1. No category

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset / Ratkaisut
Aiheet:
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava
Avainsanat:
Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin, Boolen algebra, Ehdollinen todennäköisyys, Jono,
Joukko, Kertolaskuperiaate, Kertoma, Klassinen todennäköisyys, Kokonaistodennäköisyyden
kaava, Kolmogorovin aksioomat, Kombinaatio, Kombinatoriikka, Komponentti,
Lukumääräfunktio, Osajono, Osajoukko, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta,
Pascalin kolmio, Permutaatio, Riippumattomuus, σ-algebra, Suotuisa alkeistapahtuma,
Todennäköisyyden aksioomat, Todennäköisyyskenttä, Todennäköisyysmitta, Toisensa
poissulkevuus, Tulosääntö, Variaatio, Yhteenlaskuperiaate, Yhteenlaskusääntö
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Kombinatoriikan perusperiaatteet
(i)
Kertolaskuperiaate
Oletetaan, että operaatio M voidaan suorittaa m:llä eri tavalla ja operaatio N voidaan suorittaa
n:llä eri tavalla ja oletetaan lisäksi, että operaatiot M ja N voidaan suorittaa toisistaan
riippumatta. Tällöin yhdistetty operaatio
”Suoritetaan operaatio M ja operaatio N”
voidaan suorittaa m×n:llä eri tavalla.
(ii)
Yhteenlaskuperiaate
Oletetaan, että operaatio M voidaan suorittaa m:llä eri tavalla ja operaatio N voidaan suorittaa
n:llä eri tavalla ja oletetaan lisäksi, että operaatiot M ja N ovat toisensa poissulkevia. Tällöin
yhdistetty operaatio
”Suoritetaan operaatio M tai operaatio N”
voidaan suorittaa (m + n):llä eri tavalla.
Joukko
Joukko on täysin määrätty, jos sen alkiot tunnetaan. Olkoot äärellisen joukon S (erilaiset) alkiot
s1 , s2 , … , sn
Tällöin merkitään
S = {s1, s2, … , sn}
Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on samat alkiot eli
A=B
jos ja vain jos
x∈A⇔x∈B
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
1/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Lukumääräfunktio
Olkoon
nS = n(S)
funktio, joka kertoo joukon S (erilaisten) alkioiden lukumäärän. Kutsumme funktiota n(⋅)
lukumääräfunktioksi. Jos siis äärellisen joukon
S = {s1, s2, … , sn}
kaikki alkiot ovat erilaisia, niin
nS = n(S) = n
Jono
Jono on täysin määrätty, jos sen alkiot ja niiden järjestys tunnetaan. Olkoon äärellisen jonon S i.
alkio
si , i = 1, 2, … , n
Tällöin merkitään
s = (s1, s2, … , sn)
tai usein myös
s = s1s2 ⋅⋅⋅ sn
Jonot a = (a1, a2, … , an) ja b = (b1, b2, … , bn) ovat samat, jos niissä on samat alkiot samassa
järjestyksessä eli
a=b
jos ja vain jos
ai = bi , i = 1, 2, … , n
Kombinatoriikan perusongelmat
Olkoon S äärellinen joukko, jonka (erilaisten) alkioiden lukumäärä on
n = n(S)
Kombinatoriikan perusongelmat:
(1a) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkiot voidaan järjestää jonoon?
(1b) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkioista voidaan muodostaa k:n alkion osajono?
(2)
Kuinka monella eri tavalla joukon S alkioista voidaan muodostaa k:n alkion osajoukko?
Kombinatoriikan perusongelmien ratkaisut
Olkoon S äärellinen joukko, jonka (erilaisten) alkioiden lukumäärä on
n = n(S)
Kombinatoriikan perusongelmien ratkaisut:
(1a) Kutsumme joukon S kaikkien alkioiden jonoja joukon S alkioiden permutaatioiksi.
Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten permutaatioiden lukumäärä on n!, jossa
n! = n×(n–1)× ⋅⋅⋅ ×2×1
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
2/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
on n-kertoma.
(1b) Kutsumme joukon S k:n alkion osajonoja joukon S alkioiden k-permutaatioiksi eli
variaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten k-permutaatioiden lukumäärä on
P(n, k ) =
(2)
n!
= n × (n − 1) ×
(n − k )!
× (n − k + 1)
Kutsumme joukon S k:n alkion osajoukkoja joukon S alkioiden k alkiota sisältäviksi
kombinaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten k alkiota sisältävien
kombinaatioiden lukumäärä on
n
C(n, k ) =  
k 
jossa
n
n!
 =
 k  k !(n − k )!
on binomikerroin.
Pascalin kolmio
Binomikertoimet saadaan ns. Pascalin kolmiosta. Alla on annettu Pascalin kolmion 8 ensimmäistä
riviä.
1
1
1
1
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
Lukuun ottamatta kolmion reunoilla olevia ykkösiä jokainen kolmion luvuista on saatu laskemalla
yhteen kaksi edeltävän rivin lukua nuolten suuntaan.
Pascalin kolmio ja binomikertoimet
Pascalin kolmion (n+1). rivin luvut voidaan ilmaista binomikertoimien avulla seuraavassa
muodossa:
n n n
 n   n
  ,   ,   ,… , 
, 
 0  1   2 
 n − 1  n 
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
3/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Pascalin kolmion muodostamissääntö voidaan ilmaista binomikertoimien avulla seuraavassa
muodossa:
 n   n − 1   n − 1
 =
+

 k   k − 1  k 
Kaavan mukaan Pascalin kolmion n. rivin k. luku saadaan laskemalla yhteen (n–1). rivin (k–1). ja k.
luku. Se, että Pascalin kolmio on symmetrinen kolmion rivien keskikohdan suhteen, voidaan
ilmaista binomikertoimien avulla seuraavassa muodossa:
n
 n 
n!
=
 =

 k  k !(n − k )!  n − k 
Binomikaava
Binomikaavan mukaan binomin
x+y
n. potenssi voidaan esittää muodossa
n
n
( x + y)n = ∑   x n−k y k
k =0  k 
Äärellisen joukon osajoukkojen lukumäärä
Olkoon joukon S alkioiden lukumäärä n = n(S). Tällöin joukon S osajoukkojen lukumäärä on
n n n
N = 2n =   +   +   +
 0 1  2
 n   n
+
+ 
 n − 1  n 
Multinomikerroin
Olkoon joukon S alkioiden lukumäärä n = n(S). Oletetaan, että positiiviset kokonaisluvut
ni , i = 1, 2, … , k
toteuttavat ehdon
n1 + n2 + ⋅⋅⋅ + nk = n
Oletetaan, että joukko S ositetaan pistevieraisiin osajoukkoihin
Ai , i = 1, 2, … , k
niin, että joukossa Ai on ni = n(Ai) alkiota. Kuinka monella erilaisella tavalla yllä määritelty ositus
voidaan tehdä?
Vastauksen antaa multinomikerroin
n


n!

=
 n1 n2 nk  n1 !n2 ! nk !
jossa siis
n1 + n2 + ⋅⋅⋅ + nk = n
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
4/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Huomaa, että jos k = 2, saadaan binomikerroin
 n 
n  n 
n!
= = 

=
 n1 n2  n1 !n2 !  n1   n2 
jossa
n1 + n2 = n
Todennäköisyyden aksioomat
Todennäköisyys äärellisissä otosavaruuksissa
Tarkastellaan ensin todennäköisyyden määrittelemistä äärellisissä otosavaruuksissa. Suuri osa
todennäköisyyden peruslaskusäännöistä voidaan todistaa äärellisten otosavaruuksien aksioomista.
Boolen algebra
Olkoon S joukko ja jokin F joukon S osajoukkojen muodostama perhe eli
A∈ F ⇒ A ⊂ S
Joukkoperhe F on Boolen algebra, jos
(i)
∅∈F
(ii)
A ∈ F ⇒ Ac ∈ F
(iii)
A ∈ F, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F
Kutsumme todennäköisyyslaskennassa perusjoukkoa S otosavaruudeksi ja Boolen algebraan F
kuuluvia otosavaruuden S osajoukkoja A tapahtumiksi.
Olkoot
A∈ F , B ∈ F
Boolen algebran aksioomista seuraa suoraan, että
∅ ∈ F , Ac ∈ F , B c ∈ F , A ∪ B ∈ F
Lisäksi voidaan osoittaa, että
S ∈ F , A ∩ B = ( Ac ∪ B c )c ∈ F , A \ B = A ∩ B c ∈ F
Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
Olkoon S äärellinen joukko ja F jokin joukon S osajoukkojen muodostama Boolen algebra.
Olkoon lisäksi Pr joukkofunktio, joka liittää jokaiseen Boolen algebraan F kuuluvaan joukon S
osajoukkoon A reaalikuvun eli
A ∈ F ⇒ A ⊂ S ⇒ Pr( A) ∈
Joukkofunktio Pr on äärellisen otosavaruuden todennäköisyysmitta, jos
TKK
(i)
Pr( S ) = 1
(ii)
0 ≤ Pr( A) ≤ 1 kaikille A ∈ F
(iii)
A ∈ F , B ∈ F , A ∩ B = ∅ ⇒ Pr( A ∪ B ) = Pr( A) + Pr( B)
@ Ilkka Mellin (2008)
5/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Äärellinen todennäköisyyskenttä
Kolmikko
( S , F, Pr)
on äärellinen todennäköisyyskenttä, jos S on äärellinen otosavaruus, F on otosavaruudessa S
määritelty Boolen algebra ja Pr on Boolen algebrassa F määritelty todennäköisyysmitta.
Riippumattomuus ja riippumattomien tapahtumien tulosääntö
Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos riippumattomien tapahtumien tulosääntö
Pr( A ∩ B) = Pr( A) Pr( B)
pätee.
Todennäköisyys mielivaltaisissa otosavaruuksissa
Tarkastellaan todennäköisyyden määrittelemistä mielivaltaisissa otosavaruuksissa.
σ-algebra
Olkoon S joukko ja jokin F joukon S osajoukkojen muodostama perhe eli
A∈ F ⇒ A ⊂ S
Joukkoperhe F on σ-algebra, jos
(i)
∅∈F
(ii)
A ∈ F ⇒ Ac ∈ F
(iii)
A1 , A2 , A3 ,… ∈ F ⇒
∪
∞
i =1
Ai ∈ F
Kutsumme perusjoukkoa S otosavaruudeksi ja σ-algebraan F kuuluvia otosavaruuden S
osajoukkoja A tapahtumiksi.
Kaikki Boolen algebroille todistetut teoreemat pätevät myös σ-algebroille. Jos
A1 , A2 , A3 ,… ∈ F
σ-algebran aksioomista seuraa suoraan, että
∅ ∈ F , A1c , A2c , A3c ,… ∈ F ,
∪
∞
i =1
Ai ∈ F
Lisäksi voidaan osoittaa, että
∞
S ∈ F , ∩ i =1 Ai ∈ F
Todennäköisyyden aksioomat mielivaltaisissa otosavaruuksissa
Olkoon S jokin joukko ja F jokin joukon S osajoukkojen muodostama σ-algebra. Olkoon lisäksi
Pr joukkofunktio, joka liittää jokaiseen σ-algebraan F kuuluvaan joukon S osajoukkoon A
reaalikuvun eli
A ∈ F ⇒ A ⊂ S ⇒ Pr( A) ∈
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
6/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Joukkofunktio Pr on todennäköisyysmitta, jos
(i)
Pr( S ) = 1
(ii)
0 ≤ Pr( A) ≤ 1 kaikille A ∈ F
(iii)
A1 , A2 , A3 ,… ∈ F ja Ai ∩ Aj = ∅ , i ≠ j ⇒ Pr
(∪ A)=∑
∞
i =1
i
∞
i =1
Pr( Ai )
Todennäköisyyskenttä
Kolmikko
( S , F, Pr)
on todennäköisyyskenttä, jos S on otosavaruus, F on otosavaruudessa S määritelty σ-algebra ja Pr
on σ-algebrassa F määritelty todennäköisyysmitta.
Kaikki äärellisille todennäköisyyskentille todistetut teoreemat pätevät myös äärettömissä
todennäköisyyskentissä.
Epämitalliset joukot
Jos otosavaruus S on ääretön, sen kaikille osajoukoille ei voida välttämättä määritellä todennäköisyyttä. Niitä otosavaruuden S osajoukkoja, joille todennäköisyys voidaan määritellä sanotaan
mitallisiksi ja niitä, joille todennäköisyyttä ei voida määritellä sanotaan epämitallisiksi. Voidaan
osoittaa, että otosavaruuden S mitalliset osajoukot muodostavat aina σ-algebran.
Joukkojonojen todennäköisyydet
Lause 1.
Olkoon ( S , F, Pr) todennäköisyyskenttä ja A1 , A2 , A3 ,… ∈ F . Tällöin pätee:
(a)
Jos A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂
, niin
∞ 
Pr  ∪ Ai  = lim Pr( Ai )
 i =1  i →∞
(b)
Jos A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃
, niin
∞ 
Pr  ∩ Ai  = lim Pr( Ai )
 i =1  i →∞
Lause 2.
Olkoon ( S , F, Pr) todennäköisyyskenttä ja A1 , A2 , A3 ,… ∈ F . Tällöin pätee:
Jos A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃
→ ∅ , niin
lim Pr( Ai ) = 0
i →∞
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
7/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ositus
Joukon S osajoukot
B1, B2, … , Bn
muodostavat joukon S osituksen, jos seuraavat ehdot pätevät:
(i)
Bi ≠ ∅ , i = 1, 2,… , n
(ii)
Bi ∩ B j = ∅ , i ≠ j
(iii)
S = B1 ∪ B2 ∪
∪ Bn
Kokonaistodennäköisyyden kaava
Olkoon A epätyhjä otosavaruuden S osajoukko:
A⊂ S , A≠∅
Oletetaan, että joukot
B1, B2, … , Bn
muodostavat otosavaruuden S osituksen. Tällöin pätee kokonaistodennäköisyyden kaava
n
Pr( A) = ∑ Pr( Bi ) Pr( A | Bi )
i =1
Bayesin kaava
Olkoon A epätyhjä otosavaruuden S osajoukko:
A⊂ S , A≠∅
Oletetaan, että joukot
B1, B2, … , Bn
muodostavat otosavaruuden S osituksen. Tällöin pätee Bayesin kaava
Pr( Bi | A) =
Pr( Bi ) Pr( A | Bi )
n
∑ Pr( B ) Pr( A | B )
i =1
TKK
i
, i = 1, 2,… , n
i
@ Ilkka Mellin (2008)
8/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Tehtävä 2.1.
Alla oleva kuvio kuvaa kaupungista A kaupunkiin D vieviä reittejä. Reiteistä osa kulkee vain
kaupungin B kautta, osa vain kaupungin C kautta ja osa sekä kaupungin B että kaupungin C
kautta. Oletetaan lisäksi, että jokainen reitinvalinta on riippumaton muista reitinvalinnoista.
Kuinka monella eri tavalla kaupungista A pääsee kaupunkiin D?
B
D
A
C
Tehtävä 2.1. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan perusperiaatteiden soveltamista vaihtoehtojen
kokonaislukumäärän laskemiseen.
Tehtävä 2.1. – Ratkaisu:
Tehtävän ratkaisussa sovelletaan kombinatoriikan kertolasku- ja yhteenlaskuperiaatteita.
Jaetaan reittikartta osiin, joita tarkastellaan erillisinä.
A → B → D:
A:sta pääsee B:hen 3:lla eri tavalla.
B:stä pääsee D:hen 3:lla eri tavalla.
Kertolaskuperiaate ⇒ A:sta pääsee B:n kautta D:hen 3×3 = 9:llä eri tavalla.
A → B → C:
A:sta pääsee B:hen 3:lla eri tavalla.
B:stä pääsee C:hen 2:lla eri tavalla.
Kertolaskuperiaate ⇒ A:sta pääsee B:n kautta C:hen 3×2 = 6:lla eri tavalla.
A → C:
A:sta pääsee suoraan C:hen 3:lla eri tavalla.
A → B → C tai A → C:
A:sta pääsee B:n kautta C:hen 6:lla eri tavalla.
A:sta pääsee suoraan C:hen 3:lla eri tavalla.
Yhteenlaskuperiaate ⇒ A:sta pääsee B:n kautta C:hen tai suoraan C:hen 6 + 3 = 9:llä
eri
tavalla.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
9/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
A → C → D:
A:sta pääsee C:hen 9:llä eri tavalla.
C:stä pääsee D:hen 2:lla eri tavalla.
Kertolaskuperiaate ⇒ A:sta pääsee C:n kautta D:hen 9×2 = 18:lla eri tavalla.
A → B → D tai A → C → D:
A:sta pääsee B:n kautta D:hen 9:llä eri tavalla.
A:sta pääsee C:n kautta D:hen 18:lla eri tavalla.
Yhteenlaskuperiaate ⇒ A:sta pääsee D:hen 9 + 18 = 27:llä eri tavalla.
Tehtävä 2.2.
Tarkastellaan kirjainten a, e, i, k, l, m (6 kpl) muodostamaa joukkoa
S = {a, e, i, k, l, m}
(a)
Kuinka monta erilaista jonoa voidaan joukon S kirjaimista muodostaa?
(b)
Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajonoa voidaan joukon S kirjaimista muodostaa?
(c)
Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajoukkoa voidaan joukon S kirjaimista muodostaa?
Tehtävä 2.2. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan perusongelmia sekä niiden ratkaisemista
kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla.
Tehtävä 2.2. – Ratkaisu:
(a)
Joukossa S = {a, e, i, k, l, m} on
n(S) = 6
erilaista alkiota. Siten joukon S alkioista voidaan muodostaa
6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 720
erilaista jonoa eli permutaatiota.
Tämä nähdään käyttämällä ns. lokeromallia:
Koska joukossa S on 6 erilaista alkiota, muodostetaan lokerikko, jossa on 6 lokeroa.
Ideana on täyttää lokerikko joukon S alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m
muodostamien jonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa
kirjaimet a, e, i, k, l, m voidaan asettaa lokeroihin.
Alla olevan taulukon varjostetut solut kuvaavat ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on
merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä.
Lokeron nro
1
2
3
4
5
6
n
6
5
4
3
2
1
1. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
10/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
2. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla,
koska 1 kirjaimista on käytetty.
3. lokero: Lokero voidaan täyttää 4:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla,
koska 2 kirjaimista on käytetty.
4. lokero: Lokero voidaan täyttää 3:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla,
koska 3 kirjaimista on käytetty.
5. lokero: Lokero voidaan täyttää 2:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla,
koska 4 kirjaimista on käytetty.
6. lokero: Lokero voidaan täyttää 1:llä eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella,
koska 5 kirjaimista on käytetty.
Koska jokainen täyttöoperaatio voidaan tehdä riippumatta aikaisemmin suoritetuista
edellisistä täytöistä, niin kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko
voidaan täyttää
6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6!
erilaisella tavalla.
(b)
Joukon S = {a, e, i, k, l, m} alkioista voidaan muodostaa
P(6,3) =
6!
6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
= =
= 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
(6 − 3)! 3!
3 ⋅ 2 ⋅1
erilaista 3:n alkion osajonoa eli variaatiota.
Tulos voidaan perustella käyttämällä ns. lokeromallia:
Muodostetaan lokerikko, jossa on 3 lokeroa. Ideana on täyttää lokerikko joukon S
alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m muodostamien 3:n alkion osajonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa 3 kirjaimista a, e, i, k, l, m
voidaan asettaa lokeroihin.
Alla olevan taulukon varjostetut solut kuvaavat ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on
merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä.
Lokeron nro
1
2
3
n
6
5
4
1. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m
2. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla,
koska 1 kirjaimista on käytetty.
3. lokero: Lokero voidaan täyttää 4:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla,
koska 2 kirjaimista on käytetty.
Koska jokainen täyttöoperaatio voidaan tehdä riippumatta aikaisemmin suoritetuista
täyttöoperaatioista, niin kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko
voidaan täyttää
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
11/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
6⋅5⋅ 4 =
2. harjoitukset
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6!
6!
= =
= 120
3 ⋅ 2 ⋅1
3! (6 − 3)!
erilaisella tavalla.
Tulos seuraa myös (a)-kohdassa esitetystä tarkastelusta pysäyttämällä lokeroiden täyttö
sen jälkeen, kun 3. lokero on saatu täytetyksi.
(c)
Joukon S = {a, e, i, k, l, m} alkioista voidaan muodostaa
 6  6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
C(6,3) =   =
=
= 20
 3  3!3! 3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
erilaista 3:n alkion osajoukkoa eli kombinaatiota.
Tulos voidaan perustella seuraavalla tavalla:
Olkoon joukon S alkioiden 3:n alkion osajoukkojen lukumäärä x, jossa x on vielä
toistaiseksi tuntematon luku.
(b)-kohdan mukaan joukon S alkioiden 3:n alkion osajonojen lukumäärää on
P(6,3) =
6!
(6 − 3)!
Joukon S alkioiden 3:n alkion osajonot voidaan muodostaa kahdessa vaiheessa:
(i)
Valitaan joukon S alkioiden joukosta 3:n alkion osajoukko.
Tämä voidaan tehdä x erilaisella tavalla, jossa siis x on vielä toistaiseksi
tuntematon luku.
(ii)
Järjestetään kohdassa (i) valitut 3 alkiota jonoksi.
Tämä voidaan tehdä (a)-kohdassa esitetyn tarkastelun n mukaan 3! eri tavalla.
Koska operaatiot (i) ja (ii) voidaan suorittaa toisistaan riippumatta, niin joukon S
alkioiden 3:n alkion osajonot voidaan muodostaa kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan
x ⋅ 3!
eri tavalla.
Olemme määränneet joukon S alkioiden 3:n alkion osajonojen lukumäärän kahdella eri
tavalla ja saamme siten x:n ratkaisemiseksi yhtälön
P(6,3) =
6!
= x ⋅ 3!
(6 − 3)!
Siten
x=
TKK
 6
P(6,3)
6!
=
=   = C(6,3)
3!
3!(6 − 3)!  3 
@ Ilkka Mellin (2008)
12/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Tehtävä 2.3.
Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN, jossa X on jokin
vokaaleista a, e, i, o, u (5 kpl) ja N on jokin numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Laske erilaisten kilpien lukumäärä, kun tunnusten muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot:
(a)
Ei rajoituksia.
(b)
Samaa kirjainta ja numeroa ei saa käyttää useammin kuin kerran.
(c)
Kilvessä on oltava täsmälleen kaksi samaa vokaalia ja numeron on oltava pariton.
Tehtävä 2.3. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan perusongelmia sekä niiden ratkaisemista
kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla.
Tehtävä 2.3. – Ratkaisu:
Kaikki muodostettavat tunnukset ovat muotoa XXXXNN, jossa
X = a, e, i, o, u (5 kpl)
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 kpl).
Kohdat (a) – (c) eroavat toisistaan siten, että tunnusten muodostamista rajoittavat niissä
erilaiset ehdot.
Sovellamme tunnusten muodostamisessa ns. lokeromallia: Rekisterikilven tunnusta asetetaan
vastaamaan lokerikko, jossa on 6 lokeroa, joista 4 ensimmäistä on varattu vokaaleille ja 2
viimeistä numeroille.
(a)
Tunnusten muodostamiselle ei ole asetettu mitään rajoituksia.
Täytetään lokerot XXXX vaiheittain:
1. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5:llä eri tavalla.
2. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5:llä eri tavalla.
3. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5:llä eri tavalla.
4. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5:llä eri tavalla.
Koska operaatiot voidaan tehdä toisistaan riippumatta, kombinatoriikan
kertolaskuperiaatteen nojalla lokerot XXXX voidaan täyttää
5×5×5×5 = 625
eri tavalla vokaaleilla a, e, i, o, u, kun vokaalien käytölle ei ole asetettu rajoituksia.
Vastaavasti lokerot NN voidaan täyttää
10×10 = 100
eri tavalla numeroilla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, kun numeroiden käytölle ei ole asetettu
rajoituksia.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
13/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Lokerot XXXX ja lokerot NN voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten
kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on
625×100 = 62500 kpl
kun tunnusten muodostamiselle ei ole asetettu mitään rajoituksia.
(b)
Samaa vokaalia tai numeroa ei saa käyttää tunnuksessa kuin kerran.
Täytetään lokerot XXXX vaiheittain:
1. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 5:llä eri tavalla.
2. lokero voidaan täyttää jäljelle jääneillä vokaaleilla 4:llä eri tavalla,
koska 1 vokaaleista on jo käytetty.
3. lokero voidaan täyttää jäljelle jääneillä vokaaleilla 3:lla eri tavalla,
koska 2 vokaaleista on jo käytetty.
4. lokero voidaan täyttää jäljelle jääneillä vokaaleilla 2:lla eri tavalla,
koska 3 vokaaleista on jo käytetty.
Kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen nojalla lokerot XXXX voidaan täyttää
vokaaleilla
5×4×3×2 = 120
eri tavalla vokaaleilla a, e, i, o, u, kun samaa vokaalia ei saa käyttää kuin kerran.
Vastaavasti lokerot NN voidaan täyttää numeroilla
10×9 = 90
eri tavalla numeroilla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, kun samaa numeroa ei saa käyttää kuin
kerran.
Lokerot XXXX ja lokerot NN voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten
kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on
120×90 = 10800 kpl
kun samaa vokaalia tai numeroa ei saa käyttää tunnuksessa kuin kerran.
(c)
Tunnuksessa on oltava täsmälleen kaksi samaa vokaalia ja numeron on oltava pariton.
Lokeroihin XXXX voidaan asettaa mitkä tahansa kaksi samaa vokaalia
 4
4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
=
=6
 =
 2  2!2! 2 ⋅1⋅ 2 ⋅1
eri tavalla. Tämä vokaali voidaan valita vokaalien a, e, i, o, u joukosta 5:llä eri tavalla.
Koska aikaisemmin käytettyä vokaalia ei saa käyttää uudelleen, voidaan loput vokaalit
valita jäljelle jääneisiin lokeroihin
4×3
eri tavalla.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
14/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Siten lokerot XXXX voidaan täyttää vokaaleilla niin, että lokeroissa on täsmälleen
kaksi
samaa vokaalia,
4
 2  ×5×4×3 = 6×5×4×3 = 360 eri tavalla.
 
Koska parittomia numeroita on numeroiden 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 joukossa 5 kpl,
lokerot NN voidaan täyttää
5×5 = 25
eri tavalla parittomilla numeroilla.
Lokerot XXXX ja lokerot NN voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten
kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä saadaan
360×25 = 9000 kpl
kun tunnuksessa on oltava täsmälleen kaksi samaa vokaalia ja numeron on oltava
pariton.
Tehtävä 2.4.
Tietokoneen salasanat ovat muotoa NNNNN, jossa N on jokin numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9. Laske mahdollisten salasanojen lukumäärät, kun salasanojen muodostamista rajoittavat
seuraavat ehdot:
(a)
Kaikkien numeroiden on oltava erilaisia.
(b)
Salasanassa on oltava ”pari” eli täsmälleen kaksi samaa numeroa (esim. 23783).
(c)
Salasanassa on oltava ”kolmoset” eli täsmälleen kolme samaa numeroa (esim. 11413).
(d)
Salasanassa on oltava ”täyskäsi” eli ”kolmoset” ja ”pari” (esim. 73737).
Tehtävä 2.4. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan perusongelmia sekä niiden ratkaisemista
kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla.
Tehtävä 2.4. – Ratkaisu:
Sovelletaan tehtävän ratkaisussa lokeromallia. Käytössä on 5 lokeroa.
(a)
Kaikkien numeroiden on oltava erilaisia.
Täytetään lokerot vaiheittain: i. lokero voidaan täyttää
10 – i + 1 , i = 1, 2, 3, 4, 5
eri tavalla numeroilla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, koska i. lokeroa täytettäessä
käyttämättömiä numeroita on jäljellä enää (10 – i + 1) kpl.
Operaatiot voidaan tehdä toisistaan riippumatta, joten kertolaskuperiaatteen nojalla
salasanojen kokonaislukumäärä on
10×9×8×7×6 = 30240
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
15/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
kun kaikkien numeroiden on oltava erilaisia.
(b)
Salasanassa on oltava ”pari” eli täsmälleen kaksi samaa numeroa.
5 lokeroa voidaan täyttää kahden saman numeron muodostamalla parilla
binomikertoimen
 5
2
 
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Tämä numero voidaan valita 10:llä eri tavalla.
Koska kolmeen jäljellä olevaan lokeroon on jokaiseen valittava eri numero, voidaan
muut numerot valita salasanaan
9×8×7
eri tavalla.
Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen kokonaislukumäärä on
 5
 2  ×10×9×8×7 = 50400
 
kun salasanassa on oltava ”pari” eli täsmälleen kaksi samaa numeroa.
(c)
Salasanassa on oltava ”kolmoset” eli täsmälleen kolme samaa numeroa.
5 lokeroa voidaan täyttää kolmen saman numeron muodostamilla kolmosilla
binomikertoimen
 5
 3
 
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Tämä numero voidaan valita 10:llä eri tavalla.
Koska kahteen jäljellä olevaan lokeroon on molempiin valittava eri numero, voidaan
muut numerot valita salasanaan
9×8
eri tavalla.
Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen kokonaislukumäärä on
 5
 3  ×10×9×8 = 7200
 
kun salasanassa on oltava ”kolmoset” eli täsmälleen kolme samaa numeroa.
(d)
Salasanassa on oltava ”täyskäsi” eli ”kolmoset” ja ”pari” .
5 lokeroa voidaan täyttää kahden saman numeron muodostamalla parilla
binomikertoimen
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
16/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
 5
2
 
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja. Sen jälkeen paikat kolmosille on määrätty.
Numero voidaan valita pariin 10:llä eri tavalla ja sen jälkeen numero voidaan valita
kolmosiin voidaan 9:llä eri tavalla, koska 1 numeroista on jo käytetty pariin.
Kertolaskuperiaatteen nojalla salasanojen lukumäärä on
 5
 2  ×10×9 = 900
 
kun salasanassa on oltava ”täyskäsi” eli ”kolmoset” ja ”pari” .
Tehtävä 2.5.
Kuinka monella eri tavalla voidaan m ykköstä ja n nollaa järjestää jonoon?
Sovellus: Suorakulmaiseen koordinaatistoon on piirretty suorakulmainen katuverkko, joka
kulkee kokonaislukupisteiden kautta. Kuinka monta erilaista lyhintä reittiä on pisteestä (0,0)
pisteeseen (6,5)?
Tehtävä 2.5. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan perusongelmia sekä niiden ratkaisemista
kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla.
Tehtävä 2.5. – Ratkaisu:
Sovelletaan tehtävän ratkaisussa lokeromallia.
Käytössä on (m + n) lokeroa, jotka on täytettävä m ykkösellä. Sen jälkeen nollien paikat on
määrätty. Erilaisten tapojen lukumäärän täyttää (m + n) lokeroa m ykkösellä antaa binomikerroin
m + n


 m 
Sama tulos saadaan täyttämällä (m + n) lokeroa ensin n nollalla. Tämä seuraa siitä, että
 m + n  (m + n)!  m + n 
=

=

m !n !
 m 
 n 
Huomaa, että tämä binomikertoimien ominaisuus tulee esiin Pascalin kolmion
symmetrisyytenä.
Sovellus:
Pisteestä (0,0) voidaan siirtyä pisteeseen (6,5) useaa erilaista lyhintä reittiä pitkin. Kaikilla
lyhimmillä reiteillä on se ominaisuus, että niissä on 6 siirtymistä (askelta) x-akselin suuntaan
ja 5 siirtymistä (askelta) y-akselin suuntaan. Siten lyhimmän reitin pituus on 6 + 5 = 11
askelta.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
17/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Jokaista lyhintä reittiä voidaan asettaa vastaamaan numeroiden 0 ja 1 muodostama
yhdentoista numeron jono, jossa on 6 kpl numeroa 0 ja 5 kpl numeroa 1, kun 0 vastaa
siirtymistä x-akselin suuntaan ja 1 vastaa siirtymistä y-akselin suuntaan.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
18/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
(6,5)
Kuviossa:
vastaa numeroa 0
vastaa numeroa 1
Siten kuvioon nuolilla merkitty
siirtyminen pisteestä (0,0) pisteeseen
(6,5) vastaa jonoa
01010011100
(0,0)
Edellä esitetyn nojalla kysymys lyhimpien reittien lukumäärästä voidaan pukea seuraavaan
muotoon: Kuinka monella tavalla 6 kpl nollia ja 5 kpl ykkösiä voidaan asettaa yhdentoista
numeron jonoon?
Tehtävän alkuosan perusteella vastauksen antaa binomikerroin
 11 
 6  = 462
 
Yleistys:
Tarkastellaan tasossa kokonaislukupisteiden muodostamaa hilaa, jossa voidaan liikkua vain
hilapisteiden koordinaattiakseleiden suuntaisia välijanoja pitkin.
Tämä merkitsee sitä, että kahden hilapisteen välinen etäisyys on mitattava ns. Manhattanmetriikalla. Pisteestä (0,0) on siis pisteeseen (m, n)
m + n m + n

=

 m   n 
erilaista lyhintä reittiä, joista jokaisen pituus on m + n.
Tehtävä 2.6.
Pokeripeli. Laske todennäköisyydet seuraaville 5:n kortin käsille:
(a)
Kuningasvärisuora: ässä, kuningas, rouva, sotilas, 10 samaa maata.
(b)
Värisuora: 5 peräkkäistä korttia samaa maata.
(c)
Väri: 5 korttia samaa maata.
Oletamme, että korttipakassa on 52 korttia, jotka jakautuvat 4:ään maahan: hertta, pata, ruutu,
risti. Jokaisessa maassa on 13 korttia: ässä (A), kuningas (K), rouva (Q), sotilas (J), 10, 9, 8,
7, 6, 5, 4, 3, 2.
Tehtävä 2.6. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan soveltamista tapahtumien klassisen
todennäköisyyden määräämiseen.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
19/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Tehtävä 2.6. – Ratkaisu:
5 korttia voidaan valita 52 kortin joukosta binomikertoimen
 52 
5
 
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja.
(a)
Kuningasvärisuoria on 4 kpl.
Todennäköisyys saada kuningasvärisuora on siten
 52 
4/   = 1/649740
5
(b)
Värisuoria on 4×10 kpl, sillä ässä voidaan liittää kahteen eri värisuoraan, mikä nähdään
tutkimalla seuraavaa kaaviota:
A
K
Q
J
10
9
8
7
6
5
4
3
2
A
5:n kortin käsi
Todennäköisyys saada värisuora on siten
 52 
4×10/   = 1/64974
5
(c)
 13 
Värejä on 4×   kpl.
5
Todennäköisyys saada väri on siten
 13   52 
4×   /   = 33/16660
5  5
Tehtävä 2.7.
Paikkakuntien X ja Y välillä on kolmet liikennevalot K, L, M. Valojen jaksona on 1 minuutti,
jona aikana liikennevalo K näyttää punaista 15 sekuntia, L näyttää punaista 20 sekuntia ja M
näyttää punaista 30 sekuntia. Laske todennäköisyys, että matkalla on pysähdyttävä täsmälleen
yhden kerran.
Tehtävä 2.7. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan toisensa poissulkevuuden ja riippumattomuuden käsitteitä
todennäköisyyslaskennassa.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
20/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Tehtävä 2.7. – Ratkaisu:
Olkoon
Ai = ”Liikennevalo i näyttää punaista”, i = 1, 2, 3
Tehtävän asettelun mukaan
Pr(A1) = 1/4
Pr(A2) = 1/3
Pr(A3) = 1/2
Oletetaan, että tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia.
Tällöin kysytyksi todennäköisyydeksi saadaan toisensa poissulkevien tapahtumien
yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan:
Pr ( ( A1 ∩ A2c ∩ A3c ) ∪ ( A1c ∩ A2 ∩ A3c ) ∪ ( A1c ∩ A2c ∩ A3 ) )
= Pr( A1 ∩ A2c ∩ A3c ) + Pr( A1c ∩ A2 ∩ A3c ) + Pr( A1c ∩ A2c ∩ A3 )
= Pr( A1 ) Pr( A2c ) Pr( A3c ) + Pr( A1c ) Pr( A2 ) Pr( A3c ) + Pr( A1c ) Pr( A2c ) Pr( A3 )
1 2 1 3 1 1 3 2 1
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
4 3 2 4 3 2 4 3 2
11
=
= 0.4583
24
Tehtävä 2.8
Tarkastellaan kahta uurnaa, joissa kummassakin on 3 mustaa ja 5 valkoista kuulaa.
(a)
Poimitaan kummastakin uurnasta yksi kuula. Mikä on todennäköisyys, että molemmat
kuulat ovat mustia?
(b)
Poimitaan toisesta uurnasta kaksi kuulaa. Mikä on todennäköisyys, että molemmat
kuulat ovat mustia?
Tehtävä 2.8. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan riippumattomuuden ja ehdollisen todennäköisyyden
käsitteitä todennäköisyyslaskennassa.
Tehtävä 2.8. – Ratkaisu:
(a)
Olkoon
A = ”1. kuula on musta”
B = ”2. kuula on musta”
Tällöin
Pr(A) = 3/8
Pr(B ) = 3/8
Koska tapahtumat A ja B voidaan olettaa riippumattomiksi, niin riippumattomien
tapahtumien tulosäännön mukaan
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
21/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
3 3 9
Pr( A ∩ B) = Pr( A) Pr( B) = ⋅ =
8 8 64
(b)
Olkoon
A = ”1. kuula on musta”
B = ”2. kuula on musta”,
Tällöin
Pr(A) = 3/8
Pr(B|A) = 2/7
Nyt tapahtumat A ja B eivät ole riippumattomia, joten yleisen tulosäännön mukaan
3 2 3
Pr( A ∩ B ) = Pr( A) Pr( B | A) = ⋅ =
8 7 28
Huomaa, että tässä
3 3 9
Pr( A) Pr( B) = ⋅ =
≠ Pr( A ∩ B)
8 8 64
Tehtävä 2.9
Erässä CD-soittimia on 20 soitinta, joista 3 on viallista.
(a)
Kuinka monella eri tavalla soitinten joukosta voidaan poimia 4 soitinta niin, että
mukaan tulee täsmälleen 1 viallinen soitin, jos poiminta tehdään palauttamatta?
(b)
Mikä on todennäköisyys, että poimittaessa soitinten joukosta umpimähkään 4
soitinta mukaan tulee täsmälleen 1 viallinen, jos poiminta tehdään palauttamatta?
Tehtävä 2.9. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kombinatoriikan soveltamista tapahtumien klassisen
todennäköisyyden määräämiseen otannassa palauttaen ja otannassa palauttamatta.
Ks. myös tehtäviä 2.1. ja 1.8.
Tehtävä 2.9. – Ratkaisu:
(a)
Tehtävänä on valita 3 soitinta 17:n ehjän soittimen joukosta ja 1 soitin 3:n viallisen
soittimen joukosta ja laskea niiden tapojen lukumäärä, jolla tämä voidaan tehdä.
3 soitinta voidaan valita 17:n ehjän joukosta binomikertoimen
17 
 
3
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja.
1 soitin voidaan valita 3:n viallisen joukosta binomikertoimen
 3
 
1
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
22/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja.
Nämä valinnat voidaan tehdä toisistaan riippumatta, joten kombinatoriikan
kertolaskuperiaatteen mukaan valintojen kokonaislukumääräksi saadaan
17  3  17! 3! 17 ⋅ 16 ⋅ 15 3 ⋅ 2
⋅
=
⋅
= 2040
   =
3⋅ 2
2
 3  1  3!14! 1!2!
(b)
Käytetään klassisen todennäköisyyden määritelmää:
Tapahtuman A klassinen todennäköisyys on
Pr(A) = k / n
jossa
k = tapahtumalle A suotuisien tulosvaihtoehtojen lukumäärä
n = kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen lukumäärä
ja kaikki tulosvaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä.
Kaikkien tapausten lukumäärä:
4 soitinta voidaan poimia 20 soittimen joukosta binomikertoimen
 20  20! 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17
=
= 4845
 =
4 ⋅3⋅ 2
 4  4!16!
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja.
Suotuisien tapausten lukumäärä:
(a)-kohdan mukaan 3 soitinta voidaan valita 17:n ehjän soittimen joukosta ja 1 soitin
3:n
viallisen soittimen joukosta tulon
17  3 
   = 2040
 3  1 
ilmaisemalla lukumäärällä eri tapoja.
Siten todennäköisyys valita 4 soitinta satunnaisesti 20:n soittimen joukosta ja saada 3
soitinta 17:n ehjän soittimen joukosta ja 1 soitin 3:n viallisen soittimen joukosta on
17  3 
  
 3  1  = 8 ≈ 0.421
19
 20 
 
4
Tehtävä 2.10.
Eräässä tehtaassa on 3 valmistuslinjaa, joilla tehdään samanlaisia CD-soittimia. Linja A
valmistaa soittimista 30 %, linja B 25 % ja linja C 45 %. A:n valmistamista soittimista keski-
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
23/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
määrin 2 %, B:n valmistamista soittimista 3 % ja C:n valmistamista soittimista 4 % on
osoittautunut viallisiksi.
Valitaan satunnaisesti yksi soitin tarkistusta varten.
(a)
Mikä on todennäköisyys, että soitin on viallinen?
(b)
Mikä on todennäköisyys, että soitin on tehty linjalla A, jos se on viallinen?
Tehtävä 2.10. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen soveltamista.
Tehtävä 2.10. – Ratkaisu:
Määritellään seuraavat tapahtumat:
A = {Soittimen on valmistanut linja A}
B = {Soittimen on valmistanut linja B}
C = {Soittimen on valmistanut linja C}
Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisyydet tunnetaan:
Pr(A) = 0.30
Pr(B) = 0.25
Pr(C) = 0.45
Määritellään tapahtuma
V = {Soitin on viallinen}
Tehtävän asettelun mukaan myös seuraavat ehdolliset todennäköisyydet tunnetaan:
Pr(V|A) = 0.02
Pr(V|B) = 0.03
Pr(V|C) = 0.04
(a)
Tehtävänä on määrätä Pr(V).
Kokonaistodennäköisyyden kaavan mukaan:
Pr(V) = Pr(A)Pr(V|A) + Pr(B)Pr(V|B) + Pr(C)Pr(V|C)
= 0.30×0.02 + 0.25×0.03 + 0.45×0.04 = 0.0315
(b)
Tehtävänä on määrätä Pr(A|V).
Bayesin kaavan mukaan:
Pr( A V ) =
=
TKK
Pr( A) Pr(V A)
Pr( A ∩ V )
=
Pr(V )
Pr( A) Pr(V A) + Pr( B) Pr(V B) + Pr(C ) Pr(V C )
0.30 × 0.02
≈ 0.190
0.0315
@ Ilkka Mellin (2008)
24/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Tehtävä 2.11.
Valheenpaljastuskoneen luotettavuudesta on käytettävissä seuraavat tiedot:
Henkilö, joka valehtelee tulee oikein luokitelluksi valehtelijaksi todennäköisyydellä 0.9.
Toisaalta henkilö, joka ei valehtele tulee virheellisesti luokitelluksi valehtelijaksi
todennäköisyydellä 0.05.
Oletetaan, että valheenpaljastuskonetta käytetään ihmisjoukkoon, jossa 1 % valehtelee.
Mikä on todennäköisyys, että valehtelijaksi luokiteltu henkilö onkin rehellinen?
Tehtävä 2.11. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan Bayesin kaavan soveltamista.
Ks. myös tehtävää 2.10.
Tehtävä 2.11. – Ratkaisu:
Määritellään seuraavat tapahtumat:
D = “Valheenpaljastuskone luokittelee henkilön valehtelijaksi”
V = “Henkilö valehtelee”
R = “Henkilö ei valehtele”
Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisyydet tunnetaan:
Pr(D|V) = 0.9
Pr(D|R) = 0.05
Pr(V) = 0.01
Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan
Pr(R) = 1 – Pr(V) = 0.99
Tehtävässä kysytään todennäköisyyttä
Pr(R|D)
Bayesin kaavan mukaan:
Pr( R D) =
=
Pr( R ) Pr( D R)
Pr( R ) Pr( D R) + Pr(V ) Pr( D V )
0.99 × 0.05
≈ 0.846
0.99 × 0.05 + 0.01 × 0.9
Huomaa, että todennäköisyys sille, että valheenpaljastuskoneen valehtelijaksi luokittelema
henkilö on todellisuudessa rehellinen, on erittäin korkea!
Tehtävä 2.12.
Valehtelijoiden maassa asuu kaksi yhtä suurta heimoa lierot ja kierot. Lierot vastaavat
kaikkiin kysymyksiin oikein todennäköisyydellä 2/3, kun taas kierot vastaavat kaikkiin
kysymyksiin oikein todennäköisyydellä 3/4.
Tapaat maan asukkaan, jolta kysyt onko hän kiero vai liero ja hän vastaa olevansa kiero.
Mikä on todennäköisyys, että hän todellakin on kiero?
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
25/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
2. harjoitukset
Tehtävä 2.12. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan Bayesin kaavan soveltamista.
Ks. myös tehtävää 2.11.
Tehtävä 2.12. – Ratkaisu:
Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisyydet tunnetaan:
Pr(Liero) = Pr(Kiero) = 1/2
Pr(Vastaa liero|Liero) = 2/3
Pr(Vastaa kiero|Kiero) = 3/4
Tehtävässä kysytään todennäköisyyttä
Pr(Kiero|Vastaa kiero)
Bayesin kaavan mukaan
Pr(Kiero Vastaa kiero)
=
Pr(Vastaa kiero Kiero) Pr(Kiero)
Pr(Vastaa kiero Kiero) Pr(Kiero) + Pr(Vastaa kiero Liero) Pr(Liero)
3 1
⋅
9
4 2
=
= ≠ Pr(Kiero)
3 1 1 1 13
⋅ + .
4 2 3 2
Siten valehtelijoiden maan asukkaan antama vastaus kysymykseesi sisältää informaatiota, jota
voidaan käyttää hyväksi, kun arvioidaan todennäköisyyttä, että hän on puhunut totta.
Tehtävä 2.13.
Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja 0 ja 1. Siirrettävistä binääriluvuista on nollia
70 % ja ykkösiä 30 %. Järjestelmässä esiintyy kuitenkin satunnaisia häiriöitä, jotka muuttavat
siirron aikana osan nollista ykkösiksi ja osan ykkösistä nolliksi. Nolla tulee perille oikeassa
muodossa todennäköisyydellä 0.8 ja ykkönen todennäköisyydellä 0.9.
Laske todennäköisyydet seuraaville tapahtumille:
(a)
”On lähetetty 1, kun on vastaanotettu 1”
(b)
”On lähetetty 0, kun on vastaanotettu 0”
Tehtävä 2.13. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan Bayesin kaavan soveltamista.
Ks. myös tehtäviä 2.11. ja 2.12.
Tehtävä 2.13. – Ratkaisu:
Merkitään tehtävän tapahtumavaihtoehtoja seuraavalla tavalla:
A
= ”On lähetetty 0”
Ac = ”On lähetetty 1”
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
26/27
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
B
c
B
2. harjoitukset
= ”On vastaanotettu 0”
= ”On vastaanotettu 1”
Tehtävän asettelun mukaan seuraavat todennäköisyydet tunnetaan:
Pr(A) = 0.7
Pr(Ac) = 1 – Pr(A) = 0.3
Pr(B|A) = 0.8
Pr(Bc|Ac) = 0.9
(a)
Kysytty todennäköisyys on Pr(Ac|Bc).
Bayesin kaavan mukaan:
c
Pr( B c A ) Pr( Ac )
c
Pr( A B ) =
c
Pr( B c Ac ) Pr( Ac ) + Pr( B c A) Pr( A)
0.9 × 0.3
0.9 × 0.3 + 0.2 × 0.7
27
=
= 0.66
41
=
(b)
Kysytty todennäköisyys on Pr(A|B).
Bayesin kaavan mukaan:
Pr( A B ) =
Pr( B A) Pr( A)
c
Pr( B A) Pr( A) + Pr( B A ) Pr( Ac )
0.8 × 0.7
0.8 × 0.7 + 0.1 × 0.3
56
=
= 0.95
59
=
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
27/27