UMF I Loppukoe 27.10 Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF luentomonistetta ja omia luento- ja harjoitusmuistiinpanoja sekä taulukkokirjaa. Z 1. Laske x2 + y 2 dx dy, kun D (a) D on yksikköneliö {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1} ; (b) D on yksikköpallo {(x, y) : x2 + y 2 < 1}. 2. Olkoon f (x, y) = x3 + y 2 . Määritä (a) gradientti ∇f (0, −1) ; (b) pinnan z = f (x, y) normaali pisteessä (0, −1, 1). 3. OlkoonZ r(t) = (1 + t, 1 − t2 , t), t ∈ [0, 1] polun γ parametrisaatio. Laske polkuintegraali F · dr, kun γ (a) F (x, y, z) = (x, y, z) ; (b) F (x, y, z) = (xyz, 0, 0). 4. Olkoon f : R2 → R differentioituva, ja a, b ∈ R2 . Määritellään g : R → R lausekkeella g(t) = f (bt2 + a). Osoita, että g 0 (0) = 0. 5. Maan korkeus suorakaiteen muotoisessa alueessa |x| < 4 ja |y| < 2 saadaan kaavasta z = −10 + x2 + (3y)2 . Vesiraja on z = 0, eli pienemmät z-koordinaatin omaavat pisteet ovat joko maan sisällä tai veden peitossa. Mikä on rantaviivan määräävän käyrän yhtälö? Piste (1, 1, 0) on rannalla. Mihin suuntaan tästä pisteestä vesi syvenee nopeinten? UMF I Loppukoe 1.12 Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF luentomonistetta ja omia luento- ja harjoitusmuistiinpanoja sekä taulukkokirjaa. Z x dx dy kun 1. Laske D (a) D = [0, 1] × [0, 1] ; (b) D on suorakaide jonka sivut muodostavat suorat y = 2x, y = 2x + 1, x = −2y, x = −2y + 4. 2. Olkoon S niiden pisteiden (x, y) joukko, joille x2 + 3y 2 ≤ 1. Mikä on funktion f (x, y) = x2 + x + y 2 − 1 suurin ja pienin arvo joukossa S? 3. Olkoon f : R2 → R ja g = (g1 , g2 ) : R → R2 jatkuvasti differentioituvia kuvauksia. Silloin ∂f ∂f (g(s))g10 (s) + (g(s))g20 (s). D(f ◦ g)(s) = ∂x ∂y Ilmaise myös D(g ◦ f ) käyttäen (komponentti)funktioiden osittaisderivaattoja. 4. Olkoon f : R2 → R määritelty kaavalla Z f (x0 , y0 ) = x3 dx dy, D(x0 ,y0 ) missä D(x0 , y0 ) on (x0 , y0 ) keskeinen, 1-säteinen pallo. Missä pisteissä funktion f saavuttaa suurimmat arvonsa joukossa [−1, 1] × [−1, 1]? 5. Olkoon 0 = (0, 0), a = (1, 1) ja b = (2, 0). Tiedetään, että ∂a f (0) = 1 ja ∂b f (0) = −1. Laske näistä tiedoista, jos mahdollista, ∂f (0) ja/tai ∂f (0) olettaen, että ∂x ∂y (a) funktiolla f on osittaisderivaatat origossa; (b) funktio f on differentioituva origossa. UMF I Loppukoe 18.8.2015 Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF luentomonistetta ja omia luento- ja harjoitusmuistiinpanoja sekä taulukkokirjaa. Z 1. Laske x2 dx dy kun D (a) D = [−1, 1] × [0, 1] ; (b) D on kolmio jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (1, 1) ja (2, 0). 2. Olkoon f (x, y) = x + y 2 + xy. Määritä, jos mahdollista, (a) gradientti ∇f (0, −1) ; (b) pinnan z = f (x, y) normaali pisteessä (0, −1, 1). 3. Z Olkoon r(t) = (1+t, 1+t2 ), t ∈ [0, 1] polun γ parametrisaatio. Laske polkuintegraali F · dr, kun γ (a) F (x, y) = (x, y) ; (b) F (x, y) = (xy, 0). 4. Olkoon 0 = (0, 0), a = (1, 1) ja b = (1, 0). Tiedetään, että ∂a f (0) = 1 ja ∂b f (0) = (0) ja/tai ∂f (0) olettaen, että 2. Laske näistä tiedoista, jos mahdollista, ∂f ∂x ∂y (a) funktiolla f on osittaisderivaatat origossa; (b) funktio f on differentioituva origossa. 5. Olkoon f : R2 → R on differentioituva funktio jolla on minimi origossa. Määritellään kuvaus g : R2 → R kaavalla g(x, y) = f (x, x + y). Osoita, että 0 on funktion g kriittinen piste. Minkä tyyppinen kriittinen piste on kyseessä?