1. No category

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015
HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkinto aineen sensorikunta.
Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat
laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi.
Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää
huomattavasti.
Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty
symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta
saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat
esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja
integrointi.
Alustava pisteitys
1.
a)
Sijoitetaan x  2015 yhtälöön ax  2015  a . Saadaan
2015a  2015  a
 (2015  1)a  2015  a  2015 .
1
Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s 2 . Ehto: s 2  6 ,
 s  6  3 2 , joten piiri 4 s  12 2   16,9705...
1
1
Suurin luvuista saadaan, kun mahdollisimman suuri positiivinen luku
jaetaan mahdollisimman pienellä positiivisella luvulla, eli 2  1 .
1
1
2014
b)
2
c)
2
Pienin luku saadaan, kun ainut negatiivinen luku jaetaan
mahdollisimman pienellä positiivisella luvulla, eli 1   1 .
2
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
2
Hyvän vastauksen piirteitä
1
2.
a)
Suoran kulmakerroin k  40  4 ,
1
joten sen yhtälö on y  4 x tai 4 x  3 y  0 .
1
Ympyrän säde r = pisteen (3,4) etäisyys origosta, eli
1
3 0
3
3
b)
r  32  42  5 .
c)
Yhtälö on x 2  y 2  r 2 eli x 2  y 2  25 .
Origohuippuisen, ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa
1
y  ax 2 . Koska piste (3,4) on käyrällä, niin on voimassa: 4  a  32
1
 a  4 , joten paraabelin yhtälö on y  4 x 2 .
1
9
9
3. a)
b)
Jos polun pituus luonnossa on x, niin yhdenmuotoisuuden nojalla
17,5
1
saadaan verranto

, josta
x
20000
x  20000  17,5  350000 (cm). Vastaus: 3 500 m.
Jos kuution särmä on s, niin tilavuus on s3  7 dm3.
Tällöin s  3 7 dm,
1
2
josta sivutahkon ala s 2  3 7   3 49   3,6593...  3,66 (dm2).


2
Vastaus: noin 366 cm .
1
1
 
4.
3
Vektoria 3i  4 j vastaan kohtisuoria vektoreita ovat esimerkiksi
vektorit n  (4i  3 j ) , joiden pituus  42  (3)2  5 .
Näiden suuntaiset vektorit, joiden pituus on 3, ovat 3 n .
5
  

Täten AB  (12 i  9 j ) . Vektori OB  OA  AB .
5
5

Saadaan OB  i  2 j  12 i  9 j  17 i  1 j tai
5
5
5
5

9
7
19
OB  i  2 j  12 i  j   i  j .
5
5
5
5
 5 5 

Pisteen B koordinaatit ovat siten 17 , 1 tai  7 , 19 .
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
5 5
Hyvän vastauksen piirteitä
1
1
1
1+1
1
5.
Jänteen keskipisteen etäisyys origosta on a  22  12  5 .
Jänteen päätepisteen etäisyys origosta on = ympyrän säde r  4 .
Pythagoraan lauseen mukaan jänteen pituuden puolikas b  r 2  a 2
 16  5  11 .
Koko jänteen pituus on siten 2b  2 11 .
TAI:
Olkoon P  (2,1) . Janan OP tulee olla kohtisuorassa jännettä vastaan.
Koska janan OP kulmakerroin on 1 , niin jänteen kulmakertoimen
1
1
2
1
1
1
2
tulee olla 2 .
Jänne on siten osa suoraa y  1  2( x  2) eli y  2 x  5 .
 y  2 x  5
Leikkauspisteet saadaan yhtälöparista  2
,
2


x
y
16

 x  2  11
 x  2  11
5
5


josta 

.
11
11
y 1 2
y 1 2
5
5


Jänteen pituus on

6.
a)
b)
c)
2  11  2  11
5
5
 
2
 1  2 11  1  2 11
5
5

2
 4  11  2 11 .
Onnistumisen todennäköisyys po  0,9 , jolloin epäonnistumiselle
pe  1  0,9  0,1 . Pelien lukumäärä on n. Kyseessä on
binomitodennäköisyys.
 4
29%
P(neljästä yksi epäonnistuu)     0,11  0,93  0,2916  29
%.
1
Binomijakauman odotusarvo EX  npo  4  0,9  3,6 .
1
1
2
1
1
1
Ehto: n  0,9  10  n  10  11,1111.... .
2
1
Peliä täytyy siis pelata vähintään 12 kertaa.
1
0,9
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
Hyvän vastauksen piirteitä
7.
a
.
2
(Kuvio 7 lopussa)
Jos huippukolmion korkeus on x, niin sisälle asetetun kolmion
Koska kolmion kylki on a, niin kolmion korkeus h 
korkeus on h  x ja sen pinta-ala A( x)  1  2 x(h  x)  a x  x 2 ,
2
2
1
2
jossa 0  x  a .
2
Koska funktion A(x) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, on sen
huippukohta x nollakohtien 0 ja a keskiarvo, joten x  a .
2
Tämä arvo antaa suurimman pinta-alan A
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
 
a
2 2
1
2 2
1 a2 .
8
Hyvän vastauksen piirteitä
2
8.
Jos louhintatahti on a tonnia/vuosi, niin kivihiilivarat ovat vuoden
2015 alussa kaikkiaan 50a tonnia.
Jos määriä lisättäisiin, niin vuoden 2015  t loppuun mennessä
louhitut määrät olisivat yhteensä a 1,025a  1,0252 a  ...  1,025t 1 a
tonnia.
a (1  1,025t ) a(1,025t  1)
Ehto:

 50a
1  1,025
0,025
1
1
 1,025t  1  1,25  1,025t  2, 25 .
Ottamalla puolittain logaritmit: t lg1,025  lg 2,25 ,
lg 2, 25
t
 32,8410...
lg1,025
jolloin 2015  t  2047,8410... .
Vastaus: Kivihiilivarat loppuisivat vuoden 2048 aikana.
9.
1
Pois leikattava osa koostuu suorasta ympyrälieriöstä ja kahdesta
identtisestä pallosegmentistä. Omenan säde R  5 ja lieriön säde
r  1.
(Kuvio 9 lopussa)
Puolet lieriön korkeudesta on x, jolle suorakulmaisesta kolmiosta
1
1
1
1
saadaan yhtälö r 2  x 2  R 2 , josta x  25  1  2 6 .
Lieriön tilavuus Vl   r 2  2 x  4 6  30,7811... .
1
Pallosegmentin korkeus h  5  x  5  2 6 .
Pallosegmenttien yhteistilavuus
1

3

Vs  2 h 2 R  h  2 5  2 6
 5  13  5  2 6   0,3184….
2
Koko pois leikatun osan tilavuus on
Vl  Vs  30,7811...  0,3184...  31,0996... .
Vertailu antaa tilavuuden hävikiksi
31,0996...
3
4  5
3
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
1
1
 0,0593...  5,9 % .
Hyvän vastauksen piirteitä
1
10.
a)
Koska pituuksien jono on geometrinen, niin jonossa b  qa ja
2
2
2
2
2
2
 .
2
c  q a . Pythagoraan mukaan a  b  c  a  (qa )  q a
2
Jakamalla puolittain luvulla a 2 saadaan yhtälö q 4  q 2  1  0 , josta
1 5
q2 
. Etumerkki – ei kelpaa.
2
Näin ollen suhdeluku q  
1 5
, jossa vain etumerkki + kelpaa.
2
1 5
.
2
Aritmeettisen jonon differenssi  d . Tällöin jono on b  d , b, b  d .
1
1
1
Vastaus: q 
b)
Pythagoraan lause antaa (b  d ) 2  b 2  (b  d )2
 b 2  4bd  0  b  0  b  4d .
Jono on täten 3d , 4d , 5d , jolloin suhde a : b : c  3: 4 : 5 .
11.
a)
b)
Numeroiden summan 45  4n tulee olla jaollinen luvulla 3. Koska
summan ensimmäinen termi jo on jaollinen kolmella, tulee toisenkin
olla.
Koska kuitenkaan tekijä 4 ei ole jaollinen kolmella, niin tekijän n
tulee olla. Siten n  0,3,6 tai 9.
Luku on jaollinen luvulla 6 vain, jos se on jaollinen sekä luvulla 2 että
luvulla 3.
Näin ollen numeron n tulee kuulua sekä joukkoon 0,2,4,6,8 että
1
1
1
1
1
1
0,3,6,9 . Molempiin kuuluvat vain numerot 0 ja 6.
1
c)
Numeroiden summan 45  4n tulee olla jaollinen luvulla 9.
Kohdan a tapaan päätellään, että n  0 tai 9.
1
1
12.
Koska x  1 ja x  3 ovat polynomin tekijöitä, myös
2
( x  1)( x  3)  x 2  2 x  3 on tekijä.
Saadaan P ( x)  2 x3  5 x 2  4 x  3  (cx  d )( x 2  2 x  3) .
Tästä on auki kertomalla ja kertoimia vertaamalla pääteltävissä, että
c  2 ja d  1 .
Kolmas tekijä on siten 2 x  1 ja kolmas nollakohta  1 .
2
Yhtälön P( x)  0 kaikki juuret ovat näin ollen 3,  1 ja 1.
2
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
Hyvän vastauksen piirteitä
1
1
1
1
13.
a)
b)
Esimerkkijono an  (1)n eli jono 1,1, 1,1, 1,... ,
1
Jono on rajoitettu, sillä kaikilla n  1,2,3,... pätee an  1 . Jono ei
suppene.
Esimerkkijono an  n eli jono ( 1, 2, 3,... ),
Jono on vähenevä, sillä kaikilla n  1,2,3,... pätee
an 1  an  (n  1)  (n)  1  0 . Se ei ole myöskään rajoitettu,
sillä lim an   .
1
1
1
n
c)
Ehto toteutuu esim., kun p  2 , sillä

k
k


i)  x dx  lim  x dx  lim /  x 1  lim 1  1  1 , joten
k
k 
k 
k  1
2
1
2
1
1
integraali suppenee.

ii) 
x
1
2
k
k
1
dx  lim  x dx  lim / ln x  lim ln k   , joten
k 
k  1
k  1
integraali hajaantuu.
1
*14. Suoran suuntavektori on s  2i  3 j  7k , jonka pituus on
a)
4  9  49  62 .
Suuntakosinit ovat cos   si  2 , cos   3 ja cos   7 .
62
62
si
62
b)
Neliöiden summa on cos 2   cos 2   cos 2   49 49  1 .
c)
cos   2  0,2540...    75,2856...  75,3
62
62
cos   3  0,3810...    67,6043...  67,6
62
cos   7  0,8890...    27, 2520...  27,3
62
d)
2
2
2
s a b c ,
2
2
2
2 2 2
joten cos 2   cos 2   cos 2   a 2  b 2  c 2  a b 2  c  1 .
s
s
s
s
Suuntakosinien neliöiden summa on siten kaikille origon kautta
kulkeville suorille vakio 1.
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
2
2
2
Yksi kulma väärin
Kaksi tai kolme kulmaa väärin
Suoran suuntavektori on s  ai  b j  ck . Sen pituuden neliö on
2
1
Hyvän vastauksen piirteitä
1
2
1
1
*15. Jos a  b , niin kolmio on tasakylkinen ja tällöin myös x  y .
a)
b)
1
Pythagoraan mukaan k 2  a 2  x 2  aa  xx .
Kun tässä toinen a korvataan b:llä ja toinen x korvataan y:llä, niin
1
saadaan k 2  ab  xy , josta väite seuraa.
Olkoon kulman puolikas  . Kosini- ja kulmanpuolittajalauseista
 2
 x  a 2  k 2  2ak cos 

saadaan ehdot  y 2  b 2  k 2  2bk cos  .
x a
 
 y b
Ratkaistaan kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä 2k cos  ja merkitään
1
a 2  k 2  x 2 b2  k 2  y 2
.
tulokset samoiksi: 2k cos  

a
b
a
Kerrotaan puolittain a:lla: (b 2  k 2  y 2 )  a 2  k 2  x 2 .
b
a
x
Korvataan 
ja kerrotaan puolittain y:llä:
b
y
1
xb 2  xk 2  xy 2  ya 2  yk 2  yx 2 . Ratkaistaan k 2 :
k2 
2
2
2
2
1
1
1
ya  yx  y x  xb
.
x y
abx  x 2 y  aby  xy 2
.
Sijoitetaan ya  bx : k 
x y
Ryhmitellään:
2
1
abx  aby  x 2 y  xy 2 ab( x  y )  xy ( x  y )
k 

 ab  xy ,
x y
x y
josta väite seuraa. Ratkaisu edellyttää, että x  y  0 , mutta ehto on
voimassa, koska oletettiin, että a  b , jolloin myös x  y .
2
Kuvio 7
Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 23.9.2015
Kuvio 9
Hyvän vastauksen piirteitä
1