) Laske vektorien a ja b 2. Olkoon vektorit a välinen kulma. 4i 6 j 8k ja b 14i 21 j 28k a) Osoita matemaattisesti (pelkkä piirros ei riitä), että vektorit a ja b ovat yhdensuuntaisia. b) Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, ovatko ne vastakkaissuuntaiset vai samansuuntaiset? Kumpi on pitempi? Perustele. 3. a) Määritä komponenttimuodossa sellainen vektori a i 2 j 2k b , joka on samansuuntainen vektorin kanssa ja jonka pituus on 18. b) Jatkoa a) -kohtaan: Jos edellisen tehtävän vektorin alkupisteen koordinaatit. b päätepiste on (-174, 43, 4), määritä 4. a) Suora kulkee pisteiden A=(2,-5,3) ja B=(1,-3,-2) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa xytason? b) Kuinka suuressa kulmassa pisteiden (6, -3, 2) ja (-2,1,2) välinen jana näkyy origosta katsottuna? 5. Pienkone ilmestyy lennonjohdon tutkaan ja etenee tutkassa ensin vektorin a 3i 6 j 2k suuntaisesti 2000 metriä. Sen jälkeen kone vaihtaa suuntaa ja etenee vektorin b 4i 4 j 2k suuntaisesti 4000 metriä. (yksi askel koordinaatistossa vastaa yhtä metriä ) Jos kone ilmestyi tutkaan pisteessä P = (300, 520, 1905), missä se on liikkeidensä jälkeen? Kuvaile koneen tilaa. s s 6. Suora 1 kulkee pisteiden A = (1,-1,2) ja B = (2,2,-1) kautta. Suora 2 kulkee pisteiden C = (3,1,-1) ja D = (-1,5,-4) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa? Jos leikkaavat, niin missä pisteessä? 7. Piste D jakaa kolmion ABC sivun AB suhteessa 2:1 ja piste E sivun BC suhteessa 3:2. Määritä missä suhteessa janat AE ja CD leikkaavat toisensa? 8. Määritä pisteen P = (1,1,1) etäisyys pisteiden A = (0,1,-1) ja B = (1,-1,0) kautta kulkevasta suorasta. Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta http://jussityni.wordpress.com/ ! Ratkaisut. a 22 (1) 2 32 14 1. a) b 32 (2) 2 (1) 2 14 cos(a, b) a b a b b) 2 3 (1) (2) 3 (1) 5 14 14 14 5 cos 1 (a, b) 69,1 14 2. a) Jotta vektorit ovat yhdensuuntaisia, täytyy olla cos(a, b) ta b t (4i 6 j 8k ) 14i 21 j 28k 4ti 6t j 8tk 14i 21 j 28k 4t 14 6t 21 8t 28 14 7 3,5 4 2 Tarkastetaan, että toteuttaako tämä kahta muuta yhtälöä! Toteuttaa, joten vektorit ovat Tästä yhtälöryhmästä ratkaistaan ekalta riviltä, että t yhdensuuntaisia, koska vektorista a saadaan vektori b pidentämällä sitä kertojalla -3,5. b) Vektori b on pitempi, koska a :ta pitää kertoa 3,5 kertaiseksi, jotta saadaan Vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, koska kertoja on negatiivinen. b. 3. a) a (1)2 22 22 9 3 Jotta saadaan => a :n suuntainen vektori, jonka pituus on 18, vektori a pitää kertoa 6:lla. b 6(i 2 j 2k ) 6i 12 j 12k b) ”Ajo-ohjeet” vektorin alkupisteestä vektorin loppupisteeseen (-174, 43, 4) saadaan vektorista b . Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua x-akselilla -6 pykälää, joten on lähdetty pisteestä x=-168 (-174-(-6)) . Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua y-akselilla +12 pykälää, joten on lähdetty pisteestä y=31. Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua z-akselilla -12 pykälää, joten on lähdetty pisteestä 16. Lähtöpiste on siis (-168,31,16) 4. Suoran suuntavektori on AB v (1 2)i (3 (5)) j (2 3)k i 2 j 5k . xy-tason leikkauspiste X=(x,y,0) on samalla suoralla, joten voidaan muodostaa vektori AX: AX ( x 2)i ( y (5)) j (0 3)k ( x 2)i ( y 5) j 3k Nyt koska vektorista v voidaan pidentää vektori AX , niin täytyy olla voimassa yhtälö: AX tv ( x 2)i ( y 5) j 3k t (i 2 j 5k ) ( x 2)i ( y 5) j 3k ti 2t j 5tk Seuraa yhtälöryhmä: x 2 t y 5 2t 3 5t t => Piste X=(7/5 ; -19/5 ; 0) 3 7 19 x ja y 5 5 5 5. Mallikuva: Lasketaan vektorien a ja b pituudet ja pidennetään niitä sopivasti, jotta saadaan kuljettua vektorit AP ja PB: a 32 (6) 2 (2) 2 49 7 2000 2000 2000 2000 a 3i (6) j (2)k 7 7 7 7 6000 12000 4000 i j k 7 7 7 AP b 42 (4) 2 (2) 2 36 6 4000 2000 2000 2000 2000 b b 4i (4) j (2)k 6 3 3 3 3 8000 8000 4000 i j k 3 3 3 Nyt 6000 12000 4000 8000 8000 4000 AB AP PB i j k i j k 7 7 7 3 3 3 74000 92000 40000 i j k 3524i 4381 j 1905k 21 21 21 PB Lentokone siis liikkuu vektori AB:n verran lennonjohdon tutkassa ja on noin pisteessä: (3824, -3861, 0). X- ja Y-koordinaattien liikkeellä ei ole niin väliä, mutta koordinaatti Z osoittaa, että kone on tällä hetkellä maassa. Toivottavasti laskeutuminen on onnistunut ja lentokenttä on koordinaateissa (3824, -3861). 6. Mallikuva: Muodostetaan suorien suuntavektorit u i 3 j 3k Nyt vektoreita u ja v ja v 4i 4 j 3k u ja v sopivasti pidentämällä kertojilla t ja s saadaan muodostettua AX tu t (i 3 j 3k ) ti 3tj 3tk ja CX sv s(4i 4 j 3k ) 4si 4s j 3sk AC 2i 2 j 3k Lisäksi Jos vektorit risteävät, täytyy olla: AX AC CX tu 2i 2 j 3k sv ti 3tj 3tk 2i 2 j 3k 4si 4s j 3sk ti 3t j 3tk (2 4s )i (2 4s ) j ( 3 3s )k t 2 4 s 3t 2 4 s 3t 3 3s Kahdesta ekasta yhtälöstä voi ratkaista, että t=1 ja s=1/4. Nämä eivät toteuta kolmatta u ja v yhtälöä, eli ei ole olemassa suuntavektoreille sellaisia kertoimia s ja t, että suorat saataisiin risteämään. Suorat eivät siis risteä missään pisteessä! 7. Mallikuva 3 3 3 AE a b AX t (a b) ta tb) 5 5 5 1 1 1 CX sCD ja CD b a CX s (b a ) sb sa 3 3 3 toisaalta : AX AC CX missä AC a b, joten : 1 1 AX a b sb sa (1 s )a (1 s )b 3 3 AX t AE ja Nyt AX:n täytyy olla sama vektori, kierreltiinpä se mitä kautta hyvänsä, joten: 3 1 ta tb (1 s )a (1 s )b 5 3 1 t 1 s 1 5 3 s ja t 2 6 3 t 1 s 5 Koska AX t AE , niin leikkauspiste jakaa janan AE suhteessa 5:1 ja koska CX sCD , niin leikkauspiste jakaa janan CD suhteessa 1:1. 8. Ratkaisu: Olkoon piste Q pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla ja olkoon Q se suoran piste, joka on lähinnä pistettä P. Tällöin PQ PA t AB ja janat PQ ja AB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin PQ AB 0 . Nyt PQ i 2k t (i 2 j k ) (1 t )i 2t j (2 t )k ja PQ AB ( 1 t ) 1 2t ( 2) ( 2 t ) 1 0 1 t 4t 2 t 0 1 6t 3 t 2 1 1 1 1 3 Tällöin PQ ( 1 )i 2 j ( 2 )k i j k ja 2 2 2 2 2 2 2 1 9 7 1 3 PQ ( 1)2 1 1,9 . 4 4 2 2 2 Vastaus:Pisteen P etäisyys suorasta on 7 1,9 . 2
© Copyright 2024