1. No category

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
4A
H Seppälä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 4A
Satunnaisvektorit
Moniulotteiset jakaumat
Tuntitehtävät
4A1 Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio
Pr(X = −1, Y = 3) = Pr(X = 0, Y = −2) = Pr(X = 0, Y = 1) = Pr(X = 2, Y = −2) = 1/4
Edellisessä laskuharjoituksessa määritettiin X:n ja Y :n jakaumat. Määritä:
(a) Satunnaismuuttujan Y ehdolliset jakaumat ehtomuuttujan X suhteen.
(b) E Y | X = x .
4A2 Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio
f (x, y) = 4xy,
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Edellisessä laskuharjoituksessa määritettiin X:n ja Y :n jakaumat. Määritä:
(a) Tiheysfunktio X:n ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on Y .
(b) Ehdollinen odotusarvo E X | Y = y .
1/2
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
H Seppälä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 4A
Kotitehtävät
4A3 Oletetaan, että satunnaisvektori (X, Y) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa
parametrein:
E[X] = 2
E[Y ] = −10
Cov(X, Y ) = −5
Var(X) = 9
Var(Y ) = 4
Määrää:
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y jakaumat.
(b) Pearsonin korrelaatiokerroin Cor(X, Y ).
(c) Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on Y .
4A4 Oletetaan, että satunnaisvektori (X, Y ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa.
Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan X regressiofunktio ehtomuuttujan Y suhteen
on
1
4
E X |Y =y =− y−
5
5
ja satunnaismuuttujan Y regressiofunktio satunnaismuuttujan X suhteen on
1
5
E Y |X =x =− x− .
4
4
Määritä:
(a) Satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot.
(b) Satunnaismuuttujien X ja Y Pearsonin korrelaatiokerroin.
2/2