1
Naloga 1. Časovni potek nadtemperature za obratovalni režim S3
Proces hladnega valjanja pločevine se izvaja periodično, z nespremenljivim obratovalnim ciklom (duty
cycle, oz. relativni čas vklopljenosti). Potek izgub pi , ki je premosorazmeren končni nadtemperaturi θ∞ ,
je podan na sliki.
1.a Določite končno nadtemperaturo ϑ(∞).
1.b Določite grafični potek nadtemperature ϑ(n).
1.c Narišite blokovno shemo simulacije v Matlabu.
T1 = 20 min
θ∞ = 100 K
t2 = 2 min
časovna konstanta segrevanja
končna nadtemperatura (S1)
čas pavze
T2 = 60 min
t1 = 3 min
časovna konstanta ohlajanja
čas vklopljenosti
120
θ∞
nadtemperatura ϑ (K)
100
t1
80
t2
60
ϑ(2)
40
0
ϑ(1)
θ0
20
ϑ(0)
ϑ (2)
ϑ0 (1)
ϑ0 (0)
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
čas t(min)
Slika 1: S3 obratovanje
ϑ(n)
ϑ0 (n)
θ∞
θ0
Tabela 1: Pojasnilo k sliki S3 obratovanja
vršna nadtemperatura v n-tem intervalu
dolnja nadtemperatura v n-tem intervalu
končna nadtemperatura (premosorazmerna z izgubami)
začetna vršna nadtemperatura, θ0 = ϑ(0)
Namig: Motor je podvžen kratkim intervalom segrevanja in ohlajanja, pri čemer se vsak interval prične z
drugačno (novo) nadtemperaturo. Zato bo nadtemperatura v trenutnem intervalu odvisna od vrednosti
v prejšnjem intervalu. Potreben bo torej zapis enačbe nadtemperature v rekurzivni obliki.
Zapišite enačbi segrevanja za ϑ0 (n + 1) in ϑ0 (n + 1), iz sistema enačb izločite ϑ0 (n + 1). Presodite, kateri
deli enačbe so konstante, kateri spremenljivke,...
2
Rešitev 1.
1.a Motor v enem delovnem ciklu zaradi zaporednega segrevanja in ohlajanja doseže vršno (ϑ) in dolnjo
(ϑ0 ) nadtemperaturo. Iz slike zapišemo enačbi
ϑ0 (n + 1) = ϑ(n)e−t2 /T2
ϑ(n + 1) = θ∞ 1 − e−t1 /T1 + ϑ0 (n + 1)e−t1 /T1
Če se znebimo ϑ0 (n + 1) dobimo rekurzivno enačbo za vršno vrednost ϑ(n + 1)
1 +t2 /T2 )
ϑ(n + 1) = θ∞ 1 − e−t1 /T1 +ϑ(n) |e−(t1 /T{z
}
|
{z
}
a
(1)
(2)
(3)
ϑ(0)=θ0
ϑ(n + 1) = ϑ(n)a + θ0
(4)
En. (4) je linearna 1 nehomogena 2 rekurzivna enačba za dva zaporedna vrhova nadtemperature ϑ.
Faktorja a in θ0 sta konstanti. Rešitev enačbe, ki bo n-ti člen zaporedja določil brez vedenja prejšnjih
členov, bo sestavljena iz homogenega in partikularnega dela. Manjkajoče konstante bodo določene na
podlagi začetnih pogojev. Najprej poiščemo rešitev za homogeno obliko enačbe
ϑ(n) = ϑ(n − 1)a
(5)
Karakteristični polinom r − a = 0 ima ničlo pri r = a, zato je splošna rešitev homogenega dela ϑs (n) =
Aan . Partikularno rešitev poiščemo z nastavkom ϑp (n) = Bθ0 , ki jo vstavimo v (4)
Bθ0 = Bθ0 a + θ0
θ0
1
B=
=
θ0 − θ0 a
1−a
Partikularna rešitev je ϑp (n) = θ0
(6)
(7)
1
. Skupna rešitev je vsota homogene in partikularne rešitve
1−a
ϑ(n) = ϑs (n) + ϑp (n) = Aan + θ0
1
1−a
(8)
z upoštevanjem začetnega pogoja ϑ(0) = θ0 določimo konstanto A
1
1−a
1
θ0 = A + θ0
1−a
1
A = θ0 1 −
1−a
a
A = θ0
a−1
ϑ(0) = Aa0 + θ0
(9)
Končna rešitev za vršno vrednost nadtemperature
ϑ(n) = θ0
a
1
1 − an+1
an + θ0
= θ0
a−1
1−a
1−a
(10)
Če konstanti a in θ0 eksplicitno zapišemo
ϑ(n) =
1 vsak
1 − e−t1 /T1
−(n+1)(t1 /T1 +t2 /T2 )
1
−
e
θ∞
1 − e−(t1 /T1 +t2 /T2 )
(11)
novi člen zaporedja je linearna funkcija prejšnjih členov
novi člen je poleg funkcije prejšnjih členov odvisen tudi od dodatne funkcije f (n): ϑ(n) = c1 ϑ(n − 1) + c2 ϑ(n −
2) + . . . + ck ϑ(n − k) + f (n); v našem primeru je f (n) = θ0
2 vsak
3
Zveza med časom t in vzorcem n je t = t1 + n(t1 + t2 ). Če vzamemo t ∼ (n + 1)(t1 + t2 ) in preoblikujemo
izraz v eksponentu
t1 /T1 + t2 /T2
t
(n + 1)(t1 + t2 )
∼
(12)
t1 + t2
Tϑ
ugotovimo, da vršne vrednosti nadtemperature ležijo na eksponencialni krivulji s časovno konstanto
Tϑ ∼
t1 + t2
= 27,27 min
t1 /T1 + t2 /T2
, kjer T1 < Tϑ < T2
(13)
Končna (vršna) nadtemperatura v ustaljenem stanju je
1 − e−t1 /T1
θ∞ = 83,15 K
1 − e−(t1 /T1 +t2 /T2 )
ϑ(∞) =
(14)
V primeru prisilnega hlajenja (T1 = T2 ) velja
T1 = T2 = Tϑ
(15)
1.b
120
nadtemperatura ϑ (K)
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
čas t (min)
1.c
cas
Clock
koncna_nadtemp
nadtemp
To>Workspace2
To>Workspace
členR1.reda
Subtract
časovnaRkonstantaRzaRsegrevanje
T1*60
Constant
potekRizgubRoz.
KONČNERNADTEMPERATURE
časovnaRkonstantaRzaRohlajanje
>>=>
izgube
T2*60
Constant1
To>Workspace1
Switch
1/s
Divide
Integrator
Scope