Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? • Väestönkasvu • Bakteerien kasvu • Koronkorko (useampivuotinen talletus) • Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika kerroin 0,50) • Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi Eksponenttifunktio Kuvaa eksponenttimuotoista kasvua Loppuarvo, kasvanut arvo Alkuarvo Kasvujaksojen määrä, esim aika Kasvukerroin f ( x) 1 3 x Potenssiin korottaminen Katso laskimestasi potenssiin korottaminen: x x 2,517 627, 6... a 7 12 1, 095 1, 095 y 7 12 x 1, 0543... YLEINEN JUUREN OTTO x x2 = 145 145 12, 0 (ja -12,0) x5 = 309 12 x 6 x 75 Laskimessa Huom! 5 x 5 x tai 417 75 12 6 x 309 x= y tai 417 1 5 3,15 6 75 12 1,357 1/y tai x Logaritmin käyttö: x eksponentissa 2, 45 x 13,7 lg "lyödään logaritmimoukarilla" lg 2, 45 x lg13, 7 "eksponentti x putoaa eteen" x lg 2, 45 lg13, 7 jaetaan x:n kertoimella lg13, 7 x 2,92 lg 2, 45 Laskimessa log log(13.7) log(2.45) Hankalahko esimerkki 15, 2 3, 05 x 17,1 x lg 3, 05 lg1,125 Jaetaan 3, 05 x 3,05 x lg 3, 05x 17,1 15, 2 1,125 lg1,125 x lg x lg1,125 lg 3, 05 0,10562... V: x=0,106 Hankalampi eksponenttiyhtälö 352 1,085 x 917 1,03 jaetaan ensin x 917 1, 03 1, 085 x 352 jaetaan potenssilla 1, 085x 1, 03x 917 352 1, 085 1, 03 x 917 352 x 1, 05339 lg1,05339 x x 2, 60511 lg 2,60511 x lg1, 05339 lg 2, 60511 lg 2, 60511 x lg1, 05339 x 18, 4 Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? • Väestönkasvu (kasvu 3 % kerroin 1,03) • Bakteerien kasvu • Koronkorko (useampivuotinen talletus) • Radioaktiivinen hajoaminen (puoliintumisaika kerroin 0,50) • Valon, säteilyn imeytyminen väliaineeseen (20 % vähentyminen kerroin 0,80) potenssiinkorotus, juurenotto, logaritmi NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a • kn = b alkuarvo 1) Kysytään loppuarvoa Kysytään alkuarvo kasvukerroin jaksojen määrä, aika jne loppuarvo Ei x, suoralla laskulla b = a • kn Ajassa taakse: negative eksponent 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten määrää jne (kysytään siis eksponenttia) x eksponenttina, johtaa logaritmiin NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a • kn = b alkuarvo kasvukerroin 1a) Kysytään loppuarvoa jaksojen määrä, aika jne loppuarvo suoralla laskulla b = a • kn Brutopian väkiluku oli vuonna 2005 peräti 73 miljoonaa ja Vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä on väestäennuste vuodelle 2015? Alussa 73 miljoonaa, kasvukerroin = 1,031, vuosia = 10 73 • 1,03110 milj = 99 miljoonaa. 1b) Ajassa taaksepäin eksponenttiin miinus Brutopian väkiluku oli v 2005 73 miljoonaa, vuotuinen kasvu 3,1 %. Mikä oli väkiluku vuonna 2000 ? Alkuarvo= 73 (vuosi 2005) Vuodet = -5 kasvukerroin 1,031 73 • 1,031-5 milj = 63 miljoonaa. NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a • kn = b alkuarvo jaksojen määrä, aika jne loppuarvo kasvukerroin 2) Kysytään kasvukerrointa, muutosprosenttia Johtaa juurenottoon Meksikon väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 99 miljoonaan. Mikä on vuotuinen kasvuprosentti? kasvukerroin = x 73 • x10 = 99 x 10 99 73 x 10 99 73 1, 03093 Vastaus: 3,1 % NYRKKISÄÄNTÖJÄ (eksponentiaalinen kasvu, kasvuprosentti on vakio) a • kn = b alkuarvo kasvukerroin jaksojen määrä, aika jne loppuarvo 3) Kysytään jaksojen määrää, aikaa, kerrosten paksuutta Johtaa logaritmiin 99 ) 73 Meksikon väkiluku kasvoi 73 miljoonasta 99 miljoonaa vuotuisen kasvun ollessa 3,1 %. x lg1, 031 lg( 99 ) 73 Kuinka monta vuotta kului? 99 lg( ) 73 99 x x 9,979 10 x 1,031 73 • 1,031 = 99 lg1, 031 lg1, 031x 73 lg( Milloin juurenottoa tarvitaan? Kun kysytään potenssin kantalukua tai kasvukerrointa tai korkoprosenttia Esim. Meksikon väkiluku väkiluku kasvoi 10 vuodessa 73 miljoonasta 100 miljoonaan. Kuinka suuri oli vuotuinen kasvuprosentti? vuosia 10 73 milj 100 milj vuotuinen kasvukerroin x 73 • x10 = 100 || :73 10 x 100 73 x 10 100 73 1, 03197 Vastaus: Vuotuinen kasvu on 3,2 % Miloin logaritmia tarvitaan? Silloin, kun kysytään eksponenttia (aikaa, jaksojen määrää, kerrosten määrää) Kuinka monta vuotta kestää talletuksen arvon kaksinkertaistuminen, kun korkoporosentti on 3,6 % Ratk: Alussa a, lopussa 2a, kerroin k = 1,036 vuodet = x x lg1, 036 lg 2 a 1, 036 x 1, 036 x lg1, 036 x 2a 2 lg 2 lg 2 x lg1, 036 x 19,598... V: 20 vuotta Pankkitalletus kasvoi kuudessa vuodessa 4500 eurosta 6000 euroon. Mikä oli tilin korko? Vuodessa pääoma x-kertaistuu kuudessa vuodessa x6-kertaistuu 4500 • x6 = 6000 x x 6 6000 4500 6 6000 4500 1, 0491 Vastaus: Vuotuinen korko oli 4,9 % Rikkipäästöjä halutaan alentaa 10 vuodessa 90 %. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi vähentämisen tavoitteeksi? Jäljelle jää 10 % Alussa rikkipäästöt ovat a, siitä pois 90 % -90 % a 0,10 a 10 vuotta vuotuinen kerroin x Siis joka vuosi päästö on 0,794 kertaa edellisen vuoden päästö. a • x10 = 0,10a Siis 79,4 % edellisestä x10 = 0,10 x (x 10 0,10 1/10 0,10 0, 794 ) Vuotuinen vähennys on 100 % - 79,4 % =20,6 % Vastaus: 21 % vähennys joka vuosi Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 15 vuorokautta. Kuinka monta % aineesta a) on jäljellä 6 kk kuluttua? b) hajoaa yhdessä vuorokaudessa? Jakso on 15 vrk, sinä aikana määrä puoliintuu, jakson kerroin = 0,50 a) 6 kuukaudessa on jaksoja 180 vrk / 15 vrk = 12 jaksoa Alussa a, lopussa a • 0,5012 = 0,000244a Jäljellä 0,024 % Aika 1 vrk, kuinka monta 15 vrk jaksoa siinä on ? Alussa a 1 vrk kuluttua jäljellä 1 15 a 0,50 0,9548a Jäljellä 95,48 % 1 15 Hajosi 100 % – 95,48 % = 4,52 % Vastaus: 1 vrk:ssa hajosi 4,5 %
© Copyright 2024