15 VEKTORIANALYYSI Luento 2 Vektorikentän käyräintegraali A 15.4 Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W  Fd . Jos liike tapahtuu käyrää C pitkin ja voima riippuu paikasta, F (r )  F ( x, y, z ) , täytyy integroida: W   dW   F  dr   ( Fxiˆ  Fy ˆj  Fz kˆ)  (dxiˆ  dyjˆ  dzkˆ) C =  C C C ( Fx dx  Fy dy  Fz dz ). Tämä on esimerkki vektorikentän viivaintegraalista. Tässä integroinnissa parametrina on matka s ja käyränä r , käyrän C pisteiden paikkavektori. Olkoon F (r ) yleisemmin jokin vektorikenttä ja r jonkin käyrän C pisteiden paikkavektori. Integraalia  C F  dr kutsutaan vektorin F käyräintegraaliksi yli käyrän C. [Ei ole paras mahdollinen nimitys, sillä oikeastaan tässä lasketaan vektorin F käyrän C tangentin suuntaisen komponentin FT  F cos käyräintegraali,  C F  dr   FT dr . Perimmältään C siis tässäkin on kyse skalaarikentän käyräintegraalista.] 16 Kun käyrä C esitetään parametrimuodossa eli r  r (t ) , on integraali saatettava sellaiseen muotoon, jossa integroiminen tapahtuu parametrin t suhteen jonkin välin a  t  b yli. Käytetään ketjusääntöä, esim. dx  dx dt , dt jolloin saadaan dr dt C a dt b dx dy    Fx ( x(t ), y (t ), z (t ))  Fy ( x(t ), y (t ), z (t )) a dt dt  b F (r )  dr   F (r )  +Fz ( x(t ), y(t ), z (t )) dz  dt. dt  Lyhyemmin kirjoitettuna: b dx dy dz  F ( r )  dr  F  F + F dt. x y z C a  dt dt dt  *** Esimerkki: Lasketaan vektorikentän F ( x, y, z )  xiˆ  yjˆ  zkˆ käyräintegraali yli käyrän r (t )  ( x(t ), y (t ), z (t ))  (sin t ,cos t , t ), 0  t  2 . Sovelletaan äskeistä kaavaa. Koska x '(t )  cos t , y '(t )   sin t ja z (t )  1, saadaan 17  C dr dt a dt 2 =  sin t iˆ  cos t ˆj  t kˆ   cos t iˆ  sin t ˆj  kˆ  0 2 2 1 =   sin t cos t  sin t cos t  t  dt   tdt  t 2 0 0 2 = 2 2 . b F (r )  dr   F  2 0 *** 3.3 Käyräintegraali ja vektorikentän konservatiivisuus Tarkastellaan vektorikentän käyräintegraalia pitkin suljettua käyrää C eli integroinnin alku- ja loppupiste ovat samat, r (a )  r (b) . Merkitään tätä integraalia A 15.2&15.4 ∮ C F (r )  dr . On helppo uskoa, että integraali voi olla nolla, jos vaan käyrä sattuu olemaan sopivanlainen. On kuitenkin olemassa sellaisia vektorikenttiä, joille tämä integraali on nolla kaikille suljetuille käyrille, ∮ C F (r )  dr  0 kaikille suljetuille C Niitä sanotaan konservatiivisiksi kentiksi. Mekaniikasta ovat tuttuja konservatiiviset voimat; ne ovat konservatiivisia vektorikenttiä. On helppo nähdä, että konservatiivisen kentän käyräintegraali kahden pisteen välillä on reitistä riippumaton. Olkoon C1 ja C2 kaksi eri käyrää pisteestä P0 pisteeseen P. Ne voidaan yhdistää suljetuksi käyräksi C, jossa ensin mennään P0 pisteeseen P käyrää C1 pitkin ja palataan takaisin käyrää C2 väärään suuntaan eli käyrää –C2. Silloin (huomaa, että reiteillä C2 ja -C2 käyrädifferentiaalilla 18 dr on vastakkainen merkki, koska ne osoittavat vastakkaiseen suuntaan) 0 ∮ C F  dr   F  dr  C1   C2 F  dr ,    F  dr C2 joten  C1 F  dr   F  dr . C2 Konservatiivinen vektorikenttä F (r ) voidaan aina esittää jonkin skalaarikentän  (r ) avulla seuraavasti: F (r )   (r ) ˆ  (r ) ˆ  (r ) ˆ i j k. x y z F F F x z y Tämä on konservatiivisen kentän määritelmä. Kaava voidaan kirjoittaa lyhyemmin määrittelemällä derivointioperaattori  eli nabla:      iˆ  ˆj  kˆ . x y z Silloin F  . Nabla hyvin tulee tutuksi jatkossa. [Huom. Fysiikassa usein valitaan potentiaalin etumerkki niin, että F   , mutta se on ihan sama.] Integrandi saadaan skalaarikentän avulla muotoon 19    ˆ  ˆ  F  dr   iˆ  j k   dxiˆ  dyjˆ  dzkˆ y z   x     dx  dy  dz  d . x y z   Jos reitillä C on parametriesitys r (t ) (a  t  b), on käyräintegraali  C b b a a F  dr   d (r (t ))   d (r (t )) dt   (r (b))   (r (a)), dt eli käyräintegraalin arvon määräävät potentiaalifunktion arvot käyrän päätepisteissä. Kun käyrä on suljettu, r (a )  r (b) ja käyräintegraali häviää. Seuraavat kolme ehtoa ovat yhtäpitäviä eli seuraavat toinen toisistaan (ks. Adams puutuvien todistusten osalta): F on konservatiivinen eli on muotoa F  . (i) (ii) (iii) ∮ C F (r )  dr  0 kaikille suljetuille käyrille C. Käyräintegraali pisteestä P0 pisteeseen P ei riipu käyrästä, jota pitkin integrointi suoritetaan eli r ( P) 1 F  dr ei riipu käyrästä C. r ( P0 ) 2 *** Esimerkki: Tarkastellaan vektorikenttää F  ( Fx , Fy , Fz )  ( x  y, x  z, y). Onko kenttä konservatiivinen? Mikä on kentän käyräintegraali  C F  dr origosta (0,0,0) pisteeseen (0,1,1)? Yksi tapa osoittaa kenttä konservatiiviseksi on etsiä sellainen skalaarifunktio  , josta se saadaan nablaamalla eli F  . Hetken pohtimisella näkee, että sellainen on 20  ( x, y, z )  12 x 2  xy  yz. Esimerkiksi  x  x  y  Fx . Kenttä on siis konservatiivinen. Käyräintegraalin arvoksi saadaan  F  dr   (0,1,1)   (0,0,0) C   12 (0) 2  0 1  1 1 12 (0) 2  0  0  0  0   1. *** Esimerkki: Laske integraali∮ C F  dr , kun C on ympyrä x2  y 2  1 kierrettynä vastapäivään alku- ja loppupisteenä (1,0) ja F on vektorikenttä F  ( Fx , Fy )  ( y x , ). x2  y 2 x2  y 2 Onko kenttä konservatiivinen? Laskua yksinkertaistava huomio: koska integroimiskäyrällä x2  y 2  1, on kenttä sillä F  ( y, x). Parametrisoidaan käyrä kiertokulman avulla: r ( )  (cos ,sin  ), 0    2 . Silloin F  ( sin  ,cos ) ja käyräintegraaliksi saadaan 2 ∮ C F  dr  0 2 F  r '( )d   ( sin  ,cos )  (  sin  ,cos )d  0 2 2 0 0   (sin 2   cos 2  ) d   d  2 . Koska tämä integraali yli suljetun käyrän ei häviä, kenttä ei ole konservatiivinen. *** 21 Pyörteettömyysehto. Riittävä ja välttämätön ehto vektorikentän F  F ( x, y, z ) konservatiivisuudelle ja siten skalaaripotentiaalin olemassaololle on myös seuraava: Fx Fy Fy Fz Fz Fx  ,  ,  . y x z y x z Tämä ehto voidaan kirjoittaa edellä annetun  -operaattorin avulla yksinkertaisesti  F ( x, y, z)  0, sillä  F ( x, y, z ) tarkoittaa vektoria  F Fy  ˆ  Fx Fz  ˆ  Fy Fx  ˆ   F ( x, y , z )   z    i    k.  j   y  z  z  x  x  y       Vektorikenttää F , jolle  F ( x, y, z )  0 , sanotaan pyörteettömäksi (asiaan palataan myöhemmin). Kaksiulotteisessa tapauksessa pyörteettömyysehto on Fx Fy  . y x *** Esimerkki: Edellä olleessa tehtävässä kysyttiin, onko kenttä F  ( Fx , Fy , Fz )  ( x  y, x  z, y) konservatiivinen. Yllä annetut ehdot toteutuvat, Fy Fz Fx Fy Fz Fx   1,   1,   0, y x z y x z joten kenttä on konservatiivinen. *** 22 Esimerkki: Fysiikassa potentiaalia merkitään usein kirjaimella U ja konservatiivinen voima F esitetään muodossa F  U   U ˆ U ˆ U ˆ i j k. x y z Yhdessä ulottuvuudessa jousivoiman potentiaali(energia) on U ˆ U ( x)  12 kx 2 , josta jousivoimaksi saadaan F   i  kxiˆ. x ***