Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5B K Kytölä & V Husgafvel Syksy 2015 Harjoitus 5B Tilastolliset testit Tuntitehtävät 5B1 Ovatko seuraavat väittämät totta? Vastaa 1 = Totta, x = Vastausta ei tunneta annettujen tietojen pohjalta, tai 2 = Tarua. (a) Olkoon havaittu (määrällistä muuttujaa koskeva) aineisto x = (x1 , . . . , xn ). Aineiston mediaani on suurempi kuin alakvartiili. (b) Tilastokokeen mallinnuksessa käytettävän satunnaismuuttujan X odotusarvon µ P ja siihen liittyvän otoskeskiarvon m(X) = n1 ni=1 Xi varianssit ovat yhtä suuret. (c) Oletetaan, että havainnot ovat riippumattomia ja noudattavat normaalijakaumaa tuntemattomilla parametreilla µ ja σ 2 . Tehdään otos, ja saadaan aineisto (x1 , . . . , xn ). P n Suure d = n1 j=1 (xj − µ) on eräs aineiston tunnusluku. (d) Jos pohjaoletukset pitävät paikkansa, niin kiinnostuksen kohteena olevan parametrin luottamusväli on satunnainen väli, joka peittää kyseisen parametrin (tuntemattoman) todellisen arvon valitulla todennäköisyydellä. (e) Testin p-arvo tarkoittaa todennäköisyyttä, jolla nollahypoteesi on tosi. (f) Oikeuden päätös, jossa syyllistä syytettyä ei tuomita, on hylkäysvirhe. 5B2 Henkilöt A ja B ovat tietyn pelin harrastajia, ja pelin lajiliiton rankingissa A on luokiteltu korkeammalle kuin B. Rankingien luotettavuutta epäilevä teekkari haluaa selvittää, onko A todellakin taitavampi pelaaja kuin B. Yleisenä hypoteesina voidaan olettaa, että yksittäisessä pelissä pelaaja A voittaisi todennäköisyydellä θ ∈ [0, 1], joka riippuu pelaajien taitotasoerosta, ja että eri pelikertojen tulokset ovat keskenään riippumattomat. Teekkari järjestää kokeen, jossa A ja B pelaavat keskenään kahdeksan pelin sarjan, ja hän muotoilee nollahypoteesin H0 : Pelitasossa ei ole eroa, joten θ = θ0 = 0.5 sekä vaihtoehtoisen hypoteesin H1 : Pelaaja A on taitavampi, joten θ > 0.5. Jos yleinen hypoteesi pätee, niin pelaajan A voittojen lukumäärä V kahdeksan pelin sarjassa noudattaa Bin(8, θ)-jakautumaa. (a) Auta teekkaria muotoilemaan merkitsevyystason α = 0.05 testi käyttäen testisuureena pelaajan A pelisarjassa saavuttamien voittojen lukumäärää v. Testissä nollahypoteesi hylätään, jos v > vα sopivasti valitulla kriittisellä arvolla vα . Mikä on sellainen kriittinen arvo vα , että merkitsevyystasoa pienemmät p-arvot p ≤ α johtavat hylkäämiseen ja sitä suuremmat p > α vastaavasti hylkäämättä jättämiseen? (b) Oletetaan sitten, että pelaajilla tosiaan on tasoero siten, että pelaajan A voiton todennäköisyys on θ = 0.7 kussakin pelissä. Mikä on todennäköisyys, että tasoerosta huolimatta kohdassa (a) laaditussa testissä nollahypoteesia ei hylättäisi? (c) Pohdi hylkäysvirheitä ja hyväksymisvirheitä tässä testissä. 1/2 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & V Husgafvel Syksy 2015 Harjoitus 5B Kotitehtävät 5B3 Tehdas tekee nauloja, joiden tavoitepituus on 10 cm. Valmistettujen naulojen pituus vaihtelee kuitenkin satunnaisesti noudattaen normaalijakaumaa. Valmistettujen naulojen laatua valvotaan niin, että tasatunnein edellisen tunnin aikana valmistettujen naulojen joukosta poimitaan satunnaisesti 30 naulaa, joiden pituudet mitataan. Eräässä otoksessa naulojen pituuden keskiarvoksi saatiin 10.05 cm ja otosvarianssiksi 0.16 cm2 . Testaa nollahypoteesia, että ko. tunnin aikana valmistettujen naulojen todellinen keskipituus on tavoitearvon mukainen, kun vaihtoehtoisena hypoteesina on, että keskipituus eroaa tavoitearvosta. Käytä testissä 5 %:n merkitsevyystasoa. 5B4 Ruuvitehtaassa on kaksi ruuveja valmistavaa konetta, K1 ja K2 . Koneiden valmistamien ruuvien paksuudet vaihtelevat satunnaisesti (ja toisistaan riippumatta) noudattaen normaali-jakaumaa. Kummankin koneen valmistamien ruuvien joukosta poimitaan toisistaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset ja otoksista lasketaan ruuvien paksuuksien keskiarvot ja otosvarianssit. Otoksista saatu data on annettu alla olevassa taulukossa. Testaa nollahypoteesia, että koneet valmistavat keskimäärin saman paksuisia ruuveja, kun vaihtoehtoisena hypoteesina on, että koneiden valmistamien ruuvien keskipaksuudet eroavat toisistaan. Käytä testissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Kone Keskiarvo (mm) Otosvarianssi (mm2 ) K1 9.9 0.25 K2 10.3 0.16 Otoskoko 31 21 2/2