Physica 9 RATKAISUT 1. painos 1(7) 8. Momentti ja tasapaino RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino 8.1 Voiman varsi r on voiman vaikutussuoran etäisyys pyörimisakselista. Pyörimisakseli on todellinen tai kuviteltu akseli, jonka ympäri kappale pyörii. Voiman momentti M kuvaa voiman vääntövaikutusta tietyn akselin suhteen. M A = Fr , jossa F on vääntävän voiman suuruus ja r voiman varsi eli vaikutussuoran etäisyys akselista A. Kappale on tasapainossa etenemisen suhteen, kun kappaleeseen vaikuttavien voimien summa on nolla Σ F = 0 . Kappale on tasapainossa pyörimisen suhteen, kun kappaleeseen vaikuttavien momenttien summa on nolla, ΣM = 0. Kappaleen painopiste on painon ajateltu vaikutuspiste. Yksinkertainen kone on laite, jolla kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruutta ja suuntaa voidaan muuttaa. 8.2 a) Kiekkoon vaikuttaa voimien F1 ja F2 lisäksi paino G ja akselin tukivoima N . Tasapainoehto etenemisen suhteen on dynamiikan peruslain ΣF = ma mukaan ΣF = F1 + F2 + N + G = 0. b) Kiekkoon vaikuttavien voimien suuruudet ovat F1 = 4,3 N ja F2 = 5,7 N. Voiman F1 voimanvarsi on r1 = 22 cm. Valitaan positiiviseksi pyörimissuunnaksi suunta vastapäivään. Tukivoima N ja paino G eivät väännä, sillä ne vaikuttavat pyörimisakseliin. Momenttiehdoksi saadaan ΣM = 0 F1r1 − F2 r2 = 0, josta ratkaistaan r2 = F1r1 . F2 Sijoitetaan tunnetut arvot. r2 = 4,3 N ⋅ 22 cm = 16,5965 cm ≈ 17 cm. 5, 7 N Vastaus: b) Vaikutussuoran etäisyys akselista on 17 cm. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 2(7) 8. Momentti ja tasapaino 8.3 Keinulaudan pituus on L = 3,9 m ja lapsien massat m1 = 28 kg ja m2 = 35 kg. Piirretään tilannetta kuvaava voimakuvio. Lautaan vaikuttavat paino G, tukivoima N ja lasten painot G1 ja G 2 . Koska keinulauta on tasapainossa ilman istujia, laudan painon G vaikutussuora kulkee tukipisteen (pyörimisakselin) kautta, eikä aiheuta momenttia. Samoin on laita tukivoiman N kanssa. Valitaan positiivinen pyörimissuunta vastapäivään akselin ympäri. Voiman G1 momentti on siten positiivinen ja voiman G 2 momentti negatiivinen. Kun lauta on tasapainossa, momenttien summa on nolla. ΣM = 0 G1a − G2 b = 0 m1 ga = m2 gb. Ratkaistaan varsi b b= m1a m2 28 kg ⋅ 1,95 m 35 kg = 1,56 m ≈ 1,6 m. = Vastaus: Toinen lapsi istuu 1,6 metrin etäisyydellä tukipisteestä. 8.4 Tuetaan tankoa jousivaa’alla eri pisteistä (1, 2, 3, 4, 5). Mitataan pisteiden etäisyys akselista ja tätä etäisyyttä vastaava jousivaa’an lukema. Kun tanko on tasapainossa, pätee momenttiehto pisteen A suhteen ΣM A = 0 Fr − Gb = 0. Tukivoima N ei väännä, sillä sen vaikutuspiste on akselilla. Esitetään tasapainottava voima F graafisesti voiman varren käänteisarvon funktiona. 1 r Kuvaaja on origon kautta kulkeva suora ( F = Gb ⋅ ). Suoran kulmakerroin on painon momentti M = Gb. Useamman mittauksen avulla saadaan pienennettyä mittausvirhettä. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 3(7) 8. Momentti ja tasapaino 8.5 a) Eteenpäin kumartuneen ihmisen painopiste siirtyy tuolin tukipinnan ulkopuolelle ja ihminen voi käyttää painon momenttia apuna nousemisessa. b) Voiman momentti riippuu paitsi voiman suuruudesta myös voiman varresta. Voima on siten pyrittävä pitämään kohtisuorassa akseliin nähden. Tällöin momentti on suurin mahdollinen. c) Kun tuki asetetaan alas, saadaan vääntävälle voimalle pidempi varsi ja voiman momentti suureksi. 8.6 a) Lankun massa on m1 = 35 kg ja pituus L = 4,8 m. Henkilön massa on m2 = 45 kg. Tukien etäisyydet lankun päistä ovat a = 0,95 m ja b = 0,55 m. Dynamiikan peruslain mukaan tasapainotilanteessa ∑F = 0 N1 + N 2 − G1 − G2 = 0 N 2 = − N1 + G1 + G2 = −620 N + 45 kg ⋅ 9,81 m m + 35 kg ⋅ 9,81 2 = 164,8 N ≈ 160 N. 2 s s b) Kun lankku on keikahtamaisillaan tukivoima N1 = 0 . Kirjoitetaan momenttiehto pisteen B suhteen ∑ M = 0 , joten L ( − a )G1 − xG2 = 0 2 L L ( − a )G1 ( − a )m1 g = 2 x= 2 G2 m2 g 4,8 m − 0,95 m) ⋅ 35 kg = 2 = 1,1278 m ≈ 1,1 m. 45 kg ( Vastaus tarkoittaa sitä, että henkilö voi kävellä lankun päähän ilman, että lankku keikahtaa. Vastaus: a) Tukivoima on 140 N. b) Henkilö voi seistä lankun päässä. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 4(7) 8. Momentti ja tasapaino 8.7 a) Piirretään trukin voimakuvio. Trukkiin vaikuttavat paino G1 , taakan paino G2 sekä pinnan tukivoimat renkaisiin N1 ja N 2 . a) Kun trukki kannattelee raskainta mahdollista taakkaa, on takapyöriin vaikuttava tukivoima N 2 = 0. Takapyörät eivät paina tällöin tukipintaa. Valitaan momenttiakseliksi etupyörien ja lattian kosketuskohtien kautta kulkeva akseli. Tällöin etupyöriin kohdistuvalla tukivoimalla ei ole vääntövaikutusta. Valitaan positiivinen kiertosuunta ja kirjoitetaan momenttiyhtälö. Koska trukki on tasapainossa, ΣM = 0. G1a − G2 b = 0 G2 = G1a . b m1 ga b m1a . m2 = b m2 g = Sijoitetaan tunnetut arvot m2 = 1500 kg ⋅ 1,8 m = 2 250 kg. 1,2 m b) Kun trukki nostaa kuormaa niin, että kuorma on kiihtyvässä liikkeessä ylöspäin, kuorman liikeyhtälö dynamiikan peruslain mukaan on G2 + N 2 = m2 a N 2 = G2 + m2 a. Trukin kuormaan kohdistama tukivoima on suurempi kuin paino, ja Newtonin III lain mukaan myös taakka kohdistaa trukkiin samansuuruisen mutta vastakkaissuuntaisen voiman. Näin ollen trukki kaatuu eteenpäin. Vastaus: Suurin kuorma on 2 250 kg. 8.8 Lankun massa on m = 25 kg. Lankkuun vaikuttavat paino G ja köysien jännitysvoimat T1 ja T2 . Valitaan positiiviset suunnat. Dynamiikan peruslain mukaan tasapainotilanteessa saadaan x : T1 − T2 x = 0 y : T2 y − G = 0. Ratkaistaan näistä T1 = T2 x , ja T2 y = G. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 5(7) 8. Momentti ja tasapaino Valitaan positiivinen kiertosuunta ja kirjoitetaan momenttiyhtälö akselin A suhteen aG − 2aT2 y + bT2 x = 0, jossa a= L cos α ja b = L sin α . 2 L G cos α − LT2 y cos α + LT2 x sin α = 0. 2 Supistetaan L ja sijoitetaan T2y = G, jolloin G cos α − G cos α + T2 x sin α = 0 2 G cos α G = . T2 x = 2sin α 2 tan α Tästä saadaan köyden jännitysvoimalle T1 = T2 x = G mg = . 2 tan α 2 tan α Sijoitetaan tunnetut arvot T1 = 25 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ tan25D m s 2 = 262,9702 N ≈ 260 N. Toisen jännitysvoiman suuruus T2 = T22x + T22y 2 ⎛ G ⎞ 2 = ⎜ ⎟ +G ⋅ 2 tan α ⎝ ⎠ m⎞ ⎛ + ⎜ 25 kg ⋅ 9,81 2 ⎟ s ⎠ ⎝ = 359,5843 N ≈ 360 N. = ( 262,970 N ) 2 2 Voiman suunta saadaan tan β = T2 y = T2 x 25 kg ⋅ 9,81 m s2 262,970 N β = 43, 003 ≈ 43D. D Vastaus: Voimien suuruudet ovat 260 N ja 360 N. Toisen suunta on vaakatasossa ja toisen 43° vaakatasosta ylöspäin. 8.9 Tehtävän alkuarvot näkyvät kuvasta. T = 48 kN; L = 7,5 m; a = 3, 2 m; b = 1, 2 m; m1 = 750 kg α = 40D ; β = 70D ; G2 = ? a) Puomiin vaikuttavat tasapainotilanteessa kuvion mukaiset voimat: puomin paino G1 , taakan paino G2 ; vaijerin jännitysvoima ja niveleen vaikuttavat tukivoimat N x ja N y . © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos Valitaan momenttiakseliksi nivel A. Momenttiehdon ΣM = 0 mukaan Tr3 − G1r1 − G2 r3 = 0, jossa r1 = a cos α r2 = L cos α r3 = ( L − b) sin β T ( L − b) sin β − G1a cos α − G2 L cos α = 0 G2 = = T ( L − b) sin β − m1 ga cos α L cos α 48 ⋅103 N ⋅ 6,3 m ⋅ sin70D − 750 kg ⋅ 9,81 7,5 m ⋅ cos40D m ⋅ 3, 2 m ⋅ cos40D s2 = 46,3206 ⋅103 N ≈ 46 kN. b) Tasapainotilanteessa dynamiikan peruslain mukaan ⎧⎪∑ Fx = N x − Tx = 0 ⎨ ⎪⎩∑ Fy = N y + Ty − G1 − G2 = 0 ⎧⎪∑ Fx = N x − T cos( β − α ) = 0 ⎨ ⎪⎩∑ Fy = N y + T sin( β − α ) − G2 − G1 = 0 N x = T cos( β − α ) = 48 ⋅103 N ⋅ cos30D = 41,569 kN ≈ 42 kN N y = G2 + G1 − T sin( β − α ) = 46,3206 ⋅103 N + 750 kg ⋅ 9,81 m − 48 ⋅103 N ⋅ sin30D s2 = 29, 6781 kN ≈ 30 kN. Nivelen tukivoiman suuruus on N = N x2 + N y2 = ( 41,569 ⋅10 N ) + ( 29, 679 ⋅10 N ) 3 2 3 2 = 51, 0763 kN ≈ 51 kN. Suunta vaakatasosta ylös tan δ = Ny Nx = 29,6781 ⋅103 N 41,5692 ⋅103 N δ = 35,5247D ≈ 36D. Huom. Tukivoiman suunta ei ole sama kuin puomin suunta. Vastaus: a) Suurin kuorma 46 kN. b) Tukivoiman suuruus 51 kN ja suunta 36D vaakasuorasta ylöspäin. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät 6(7) 8. Momentti ja tasapaino Physica 9 RATKAISUT 1. painos 8.10 Puntarin 1 kg:n lukemamerkin etäisyys kalan ripustuskohdasta on a = 32,0 cm ja 2 kg:n merkin etäisyys kalan ripustuskohdasta on b = 32 cm − 9,0 cm = 23 cm. Tarkastellaan ensin 1 kg:n kuorma. Valitaan positiivinen suunta ja positiivinen kiertosuunta. Puntarin tasapainoehdot ovat ΣF = 0 ΣM = 0. Voimaehdosta saadaan F − G − G1 = 0 F = G + G1 . Momenttiehdosta akselin A suhteen saadaan − Fa + Gx = 0. Yhdistetään edelliset −(G1 + G )a + Gx = 0 (G1 + G )a = Gx. Tarkastellaan seuraavaksi 2 kg:n kuorma. Kirjoitetaan momenttiehto. − ( G2 + G ) b + Gx = 0 ( G2 + G ) b = Gx. Yhdistetään lausekkeet ( G2 + G ) b = (G1 + G )a G2 b + Gb = G1a + Ga G= G2 b − G1a . a−b Sijoitetaan tunnetut arvot G= 2,0 kg ⋅ 9,81 m m ⋅ 0, 23 m − 1,0 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0,32 m s2 s 0,32 m − 0,23 m = 15, 26 N. Ratkaistaan painopisteen etäisyys x= ( G1 + G ) a G (9,81 N + 15,26 N) ⋅ 0,32 m = 15,26 N = 0,5257 m ≈ 0,53 m. Vastaus: Painopisteen etäisyys on 0,53 m. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät 7(7) 8. Momentti ja tasapaino
© Copyright 2024