Ekspontentiaalinen kasvu
Eksponenttifunktio
Logaritmifunktio
Yleinen juurenotto
Missä on eksponenttimuotoista
kasvua tai vähentymistä?
• Väestönkasvu
• Bakteerien kasvu
• Koronkorko (useampivuotinen talletus)
• Radioaktiivinen hajoaminen
(puoliintumisaika  kerroin 0,50)
• Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen
 potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi
Eksponenttifunktio
Kuvaa eksponenttimuotoista kasvua
Loppuarvo, kasvanut arvo
Alkuarvo
Kasvujaksojen määrä,
esim aika
Kasvukerroin
f ( x) 1 3
x
Potenssiin korottaminen
Katso laskimestasi potenssiin korottaminen:
x
x
2,517
627, 6...
a
7
12
1, 095
1, 095
y
7
12
x
1, 0543...
YLEINEN JUUREN OTTO
x
x2 = 145
145 12, 0 (ja -12,0)
x5 = 309
12 x
6
x
75
Laskimessa
Huom!
5
x
5
x
tai
417
75
12
6
x
309
x=
y tai
417
1
5
3,15
6
75
12
1,357
1/y
tai x
Logaritmin käyttö: x eksponentissa
2, 45
x
13,7
lg
"lyödään logaritmimoukarilla"
lg 2, 45
x
lg13, 7
"eksponentti x putoaa eteen"
x lg 2, 45 lg13, 7
jaetaan x:n kertoimella
lg13, 7
x
2,92
lg 2, 45
Laskimessa log
log(13.7)
log(2.45)
Hankalahko esimerkki
15, 2 3, 05
x
17,1
x lg 3, 05 lg1,125
Jaetaan
3, 05
x
3,05
x
lg 3, 05x
17,1
15, 2
1,125
lg1,125
x
lg
x
lg1,125
lg 3, 05
0,10562...
V: x=0,106
Hankalampi eksponenttiyhtälö
352 1,085
x
917 1,03
jaetaan ensin
x
917
1,
03
1, 085 x
352
jaetaan potenssilla
1, 085x
1, 03x
917
352
1, 085
1, 03
x
917
352
x
1, 05339
lg1,05339 x
x
2, 60511
lg 2,60511
x lg1, 05339 lg 2, 60511
lg 2, 60511
x
lg1, 05339
x 18, 4
Missä on eksponenttimuotoista
kasvua tai vähentymistä?
• Väestönkasvu (kasvu 3 %  kerroin 1,03)
• Bakteerien kasvu
• Koronkorko (useampivuotinen talletus)
• Radioaktiivinen hajoaminen
(puoliintumisaika  kerroin 0,50)
• Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen
(20 % vähentyminen  kerroin 0,80)
 potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi
NYRKKISÄÄNTÖJÄ
(eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio)
a • kn = b
alkuarvo
1) Kysytään loppuarvoa
Kysytään alkuarvo
kasvukerroin
jaksojen määrä, aika jne
loppuarvo
Ei x, suoralla laskulla b = a • kn
Ajassa taakse: negative eksponent
2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia
Johtaa juurenottoon
3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten määrää jne
(kysytään siis eksponenttia)
x eksponenttina, johtaa logaritmiin
NYRKKISÄÄNTÖJÄ
(eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio)
a • kn = b
alkuarvo
kasvukerroin
1a) Kysytään loppuarvoa
jaksojen määrä, aika jne
loppuarvo
suoralla laskulla b = a • kn
Brutopian väkiluku oli vuonna 2005 peräti 73 miljoonaa ja
Vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä on väestäennuste vuodelle 2015?
Alussa 73 miljoonaa, kasvukerroin = 1,031, vuosia = 10
73 • 1,03110 milj = 99 miljoonaa.
1b) Ajassa taaksepäin  eksponenttiin miinus
Brutopian väkiluku oli v 2005 73 miljoonaa, vuotuinen
kasvu 3,1 %. Mikä oli väkiluku vuonna 2000 ?
Alkuarvo= 73 (vuosi 2005)
Vuodet = -5
kasvukerroin 1,031
73 • 1,031-5 milj = 63 miljoonaa.
NYRKKISÄÄNTÖJÄ
(eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio)
a • kn = b
alkuarvo
jaksojen määrä, aika jne
loppuarvo
kasvukerroin
2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia
Johtaa juurenottoon
Meksikon väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta
99 miljoonaan. Mikä on vuotuinen kasvuprosentti?
kasvukerroin = x
73 • x10 = 99
x
10
99
73
x
10
99
73
1, 03093
Vastaus: 3,1 %
NYRKKISÄÄNTÖJÄ
(eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio)
a • kn = b
alkuarvo
kasvukerroin
jaksojen määrä, aika jne
loppuarvo
3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten paksuutta
Johtaa logaritmiin
99
)
73
Meksikon väkiluku kasvoi 73 miljoonasta
99 miljoonaa vuotuisen kasvun ollessa 3,1 %. x lg1, 031 lg( 99 )
73
Kuinka monta vuotta kului?
99
lg( )
73
99
x
x
9,979 10
x
1,031
73 • 1,031 = 99
lg1, 031
lg1, 031x
73
lg(
Milloin juurenottoa tarvitaan?
Kun kysytään potenssin kantalukua tai kasvukerrointa
tai korkoprosenttia
Esim. Meksikon väkiluku väkiluku kasvoi 10 vuodessa
73 miljoonasta 100 miljoonaan. Kuinka suuri oli vuotuinen
kasvuprosentti?
vuosia 10
73 milj
100 milj
vuotuinen kasvukerroin x
73 • x10 = 100 || :73
10
x
100
73
x
10
100
73
1, 03197
Vastaus: Vuotuinen kasvu on 3,2 %
Miloin logaritmia tarvitaan?
Silloin, kun kysytään eksponenttia
(aikaa, jaksojen määrää, kerrosten määrää)
Kuinka monta vuotta kestää talletuksen arvon
kaksinkertaistuminen, kun korkoporosentti on 3,6 %
Ratk: Alussa a, lopussa 2a, kerroin k = 1,036
vuodet = x
x lg1, 036 lg 2
a 1, 036 x
1, 036 x
lg1, 036 x
2a
2
lg 2
lg 2
x
lg1, 036
x 19,598...
V: 20 vuotta
Pankkitalletus kasvoi kuudessa vuodessa 4500
eurosta 6000 euroon. Mikä oli tilin korko?
Vuodessa pääoma x-kertaistuu
kuudessa vuodessa x6-kertaistuu
4500 • x6 = 6000
x
x
6
6000
4500
6
6000
4500
1, 0491
Vastaus: Vuotuinen korko oli 4,9 %
Rikkipäästöjä halutaan alentaa 10 vuodessa
90 %. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi
vähentämisen tavoitteeksi?
Jäljelle jää 10 %
Alussa rikkipäästöt ovat a, siitä pois 90 %
-90 %
a
0,10 a
10 vuotta
vuotuinen kerroin x
Siis joka vuosi päästö on 0,794
kertaa edellisen vuoden päästö.
a • x10 = 0,10a
Siis 79,4 % edellisestä
x10 = 0,10
x
(x
10
0,10
1/10
0,10
0, 794
)
Vuotuinen vähennys on
100 % - 79,4 % =20,6 %
Vastaus: 21 % vähennys joka vuosi
Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 15
vuorokautta. Kuinka monta % aineesta
a) on jäljellä 6 kk kuluttua?
b) hajoaa yhdessä vuorokaudessa?
Jakso on 15 vrk, sinä aikana määrä puoliintuu, jakson kerroin = 0,50
a) 6 kuukaudessa on jaksoja 180 vrk / 15 vrk = 12 jaksoa
Alussa a, lopussa a • 0,5012 = 0,000244a Jäljellä 0,024 %
Aika 1 vrk, kuinka monta 15 vrk jaksoa siinä on ?
Alussa a
1 vrk kuluttua jäljellä
1
15
a 0,50
0,9548a
Jäljellä 95,48 %
1
15
Hajosi 100 % – 95,48 % = 4,52 %
Vastaus: 1 vrk:ssa hajosi 4,5 %