Download Report

FFYS5009 Fysiikka 1, syksy 2015
lisätehtäviä
Tässä on joukko erilaisia mekaniikan perustehtäviä omatoimiseen harjoitteluun. Tehtäviä voi tehdä
itsenäisesti ja palauttaa kirjallisesti. Tehtävät on jaettu moduuleittain ja suorituspisteitä saa asteikolla 0-1-2 per palautettu tehtävä. Väärin menneitä tai puutteellisia tehtäviä saa toki yrittää
uudelleen.
1
Taidot
1. Suureilla on seuraavat arvot a = 1.2 A, b = 35.4 B, c = 9876.0 B2 /A2 . Mikä on lausekkeen
c/b − b/a2 arvo, tämän järkevä tarkkuus sekä yksikkö?
2. Arvioi montako pisaraa on Maapallon valtamerissä.
3. Arvioi montako puuta kasvaa Suomessa.
4. Kappaleen paikkaa kuvaa funktio x(t) = −at − b ln(1 + e−ct ), missä a, b ja c ovat vakioita. (a)
Mitkä ovat vakioiden yksiköt? (b) Piirrä funktion kuvaaja aikavälillä 0 . . . 5 s, kun vakioiden
lukuarvot ovat 10, 100 ja 0.1. (c) Piirrä myös funktion derivaatan kuvaaja.
5. Tarkastellaan vielä edellisen tehtävän kuvaajaa. Kun aika kuluu (t on suuri), paikkaa kuvaa
likimain funktio x(t) ≈ kt. Ilmoita vakio k vakioiden a, b ja c avulla.
2
Liike
1. Jääpala (massa 8,00 kg) päästetään liukumaan 1,50 m pitkän kaltevan tason yläpäästä alkuvauhdilla 0,0 m/s. Jääpalan vauhti kaltevan tason alapäässä on 2,50 m/s. Mikä on kaltevan
tason ja vaakatason välinen kulma?
2. Jos kappaleiden paino olisi verrannollinen niiden massan neliöön, miten kappaleet putoaisivat
gravitaatiokentässä?
3. Kappaleen nopeus on ajan funktiona v(t) = ce−at , missä c = 0.65 m/s ja a = 0.30 s−1 . Mikä
on kappaleen (a) kiihtyvyys ja (b) paikka ajan funktiona? (c) Piirrä näiden suureiden kuvaajat.
4. Autoa (alkunopeus 105 km/h) jarrutetaan siten, että kiihtyvyys on a(t) = ct, vakio c =
−2.67 m/s3 . (a) Missä ajassa auto pysähtyy? (b) Kuinka pitkän matkan auto kulkee?
5. Nopeasti putoavan kappaleen paikkaa esittää funktio x(t) = −at − b ln(1 + e−ct ), kun
kappaleeseen vaikuttaa painovoima ja ilmanvastus. Tällöin kappaleen kiihtyvyys on aluksi
−g = −9.8 m/s2 ja lopuksi nolla. Lisäksi tiedetään, että kappaleen nopeus on aluksi nolla
eli kappale lähtee liikkeelle levosta ja nopeus lähestyy arvoa −50.0 m/s. Mitä ovat vakioiden
a, b ja c arvot?
3
Säilymislait
1. Sadepisarat putoavat maahan 1700 m maan pinnan yläpuolella olevasta pilvestä. Mikä olisi
sadepisaroiden vauhti niiden iskeytyessä maahan, jos ilmanvastusta ei olisi? Olisiko tällöin
turvallista olla ulkona?
1
2. Kun yksimoottorisen lentokoneen (m = 700 kg) moottori toimii täydellä tehollaan 75 kW,
kasvattaa lentokone lentokorkeuttaan 2,5 m/s. Kuinka suuri osa moottoritehosta käytetään
lentokorkeuden kasvattamiseen?
3. Kaksi kappaletta A ja B (massat mA = 2,0 kg ja mB = 3,0 kg) törmäävät toisiinsa. Niiden
nopeudet ennen törmäystä ovat ~vAa = 15ı̂ + 30̂ ja ~vBa = −10ı̂ + 5,0̂. Törmäyksen jälkeen
~vAl = −6,0ı̂ + 30̂. Kaikki nopeudet ovat yksiköissä m/s. Mikä on kappaleen B loppunopeus?
Kuinka paljon liike-energiaa vapautui tai menetettiin törmäyksessä?
4. Tasovaa’an päälle pudotetaan 3,5 m korkeudelta kappaleita (massa 110 g) tasaisin väliajoin
(pudotustaajuuden ollessa 42 s−1 ). Mikä on vaa’an näyttämä, jos kappaleiden törmäykset
vaakaan ovat täysin kimmoisia (kappaleet pomppaavat pois vaa’alta) ja vaakatason massa on
paljon suurempi kuin putoavien kappaleiden massa sekä vaa’an reagointiaika on pitempi kuin
kahden törmäyksen välinen aika.
5. Kiekko, jonka massa on 1.0 kg ja säde 15 cm pyörii kitkattoman akselin ympäri tasaisella
kulmanopeudella 2.4 s−1 . Kiekolle pudotetaan pieni pala savea, joka tarttuu kiekkoon kiinni.
Savipalan massa oli 12 g ja se osui 7.5 cm etäisyydelle pyörimisakselista. Mikä on kiekon
kulmanopeus tämän jälkeen?
4
Voima ja vuorovaikutukset
1. Kappale liikkuu ajan hetkellä t = 0 s positiiviseen x-suuntaan nopeudella 12.5 m/s. Kappaleeseen vaikuttaa voima x-suuntaan. Voiman suuruus riippuu ajasta funktion Fx (t) =
(1.0 N) − (3.5 N/s2 )t2 mukaisesti. (b) Milloin kappale pysähtyy? (b) Kuinka pitkälle kappale
liikkuu ennen kuin se pysähtyy?
2. Kuvan kappaleiden painot ovat A: 1.40 N ja
B: 4.20 N. Liikekitkakerroin kaikkien pintojen välillä on 0.30. Mikä pitää voiman F~ suuruuden olla, jotta kappaleet liikkuisivat vakionopeudella? Väkipyörän ja narun massa
on vähäinen kappaleiden massaan verrattuna. Väkipyörän kitka on pieni ja narun venymä vähäinen.
3. Kiila (massa M ) on kitkattomalla alustalla.
Kiilan päällä on kappale (massa m). Kappaleiden M ja m välillä ei ole kitkaa. Mikä voiman F itseisarvon tulee olla, että kappale m
pysyy vakiokorkeudella?
4. Voiman komponentti positiivisen x akselin suuntaan on F = b/xn , missä b ja n ovat vakioita.
(a) Kun n > 1, laske voiman kappaleeseen tekemä työ, kun kappale liikkuu x akselin suuntaisesti pisteestä x = x0 > 0 äärettömyyteen. (b) Osoita, että kun 0 < n < 1 on voiman
b
tekemä työ ääretön, kun kappale liikkuu pisteestä x0 äärettömyyteen. (V: (a) (n−1)x
n−1 )
0
2
5. Kappale lähtee liikkeelle origosta positiivisen x-akselin suuntaan alkunopeudella v0 . Siihen
vaikuttaa voima α/v, α < 0 ja v on kappaleen vauhti. Missä ajassa kappaleen nopeus on
pienentynyt puoleen?
5
Moniulotteinen liike
1. Valopistoolilla ammutaan merkkivalo 55o kulmassa vaakatasoon nähden. Ammuksen alkuvauhti on 120 m/s. Mikä on ammuksen kantama (a) maassa ja (b) kuussa (g = 1,6 m/s2 )?
Ilmanvastus jätetään huomiotta.
2. Kappaleeseen vaikuttaa voima F~ = α(yı̂ + x2 ̂). Minkä työn ko. voima kappaleeseen tekee,
kun kappale siirtyy pisteestä (0,0) pisteeseen (2,4) käyrää y = x2 pitkin? Kuten edellä, mutta
kappale siirtyy pitkin käyrää y = 2x?
3. Pistemäinen kappale liikkuu xy-tasossa. Sen koordinaatit ovat
x(t) = R(ωt − sin ωt), y(t) = R(1 − cos ωt),
missä R ja ω ovat vakioita. (a) Piirrä kappaleen ratakäyrän kuva. (Tällainen ratakäyrä on
pyörän kehällä olevalla pisteellä kun pyörä pyörii tasaisella nopeudella liukumatta tasaista vaakasuoraa pintaa pitkin. Syntyvää käyrää sanotaan sykloidiksi.) (b) Määritä kappaleen
nopeuden ja kiihtyvyyden komponentit kunakin ajanhetkenä t. (c) Minä ajanhetkinä kappale
on levossa? Mitkä ovat kappaleen koordinaatit näinä hetkinä? Mikä on kappaleen kiihtyvyyden suuruus ja suunta ko. ajanhetkinä? (d) Riippuuko kiihtyvyyden suuruus ajasta? Vertaa
tasaiseen ympyräliikkeeseen.
4. Laatikossa on neliön muotoinen kansi, jonka sivun pituus on 15 cm ja massa 750 g. Kansi,
joka on saranoitu toisesta päästään, on avattu 45◦ kulmaan. Yhtäkkiä kansi pääsee irti ja se
läimähtää painovoiman vetämänä kiinni. Mikä on kannen kulmanopeus juuri ennen kuin se
osuu laatikkoon?
5. Pallo (massa m) pudotetaan (levosta) korkeudelta h vaakasuoran maanpinnan yläpuolelta. Palloon vaikuttaa vakioksi oletetun gravitaatiovoiman lisäksi sivutuuli, joka aiheuttaa
palloon vaakasuoran voiman, jonka suuruus on αy 2 , missä α on vakio ja y on pallon korkeus
maanpinnasta. (a) Mikä on vakion α yksikkö? (b) Kuinka kaukana pudotuskohdasta pallo
iskeytyy maanpintaan (mitattuna maanpintaa pitkin)?
3