1. No category

Fys. matem. menet. IIb
Harjoitus 1
Kevät 2015
(Palautetaan ti 17.3. klo. 16 mennessä, käsitellään ti 24.3. ja pe 27.3.)
1. Etsi funktion
x3 y 2
−
−x
3
2
ääriarvot suoralla y = x − 1. Mitkä ovat lokaaleja maksimeja, mitkä minimejä? Ratkaise tehtävä sekä Lagrangen kertojan menetelmää käyttäen että
eliminoimalla toinen muuttuja sidosehdon avulla.
f (x, y) =
2. (a) Etsi funktion f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ääriarvot pintojen x + y + z = 1 ja
xyz = −1 leikkauksella.
(b) Etsi funktion f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 maksimi sidosehdolla x2 + y 2 + z 2 = c2 .
*(c) Osoita b-kohdan tuloksen
avulla että kolmen positiivisen luvun a, b, c geo√
metrinen keskiarvo 3 abc ei koskaan ylitä niiden aritmeettista keskiarvoa
(a + b + c)/3.
R1 p
3. Mille y(x) funktionaali J[y] = 0 dx y(1 + (y 0 )2 ), y(0) = y(1) = 21 on stationaarinen?
4. Harmoninen oskillaattori: Harmonista oskillaattoria voidaan tarkastella
Lagrangen mekaniikassa funktionaalien avulla. Lagrangen funktio on tällöin
1
1
L(t, x, ẋ) = K − V = mẋ2 − kx2 ,
2
2
missä m on oskillaattorin massa ja k jousivakio. Lagrangen funktioon liittyvä
funktionaali on tietysti aktio
Z
S[x(t)] = dt L(t, x, ẋ) .
Johda harmonisen oskillaattorin liikeyhtälö aktiosta S[x(t)] vaatimalla, että
se on stationaarinen pienten muutosten suhteen.
5. Hyrrän prekessio: Pyörivälle sylinterisymmetriselle hyrrälle voidaan johtaa
Lagrangen funktio
2 1 1 L = Ia θ̇ + φ̇ cos α + Ib α̇2 + φ̇2 sin2 α − mgs cos α ,
2
2
missä α on hyrrän kallistuskulma, θ hyrrän kiertokulma itsensä ympäri ja φ
hyrrän pyörähdysakselin kiertokulma eli prekession kiertokulma (katso kuva
seuraavalla sivulla). Vakiot m ja g ovat hyrrän massa ja gravitaatiokiihtyvyys, ja s on hyrrän massakeskipisteen etäisyys hyrrän kärjestä. Vakiot Ia ja
Ib ovat hyrrän hitausmomentit pyörähdysakselin ja pyörähdysakselia vastaan
kohtisuoran akselin suhteen, kun hyrrä pyörii kärkensä ympäri. Johda hyrrän
liikeyhtälöt aktiosta
Z
S[α(t), θ(t), φ(t)] = dt L ,
ja osoita, että jos φ̇ θ̇ ja θ̈, φ̈ ≈ 0, prekessiotaajuus f = 2π φ̇ on kääntäen
verrannollinen hyrrän pyörimisnopeuteen ω = θ̇.
Kuva 1: Tehtävien laatijan kubistinen näkemys pyörivästä hyrrästä.