1. No category

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset / Ratkaisut
Aiheet:
Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Kertymäfunktio
Jakaumien tunnusluvut
Avainsanat:
Desiili, Diskreetti jakauma, Diskreetti satunnaismuuttuja, Huipukkuus, Insidenssikuvaus,
Jatkuva jakauma, Jatkuva satunnaismuuttuja, Kertymäfunktio, Keskusmomentti, Kvantiili,
Kvartiili, Mediaani, Momentti, Moodi, Odotusarvo, Origomomentti, Painopiste, Piste, Pistetodennäköisyys, Pistetodennäköisyysfunktio, Prosenttipiste, Puu, Puutodennäköisyys, Reitti,
Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Satunnaismuuttuja, Standardipoikkeama, Särmä, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Todennäköisyysmassa, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Verkko, Vinous, Yhteenlaskusääntö
Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Verkko
Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
joukosta A ja insidenssikuvauksesta
∆ : A → V ×V
jossa
V ≠ ∅ , A ≠ ∅ , A ∩V = ∅
Insidenssikuvaus ∆ kertoo mitkä verkon pisteistä ovat särmien
yhdistämiä.
Verkkoja tarkastellaan tässä suunnattuina verkkoina, millä
tarkoitetaan sitä, että verkon jokaisella särmällä on suunta,
joka osoittaa särmän alkupisteestä särmän loppupisteeseen.
Kuviossa oikealla
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v9 , v10 , v11}
A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 }
ja esimerkiksi
∆(a5 ) = (v6 , v3 )
Reitti
Särmät
{a1 , a2 ,… , ak −1}
muodostavat reitin pisteestä v1 pisteeseen vk , jos on olemassa pisteet
v1 , v2 , … , vk
siten, että
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
1/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
∆(ai ) = (vi , vi +1 ) , i = 1, 2,… , k − 1
Jos pisteestä v1 pisteeseen vk on reitti, sanotaan, että reitti vie pisteestä v1 pisteeseen vk tai, että
pisteestä v1 pääsee pisteeseen vk .
Kuviossa yllä särmät a1, a3, a7, a8 muodostavat reitin pisteestä v1 pisteeseen v6.
Puu
Verkko on puu, jonka juurena on piste v1, jos seuraavat ehdot
pätevät:
(i)
Verkko on yhtenäinen.
(ii)
Verkossa ei ole silmukoita.
(iii) Jos w ≠ v1 on mielivaltainen verkon piste, pisteestä v1
pisteeseen w pääsee täsmälleen yhtä reittiä pitkin.
Yllä olevan kuvion verkko ei ole puu, koska siinä on silmukoita
ja se ei ole yhtenäinen.
Sen sijaan oikealla olevan kuvion verkko on puu.
Puudiagrammin konstruointi satunnaisilmiölle
Satunnaisilmiötä voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö
osataan esittää seuraavassa muodossa:
(i)
Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useampia lopputiloja.
(ii)
Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista tapahtumajonoista.
(iii) Tapahtumajonoissa edetään vaiheittain tapahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja
päätyen johonkin ilmiön lopputiloista.
(iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi
realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin.
Satunnaisilmiötä vastaava puudiagrammi konstruoidaan seuraavalla tavalla:
(i)
Asetetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa.
(ii)
Asetetaan puun loppupisteet (”oksien kärjet”) vastaamaan ilmiön lopputiloja.
(iii) Asetetaan puun pisteet (”oksien haarautumiskohdat”) vastaamaan ilmiön tapahtumia.
(iv) Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä (”oksa”) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita
vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia.
(v)
Liitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten
tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet.
Puutodennäköisyydet
Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai
useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan.
Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin
todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys
saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
2/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Puutodennäköisyyksien tulosääntö
Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo.
Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö
Jos useita (loppu-) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman
todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa.
Toimintaverkot
Toimintaverkko on systeemi, joka koostuu komponenteista, jotka on kytketty rinnan tai sarjaan.
Alla olevat kytkentäkaaviot kuvaavat kahden komponentin K1 ja K2 muodostamia sarjaan- ja
rinnankytkentöjä.
Sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyys
Oletetaan, että komponentit K1 ja K2 on kytketty sarjaan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K1
toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K2 toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien
K1 ja K2 muodostama sarjaan kytkentä toimii, jos komponentti K1 toimii ja komponentti K2 toimii.
Määritellään tapahtumat
A1 = ”Komponentti K1 toimii”
A2 = ”Komponentti K2 toimii”
Olkoot tapahtumien A1 ja A2 todennäköisyydet
p1 = Pr(A1)
p2 = Pr(A2)
Koska tapahtumat A1 ja A2 ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K1 ja K2
muodostama sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi riippumattomien tapahtumien
tulosäännön mukaan
Pr(Komponentti K1 toimii ja komponentti K2 toimii)
= Pr(A1∩A2)
= Pr(A1)Pr(A2)
= p1p2
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
3/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
= Pr(Komponentti K1 toimii)Pr(Komponentti K2 toimii)
Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys
Oletetaan, että komponentit K1 ja K2 on kytketty rinnan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K1
toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K2 toiminnasta (ja kääntäen).
Komponenttien K1 ja K2 muodostama rinnan kytkentä toimii, jos komponentti K1 toimii tai
komponentti K2 toimii (tai molemmat toimivat).
Määritellään tapahtumat
A1 = ”Komponentti K1 toimii”
A2 = ”Komponentti K2 toimii”
Olkoot tapahtumien A1 ja A2 todennäköisyydet
p1 = Pr(A1)
p2 = Pr(A2)
Koska tapahtumat A1 ja A2 ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K1 ja K2
muodostama rinnan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi yleisen yhteenlaskusäännön ja
riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan
Pr(Komponentti K1 toimii tai komponentti K2 toimii)
= Pr(A1∪A2)
= Pr(A1) + Pr(A2) – Pr(A1∩A2)
= Pr(A1) + Pr(A2) – Pr(A1)Pr(A2)
= p1 + p2 – p1p2
= Pr(Komponentti K1 toimii) + Pr(Komponentti K2 toimii)
– Pr(Komponentti K1 toimii)Pr(Komponentti K2 toimii)
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satunnaismuuttuja
Olkoon ( S , F, Pr) todennäköisyyskenttä, jossa
S = otosavaruus (perusjoukko)
F = otosvaruuden S osajoukkojen joukossa määritelty σ-algebra
Pr = σ-algebran F alkioille määritelty todennäköisyysmitta
Jos ξ on otosavaruuden S reaaliarvoinen (mitallinen) funktio eli
ξ :S →
niin ξ on satunnaismuuttuja. Jos siis
s∈S
niin
ξ ( s) ∈
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
4/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Todennäköisyysjakauma
Satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysjakaumalla tarkoitetaan kuvauksen
ξ :S →
reaalilukujen joukkoon indusoimaa todennäköisyysmittaa.
Diskreetti satunnaismuuttuja
Olkoon
ξ :S →
satunnaismuuttuja. Jos otosavaruus S on äärellinen tai numeroituvasti ääretön, jolloin myös
funktion ξ arvoalue on äärellinen tai numeroituvasti äärellinen, sanotaan satunnaismuuttujaa ξ
diskreetiksi.
Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio
Olkoon
ξ :S →
diskreetti satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan ξ arvojen joukko
T = {x1, x2, x3, … , xn}
jos arvojen joukko on äärellinen tai
T = {x1, x2, x3, … , xn, … }
jos arvojen joukko. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee diskreetin satunnaismuuttujan ξ
pistetodennäköisyysfunktion, jos
(1)
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) kaikille xi ∈ T
(2)
f ( xi ) ≥ 0 kaikille xi ∈ T
(3)
∑
i xi ∈T
f ( xi ) = 1
Todennäköisyys
Pr(ξ = xi ) = f ( xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
on satunnaismuuttujan ξ arvoa xi vastaava pistetodennäköisyys.
Diskreetti todennäköisyysjakauma
Jos f on diskreetin satunnaismuuttujan
ξ :S →
pistetodennäköisyysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa diskreettiä
todennäköisyysjakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
5/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Pistotodennäköisyysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet
Olkoon
ξ :S →
diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin
[a, b] todennäköisyys on
Pr(a ≤ ξ ≤ b) =
∑
i xi ∈[ a ,b ]
f ( xi ) =
∑
i xi ∈[ a ,b ]
Pr(ξ = xi )
Jatkuva satunnaismuuttuja
Olkoon
ξ :S →
satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja ξ on jatkuva, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:
(i)
Satunnaismuuttuja ξ saa kaikki reaalilukuarvot joltakin reaaliakselin väliltä.
(ii)
Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ξ saa minkä tahansa yksittäisen arvon = 0.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio
Olkoon
ξ :S →
jatkuva satunnaismuuttuja. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee satunnaismuuttujanξ tiheysfunktion, jos
(1)
f ( x) on x:n jatkuva funktio
(2)
f ( x) ≥ 0 kaikille x
+∞
(3)
∫
f ( x)dx = 1
−∞
b
(4)
Pr(a ≤ ξ ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a
Jatkuva todennäköisyysjakauma
Jos f on jatkuvan satunnaismuuttujan
ξ :S →
tiheysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa jatkuvaa todennäköisyysjakaumaa,
jonka tiheysfunktio on f.
Tiheysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet
Olkoon
ξ :S →
jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b]
todennäköisyys on
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
6/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
b
Pr(a ≤ ξ ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a
Huomaa, että
Pr(ξ = x) = 0
kaikille x ∈
.
Kertymäfunktio
Kertymäfunktio
Olkoon
ξ :S →
satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on reaaliarvoinen funktio
F ( x) = Pr(ξ ≤ x)
Funktio
F:
→ [0,1]
on kertymäfunktio, jos ja vain jos
(1)
lim x →−∞ F ( x) = 0
(2)
lim x →+∞ F ( x) = 1
(3)
F on ei - vähenevä:
F ( x1 ) ≤ F ( x2 ), jos x1 ≤ x2
(4)
F on jatkuva oikealta:
lim h → 0+ F ( x + h) = F ( x)
Jos funktio
F:
→ [0,1]
on kertymäfunktio, niin
(5)
(6)
Pr(ξ > x) = 1 − F ( x)
Pr( a < ξ ≤ b) = F (b) − F ( a)
Diskreetin jakauman kertymäfunktio
Olkoon
ξ :S →
diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ
kertymäfunktio on
F ( x) = Pr(ξ ≤ x) =
∑
i xi ≤ x
f ( xi ) =
∑
i xi ≤ x
Pr(ξ = xi )
ja kääntäen
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
7/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) = F ( xi ) − F ( xi −1 )
Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jolla on hyppäys jokaisessa pisteessä xi,
jossa
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) > 0
Hyppäyskohtien välillä diskreetin jakauman kertymäfunktio saa vakioarvon.
Diskreetit jakaumat ja reaaliakselin välien todennäköisyydet
Olkoon
ξ :S →
diskreetti satunnaismuuttuja, f vastaava pistetodennäköisyysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio.
Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on
Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a) =
∑
i xi ∈( a ,b ]
f ( xi ) =
∑
i xi ∈( a ,b ]
Pr(ξ = xi )
Jatkuvan jakauman kertymäfunktio
Olkoon
ξ :S →
jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on
F ( x) = Pr(ξ ≤ x) =
x
∫
f (t )dt
−∞
ja kääntäen
f ( x) = F ′( x) =
d
F ( x)
dx
Reaaliakselin välien todennäköisyydet
Olkoon
ξ :S →
jatkuva satunnaismuuttuja, f vastaava tiheysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin
reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on
b
Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a) = ∫ f ( x)dx
a
Huomaa, että jatkuvalle satunnaismuuttujalle pätee:
Pr(a < ξ ≤ b) = Pr(a ≤ ξ < b) = Pr(a < ξ < b) = Pr(a ≤ ξ ≤ b)
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
8/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Jakaumien tunnusluvut
Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo
Olkoon
f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä
vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio
E( X ) = µ X = ∑ xi f ( xi ) = ∑ xi Pr( X = xi ) = ∑ xi pi
i
i
i
Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo
Olkoon
f ( x)
jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan
todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio
+∞
E( X ) = µ X =
∫ xf ( x)dx
−∞
Odotusarvon ominaisuuksia
Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan painopiste.
Olkoon a vakio. Tällöin
E(a) = a
Olkoot Xi , i = 1, 2, … , n satunnaismuuttujia ja ai , i = 1, 2, … , n vakioita. Tällöin
 n
 n
E  ∑ ai X i  = ∑ ai E( X i )
 i =1
 i =1
Diskreetin satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Olkoon
f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Olkoon g reaaliarvoinen funktio.
Tällöin satunnaismuuttujan g(X) odotusarvo on ei-satunnainen vakio
E( g ( X )) = µ g ( X ) = ∑ g ( xi ) f ( xi ) = ∑ g ( xi ) Pr( X = xi ) = ∑ g ( xi ) pi
i
i
i
Jatkuvan satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Olkoon
f ( x)
jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Olkoon g reaaliarvoinen funktio. Tällöin
satunnaismuuttujan g(X) odotusarvo on ei-satunnainen vakio
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
9/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
+∞
E( g ( X )) = µ g ( X ) =
∫ g ( x) f ( x)dx
−∞
Varianssi
Olkoon satunnaismuuttujan X odotusarvo
E( X ) = µ X
Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on ei-satunnainen vakio
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = E[( X − µ X ) 2 ]
Varianssi voidaan laskea myös kaavalla
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = E( X 2 ) − µ X2
jossa
E( X 2 ) = satunnaismuuttujan X 2.momentti
Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi
Olkoon
f ( xi ) = Pr( X = xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X
varianssi on
D 2 ( X ) = Var( X ) = σ X2 = E[( X − µ X ) 2 ] = ∑ ( xi − µ X ) 2 pi
i
Jatkuvan satunnaismuuttujan varianssi
Olkoon
f ( x)
jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on
+∞
D ( X ) = Var( X ) = σ = E[( X − µ X ) ] =
2
2
X
2
∫ (x − µ
X
) 2 f ( x)dx
−∞
Standardipoikkeama
Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on ei-satunnainen vakio
D( X ) = σ X = E[( X − µ X ) 2 ]
Varianssin ominaisuuksia
Satunnaismuuttujan X varianssi ja standardipoikkeama kuvaavat satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen
E( X ) = µ X ympärillä.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
10/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Olkoon a vakio. Tällöin
D 2 (a) = Var(a) = 0
Olkoot Xi , i = 1, 2, … , n riippumattomia satunnaismuuttujia ja ai , i = 1, 2, … , n vakioita. Tällöin
 n
 n
D 2  ∑ ai X i  = ∑ ai2 D 2 ( X i )
 i =1
 i =1
Markovin epäyhtälö
Olkoon g(X) satunnaismuuttujan X positiivinen reaaliarvoinen funktio, jonka odotusarvo on
E(g(X))
Tällöin jokaiselle reaaliselle, ei-satunnaiselle vakiolle a > 0 pätee Markovin epäyhtälö:
Pr( g ( X ) ≥ a) ≤
E( g ( X ))
a
Tshebyshevin epäyhtälö
Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
E(X) = µ
ja varianssi on
Var(X) = σ 2
Tällöin pätee Tshebyshevin epäyhtälö:
Pr(| X − µ | ≥ kσ ) ≤
1
k2
Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että
Pr(| X − µ | < kσ ) = 1 − Pr(| X − µ | ≥ kσ ) ≥ 1 −
1
k2
Momentit
Olkoon X satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaismuuttujan Xk odotusarvo
E( X k ) = α k , k = 0,1, 2,…
on satunnaismuuttujan X k. momentti eli k. momentti origon suhteen.
Erityisesti:
α0 = 1
α1 = E( X ) = µ
Siten satunnaismuuttujan X 1. momentti origon suhteen on satunnaismuuttujan X odotusarvo.
Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
E( X ) = µ
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
11/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Tällöin satunnaismuuttujan ( X − µ ) k odotusarvo
E  ( X − µ ) k  = µk , k = 0,1, 2,…
on satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti eli k. momentti painopisteen µ suhteen.
Erityisesti:
µ1 = 0
µ2 = E  ( X − µ )2  = σ 2 = Var( X ) = D 2 ( X )
Siten satunnaismuuttujan X 1. keskusmomentti häviää ja 2. keskusmomentti on satunnaismuuttujan
X varianssi.
Momenttien olemassaolo
Satunnaismuuttujan X k. origomomentti on olemassa, jos
E(| X |k ) < ∞
Satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti on olemassa, jos vastaava origomomentti on olemassa.
Voidaan osoittaa, että jos
E(| X |n ) < ∞
jollekin n ∈
, niin
E(| X |k ) < ∞
kaikille k < n. Jos siis satunnaismuuttujalla on n. origomomentti, niin sillä on myös kaikki alempien
kertalukujen momentit.
Vinous
Tunnuslukua
γ1 =
µ3
µ23/ 2
käytetään todennäköisyysjakaumien vinouden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava:
γ1 < 0: Jakauma on negatiivisesti vino eli vino vasemmalle, jolloin jakauman
vasen häntä on pitempi kuin oikea häntä.
γ1 = 0: Jakauma on symmetrinen.
γ1 > 0: Jakauma on positiivisesti vino eli vino oikealle, jolloin jakauman
oikea häntä on pitempi kuin vasen häntä.
Huomautus: Normaalijakaumalle γ1 = 0.
Huipukkuus
Tunnuslukua
γ2 =
TKK
µ4
−3
µ22
@ Ilkka Mellin (2008)
12/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
käytetään todennäköisyysjakaumien huipukkuuden mittana. Jos todennäköisyysjakauman
pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava:
γ2 > 0: Jakauma on huipukas (normaalijakaumaan verrattuna).
γ2 = 0: Jakauma on yhtä huipukas kuin normaalijakauma.
γ2 < 0: Jakauma on laakea (normaalijakaumaan verrattuna).
Huomautus: Normaalijakaumalle γ2 = 0.
Kvantiilit
Olkoon X satunnaismuuttuja. Olkoon lisäksi
0<p<1
Jos luku xp toteuttaa ehdot
Pr(X ≤ xp) ≥ p
Pr(X ≥ xp) ≥ 1 − p
sanomme, että xp on satunnaismuuttujan X ja sen jakauman kvantiili kertalukua p.
Siten kvantiili xp toteuttaa epäyhtälöt
Pr(X < xp) ≤ p ≤ Pr(X ≤ xp)
Kvantiilit voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole momentteja.
Kvantiilit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä:
(i)
Diskreettien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat usein monikäsitteisiä.
(ii)
Jatkuvien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat yksikäsitteisiä.
Olkoon
F(x) = Pr(X ≤ x)
jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X kvantiili xp toteuttaa
yhtälön
F(xp) = p
Kvantiili xp jakaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että
massasta
p×100 %
on kvantiilista xp vasemmalla ja
(1 − p)×100 %
on kvantiilista xp oikealla.
Tilastolliset taulukot ja kvantiilit
Useimmissa todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppikirjoissa on taulukoituna keskeisten
tilastollisessa päättelyssä käytettävien jatkuvien jakaumien (standardoidun normaalijakauman tjakauman, χ2-jakauman ja F-jakauman) kvantiileja xp ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p ja
useimmissa tilastollisissa tietokoneohjelmissa on aliohjelmia, jotka laskevat em. jakaumien
kvantiileja xp ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
13/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Prosenttipisteet
Jos p on muotoa
p = q/100 , q = 1, 2, … , 99
kvantiilia xp kutsutaan q. prosenttipisteeksi.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. prosentti-piste jakaa jakauman todennäköisyysmassan
kahteen osaan niin, että massasta
q%
on q. prosenttipisteestä vasemmalla ja
(100 − q) %
on q. prosenttipisteestä oikealla.
Desiilit
Jos p on muotoa
p = 10×q/100 , q = 1, 2, … , 9
kvantiilia xp kutsutaan q. desiiliksi.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. desiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen
osaan niin, että massasta
10×q %
on q. desiilistä vasemmalla ja
(100 − 10×q) %
on q. desiilistä oikealla.
Kvartilit
Jos p on muotoa
p = 25×q/100 , q = 1, 2, 3
kvantiilia xp kutsutaan q. kvartiiliksi.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. kvartiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan
kahteen osaan niin, että massasta
25×q %
on q. kvartiilista vasemmalla ja
(100 − 25×q) %
on q. kvartiilista oikealla.
Kvartiileja merkitään tavallisesti symboleilla Q1, Q2, Q3 ja sanotaan, että
Q1 = alakvartiili
Q2 = keskikvartiili
Q3 = yläkvartiili
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
14/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kvartiilit jakavat jakauman todennäköisyysmassan
neljään yhtä suureen osaan:
25 % massasta on kvartiilista Q1 vasemmalle
25 % massasta on kvartiilien Q1 ja Q2 välissä
25 % massasta on kvartiilien Q2 ja Q3 välissä
25 % massasta on kvartiilista Q3 oikealle
Mediaani
Jos
p = 0.5
kvantiilia xp kutsutaan mediaaniksi. Mediaania merkitään tavallisesti symbolilla Me. Jatkuvan
satunnaismuuttujan tapauksessa mediaani Me jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen yhtä
suureen osaan niin, että massasta
50 %
on mediaanista vasemmalla ja
50 %
on mediaanista oikealla.
Jakauman mediaani ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Jakauman mediaani yhtyy jakauman 50.
prosenttipisteeseen, 5. desiiliin ja keskikvartiiliin Q2. Mediaani voidaan määrätä myös sellaisille
satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa.
Jos satunnaismuuttujan X jakauma on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin jakauman mediaani
yhtyy pisteeseen a:
Me = a
Jos symmetrisellä jakaumalla on odotusarvo E(X) = µ, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen µ:
Me = µ
Moodi
Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on
f(x) = Pr(X = x)
Piste Mo on diskreetin satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos pistetodennäköisyysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo:
f ( Mo) = max f ( x)
x
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on
f ( x)
Piste Mo on jatkuvan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos tiheysfunktio f(x) saavuttaa
maksiminsa pisteessä x = Mo:
f ( Mo) = max f ( x)
x
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
15/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Jakauman moodi ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Moodi voidaan määrätä myös sellaisille
satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
16/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Tehtävä 3.1.
Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa.
Poimitaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu
kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Poimitaan tämän jälkeen uurnasta B
satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että poimittu kuula on valkoinen?
Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko.
Tehtävä 3.1. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten
verkkojen avulla.
Tehtävä 3.1. – Ratkaisu:
Tehtävän satunnaisilmiön tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko:
4/10
6/10
6/10
4/10
6/10
4/10
7/10
Vaihe 1
6/10
3/10
5/10
4/10
5/10 6/10
Vaihe 2
4/10
Vaihe 3
↑
Puun konstruktio perustuu siihen, että voidaan ajatella, että kuulat poimitaan kolmessa
vaiheessa:
Vaihe 1:
Poimitaan kuula uurnasta A.
Vaihe 2:
Poimitaan kuula uurnasta B.
Vaihe 3:
Poimitaan kuula uurnasta B sen jälkeen, kun vaiheessa 1 uurnasta A
poimittu kuula on pantu uurnaan B ja vaiheessa 2 uurnasta B poimittu kuula
on pantu uurnaan A.
Tarkastellaan puun konstruktiosta esimerkkinä reittiä, joka päättyy nuolella merkittyyn
valkoiseen kuulaan:
Vaihe 1:
Uurnasta A poimitaan musta kuula;
todennäköisyys = 6/10
Vaihe 2:
Uurnasta B poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 6/10
Uurnasta A poimittu musta kuula pannaan uurnaan B ja uurnasta B poimittu valkoinen
kuula pannaan uurnaan B. Tämän jälkeen uurnassa A on 5 valkoista ja 5 mustaa kuulaa
ja myös uurnassa B on 5 valkoista kuulaa ja 5 mustaa kuulaa.
Vaihe 3:
TKK
Uurnasta A poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 5/10
@ Ilkka Mellin (2008)
17/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Yo. puu koostuu 8 reitistä ja niistä 4 päättyy valkoiseen kuulaan.
Todennäköisyys nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 voidaan laskea puutodennäköisyyksien
tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla:
(i)
Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän
reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo.
Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus.
(ii)
Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä
reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien
summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien
tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus.
Valkoiseen kuulaan vaiheessa 3 johtavat reitit yo. puudiagrammissa:
VVV, VMV, MVV, MMV
jossa
V = valkoinen kuula
M = musta kuula
Siten todennäköisyydeksi nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 saadaan
4 6 6 4 4 7 6 6 5 6 4 6
580
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= 0.58
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000
Tehtävä 3.2.
Mies aikoo pelata uhkapeliä, jonka jokaisella kierroksella joko voittaa tai häviää euron.
Kun mies aloittaa pelin, hänellä on yksi euro. Mies päättää pelata kunnes hänellä on
kasassa 4 euroa tai kunnes hänen rahansa loppuvat, mutta kuitenkin korkeintaan 5
pelikierrosta.
Millä todennäköisyydellä miehellä on lopettaessaan pelin kasassa täsmälleen 2 euroa, kun
voiton todennäköisyys on kullakin pelikierroksella 1/4?
Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko.
Tehtävä 3.2. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten
verkkojen avulla.
Ks. myös tehtävää 3.1.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
18/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Tehtävä 3.2. – Ratkaisu:
Konstruoidaan miestä pelissä kohtaavista vaihtoehdoista ensin puuverkko:
1
1/
1/
3/
2
0
3/
3
1/
3/
4
2
1/
3/
3
3/
2
0
1/
1
3/
3/
2
3/
3
4
1/
2
1/
1/
1
1/
0
1
3/
4
2
1/
3/
2
0
Luvut puuverkon pisteisiin asetetuissa neliöissä ilmaisevat miehen pääoman pelin eri
vaiheissa ja luvut puuverkon särmien vieressä ilmaisevat eri vaihtoehtojen todennäköisyydet
kussakin pelin vaiheessa.
Tiedämme, että
Pr(Mies voittaa euron) = 1/4
Pr(Mies häviää euron) = 1 – 1/4 = 3/4
Näemme, että mahdollisia lopputiloja, joissa miehellä on täsmälleen 2 euroa, on 4 kappaletta.
Todennäköisyys, että miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen 2 euroa, voidaan laskea
puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla:
TKK
(i)
Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän
reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo.
Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus.
(ii)
Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä
reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien
summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien
tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus.
@ Ilkka Mellin (2008)
19/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Saamme:
Pr(Miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen 2 euroa)
1 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
9
 9 9
= 4⋅ 5  = 4 =
≈ 0.0352
256
4  4
Tehtävä 3.3.
Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toimintatodennäköisyys on p. Oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina
toisistaan
riippumattomia.
Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi?
1
2
4
5
3
Tehtävä 3.3. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan toimintaverkon toimintatodennäköisyyden määräämistä.
Tehtävä 3.3. – Ratkaisu:
Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista:
Osa 1:
Komponenttien 1, 2 ja 3 muodostama rinnankytkentä, joka voidaan purkaa
komponenttien 1 ja 2 muodostamaksi rinnankytkennäksi, joka on kytketty rinnan
komponentin 3 kanssa.
Osa 2:
Komponentti 4
Osa 3:
Komponentti 5
Olemme olettaneet, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai
toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon
toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä:
(i)
Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on
yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan:
Pr(A toimii tai B toimii)
= Pr(A toimii) + Pr(B toimii) – Pr(A toimii ja B toimii)
= Pr(A toimii) + Pr(B toimii) – Pr(A toimii)Pr(B toimii)
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
20/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(ii)
3. harjoitukset
Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on
riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan:
Pr(A toimii ja B toimii)
= Pr(A toimii)Pr(B toimii)
Komponenttien 1 ja 2 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä
p + p − p × p = 2 p − p2
Komponenttien 1, 2 ja 3 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä
2 p − p 2 + p − (2 p − p 2 ) × p = 3 p − 3 p 2 + p 3
Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu komponenttien 1, 2 ja 3 rinnan
kytkennän kytkennästä sarjaan komponenttien 4 ja 5 kanssa, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan:
(3 p − 3 p 2 + p 3 ) × p × p = 3 p 3 − 3 p 4 + p 5
Tehtävä 3.4.
Olkoon asetelmana sama kuin tehtävässä 3.2., mutta mies päättää pelata peliä korkeintaan 3
kierrosta. Olkoon satunnaismuuttuja
X = Miehen pääoma hänen lopettaessaan pelin
(a)
Määrää todennäköisyydet tapahtumille X = 0, 1, 2, 3, 4 puuverkkoa käyttäen ja
määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele
funktion kuvaaja paperille.
(b)
Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille.
(c)
Mikä on tapahtuman X = 1.5 todennäköisyys?
(d)
Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys pistetodennäköisyysfunktion avulla.
(e)
Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys kertymäfunktion avulla.
(f)
Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvo.
(g)
Määrää satunnaismuuttujan X varianssi.
Tehtävä 3.4. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan diskreetin satunnaismuuttujan määrittelemistä yksinkertaisen
esimerkin tapauksessa sekä ko. satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion ja
kertymäfunktion konstruoimista sekä odotusarvon ja varianssin määräämistä ko.
satunnaismuuttujalle.
Tehtävä 3.4. – Ratkaisu:
(a)
Jos olet onnistunut konstruoimaan tehtävän 3.2. puuverkon oikein, voit lukea verkosta
seuraavien tapahtumien todennäköisyydet.
Pr(Miehelle jää 0 euroa) =
1 3 3 3 57
⋅ ⋅ + =
≈ 0.8906
4 4 4 4 64
Pr(Miehelle jää 1 euro) = 0
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
21/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Pr(Miehelle jää 2 euroa) =
3. harjoitukset
1 1 3 1 3 1 6
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
≈ 0.0938
4 4 4 4 4 4 64
Pr(Miehelle jää 3 euroa) = 0
Pr(Miehelle jää 4 euroa) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
≈ 0.0156
4 4 4 64
Siten diskreetin satunnaismuuttujan
X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin
pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona:
x
f(x) = Pr(X = x)
0
57/64
1
0
2
6/64
3
0
4
1/64
Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja:
Pistetodennäköisyysfunktio f(x)
1.0
f(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
(b)
2
3
4 x
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan määritellä kaavalla
F ( x) =
∑ Pr( X = x )
i xi ≤ x
TKK
1
i
@ Ilkka Mellin (2008)
22/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Summassa lasketaan yhteen kaikki pistetodennäköisyydet
Pr( X = xi )
joille pätee
xi ≤ x
Siten diskreetin satunnaismuuttujan
X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin
kertymäfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona:
x
F(x)
<0
0
0≤x<2
57/64
2≤x<4
63/64
4≤x
1
Kertymäfunktion kuvaaja välillä [–1, 5]:
Kertymäfunktio F(x)
1.0
F(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
(c)
1
2
3
4 x
Koska tapahtuma
X = 1.5
on mahdoton,
Pr(X = 1.5) = 0
(d)
Tapahtuman
X>1
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
23/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiosta laskemalla
niiden tulosvaihtoehtojen pistetodennäköisyydet yhteen, joissa mies voittaa enemmän
kuin 1 euron.
Siten
Pr(X > 1) = Pr(X = 2) + Pr(X = 3) + Pr(X = 4)
= 6/64 + 0 + 1/64
= 7/64
(e)
Tapahtuman
X>1
todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X kertymäfunktiosta seuraavalla tavalla:
Pr(X > 1) = 1 – Pr(X ≤ 1)
= 1 – F(1)
= 1 – 57/64
= 7/64
(f)
Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X
odostusarvo E(X) saadaan kaavalla:
E( X ) = ∑ xi Pr( X = xi )
i
Siten
E( X )
4
= ∑ i Pr( X = i )
i =0
= 0 × Pr( X = 0) + 1× Pr( X = 1) + 2 × Pr( X = 2) + 3 × Pr( X = 3) + 4 × Pr( X = 4)
57
6
1
= 0 ⋅ + 1⋅ 0 + 2 ⋅ + 3 ⋅ 0 + 4 ⋅
64
64
64
1
=
4
Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan painopiste.
(g)
Käytetään satunnaismuuttujan X varianssin laskemiseen kaavaa
Var( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2
Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X
2. origomomentti E(X2) saadaan kaavalla:
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
24/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
E( X 2 ) = ∑ xi2 Pr( X = xi )
i
Siten
E( X 2 )
4
= ∑ i 2 Pr( X = i )
i =0
= 02 × Pr( X = 0) + 12 × Pr( X = 1) + 22 × Pr( X = 2) + 32 × Pr( X = 3) + 42 × Pr( X = 4)
57
6
1
= 0 ⋅ + 1⋅ 0 + 4 ⋅ + 9 ⋅ 0 + 16 ⋅
64
64
64
5
=
8
Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin (f)-kohdassa
E( X ) =
1
4
Siten
2
5 1
9
Var( X ) = E( X ) − [E( X )] = −   =
= 0.5625
8  4  16
2
2
Satunnaismuuttujan X varianssi kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen suhteen.
Tehtävä 3.5.
Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa
 ax 2 − 2ax , kun 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) = 
0 , muulloin

(a)
Määrää vakion a < 0 arvo.
(b)
Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio.
(c)
Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.
(d)
Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.25 todennäköisyys tiheysfunktion avulla.
(e)
Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.25 todennäköisyys kertymäfunktion avulla.
Tehtävä 3.5. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiota ja kertymäfunktiota.
Tehtävä 3.5. – Ratkaisu:
(a)
Kaikille tiheysfunktioille f(x) pätee
+∞
∫
f ( x)dx = 1
−∞
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
25/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Siten saamme yhtälöstä
1
1
2
1

1 = ∫ (ax − 2ax)dx =  ax 3 − ax 2  = − a
3
3
0
0
2
ratkaisuksi
a = –3/2
Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion yhtälöksi saadaan siten
 3 2
− x + 3x , 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) =  2

0 , muulloin
Tiheysfunktion kuvaaja välillä [0, 1]:
Tiheysfunktio f(x)
1.5
f(x)
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(b)
Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), sen kertymäfunktio saadaan kaavalla
x
F ( x) =
∫
f (t )dt
−∞
Koska tehtävän tapauksessa
 3 2
− x + 3x , 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) =  2

0 , muulloin
saadaan kertymäfunktioksi välillä [0, 1]
x
x
3 
3
3
 3

 3
F ( x) = ∫  − t 2 + 3t  dt =  − t 3 + t 2  = − x3 + x 2
2
2 0
6
2

 6
0
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
26/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Lisäksi
F(x) = 0 , jos x ≤ 0
F(x) = 1 , jos x ≥ 1
Kertymäfunktion kuvaaja välillä [0, 1]:
Kertymäfunktio F(x)
1.5
F(x)
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(c)
Koska jatkuvilla jakaumilla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla,
Pr(X = 0.5) = 0
(d)
Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), välin [a, b] todennäköisyys saadaan
kaavalla
b
Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a
Siten välin [0, 0.25] todennäköisyydeksi saadaan:
0.25
Pr(0 ≤ X ≤ 0.25) =
∫
0
(e)
0.25
 3 2

 3 3 3 
 − x + 3 x  dx =  − x + x 
2 0
 2

 6
=
33
≈ 0.0859
384
Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F(x), välin [a, b] todennäköisyys
saadaan kaavalla
Pr(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a )
Siten välin [0, 0.25] todennäköisyydeksi saadaan (koska F(0) = 0):
3
2
31 31
33
Pr(0 ≤ X ≤ 0.25) = F ( ) − F (0) = −   +   =
≈ 0.0859
6  4  2  4  384
1
4
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
27/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Tehtävä 3.6.
Määrää tehtävän 3.5. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja varianssi.
Tehtävä 3.6. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan odotusarvon ja varianssin määräämistä tehtävän 3.5. jatkuvalle
satunnaismuuttujalle.
Tehtävä 3.6. – Ratkaisu:
Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X)
saadaan kaavalla:
+∞
E( X ) =
∫ xf ( x)dx
−∞
Siten
1
1
5
 3

 3

E( X ) = ∫ x  − x 2 + 3 x  dx =  − x 4 + x3  = = 0.625
2

 8
0 8
0 
Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan painopiste.
Käytetään varianssin laskemiseen kaavaa
D 2 ( X ) = E( X 2 ) − [ E( X ) ]
2
jossa
E( X ) = satunnaismuuttujan X odotusarvo
E( X 2 ) = satunnaismuuttujan X 2. momentti
Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X 2. origomomentti
E( X 2 ) saadaan kaavalla:
+∞
∫x
E( X ) =
2
2
f ( x)dx
−∞
Siten
1
1
3 
9
 3

 3
E( X ) = ∫ x  − x 2 + 3 x  dx =  − x 5 + x 4  =
4  0 20
 2

 10
0
2
2
Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin edellä
E( X ) =
5
8
Siten satunnaismuuttujan X varianssi on
2
9 5
19
Var( X ) = E( X ) − [E( X )] =
−  =
≈ 0.0594
20  8  320
2
TKK
2
@ Ilkka Mellin (2008)
28/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Satunnaismuuttujan X varianssi kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen suhteen.
Tehtävä 3.7.
Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on muotoa
0, x ≤ 0

 2
F ( x) = − x + bx, 0 ≤ x ≤ 1

1, x ≥ 1

(a)
Määrää vakion b arvo.
(b)
Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.
(c)
Määrää tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyys.
(d)
Määrää satunnaismuuttujan X tiheysfunktio.
Tehtävä 3.7. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiota ja kertymäfunktiota.
Tehtävä 3.7. – Ratkaisu:
(a)
Koska tehtävän kertymäfunktiolle F(x) pätee F(1) = 1, saadaan yhtälöstä
–1 + b = 1
ratkaisuksi b = 2.
(b)
Koska jatkuvalla jakaumalla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla,
Pr(X = 0.5) = 0
(c)
Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F(x), välin [a, b] todennäköisyys
saadaan kaavalla
Pr(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a )
Siten tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyydeksi saadaan
Pr(0.25 ≤ X ≤ 0.5) = F(0.5) – F(0.25) = 5/16
(d)
Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F(x), niin sen tiheysfunktio
saadaan kaavalla
f ( x) =
d
F ( x)
dx
Siten tehtävän satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi saadaan välillä [0, 1]:
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
29/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
f ( x) =
3. harjoitukset
d
d
F ( x ) = ( − x 2 + 2 x ) = −2 x + 2
dx
dx
Tämän välin ulkopuolella:
f(x) = 0
Tehtävä 3.8.
Määrää tehtävän 3.7. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja standardipoikkeama.
Tehtävä 3.8. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan odotusarvon ja standardipoikkeaman määräämistä tehtävän
3.7. jatkuvalle satunnaismuuttujalle.
Tehtävä 3.8. – Ratkaisu:
Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X)
saadaan kaavalla:
+∞
E( X ) =
∫ xf ( x)dx
−∞
Siten
+∞
1
1
 2
 1
E( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x(−2 x + 2)dx =  − x3 + x 2  = ≈ 0.333
 3
0 3
0
−∞
Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan painopiste.
Standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri. Määrätään siksi ensin satunnaismuuttujan X
varianssi. Käytetään varianssin laskemiseen kaavaa
D 2 ( X ) = E( X 2 ) − [ E( X ) ]
2
jossa
E( X ) = satunnaismuuttujan X odotusarvo
E( X 2 ) = satunnaismuuttujan X 2. momentti
Jos satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X 2. origomomentti
E( X 2 ) saadaan kaavalla:
+∞
E( X 2 ) =
∫x
2
f ( x)dx
−∞
Siten
+∞
1
1
2  1
 2
E( X ) = ∫ x f ( x )dx = ∫ x ( −2 x + 2)dx =  − x 4 + x 3  =
3 0 6
 4
−∞
0
2
TKK
2
2
@ Ilkka Mellin (2008)
30/31
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
3. harjoitukset
Satunnaismuuttujan X odotusarvoksi saatiin edellä
E( X ) =
1
3
Siten satunnaismuuttujan X varianssi on
D 2 ( X ) = E( X 2 ) − [ E( X ) ]
2
2
1 1
− 
6 3
1
= ≈ 0.0555
18
=
Satunnaismuuttujan X varianssi kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman
todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen suhteen.
Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on varianssin neliöjuuri:
D( X ) =
TKK
1
3 2
≈ 0.236
@ Ilkka Mellin (2008)
31/31