1. No category

BM30A2600
MEKANIIKAN PERUSTEET
Luennot
Syksy 2015
Kirsi Ikonen
Sisällysluettelo
1 JOHDANTO.....................................................................................................................................1
1.1 Fysiikka ....................................................................................................................................1
1.2 Matematiikkaa..........................................................................................................................1
1.3 SI - järjestelmä..........................................................................................................................1
1.4 Yksiköiden muunnokset............................................................................................................2
1.5 Laskentatarkkuus......................................................................................................................2
2 SUORAVIIVAINEN LIIKE.............................................................................................................3
2.1 Johdanto....................................................................................................................................3
2.2 Keskinopeus ja keskivauhti......................................................................................................3
2.3 Nopeus .....................................................................................................................................4
2.4 Keskikiihtyvyys ja kiihtyvyys..................................................................................................5
2.5 Tasaisesti kiihtyvä liike.............................................................................................................6
2.6 Vapaa putoaminen.....................................................................................................................8
2.7 Kappaleen nopeus ja paikka, kun kiihtyvyys ei ole vakio........................................................9
3 LIIKE TASOSSA JA AVARUUDESSA ........................................................................................11
3.1 Paikka ja nopeus.....................................................................................................................11
3.2 Kiihtyvyys...............................................................................................................................12
3.2.1 Kiihtyvyyden normaali- ja tangentiaalikomponentit......................................................13
3.3 Ympyräliike............................................................................................................................14
3.3.1 Tasainen ympyräliike......................................................................................................14
3.3.2 Nopeudeltaan muuttuva ympyräliike..............................................................................15
3.4 Vino heittoliike .......................................................................................................................16
3.5 Suhteellinen liike....................................................................................................................18
3.5.1 Yksiulotteinen tapaus......................................................................................................18
3.5.2 Suhteellinen liike tasossa ja avaruudessa........................................................................19
4 ETENEVÄN LIIKKEEN DYNAMIIKKA....................................................................................20
4.1 Johdanto..................................................................................................................................20
4.2 Voimat ja voimien superpositio..............................................................................................20
4.3 Newtonin lait...........................................................................................................................21
4.3.1 Newtonin ensimmäinen laki............................................................................................21
4.3.2 Newtonin toinen laki eli dynamiikan peruslaki .............................................................21
4.3.3 Massa ja paino.................................................................................................................22
4.3.4 Newtonin kolmas laki eli voiman ja vastavoiman laki ..................................................22
4.4 Esimerkkejä Newtonin lakien käytöstä...................................................................................23
4.5 Kitka........................................................................................................................................24
4.6 Luonnon perusvuorovaikutukset.............................................................................................25
5 TYÖ JA LIIKE-ENERGIA............................................................................................................26
5.1 Johdanto..................................................................................................................................26
5.2 Työ .........................................................................................................................................26
5.3 Työ-energia-periaate...............................................................................................................27
5.4 Työ muuttuville voimille.........................................................................................................27
5.4.1 Harmoninen voima..........................................................................................................28
5.4.2 Työn laskeminen yleisesti...............................................................................................28
5.5 Teho.........................................................................................................................................29
5.5.1 Teho ja nopeus.................................................................................................................29
6 POTENTIAALIENERGIA, ENERGIAN SÄILYMINEN............................................................31
6.1 Johdanto..................................................................................................................................31
6.2 Painovoimakentän potentiaalienergia ....................................................................................31
6.3 Harmonisen voiman (jousen) potentiaalienergia....................................................................32
6.4 Mekaanisen energian säilyminen............................................................................................33
6.5 Konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat........................................................................34
6.6 Energian säilymislaki..............................................................................................................35
6.7 Voiman ja potentiaalienergian yhteys.....................................................................................35
6.7.1 Tasapainotilat .................................................................................................................36
7 MONEN KAPPALEEN SYSTEEMIT..........................................................................................37
7.1 Johdanto..................................................................................................................................37
7.2 Massakeskipiste .....................................................................................................................37
7.3 Kappaleen liikemäärä ja voiman impulssi............................................................................39
7.4 Liikemäärän säilyminen..........................................................................................................41
7.5 Hiukkassysteemin liike-energia..............................................................................................43
7.6 Törmäykset.............................................................................................................................44
7.6.1 Kimmoton törmäys.........................................................................................................44
7.6.2 Osittain kimmoisa törmäys.............................................................................................45
7.6.3 Kimmoisa törmäys..........................................................................................................45
8 PYÖRIMISLIIKE...........................................................................................................................47
8.1 Johdanto..................................................................................................................................47
8.2 Kulmanopeus ja -kiihtyvyys...................................................................................................47
8.2.1 Kulmanopeus..................................................................................................................48
8.2.2 Kulmakiihtyvyys.............................................................................................................49
8.3 Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike.............................................................................................50
9 PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA......................................................................................52
9.1 Johdanto..................................................................................................................................52
9.2 Voiman momentti....................................................................................................................52
9.3 Pyörimisliikkeen perusyhtälö.................................................................................................53
9.4 Kappaleen hitausmomentin laskeminen.................................................................................55
9.4.1 Steinerin sääntö...............................................................................................................55
9.5 Esimerkkejä pyörivän kappaleen dynamiikasta......................................................................56
9.6 Pyörimisliikkeen energia........................................................................................................57
9.7 Työ ja teho pyörimisliikkeessä ...............................................................................................58
9.8 Yhdistetty etenevä liike ja pyörimisliike................................................................................59
9.8.1 Vieriminen liukumatta.....................................................................................................59
9.8.2 Pyörivän ja etenevän kappaleen energia........................................................................60
9.8.3 Vierivän ja etenevän kappaleen dynamiikka...................................................................60
9.9 Liikemäärämomentti...............................................................................................................61
9.10 Liikemäärämomentin säilyminen.........................................................................................62
9.10.1 Prekessio.......................................................................................................................64
10 TASAPAINO................................................................................................................................64
10.1 Johdanto................................................................................................................................64
10.2 Tasapainoehdot.....................................................................................................................65
10.2.1 Voimien tasapaino.........................................................................................................65
10.2.2 Momenttien tasapaino...................................................................................................65
LIITE A : Perusmatematiikkaa...........................................................................................................67
A.1 Potenssit, logaritmit, ym........................................................................................................67
A.2 Trigonometriset funktiot.........................................................................................................67
LIITE B : Derivointi...........................................................................................................................69
B.1 Keskimääräinen muutosnopeus. Derivaatta...........................................................................69
B.2 Derivointisääntöjä..................................................................................................................70
LIITE C : Integrointi..........................................................................................................................71
C.1 Määrätty integraali.................................................................................................................71
LIITE D : Vektorit..............................................................................................................................73
D.1 Vektorit...................................................................................................................................73
D.2 Vektorialgebraa......................................................................................................................73
D.3 Vektori suorakulmaisessa koordinaatistossa .........................................................................75
D.4 Vektorien yhteen- ja vähennyslasku suorakulmaisessa koordinaatistossa.............................76
D.5 Vektorien pistetulo ................................................................................................................77
D.6 Vektorien ristitulo...................................................................................................................78
D.7 Vektorin derivaatta.................................................................................................................79
D.8 Vektorin integrointi................................................................................................................80
D.9 Käyrän vektoriesitys, parametriesitys ja käyrän yhtälö.........................................................80
LIITE E: Tenttipaperin liitteenä jaettavat yhtälöt...............................................................................82
Hitausmomentteja.....................................................................................................................83
1
1 JOHDANTO
1.1 Fysiikka
Fysiikka kuvaa meitä ympäröivän maailman ilmiöitä niistä tehtyjen kokeellisten havaintojen
perusteella. Kuvaus perustuu muutamaan mitattujen suureiden välisiä suhteita kuvaavaan
peruslakiin, joista ilmiöiden havaitut piirteet ovat johdettavissa. Jokaisen peruslain sovellusalue on
hyvin laaja, mutta lakien soveltaminen edellyttää tilanteen yksinkertaistamista ja epäolennaisten
piirteiden karsimista. Peruslakien avulla ilmiöitä voidaan kuvata matemaattisilla malleilla, joiden
avulla voidaan laskea ilmiöön liittyvien suureiden arvoja. Fysiikan lakien käyttö edellyttää siis
matematiikan perustaitojen hallintaa.
1.2 Matematiikkaa
Vaikka matematiikka onkin fysiikan keskeinen työväline, varsin pitkälle riittää, kun hallitsee
kohtuullisen suppean joukon matemaattisia apuvälineitä. Tavallisimpia fysiikan tehtävissä esiintyviä
funktioita ja laskusääntöjä on koottu liitteeseen A. Useat fysiikan suureet, kuten esimerkiksi nopeus
ja kiihtyvyys, määritellään muutosnopeuden eli derivaatan avulla. Derivaatan ominaisuuksia ja
derivointiin liittyviä laskusääntöjä on koottu liitteeseen B. Mikäli funktion derivaatta tunnetaan, itse
funktio saadaan selville integroiden. Joitakin integraalilaskennan perusasioita on liitteessä C.
Usein fysikaalisen suureen arvon ilmaisemiseen riittää pelkkä lukuarvo. Esimerkiksi tiheys ρ, massa
m, tilavuus V ja lämpötila T ilmaistaan pelkän lukuarvon ja suureeseen liittyvän mittayksikön
avulla. Nämä suuret ovat skalaarisuureita. Moniin muihin suureisiin liittyy suuruuden lisäksi myös
suunta. Näitä suureita kuvaamaan tarvitaan vektoreita. Tässä monisteessa vektorisuureet merkitään
lihavoiden, kuten esimerkiksi voima F, nopeus v, kiihtyvyys a. Muut merkintätavat ja
vektorilaskennan perusteet on esitelty liitteessä D. Vektoreilla on keskeinen sija niin mekaniikan
kuin myös sähköopin kursseilla ja siksi vektoreiden käsittelyyn liittyvät perusoperaatiot on
ehdottomasti hallittava.
1.3 SI - järjestelmä
SI - järjestelmä yhtenäistää mittauksissa käytetyt mittayksiköt. Mittayksiköt jaetaan perussuureisiin
ja johdannaissuureisiin. Mekaniikassa tarvitaan vain kolme perussuuretta: pituus l, aika t ja massa
m. Pituuden yksikkö on [l] = m, metri, ajan yksikkö [t] = s, sekunti sekä massan yksikkö [m] = kg,
kilogramma. Muita perussuureita ovat lämpötila T, [T] = K, kelvin, sähkövirta I, [I] = A, ampeeri,
ainemäärä n, [n] = mol, mooli sekä valovoima I, [I] = cd, kandela.
Kaikki muut suureet voidaan muodostaa perussuureiden avulla ja niiden mittayksiköt
perussuureiden mittayksikköjen avulla, esimerkiksi nopeus v, jonka yksikkö on [v] = m/s. Joidenkin
johdannaissuureiden mittayksiköillä on oma nimensä. Tällaisia ovat mm. voima F, yksikkönä [F] =
kgm/s2 = N, newton, työ W, yksikkönä [W] = Nm = J, joule. Kulman θ SI-järjestelmän mukainen
mittayksikkö on [θ] = rad, radiaani. Lisäksi yleisessä käytössä on joukko vakiintuneita, SI järjestelmään kuulumattomia yksiköitä, kuten esimerkiksi vuosi a, tunti h ja minuutti min. Atomi- ja
ydinfysiikassa käytetään yleisesti yksikköä elektronivoltti eV = 1,60×10-19 J.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
2
1.4 Yksiköiden muunnokset
Useiden fysiikassa esiintyvien suureiden vaihteluväli on hyvin laaja. Siksi on kiinnitettävä erityistä
huomioita lukuarvojen esitystapaan. Selkeintä on esittää suuret ja pienet lukuarvot kymmenen
potenssien avulla siten, että eksponentti on kolmella jaollinen. Yleisimmille kymmenen potensseille
on oma lyhenteensä, jota voi käyttää mittayksikön etuliitteenä (Taulukko 1.1).
Mittayksikköön tulee liittää
Kymmenen Etuliite Lyhenne Kymmenen Etuliite Lyhenne vain yksi etuliite eikä
potenssi
potenssi
samassa yhteydessä saa
käyttää sekä etuliitettä että
1015
peta
P
10-3
milli
m
kymmenen potenssia.
Lopuksi muutamia
käytännön ohjeita. Tehtäviä
109
giga
G
10-9
nano
n
ratkaistaessa tulee aluksi
johtaa tuntemattomalle
106
mega
M
10-12
piko
p
suureelle lauseke
tunnettujen suureiden
103
kilo
k
10-15
femto
f
funktiona, jotta nähdään
näiden keskinäinen
Taulukko 1.1: Kymmenpotenssien etuliitteet ja lyhenteet
riippuvuus. Vasta tämän
jälkeen sijoitetaan
paikoilleen suureiden lukuarvot yksiköineen (korvaa yksiköitten etuliitteet vastaavilla kymmenen
potensseilla). Yleensä yksiköt kannattaa aina muuntaa SI - järjestelmän mukaisiksi. Kun tuloksen
numeroarvo on laskettu, tarkistetaan, että sijoitettujen suureiden mittayksiköt antavat laskettavalle
suureelle tulokseksi oikean yksikön ja arvioidaan, että tuloksen lukuarvo on järkevä.
1012
tera
T
10-6
mikro
μ
1.5 Laskentatarkkuus
Numeerisessa laskennassa on aina kiinnitettävä huomiota myös laskentatarkkuuteen. Lukuarvon
tarkkuus ilmoitetaan usein luvussa olevien numeroiden määrän avulla. Jos esimerkiksi kappaleen
pituudeksi ilmoitetaan l = 0,026 m, se tarkoittaa, että kappaleen pituus l on välillä 0,0255 m < l <
0,0265 m. Pituuden l tarkkuus on silloin 1 mm ja pituuden lukuarvossa on kaksi merkitsevää
numeroa. Huomaa, että suuren luvun tarkkuus on helppo päätellä, jos käytetään
kymmenpotenssiesitystä. Oletetaan esimerkiksi, että kahden pisteen väliseksi etäisyydeksi on
mitattu d = 1350 m. Nyt mittauksen todellista tarkkuutta (±5 m vai ±0,5 m) ei voi päätellä, mutta
kymmenpotenssiesitystä käyttäen näin on: jos mittaustarkkuus on ±5 m, annetaan tulos muodossa
d = 1,35×103 m, mutta jos tarkkuus on ±0,5 m, kirjoitetaan tulos d = 1,350×103 m.
Lukujen esitystarkkuus kannattaa ottaa huomioon tuloksia laskettaessa, jotta vältytään turhalta
kirjoitustyöltä. Perussääntö laskettaessa on, että välitulokset kirjataan 1- 2 numeroa suuremmalla
tarkkuudella, kuin lähtöarvot, mutta lopputuloksiin otetaan mukaan sama määrä merkitseviä
numeroita kuin on epätarkimmassa lähtöarvossa.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
3
2 SUORAVIIVAINEN LIIKE
2.1 Johdanto
Mekaniikka tutkii kappaleiden liikettä sekä voimien vaikutuksia kappaleisiin ja niiden liiketilaan.
Mekaniikasta voidaan erottaa kolme aluetta: kinematiikka, dynamiikka ja statiikka. Kinematiikka
tutkii kappaleen liikettä, kun sen liiketila (paikka, nopeus ja kiihtyvyys) jollakin hetkellä tunnetaan.
Millaiset voimat ovat liikkeen syynä, ei kuulu kinematiikan tutkimuskohteisiin. Dynamiikka sen
sijaan käsittelee voimia ja niiden aiheuttamia liiketilojen muutoksia. Statiikka puolestaan tutkii
ehtoja, joilla voimat ovat tasapainossa. Seuraavissa luvuissa tarkastellaan näitä kolmea mekaniikan
aluetta olettaen, että kappaleen liike on yksinomaan etenevää liikettä, ts. pyörimisliikettä ei esiinny.
Tästä seuraa, että kappaleita voidaan tarkastella liikkuvina massapisteinä, joiden koko massa on
keskittynyt painopisteeseen. Sama rajoitus koskee myös statiikkaa: pyörimisliikkeen mahdollisuutta
ei ole, ts. kaikkien voimien voidaan ajatella vaikuttavan samaan pisteeseen. Tämä rajoitus
poistetaan, kun statiikkaan palataan uudelleen viimeisessä luvussa.
2.2 Keskinopeus ja keskivauhti
Tarkastellaan aluksi yksiulotteista liikettä x-akselilla,
P0
jolloin kappaleen paikka voidaan ilmaista sen xP1
koordinaatin avulla. Kappaleen liiketilan yksikäsitteiseen
x 1 - x0
x
määrittämiseen tarvitaan vielä tieto kappaleen nopeudesta
ja kiihtyvyydestä.
t1 - t0
Määritellään aluksi kappaleen keskinopeus vk. Jos kappale
(x0, t0)
(x1 ,t1 )
on hetkellä t0 x-akselin pisteessä x0 ja hetkellä t1 pisteessä
Kuva 2.1: X-akselilla liikkuva kappale
x1 (kuva 2.1) on keskinopeus
vk =
Nopeuden yksikkö on [vk] =
x 1 − x0
siirtymä
Δx
=
=
käytetty aika
t1 − t0
Δt
(2.1)
m
.
s
Kuten jo luvussa 1 todettiin, nopeus on itse asiassa vektori,
koska se sisältää tiedon myös kappaleen liikesuunnasta. Kun
x
liike rajoitetaan x-akselille, ei vektorimerkintöjä tarvita, vaan
liikkeen suunnan ilmaisee keskinopeuden etumerkki: jos vk > 0,
kappale liikkuu positiivisen x-akselin suuntaan. Vastaavasti, jos x
1
vk < 0, liike on negatiivisen x-akselin suuntaan. Jos kappaleen
paikka x ajan funktiona esitetään graafisesti (kuva 2.2), vk on x-t
x0
- kuvaajaan piirretyn, pisteitä P0 ja P1 yhdistävän suoran
kulmakerroin.
P1
P0
t0
t1
t
Keskinopeus ei ota kantaa siihen, mikä oli kappaleen todellinen Kuva 2.2: Kappaleen paikka ajan
reitti, kun siirrytään pisteestä x0 pisteeseen x1. Keskivauhti uk
funktiona.
puolestaan ottaa huomioon tarkasteluaikana kuljetun
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
4
kokonaismatkan s (kuva 2.3)
s
uk =
Δx
(x1, t1)
(x0, t0)
[uk] =
s
t1 − t0
(2.2)
m
. Huomaa, että s ≥ 0 aina, joten myös uk ≥ 0.
s
Kuva 2.3:
Esimerkki 2.1: Opiskelija ajoi autolla Tampereelta Jyväskylään ja takaisin. Menomatkaan häneltä
kului aikaa 2 h 30 min ja paluumatkaan 4,0 h. Kaupunkien välimatka on 150 km. Laske
a) keskinopeus ja
b) keskivauhti edestakaisella matkalla
(0 km/h, 46 km/h)
2.3 Nopeus
Kuvassa 2.4 on jälleen esitetty erään kappaleen paikka x - akselilla ajan funktiona. Kappaleen
keskinopeus vk välillä (x0, x0+Δx) määriteltiin yhtälöllä
x
Δx = vk Δt
vk =
x = f(t)
x 1 − x0
Δx
=
t1 − t0
Δt
(2.3)
x1
Δx
x0
Δt
t0
Δx = vΔt
t1
Kuva 2.4: Kappaleen paikka ajan
funktiona
Kun annetaan tarkasteluajan lähestyä nollaa, Δt → 0,
saadaan (hetkellinen) nopeus v pisteessä x0, joka on
kappaleen paikan derivaatta ajan suhteen:
t
v=
dx
dt
(2.4)
Kuvasta 2.4 nähdään, että v on ratakäyrän x = f(t) tangentin kulmakerroin pisteessä (x0, t0).
Nopeusvektorin suunnan näkee jälleen nopeuden etumerkistä: jos v > 0, kappale liikkuu positiivisen
x-akselin suuntaan ja jos v < 0, negatiivisen x-akselin suuntaan. (Hetkellinen) vauhti u puolestaan
tarkoittaa kappaleen nopeuden itseisarvoa: u = |v|. Tällöin kappaleen liikesuuntaan ei kiinnitetä
huomiota.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
5
Esimerkki 2.2: Oheinen kuvaaja esittää auton nopeutta ajan
funktiona aikavälillä 0... 5,0 minuuttia.
x[m]
2000
Määritä kuvaajan perusteella
1000
a) keskinopeus aikavälillä 0... 4,0 min,
b) keskivauhti aikavälillä 0... 4,0 min ja
0
c) nopeus hetkellä t = 1,5 min.
0,0 1,0
3,0 4,0 t[min]
2,0
(15 km/h; 30 km/h; 45 km/h)
Esimerkki 2.3: Oheinen kuva esittää kappaleen paikkaa ajan
funktiona. Aseta suuruusjärjestykseen kappaleen nopeus ja
vauhti hetkillä t1, t2 ja t3.
x
(v3 < v2 < v1; u2 < u1 < u3 )
t1
t2
t3
t
2.4 Keskikiihtyvyys ja kiihtyvyys
v
Δv = ak Δt
Kiihtyvyydellä a tarkoitetaan nopeuden muutosnopeutta.
Kuvassa 2.5 on esitetty erään kappaleen nopeus ajan
funktiona. Määritellään aluksi keskikiihtyvyys ak:
v=f(t)
v1
ak =
Δv = a Δt
v0
v1 − v0
Δv
=
t1 − t0
Δt
(2.5)
m
2 . Nopeuden
s
Kuva 2.5: Kappaleen nopeus ajan
muutossuunnan kertoo kiihtyvyyden etumerkki yhdessä
funktiona
nopeuden etumerkin kanssa. Jos nopeus ja kiihtyvyys ovat
erimerkkisiä, on kappaleen liike hidastuvaa, jos taas samanmerkkisiä, kappaleen vauhti kasvaa.
t0
t1
t
Kiihtyvyyden yksikkö on [a ]=
Kun annetaan jälleen tarkasteluajan Δt → 0, saadaan (hetkellinen) kiihtyvyys a, joka on kappaleen
nopeuden derivaatta ajan suhteen:
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
6
a=
dv
dt
(2.6)
Kuvasta 2.5 nähdään, että kiihtyvyys on nopeutta ajan funktiona kuvaavan käyrän v = f(t) tangentin
dx
kulmakerroin. Koska v =
, kiihtyvyys voidaan laskea myös paikan x(t) avulla:
dt
a=
d2 x
dt 2
(2.7)
2.5 Tasaisesti kiihtyvä liike
Tasainen liike
Jos kappale liikkuu tasaisella nopeudella, sen kiihtyvyys a = 0 ja nopeus on vakio: v = vk. Oletetaan,
että kappale on hetkellä t0 pisteessä x0 ja mielivaltaisella hetkellä t pisteessä x. Tällöin
keskinopeuden määritelmän (2.1) avulla saadaan nopeudelle lauseke
vk =
v
x − x0
=v
t − t0
Tästä saadaan kappaleen paikka x mielivaltaisella hetkellä t:
v
x= x0 v t−t 0
(2.8)
v(t-t0)
Jos x0 = 0, kun t0 = 0 saadaan
t0
t
t
Kuva 2.6: Vakionopeudella liikkuvan
kappaleen paikan muutos
x=v t
(2.9)
Kun piirretään kappaleen nopeus ajan funktiona (kuva 2.6), havaitaan, että kappaleen paikan
muutos x - x0 on suoran v = vakio ja t-akselin väliin jäävä pinta-ala aikavälillä [t0, t].
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
7
Tasaisesti kiihtyvä liike
Kun kappaleen liike on tasaisesti kiihtyvää, on kappaleen kiihtyvyys vakio, a = ak . Jos kappaleen
nopeus hetkellä t = t0 on v0, saadaan nopeus v hetkellä t soveltaen keskikiihtyvyyden lauseketta
(2.5):
ak =
v − v0
=a
t − t0
a
Ratkaistaan tästä v:
a
a(t-t0)
v=v 0a t−t 0
t
t
t0
(2.10)
Jos merkitään t0 = 0, on nopeus hetkellä t:
Kuva 2.7: Vakiokiihtyvyydellä
liikkuvan kappaleen nopeuden
muutos
v =v 0  at
(2.11)
Kuvasta 2.7 nähdään, että kappaleen nopeuden lisäys ajassa t - t0 on suoran a = vakio ja t- akselin
väliin jäävän pinta-ala aikavälillä [t0, t].
Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kappaleen keskinopeus on alku- ja loppunopeuksien keskiarvo:
vk =
v0  v
2
(2.12)
Kun korvataan tasaisesti muuttuva nopeus keskinopeudella, saadaan yhtälöstä (2.8) kappaleen
paikka hetkellä t :
x = x 0  v k t − t 0  = x 0 


v0  v
t − t 0 
2
(2.13)
Kun tähän sijoitetaan (2.10), saadaan
v
1
2
2 a(t-t0)
v0
a(t-t0)
v0
v0(t-t0)
t0
x = x 0  v0 t − t 0 
t
t
1
2
a t − t 0 
2
(2.14)
Kappaleen paikan muutos x - x0 saadaan myös
kuvan 2.8 mukaisesti suoran (2.10) ja t-akselin
välisenä pinta-alana.
Kuva 2.8: Vakiokiihtyvyydellä liikkuvan
kappaleen paikan muutos
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
8
Mikäli kiihtyvyys on sellainen, että kappale ei tarkasteluaikana muuta liikesuuntaansa, kappaleen
ajassa t kulkema matka on s = x - x0 ja saadaan suoraan yhtälöstä (2.14).
Jos halutaan tietää vain kappaleen nopeuden ja paikan välinen yhteys, voi edellisistä paikan ja
nopeuden lausekkeista (2.14) ja (2.10) johtaa yhtälön
2
2
v = v0  2 a  x − x0 
(2.15)
Esimerkki 2.4: Teekkari juoksee kadun suuntaisesti vakionopeudella 5,0 m/s kohti pysäkillä
seisovaa bussia. Bussi lähtee liikkeelle poispäin teekkarista vakiokiihtyvyydellä 0,170 m/s2, kun hän
on 40 m päässä.
a) Missä ja milloin teekkari tavoittaa bussin?
b) Mikä on bussin nopeus tällöin?
c) Millä nopeudella teekkarin on vähintään juostava, jotta hän saavuttaisi bussin?
(48 m, 9,6 s; 1,6 m/s; 3,7 m/s)
2.6 Vapaa putoaminen
Maan vetovoimakenttä kohdistaa kappaleeseen voiman, jonka vaikutuksesta vapaasti ilmassa oleva
kappale joutuu tasaisesti kiihtyvään liikkeeseen. Suomessa maan pinnan läheisyydessä kiihtyvyys
on g = 9,82 m/s2. Oletetaan, että kappale heitetään hetkellä t = 0 alkunopeudella v = v0 suoraan
ylöspäin, eikä ilmanvastuksella ole vaikutusta kappaleen liikkeeseen. Kun kiinnitetään
koordinaatisto siten, että y-akselin positiivinen suunta on ylöspäin, on kiihtyvyys a = -g.
Sijoittamalla tämä yhtälöihin (2.11) ja (2.14), saadaan kappaleen nopeus ja paikka ajanhetkellä t
lausekkeista
v=v 0−g t
(2.16)
1 2
y= y 0v0 t − g t
2
(2.17)
ja
Esimerkki 2.5: Pallo heitetään tasaiselle maalle rakennetun 10 m korkean talon katolta nopeudella
15 m/s suoraan ylöspäin siten, että se putoaa katon reunan ohi. Laske pallon paikka ja nopeus
a) 1,0 s ja
b) 4,0 s kuluttua lähdöstä.
(20,1 m, 5,2 m/s; 0 m, 0 m/s)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
9
Esimerkki 2.6: Esitä graafisesti kappaleen paikka y, nopeus v ja kiihtyvyys a ajan funktioina
pystysuorassa heittoliikkeessä, kun alkunopeus v0 on suoraan ylöspäin ja kappale lähtee liikkeelle
pisteestä y = 0.
y
Ratkaisu: Kappaleen paikka ajan funktiona (2.17):
1
y= y 0v0 t − g t 2 on paraabeli, jonka huippu on kohdassa tmax :
2
ymax
v
dy
= v 0− g t = 0 → t max = 0 .
dt
g
tmax
2
1 v0
Tällä hetkellä kappale on korkeudella y max =
ja sen nopeus on
2 g
v = 0. Kappale on jälleen lähtöpisteensä korkeudella hetkellä t =
2tmax.
Nopeus ajan funktiona (2.16):
Hetkellä t = tmax kappaleen nopeus on v = 0 ja hetkellä t = 2tmax kappaleen nopeus on v = -v0.
Kiihtyvyys ajan funktiona: Kiihtyvyys on vakio, a = -g.
2tmax
t
v
v0
tmax
2tmax
t
2tmax
t
-v0
a
-g
2.7 Kappaleen nopeus ja paikka, kun kiihtyvyys ei ole vakio
Yleistetään kappaleen liikkeen tarkastelu tilanteeseen, jossa
kiihtyvyys ei ole vakio (kuva 2.9). Vaikka kiihtyvyys
muuttuu, hetkellisesti kiihtyvyyttä voidaan pitää vakiona,
joten lyhyessä ajassa Δt nopeus muuttuu yhtälön (2.4)
mukaisesti määrällä Δv:
a
ak
Δv = a k Δt
t0
Δt
t
(2.18)
t
Kun annetaan ajan Δt lähestyä nollaa, Δt → dt ja kiihtyvyys
Kuva 2.9: Kappaleen kiihtyvyys ajan ak lähestyy hetkellistä kiihtyvyyttä a. Nyt nopeuden muutos
funktiona
ajassa dt on dv = adt. Jos kappaleen nopeus on v0, kun t = t0,
saadaan nopeus hetkellä t integroiden (liite C):
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
10
v
t
∫ dv = ∫ a dt
v0
t0
josta
t
v = v 0  ∫ a dt
(2.19)
t0
Kuvan 2.9 mukaan kappaleen nopeuden muutos on yhtä suuri kuin käyrän a(t) ja t-akselin väliin
jäävä pinta-ala aikavälillä [t0, t]. Vastaavasti menetellen voidaan laskea kappaleen paikka. Jos
kappaleen nopeus on v hetkellä t, ajassa dt kappale liikkuu matkan dx = vdt. Jos kappale oli hetkellä
t = t0 pisteessä x = x0 , sen paikka hetkellä t on
t
x = x 0  ∫ v dt
(2.20)
t0
Esimerkki 2.7: Olkoon kappaleen kiihtyvyys a = vakio, nopeus v = v0 ja paikka x = x0 kun t0 = 0.
Yhtälön (2.18) mukaan kappaleen nopeus hetkellä t on
t
t
v = v 0  ∫ a dt = v 0  a ∫ dt = v 0  a t
0
0
Tulos on yhtälön (2.11) mukainen.
Vastaavasti kappaleen paikka on yhtälön (2.20) mukaan
t
t
t
t
x = x 0  ∫ v dt = x0  ∫  v0 at dt = x0 ∫ v 0 dt  ∫ at dt = x0  v 0 t 
0
0
0
0
1 2
at
2
Tulos on yhtälön (2.14) mukainen.
Esimerkki 2.8: Kappaleen nopeus muuttuu oheisen kuvan
mukaisesti ja se lähtee liikkeelle origosta hetkellä t = 0 s.
Laske kappaleen paikka hetkellä t = 3,0 s.
(-1,5 m)
LUT/Mafy
v[m/s]
2
1
0
-1
-2
-3
1
2
3
4 t[s]
Mekaniikan perusteet
11
3 LIIKE TASOSSA JA AVARUUDESSA
3.1 Paikka ja nopeus
Kun kappale on hetkellä t pisteessä (x, y, z), sen paikkaa
kuvaa suorakulmaisessa koordinaatistossa paikkavektori r
(kuva 3.1):
y
(x,y,z)
zk
r
r =x i  y j z k
yj
xi
x
(3.1)
Kappaleen liikkuessa paikkavektorin kärki liikkuu pitkin
kappaleen liikettä kuvaavaa ratakäyrää (kuva 3.2). Ajassa
Δt = t - t0 kappale liikkuu pisteestä r0 pisteeseen r ja paikan
muutosta kuvaa siirtymävektori Δr
z
Kuva 3.1: Paikkavektori r
r =r 0 Δ r
Paikan muutos tapahtuu keskinopeudella vk:
y
vk
r0
(3.2)
Δr
vk =
r − r0
Δr
=
t − t0
Δt
(3.3)
r
x
z
Keskinopeusvektorin suunta on sama kuin siirtymävektorin
Δr. Kun annetaan Δt →0, saadaan kappaleen nopeudeksi
pisteessä r
Kuva 3.2: Siirtymävektori Δr ja
keskinopeusvektori vk
v=
dr
dt
(3.4)
Kappaleen nopeus on siis paikkavektorin derivaatta. Nopeusvektori v on ratakäyrän tangentin
suuntainen ja se voidaan kirjoittaa koordinaattiakselien suuntaisten nopeuskomponenttien avulla:
v = vxi  vy j  vz k
(3.5)
Kukin nopeuden komponentti kertoo paikan muutosnopeuden ao. koordinaattiakselin suhteen:
vx =
LUT/Mafy
dx
dy
dz
; vy =
; vz =
dt
dt
dt
(3.6)
Mekaniikan perusteet
12
Hetkellä t kappale liikkuu nopeusvektorin osoittamaan
suuntaan vauhdilla, jonka antaa nopeuden itseisarvo:
y
v
vy
θ
v =  vx  v y  vz
2
vx
x
2
2
(3.7)
Jos liike tapahtuu xy - tasossa (kuva 3.3), ei nopeudella ole
z-komponenttia ja kappaleen vauhti on
Kuva 3.3: Kappaleen nopeusvektori
xy - tasossa
v =  v 2x  v 2y
(3.8)
Nyt nopeusvektorin suunta x- akselin suhteen on kuvan mukaisesti
tan θ =
vy
vx
(3.9)
3.2 Kiihtyvyys
y
v0
v
Jos kappaleen nopeus ei ole vakio, ajassa Δt = t - t0
kappaleen nopeus muuttuu alkunopeudesta v0 arvoon v
(kuva 3.4):
(3.10)
v = v0   v
x
Kuva 3.4:
Nopeuden muutos (kuva 3.5) merkitsee, että kappaleen
keskikiihtyvyys ak on
ak =
v0
v − v0  v
=
t − t0
t
(3.11)
Kun jälleen annetaan ajan Δt lähestyä nollaa, saadaan (hetkellinen)
kiihtyvyys a (kuva 3.6):
Δv
v
a=
dv
dt
(3.12)
Kuva 3.5:
Kiihtyvyysvektoriin sisältyy tieto sekä nopeusvektorin itseisarvon että sen
suunnan muuttumisesta. Kiihtyvyysvektori xyz - koordinaatistossa on
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
13
a = ax i  a y j  az k
(3.13)
Kukin kiihtyvyyden komponentti antaa nopeuden
muutoksen ao. koordinaattiakselin suhteen:
y
v
a
ax =
x
Kuva 3.6: Kiihtyvyysvektori
ax =
dv x
dv y
; ay =
;
dt
dt
az =
dv z
dt
(3.14)
Koska nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen, voidaan
kiihtyvyyden komponentit antaa myös muodossa
d2 x
d2 y
d2 z
;
a
=
;
a
=
y
z
dt 2
dt 2
dt 2
(3.15)
Esimerkki 3.1: Kappaleen paikkaa ajan funktiona kuvaavat yhtälöt
2
x = 2,0 − 0,25 t
3
y = 1,0 t  0,025 t
missä [x] =[y] = m ja [t] = s.
Laske hetkellä t = 2,0 s kappaleen
a) paikka,
b) nopeus (suunta ja suuruus) sekä
c) kiihtyvyys (suunta ja suuruus)
(r = 1,0 i +2,2 j m; 1,6 m/s, 128°; 0,58 m/s2, 149° )
3.2.1
Kiihtyvyyden normaali- ja tangentiaalikomponentit
v
at
β
a
an
Millä tahansa hetkellä kappaleen kiihtyvyysvektori a voidaan
jakaa myös nopeuden v suuntaiseen (tangentiaali-)
komponenttiin at ja sitä vastaan kohtisuoraan (normaali-)
komponenttiin an kuvan 3.7 mukaisesti. Tangentiaali- ja
normaalikomponenttien avulla kiihtyvyysvektorin itseisarvo on
a =  a 2t a 2n
(3.16)
Kuva 3.7: Kiihtyvyyden normaalija tangentiaalikomponentit
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
14
Kiihtyvyysvektorin suunta nopeuden v suhteen on
tan β =
an
at
(3.17)
Kuvasta 3.7 nähdään, että kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti kasvattaa kappaleen vauhtia,
koska tangentiaalikomponentin aiheuttama nopeuden muutos on v-vektorin suuntainen. Vastaavasti
voidaan päätellä, että kiihtyvyyden normaalikomponentti ei muuta kappaleen vauhtia, mutta
muuttaa nopeusvektorin suuntaa. Jos siis kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti at = 0, kappale
liikkuu vakiovauhdilla, mutta liikesuunta muuttuu. Jos taas kiihtyvyyden normaalikomponentti an =
0, kappale liikkuu suoraan, mutta sen nopeus voi muuttua.
Esimerkki 3.2: Laske esimerkin 3.1 kappaleen kiihtyvyyden tangentiaali- ja normaalikomponentit
hetkellä t = 2,0 s.
(0,54 m/s2, 0,21 m/s2)
3.3 Ympyräliike
3.3.1
Tasainen ympyräliike
Tasaisessa ympyräliikkeessä kappale liikkuu ympyrärataa
vakiovauhdilla (3.8). Missä tahansa kahdessa radan pisteessä P1 ja
P2 mitatut ratanopeudet ovat samat, v1 = v2 = v, mutta nopeudet
eivät, koska nopeusvektorin suunta muuttuu.
v2
P2
v1
Ajassa Δt kappale liikkuu matkan Δs ja samalla kappaleen nopeus
muuttuu määrällä Δv (kuva 3.9). Koska nopeusvektori on radan
Δφ
tangentin suuntainen, ympyräliikkeessä nopeusvektori on aina
kohtisuorassa ympyrän sädettä r vastaan. Tästä seuraa, että
P1
O
r
vektoreiden v1 ja v2 välinen kulma on sama kuin kuvan 3.8
säteiden välinen keskuskulma Δφ. Siten kuviin piirretyt kolmiot
OP1P2 ovat yhdenmuotoiset (kun Δφ on pieni, ympyrän kaaren
Kuva 3.8: Tasainen ympyräliike osaa Δs voidaan pitää suorana) :
Δs
v1
P1
Δφ
O
Kuva 3.9:
LUT/Mafy
∣ v∣  s
=
v1
r
Δv
P2
v2
(3.18)
Keskikiihtyvyys tällä matkalla on siis
ak =
∣ v∣ v 1  s
=
r t
t
(3.19)
Mekaniikan perusteet
15
Kun Δt → 0,
s
ds

= v ja koska v1 = v, saadaan kiihtyvyydeksi
dt
t
2
ar =
v
v
r
(3.20)
Kiihtyvyysvektori on kohtisuorassa nopeusvektoria vastaan, kohti
ympyrän keskipistettä, josta syystä ar on nimeltään keskeiskiihtyvyys
(kuva 3.10).
ar
Kappaleelta kuluu yhteen kokonaiseen kierrokseen aika T, joten
tasaisessa ympyräliikkeessä ratanopeus on
r
v=
O
2 r
T
(3.21)
Kuva 3.10:
Keskeiskiihtyvyys
Tasaisessa ympyräliikkeessä keskeiskiihtyvyyden aiheuttaa kappaleeseen vaikuttava nettovoima,
joka Newtonin toisen lain mukaan on saman suuntainen kuin kiihtyvyysvektori eli kohti
rataympyrän keskipistettä ja suuruudeltaan
v2
Σ F i = m ar = m
r
(3.22)
Jos voiman vaikutus lakkaa, jatkaa kappale liikettään radan tangentin suuntaisesti.
Esimerkki 3.3: Surmanajaja ajaa R-säteisessä pallossa ympyräradalla, jonka taso on pystysuorassa.
Osoita, että ajaja pysyy pallon pinnassa kiinni, jos hänen ratanopeutensa on v≥  Rg .
3.3.2
Nopeudeltaan muuttuva ympyräliike
Jos kappaleen ratanopeus muuttuu, on kiihtyvyydellä myös radan tangentin suuntainen komponentti
d ∣v∣
at. Tangentiaalikomponentti kuvaa ratanopeuden v=∣v∣ muutosnopeutta a t =
ja
dt
2
v
keskeiskiihtyvyys a r =
nopeusvektorin suunnan muutosnopeutta. Kokonaiskiihtyvyyden
r
itseisarvo on a =  a 2t a 2r , eikä kiihtyvyysvektori ole tässä tapauksessa ympyrän säteen
suuntainen.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
16
Esimerkki 3.4: Auto tulee neljännesympyrän muotoiseen kaarteeseen (R = 190 m) nopeudella 20
m/s. Kaarteessa auto jarruttaa tasaisesti siten, että hidastuvuus on 0,92 m/s2. Laske auton kiihtyvyys
4,0 sekunnin kuluttua siitä, kun se tuli kaarteeseen.
(1,68 m/s2)
3.4 Vino heittoliike
Tarkastellaan seuraavaksi kappaleen liikettä maan
vetovoimakentässä yleisemmin, kun maan vetovoima on
ainoa kappaleeseen vaikuttava voima (ilmanvastusta ei
huomioida). Oletetaan, että kappale heitetään ilmaan
hetkellä t0 = 0 pisteestä (x0, y0) alkunopeudella v0 kulmassa
α0 vaakatason suhteen (kuva 3.11). Kappaleen liikerata on
tasossa, jonka määräävät maan vetovoiman kiihtyvyys ja
alkunopeusvektori.
Määritellään koordinaatisto kuvan 3.11 mukaisesti ja
tarkastellaan liikettä erikseen x- akselin suunnassa ja y akselin suunnassa. Kappaleella ei ole kiihtyvyyttä x-akselin
suunnassa : ax = 0. Tästä seuraa, että liike on tasaista ja
kappaleen nopeus on vakio
v x = v 0 x = v 0 cos 0
y
v0
v0y
-g
α0
y0
v0x
x0
x
Kuva 3.11:
(3.23)
Hetkellä t kappaleen paikan x- koordinaatti on
x = x 0  v0 x t
(3.24)
Vastaavasti y - akselin suunnassa kiihtyvyys on ay = -g ja liike on tasaisesti kiihtyvää. Alkunopeus
on v0y = v0 sin α0. Ajanhetkellä t kappaleen nopeus on
v y = v0 y − g t
(3.25)
ja paikan y- koordinaatti
y = y0  v0 y t −
1 2
gt
2
(3.26)
Tällä hetkellä kappale on etäisyydellä
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
17
r =   x − x 0 2   y − y 0 2
(3.27)
lähtöpisteestään, sen vauhti on
v =  v 2x  v 2y
(3.28)
ja nopeusvektorin suunta x-akselin suhteen
tan α =
vy
vx
(3.29)
Jos oletetaan, että kappale lähtee liikkeelle koordinaatiston origosta ja kappaleen x- ja y koordinaatteja kuvaavista yhtälöistä (3.24) ja (3.26) eliminoidaan aika, nähdään, että ratakäyrä on
paraabeli (osoita!):
y=
v0 y
g
2
x−
x
2
v0 x
2 v0 x
(3.30)
Esimerkki 3.5:Pallot A ja B lähtevät liikkeelle samanaikaisesti,
A alkunopeudella v0 = 6,0 m/s kulmassa θ = 37° vaakatason
suhteen ja B putoaa vapaasti.
B
a) Osoita, että pallot kohtaavat.
0
3,
b) Laske kohtauspaikka.
m
v0
(x = 2,4 m, y = 0,56 m)
θ = 37°
A
Esimerkki 3.6: Pallo heitetään ilmaan tasaisella maalla 53,1° kulmassa vaakatasoon nähden
vauhdilla v0 = 37,0 m/s.
a) Laske pallon nopeus hetkellä t = 2,00 s.
b) Kuinka korkealla pallo käy?
c) Kuinka kauas se lentää?
d) Laske pallon nopeus sen osuessa taas maahan.
(22,2 i + 10,0 j m/s; 44,7 m; 134 m; 22,2 i - 29,6 j m/s)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
18
Yleisesti, kun kappale liikkuu tasossa ja liike on tasaisesti kiihtyvää eli a on vakio, kappaleen
nopeutta v ja paikkaa r kuvaavat vektoriyhtälöt
v = v0  a t
(3.31)
ja
r = r0  v0 t 
1 2
at
2
(3.32)
missä v0 on kappaleen alkunopeus ja r0 kappaleen paikka alkuhetkellä t0 = 0. Edellisten
vektoriyhtälöiden sijaan voi liikettä tarkastella kahden toisistaan riippumattoman liikkeen summana,
joista toinen liike tapahtuu x-akselin suunnassa ja toinen y-akselin suunnassa:
a = a x i  a y j = vakio ;
v = vx i  v y j ;
r = xi  y j ;
(3.33)
missä
v x = v0 x  ax t ;
v y = v0 y  a y t ;
(3.34)
ja
x = x 0  v0 x t 
1
a t2 ;
2 x
y = y 0  v0 y t 
1
a t2
2 y
(3.35)
3.5 Suhteellinen liike
3.5.1
Yksiulotteinen tapaus
yB
yA
Kappaleen liikkeen määrittämiseen tarvitaan
vertailukoordinaatisto (A), jonka suhteen mittaukset
tehdään. Jos toinen havaitsija tarkastelee saman kappaleen
liikettä A:n suhteen liikkuvasta koordinaatistosta B,
havainnot ovat erilaisia riippuen siitä, mikä on
koordinaatistojen nopeus toistensa suhteen.
vB/A
xA/B
xP/B
xB/A
OA
OB
P
xA, x B
xP/A
Oletetaan seuraavassa, että koordinaatistojen A ja B xakselit yhtyvät ja B liikkuu A:n suhteen x-akselin
suuntaisella vakionopeudella vB/A. Tarkasteluhetkellä
liikkuva kappale on pisteessä P ja sen x-koordinaatit ovat Akoordinaatistossa xP/A ja B-koordinaatistossa xP/B. Kuvasta
3.12 saadaan pisteen P koordinaateille yhteys
Kuva 3.12:
x P / A = xP / B  xB / A
LUT/Mafy
(3.36)
Mekaniikan perusteet
19
Derivoimalla tämä yhtälö ajan suhteen saadaan eri koordinaatistoissa mitattujen nopeuksien vP/A ja
vP/B välille yhteys
v P/A = v P/B  v B/A
3.5.2
(3.37)
Suhteellinen liike tasossa ja avaruudessa
Edellinen tarkastelu voidaan helposti yleistää kolmiulotteiseen tapaukseen. Oletetaan edelleen, että
koordinaatistot liikkuvat toistensa suhteen tasaisella x-akselin suuntaisella nopeudella vB/A. Kuvasta
3.13 saadaan pisteen P koordinaattien väliseksi yhteydeksi
yB
yA
rP/A
rB/A zB
zA
P
rP/B
xB
OB
xA
Kuva 3.13:
vP/B
v P / A = v P / B  v B/ A
(3.39)
Yhtälöistä (3.37) ja (3.39) nähdään, että
nopeusvektoreiden indeksit toteuttavat yhtälön
P
P B
=
A
B A
vB/A
Kuva 3.14:
(3.38)
Kun lauseke derivoidaan ajan suhteen, saadaan
nopeuksien välinen yhteys (kuva 3.14)
OA
vP/A
r P / A = r P / B  r B/ A
vB/A
(3.40)
Kun yhtälö 3.39 derivoidaan ajan suhteen, nähdään että
a P / A=a P / B , eli kummassakin koordinaatistossa mitatut
kiihtyvyydet ovat samat, kunhan koordinaatistot liikkuvat
vakionopeudella toistensa suhteen.
Esimerkki 3.7: Sadepisarat putoavat suoraan alaspäin vakionopeudella. Kun ne osuvat tasaisella
maalla nopeudella 50 km/h kulkevan junan ikkunaan, muodostuu vesijuovia, jotka ovat 60°
kulmassa pystysuunnan suhteen. Laske pisaroiden nopeus
a) maan,
b) junan suhteen.
(8,0 m/s; 16 m/s)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
20
4 ETENEVÄN LIIKKEEN DYNAMIIKKA
4.1 Johdanto
Luvuissa 2 ja 3 tutkittiin kappaleen paikan, nopeuden ja kiihtyvyyden välisiä suhteita. Seuraavaksi
tarkastellaan kappaleen dynamiikkaa, ts. kuinka kappaleen liiketila muuttuu siihen vaikuttavien
voimien vaikutuksesta. Dynamiikan periaatteet sisältyvät Newtonin liikelakeihin, jotka Sir Isaac
Newton (1642 - 1727) esitti. Newtonin lait muodostavat klassisen mekaniikan perustan.
4.2 Voimat ja voimien superpositio
Kappaleisiin vaikuttavat voimat voidaan vaikutustapansa
puolesta jakaa kahteen ryhmään. Kontaktivoimat
R
edellyttävät kappaleiden välistä kosketusta. Esimerkkejä
F1
tällaisista voimista ovat kappaleiden välisiin törmäyksiin
liittyvät voimat sekä liikkuvan kappaleen ja alustan välinen
F2
kitkavoima. Toisaalta taas pitkän kantaman voima, kuten
kahden kappaleen välinen gravitaatiovoima ja varattujen
Kuva 4.1: Kappaleeseen vaikuttavien kappaleiden välinen sähkömagneettinen voima vaikuttaa,
vaikka suoraa kontaktia ei olisikaan.
voimien resultantti
Voimaan F liittyy sekä suuruus, että vaikutussuunta, joten se
on vektorisuure. Kun samaan kappaleeseen vaikuttaa useita
voimia (kuva 4.1), niiden yhteisvaikutus saadaan selville, kun
sovelletaan voimien superpositioperiaatetta: voimien vaikutus
kappaleen liiketilaan on sama kuin voiman, joka saadaan, kun
lasketaan voimien resultantti (vektorisumma):
y
R
Ry
θ
Rx
R = F1  F 2
x
(4.1)
Kuva 4.2:
Voimien resultantti eli nettovoima on yleensä helpointa laskea, kun se lasketaan komponenteittain.
Kun kappaleeseen vaikuttaa voimat F1, F2, ....FN, on voimien resultantti
N
R = F1  F 2  F N = ∑ F i
(4.2)
R = Rx i  Ry j
(4.3)
i=1
missä (kuva 4.2)
ja
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
21
N
N
R x = ∑ F ix ;
R y = ∑ F iy
i=1
(4.4)
i =1
Nettovoiman suuruus on
R =  Rx  R y
2
Fy
2
(4.5)
ja suunta x-akselin suhteen
F
tan θ =
Fx
Ry
Rx
(4.6)
Superpositioperiaatteesta seuraa myös, että kappaleeseen
vaikuttava voima F voidaan aina korvata
komponenteillaan (kuva 4.3) ja voiman vaikutus saadaan
selville, kun tarkastellaan erikseen kummankin
komponentin vaikutusta kappaleen liiketilaan.
Kuva 4.3:
4.3 Newtonin lait
4.3.1
Newtonin ensimmäinen laki
Kappaleen liiketila ei muutu (kappale jatkaa liikettään vakionopeudella tai pysyy paikallaan), jos
siihen vaikuttava nettovoima on nolla:
N
∑ Fi = 0
(4.7)
i=1
Summalausekkeeseen on otettava mukaan kaikki kappaleeseen vaikuttavat ulkoiset voimat.
4.3.2
Newtonin toinen laki eli dynamiikan peruslaki
Jos kappaleeseen vaikuttaa nollasta poikkeava nettovoima, se joutuu kiihtyvään liikkeeseen.
Kappaleen (massa m) kiihtyvyys a on suoraan verrannollinen kappaleeseen vaikuttavaan
nettovoimaan F:
F = ma
LUT/Mafy
(4.8)
Mekaniikan perusteet
22
Voiman yksikkö on [F] = [m][a] =
kgm
= N (newton).
s2
F on kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti:
N
F = ∑ Fi = F 1  F 2    F N
(4.9)
i=1
ja kiihtyvyys a on resultanttivektorin F suuntainen. Nytkin yhtälöön (4.9) otetaan mukaan kaikki
kappaleeseen vaikuttavat ulkoiset voimat. Huomaa, että yhtälö (4.8) pätee vain, jos massa m on
vakio. Luvussa 7 Newtonin toinen laki yleistetään siten, että sitä voidaan soveltaa myös tilanteessa,
jossa kappaleen massa muuttuu.
Esimerkki 4.1: Hissi (m = 850 kg) liikkuu alaspäin nopeudella 3,0 m/s. Se pysäytetään tasaisesti
jarruttaen 2,0 sekunnissa. Kuinka suurella voimalla hissi vaikuttaa vaijeriin jarrutuksen aikana?
(9,6 kN)
4.3.3
Massa ja paino
Massa m on aineen perusominaisuus ja liittyy kappaleen inertiaan eli hitauteen. Kappaleen paino w
on puolestaan maan vetovoimakentän kappaleeseen kohdistama voima:
w =mg
(4.10)
missä g on maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys. Kiihtyvyyden arvo vaihtelee hieman
m
maapallon eri osissa. Suomessa kiihtyvyydelle voi käyttää arvoa g = 9,82 2 .
s
4.3.4
Newtonin kolmas laki eli voiman ja vastavoiman laki
Jos kappale 1 vaikuttaa kappaleeseen 2 voimalla F12,
niin kappale 2 vaikuttaa kappaleeseen 1 yhtä suurella,
mutta vastakkaissuuntaisella voimalla -F12 (kuva 4.4)
F21
1
F12
2
F 12 =−F 21
(4.11)
Kuva 4.4: Newtonin kolmas laki
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
23
4.4 Esimerkkejä Newtonin lakien käytöstä
Newtonin liikelakeihin liittyvien tehtävien ratkaisuperiaate:
1. Aloitetaan piirtämällä tilannekuva. Tilannekuvan perusteella laaditaan kullekin kappaleelle
erikseen vapaakappalekuva, jossa näkyvät kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat suuntineen,
mutta ei voimia, joilla kappale vaikuttaa ympäristöönsä. Kappaleeseen vaikuttavia voimia ovat
mm. maan vetovoima FG = mg ja kosketuksesta muihin kappaleisiin aiheutuvat tukivoimat.
Maan vetovoima vaikuttaa kappaleen painopisteeseen ja kappaleiden välisten kosketusvoimien
vaikutussuunta on kohtisuorassa kosketuspintaa vastaan.
2. Muodostetaan Newtonin toisen lain mukainen vektoriyhtälö
N
F = ma;
F =∑ F = F 1  F 2    F N
i =1
Yhtälö kirjoitetaan erikseen jokaiselle tehtävään liittyvälle kappaleelle.
3. Valitaan jokaiselle kappaleelle xy - koordinaatiston akselien suunnat esimerkiksi siten, että
jokainen kappale liikkuu positiivisen x-akselin suuntaan. Kun kappaleet eivät liiku, valitaan
koordinaatistot siten, että ainakin yksi voimista on jommankumman koordinaattiakselin
suuntainen. Oikealla valinnalla voi joskus ratkaisevasti helpottaa laskentaa.
4. Jaetaan voimat komponentteihinsa valitussa koordinaatistossa:
F x = F 1x  F 2x    F Nx ;
F y = F 1y  F 2y   F Ny
ja kirjoitetaan liikeyhtälöt:
max = Fx ;
may = Fy
5. Ratkaistaan yhtälöt.
6. Tarkistetaan, onko tulos järkevä.
7. Sijoitetaan annetut arvot ja lasketaan tulos.
Esimerkki 4.2: Kappale (m = 200 kg) roikkuu 3,0 m pitkässä, massattomassa köydessä. Kappaletta
vedetään vaakasuuntaisella voimalla F siten, että köysi muodostaa 10° kulman pystysuoran suhteen.
Laske voima F ja köyden jännitys.
(350 N; 1990 N)
Esimerkki 4.3: Kappaletta (m = 40 kg) työnnetään vaakasuoralla, kitkattomalla alustalla alustan
suuntaisella 20 N voimalla. Laske kappaleen kiihtyvyys.
(0,5 m/s2)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
24
Esimerkki 4.4: Kolme kappaletta (m1 = 1 kg, m2 = 2 kg ja
m3 = 3 kg) on kuvan mukaisesti vaakasuoralla, kitkattomalla
alustalla. Kappaleeseen 1 vaikuttaa alustan suuntainen
voima F =12 N. Laske voimat, joilla kappaleet vaikuttavat
toisiinsa.
(F12 = 10 N; F23 = 6 N)
F
1
3
2
Esimerkki 4.5: Oheisen kuvan systeemissä kappaleet A ja B on kiinnitetty
toisiinsa kevyellä langalla kitkattomasti pyörivän, kevyen pyörän
välityksellä. Kappaleen B sisään on lisäksi asetettu kappale C. Systeemi
lähtee levosta liikkeelle. Laske
a) kappaleen A kiihtyvyys,
b) voima, jolla lanka vaikuttaa kappaleeseen B ja
c) voima, jolla kappale B vaikuttaa C:hen.
Kappaleiden massat ovat: mA = 5,0 kg, mB = 2,0 kg ja mC =1,0 kg.
(2,5 m/s2; 37 N; 12 N)
B
C
A
4.5 Kitka
Kitkavoima Fμ on kappaleiden välisen kosketuksen aiheuttama vastusvoima, jonka syynä ovat
toisiaan koskettavien pintojen atomien väliset voimavaikutukset. Kitkan vaikuttaessa voidaan
pinnan kappaleeseen kohdistama voima jakaa kosketuspinnan suuntaiseen (tangentiaaliseen)
kitkavoimaan Fμ ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin (normaalivoima N). Kitkavoiman
suuruuteen vaikuttaa mm. kosketuspintojen tasaisuus ja pinnan materiaalit. Yleisesti voidaan
kuitenkin todeta, että se on verrannollinen normaalivoimaan N ja kohtisuorassa sitä vastaan.
Normaalivoiman ja kitkavoiman välinen verrannollisuuskerroin
Pinta
μs μk on nimeltään kitkakerroin μ.
Teflon - teflon
0,74 0,57 Lepokitka Fμs estää kappaleen liikkeelle lähdön, kun siihen
vaikuttava voima ei ole riittävän suuri. Lepokitkan suuruus
0,53 0,36 riippuu sen voiman suuruudesta, joka pyrkii saamaan kappaleen
liikkeelle: kitkavoima Fμs on aina suunnaltaan ja suuruudeltaan
1,00 0,80 sellainen, että kappale ei liiku. Kappale lähtee liikkeelle, kun
liikuttava voima on suurempi kuin lepokitkan suurin
0,04 0,04 mahdollinen arvo:
Metalli - metalli
(rasv)
0,15 0,06
Teräs - teräs
Kupari - teräs
Kumi - betoni
Taulukko 4.1: Kitkakertoimia
LUT/Mafy
F  s ,max = μ s N
(4.12)
μs on lepokitkakerroin.
Mekaniikan perusteet
25
Kun kappale liikkuu liukuen alustan suhteen, kitkavoima Fμ on liikekitka Fμk:
F  k = μk N
(4.13)
ja kitkakerroin μk on liikekitkakerroin. Kitkavoiman suunta on liikesuunnalle vastakkainen.
Liikekitkakerroin on aina pienempi kuin lepokitkakerroin. Liike- ja lepokitkakertoimien tyypillisiä
arvoja on taulukossa 4.1.
Kappaleen vieriessä pitkin pintaa liikettä vastustaa vierintäkitka. Vierintäkitkan suuruutta kuvaa
vierintäkitkakerroin μr, joka on yleensä pienempi kuin liikekitkakerroin.
Esimerkki 4.6: Kappale (m =1,0 kg) on kaltevalla tasolla.
Kappaleen ja pinnan välinen lepokitkakerroin on μs = 0,2,
liikekitkakerroin μk = 0,1 ja tason kaltevuuskulma θ = 45°.
Kuinka suuri tason suuntainen voima F tarvitaan, jotta kappale
F
a) lähtee liikkeelle ylöspäin,
b) liikkuu ylöspäin tasaisella nopeudella?
c) Kuinka suuri lepokitkakerroin tarvitaan, että kappale pysyy
paikoillaan ilman voimaa F?
(8,3 N; 7,6 N; 1,0)
θ
4.6 Luonnon perusvuorovaikutukset
Gravitaatio on massaan perustuva kappaleiden välinen vetovoima. Gravitaatio on merkittävä, kun
massat ovat suuria. Kahden kappaleen (massat m1 ja m2, massojen välinen etäisyys r) välinen
vetovoima on kappaleiden välisen yhdysjanan suuntainen ja suuruudeltaan
F =G
m1 m2
r
2
(4.14)
G on gravitaatiovakio ja suuruudeltaan G = 6,67×10-11 Nm2/kg2. Kumpikin kappale vetää toista
kappaletta puoleensa yhtä suurella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla. Lähellä maan pintaa
voimaa voidaan pitää vakiona, sen suuruus on F = mg ja suunta kohti maapallon
massakeskipistettä.
Sähkömagneettinen vuorovaikutus perustuu sähkövaraukseen. Sähkömagneettisella voimalla on
kaksi puolta. Kaikkien erimerkkisten varausten välillä on sähköinen vetovoima ja saman merkkisten
välillä poistovoima. Sähköinen voima pitää aineen atomit ja molekyylit koossa ja aine saa näkyvän
muotonsa sähköisten voimien vaikutuksesta. Myös kappaleiden välisissä kosketuksissa syntyvät
kontaktivoimat ovat atomien välisiä sähköisiä voimia. Sähkömagneettisen vuorovaikutuksen toinen
puoli on magneettinen voima, joka havaitaan varausten ollessa liikkeessä. Vahva ydinvoima
puolestaan pitää atomiytimet koossa ja heikko ydinvoima liittyy ydinten radioaktiivisuuteen.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
26
5 TYÖ JA LIIKE-ENERGIA
5.1 Johdanto
Kun kappaleen alkutila (paikka ja nopeus hetkellä t = 0) sekä kappaleeseen vaikuttavat voimat
tunnetaan, Newtonin lakien avulla voidaan (ainakin periaatteessa) selvittää kappaleen liiketila
mielivaltaisen tarkasti millä tahansa hetkellä. Mikäli ei ole tarpeen seurata kappaleen liikeradan
muutoksia ajan funktiona, voidaan kappaleen liiketila usein selvittää helpommin, kun tarkastellaan
kappaleeseen vaikuttavien voimien tekemää työtä ja kappaleen liike-energian muutoksia. Näitä
suureita yhdistää työ - energia - periaate, jonka mukaan työ, jonka voimat tekevät kappaleeseen,
muuttuu sen liike-energiaksi.
5.2 Työ
F
F
Määritellään aluksi työ. Kun kappaleeseen vaikuttaa
liikkeen suuntainen vakiovoima F, se tekee matkalla s
työn W (kuva 5.1):
W =F s
s
(5.1)
Kuva 5.1:
Työn yksikkö on [W ]= Nm=
F
F
θ
θ
Fs
Fs
s
Kuva 5.2:
kgm2
= J = joule .
s2
Jos voima ei ole liikkeen suuntainen (kuva 5.2), työn
kannalta olennainen on voiman komponentti Fs
siirtymän s suunnassa:
W = F s s = F s cos θ = F⋅s
(5.2)
Jälkimmäinen muoto seuraa vektorien pistetulon määritelmästä D.20. Jos kappaleeseen vaikuttava
voima on kohtisuorassa siirtymää vastaan eli F ⊥ s, yhtälöstä 5.2 nähdään, että voima F ei tee
työtä, W = 0. Lisäksi, jos θ > 90° , eli voiman suunta on sellainen, että se on ainakin osittain
liikesuunnalle vastakkainen, voiman tekemä työ W < 0.
Esimerkki 5.1: Kappale (m =1,0 kg) on kaltevalla tasolla. Kappaleen ja
pinnan välinen lepokitkakerroin μs = 0,2, liikekitkakerroin μk = 0,1 ja tason
kaltevuuskulma θ = 45° (Esimerkki 4.6). Laske kappaleeseen vaikuttavien
voimien tekemät työt, kun kappale liikkuu vakionopeudella ylöspäin 1
metrin.
(Fμ: -0,7 J; N: 0 J; FG: -6,9 J; F: 7,6 J)
LUT/Mafy
F
θ
Mekaniikan perusteet
27
5.3 Työ-energia-periaate
Kun kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima F, se joutuu tasaisesti kiihtyvään liikkeeseen. Oletetaan
yksinkertaisuuden vuoksi, että voima on siirtymän suuntainen, F↑↑ s (ellei näin ole, käytetään
siirtymän suuntaista komponenttia Fs). Olkoon kappaleen alkunopeus v0. Matkalla s voima F tekee
työn
W = Fs = ma⋅s = m⋅as =
1
1
2
2
mv − m v 0
2
2
(5.3)
Tulos seuraa siitä, että kappaleen nopeuden ja kuljetun matkan välinen yhteys tasaisesti kiihtyvässä
liikkeessä on yhtälön (2.15) mukaan v 2 = v 20  2 a s . Kun määritellään kappaleen kineettinen eli
liike-energia Ek yhtälöllä
Ek =
1
m v2
2
(5.4)
on saatu tulos työ-energia-periaate: resultanttivoiman F kappaleeseen tekemä työ on yhtä suuri
kuin kappaleen liike-energian muutos:
W = Δ Ek
(5.5)
Esimerkki 5.2: Esimerkin Virhe: Viitteen lähdettä ei löydy kappaletta vedetään levosta lähtien 8,3
N voimalla 1 metrin matka. Laske loppunopeus.
(1,2 m/s)
5.4 Työ muuttuville voimille
Jos kappaleeseen vaikuttavan voiman F siirtymän x
suuntainen komponentti Fx ei ole vakio (kuva 5.3), työ
voidaan laskea integroiden. Kun tarkastellaan voiman
tekemää työtä lyhyellä matkalla Δx, on voima hetkellisesti
vakiovoima ja tehty työ W = Fx Δx. Kun siirrytään koko
matka alkupisteestä x1 loppupisteeseen x2 on tehty työ
Fx
Fxn
W = F x1 Δx 1  F x2 Δx 2    F xn Δx n
x1
Δxn
x2
(5.6)
x
Kuva 5.3: Paikan funktiona muuttuva Kun annetaan matkan Δx → 0, saadaan tehdylle työlle
voima
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
28
lauseke
x2
W = ∫ F dx
(5.7)
x1
5.4.1
Harmoninen voima
Kun jousi on lepotilassa, tarvitaan ulkoinen voima sen venyttämiseksi tai puristamiseksi kokoon.
Tarvittava voima F on suoraan verrannollinen tasapainoasemasta mitatun poikkeaman x suuruuteen:
F = kx
F
F=
kx
kx
(5.8)
k on verrannollisuuskerroin, jousivakio. Newtonin 3. laista
seuraa, että jousi itse pyrkii palauttamaan tasapainotilan yhtä
suurella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla:
W = 1/2kx2
F = −kx
(5.9)
x
x
Kuva 5.4: Jousta venytettäessä tehty
työ
Voima, jota voidaan kuvata yhtälöllä (5.9) on harmoninen
voima ja yhtälö tunnetaan nimellä Hooke´n laki.
Jousivoiman lisäksi esimerkiksi kiinteiden kappaleiden pieniin muodonmuutoksiin liittyvät voimat
ovat usein harmonisia.
Jousen venyttämiseksi tasapainoasemasta tehty työ voidaan laskea integroiden yhtälön (5.7)
mukaisesti. Kun jousta venytetään matka x tasapainoasemasta, on tehty työ (kuva 5.4):
x
x
W = ∫ Fdx = ∫ kxdx =
0
5.4.2
0
1 2
kx
2
(5.10)
Työn laskeminen yleisesti
2
F
Fn
θ
1
Kuva 5.5:
LUT/Mafy
ds
Jos kappale liikkuu kuva 5.5 mukaisesti pitkin mielivaltaista
rataa pisteestä 1 pisteeseen 2, voidaan kappaleeseen
vaikuttavan voiman F tällä matkalla tekemä työ laskea
seuraavasti. Matkalla ds työtä tekee siirtymän suuntainen
voiman komponentti Ft :
Ft
dW = F t ds = F cos θ ds = F⋅d s
(5.11)
Koko matkalla tehty työ W on siten
Mekaniikan perusteet
29
2
2
W = ∫ F t ds = ∫ F⋅d s
1
(5.12)
1
Kohdassa 5.3 johdettu työ-energia-periaate (5.5) pätee yleisesti, kun voiman tekemä työ lasketaan
yhtälöstä (5.12).
5.5 Teho
Työn määritelmä ei ota millään tavoin kantaa siihen, kuinka nopeasti se tehdään. Työn tekemiseen
käytetyllä ajalla on kuitenkin usein ratkaiseva merkitys. Voiman teholla P tarkoitetaan
aikayksikössä tehtyä työtä. Kun ajassa Δt tehdään työ ΔW, on keskimääräinen teho Pk
Pk =
W
t
(5.13)
Kun annetaan ajan Δt → 0, saadaan voiman F (hetkellinen) teho P:
P=
dW
dt
(5.14)
J
Jos työtä tehdään vakioteholla, P = Pk. Tehon yksikkö on [ P ]= =W watti  .
s
5.5.1
Teho ja nopeus
Tarkastellaan kuvan 5.5 kappaletta, joka liikkuu pitkin mielivaltaista rataa. Jos kappaleen
ratanopeus on v, se liikkuu ajassa dt matkan ds = vdt. Tänä aikana siihen vaikuttava voima F tekee
ds
työn dW = Ft ds. Nyt saadaan hetkellisen tehon ja kappaleen ratanopeuden v =
välille yhteys:
dt
P=
dW
ds
= Ft
= Ft v
dt
dt
(5.15)
Koska kuvan 5.5 mukaan Ft = F cos θ, voidaan yhtälö (5.15) kirjoittaa myös voiman F ja nopeuden
v pistetulona
P = F⋅v
LUT/Mafy
(5.16)
Mekaniikan perusteet
30
Esimerkki 5.3: Auto (massa 1200 kg) rullaa vapaalla alas mäkeä tasaisella nopeudella 18 m/s.
Kuinka suuri moottoriteho tarvitaan, jotta auto nousisi samaa mäkeä ylös samalla nopeudella? Mäen
kaltevuus on 1:20.
(21 kW)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
31
6 POTENTIAALIENERGIA, ENERGIAN SÄILYMINEN
6.1 Johdanto
Edellisessä luvussa kappaleiden energianmuutoksia tarkasteltiin työ - energia - periaatteen avulla.
Toinen käyttökelpoinen tarkastelutapa saadaan, kun otetaan käyttöön potentiaalienergia, jolla
tarkoitetaan kappaleen asemaan perustuvaa energiaa. Potentiaalienergia voidaan määritellä vain ns.
konservatiivisille voimille, joista tässä käsitellään gravitaatiovoima ja harmoninen voima.
Potentiaalienergian käsitteen avulla työ-energia-periaatteesta voidaan johtaa mekaanisen
kokonaisenergian säilymislaki, jonka mukaan konservatiivisten voimien vaikuttaessa kappaleen
liike-energian ja potentiaalienergian summa säilyy vakiona. Mekaanisen kokonaisenergian
säilymislaki voidaan yleistää koskemaan muitakin kuin konservatiivisia voimia. Yleinen energian
säilymislaki on tärkeimpiä fysiikan periaatteita.
6.2 Painovoimakentän potentiaalienergia
Kun kuvan 6.1 kappale putoaa painovoimakentässä korkeudelta y1 korkeudelle y2 matkan s = y1 y2, tekee painovoimakenttä työn
W = Fs = mg  y 1 − y 2 
(6.1)
Määritellään gravitaatiopotentiaalienergia Ep:
y1
E p = mgy
(6.2)
y2
W = mg
Kuva 6.1:
Painovoimakentän tekemä
työ
Matkalla s potentiaalienergian muutos on Δ Ep = Ep2 – Ep1 , joten
yhtälöstä 6.1 nähdään, että painovoimakentän tekemä työ on
W g = E p1 − E p2 = − ΔE p
y
y1
Osoitetaan seuraavaksi, että painovoimakentässä
potentiaalienergian muutos on riippumaton tiestä.
Oletetaan, että kappale liikkuu painovoiman vaikutuksesta
kuvan 6.2 mielivaltaista reittiä korkeudelta y1 korkeudelle
y2. Kuvan koordinaatistossa painovoimaa kuvaa vektori
Δx
Δy
(6.3)
Δs
w= -mg
y2
w = −mg j
x
(6.4)
Kuva 6.2:
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
32
Kun kappale siirtyy matkan  s =  x i   y j , tekee painovoima tällä matkalla työn
w⋅ s = − m g j⋅ x i   y j = − m g  y
(6.5)
ja koko matkalla tehty työ on
W g = mg ( y 1 − y 2 ) = E p1 − E p2
(6.6)
Työ riippuu siis vain alku- ja loppupisteiden välisestä korkeuserosta ja on riippumaton siitä, mitä
reittiä kuljettiin. Huomaa, että painovoimakentässä potentiaalienergian nollakohta on vapaasti
valittavissa, koska vain potentiaalienergian muutoksilla on merkitystä.
6.3 Harmonisen voiman (jousen) potentiaalienergia
Kun kuvan 3.8 jousta venytetään poikkeamasta x = x1
poikkeamaan x = x2 tehdään työtä:
x2
x1
F
x2
W = ∫ kx dx =
x1
1 2 1 2
kx − kx
2 2 2 1
(6.7)
Kuva 6.3:
Jos jousi on aluksi levossa (x1 = 0) ja merkitään x2 = x, on tehty
työ
U
W=
1
1
k  x 22 − x21  = kx 2
2
2
(6.8)
Määritellään jousen potentiaalienergia Ep (kuva 6.4):
x
Kuva 6.4: Harmonisen voiman
potentiaalienergiafunktio
Ep =
1 2
kx
2
(6.9)
Huomaa, että harmonisen voiman potentiaalienergian nollakohta on aina x = 0!
Jousen tekemä työ siirroksessa x1 → x2 on yhtälöiden (6.7) ja (6.9) mukaan
W el = − W =
LUT/Mafy
1 2 1 2
kx − kx = E p1 − E p2 = − ΔE p
2 1 2 2
(6.10)
Mekaniikan perusteet
33
6.4 Mekaanisen energian säilyminen
Kun kappale putoaa korkeudelta y1 alkunopeudella v1 korkeudelle y2, jolloin se saavuttaa loppunopeuden v2, on painovoimakentän tekemä työ yhtälön (6.3) mukaisesti Wg = Ep1 – Ep2 = - Δ Ep .
Toisaalta työ-energia-periaatteen (5.5) mukaan kappaleeseen tehty työ on yhtä suuri kuin kappaleen
kineettisen energian muutos:
W g = E k 2 − E k1 = ΔE k
(6.11)
Yhtälöistä (6.3) ja (6.11) seuraa, että Δ Ek = - ΔEp , eli
E k 2 − E k 1 = −( E p2 − E p1 )
(6.12)
Kun järjestellään termejä, saadaan
E k 1 + E p1 = E k 2 + E p2
(6.13)
joka voidaan kirjoittaa kineettisen ja potentiaalienergian lausekkeiden avulla muotoon
1 2
1
mv 1  mgy 1 = mv 22  mgy 2
2
2
(6.14)
Kappaleen mekaaninen kokonaisenergia E on potentiaali- ja kineettisen energian summa:
E = Ek + E p
(6.15)
Yhtälön (6.13) mukaan mekaaninen kokonaisenergia säilyy gravitaatiokentässä.
Esimerkki 6.1: Oheisen kuvan mukainen systeemi (mA = 15 kg, mB = 6,0
kg, h = 2,0 m) lähtee levosta liikkeelle. Pyörän ja kiinnityslangan massat
sekä kitka voidaan jättää huomiotta. Laske
a) millä vauhdilla kappale A osuu lattiaan ja
A
b) kuinka korkealla kappale B nousee, ennen kuin sen liikesuunta vaihtuu.
( 4,1 m/s; 2,9 m )
h
B
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
34
Mekaanisen energian säilymislaki pätee myös harmoniselle voimalle. Koska työ-energia-periaatteen
mukaan Wel = ΔEk , on yhtälön (6.10) mukaan ΔEk = -ΔEp , saadaan
E k 1 + E p1 = E k 2 + E p2
(6.16)
Jos kappaleeseen vaikuttaa myös muita voimia Fmuut , ne tekevät em. siirroksessa työn Wmuut.
Soveltaen työ-energia-periaatetta voidaan kirjoittaa
W + W muut = ΔE k
(6.17)
missä W on konservatiivisen voiman tekemä työ. Tästä saadaan edelleen yhtälön (6.3) mukaan
E p1 − E p2 + W muut = E k 2 − E k 1
(6.18)
Termejä järjestelemällä saadaan lopuksi
E k 1 + E p1 + W muut = E k 2 + E p2
(6.19)
Toisin sanoen: muiden voimien kuin konservatiivisten voimien tekemä työ on yhtä suuri kuin
kappaleen kokonaisenergian muutos, Wmuut=DE.
Esimerkki 6.2: Hissin (massa 2000 kg) vaijerin katketessa pysähdystä vaimennetaan kuilun
pohjalle asennetun jousen avulla. Se pysäyttää hissin 3,0 metrin matkalla, kun hissi törmää jouseen
nopeudella 25 m/s. Laske jousen jousivakio. Oletetaan, että hissin vaikuttaa painovoiman lisäksi
myös 17000 N suuruinen kitkavoima.
(141 kN/m)
6.5 Konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat
Jos voima on konservatiivinen, pisteestä A pisteeseen B kuljettaessa tehty työ ei riipu siitä, mitä tietä
pisteestä toiseen kuljetaan. Tästä seuraa:
1. Voimalla on vain paikasta riippuva potentiaalienergiafunktio Ep:
W = − ΔE p
(6.20)
missä W tarkoittaa konservatiivisen voiman tekemää työtä.
2. Voiman tekemä työ on reversiibeli eli työ on muutettavissa potentiaalienergiaksi ja päinvastoin
häviöittä.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
35
3. Kun tien alkupiste ja päätepiste yhtyvät, on konservatiivisen voiman tekemä työ nolla.
Mekaniikan kurssilla käsiteltävistä voimista konservatiivisia voimia ovat painovoima ja harmoninen
voima. Muut voimat, esimerkiksi kitkavoima, ovat ei-konservatiivisia voimia. Ei- konservatiiviselle
voimalle ei voi määritellä potentiaalienergiaa, mutta sen tekemä työ Wmuut muuttaa kappaleen
sisäistä energiaa Uint (kitkalämpö):
ΔU int = −W muut
(6.21)
6.6 Energian säilymislaki
Kun otetaan mukaan kappaleen sisäinen energia (6.21), voidaan yhtälössä (6.19) esitetty energian
säilymislaki kirjoittaa muotoon
E k 1 + E p1 − ΔU int = E k 2 + E p2
(6.22)
Tämä voidaan kirjoittaa myös muotoon:
ΔE k + ΔE p + ΔU int = 0
(6.23)
Kappaleen kineettisen energian, potentiaalienergian ja sisäisen energian muutosten summa on
nolla. Energian säilymislaki on erittäin käyttökelpoinen periaate useita tehtäviä ratkaistaessa.
6.7 Voiman ja potentiaalienergian yhteys
Kun konservatiivinen voima F tunnetaan, sille voidaan määritellä potentiaalienergiafunktio Ep.
Kääntäen, potentiaalienergiafunktion avulla voidaan määrätä kappaleeseen vaikuttava voima.
Annetaan voiman F siirtää kappaletta x-akselin suunnassa matka Δx. Siirroksessa voima tekee työn
W:
W = Fx Δx =− Δ Ep
(6.24)
missä Fx on voiman F x-akselin suuntainen komponentti. Yhtälöstä (6.24) seuraa, että voiman xakselin suuntainen komponentti on
Fx =−
ΔEp
Δx
(6.25)
Kun annetaan siirroksen Δx lähestyä nollaa, lähestyy yhtälön oikea puoli potentiaalifunktion
derivaattaa x:n suhteen:
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
36
Fx =−
d Ep
dx
(6.26)
Vastaavalla tavalla voidaan johtaa potentiaalifunktion ja voiman y- ja z- akselin suuntaisten
komponenttien välinen yhteys, kun siirtymä on y- ja z-akselien suuntainen:
∂Ep
;
∂x
Fx =−
∂ Ep
;
∂y
F y =−
Fz =−
∂Ep
∂z
(6.27)
Kappaleeseen vaikuttavan voiman komponentit saadaan, kun lasketaan potentiaalifunktion
osittaisderivaatat x:n, y:n ja z:n suhteen. Kappaleeseen vaikuttava voima F on siis
F = Fx i + F y j + Fz k =−
(
∂Ep
∂Ep
∂ Ep
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
)
(6.28)
Voima on potentiaalin negatiivinen gradientti:
F =− ∇ E p
(6.29)
missä gradienttioperaattori ∇ (nabla) on
∇= ∂ i+ ∂ j+ ∂ k
∂x
∂y
∂z
6.7.1
(6.30)
Tasapainotilat
Ep(x)
F2
x1
x2
F4
x3
x4 x5
Kuva 6.5: Potentiaalienergiafunktio
x
Kuvassa 6.5 on kuvattu kappaleen
potentiaalienergiafunktio Ep(x). Koska voima on
yhtälön 6.26 mukaan potentiaalifunktion negatiivinen
derivaatta, antaa potentiaalifunktiolle piirretyn
tangentin kulmakertoimen vastaluku kappaleeseen
vaikuttavan voiman suunnan ja suuruuden. Kuvan
pisteessä x2 kappaleeseen vaikuttava voima suuntautuu
positiivisen x-akselin suuntaa (koska tangentin
kulmakerroin tässä pisteessä on < 0) ja vastaavasti
pisteessä x4 voima vaikuttaa kohti negatiivista xakselia.
Erityisasemassa ovat potentiaalifunktion ääriarvopisteet, koska niissä funktion derivaatta on nolla,
eikä kappaleeseen siten vaikuta voimaa. Ts. potentiaalifunktion ääriarvopisteissä kappale on
tasapainotilassa. Potentiaalienergiafunktion minimi (x3) on stabiili tasapainotila, koska minimin
ympäristössä voima on kohti minimiä. Vastaavasti maksimi (x1, x5) on epästabiili tasapainotila,
koska maksimin ympäristössä voima on maksimista poispäin.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
37
7 MONEN KAPPALEEN SYSTEEMIT
7.1 Johdanto
Todellisuudessa kaikki kappaleet koostuvat suuresta joukosta hiukkasia ja usein tarkastelun
kohteena ovat hiukkasjoukot. Edellisissä luvuissa tarkasteltiin yksittäisen kappaleen etenevää
liikettä ja todettiin, että kappaletta voidaan pitää pistemäisenä, jos sen koko massa sijoitetaan
massakeskipisteeseen eli painopisteeseen. Massakeskipisteen liike on tärkeä myös monen kappaleen
systeemeissä.
Lisäksi on tarpeen määritellä muutama uusi käsite. Kun kappaleeseen vaikuttaa nettovoima, se
muuttaa kappaleen liiketilaa. Muutoksen suuruus riippuu paitsi voiman suuruudesta, myös voiman
vaikutusajasta. Molemmat tekijät sisältyvät voiman impulssin käsitteeseen. Voiman aiheuttamaa
liiketilan muutosta puolestaan kuvaa kappaleen liikemäärän muutos. Liikemäärän säilymislaki
tarjoaa keinon kappaleiden välisten törmäysten käsittelyyn.
7.2 Massakeskipiste
Massakeskipisteen paikka saadaan selville, kun edellytetään, että vaikuttava voima tuottaa
pistemäiselle massalle saman kiihtyvyyden kuin alkuperäiselle kappaleelle. Oletetaan, että voima F
antaa kappaleelle (massa m) kiihtyvyyden on a: F=m a . Jaetaan kappale massa-alkioihin mi.
Jokaiseen massa-alkioon vaikuttaa kokonaisvoimasta osa Fi, joka antaa osaselle saman
kiihtyvyyden kuin koko kappaleelle. Kun osasen paikkaa kuvaa paikkavektori ri, on Newtonin
toisen lain mukaan
d2
d2
F i =mi a=mi 2  r i = 2  mi r i 
dt
dt
(7.1)
Kun lasketaan yhteen kaikki osasia kuvaavat yhtälöt, saadaan tulokseksi
 
N
N
N
F =∑ F i =∑
i=1
i=1
d2
d2
m
r
=


i i
dt 2
dt 2

N
∑ mi r i
i=1

=m
d2
dt 2
∑ mi r i
i=1
(7.2)
m
Kun määritellään massakeskipisteen paikka rmkp yhtälöllä
N
∑ mi r i
r mkp= i=1
(7.3)
m
voidaan yhtälö (7.2) kirjoittaa
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
38
( )
N
d2
F =m 2
dt
∑ mi r i
i=1
m
=m
d 2 r mkp
dt 2
(7.4)
=m a mkp
Toisin sanoen, kappaleen koko massa voidaan keskittää massakeskipisteeseen rmkp ja koko
kappaleen kiihtyvyys a on sama kuin massakeskipisteen kiihtyvyys amkp.
Suorakulmaisessa koordinaatistossa painopisteen x-, y- ja z- koordinaatit ovat (7.3):
∑ mi x i
x mkp =
i
m
∑ mi y i
y mkp =
i
m
∑ mi zi
z mkp =
(7.5)
i
m
(7.6)
(7.7)
Painopisteen laskemisesta helpottaa, jos kappale on jaettavissa säännöllisiin osiin mi, joiden
painopiste (xi, yi, zi) on helposti nähtävissä. Koko kappaleen painopiste saadaan silloin osien
painopisteiden massoilla painotettuna keskiarvona yhtälöistä (7.5) - (7.7) Mielivaltaisen kappaleen
painopisteen laskemiseksi se jaetaan pieniin massa-alkioihin dm, joihin sovelletaan yllä kuvattua
menettelyä. Nyt painopisteen koordinaatit saadaan integroiden yli kappaleen tilavuuden V:
∫ x dm
x mkp =
V
∫ y dm
y mkp =
V
LUT/Mafy
(7.9)
m
∫ z dm
z mkp =
(7.8)
m
V
(7.10)
m
Mekaniikan perusteet
39
Esimerkki 7.1: Määritä oheisen tasapaksun aukollisen
kappaleen painopisteen sijainti.
(vaakasuunnassa 6,5 m, pystysuunnassa 3,3 m vasemmasta
alakulmasta)
1,0 m
4,0 m
2,0 m
2,0 m
5,0 m
5,0 m
7.3 Kappaleen liikemäärä ja voiman impulssi
Kun kappaleeseen vaikuttaa resultanttivoima F, se joutuu kiihtyvään liikkeeseen. Newtonin toisen
lain mukaan
F = ∑ Fi = m a
(7.11)
i
Jos kappaleen massa m on vakio, voidaan kirjoittaa:
F = ma = m
dv
d
=  mv 
dt
dt
(7.12)
Määritellään kappaleen liikemäärä p kappaleen massan m ja nopeuden v tulona:
p = mv
(7.13)
kgm
= Ns . Liikemäärävektorin suunta on sama kuin nopeusvektorin.
s
Newtonin toinen laki (yhtälö 7.12) voidaan siis kirjoittaa muotoon
Liikemäärän yksikkö on [ p ]=
F=
dp
dt
(7.14)
Kappaleeseen vaikuttava nettovoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän muutosnopeus.
Tässä muodossa Newtonin toinen laki pätee myös siinä tapauksessa, että kappaleen massa muuttuu.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
40
Esimerkki 7.2: Paloletku ruiskuttaa vettä 45 kg/s. Suihku osuu kohtisuorasti pystysuorassa olevaan
ikkunalasiin nopeudella 32 m/s. Laske suihkun ikkunaan kohdistama voima.
(1400 N)
Kappaleeseen kohdistuvan nettovoiman F vaikutus kappaleeseen riippuu sekä voiman suuruudesta
että voiman vaikutusajasta Δt. Vaikutusta kuvaa voiman impulssi I:
I = F Δt
(7.15)
kgm
ja sen suunta on sama kuin voiman suunta.
s
Oletetaan, että kappaleeseen, jonka massa on m, vaikuttaa vakiovoima F ajan Δt = t2 - t1. Voiman
vaikutuksesta kappaleen liikemäärä muuttuu määrällä Δp = p2 - p1 . Koska voima on vakiovoima,
voidaan yhtälö (7.14) kirjoittaa muotoon
Voiman impulssin yksikkö on [ I ]= Ns=
F
F=
p 2 − p1
 p
=
t
t
(7.16)
missä p1 on liikemäärä hetkellä t1 ja p2 liikemäärä hetkellä t2. Kun
kerrotaan yhtälö (7.16) puolittain Δt:llä, saadaan
F  t = p2 − p1 , joten
Fk
t1
t2
t
I = p 2 − p1
(7.17)
Kuva 7.1:
Kappaleeseen kohdistuvan voiman impulssi on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän muutos.
Kappaleeseen vaikuttava voima ei ole yleensä vakiovoima, vaan muuttuu vaikutusajan kuluessa
(kuva 7.1). Tällöin voiman vaikutus kappaleen liiketilaan voidaan arvioida, kun korvataan muuttuva
voima sen keskimääräisellä arvolla Fk ko. aikana ja sovelletaan yhtälöä (7.15).
Esimerkki 7.3: Pallo (m = 150 g) osuu vaakasuoralla nopeudella 24,0 m/s mailaan, joka antaa sille
vastakkaissuuntaisen nopeuden 36,0 m/s. Kuinka suuri on mailan palloon kohdistama voima, kun
se vaikuttaa palloon 0,0020 s?
(4,5 kN)
Esimerkki 7.4: Pallo (m = 100 g) vierii vaakasuoralla alustalla
nopeudella v0 = 4,0 m/s. Eräällä hetkellä siihen vaikuttaa 10 ms ajan
voima, jonka jälkeen pallon nopeus on v1 = 5,0 m/s ja suunta kuvan
mukainen. Mikä oli kappaleeseen vaikuttava voima?
(74,5 i + 35,4 j N)
LUT/Mafy
v1
θ = 45°
v0Mekaniikan
perusteet
41
Voiman impulssi voidaan laskea tarkasti integroiden, jos voiman suuruus ajan funktiona tunnetaan
(kuva 7.1). Jos voiman vaikutus alkaa hetkellä t1 ja päättyy hetkellä t2, on voiman impulssi
t2
I = ∫ F dt
(7.18)
t1
Impulssi vastaa F(t)- käyrän ja t-akselin välistä pinta-alaa.
7.4 Liikemäärän säilyminen
Tarkastellaan liikkuvien kappaleiden muodostamaa systeemiä. Oletetaan, että systeemi on eristetty,
ts. siihen ei vaikuta systeemin ulkopuolisia voimia tai vaikuttavien voimien resultantti on nolla.
Tällöin kappaleiden väliset voimavaikutukset johtuvat yksinomaan kappaleiden välisistä, systeemin
sisäisistä voimista.
Oletetaan, että edellä mainitun systeemin muodostaa kaksi kappaletta, A ja B. Kun kappale A
vaikuttaa kappaleeseen B voimalla FAB, Newtonin kolmannen lain mukaan kappale B vaikuttaa
A:han yhtä suurella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla:
F BA=−F AB
(7.19)
Tästä seuraa, että systeemin sisäisten voimien summa on nolla. Kun käytetään hyväksi Newtonin
toista lakia (7.14), saadaan
F BA  F AB =
d p A d pB
d

=  pA  pB  = 0
dt
dt
dt
(7.20)
Systeemiin kuuluvien kappaleiden kokonaisliikemäärä pysyy siis vakiona, vaikka yksittäisten
kappaleiden liikemäärät voivatkin vaihdella. Kun merkitään systeemin kokonaisliikemäärä
p kok = p A + p B
(7.21)
saadaan yhtälöstä 7.20 liikemäärän säilymislaki:
d p kok
=0
dt
(7.22)
Jos systeemiin ei vaikuta ulkoisia voimia, tai niiden resultantti on nolla, systeemin
kokonaisliikemäärä on vakio.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
42
Tulos on riippumaton systeemiin kuuluvien kappaleiden määrästä, koska kappaleet vaikuttavat
toisiinsa pareittain. Koska kullekin parille on voimassa yhtälö 7.22, se pätee myös mielivaltaiselle
kappalemäärälle. Jos systeemissä on N kappaletta, kokonaisliikemäärä on
N
p kok = ∑ pi = p1 + p 2 + ... + p N = m 1 v 1 + m1 v 2 + ... + mN v N
(7.23)
i=1
Muokataan hiukan yhtälöä (7.23). Jos hiukkasten kokonaismassa on M , saadaan
N
N
p kok = ∑ mi v i = ∑
i=1
i=1
d
d
(mi r i ) = M
dt
dt
(
N
∑ mi r i
i=1
M
)
=M
d r mkp
= M v mkp
dt
(7.24)
Jos siis systeemiin ei vaikuta ulkoisia voimia on yhtälön (7.22) mukaan kokonaisliikemäärä vakio,
joka tarkoittaa yhtälön (7.24) mukaan sitä, että massakeskipisteen nopeus on vakio. Jos siis kappale
esimerkiksi hajoaa tai muuttaa muotoaan sisäisten voimien vaikutuksesta, se ei vaikuta
massakeskipisteen liikkeeseen.
Esimerkki 7.5: 238U- ydin hajoaa radioaktiivisesti 234Th-ytimeksi lähettämällä α - hiukkasen (4Heydin). Laske 234Th-ytimen nopeus hajoamisen jälkeen, kun α - hiukkasen nopeudeksi mitataan
1,4×106 m/s. Oletetaan, että uraaniydin on levossa ennen hajoamistaan.
mα : mTh : mU = 4:234:238
(24×103 m/s)
Esimerkki 7.6: Kaksi miestä (kummankin massa 70 kg) istuu 5 m päässä toisistaan pitkällä
lankulla, jonka massa on ml = 20 kg. Lankku on märällä jäällä, jota voidaan pitää kitkattomana
pintana. Toisella miehistä on pallo (mp = 5,0 kg), jonka hän heittää kumppanilleen nopeudella 4,0
m/s jäähän nähden. Mikä on lankun nopeus, kun pallo on ilmassa? Mikä on lankun nopeus, kun
toinen on ottanut pallon kiinni?
(0,12 m/s; 0,0 m/s)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
43
7.5 Hiukkassysteemin liike-energia
Edellä todettiin, että systeemin liikemäärä on yhtä suuri
kuin massakeskipisteen nopeudella liikkuvan
samamassaisen pistemäisen kappaleen liikemäärä. Kun
tarkastellaan saman systeemin liike-energiaa, tilanne on
toinen. Jaetaan kuvan 7.2 kappale (massa M) osasiin mi,
joista kukin liikkuu nopeudella vi. Kun kappaleen
massakeskipisteeseen kiinnitetään nopeudella vmkp liikkuva
koordinaatisto, voidaan yhtälön (3.39) mukaan kirjoittaa
y
rmkp
mkp
ri/mkp
mi
ri
x
Kuva 7.2:
v i =v mkp +v i / mkp
(7.25)
Kunkin osasen liike-energia on
1
1
K i = mi vi2= mi v i⋅v i
2
2
(7.26)
Kun sijoitetaan tähän (7.25) saadaan tulokseksi
1
1
K i = mi (v mkp +v i / mkp )⋅(v mkp +v i / mkp )= mi (v 2mkp +2 v mkp⋅v i / mkp+vi2/ mkp )
2
2
(7.27)
Lasketaan kaikkien osasten liike-energiat yhteen:
K =∑ K i =
i
1
1
(mi v 2mkp )+∑ (mi v mkp⋅v i / mkp )+ ∑ (mi v i2/mkp )
∑
2 i
2 i
i
(7.28)
Summalausekkeen ensimmäinen termi on massakeskipisteen nopeudella etenevän kappaleen liike1
1
2
2
energia: ∑ mi v mkp= M v mkp . Summalausekkeen viimeinen termi kuvaa liike-energiaa, joka
2 i
2
johtuu osasten liikkeestä massakeskipisteen suhteen. Keskimmäisen termin arvo on nolla, koska
summalauseke sisältää kappaleen liikemäärän (7.24) mitattuna massakeskipisteen mukana
liikkuvassa koordinaatistossa: ∑ (mi v mkp⋅v i /mkp )=v mkp⋅ ∑ mi v i / mkp =v mkp⋅M v mkp /mkp =0 .
i
(
i
)
Kappaleen liike-energia koostuu siis kahdesta osasta, massakeskipisteen etenevän liikkeen liikeenergiasta ja liike-energiasta, joka johtuu kappaleen osasten liikkeestä massakeskipisteen suhteen:
1
1
K = M v 2mkp + ∑ (mi v i2/ mkp )
2
2 i
LUT/Mafy
(7.29)
Mekaniikan perusteet
44
7.6 Törmäykset
Kahden kappaleen törmäys tarkoittaa sellaista kappaleiden välistä vuorovaikutusta, jossa
kappaleiden väliset voimat ovat paljon suurempia kuin muut kappaleisiin mahdollisesti vaikuttavat
voimat. Tästä seuraa, että kappaleiden muodostamaa systeemiä voidaan törmäyshetkellä pitää
eristettynä ja siten systeemin liikemäärä säilyy. Törmäyksen yhteydessä kappaleiden liikesuunnat ja
nopeudet muuttuvat, joten sekä kappaleiden liikemäärät että liike-energiat jakautuvat kappaleiden
kesken uudella tavalla. Tämä jako riippuu tietenkin kappaleiden massoista, nopeuksista ja
liikesuunnista ennen törmäystä, mutta myös siitä, millaiset voimat törmäyksen yhteydessä
vaikuttavat. Tällä perusteella törmäykset voidaan luokitella kolmeen ryhmään: kimmoiset, osittain
kimmoiset ja kimmottomat törmäykset.
Kimmoisa törmäys tapahtuu, jos kappaleiden väliset voimat törmäyshetkellä ovat konservatiivisia,
ts. törmäykseen ei liity kitkavoimia eikä kappaleiden pysyviä muodonmuutoksia. Koska vaikuttavat
voimat ovat konservatiivisia, kokonaisenergia säilyy törmäyksessä. Kappaleiden potentiaalienergiat
ennen törmäystä ja välittömästi sen jälkeen ovat samat, joten systeemin liike-energia säilyy.
Osittain kimmoisa törmäys tapahtuu, jos törmäyksessä on mukana ei- konservatiivisia voimia. Tästä
seuraa, että systeemin liike-energia ei säily, vaikka liikemäärä säilyykin. Täysin kimmottomassa
törmäyksessä törmäävät kappaleet takertuvat toisiinsa. Nytkään ei liike-energia säily.
Ennen kuin käsitellään törmäyksiä tarkemmin sovitaan merkinnöistä:
mA, mB = kappaleiden massat
vA1, vB1 = kappaleiden nopeudet ennen törmäystä
vA2, vB2 = kappaleiden nopeudet törmäyksen jälkeen.
7.6.1
Kimmoton törmäys
Kimmottomassa törmäyksessä kappaleet takertuvat toisiinsa ja liikkuvat törmäyksen jälkeen
yhteisellä nopeudella vA2 = vB2 = v . Törmäyksessä liike-energia ei säily, mutta liikemäärä säilyy:
m A v A1  mB v B1 = m A  mB  v
(7.30)
Kun kappaleiden liikesuunnat ennen törmäystä tunnetaan, yhtälö määrää kappaleiden yhteisen
loppunopeuden yksikäsitteisesti. Mikäli kappaleiden massakeskipisteet liikkuvat ennen törmäystä
pitkin samaa suoraa eli törmäys on suora ja keskeinen, voidaan liikemäärän säilymisyhtälö kirjoittaa
m A v A1  mB v B1 = m A  mB  v
LUT/Mafy
(7.31)
Mekaniikan perusteet
45
Esimerkki 7.7: Ballistinen heiluri on laite, jolla voidaan
mitata luodin nopeus. Ammuttu luoti (ml = 5,00 g) pysähtyy
täysin puukappaleeseen (mh = 2,00 kg). Osuman jälkeen
heiluri nousee 3,00 cm luoteineen.
a) Laske luodin nopeus sen osuessa heiluriin.
b) Kuinka suuri osa luodin kineettisestä energiasta muuttuu
muuhun muotoon?
v,ml
(307 m/s; 99,8%)
7.6.2
mh
mh+ml
h
Osittain kimmoisa törmäys
Osittain kimmoisa törmäys on kimmottoman ja kimmoisan törmäyksen välimuoto. Törmäyksessä
liikemäärä säilyy:
m A v A1  m B v B1 = m A v A2  m B v B2
(7.32)
Jos törmäys on suora ja keskeinen, liikkuvat kappaleet ennen törmäystä ja sen jälkeen pitkin samaa
suoraa. Nyt törmäystä kuvaa skalaariyhtälö
m A v A1  m B v B1 = m A v A2  m B v B2
(7.33)
Molemmissa tapauksissa on tunnettava esimerkiksi kappaleiden liike ennen törmäystä ja toisen
kappaleen liike törmäyksen jälkeen, jotta toisen kappaleen liike törmäyksen jälkeen voitaisiin
selvittää. Törmäyksen kimmoisuuden astetta kuvaa sysäyskerroin e, joka määritellään suoralle
keskeiselle törmäykselle yhtälöllä
e=
v B2 − v A2
v A1 − v B1
(7.34)
Osittain kimmoisalle törmäykselle 0 < e < 1. Kun törmäys on kimmoton, e = 0 ja kun se on täysin
kimmoisa, e = 1.
7.6.3
Kimmoisa törmäys
Täysin kimmoisassa törmäyksessä säilyy liikemäärän lisäksi liike-energia:
1
1
1
1
2
2
2
2
m A v A1  m B v B1 = m A v A2  m B v B2
2
2
2
2
LUT/Mafy
(7.35)
Mekaniikan perusteet
46
Jos törmäys on suora ja keskeinen, liikemäärän säilymislaki antaa toisen kappaleiden liikettä
sitovan yhtälön
m A v A1  m B v B1 = m A v A2  m B v B2
(7.36)
Muussa tapauksessa liikemäärän säilymislaki kirjoitetaan vektoriyhtälönä
m A v A1  mB v B1 = mA v A2  mB v B2
(7.37)
Atomien ja molekyylien törmäyksiä voidaan pitää täysin kimmoisina, samoin kovien esineiden
(esim biljardipallot) törmäyksiä, joissa ei tapahdu merkittäviä muodonmuutoksia.
Kimmoisan törmäyksen tarkastelu yksinkertaistuu, kun oletetaan, että toinen kappaleista on levossa
ennen keskeistä törmäystä: vB1 = 0. Yhtälöt (7.35) ja (7.36) saavat nyt muodon
1
1
1
mA v 2A1 = m A v 2A2  m B v 2B2
2
2
2
(7.38)
m A v A1 = m A v A2  mB vB2
(7.39)
ja
Näistä yhtälöistä saadaan kappaleiden nopeudet törmäyksen jälkeen:
v A2=
m A−m B
v
m Am B A1
(7.40)
v B2=
2 mA
v
m AmB A1
(7.41)
ja
Jos törmäävillä kappaleilla on sama massa, mA = mB, nähdään, että kappaleet vaihtavat nopeuksia:
vA2 = 0 ja vB2 = vA1. Jos taas mA >> mB, nähdään, että vA2 = vA1 ja vB2 = 2vA1. Lopuksi, kun mA << mB,
saadaan loppunopeuksiksi vA2 = - vA1 ja vB2 = 0.
Jos kimmoisa törmäys on edelleen suora ja keskeinen, mutta molemmat kappaleet liikkuvat ennen
törmäystä, voidaan osoittaa, että kappaleiden lähenevät toisiaan ennen törmäystä samalla
nopeudella kuin ne etääntyvät toisistaan törmäyksen jälkeen:
v B2−v A2=−v B1−v A1
(7.42)
(Törmäys ei vaikuta massakeskipisteen liikkeeseen.)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
47
8 PYÖRIMISLIIKE
8.1 Johdanto
Kiinteä kappale voi olla paitsi etenemisliikkeessä, myös pyörimisliikkeessä jonkin akselin ympäri.
Seuraavissa luvuissa tarkastellaan jäykän kappaleen pyörimisliikettä. Jäykän kappaleen eri osien
väliset etäisyydet pysyvät muuttumattomina. Useimmiten näin voidaan olettaa, kun käsitellään
kiinteitä kappaleita. Jäykän kappaleen liike voidaan jakaa kahteen osaan: translaatioliikkeeseen (eli
etenemisliikkeeseen), jota on käsitelty aiemmissa luvuissa ja rotaatioliikkeeseen
(pyörimisliikkeeseen). Kun kappale pyörii, sen jokainen piste kiertää ympyrärataa pyörimisakselin
ympäri.
8.2 Kulmanopeus ja -kiihtyvyys
Tarkastellaan seuraavaksi pyörivän kappaleen liikettä
tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan
y
(kuva 8.1). Kun kappale pyörii akselin ympäri, sen jokainen
pyörimis- piste P kiertää ympyrärataa. Kunkin pisteen paikan
P
suunta
pyörimisakselin suhteen määrää etäisyys r pyörimisakselista
ja kulma θ, jonka paikkavektori r tekee tarkasteluhetkellä
P
valitun vertailusuunnan kanssa. Koska kappale on jäykkä,
r
voidaan koko kappaleen asentoa kuvaava kulma(asema) θ
θ
pyörimismäärittää minkä tahansa kappaleeseen kuuluvan pisteen
x
akseli
paikkavektorin suuntakulman avulla.
Kuva 8.1: z-akselin ympäri pyörivä
jäykkä kappale
s = rθ
θ
r
Kuva 8.2:
LUT/Mafy
Kulma θ on määritelmän mukaan (kuva 8.2)
θ=
s
r
(8.1)
missä s on (keskus)kulmaa θ vastaavan ympyrän kaaren pituus ja r
ympyrän säde. Kulman yksikkö on [θ ] = rad (radiaani). Koska
ympyrän kaaren pituus on s = 2πr, on täysi kulma 360° = 2π
radiaania. Kulma θ > 0 , kun se mitataan vastapäivään.
Mekaniikan perusteet
48
8.2.1
Kulmanopeus
Keskimääräinen kulmanopeus ωk ilmoittaa kappaleen kulma-aseman θ keskimääräisen
muutosnopeuden:

t
k =
(8.2)
missä Δθ = θ2 - θ1 on pyörimiskulman muutos ajassa Δt = t2 – t1.
(Hetkellinen) kulmanopeus ω on kulma-aseman θ muutosnopeus hetkellä t:
=
[ω] =
d
dt
(8.3)
1 rad
=

s
s
Usein kulmanopeuden sijaan ilmoitetaan pyörimisnopeus n. Koska yksi kierros on 2π radiaania, on
pyörimisnopeus
n=
[n] =

2
(8.4)
1
1
(kierrosta/s). Myös yksikkö [n] = rpm =
on yleisesti käytössä.
s
min
Kappaleen pyöriessä jokainen kappaleen piste liikkuu
ympyrärataa (kuva 8.3). Siten pyörimisakselista etäisyydellä r
olevan pisteen ajassa t kulkema matka Δs on kappaleen kulmaaseman muutosta Δθ vastaavan ympyrän kaaren pituinen:
y
v
r
Δs
(8.5)
 s =r
Δθ
x
Jos yhtälö jaetaan matkaan käytetyllä ajalla Δt, saadaan
keskimääräisen ratanopeuden v k =
Kuva 8.3:
k =
  välinen yhteys:
t
v k = r k
LUT/Mafy
s
ja kulmanopeuden
t
(8.6)
Mekaniikan perusteet
49
Kun annetaan ajan Δt lähestyä nollaa, saadaan vastaava hetkellisten nopeuksien välinen yhteys:
(8.7)
v=r 
8.2.2
Kulmakiihtyvyys
Keskimääräinen kulmakiihtyvyys αk on kulmanopeuden muutos Δω ajassa Δt:
k =

t
(8.8)
Kulmakiihtyvyys α on kulmanopeuden muutosnopeus hetkellä t:
=
d
d2
= 2
dt
dt
Jälkimmäinen muoto seuraa siitä, että  =
(a)
1 rad
d
. Kulmakiihtyvyyden yksikkö on []= 2 = 2 .
dt
s
s
(b)
ω
ω
(c)
ω
ω
(8.9)
α
α
Kuva 8.4: (a) Kulmanopeusvektori. (b) ja (c):
kulmakiihtyvyys vektorina
Kulmanopeus ja - kiihtyvyys määritellään
yleisemmin vektoreina. Kulmanopeus ω on
vektori, joka on pyörimisakselin suuntainen kuvan
8.4 a mukaisesti ja α on vektori, joka on ω
-vektorin suuntainen, jos kulmanopeus kasvaa
(kuva 8.4 b) ja sille vastakkainen, jos kulmanopeus
pienenee (kuva 8.4 c). Kulmanopeusvektorin
suunta selviää helposti oikean käden säännöllä:
Jos pyörimisakseliin tartutaan oikealla kädellä
niin, että sormet osoittavat pyörimissuuntaan, on
kulmanopeusvektori peukalon suuntainen.
Pyörimisliikkeessä pisteen kiihtyvyydellä a on kaksi komponenttia: tangentiaalinen kiihtyvyys at on
ratanopeuden muutosnopeus:
at =
LUT/Mafy
d r 
dv
=
= r
dt
dt
(8.10)
Mekaniikan perusteet
50
Radiaalinen kiihtyvyys ar (3.20) aiheutuu pyörimisliikkeestä:
ar =
v 2  r 2
=
= r 2
r
r
(8.11)
Ratanopeuden (ja kappaleen pyörimisnopeuden) muutoksen aiheuttaa kappaleeseen radan tangentin
suunnassa vaikuttava voima, radiaalinen kiihtyvyys puolestaan johtuu kappaleen osia
ympyräradalla pitävästä keskeisvoimasta.
8.3 Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike
Jos kappaleen kulmakiihtyvyys α on vakio, se on yhtä suuri kuin kappaleen keskimääräinen
kulmakiihtyvyys αk. Jos kulmanopeus on ω0 hetkellä t = 0 ja ω hetkellä t, on kulmakiihtyvyys
yhtälön (8.8) mukaan
 − 0
t−0
(8.12)
=0   t
(8.13)
=
Tästä saadaan kulmanopeudelle lauseke
Keskimääräinen kulmanopeus on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä alku- ja loppukulmanopeuksien
keskiarvo:
k =
  0
2
(8.14)
Toisaalta keskimääräisen kulmanopeuden määritelmän (8.2) mukaan
k =
 − 0
t
(8.15)
Yhtälöistä (8.13), (8.14) ja (8.15) saadaan kappaleen kulma-asema hetkellä t:
 =  0  0 t 
LUT/Mafy
1 2
t
2
(8.16)
Mekaniikan perusteet
51
Tasaisessa pyörimisliikkeessä kulmakiihtyvyys α = 0, joten kulmanopeus ω = vakio ja kappaleen
kulma-asema
 = 0   t
(8.17)
Esimerkki 8.3: Polkupyörän pyörä on tasaisesti hidastuvassa liikkeessä, α = -1,20 1/s2. Aluksi
kulmanopeus on ω0 = 4,00 1/s. Laske pyörän kulmanopeus ja kulma-asema 3,00 sekunnin kuluttua.
(0,40 1/s; 0,32 rad)
Esimerkki 8.4: Lentokoneen potkurin lapojen nopeus saa olla enintään 270 m/s (80 % äänen
nopeudesta). Jos lentokoneen nopeus ilman suhteen on 75 m/s ja potkurin kierrosluku on 2400 rpm,
a) mikä on potkurin lapojen suurin mahdollinen halkaisija ja
b) mikä on tällöin potkurin lapojen kärkien kiihtyvyys?
(2,06 m; 6,5×104 m/s2)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
52
9 PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA
9.1 Johdanto
Kappaleeseen vaikuttava nettovoima määrää sen liiketilan muutokset Newtonin lakien mukaisesti
myös pyörimisliikkeessä. Kun kappale saatetaan pyörimisliikkeeseen jonkin akselin ympäri,
tarvitaan tähän voimaa. Voiman suuruuden lisäksi yhtä tärkeä tekijä on voiman vaikutussuoran
etäisyys pyörimisakselista. Molempien tekijöiden yhteisvaikutusta kuvaa voiman momentti. Lisäksi,
kuten edellisessä luvussa nähtiin, pyörimisliikkeen kuvaamiseen on käytettävä paikan, nopeuden ja
kiihtyvyyden sijasta kulma-asemaa, kulmanopeutta ja kulmakiihtyvyyttä. Kappaleen massan
asemassa pyörimisliikkeessä on hitausmomentti. Tästä seuraa, että dynamiikan peruslait on
muokattava uuteen muotoon, jotta ne soveltuisivat pyörimisen kuvaamiseen.
Samoin muut edellisissä luvuissa johdetut periaatteet on muotoiltava uudelleen, kun kappale pyörii.
Mekaanisen energian säilymislakiin on lisättävä pyörimisliikkeen energian osuus ja liikemäärän
säilymislaki saa liikemäärämomentin säilymislain muodon.
9.2 Voiman momentti
Oletetaan, että kappale pääsee kiertymään kiinteän akselin O ympäri ja kappaleeseen vaikuttaa
akselia O vastaan kohtisuorassa tasossa voima, joka ei kohdistu suoraan akseliin. Voiman vaikutus
riippuu paitsi voiman suuruudesta ja suunnasta, myös vaikutuspisteen ja akselin välisestä
etäisyydestä. Vaikutusta kuvaa voiman momentti M:
Voiman momentti = voima × voiman vaikutussuoran
kohtisuora etäisyys pyörähdysakselista.
Jos voima pyrkii kiertämään kappaletta vastapäivään, M > 0,
muulloin M< 0. Jos kuvan 9.1 voimat ovat sivun tasossa ja
pyörimisakseli O kohtisuorassa sivun tasoa vastaan, ovat
kuvan voimien momentit akselin (momenttipisteen) O
suhteen:
F1
F3
O
l1
l2
M1 = F1l1
F2
M2 = - F2l2
Kuva 9.1:
M3 = 0
Kun piirretään paikkavektori r momenttipisteestä voiman
vaikutuspisteeseen, voidaan momentti laskea kuvan 9.2
mukaisesti. Kuvan mukaan
F
Ft=Fsinφ
φ
r
φ
Fr=Fcosφ
M = F l = F t r = F r sin φ
(9.1)
[M] = Nm.
O
l=rsinφ
Huomaa, että kulma φ yhtälössä (9.1) on paikkavektorin
r ja voiman F välinen kulma.
Kuva 9.2:
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
53
Mikäli kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat Fi ovat samassa tasossa, saadaan kappaleeseen
vaikuttava kokonaismomentti summaamalla yksittäisten voimien momentit:
N
N
i=1
i=1
M = ∑ M i = ∑ F i r i sin φi
(9.2)
Esimerkki 9.1: Auton renkaita vaihdettaessa on kiinnitysmutteria
kiristettävän momentin oltava vähintään 98 Nm. Laske kiristämiseen
tarvittava voima.
67°
F
45 cm
(240 N)
Yleisemmin voiman momentti määritellään vektorina ja vektoriristitulon määritelmän D.26
perusteella yhtälö (9.1) voidaan kirjoittaa:
M = r×F
(9.3)
Yhtälö (9.3) pätee, vaikka voima ei olisikaan pyörimisakselia vastaan kohtisuorassa tasossa. Myös
yhtälö (9.2) voidaan kirjoittaa yleisemmin muodossa
N
M = ∑ Mi
(9.4)
i=1
9.3 Pyörimisliikkeen perusyhtälö
y
Fiy
ω
r1
O
z
Kuva 9.3:
LUT/Mafy
r
Fit
mi
Fir
x
Muokataan seuraavaksi Newtonin toinen laki muotoon,
joka soveltuu pyörimisliikkeeseen. Tarkastellaan jäykkää
kappaletta, joka pääsee pyörimään y-akselin suuntaisen
symmetria-akselinsa ympäri. Jos kappaleeseen vaikuttaa
voima F, jonka momentti τ ≠ 0, joutuu kappale kiihtyvään
pyörimisliikkeeseen, jonka kulmakiihtyvyys on α. Kiinteän
kappaleen voidaan ajatella koostuvan joukosta
massapisteitä (kuva 9.3), joista kukin kiertää ympyrärataa.
Jokaiseen massapisteeseen mi vaikuttaa osa Fi
kokonaisvoimasta. Voima voidaan jakaa kuvan 9.3
mukaisesti kolmeen toisiaan vastaan kohtisuoraan
komponenttiin: Fiy on pyörimisakselin suuntainen voima ja
Fir ympyräradan säteen suuntainen voima. Kumpikaan
Mekaniikan perusteet
54
näistä ei vaikuta massapisteen pyörimisliikkeeseen. Rataympyrän tangentin suuntainen voima Fit
sen sijaan saa aikaan tangentiaalisen kiihtyvyyden ait . Newtonin toisen lain mukaan
F i t = mi a i t
(9.5)
Koska kappale on jäykkä, koko kappaleen kulmakiihtyvyys α määrää yksittäisen massapisteen
kiihtyvyyden:
a i t = ri 
(9.6)
Sijoitetaan tämä yhtälöön (9.5) ja kerrotaan puolittain massapisteen kohtisuoralla etäisyydellä
pyörimisakselista ri:
2
(9.7)
F i t r i = mi r i 
Nähdään, että Fit ri = Mi on voiman Fi momentti. Koko kappaleen pyörimistä kuvaava yhtälö
saadaan, kun yhtälö 9.7 summataan yli kaikkien massa-alkioiden:
N
(
N
∑ M i = ∑ mi r 2i
i=1
i=1
)
α
(9.8)
Yhtälön vasen puoli on kaikkien kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa
τ. Yhtälön oikean puolen sulkulauseke on kappaleen hitausmomentti I:
N
I = ∑ mi r 2i
(9.9)
i=1
Newtonin toisen lain vastine pyörimisliikkeessä on siis
=I
(9.10)
Yhtälö pätee vain jäykille kappaleille. Kun verrataan lauseketta Newtonin toiseen lakiin havaitaan,
että pyörimisliikkeessä kappaleeseen vaikuttavaa voimaa F vastaa voiman momentti τ ja kappaleen
massaa m vastaa kappaleen hitausmomentti I.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
55
9.4 Kappaleen hitausmomentin laskeminen
Ennen kuin yhtälöä (9.10) voi soveltaa jäykän kappaleen pyörimisliikkeeseen, on tunnettava
kappaleen hitausmomentti
N
I = ∑ mi r i
2
(9.11)
i=1
Yhtälö pätee, mikäli kappale koostuu osista, joita voidaan pitää pistemäisinä.
Esimerkki 9.2: Laske oheisen kappaleen hitausmomentit
akselin A ja tätä akselia vastaan kohtisuoran akselin B-C
suhteen. Kappaleiden massat: mA = 0,30 kg, mB = 0,10 kg ja
mC = 0,20 kg. Kappaleita yhdistävien osien massat ovat
pieniä ja kappaleita A, B ja C voidaan pitää pistemäisinä.
(IA = 0,057 kgm2; IBC = 0,048 kgm2)
B
0,5
0m
0,30 m
A
0,40 m
C
Yleisesti kappaleen hitausmomentti lasketaan seuraavasti. Jaetaan kappale, jonka kokonaismassa on
m ja tilavuus V, massa-alkioihin dm. Jos massa-alkion etäisyys pyörimisakselista on r, on alkion
hitausmomentti r2dm. Koko kappaleen hitausmomentti saadaan, kun lasketaan massa-alkioiden
hitausmomentit yhteen:
I = ∫ r 2 dm = ρ∫ r 2 d V
V
V
(9.12)
Jälkimmäinen muoto pätee kun kirjoitetaan dm = ρ dV ja oletetaan kappaleen tiheys ρ vakioksi.
Kappaleen hitausmomentin suuruus riippuu voimakkaasti kappaleen muodosta ja lisäksi
pyörähdysakselin asemasta. Kun kappaleen hitausmomentti lasketaan yhtälön (9.12) mukaisesti, se
yleensä lasketaan painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Joidenkin kappaleiden
hitausmomentteja on liitteessä E. Huomaa, että kappaleen hitausmomenttia ei voi laskea ajatellen,
että koko massa on keskittynyt painopisteeseen.
9.4.1
Steinerin sääntö
Mikäli kappaleen (massa m) hitausmomentti ICM painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen
tunnetaan, niin hitausmomentti IP tämän akselin suuntaisen, etäisyydellä d olevan akselin suhteen
on (kuva 9.4)
I P = I CM + m d
LUT/Mafy
2
(9.13)
Mekaniikan perusteet
56
Tämä tunnetaan nimellä Steinerin sääntö.
d
IP
ICM
Kuva 9.4: Steinerin sääntö
Olkoon kappaleen hitausmomentit kahden toisiaan vastaan
kohtisuoran akselin suhteen Ix ja Iy . Kappaleen hitausmomentti
kolmannen, näitä akseleita vastaan kohtisuoran akselin suhteen on
I z =I x I y
(9.14)
Esimerkki 9.3: Laske R-säteisen umpinaisen pallon (massa m) hitausmomentti pallon pintaa
sivuavan akselin suhteen.
 
7
mR 2
5
Esimerkki 9.4: Neljästä homogeenisesta tangosta (massa m, pituus l) muodostetaan neliö. Laske
neliön hitausmomentti
a) neliön sivun kautta kulkevan (neliön tason suuntaisen) akselin suhteen ja
b) neliön nurkan kautta kulkevan, neliön tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen.

5 2 10 2
ml ;
ml
3
3

9.5 Esimerkkejä pyörivän kappaleen dynamiikasta
Pyörimisliikkeeseen liittyvien tehtävien ratkaisu noudattaa luonnollisestikin samoja periaatteita kuin
Newtonin lakien yhteydessä luvussa 4.4 esitettiin.
Esimerkki 9.5: Sylinterin muotoinen satelliitti (massa 440 kg, halkaisija 1,4 m) pyörii akselinsa
ympäri 10 rpm. Pyörimisliike pysäytetään kahdella satelliitin kylkiin kiinnitetyllä rakettimoottorilla,
joiden työntövoima on sylinterin tangentin suuntainen ja suuruudeltaan 20 N. Kauanko
pyörimisliikkeen pysäyttäminen kestää?
(4,0 s)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
57
Esimerkki 9.6: Sylinterin ympäri kiedotun langan päissä riippuvat
kappaleet mA = 0,10 kg ja mB = 0,30 kg. Sylinteri (massa m = 0,20 kg ja
säde R = 0,10 m) pääsee pyörimään kitkatta vaakasuoran akselin ympäri.
Laske
R
a) massojen A ja B kiihtyvyys,
b) sylinterin kulmakiihtyvyys ja
A
c) voimat, joilla massat A ja B vaikuttavat lankaan.
B
(3,9 m/s2; 39 1/s2 1,4 N, 1,8 N)
9.6 Pyörimisliikkeen energia
Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri kulmanopeudella ω, jokaisella kappaleen massapisteellä
mi etäisyydellä ri pyörimisakselista on liike-energia Ki. Koska kunkin osasen ratanopeus vi riippuu
akselista lasketusta etäisyydestä ri yhtälön (8.7) mukaisesti, vi = ri ω , on kunkin osasen liikeenergia
Ki =
1
1
mi v 2i = mi r 2i  2
2
2
(9.15)
Koko kappaleen liike-energia saadaan, kun lasketaan osasten liike-energiat yhteen:
N
1
2
K = ∑ Ki =
i =1

N
∑ mi r 2i
i=1

2
(9.16)
Suluissa oleva lauseke on kappaleen hitausmomentti pyörimisakselin suhteen:
N
I = ∑ mi r 2i
(9.17)
i=1
Yhtälön (9.16) mukaan pyörimisliikkeen kineettinen energia on siis:
K=
LUT/Mafy
1
I 2
2
(9.18)
Mekaniikan perusteet
58
9.7 Työ ja teho pyörimisliikkeessä
Pyörimisliikkeessä kappaleen jokainen piste liikkuu
ympyrärataa. Kun kappaleeseen vaikuttaa ulkoinen voima,
vain rataympyrän tangentin suuntaisella voiman
komponentilla Ft on vaikutusta pyörimisliikkeeseen (kuva
9.5). Kun voiman Ft vaikutuspiste siirtyy pitkin
rataympyrää matkan ds = R dθ, se tekee työn dW:
Ft
Ft
ds
dθ
R
dW = F t d s = F t R d 
(9.19)
Koska voiman Ft momentti on τ = Ft R, voidaan työlle
kirjoittaa lauseke
Kuva 9.5:
dW =  d 
(9.20)
Kun kappale kiertyy kulman Δθ = θ2 - θ1, saadaan tehty kokonaistyö laskemalla eo. työt yhteen:
2
W = ∫ d 
(9.21)
1
Jos momentti pysyy vakiona, on voiman tekemä työ yksinkertaisesti
W =  2 −  1 =   
(9.22)
Tarkastellaan edelleen ulkoisen voiman tekemää työtä, kun kappale kiertyy kulman dθ. Koska
pyörimisliikkeen perusyhtälön (9.10) mukaan τ = Iα, voidaan momentin tekemä työ (9.20) kirjoittaa
muotoon
dW = τ d  =  I  d  = I
d
d
d=I
d=I d
dt
dt
(9.23)
Kun kappale jälleen kiertyy kulman Δθ = θ2 - θ1, on kokonaistyö
2
W =∫I d  =
1
1
1
I  22 − I  21
2
2
(9.24)
Yhtälön oikea puoli on voiman momentin vaikutuksesta tapahtunut kappaleen pyörimisenergian
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
59
muutos. Tämä tulos on työ- energia - periaate pyörimisliikkeelle: Ulkoisen resultanttivoiman
momentin tekemä työ on yhtä suuri kuin kappaleen pyörimisenergian muutos.
Koska teho tarkoittaa aikayksikössä tehtyä työtä, voima tekee työtä teholla
P=
dW
d 
=
= 
dt
dt
(9.25)
Esimerkki 9.7: Sähkömoottorin vääntömomentti on 10 Nm. Se pyörittää hiomakiveä, jonka
hitausmomentti on 2,0 kgm2. Laske
a) sähkömoottorin tekemä työ aikavälillä 0 – 8,0 s käynnistyksestä ja
b) sähkömoottorin syöttämä keskimääräinen teho tänä aikana.
c) Laske moottorin teho hetkellä t = 8,0 s.
(1600 J; 200 W; 400 W)
Kun kappaleiden liikkeeseen liittyy samanaikaisesti sekä etenevä että pyörimisliike, voidaan työ energia - periaatetta (5.5) ja mekaanisen energian säilymislakia (6.19) käyttää, kunhan kineettisen
energian lausekkeisiin lisätään pyörimisliikkeen energian osuus (9.18).
Esimerkki 9.8: Sylinteri (mS = 4,0 kg) pääsee pyörimään kitkattomasti
vaakasuoran akselin ympäri. Sylinterin kehälle kiedotun langan
päähän on kiinnitetty kappale (m = 2,0 kg). Kappale lähtee levosta
liikkeelle. Laske kappaleen nopeus hetkellä, jolloin se on liikkunut
matkan s = 0,40 m.
(2,0 m/s)
9.8 Yhdistetty etenevä liike ja pyörimisliike
Jos pyörivän kappaleen pyörimisakseli on etenevässä liikkeessä, kappaleen liike koostuu kahdesta
osasta. Etenevää liikettä voidaan kuvata sijoittamalla kappaleen koko massa massakeskipisteeseen
ja tarkastelemalla massakeskipisteen liikettä, pyöriminen puolestaan tapahtuu massakeskipisteen
kautta kulkevan akselin suhteen.
v
9.8.1
Vieriminen liukumatta
Tarkastellaan pitkin alustaa vierien etenevää rengasta (kuva
9.6). Koska rengas on symmetrinen, sen pyörimisakseli
kulkee symmetriakeskuksen eli massakeskipisteen kautta.
Koska kappale on jäykkä, renkaan jokainen piste etenee
massakeskipisteen nopeudella vCM. Toisaalta rengas vierii
liukumatta, joten alustaan koskettavan kehäpisteen täytyy
LUT/Mafy
vCM
v
vCM
vCM
v
v
vCM
Kuva 9.6:
Mekaniikan perusteet
60
olla levossa alustan suhteen. Renkaan ulkopinnan kehänopeus on siis v = vCM. Kun renkaan
kulmanopeus on ω ja säde R on kehäpisteen nopeuden ja kulmanopeuden välillä voimassa yhteys
(9.26)
v CM =R
9.8.2
Pyörivän ja etenevän kappaleen energia
Jos kappale on yhtä aikaa etenevässä ja pyörimisliikkeessä, sen liike-energia koostuu kahdesta
osasta, etenevän liikkeen ja pyörimisliikkeen liike-energioista:
K=
1
1
2
2
M vCM  I CM 
2
2
(9.27)
missä vCM on painopisteen etenemisnopeus, ω pyörimisnopeus painopisteen ympäri ja ICM
kappaleen hitausmomentti painopisteen suhteen.
Esimerkki 9.9: Ohutseinäinen sylinteri, umpinainen sylinteri, ontto pallo ja umpinainen pallo
lähetetään samanaikaisesti vierimään (liukumatta) pitkin kaltevaa tasoa korkeudelta h. Jos kaikkien
kappaleiden massa on sama, m ja säde niin ikään sama, R, missä järjestyksessä ne ovat alhaalla?
(umpinainen pallo, umpinainen sylinteri, ontto pallo, ontto sylinteri)
9.8.3
Vierivän ja etenevän kappaleen dynamiikka
Kun kappale, jonka massa on M, etenee vierien sen massakeskipisteellä on kappaleeseen
vaikuttavien ulkoisten voimien resultantin F vaikutuksesta kiihtyvyys aCM:
F = M aCM
(9.28)
Ulkoisten voimien momenttien summa puolestaan saa kappaleen kiihtyvään pyörimisliikkeeseen
painopisteensä ympäri:
τ = I CM 
(9.29)
Jälkimmäinen yhtälö pätee, jos massakeskipisteen kautta kulkeva akseli on symmetria-akseli ja
lisäksi pyörimisakselin suunta ei muutu. Jos liikkuminen tapahtuu liukumatta, massakeskipisteen
kiihtyvyyden ja pyörimisliikkeen kulmakiihtyvyyden α sitoo toisiinsa yhtälö
a CM =R α
LUT/Mafy
(9.30)
Mekaniikan perusteet
61
2
Esimerkki 9.10: Osoita, että jojon (massa m, säde R) kiihtyvyys on a= g ja
3
1
jojosta purkautuvan langan jännitys T = mg .
3
9.9 Liikemäärämomentti
y
Etenemisliikkeessä kappaleen liikemäärä p muuttuu voiman
F vaikutuksesta ja eristetyn systeemin liikemäärä säilyy.
Vastaava tulos pätee myös pyörimisliikkeessä, kun
liikemäärän sijaan tarkastellaan liikemäärämomenttia L.
Kun pyörivään kappaleeseen vaikuttaa ulkoinen voima,
liikemäärämomentti muuttuu voiman momentin τ
vaikutuksesta ja liikemäärämomentti säilyy, jos systeemi on
eristetty.
p = mv
φ
mv sinφ
m
r
φ
Pistemäisen kappaleen (massa m, nopeus v)
liikemäärämomentti L (pyörimis)akselin O suhteen
määritellään seuraavasti:
x
l=rsinφ
Kuva 9.7: Pistemäisen kappaleen
liikemäärämomentti
L = r × p = r × mv
(9.31)
missä p = mv on kappaleen liikemäärä ja r on kappaleen paikkavektori akselin O suhteen. Oletetaan
seuraavassa, että pyörimisakseli on z-akselin suuntainen ja sekä paikkavektori r, että
liikemäärävektori p ovat xy- tasossa (kuva 9.7). Nyt liikemäärämomentin itseisarvo voidaan
kirjoittaa ristitulon määritelmän D.26 avulla muotoon
y
L = mv r sin  = mvl
vi = riω
ri
missä l on liikemäärävektorin p kohtisuora etäisyys
pyörimisakselista.
mi
x
z
L:n suunta
Kuva 9.8: Levymäisen kappaleen
liikemäärämomentin laskeminen
LUT/Mafy
(9.32)
Johdetaan seuraavaksi liikemäärämomentin lauseke
pyörivälle jäykälle kappaleelle. Oletetaan, että kappale
on ohut levy xy - tasossa ja se pyörii z-akselin ympäri
kuvan 9.8 mukaisesti. Jos kappaleen kulmanopeus on
ω, kappaleen jokainen piste etäisyydellä ri
pyörimisakselista liikkuu ympyräradalla
ratanopeudella vi:
Mekaniikan perusteet
62
v i =r i 
(9.33)
Kullakin osasella (massa mi) on liikemäärämomentti pyörimisakselin suhteen:
Li =mi v i r i =mi r i2 
(9.34)
Koska oletettiin, että kappale on ohut levy xy- tasossa, jokaisen osasen Li - vektori on z- akselin
suuntainen. Tästä seuraa, että koko jäykän kappaleen liikemäärämomentin suuruus saadaan, kun
lasketaan osasten liikemäärämomentit yhteen:
L=
mi r 2i  = I 
∑


i
(9.35)
I on kappaleen hitausmomentti pyörimisakselin (z-akselin) suhteen. Saatu tulos pätee myös yleisesti
jäykälle kappaleelle, kun z-akseli on symmetria-akseli. Jos kappale pyörii symmetria- akselinsa
ympäri kulmanopeudella ω,
L=I
(9.36)
Esimerkki 9.11: a) Homogeeninen kuutio (m = 2,0 kg ja kuution särmä l = 6,0 cm) liukuu pitkin
vaakasuoraa pöydän pintaa nopeudella 1,5 m/s. Laske kuution liikemäärämomentti nopeutta vastaan
kohtisuorassa olevan pöydän reunan suhteen.
b) Umpinainen pallo (m = 1,5 kg, R = 0,50 m) pyörii keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen
kulmanopeudella 3,0 1/s. Laske pallon liikemäärämomentti tämän akselin suhteen.
(0,090 kgm2/s; 0,45 kgm2/s)
9.10 Liikemäärämomentin säilyminen
Derivoidaan yhtälö (9.31) ajan suhteen. Ristitulon ominaisuuksista, Newtonin toisesta laista sekä
yhtälöistä (7.14) ja (9.3) seuraa:
dL dr
d p
=
× pr×
= v × mv r ×F =
dt
dt
dt
LUT/Mafy
(9.37)
Mekaniikan perusteet
63
Liikemäärämomentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin kappaleeseen vaikuttavan nettovoiman
momentti τ. Tulos pätee yleisesti kaikille kappaleille ja hiukkassysteemeille:
τ=
dL
dt
(9.38)
Tästä seuraa välittömästi liikemäärämomentin säilymislaki: jos systeemiin vaikuttavien ulkoisten
dL
= 0 , systeemin liikemäärämomentti L pysyy vakiona.
voimien kokonaismomentti on nolla, eli
dt
Jos kappaleen hitausmomentti muuttuu sisäisten voimien vaikutuksesta, kappaleen pyörimisnopeus
muuttuu. Olkoon kappaleen hitausmomentti aluksi I1 ja kulmanopeus ω1 ja lopuksi vastaavasti I2 ja
ω2. Liikemäärämomentin säilymislain mukaan voidaan kirjoittaa
L1 = L 2
(9.39)
I 1 1 = I 2  2
(9.40)
eli
Hitausmomentin pienentyessä kappaleen kulmanopeus siis kasvaa ja vastaavasti hitausmomentin
kasvaessa kulmanopeus pienenee.
Esimerkki 9.12: Sylinteri (massa mA = 0,50 kg, säde rA = 0,10 m) riippuu
langan varassa kuvan mukaisesti. Lanka kulkee ympyrälevyn B (massa mB =
0,10 kg, säde rB = 0,10 m) keskipisteeseen poratun reiän läpi. Ympyrälevy
pyörii nopeudella ω0 = 18 1/s, kun se putoaa sylinterin päälle. Törmäyksessä
kappaleet takertuvat toisiinsa.
a) Laske kappaleiden yhteinen kulmanopeus heti törmäyksen jälkeen.
ω
B
A
b) Paljonko törmäyksessä kuluu energiaa?
(3,0 1/s; 4,5 mJ)
Esimerkki 9.13: Karusellin (säde R = 1,3 m, hitausmomentti I = 240 kgm2 ) pyörimisnopeus on
aluksi ω0 = 11 rpm.
a) Kyytiin karusellin reunalle hyppää poika (mP = 28 kg) juosten karusellin säteen suuntaisesti.
Laske pyörimisnopeus, kun poika on kyydissä.
b) Mukaan karusellin reunalle hyppää hetken kuluttua tyttö (mT = 32 kg), juosten karusellin
tangentin suuntaisesti nopeudella 3,7 m/s (karusellin pyörimissuuntaan). Mikä on karusellin
pyörimisnopeus, kun molemmat ovat kyydissä?
(9,2 rpm; 12,0 rpm)
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
64
9.10.1
Prekessio
L = Iω
Ω
ω
τ
r
W = mg
Kun hyrrä pyörii kulmanopeudella ω, eikä hyrrän akseli ole
täsmälleen pystysuorassa (kuva 9.9), havaitaan, että hyrrä ei kaadu
maan vetovoiman vaikutuksesta, vaan sen kärki kiertää ympyrärataa
vakionopeudella (prekessioliike). Maan vetovoima kohdistaa yhtälön
(9.3) mukaisesti hyrrään momentin  =r ×m g , joka on
kohtisuorassa maan vetovoimaa ja painopisteen paikkavektoria r
vastaan. Koska L- vektori on hyrrän pyörimisakselin (ja r – vektorin)
suuntainen, on τ myös sitä vastaan kohtisuorassa. Yhtälön (9.38)
mukaan momentti muuttaa liikemäärämomenttia:
d L= dt
(9.41)
dL – vektori on L- vektoria vastaan kohtisuorassa. L- vektorin pituus
ei siis muutu: ∣L0∣=∣L 1∣=L , mutta sen suunta muuttuu ja samalla
hyrrän pyörimisakseli kiertyy (kuva 9.10). Akseli kiertyy vakiokulmanopeudella
Kuva 9.9: Prekessio
L1
ΔL = τ Δt
Δφ
L0
∣ L∣
  ∣L0∣ 
=
=
= = 
t
t
L I
(9.42)
Kuva 9.10:
Esimerkki 9.14: Gyroskoopissa on l = 2,0 cm pitkä kevyt
varsi. Varren toiseen päähän on kiinnitetty umpinainen
sylinteri, jonka säde on R = 3,0 cm. Hyrrän pyöriessä tapin
päässä sen prekessioliike on vaakatasossa siten, että yhteen
kierrokseen kuluu aikaa 4,0 sekuntia. Laske hyrrän
pyörimisnopeus.
Ω
ω
(2600 rpm )
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
65
10 TASAPAINO
10.1 Johdanto
Kappale on tasapainossa, jos siihen vaikuttavat ulkoiset voimat eivät muuta kappaleen liiketilaa.
Tämä puolestaan tarkoittaa, että etenemisliikkeessä nopeus on vakio ja pyörimisnopeus pysyy
vakiona. Yleensä, kuten myös seuraavassa tarkastelussa tasapainolla tarkoittaa tilaa, jossa kappale
ei liiku. Jotta ulkoiset voimat eivät muuttaisi kappaleen liiketilaa on edellytettävä, että voimat ovat
tasapainossa ja lisäksi voimien momentit ovat tasapainossa.
10.2 Tasapainoehdot
10.2.1
Voimien tasapaino
Kappaleen etenemisliikkeessä kiihtyvyys on nolla, jos siihen vaikuttavien ulkoisten voimien Fi
resultantti on nolla:
N
∑ Fi = 0
(10.1)
i=1
Voimien tasapaino pätee myös kunkin koordinaattiakselin suunnassa:
N
N
N
i=1
i=1
i=1
∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ∑ Fz = 0
(10.2)
Tätä tasapainoehtoa sovellettiin jo Newtonin lakien yhteydessä tilanteessa, jossa voitiin olettaa, että
kaikki voimat vaikuttavat samaan pisteeseen.
10.2.2
Momenttien tasapaino
Jäykän kappaleen tasapaino edellyttää lisäksi, ettei kappale pyöri, ts. kappaleeseen vaikuttavien
ulkoisten voimien momenttien τi resultantti minkä tahansa momenttipisteen suhteen on nolla:
N
∑ Mi = 0
(10.3)
i=1
Momenttipiste kannattaa valita siten, että yhden tai useamman voiman momentti tämän pisteen
suhteen on nolla.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
66
Esimerkki 10.1: Massaton lankku (pituus l = 5,0 m) on saranoitu
toisesta päästään seinään ja tuettu 3,0 metrin päässä seinästä
vaakatasoon. Lankun toista päätä kuormittaa pystysuora voima F =
1000 N. Laske saranassa ja tuessa vaikuttavat kuormitusvoimat.
(670 N; 1,7 kN)
5,0 m
3,0 m
Esimerkki 10.2: Kuvan kaappia (massa m = 40 kg, leveys b = 0,80 m,
korkeus c = 1,8 m) työnnetään vaakasuoraa lattiaa pitkin vakionopeudella
vaakasuoralla voimalla F. Voiman vaikutuspisteen etäisyys lattiasta on h.
Kaapin ja lattian välinen kitkakerroin on μk = 0,25.
a) Laske voima F ja lattian kaappiin kohdistamat tukivoimat, kun h = 1,2 m.
F
b
F
c
h
b) Millä h:n arvolla kaapin nurkka irtoaa lattiasta? Voima F pysyy vakiona.
(98 N, 49 N, 340 N (vasen nurkka); 1,6 m)
Esimerkki 10.3: Tikkaat (pituus 5,0 m ja paino 180 N) on asetettu seinää vasten siten, että ne ovat
53,1° kulmassa vaakatason suhteen. Mies (paino 800 N) nousee tikkaita 1/3 niiden pituudesta.
a) Laske tikkaiden alapäässä vaikuttava pinnan normaalivoima ja kitkavoima.
b) Kuinka suuri lepokitkakertoimen on vähintään oltava, jotta tikkaiden alapää pysyisi paikallaan?
c) Kuinka suuri ja minkä suuntainen on tikkaiden alapäähän kohdistuva tukivoima?
(980 N, 268 N; 0,27; 1020 N, 75° )
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
67
LIITE A : Perusmatematiikkaa
A.1 Potenssit, logaritmit, ym
a
−x
=
1
x
a
a
 x  y
x
=a a
ln a = x => a = e x
ln ab = ln a  ln b
log(ab)=log a+log b
y
a
 x − y
x
=
a
ay
log a= x => a=10 x
a
ln   = ln a − ln b
b
a
log   = log a − log b
b
ln a x  = x ln a
x
log a  = x log a
a±b2 = a 2±2 a bb 2
2
ax +bx+c = 0 => x =
−b± √ b2 −4 a c
2a
A.2 Trigonometriset funktiot
Suorakulmainen kolmio:
c2 = a2  b2
c
b
a
b
sin α
sin α =
; cos α =
; tan α = =
c
c
a
cos α
2
2
sin α  cos α = 1
b
α
a
sin−α  =−sin α ; cos −α  = cos α 
π
π
sin α±  = ±cos α ; cos α±  =∓sin α
2
2
sin α  β = sin α cos β  cos α sin β ; sin α−β  = sin α cos α − cos α sin β
cos α β  = cos α cos β − sin α sin β ; cos α− β = cos α cos β  sin α sin β
sin 2α = 2 sin α cos α ; cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1
α β
α−β ;
αβ
α− β
sin αsin β = 2 sin
cos
cos αcos β = 2 cos
cos
2
2
2
2
   
LUT/Mafy
   
Mekaniikan perusteet
68
Geometriaa:
Ympyrä, säde r: kehän pituus S = 2  r , pinta-ala A =  r 2
4
3
Pallo, säde r : pinta-ala A = 4  r 2 , tilavuus V =  r
3
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
69
LIITE B : Derivointi
B.1 Keskimääräinen muutosnopeus. Derivaatta
y
y= f(x)
f(x+Δx)
Tarkastellaan muuttujien y ja x välistä riippuvuutta, jota
kuvaa funktio y = f(x) (kuva B.1). Kun x muuttuu määrällä
Δx, antaa muuttujan y keskimääräisen muutosnopeuden
välillä [x, x + Δx] erotusosamäärä Kk :
f(x)
Kk =
x
x+Δx
x
Kuva B.1: Funktion keskimääräinen
muutosnopeus
f  xΔ x− f  x 
Δy
=
Δx
Δx
(B.1)
Kuvasta B.1 nähdään, että keskimääräinen muutosnopeus on
pisteiden [ x, f(x)] ja [x + Δx, f(x + Δx)] kautta piirretyn
suoran kulmakerroin.
Kun annetaan muutoksen Δx lähestyä nollaa, lähestyy kuvan B.1 suora käyrän y = f(x) pisteeseen x
piirrettyä tangenttia ja erotusosamäärä lähestyy funktion f(x) derivaattaa eli hetkellistä
muutosnopeutta pisteessä x:
f  x Δ x − f  x
dy lim
Δ y lim
=
=
dx Δx 0 Δx
Δx
Δx 0
(B.2)
Derivaatasta voidaan käyttää myös merkintöjä y', f'(x), D(f(x)).
Funktion y = f(x) derivaatta on siis yhtä suuri kuin sen pisteeseen [x, f(x)] piirretyn tangentin
kulmakerroin. Toisaalta, jos funktion derivaatta on f'(x) ja x muuttuu määrällä Δx, niin yhtälön (B.2)
mukaan funktion arvo muuttuu määrällä Δy = f'(x) Δx, olettaen että muutos Δx on pieni.
Esimerkki B.1: Johda funktion y = f(x) = x2 derivaatan lauseke lähtien derivaatan määritelmästä.
Ratkaisu:
f ´  x  = lim
Δx 0
LUT/Mafy
 x Δ x 2−x 2 lim
=
 2 x Δ x = 2 x
Δx
Δx 0
Mekaniikan perusteet
70
B.2 Derivointisääntöjä
Fysiikassa yleisimmin esiintyvät funktiot ja niiden derivaatat on koottu taulukkoon B.1 ja
funktioiden derivointiin liittyvät säännöt taulukkoon B.2:
Funktio f(x)
Derivointi Derivaatta
f'(x)
d
(C )
dx
Vakio C
Funktio
0
Cx n ;
d
( Cx n)
dx
C ja n vakioita
Cn x
n−1
sin θ
cos θ
d
( cosθ ) −sin θ
dθ
ln x
d
( ln x )
dx
1
x
ex
d x
(e )
dx
ex
cos θ
Derivaatta
f(x)+g(x)
d
 f  x g  x   f '(x)+g'(x)
dx
f(x)g(x)
d
 f  x  g  x 
dx
f  x
gx
d
( sin θ )
dθ
Derivointi
f(g(x))
[ ]
d f x
dx g  x
d
[ f  g  x  ]
dx
f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
f '  x  g  x− f  x g '  x
[ g  x]2
f '(g(x)) g'(x)
Taulukko B.2: Derivointisäännöt
Taulukko B.1: Yleisimpien funktioiden
derivaatat
Esimerkkejä derivointisääntöjen käytöstä:
1
4
f  x =2 x 3  x 3 = 2 x 43 x 2 4 x−3 =>
x
1
1
1 −1
3 −
3 1 12
f '  x=2×4 x 4 −13× x 2 4×−3 x−3−1=8 x 3 x 2 −12 x −4 =8 x 3
−
2
2
2  x x4
4
f  x =3 x 2 5 x1 =>
f '  x=3×2 x 2−1 5 x13 x 2 5×1 x 1−1 0=6 x 5 x115 x 2=45 x 26 x
f  x =
sin x
=>
x
f '  x=
2
f  x =2 sin a x  =>
LUT/Mafy
cos x×x−sin x×1
x cos x−sin x
=
2
x
x2
f '  x=2cos ax 2 ×
d
a x 2 = 2cos a x 2×2 a x = 4 a x cos a x 2 
dx
Mekaniikan perusteet
71
LIITE C : Integrointi
C.1 Määrätty integraali
y
y=f(x)
Ai
x=a
Tarkastellaan kuvan C.1 funktiota y = f(x), joka on
positiivinen kaikkialla välillä [a ≤ x ≤ b]. Mikä on sen
alueen pinta-ala, joka jää käyrän f(x), suorien x = a ja x = b
sekä x-akselin väliin? Tuloksen antaa funktion määrätty
integraali välillä [a, b]. Kyseinen ala A voidaan laskea, kun
jaetaan alue kuvan C.1 mukaisesti pieniin alueisiin Ai ja
summataan alat yhteen:
x=b x
n
A = ∑ Ai
Kuva C.1: Funktion f(x) integraali
(C.1)
i=0
Kuvan C.2 mukaisesti kutakin alaa Ai voidaan approksimoida suorakaiteella, joista toisen pinta-ala
on suurempi ja toisen pienempi kuin ala Ai:
y i−1  x i − x i−1 Ai  y i  x i − x i−1
y = f(x)
yi
yi-1
Kun annetaan xi :n lähestyä xi-1:tä, lähestyvät yi-1 ja yi arvoa f(xi).
Samalla summan (C.1) termien määrä lähestyy ääretöntä. Kun merkitään
Ai = dA, f(xi) = f(x) ja (xi -xi-1) = dx, saadaan pinta-ala integraalista
(kuva C.3)
b
xi-1
A = ∫ dA = ∫ f  x dx
xi
(C.2)
a
Kuva C.2
y
y=f(x)
∫ f  x  dx = F  xC
A
x=a
Yhtälön (C.2) oikea puoli voidaan laskea, jos tunnetaan
funktion f(x) integraalifunktio F(x). Integraalifunktio on
määritelmän mukaan funktio, jolle F'(x) = f(x), ts.
integrointi on derivoinnille käänteinen operaatio. Tällöin
x=b x
Kuva C.3
(C.3)
missä C on mielivaltainen vakio.
Kun integraalifunktio tunnetaan, voidaan yhtälön (C.2)
mukainen pinta-ala laskea lausekkeesta
b
∫ f  x  dx = F b − F a 
(C.4)
a
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
72
Mielivaltaisen funktion määrätty integraali voidaan aina laskea yhtälön (C.4) mukaisesti, mutta
integraali antaa kuvan C.3 mukaisen pinta-alan vain, jos f(x) ≥ 0 integroimisvälillä.
Mielivaltaisen funktion integraalifunktion löytäminen voi olla hyvin hankalaa, jopa mahdotonta.
Seuraavaan taulukkoon on koottu joidenkin yksinkertaisten funktioiden integraalifunktiot.
Funktio f(x)
Integrointi
∫ Cdx
Vakio = C
Cx n
Integraalifunktio F(x)
Cx
∫ Cx n dx
C n1
x
n1
sin θ
∫ sin θ dθ
−cos θ
cosθ
∫ cos θ dθ
sin θ
C,n vakioita
1
x
dx
x
∫
ln∣x∣
∫ e x dx
e
f  x g  x
∫  f  x g  x  dx
∫ f  x  dx∫ g  x dx
 f  x n f ´  x 
∫  f  x n f ´  xdx
1
 f  xn1
n1
e
x
f ´x
f x
∫
f ´ x
dx
f x
x
ln∣ f ( x)∣
Taulukko C.1 Eräiden funktioiden integraalifunktioita
Esimerkkejä integroinnista:
y=a2 x 2−4 x 3 =>
∫ ydx = ∫ a dx + ∫ 2 x 2 dx − ∫ 4 x 3 dx
= ax +
2 3
4
x − x +vakio
3
y=3 sin  =>
π
π
∫ y d θ =3∫ sin θ d θ = 3
0
0
π
/ −cos θ
0
= −3(cos(π)−cos(0))
= −3(−1−1)=6
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
73
LIITE D : Vektorit
D.1 Vektorit
Q
Vektorisuure (kuva D.1) merkitään painetussa tekstissä usein
lihavoiden: A , mutta myös muita merkintöjä voi käyttää: 
A,
A tai PQ . Vektorin A pituus on skalaarisuure ja voidaan
merkitä joko A tai │A│. Vektoriin liittyy aina myös suunta
(kulma) θ, joka mitataan valitun vertailusuunnan suhteen.
Kulma θ > 0, kun se mitataan vastapäivään ja θ < 0, kun se
mitataan myötäpäivään. Suuntakulma on aina joko
0° ≤ θ ≤ 360˚ (0 ≤ θ ≤ 2π radiaania)
A
P
θ<0
θ>0
Vertailusuunta
Kuva D.1: Vektori ja vektorin
suuntakulma
tai
-180° ≤ θ ≤ 180° (- π rad ≤ θ ≤ π rad).
A
Huomaa, että kuvan D.1 vektori kuvaa vektorisuuretta A pisteessä P.
B
D.2 Vektorialgebraa
Kuva D.2: Vektorien yhtäsuuruus
1: Vektorit A ja B ovat yhtä suuret (kuva D.2), jos vektorien pituudet
ovat samat ja lisäksi vektorit ovat samansuuntaiset, ts. jos A = B ja
A ↑↑ B .
a
2: Vektorit a ja b ovat vastavektoreita (kuva D.3), a = - b , jos
vektoreiden pituudet ovat samat ja lisäksi vektorit ovat
vastakkaissuuntaiset, ts a = b ja a ↑↓ b.
b
Kuva D.3: Vastavektorit
3: Vektorien yhteenlasku. Vektorit lasketaan yhteen graafisesti
piirtämällä vektorit peräkkäin suuntansa säilyttäen.
Summavektori on vektori, joka alkaa ensimmäisen vektorin
alkupisteestä ja päättyy viimeisen vektorin kärkeen (kuva D.4):
C =AB=BA
B
A
B
(D.1)
C = summavektori l. resultantti.
B
Kuva D.4 Vektorisumma
Vektorien yhteenlaskussa summausjärjestyksellä ei ole
merkitystä. Summavektorin pituudelle pätee epäyhtälö:
∣A − B∣∣A  B∣A  B
Minimi saavutetaan, kun A ja B ovat vastakkaissuuntaiset ja
maksimi, kun vektorit ovat samansuuntaiset.
Vektorisumma voidaan helposti yleistää mielivaltaisen monelle
vektorille (kuva D.5):
A
C
A
B
A
A
R
B
D
D
A
C
D
B
C
C
Kuva D.5 Vektorisumman yleistys
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
74
R=ABC D
A
A
-B
B
(D.2)
4: Vektorien vähennyslasku tehdään lisäämällä vektoriin
vähennettävän vektorin vastavektori (kuva D.6):
C =A−B=A−B
C
(D.3)
Kuva D.6 Vektorien vähennyslasku
Esimerkki D.1: Vektorit A ja B ovat yhtä pitkät ja suunnat kuvan mukaiset.
Määrää vektorien A + B ja A - B suunta ja suuruus.
(1,88 A vaakasuoraan; 0,68 A pystysuoraan)
A
20°
-20°
B
5: Nollavektori. Jos vektori vähennetään itsestään, saadaan vektori, jonka pituus on nolla ja suunta
epämääräinen. Jos A = B, niin
C =A−B=0
(D.4)
0 on nollavektori.
Esimerkki D.2: Olkoon vektorin A pituus 3 m ja sitä vastaan kohtisuorassa olevan vektorin B
pituus 4 m. Tiedetään, että A + B + C = 0. Määrää vektorin C pituus ja suunta vektorin A suhteen.
(5 m; -127°)
6: Vektorin kertominen vakiolla k muuttaa vektorin pituuden k-kertaiseksi (kuva D.17):
A
10A
C =k A
(D.5)
-8A
Jos k > 0, vektorit C ja A ovat samansuuntaiset, C↑↑A, mutta jos k
< 0, vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, C ↑↓ A. Jos kerroin k = 0,
Kuva D.7 Vektorin kertominen on tuloksena nollavektori.
vakiolla
7: Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Yksikkövektori
voidaan muodostaa jakamalla vektori pituudellaan:
0
A =
LUT/Mafy
A
A
(D.6)
Mekaniikan perusteet
75
Yksikkövektori ilmoittaa vektorin suunnan ja sen avulla vektorin pituus ja suunta voidaan erottaa
toisistaan:
A=A A0
(D.7)
D.3 Vektori suorakulmaisessa koordinaatistossa
Yksikkövektorien avulla mielivaltainen vektori voidaan jakaa komponentteihin ja kirjoittaa
koordinaattiakselien suuntaisten komponenttivektorien summana. Suorakulmaisessa
koordinaatistossa x-, y- ja z-akselien suuntaisia yksikkövektoreita merkitään kirjaimin i, j ja k.
Paikkavektori r ilmaisee pisteen (x, y, z) paikan avaruudessa:
y
r =x i  y j z k
(x,y)
y
r
(D.8)
yj
Usein riittää, kun määritellään pisteen paikka (x, y)- tasossa
(kuva D.8):
θθ
j
r =x i y j
x
xi x
i
Kuva D.8 Paikkavektori
(D.9)
Pisteen etäisyys origosta on r:
r =x  y
2
2
(D.10)
Paikkavektorin suuntakulma x-akselin suhteen on θ:
tan  =
y
A
θ
Acosθ
x = r cos 
y = r sin 
j
Kuva D.9 Vektori xy - tasossa
x
(D.12)
Nyt paikkavektori (D.9) voidaan kirjoittaa muotoon
r = r cos  i  r sin  j
LUT/Mafy
(D.11)
Pisteen koordinaatit voidaan lausua suuntakulman θ ja
etäisyyden r avulla seuraavasti (r ja θ määrittelevät paikan
napakoordinaatistossa):
Asinθ
i
y
x
(D.13)
Mekaniikan perusteet
76
Edellä olevat tulokset voidaan välittömästi yleistää koskemaan mielivaltaista vektoria A . Vektori
voidaan kirjoittaa muodossa
A = A x i  A y j  Az k
(D.14)
A =  A2x A2y  A2z
(D.15)
Vektorin A pituus on
Tason vektorin A = Ax i + Az j x- ja y- akselin suuntaiset komponentit ovat (kuva D.9):
A x = A cos 
A y = A sin 
(D.16)
ja suuntakulma x- akselin suhteen
tan θ =
Ay
Ax
(D.17)
Esimerkki D.3: Vektorin A pituus on 12 ja suuntakulma θ = 112° . Kirjoita vektorin yhtälö
suorakulmaisessa koordinaatistossa.
(A = - 4,5 i +11 j)
D.4 Vektorien yhteen- ja vähennyslasku suorakulmaisessa
koordinaatistossa
Vektorit lasketaan yhteen summaamalla koordinaattiakselien suuntaiset komponentit. Vektorien
A = A x i  A y j  Az k ja B = B x i  B y j  B z k summa on
C = A  B= A x  B x i   A y  B y  j   Az  B z  k
(D.18)
Vastaavasti vektorien erotus on
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
77
D= A − B= A x − B x  i   A y − B y  j   A z − B z k
(D.19)
Yhtälöt (D.18) ja (D.19) voidaan välittömästi yleistää mielivaltaisen monelle vektorille.
Esimerkki D.4: Ratkaise esimerkin D.2 tehtävä suorakulmaisessa koordinaatistossa.
D.5 Vektorien pistetulo
Kahden vektorin A ja B (kuva D.10) välinen piste- eli
skalaaritulo määritellään yhtälöllä
A
A⋅B= ABcos 
θ
B
(D.20)
θ on vektorien A ja B välinen kulma.
Kuva D.10
Skalaaritulolla on seuraavat ominaisuudet:
1: Vektorin pistetulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin vektorin pituuden neliö:
A⋅A= A2
(D.21)
2: Jos A∙B = 0, eikä kumpikaan vektoreista A ja B ole nollavektori, ovat vektorit kohtisuorassa
toisiaan vastaan.
3: Kohdista 1 ja 2 sekä yksikkövektorin määritelmästä seuraa, että suorakulmaisessa
koordinaatistossa yksikkövektorien väliset pistetulot ovat:
i⋅i= j⋅ j=k⋅k =1 , i⋅ j=i⋅k = j⋅k =0.
(D.22)
Tästä seuraa, että vektorien A = Ax i + Ay j + Az k ja B = Bx i + By j + Bz k pistetulo on
A⋅B= Ax B x  A y B y A z B z
(D.23)
Vektorien A ja B välinen kulma voidaan laskea pistetulon avulla. Koska A∙B = AB cos θ, on
vektorien välinen kulma
cos  =
LUT/Mafy
A B A y B y  Az B z
A⋅B
= x x
AB
AB
(D.24)
Mekaniikan perusteet
78
Vektorin A pituus vektorin B suunnassa (kuva D.11) on
pistetulon avulla lausuttuna
A
0
θ
A B = A cos θ = A⋅B =
B
AB
Kuva D.11 Vektorin A pituus vektorin
B suunnassa
A⋅B
B
(D.25)
missä B0 on vektorin B suuntainen yksikkövektori.
Esimerkki D.5: Vektorien A ja B välinen kulma on θ. Osoita, että summavektorin C = A + B
pituuden neliö on C2 = A2+B2 + 2AB cos θ.
D.6 Vektorien ristitulo
Kahden vektorin risti- eli vektoritulo C (kuva D.12)
määritellään yhtälöllä
A×B
C =A×B=AB sin θ n0
B
θ
A
(D.26)
n0
B×A
Kuva D.12: Vektoreiden A ja B
ristitulo
Kuva D.13: Ristitulovektorin suunta
Ristitulo on aina kohtisuorassa tulon tekijöinä olevia
vektoreita vastaan: C ⊥ B sekä C ⊥ A. Siten ristitulo on A ja
B- vektoreiden määräämän tason normaalin suuntainen ja
yhtälössä (D.26) esiintyvä vektori n0 on tason normaalin
suuntainen yksikkövektori. Ristitulovektorin suunnan tason
suhteen voi selvittää esim. ruuvisäännöllä: Kuvitellaan
ruuvi, jota kierretään kiinni (myötäpäivään). Jos (ristitulon
vasemmanpuoleista) vektoria A kierretään samalla lyhintä
tietä kohti (oikean puoleista) B-vektoria, on vektori C
ruuvin kärjen suuntainen. Vaihtoehtoisesti suunnan saa
selville ns. oikean käden säännöllä: Jos oikean käden
etusormi on vektorin A suuntainen ja keskisormi vektorin B
suuntainen, osoittaa peukalo ristitulovektorin suunnan
(kuva D.13).
Huomaa, että ristitulovektorin suunta riippuu järjestyksestä, jossa vektorit kerrotaan keskenään:
A×B=−B× A
(D.27)
Lisäksi, jos A∥B , A×B = 0.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
79
Ristitulon itseisarvo voidaan tulkita kahdella tavalla.
Vektorin A vektoria B vastaan kohtisuoran komponentin An
itseisarvo on (kuva D.14) A sinθ, jolloin
A
A sin θ
θ
∣A×B∣ = BAsin θ = An B
B
(D.28)
Vastaavasti B:n A:ta vastaan kohtisuoran komponentin Bn
itseisarvo on (kuva D.15) B sinθ, joten yhtä lailla
Kuva D.14
B
A
θ
sin
∣A×B∣ = ABsin θ = A Bn
(D.29)
θ
Ristitulon itseisarvolle on myös geometrinen tulkinta:
Kahden vektorin ristitulon itseisarvo on yhtä suuri kuin sen
suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina vektorit ovat.
B
Kuva D.15
z
Ristitulon C = A×B suunta voidaan selvittää myös
suorakulmaisen koordinaatiston avulla. Vektorit A, Bn ja C
tai vastaavasti An, B ja C ovat toisiinsa samassa suhteessa
kuin suorakulmaisen koordinaatiston yksikkövektorit i, j ja
k (kuva D.16).
C
i
k j
An
A
B
θ
x
Kuva D.16 Ristitulo
suorakulmaisessa koordinaatistossa
D.7 Vektorin derivaatta
Tarkastellaan esimerkkinä paikkavektoria r = x(t)i + y(t)j. Paikkavektorin derivaatta ilmoittaa
kappaleen nopeuden. Jos oletetaan, että koordinaattiakselien suunta ei muutu ajan funktiona, on
paikkavektorin derivaatta
d r t  dx t 
dy t 
=
i
j
dt
dt
dt
(D.30)
Mielivaltaisen ajasta riippuvan vektorin derivaatta lasketaan vastaavalla tavalla.
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
80
Esimerkki D.6: Kappaleen paikkaa ajan funktiona kuvaa paikkavektori r(t) = t2i + 4tj m
Paikkavektorin derivaatta (kappaleen nopeus v(t)) on
v t  =
d r t 
= 2 t i  4 j m/ s
dt
D.8 Vektorin integrointi
Oletetaan, että kappaleen nopeutta kuvaa paikkavektorin derivaatta v t  = v x t i  v y t  j . Jos
koordinaattiakselien suunta ei muutu ja ajanhetkellä t0 kappale on pisteessä r(t0) = r0, niin
kappaleen paikka r mielivaltaisella ajanhetkellä t saadaan määrätystä integraalista
r
[
] [∫
v y t  dt j
[∫ ] [∫
v y t  dt j
t
t
∫ d r= ∫ v x t  dt
r0
t0
i
t0
]
(D.31)
]
(D.32)
kappaleen paikka hetkellä t on siis
t
r = r 0
t
v x t  dt i 
t0
t0
Esimerkki D.7: Jos kappaleen nopeutta kuvaa vektori v(t) = 2ti + 4j m/s, niin missä kappale on
mielivaltaisella hetkellä t, kun se hetkellä t = 0,0 s oli koordinaatiston origossa?
Ratkaisu: Yhtälön D.32 mukaan
[
r = r0 
t
∫ v x t dt
t0
][
i
t
∫ v y t dt
t0
]
[ ] [ ]
t
j = 0 i0 j
∫ 2 t dt
t
i
0
∫ 4 dt
j = t2 i  4t j m
0
D.9 Käyrän vektoriesitys, parametriesitys ja käyrän yhtälö
Kappaleen liikettä tasossa voidaan kuvata usealla eri tavalla.
Jos kappale liikkuu (x, y)- koordinaatistossa (kuva Virhe:
Viitteen lähdettä ei löydy), sen liikettä kuvaa ratakäyrän
yhtälö y = f(x). Kappaleen paikka ajan funktiona voidaan
antaa myös paikkavektorin r avulla, jolloin kyseessä on
kappaleen liikkeen vektoriesitys:
y3
y2
r = x(t)i + y(t) j;
y1
Mikäli tarkastellaan erikseen kappaleen liikettä x- ja yakselin suhteen saadaan liikkeen parametriesitys
y
y = f(x)
r(t)
x1 x2 x3
x
Kuva D.17 Kappaleen ratakäyrä
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
81
x = x t
y = y t 
Huomaa, että liikkeen ratakäyrän yhtälö ei anna mitään tietoa kappaleen paikasta tietyllä
ajanhetkellä, mutta tämä tieto saadaan molemmista muista esitystavoista.
Esimerkki D.8: Esimerkissä D.7 kappaleen paikkaa kuvasi yhtälö r(t) = t2i + 4tj m. Mikä on
kappaleen rataa kuvaava yhtälö?
Ratkaisu: Radan parametriesitys on
x t  = t 2
y t = 4 t
Eliminoidaan yhtälöryhmästä aika t, jolloin saadaan rataa kuvaava yhtälö
y = 4 x
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet
82
LIITE E: Tenttipaperin liitteenä jaettavat yhtälöt
Etenevä liike
Δ ⃗r
Δt
v⃗k =
v =
d r
dt
Δ v
Δt
ak =
a=

d v
dt
Pyörimisliike
Δx
Δt
vk =
dx
dt
v=
ak =
Δv
Δt
dv
dt
a=
x = x0  v 0 t 
k =
=
d
dt
k =

t
=
1 2
at
2

t
=
s
r
at =
dv
= r
dt
d
dt
 =  0  0 t 
1 2
t
2
v = v 0  at
 = 0   t
v 2 = v 20  2 a  x
 2 =  20  2  
v = r
ar =
v2
r
at =
dv
dt
v2
= r 2
r
ar =
 = m
F
a
⃗ =⃗r × F
⃗
M
M =l F
N
FG = m g
 =−k x
F
J = ∑ mi r 2i
M =Jα
J = J mkp + m d 2
i=1
Fμ = μ N
⋅s
W =F
Ek =
W = F x Δx
W = M Δθ
1 2
mv
2
Ek =
W = ΔE k
Pk =
ΔW
Δt
Ep = m g y
LUT/Mafy
1
I ω2
2
W = ΔE k
P=
dW
dt
Ep =
P= ⃗
F⋅⃗v
P=
dW
dt
P=Mω
1 2
kx
2
Mekaniikan perusteet
83
N
∑ mi x i
x mkp =
i=1
m
⃗p = m ⃗v
⃗L = ⃗r×m ⃗v
⃗ = d ⃗p
F
dt
⃗
⃗ =dL
M
dt
⃗I = F
⃗ Δt
L= l m v
L=Jω
Δ L = M Δt
⃗I = Δ ⃗p
Hitausmomentteja
(massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen)
Ohut tanko:
J=
1
ml 2
12
l
Rengas/ohutseinäinen sylinteri: J = mR 2
Ympyrälevy/umpinainen sylinteri:
Pallonkuori: J =
2
mR 2
3
Umpinainen pallo:
J=
Steinerin sääntö:
J=
1
mR 2
2
R
2
mR 2
5
R
J P = J mkp + m d 2
d
JP
Jmkp
LUT/Mafy
Mekaniikan perusteet