Analyysi 2 Harjoituksia lukuihin 1–3 / Kevät 2015 1. Anna sellainen välillä ]−2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f , että (a) sup A 6= max A ja inf A 6= min A, (b) sup A 6= max A ja inf A = min A, (c) sup A = max A ja inf A 6= min A, (d) sup A = max A ja inf A = min A, kun A = {f (x) | x ∈ ]−2, 2[ }. Yllä inf A 6= min A ja sup A 6= max A tarkoittavat, että min A ja max A eivät ole olemassa. Tässä tehtävässä ei tarvitse antaa täsmällistä perustelua, että infimum ja supremum toteuttavat vaaditut ehdot. Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä. 2. Todista monisteen lause 1.6. 3. Todista monisteen lause 1.7. 4. Arvioi ylä- ja alasummia käyttämällä funktion ( x2 + 3, kun |x| < 1, f (x) = 4 − 2x, kun |x| ≥ 1, kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa välillä [−2, 2], kun jako on tasavälinen ja osavälien lukumäärä n = 4. 5. Anna jokin välin [−1, 2] jako, joka sisältää porrasfunktion f (x) = bxc + x + 21 porraspisteet välillä [−1, 2]. 6. Olkoot f ja g välin [a, b] porrasfunktioita. Osoita, että myös f g on välin [a, b] porrasfunktio. 7. Määritä porrasfunktion f (x) = bxc + x + 21 integraali yli välin [−1, 3]. 8. Anna esimerkki sellaisesta välillä [0, 4] määritellystä porrasfunktiosta f , että Z2 Z3 f = 4, 0 Z4 f = 5 ja 0 f = 2. 0 9. Tarkastellaan funktiota f (x) = x2 − 2x + 1. Anna esimerkki sellaisesta välillä [0, 3] määritellystä porrasfunktiosta g, että g ≤ f ja Z3 3 . 2 g = 0 10. Olkoot f : [a, b] → R ja g : [a, b] → R sellaisia porrasfunktioita, että f ≥ 0 ja g ≤ M (M ∈ R). Osoita, että Zb Zb fg ≤ M a f. a 11. Anna esimerkki sellaisista välin [2, 4] porrasfunktioista f ja g, että g ≤ 3 ja Z4 Z4 fg > 3 2 f. 2 12. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos g ja h ovat välin [a, b] porrasfunktioita ja Zb Zb g ≤ h, a a niin g ≤ h välillä [a, b]. 13. Anna esimerkki sellaisesta funktiosta f , että IL (f, [0, 2]) = 1 ja IU (f, [0, 2]) = 3. 14. Anna esimerkki sellaisista funktioista f ja g, että IL (f, [2, 5]) + IL (g, [2, 5]) < IL (f + g, [2, 5]). Tässä tehtävässä alaintegraalien arvoja ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi funktioiden kuvaajiin tai monisteen esimerkkeihin tukeutuva perustelu on riittävä. 15. Osoita Riemannin ehtoa käyttäen,1 että funktio f (x) = 1 − x on Riemann-integroituva välillä [0, 2] ja Z2 f (x) dx = 0. 0 1 Lausetta 2.13 voi käyttää. 16. Olkoon f (x) = x2x . Anna esimerkki sellaisista välillä [0, 4] määritellyistä porrasfunktioista g ja h, että g ≤ f ≤ h ja Z4 Z4 h− 0 g ≤ 1. 0 17. Todista, että jos funktio f : [a, b] → R on vähenevä, niin f on Riemann-integroituva välillä [a, b]. 18. Olkoon f : [a, b] → R sellainen funktio, että f saavuttaa jokaisella välin [a, b] suljetulla osavälillä suurimman ja pienimmän arvonsa ja että |f (x) − f (y)| ≤ 5 |x − y| aina, kun x, y ∈ [a, b]. Todista Riemannin ehtoa käyttäen, että f on Riemann-integroituva välillä [a, b]. 19. Olkoon f : [−1, 5] → R, f (x) = 1 + x2 ja P = {−1, 2, 4, 5}. Laske Riemannin summa SP (f, ξ), kun (a) ξ1 = 1, ξ2 = 3 ja ξ3 = 5, (b) ξ1 = 2, ξ2 = 2 ja ξ3 = 4. 20. Olkoon f (x) = |x − 1| − 1 ja SP (f, ξ) jokin välin [0, 6] jakoa P = {0, 1, 3, 6} vastaava Riemannin summa. Onko mahdollista, että SP (f, ξ) = 0 ? 21. Osoita, että jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin vastaavasti funktio g(x) = f (x − c) on Riemann-integroituva välillä [a + c, b + c] ja Zb Zb+c f (x) dx = g(x) dx. a a+c Vihje: Jokaista välin [a, b] jakoa {x0 , x1 , . . . , xn } vastaa välin [a + c, b + c] jako {x0 + c, x1 + c, . . . , xn + c}. 22. Olkoon f : [0, 2] → R, ( 3, kun x ∈ Q, f (x) = 1, kun x ∈ R \ Q, ja SP (f, ξ) funktion f välin [0, 2] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Osoita rajaarvon määritelmään perustuen, että raja-arvo lim SP (f, ξ) |P |→0 ei ole olemassa. 23. Olkoon f välillä [a, b] rajoitettu funktio ja SP (f, ξ) funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Onko mahdollista, että lim SP (f, ξ) = ∞ ? |P |→0 24. Olkoon SP (f, ξ) funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa1 ja f sellainen funktio, että f ei ole ylhäältä rajoitettu välillä [a, b]. Osoita, että raja-arvo lim SP (f, ξ) |P |→0 ei ole olemassa. 25. Tiedetään, että Z2 Z4 f = 5, 0 Z5 f = 2 ja 0 Määritä 2 Z5 Z4 f, (a) f = 1. Z4 f, (b) 0 f. (c) 2 5 26. Osoita, että Z2 e−1 ≤ ex 2 −x dx ≤ e2 − 1. 0 Vihje: Viikkoharjoitusten 3 tehtävä 1. 27. Osoita, että 2e ≤ e+1 eZ2 −1 log (x + 1) dx ≤ e. x e−1 28. Olkoon f : [2, 4] → R sellainen jatkuva funktio, että Z4 f (x)g(x) dx = 0 2 kaikille välin [2, 4] porrasfunktioille g. Todista, että f (x) = 0 kaikilla x ∈ [2, 4]. 29. Määritä integraalilaskennan väliarvolauseen avulla 1 lim a→0+ a Z3a sin(2x) dx. x a 1 Riemannin summan määritelmä on tässä tehtävässä laajennettu koskemaan myös rajoittamattomia funktioita. 30. Osoita integraalilaskennan väliarvolausetta käyttäen, että Z1 √ √ 3 < 9 + x2 dx < 10. 0 31. Osoita yleistettyä integraalilaskennan väliarvolausetta käyttäen, että 1 11 ≤ 24 Z2 √ 1− x2 11 dx ≤ 24 r 4 . 3 0 Vihje: √ √ 1 − x2 = (1 − x2 )/ 1 − x2 . Voit olettaa tunnetuksi, että 1 Z2 (1 − x2 ) dx = 11 . 24 0 32. Olkoon ( 0, kun −1 ≤ x < 0, f (x) = 1, kun 0 ≤ x ≤ 1, ja c ∈ [0, 1]. Määritä Zx G(x) = f (t) dt, x ∈ [−1, 1] . c 33. Osoita, että jos funktio f : [a, b] → R on Riemann-integroituva ja f (x) ≥ 0 kaikilla x ∈ [a, b], niin funktio Zx G(x) = f (t) dt (c ∈ [a, b]) c on kasvava välillä [a, b]. 34. Derivoi funktio F : R → R, kun Zx (a) F (x) = 2 sin t2 dt, Zx (b) F (x) = 0 2 sin x2 dt, 0 35. Määritä raja-arvo 1 lim 2 x→0 x Z2x x arc tan t2 dt. t Z1 (c) F (x) = 0 2 sin x2 dt. 36. Osoita, että funktio 2 Zx F (x) = 1 dt log t 1 x on aidosti kasvava, kun x > 2. 37. Määritä funktion Z3x2 2 F (x) = (t − 1)e−t dt 0 paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu. 38. Olkoon f : [a, b] → R sellainen funktio, että f (a) = 0 ja f 0 on jatkuva välillä [a, b]. Osoita, että Zb (b − a) (f 0 (x))2 dx ≥ M 2 , a missä M = sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}. Vihje: Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. 39. Määritä n (k − 1)π 1 X . sin lim n→∞ n 2n k=1 Vihje: Monisteen esimerkki 3.10 (s. 52). 40. Määritä n lim n→∞ 1 X k 5 1+ . n k=1 n