1. No category

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset / Ratkaisut
Aiheet:
Johdanto
Joukko-opin peruskäsitteet
Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt
Avainsanat:
Alkeistapahtuma, Alkio, Ehdollinen todennäköisyys, Ehtotapahtuma, Empiirinen
todennäköisyys, Erotustapahtuma, Frekvenssi, Frekvenssitulkinta, Joukko, Klassinen
todennäköisyys, Koetoisto, Komplementti, Komplementtitapahtuma, Leikkaus,
Lukumääräfunktio, Mahdoton tapahtuma, Mitta, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta
palauttamatta, Otosavaruus, Perusjoukko, Pistevieraus, Riippumattomuus, Sattuma,
Satunnaisilmiö, Satunnaiskoe, Satunnaisotanta, Suhteellinen frekvenssi, Suhteellinen osuus,
Suotuisa alkeistapahtuma, Symmetrisyys, Tapahtuma, Todennäköisyys, Toisensa
poissulkevuus, Tyhjä joukko, Tulosääntö, Unioni, Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty
tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Joukko-oppi
Joukko ja sen alkiot
Joukko voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Matematiikassa joukko määritellään tavallisesti
antamalla ehto, jonka joukon alkioiden on toteutettava. Joukkoja on aina syytä tarkastella jonkin
hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina.
Jos perusjoukon S alkio x on joukon A alkio eli x kuuluu joukkoon A, niin merkitsemme
x∈ A
Vastaavasti, jos perusjoukon S alkio x ei ole joukon A alkio eli x ei kuulu joukkoon A, niin
merkitsemme
x∉ A
Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x)
on tosi, niin merkitsemme
A = { x ∈ S | P( x)}
Jos joukko A on äärellinen ja sen alkiot ovat
a1, a2, … , an
merkitsemme
A = {a1, a2, … , an}
Osajoukko
Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B
alkio, joukko A on joukon B osajoukko ja merkitsemme A ⊂ B . Siten
A ⊂ B, jos ja vain jos x ∈ A ⇒ x ∈ B
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
1/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tyhjä joukko
Joukko on tyhjä, jos siinä ei ole yhtään alkiota. Merkitsemme tyhjää joukkoa symbolilla ∅ Tyhjä
joukko on kaikkien joukkojen osajoukko. Jos siis A on perusjoukon S mielivaltainen osajoukko,
niin
∅⊂A
Joukko-opin perusoperaatiot: yhdiste
Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A∪B on
niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B (tai molempiin):
A ∪ B = { x ∈ S | x ∈ A tai x ∈ B}
Joukko-opin perusoperaatiot: leikkaus
Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B leikkaus A∩B on niiden
perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B:
A ∩ B = { x ∈ S | x ∈ A ja x ∈ B}
Jos
A∩B = ∅
niin sanomme, että joukot A ja B ovat pistevieraita.
Joukko-opin perusoperaatiot: komplementti
Olkoon joukko A perusjoukon S osajoukko. Joukon A komplementti Ac on niiden perusjoukon S
alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon A:
A c = { x ∈ S | x ∉ A}
Joukko-opin perusoperaatiot: erotus
Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B erotus A\B on niiden
perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B:
A\B = { x | x ∈ A ja x ∉ B}
Selvästi
A\B = A∩Bc
Todennäköisyys ja sen määritteleminen
Satunnaisilmiö
Reaalimaailman ilmiö on stokastinen ilmiö eli satunnaisilmiö, jos sillä on seuraavat
ominaisuudet:
(i)
Ilmiö voi päätyä alkutilastaan useisiin erilaisiin lopputiloihin eli ilmiöllä on useita erilaisia
vaihtoehtoisia tuloksia.
(ii)
Ilmiön alkutilan perusteella ei voida tarkasti ennustaa ilmiön lopputilaa eli sitä, mikä
mahdollisista tulosvaihtoehdoista realisoituu eli toteutuu.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
2/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
(iii) Vaikka ilmiön lopputilaa ei voida ennustaa tarkasti, tulosvaihtoehtojen suhteellisten
frekvenssien eli osuuksien nähdään ilmiön toistuessa käyttäytyvän säännönmukaisesti.
Kutsumme satunnaisilmiötä usein satunnaiskokeeksi ja satunnaisilmiön esiintymiskertaa
koetoistoksi.
Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet
Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet ovat otosavaruus, tapahtuma ja alkeistapahtuma:
(i)
Sanomme, että satunnaisilmiön tulosvaihtoehto on alkeistapahtuma, jos satunnaisilmiötä
ei voida ”purkaa” sitä alkeellisempiin tulosvaihtoehtoihin
(ii)
Kutsumme satunnaisilmiön kaikkien alkeistapahtumien muodostamaa joukkoa otosavaruudeksi.
(iii) Satunnaisilmiön tapahtumat ovat satunnaisilmiön alkeistapahtumien muodostamia
otosavaruuden osajoukkoja.
Kun sanomme, että jokin tapahtuma sattuu, tarkoitamme aina sitä, että jokin tapahtumaan
liittyvistä alkeistapahtumista sattuu.
Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsitteet vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan:
Otosavaruus
↔
Alkeistapahtuma ↔
Tapahtuma
↔
Perusjoukko
Perusjoukon alkio
Perusjoukon osajoukko
Todennäköisyys ja sen perusominaisuudet
Olkoon A jokin otosavaruuden S tapahtuma eli olkoon
A⊂S
Todennäköisyys Pr(⋅) on joukkofunktio, joka liittää tapahtumaan A reaaliluvun:
Pr( A) ∈
Todennäköisyyden perusominaisuudet:
(i)
Olkoon tapahtuma A jokin otosavaruuden S tapahtuma. Tällöin
0 ≤ Pr(A) ≤ 1
(ii)
Tyhjä joukko ∅ ja mahdoton tapahtuma samaistetaan ja
Pr(∅) = 0
(iii) Otosavaruus S ja varma tapahtuma samaistetaan ja
Pr(S) = 1
Lukumääräfunktio
Olkoon
nA = n( A)
funktio, joka kertoo joukon A alkioiden lukumäärän. Jos siis
A = {a1 , a2 ,… , ak }
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
3/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
on äärellinen joukko, jonka alkioiden lukumäärä on k, niin
nA = n( A) = k
Kutsumme funktiota n(⋅) lukumääräfunktioksi.
Klassinen todennäköisyys
Oletetaan, että äärellisen otosavaruuden
S = {s1, s2, … , sn}
alkeistapahtumat
si , i = 1, 2, … , n
ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä ja olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko.
Tällöin tapahtuman A klassinen todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A
suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista eli
Pr(A) = n(A)/n(S)
jossa
n(A) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä
= joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä
ja
n(S) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä
= otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä
Empiirinen todennäköisyys
Tarkastellaan satunnaiskoetta, jota voidaan toistaa siten, että seuraavat ehdot pätevät:
(i)
Kokeen olosuhteet säilyvät muuttumattomina koetoistosta toiseen.
(ii)
Koetoistot ovat riippumattomia siinä mielessä, että yhdenkään koetoiston tulos ei riipu siitä
mitä tuloksia muista koetoistoista saadaan.
Tarkkaillaan tapahtuman A esiintymistä koetoistojen aikana. Jos tapahtuman A suhteellinen
frekvenssi eli osuus koetoistoista lähestyy jotakin kiinteätä lukua koetoistojen lukumäärän
kasvaessa rajatta, lukua kutsutaan tapahtuman A empiiriseksi todennäköisyydeksi.
Oletetaan, että satunnaiskoetta toistetaan n kertaa. Olkoon fA tapahtuman A frekvenssi eli lukumäärä koetoistojen joukossa. Tällöin
fA
n
on tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli suhteellinen osuus koetoistojen joukossa. Jos
koetoistojen lukumäärän n annetaan kasvaa rajatta ja tällöin (jossakin mielessä)
fA
→ pA
n
niin luku pA on tapahtuman A empiirinen todennäköisyys.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
4/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Todennäköisyys mittana
Todennäköisyys on mitta, joka mittaa satunnaisilmiön tapahtumavaihtoehtojen sattumisen
mahdollisuutta.
Todennäköisyyden frekvenssitulkinta
Oletetaan, että toistamme jotakin satunnaiskoetta ja tarkkailemme jonkin tapahtuman suhteellisen
frekvenssin käyttäytymistä koetoistojen aikana. Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan mukaan
ko. tapahtuman suhteellinen frekvenssi vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, mutta saa keskimäärin ko. tapahtuman todennäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havainnot tämän on
empiirinen kysymys.
Olkoon tapahtuman A todennäköisyys
Pr(A) = p
Oletetaan, että sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtona tapahtuma A on, toistetaan n kertaa.
Tällöin todennäköisyyden frekvenssitulkinnasta seuraa, että on odotettavissa, että tapahtuman A
frekvenssi fA on lähellä lukua
np
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt
Todennäköisyyslaskennan perusoperaatiot
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöillä tarkoitetaan laskusääntöjä, joilla jonkin ns.
johdetun tapahtuman todennäköisyys saadaan määrätyksi jonkin tai joidenkin toisten tapahtumien
toden-näköisyyksien avulla. Johdetut tapahtumat muodostetaan joukko-opin perusoperaatioilla
toisista tapahtumista.
Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin perusoperaatiot vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan:
Tapahtuma A ei satu eli tapahtuman A komplementtitapahtuma sattuu
↔ Joukon A komplementti Ac
Tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat
↔ Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A∪B
Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu
↔ Joukkojen A ja B leikkaus A∩B
Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B ei satu
↔ Joukkojen A ja B erotus A\B
Komplementtitapahtuman todennäköisyys
Olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Joukon A komplementtitapahtuman
A c = { x ∈ S | x ∉ A}
todennäköisyys on
Pr(Ac) = 1 – Pr(A)
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
5/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Yhdisteen todennäköisyys
Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin
Pr(A∪B)
on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat.
Leikkauksen todennäköisyys.
Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin
Pr(A∩B)
on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu.
Yleinen yhteenlaskusääntö
Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö
Jos tapahtumat A ja B eivät voi sattua samanaikaisesti eli ovat toisensa poissulkevia, niin
A∩B = ∅
Siten toisensa poissulkevat tapahtumat ovat joukkoina pistevieraita. Jos tapahtumat A ja B ovat
toisensa poissulkevia eli A∩B = ∅, niin pätee toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B)
Olkoot A1, A2, … , Ak pareittain toisensa poissulkevia, jolloin Ai∩Aj = ∅, kun i ≠ j. Tällöin
yhdisteen
A1∪A2∪ ··· ∪Ak = ”A1 tai A2 tai … tai Ak sattuu”
todennäköisyys on
Pr(A1∪A2∪ ··· ∪Ak) = Pr(A1) + Pr(A2) + ··· + Pr(Ak)
Ehdollinen todennäköisyys
Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin tapahtuman A ehdollinen
todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut saadaan kaavalla
Pr( A | B) =
Pr( A ∩ B)
Pr( B)
jossa Pr(A∩B) on todennäköisyys, että tapahtuma A ja tapahtuma B ovat sattuneet eli Pr(A∩B) on
tapahtumien A ja B leikkauksen todennäköisyys.
Yleinen tulosääntö
Yleisen tulosäännön mukaan
Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B)
Tarkastellaan tapahtumia A1, A2, … , Ak . Tällöin leikkauksen
A1∩A2∩ ··· ∩Ak = ”A1 ja A2 ja … ja Ak sattuvat”
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
6/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
todennäköisyys on
Pr( A1 ∩ A2 ∩
∩ Ak )
= Pr( A1 ) × Pr( A2 A1 ) × Pr( A3 A1 ∩ A2 ) ×
× Pr( Ak A1 ∩ A2 ∩
∩ Ak −1 )
Riippumattomuus ja riippumattomien tapahtumien tulosääntö
Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos riippumattomien tapahtumien tulosääntö
Pr( A ∩ B) = Pr( A) Pr( B)
pätee. Riippumattomien tapahtumien tulosääntö on yhtäpitävä sen kanssa, että
Pr( A | B) = Pr( A)
Tarkastellaan tapahtumia A1, A2, … , Ak . Jos tapahtumat A1, A2, … , Ak ovat riippumattomia, niin
pätee riippumattomien tapahtumien tulosäännön yleistys
Pr( A1 ∩ A2 ∩
∩ Ak ) = Pr( A1 ) Pr( A2 ) Pr( A3 )
Pr( Ak )
Satunnaisotanta ja tulosääntö
Olkoon perusjoukko S äärellinen. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa perusjoukosta S
poimitaan osajoukko B arpomalla perusjoukosta alkioita osajoukkoon B yksi alkio kerrallaan.
Osajoukkoa B kutsutaan otokseksi ja arvonnassa käytettyä menetelmää otantamenetelmäksi.
Tarkastellaan todennäköisyyttä saada otokseen B alkioita perusjoukon S osajoukosta A. Jos otanta
tehdään ilman takaisinpanoa eli palauttamatta poimittua alkiota takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava yleistä tulosääntöä. Jos otanta tehdään takaisinpanolla eli palauttamalla poimittu alkio aina takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä
määrättäessä on sovellettava riippumattomien tapahtumien tulosääntöä.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
7/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävä 1.1.
Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, heittotuloksiin
liittyvä perusjoukko voidaan määritellä kaavalla
S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Perusjoukkoa S voidaan kuvata seuraavalla
lukukaaviolla:
(x, y)
2. heiton
tulos y
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Virheettömän nopan tapauksessa voimme ajatella, että jokaisella heittotulosten parilla (x, y),
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.
Määritellään joukot
A = {(x, y) ∈ S | x = 2}
B = {(x, y) ∈ S | y > 4}
C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}
D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}
E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}
Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot:
(a)
A, B, C, D, E
(b)
A ∪ C = Joukkojen A ja C yhdiste
(c)
B ∩ D = Joukkojen B ja D leikkaus
Tehtävä 1.1. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja havainnollistamista sekä joukkoopin perusoperaatioita yhdiste ja leikkaus.
Tehtävä 1.1. – Ratkaisu:
Tehtävässä 1.1. määriteltyjä joukkoja vastaavat lukuparit (x, y) on varjostettu alla oleviin
lukukaavioihin.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
8/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(a)
1. harjoitukset
A = {(x, y) ∈ S | x = 2}
(x, y)
2. heiton
tulos y
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
B = {(x, y) ∈ S | y > 4}
(x, y)
2. heiton
tulos y
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
C = {(x, y) ∈ S | x + y = 7}
(x, y)
2. heiton
tulos y
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
D = {(x, y) ∈ S | x – y = 2}
(x, y)
2. heiton
tulos y
TKK
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
@ Ilkka Mellin (2008)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
9/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
E = {(x, y) ∈ S | x – y ≤ 2}
(x, y)
2. heiton
tulos y
(b)
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
A ∪ C = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ A tai (x, y) ∈ C}
(x, y)
2. heiton
tulos y
(c)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
1. heiton tulos x
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
B ∩ D = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ B ja (x, y) ∈ D} = ∅
(x, y)
2. heiton
tulos y
1. heiton tulos x
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Tehtävä 1.2.
Tehtävä 1.2. on jatkoa tehtävälle 1.1. Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat
joukot:
TKK
(a)
Ec
(b)
B \ C = Joukkojen B ja C erotus
(c)
C \ B = Joukkojen C ja B erotus
= Joukon E komplementti
@ Ilkka Mellin (2008)
10/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävä 1.2. – Mitä opimme?
Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.1. ja siinä tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja
havainnollistamista sekä joukko-opin perusoperaatioita komplementti ja erotus.
Tehtävä 1.2. – Ratkaisu:
Tehtävässä 1.2. määriteltyjä joukkoja vastaavat lukuparit (x, y) on varjostettu alla oleviin
lukukaavioihin.
(a)
Ec = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∉ E}
(x, y)
2. heiton
tulos y
(b)
1
2
3
4
5
6
2. heiton
tulos y
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
1
1
2
3
4
5
6
1. heiton tulos x
3
4
5
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
C \ B = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ C ja (x, y) ∉ B}
(x, y)
2. heiton
tulos y
TKK
2
B \ C = {(x, y) ∈ S | (x, y) ∈ B ja (x, y) ∉ C}
(x, y)
(c)
1
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
1. heiton tulos x
2
3
4
5
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
@ Ilkka Mellin (2008)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
11/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävä 1.3.
Tehtävä 1.3. on jatkoa tehtävälle 1.1. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.1. kohdissa (a) –
(c) määritellyille tapahtumille.
Tehtävä 1.3. – Mitä opimme?
Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.2. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja
joukko-opin peruskäsiteiden ja –operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen todennäköisyyden käsitettä.
Tehtävä 1.3. – Ratkaisu:
Jos virheetöntä noppaa heitetään yhden kerran, jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on
sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Siten silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamat alkeistapahtumat ovat symmetrisiä. Jos siis x on nopanheiton tulos, niin virheettömän nopan
tapauksessa
Pr(x) = 1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, on järkevää ajatella, että jokaisella silmälukujen parilla
(x, y) , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6
jossa
x = tulos 1. nopan heitosta
y = tulos 2. nopan heitosta
on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Siten silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamat
alkeistapahtumien parit (x, y) ovat symmetrisiä ja
Pr(x, y) = 1/36 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman A todennäköisyys Pr(A)
saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista
alkeistapahtumista. Siten
Pr(A) = n(A)/n(S)
jossa
n(A) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä
= joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä
n(S) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä
= otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä
Tehtävän 1.1. otosavaruus on
S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten
n(S) = 36
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
12/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(a)
1. harjoitukset
Koska n(A) = 6, niin
Pr(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6
Koska n(B) = 12, niin
Pr(B) = n(B)/n(S) = 12/36 = 1/3
Koska n(C) = 6, niin
Pr(C) = n(C)/n(S) = 6/36 = 1/6
Koska n(D) = 4, niin
Pr(D) = n(D)/n(S) = 4/36 = 1/9
Koska n(E) = 30, niin
Pr(E) = n(E)/n(S) = 30/36 = 5/6
(b)
Koska n(A∪C) = 11, niin
Pr(A∪C) = n(A∪C)/n(S) = 11/36
Sama tulos saadaan tietysti myös yleisen yhteenlaskusäännön
Pr(A∪C) = Pr(A) + Pr(C) − Pr(A∩C)
avulla:
Kohdan (a) mukaan
Pr(A) = 1/6
Pr(C) = 1/6
ja koska
A∩C = {(2,5)}
niin
Pr(A∩C) = 1/36
Siten
Pr(A∪C) = Pr(A) + Pr(C) − Pr(A∩C) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
(c)
Koska B∩D = ∅, niin
Pr(B∩D) = Pr(∅) = 0
Tehtävä 1.4.
Tehtävä 1.3. on jatkoa tehtävälle 1.2. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.2. kohdissa (a) –
(c) määritellyille tapahtumille.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
13/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävä 1.4. – Mitä opimme?
Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.2. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja
joukko-opin peruskäsiteiden ja –operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen todennäköisyyden käsitettä; ks. myös tehtävää 1.3.
Tehtävä 1.4. – Ratkaisu:
Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten
n = n(S) = 36
(a)
Koska n(Ec ) = 6, niin
Pr(Ec ) = n(Ec)/n(S) = 6/36 = 1/6
Sama tulos saadaan tietysti myös komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan
Pr(Ec) = 1 – Pr(E)
avulla: Koska
Pr(E) = 30/36 = 5/6
niin
Pr(Ec) = 1 – Pr(E) = 1 – 5/6 = 1/6
(b)
Koska n(B \ C) = 10, niin
Pr(B \ C) = 10/36 = 5/18
(c)
Koska n(C \ B) = 4, niin
Pr(C \ B) = 4/36 = 1/9
Tehtävä 1.5.
Tehtävä 1.5. on jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan silmälukujen summaa
z=x+y
jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Määritellään lisäksi tapahtumat
A = {Summa on 1}
B = {Summa on 11}
C = {1. nopanheitolla saadaan 2}
D = {1. nopanheitolla saadaan 5}
TKK
(a)
Määrää silmälukujen summan z = x + y otosavaruus.
(b)
Määrää tapahtuman A todennäköisyys.
(c)
Määrää tapahtuman B todennäköisyys.
(d)
Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma C on sattunut.
@ Ilkka Mellin (2008)
14/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(e)
1. harjoitukset
Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma D on sattunut.
Tehtävä 1.5. – Mitä opimme?
Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.1. ja siinä tarkastellaan ehdollisen todennäköisyyden
käsitettä.
Tehtävä 1.5. – Ratkaisu:
1. nopanheittoon liittyvä otosavaruus: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. nopanheittoon liittyvä otosavaruus: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia summia
z=x+y
kuvaava aputaulukko:
z=x+y
1
2
3
4
5
6
2. heiton
tulos y
(a)
1
1. heiton tulos x
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
7
8
9
10
11
12
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
Aputaulukosta nähdään, että kahden nopanheiton silmälukujen summan otosavaruus on
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävää 1.3.) yo. aputaulukosta
saadaan summille
z=x+y
seuraavat todennäköisyydet:
(b)
z
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Pr
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Koska tapahtuma
A = {Summa on 1}
on mahdoton, niin
Pr(A) = Pr(∅) = 0
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
15/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(c)
1. harjoitukset
Tapahtuma
B = {Summa on 11}
voi tulla tulokseksi täsmälleen kahdella tavalla:
(1)
1. heitolla saadaan 6 ja 2. heitolla saadaan 5
(2)
1. heitolla saadaan 5 ja 2. heitolla saadaan 6
Koska nämä tavat ovat toisensa poissulkevia ja kummankin todennäköisyys on 1/36,
saadaan tapahtuman B todennäköisyydeksi toisensa poissulkevien tapahtumien
yhteenlaskusäännön perusteella:
Pr(B) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18
(d)
Summaksi ei voi tulla 11, jos 1. heitolla saadaan 2, joten tapahtuma B on mahdoton, jos
C on sattunut. Siten ehdollinen todennäköisyys
Pr(B|C) = 0
Sama tulos saadaan tietysti myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä:
Pr(B|C) = Pr(B∩C)/Pr(C)
Koska tapahtumat B ja C ovat toisensa poissulkevia,
B∩C = ∅
Siten
Pr(B∩C) = 0
jolloin
Pr(B|C) = 0
(e)
Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:
Pr(B|D) = Pr(B∩D)/Pr(D) = (1/36)/(1/6) = 1/6
Tehtävä 1.6.
Tehtävä 1.6. on jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta
z=x–y
jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Olkoon
A = {1. nopalla saadaan 6}
B = {2. nopalla saadaan 6}
C = {Erotus on 2}
(a)
Määrää silmälukujen erotuksen z = x – y otosavaruus.
(b)
Määrää ehdollinen todennäköisyys
Pr(A | B)
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
16/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat A ja B
riippumattomia?
(c)
Määrää ehdollinen todennäköisyys
Pr(C | A )
ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja A
riippumattomia?
(d)
Määrää ehdollinen todennäköisyys
Pr(C | B )
ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja B
riippumattomia?
Tehtävä 1.6. – Mitä opimme?
Tehtävä on jatkoa tehtävälle 1.1. ja siinä tarkastellaan ehdollisen todennäköisyyden
käsitettä; ks. myös tehtävää 1.5.
Tehtävä 1.6. – Ratkaisu:
1. heiton tulokseen x liittyvä otosavaruus on
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. heiton tulokseen y liittyvä otosavaruus on
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia erotuksia
z=x–y
kuvaava aputaulukko:
z=x–y
2. heiton
tulos y
(a)
1
2
3
4
5
6
1
1. heiton tulos x
2
3
4
5
6
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
0
–1
–2
–3
–4
5
4
3
2
1
0
2
1
0
–1
–2
–3
3
2
1
0
–1
–2
4
3
2
1
0
–1
Aputaulukosta nähdään, että kahden nopan heiton silmälukujen erotuksen
z=x–y
otosavaruus on
{–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävää 1.3.) aputaulukosta
saadaan erotuksille
z=x–y
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
17/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
seuraavat todennäköisyydet:
(b)
z
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Pr
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Käyttämällä apuna tehtävän 1.1. otosavaruutta
S = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
kuvaavaa taulukkoa
(x, y)
2. heiton
tulos y
1. heiton tulos x
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
on helppo nähdä klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla, että
Pr(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6
Pr(B) = n(B)/n(S) = 6/36 = 1/6
Koska
A∩B = {1. nopalla saadaan 6 ja 2. nopalla saadaan 6}
niin
Pr(A∩B) = n(A∩B)/n(S) = 1/36
Siten ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella nähdään, että
Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr(B) = (1/36)/(1/6) = 1/6
Koska
Pr(A|B) = Pr(A) = 1/6
tapahtumat A ja B ovat riippumattomia.
Tehtävän voi ratkaista myös käyttämällä apuna ennen (a)-kohdan ratkaisua esitettyä
taulukkoa rajoittumalla tarkastelemaan niitä soluja, joissa 2. nopalla saadaan 6. Näitä
soluja on 6 ja täsmälleen yksi niistä vastaa sitä, että 1. nopalla on saatu 6. Siten suoraan
klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla
Pr(A|B) = 1/6
Huomautus: Vaikka tehtävä voidaan siis ratkaista käyttämällä ym. aputaulukkoa, on
syytä oppia käyttämään ehdollisen todennäköisyyden kaavaa. Alkeistapahtumien
taulukointi ja niiden lukumäärien laskeminen ei ole helppoa, jos otosavaruus on iso ja se
on jopa mahdotonta, jos otosavaruus on ääretön.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
18/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(c)
1. harjoitukset
Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle
C = {(x, y) ∈ S | z = x – y = 2}
kun tapahtuma
A = {x = 6}
on sattunut.
Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraavaa: Jos
tapahtuma A on sattunut, niin erotus z = x – y voi saada arvon 2 vain silloin, kun y
saa arvon 4. Siten
Pr(C|A) = 1/6
Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:
Pr(C|A) = Pr(C∩A)/Pr(A) = (1/36)/(1/6) = 1/6
Koska
Pr(C) = 1/4 ≠ Pr(C|A)
tapahtumat C ja A eivät ole riippumattomia.
(d)
Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle
C = {(x, y) ∈ S | z = x – y = 2}
kun tapahtuma
B = {y = 6}
on sattunut.
Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta matriisista on helppo nähdä seuraavaa: Jos
tapahtuma B on sattunut, niin erotus z = x – y ei voi saada arvoa 2. Siten
Pr(C|B) = 0
Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella:
Pr(C|B) = Pr(C∩B)/Pr(B) = (0/36)/(1/6) = 0/6 = 0
Tehtävä 1.7.
Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Määrää tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun
(a)
Pr(A∩B) = 0.1
(b)
A ja B ovat toisensa poissulkevia
(c)
A ja B ovat riippumattomia
(d)
Pr(A | B) = 0.1
Tehtävä 1.7. – Mitä opimme?
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
19/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävässä on tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, toisensa poissulkevuuden ja
riippumattomuuden käsitteitä sekä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää.
Tehtävä 1.7. – Ratkaisu:
Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
(a)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Jos Pr(A∩B) = 0.1, niin
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.3 − 0.1 = 0.7
(b)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin
A∩B = ∅. Tällöin
Pr(A∩B) = Pr(∅) = 0
koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
= Pr(A) + Pr(B)
= 0.5 + 0.3 − 0 = 0.8
(c)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin
riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan
Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)
Siten
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A)Pr(B)
= 0.5 + 0.3 − 0.5×0.3 = 0.65
(d)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Yleisen tulosäännön mukaan
Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B)
Siten
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A|B)Pr(B)
= 0.5 + 0.3 − 0.1×0.3 = 0.77
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
20/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävä 1.8.
Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman A∪B todennäköisyys, kun
(a)
Pr(A∩B) = 0.1
(b)
A ja B ovat toisensa poissulkevia
(c)
A ja B ovat riippumattomia
(d)
Pr(A|B) = 0.1
Milloin tämä on mahdollista?
Tehtävä 1.8. – Mitä opimme?
Tehtävässä on tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, toisensa poissulkevuuden ja
riippumattomuuden käsitteitä sekä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää; ks. myös
tehtävää 1.7.
Tehtävä 1.8. – Ratkaisu:
Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
(a)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos Pr(A∩B) = 0.1, niin
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0.1 = 1
(b)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin
A∩B = ∅. Tällöin
Pr(A∩B) = Pr(∅) = 0
koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B) = 0.5 + 0.6 − 0 = 1.1 > 1
mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat selvästi ristiriitaisia.
(c)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin
riippumattomien tapahtuman tulosäännön mukaan
Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)
Siten
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A)Pr(B)
= 0.5 + 0.6 − 0.5×0.6 = 0.8
(d)
Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yleisen tulosäännön mukaan
Pr(A∩B) = Pr(A|B)Pr(B).
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
21/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Siten
Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)
= Pr(A) + Pr(B) − Pr(A|B)Pr(B)
= 0.5 + 0.6 − 0.1×0.6 = 1.04 > 1
mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat selvästi ristiriitaisia.
Tehtävä 1.9.
Uurnassa on 3 valkoista ja 7 mustaa palloa.
(a)
Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa takaisinpanolla eli palauttaen.
Tällöin uurnasta nostetaan palloja yksi pallo kerrallaan ja jokainen nostettu pallo
palautetaan ennen seuraavan pallon nostoa takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys,
että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on ollut musta?
(b)
Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa ilman takaisinpanoa palauttamatta.
Tällöin uurnasta nostettuja palloja ei palauteta takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo
on ollut musta?
Tehtävä 1.9. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden
käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön
soveltamista yksinkertaiseen satunnaisotantaan.
Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta ilman takaisinpanoa eli palauttamatta
tapahtuu niin, että poimittua objektia ei palauteta takaisin poimittavien joukkoon,
jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen vain kerran.
Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta takaisinpanolla eli palauttaen tapahtuu
niin, että jokainen poimittu objekti palautetaan poimimisen jälkeen välittömästi takaisin
poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja.
Tehtävä 1.9. – Ratkaisu:
Poimitaan kaksi palloa uurnasta, jossa on 4 valkoista ja 7 mustaa palloa.
Olkoon
Ai = {i. pallo on musta}
Bi = {i. pallo on valkoinen} = Aic
(a)
Suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän perusteella
Pr(A1) = 7/10
Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1 ja B2 ovat riippumattomia.
Siten ehdollinen todennäköisyys
Pr(B2|A1) = Pr(B2) = 3/10
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
22/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
mikä nähdään todeksi huomaamalla, että toista palloa nostettaessa uurnassa on
edelleen 10 palloa, joista 3 on valkoista.
(b)
Suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän perusteella
Pr(A1) = 7/10
Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1 ja B2 eivät ole
riippumattomia ja siten ehdollinen todennäköisyys
Pr(B2|A1) = 3/9
mikä nähdään todeksi huomaamalla, että toista palloa nostettaessa uurnassa on enää
9 palloa, joista 3 on valkoista.
Tehtävä 1.10.
Uurnassa on 5 punaista ja 7 sinistä palloa.
(a)
Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys,
että saat kolme punaista palloa?
(b)
Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa?
(c)
Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet
sinisiä?
Tehtävä 1.10. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden
käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön
soveltamista yksinkertaiseen satunnaisotantaan; ks. myös tehtävää 1.9.
Tehtävä 1.10. – Ratkaisu:
Poimitaan kolme palloa uurnasta, jossa on 5 punaista ja 7 sinistä palloa.
Olkoon
Ai = {i. pallo on punainen}
Aic = {i. pallo on sininen}
(a)
Kysytty todennäköisyys on
Pr(A1∩A2∩A3)
Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia.
Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella
Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2)Pr(A3) = (5/12)3 = 0.0723
mikä nähdään todeksi huomaamalla, että koska poiminnan jokaisessa vaiheessa
uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
23/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
(b)
1. harjoitukset
Kysytty todennäköisyys on
Pr(A1∩A2∩A3)
Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1, A2 ja A3 eivät ole
riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella
Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A1∩A2) = (5/12)×(4/11)×(3/10) = 0.0455
Laskutoimituksen perustelu:
(i)
Ensimmäistä palloa poimittaessa uurnassa on 12 palloa, joista 5 on punaista.
(ii)
Jos ensimmäisenä poimittu pallo oli punainen, niin toista palloa poimittaessa
uurnassa on jäljellä 11 palloa, joista 4 on punaista.
(iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut pallot olivat punaisia, niin kolmatta palloa
poimittaessa uurnassa on jäljellä 10 palloa, joista 3 on punaista.
(c)
Kysytty todennäköisyys on
Pr(A3 | A1c∩A2 c)
Jos uurnassa on aluksi 7 sinistä ja 5 punaista palloa ja 2 sinistä palloa otetaan pois,
jäljelle jää 5 palloa kumpaakin väriä. Siten todennäköisyys saada seuraavaksi punainen
pallo on
Pr(A3 | A1c∩A2 c) = 5/10 = 0.5
Tehtävä 1.11.
Laatikossa on 10 hehkulamppua, joista 3 on viallista.
(a)
Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua takaisinpanolla.
Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?
(b)
Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua ilman takaisinpanoa.
Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia?
Tehtävä 1.11. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden
käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön
soveltamista yksinkertaiseen satunnaisotantaan; ks. myös tehtäviä 1.9. ja 1.10.
Tehtävä 1.11. – Ratkaisu:
Olkoon tapahtuma Ai = {i. lamppu on viallinen}.
(a)
Kysytty todennäköisyys on
Pr(A1∩A2∩A3)
Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia.
Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella
Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2)Pr(A3) = (3/10)3 = 0.027
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
24/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
mikä nähdään todeksi huomaamalla, että poiminnan jokaisessa vaiheessa laatikossa on
10 lamppua, joista 3 on viallista.
(b)
Kysytty todennäköisyys on
Pr(A1∩A2∩A3)
Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A1, A2 ja A3 eivät ole
riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella
Pr(A1∩A2∩A3) = Pr(A1)Pr(A2|A1)Pr(A3|A1∩A2)
= (3/10)×(2/9)×(1/8)
= 6/720 = 0.008333
Laskutoimituksen perustelu:
(i)
Ensimmäistä lamppua poimittaessa laatikossa on 10 lamppua, joista 3 on viallista.
(ii)
Jos ensimmäisenä poimittu lamppu oli viallinen, niin toista lamppua poimittaessa
laatikossa on jäljellä 9 lamppua, joista 2 on viallisia.
(iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut lamput olivat viallisia, niin kolmatta
lamppua poimittaessa laatikossa on jäljellä 8 lamppua, joista 1 on viallinen.
Tehtävä 1.12.
Eräässä yliopistossa on 10 000 opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden
sukupuoli- ja ikäjakaumaa. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet todennäköisyyden frekvenssitulkintaa käyttäen:
(a)
Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen.
(b)
Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on 25-34-vuotias.
(c)
Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on 25-34-vuotias.
14-17 18-24 25-34 ≥ 35
Ikä
Mies
50
2 500 1 000
400
Nainen
150
3 500 1 500
900
Tehtävä 1.12. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa,
ehdollisen todennäköisyyden käsitettä sekä yleistä yhteenlaskusääntöä.
Tehtävä 1.12. – Ratkaisu:
Olkoon
A = {opiskelija on nainen}
B = {opiskelija on 25-34-vuotias}
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
25/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tällöin
Ac = {opiskelija on mies}
(a)
Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan
Pr(A) = (150 + 3500 + 1500 + 900)/10000 = 6050/10000 = 0.605
Siten komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että
Pr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − 0.605 = 0.395
(b)
Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan
Pr(B) = (1000 + 1500)/10000 = 2500/10000 = 0.25
Tehtävän frekvenssitaulukosta nähdään, että
Pr(Ac∩B) = 1000/10000 = 0.1
Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan
Pr(Ac|B) = Pr(Ac∩B)/Pr(B) = 0.1/0.25 = 0.4 > 0.395 = Pr(Ac)
Siten tieto siitä, että satunnaisesti valittu opiskelija on 25-34-vuotias sisältää
informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun arvioidaan todennäköisyyttä, että ko.
opiskelija on mies.
(c)
Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan
Pr(Ac∪B) = Pr(Ac) + Pr(B) − Pr(Ac∩B) = 0.395 + 0.25 − 0.1 = 0.545
Tehtävä 1.13.
Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittiin vuonna 1988) kokoonpanoa.
Kongressiedustajat on luokiteltu taulukossa puoluekannan mukaan kahteen luokkaan ja
edustajanaoloajan mukaan kolmeen luokkaan. Taulukossa on annettu ainoastaan ne todennäköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan, kun puoluekantaa ja edustajanaoloaikaa tarkastellaan erillisinä. Täytä taulukon puuttuvat solut, jos oletamme, että puoluekanta
ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan.
Todennäköisyys
Edustajana
-oloaika
Demokraatti
Republikaani
Yhteensä
< 2 vuotta
0.090
2-9 vuotta
0.478
≥ 10 vuotta
0.432
Yhteensä
TKK
Puoluekanta
0.614
0.386
@ Ilkka Mellin (2008)
1
26/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
Tehtävä 1.13. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan riippumattomuuden käsitettä.
Tehtävä 1.13. – Ratkaisu:
Taulukon solujen todennäköisyydet saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön
perusteella kertomalla kutakin solua vastaavat reunatodennäköisyydet keskenään:
Todennäköisyys
< 2 vuotta
Edustajana
-oloaika
2-9 vuotta
≥ 10 vuotta
Yhteensä
Puoluekanta
Demokraatti
Republikaani
0.614×0.090
0.386×0.090
= 0.055
= 0.035
0.614×0.478
0.386×0.478
= 0.294
= 0.185
0.614×0.432
0.386×0.432
= 0.265
= 0.167
0.614
0.386
Yhteensä
0.090
0.478
0.432
1
Esimerkiksi:
Pr(Edustaja on republikaani ja hän on ollut edustajana ≥ 10 vuotta)
= Pr(Edustaja on republikaani)Pr(Edustaja on ollut edustajana ≥ 10 vuotta)
= 0.386×0.432
= 0.167
Tehtävä 1.14.
Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä
tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgentutkimus rintasyövän toteamiseksi), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on
annettu taulukossa alla. Taulukon solut ovat todennäköisyyksiä, että kumpikin tapahtumista
sattuu; esim. 0.321 on todennäköisyys, että potilas on alle 65-vuotias ja hänelle on tehty
mammografia.
Todennäköisyys
Ikä
(a)
Mammografia Mammografiaa
tehty
ei ole tehty
alle 65
0.321
0.124
65 tai yli
0.365
0.190
Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
A = {potilas on alle 65-vuotias}
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
27/28
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
1. harjoitukset
B = {potilas on 65-vuotias tai yli}
C = {potilaalle on tehty mammografia}
D = {potilaalle ei ole tehty mammografiaa}
(b)
Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia?
(c)
Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut
alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia,
jos hän on ollut 65-vuotias tai yli.
Tehtävä 1.13. – Mitä opimme?
Tehtävässä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden käsitettä.
Tehtävä 1.13. – Ratkaisu:
(a)
Kysytyt todennäköisyydet saadaan laskemalla tehtävän taulukosta ns. reunatodennäköisyydet eli rivi- ja sarakesummat:
Todennäköisyys
Ikä
Summa
alle 65
0.321
0.124
Pr(A) = 0.445
65 tai yli
0.365
0.190
Pr(B) = 0.555
Pr(C) = 0.686
Pr(D) = 0.314
1
Summa
(b)
Mammografia Mammografiaa
tehty
ei ole tehty
Jos tapahtumat B ja C ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien
tulosäännöstä seuraa, että
Pr(B∩C) = Pr(B)Pr(C)
Taulukosta saadaan
Pr(B∩C) = 0.365
Pr(B)Pr(C) = 0.381
Koska
Pr(B∩C) ≠ Pr(B)Pr(C)
tapahtumat B ja C eivät ole riippumattomia.
(c)
Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan
Pr(C|A) = Pr(C∩A)/Pr(A) = 0.321/0.445 = 0.721
Pr(C|B) = Pr(C∩B)/Pr(B) = 0.365/0.555 = 0.657
Tämän perusteella nuorempien potilaiden todennäköisyys päästä mammografiaan on
jonkin verran suurempi kuin vanhempien potilaiden todennäköisyys päästä
mammografiaan.
TKK
@ Ilkka Mellin (2008)
28/28