Metriset avaruudet Harjoitus 7 1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus, r > 0, ja (xn ) sellainen X:n jono, että d(xn , xk ) ≥ r kaikilla n 6= k. Osoita, että X ei ole kompakti. Osoita tämän avulla, että l2 = {(x1 , x2 , . . .) : xj ∈ R} (varustettuna normilla P∞avaruuden 2 1/2 kxk = ( j=1 xj ) ) suljettu yksikköpallo B(0̄, 1) ei ole kompakti. 2. Olkoon E = C[0, 1] varustettuna sup-normilla. Olkoon A = B(0̄, 1) E:n suljettu yksikköpallo (0̄ = nollafunktio). Konstruoi A:n jono (fn ), jolla kfn − fk k = 1 kaikilla n 6= k. Päättele tehtävän 1 avulla, että A ei ole kompakti. 3. Olkoon X kompakti ja (xn ) X:n jono, jolla on täsmälleen yksi kasautumisarvo a. Osoita, että xn → a. 4. Oletetaan, että X on yhtenäinen metrinen avaruus, D on joukko, f on kuvaus X → D, ja jokaisella x ∈ X on ympäristö, jossa f on vakio. Osoita, että f on vakiofunktio. 5. Olkoon X yhtenäinen metrinen avaruus ja A, B ⊂ X epätyhjiä. Osoita, että on olemassa sellainen piste x ∈ X, että d(x, A) = d(x, B). Neuvo. Muodosta f (x) = d(x, A) − d(x, B). 6. Olkoon n ≥ 1 ja f : S n → R jatkuva. Osoita, että on olemassa pallon S n vastakkaiset pisteet, joissa f saa saman arvon, joten maapallolla on joka hetki kaksi vastakkaista pistettä, joissa on sama lämpötila. Neuvo. Muodosta g(x) = f (x) − f (−x). Lisätieto. Väite pätee itse asiassa kuvauksilla f : S n → Rn (BorsukinUlamin lause), joten mainitut maapallon pisteet voidaan valita niin, että myös ilmanpaine on niissä sama.