1. No category

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(11)
23. Kvantittuminen
RATKAISUT: 23. Kvantittuminen
23.1 a) Spektri esittää säteilyn intensiteetin aallonpituuden tai taajuuden
funktiona.
b) Viivaspektri on yksittäisten aallonpituuksien
intensiteettijakauma, spektri muodostuu yksittäisistä viivoista.
Esimerkiksi hehkuva pienipaineinen atomaarinen kaasu lähettää
viivaspektrin.
c) Einsteinin mukaan säteily koostuu erillisistä, toisistaan riippumattomista ja
hajoamattomista hiukkasmaisista osista, joiden energia on suoraan verrannollinen
säteilyn taajuuteen E = hf, jossa f on säteilyn taajuus ja h on Planckin vakio. Näitä
”säteilyhiukkasia”, kvantteja sanotaan fotoneiksi. Fotoni syntyy sähkömagneettisen
säteilyn emissiossa ja häviää absorptiossa.
d) Musta kappale on säteilijää kuvaava malli. Se absorboi kaiken siihen osuvan säteilyn.
Mustan kappaleen säteilyn spektri riippuu vain kappaleen lämpötilasta. Mustan
kappaleen lähettämän säteilyn spektri on jatkuva.
e) Röntgensäteily on sähkömagneettista säteilyä, jonka aallonpituus on erittäin pieni
verrattuna näkyvän valon aallonpituuteen. Röntgensäteilyn löysi Wilhelm Röntgen
vuonna 1895. Röntgenputken hehkukatodilta irtoaa elektroneja (katodisäteily), jotka
kiihdytetään katodin ja anodin välisellä jännitteellä. Kun elektronit osuvat
anodimetalliin, syntyy röntgensäteilyä. Elektronien jarruuntumisesta aiheutuvaa säteilyä
kutsutaan jarrutussäteilyksi ja ominaissäteilyä syntyy, kun elektronisuihku törmää
anodimateriaalin atomeihin.
f) Rutherfordin kokeessa alfasäteilyä
kohdistettiin erittäin ohueen
kultafolioon. Suurin osa alfahiukkasista
kulki kultafolion läpi suuntaansa
muuttamatta, muutamien hiukkasten
suunta muuttui vähän ja jokunen
alfahiukkanen kimposi takaisin
tulosuuntaansa. Sironneet alfahiukkaset
jättivät jäljen filmille, joka oli asetettu
kultafolion ympärille.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
2(11)
23. Kvantittuminen
g) Fluoresenssiksi kutsutaan ilmiötä, jossa atomin viritystila
purkautuu välittömästi (alle 10 ns:ssa) virittymisen jälkeen
ja aine lähettää näkyvää valoa. Virittyneen atomin
absorboima energia voi purkautua vaiheittain usean eri
energiatason kautta.
23.2 Fotonin energia on E = 2,3 eV , Planckin vakio h = 4,136 ⋅10−15 eVs ja valon nopeus
c = 2,998 ⋅108
m
.
s
a) Säteilykvantin energia on Planckin lain mukaan E = hf . Ratkaistaan tästä säteilyn
taajuus
E
2,3 eV
=
h 4,136 ⋅10−15 eVs
1
= 5,5609 ⋅1014 ≈ 5, 6 ⋅1014 Hz.
s
f =
b) Sähkömagneettinen säteily etenee valonnopeudella.
Aaltoliikkeen perusyhtälön mukaan c = λ f .
Ratkaistaan aallonpituus
m
2,998 ⋅108
c
s = 5,3912 ⋅10−7 m = 540 nm.
λ= =
f 5,5609 ⋅1014 1
s
c) Fotonin liikemäärä on
p=
h
λ
=
4,136 ⋅10−15 eVs
eVs
kgm
= 7, 6718 ⋅10−9
= 7, 7 ⋅10−9
.
5,3912 ⋅10−7 m
m
s
Vastaus:
a) Fotonin taajuus on 5, 6 ⋅1014 Hz
b) Fotonin aallonpituus on 540 nm
c) Fotonin liikemäärä on 7, 7 ⋅10−9
kgm
s
23.3 Rydbergin vakio vedylle on RH = 1, 0974 ⋅107
1
.
m
a) Bohrin atomimallin mukaan elektroni kiertää ytimen ympärillä ympyräradoilla, joita
jokaista vastaa tietty energia. Kun elektroni siirtyy radalta toiselle, vetyatomi emittoi tai
absorboi ratojen energioiden erotusta vastaavan fotonin, jonka energia on
c
ΔE = Em − En = hf = h . Emissiospektrissä havaitaan tämän aallonpituuden kohdalla
λ
kirkas viiva. Absorptiospektrissä havaitaan samalla kohtaa musta viiva.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
3(11)
23. Kvantittuminen
b) Balmerin sarjassa n = 2.
Vetyatomin Balmerin sarjan spektriviivojen aallonpituudet voidaan laskea yhtälöstä
1
λ
= RH (
1
1
− 2 ).
2
2 m
i) Suurin aallonpituus saadaan, kun siirtymä on lyhin mahdollinen. Tällöin
kokonaisluku m = 3 eli
1
λ
= RH (
1 1
− ). Ratkaistaan aallonpituus
22 32
1
1 1
5
= RH ( − ) = RH ( ) ja
λ
4 9
36
λ=
=
36
5 RH
36
5 ⋅1, 0974 ⋅107
= 6,56096 ⋅10−7
1
m
m = 656 nm.
ii) Pienin aallonpituus saadaan, kun siirtymä on pisin mahdollinen. Tällöin
kokonaisluku m = ∞ eli
1
1
1
= 0 ja = RH ( 2 − 0).
λ
m
2
Ratkaistaan aallonpituus
4
4
=
RH 1, 0974 ⋅107 1
m
−7
= 3, 6449779 ⋅10 m = 364 nm.
λ=
Vastaus: b) Suurin aallonpituus on 656 nm ja pienin aallonpituus on 364 nm.
23.4 Vetyatomin energiatilat ovat En = −
13, 60 eV
.
n2
Planckin vakio on h = 4,136 ⋅10−15 eVs ja valonnopeus c = 2,998 ⋅108
m
.
s
a) Vetyatomin
13, 60 eV
= −13, 60 eV
12
perustilan energia ( n = 1 )
E1 = −
Ensimmäisen viritystilan energia ( n = 2 )
E2 = −
13, 60 eV
= −3, 40 eV.
22
Toisen viritystilan energia ( n = 3 )
E3 = −
13, 60 eV
= −1,51 eV.
32
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
4(11)
23. Kvantittuminen
Kolmannen viritystilan energia ( n = 4 )
E4 = −
13, 60 eV
= −0,85 eV.
42
Neljännen viritystilan energia ( n = 5 )
E5 = −
13, 60 eV
= −0,54 eV.
52
Piirretään energiatasokaavio:
b) Balmerin sarjan n = 2.
Balmerin sarjan β-viiva vastaa siirtymää n = 4 → n = 2.
Perustilassa oleva vetyatomi virittyy tilaan n = 4 fotonilla, jonka energia on
ΔE = E4 − E1 = −0,85 eV − (−13, 6 eV) = 12, 75 eV.
Fotonin energiaa vastaava aallonpituus saadaan yhtälöstä ΔE = hf =
hc
λ=
=
ΔE
4,136 ⋅10−15 eVs ⋅ 2,998 ⋅108
hc
λ
m
s
12, 75 eV
−8
= 9, 7253 ⋅10 m ≈ 97,3 nm.
c) i) Ensimmäisen ja toisen tilan energioiden erotus on
ΔE = E2 − E1
= −3, 40 eV − (−13, 60 eV) = 10, 20 eV.
Siten 10,95 eV:n fotoni ei kykene virittämään vetyatomia.
ii) Ensimmäisen ja viidennen tilan energioiden erotus on
ΔE = E5 − E1
= −0,54 eV − (−13, 60 eV) = 13, 06 eV.
Siten 13,06 eV:n fotoni absorboituu vetyatomiin ja atomi virittyy tilaan n = 5.
Vastaus:
b) Säteilyn aallonpituus voi korkeintaan olla 97,3 nm.
c) 10,95 eV:n fotoni ei kykene virittämään vetyatomia ja 13,06 eV:n fotoni absorboituu
vetyatomiin.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
5(11)
23. Kvantittuminen
23.5 Natriumatomin perustilan energia on E1 = −5,14 eV ja viritystilan energiaa kysytään
Eviritys = ? . Havaittavan keltaisen valon aallonpituus on λ = 589,0 nm , Planckin vakio
h = 4,136 ⋅10−15 eVs ja valonnopeus c = 2,998 ⋅108
m
.
s
a) Aaltoliikkeen perusyhtälön c = λ f mukaisesti taajuus
m
s = 5, 08998 ⋅1014 1 = 509 THz.
f = =
s
λ 589, 0 ⋅10−9 m
2,998 ⋅108
c
b) Planckin lain mukaan natriumatomin lähettämän fotonin energia on
ΔE = hf =
=
hc
λ
4,136 ⋅10−15 eVs ⋅ 2,998 ⋅108
589, 0 ⋅10−9 m
m
s
= 2,1052 eV ≈ 2,11 eV.
Tämä energia on yhtä suuri kuin viritystilan ja perustilan energioiden erotus
ΔE = Eviritystila − E1 ,
josta viritystilan energiaksi saadaan
Eviritystila = E1 + ΔE
= −5,14 eV + 2,11 eV = −3, 03 eV.
Vastaus:
a) Keltaisen valon taajuus 509 THz.
b) Viritystilan energia on –3,03 eV.
23.6 a) Valosähköilmiössä metallin pinnasta irtoaa elektroneja. Elektronit voidaan
pysäyttää valokennossa vastajännitteellä.
Metallin pinnasta irtoavien elektronien liike-energia on tulevan fotonin
energian ja irrotustyön erotus Ekmax = hf − W0 .
Pysäytysjännitteen perusteella voidaan laskea nopeimpien elektronien liikeenergia Ekmax = QeU .
b) Taulukkoon on laskettu elektronien suurin liike-energia
taajuuden funktiona.
Esimerkiksi taajuudella 921 THz elektronin suurin liikeenergia on Ekmax = QeU = 1 e ⋅1, 72 V = 1, 72 eV.
Piirretään kysytty suora.
f (THz)
Ekmax=QeU(eV)
921
1,72
882
1,55
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
818
1,28
752
1,01
677
0,693
556
0,185
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
6(11)
23. Kvantittuminen
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
7(11)
23. Kvantittuminen
c) Suoran yhtälö on Ekmax = hf − W0 .
Suoran fysikaalisesta kulmakertoimesta saadaan
Planckin vakio
h=
ΔEkmax
1, 62 eV − 0, 4 eV
=
= 4, 21 ⋅10-15 eVs.
900 ⋅1012 Hz − 610 ⋅1012 Hz
Δf
Suoran ja f-akselin leikkauspisteestä saadaan
valosähköilmiön rajataajuus f 0 = 520 THz cesiumille.
Ekstrapoloidaan suora leikkaamaan pystyakseli.
Ekmax - akselin leikkauspiste antaa irrotustyön W0 = 2,1 eV
cesiumille.
Irrotustyö saadaan myös rajataajuuden avulla. Kun Ekmax = 0, niin yhtälöstä
Ekmax = hf − W0 saadaan irrotustyö W0 = hf .
Siten
W0 = 4,136 ⋅10 −15 eVs ⋅ 520 ⋅1012 Hz = 2,1507 eV ≈ 2, 2 eV.
23.7 a) – Valosähköilmiö: Valosähköilmiössä metalliin sitoutunut elektroni absorboi fotonin
(energiakvantin), jonka energia on E = hf . Elektroni irtoaa fotoelektronina.
– Comptonin ilmiö: Comptonin sironnassa fotoni (energiakvantti) törmää kimmoisasti
vapaaseen elektroniin. Osa fotonin energiasta muuttuu elektronin liike-energiaksi.
– Lämpösäteilyn spektri: Lämpösäteilyn spektrin muodon selittäminen onnistui
Planckin kvanttihypoteesin avulla.
– Jarrutussäteilyn spektrin minimi aallonpituuden tulkinta: Jarrutussäteilyssä
elektronin liike-energia muuttuu kokonaan tai osittain sähkömagneettisen säteilyn
kvantin liike-energiaksi.
b) Röntgensäteilyn aallonpituus on λ = 0,154 nm , Planckin vakio
h = 4,136 ⋅10−15 eVs = 6, 626 ⋅10−34 Js ja valonnopeus c = 2,998 ⋅108
m
.
s
Fotonin energia riippuu taajuudesta ja aallonpituudesta
E = hf =
hc
λ
=
4,136 ⋅10−15 eVs ⋅ 2,998 ⋅108
0,154 ⋅10−9 m
Kvantin liikemäärä on p =
h
λ
=
m
s = 8, 0518 keV ≈ 8, 05 keV.
6, 626 ⋅10−34 Js
kgm
kgm
= 4,3026 ⋅10−24
≈ 4,3 ⋅10−24
.
−9
0,154 ⋅10 m
s
s
Vastaus: b) Fotonin energia on 8,05 keV ja liikemäärä 4,3 ⋅10−24 kgm s.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
8(11)
23. Kvantittuminen
23.8 K-kuoren ionisaatioenergia on EK-ionis = 1,5596 keV ja K-kuoren energia
EK = −1,5596 keV .
L-kuoren elektronin ionisaatioenergia on EL-ionis = 73,1 eV ja L-kuoren energia
EL = −73,1 eV .
Planckin vakio on h = 4,136 ⋅10−15 eVs = 6, 626 ⋅10−34 Js , valonnopeus
c = 2,998 ⋅108
m
ja elektronin massa me = 9,109 ⋅10−31 kg .
s
a) Kα-säteilyn energia on energiatasojen välinen erotus
ΔE = EL − EK
= −0, 0731 keV − (−1,5596 keV)
= 1, 4865 keV.
Fotonin energia on Planckin säteilylain perusteella
c
ΔE = hf = h .
λ
Ratkaistaan aallonpituus
m
2,998 ⋅108
c
s
λ=h
= 4,136 ⋅10−15 eVs ⋅
ΔE
1, 4865 ⋅103 eV
= 8,34156 ⋅10−10 m ≈ 0,8342 nm.
b) Kiihdytystyö sähkökentässä lasketaan yhtälöllä W = QeU .
Elektronien nopeuden pitää olla niin suuri, että ne pystyvät irrottamaan elektronin Kkuorelta, siis saamaan aikaiseksi K-ionisaation EK-ionis = QeU , josta
U=
EK-ionis 1,5596 keV
=
= 1,5596 kV.
1e
Qe
1
2
c) Elektronien nopeus saadaan työperiaatteen mukaisesti yhtälöstä QeU = me v 2 .
v=
=
2QeU
me
2 ⋅1, 602 ⋅10−19 C ⋅1559, 6 V
9,109 ⋅10−31 kg
= 0, 2342165 ⋅108
m
m
≈ 0, 234 ⋅108
s
s
Vastaus:
a) Röntgensäteilyn energia ja aallonpituus ovat 1,4865 keV ja 0,8342 nm.
b) Pienin kiihdytysjännite on 1,5569 kV.
c) Elektroninen nopeus on 0,234 · 108 m/s.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
9(11)
23. Kvantittuminen
23.9 a) Braggin laki tarkastelee aaltoliikkeen interferenssiä kiinteän
aineen kidehilassa. Röntgensäteily, jonka aallonpituus on λ,
heijastuu hilatasoista, joiden välimatka on d, Braggin lain
2d sin Θ = k λ määräämiin suuntiin.
Säteilyn dualistisen luonteen vuoksi myös hiukkasilla on
aaltoluonne.
Termisten neutronien nopeus on sellainen, että niiden de
Broglien aallonpituus on suuruusluokaltaan sopiva aineen
rakenteen tutkimiseen.
b) Neutronien liike-energia on EK = 0, 020 eV ja massa mn = 1, 673 ⋅1027 kg .
Kidetasojen välimatka on d = 0,33 nm , Planckin vakio
h = 4,136 ⋅10−15 eVs = 6, 626 ⋅10−34 Js ja valonnopeus c = 2,998 ⋅108
m
.
s
Kysytään poikkeamaa tulosuunnasta 2Θ = ?
Braggin laki 2d sin Θ = k λ
de Broglien aallonpituus λ =
h
h
=
p mv
1
2
1
2
Koska tunnetaan neutronin massa ja liike-energia EK = mv 2 = mv ⋅ v ,
niin neutronin liikemäärä on
p = mv =
2 EK
v
⋅v
⋅m
m 2 v 2 = 2mEK
mv = 2mEK
Nyt de Broglien aallonpituus
λ=
=
h
=
mv
h
2mEK
6, 626 ⋅10−34 Js
2 ⋅1, 673 ⋅10−27 kg ⋅ 0,020 ⋅1, 602 ⋅10−19 J
Braggin laista sin Θ =
= 2, 0124 ⋅10−10 m ≈ 0, 201 nm.
k λ 1 ⋅ 2, 0124 ⋅10−10 m
=
= 0,30491 ,
2d
2 ⋅ 0,33 ⋅10−9 m
josta saadaan kulma Θ = 17, 7527°
Poikkeamakulma on 2Θ = 2 ⋅17, 7527° = 35,5055° ≈ 36°.
Vastaus: Neutronien suunta poikkeaa 36˚.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
10(11)
23. Kvantittuminen
23.10 Säteilyn aallonpituus on λ = 0,100 nm , irrotustyö vetyatomin sidosenergian
suuruinen W0 = 13, 6 eV , Planckin vakio h = 4,136 ⋅10−15 eVs = 6, 626 ⋅10−34 Js ja
valonnopeus c = 2,998 ⋅108
m
.
s
a) Kokonaisenergia säilyy niin, että fotoni energia E = hf =
hc
λ
menee
irrotustyöhön elektronin liike-energiaksi
Ef = Ek,e + Ek,p + W0 ≈ Ek,e + W0
Ratkaistaan tästä elektronin liike-energia
Ek,e = Ef − W0 =
hc
λ
− W0 =
4,136 ⋅10−15 eVs ⋅ 2,998 ⋅108
0,100 ⋅10-9 m
m
s − 13, 6 eV
= 12386,128 eV ≈ 12, 4 keV.
Elektronin nopeus on pieni, joten sen nopeus ja liikemäärä voidaan ratkaista klassisen
mekaniikan avulla
Ek,e =
ve =
1
me ve2
2
2 Ek,e
me
=
2 ⋅12386,128 ⋅1, 602 ⋅10−19 J
m
= 6, 6005281 ⋅107
= 0, 22c.
9,11 ⋅10−31 kg
s
Elektronin liikemäärä
pe = me ve = me
2 Ek,e
me
= 2me Ek,e
= 2 ⋅ 9,109 ⋅10−31 kg ⋅12386,128 ⋅1, 602 ⋅10−19 J
= 6, 01242 ⋅10−23
b)
kgm
kgm
≈ 6, 012 ⋅10−23
.
s
s
Ytimen liikemäärä saadaan kokonaisliikemäärän säilymisen perusteella.
Fotonin liikemäärä on yhtä suuri kuin elektronin ja ytimen protonin
liikemäärien summa pf = pe + pp .
Oletuksen mukaan fotonin absorboitumisen jälkeen elektroni liikkuu samaan
suuntaan kuin fotoni liikkui, joten protoni (ydin) lähtee vastakkaiseen
suuntaan
pf = pe − pp .
Fotonin liikemäärä on pf =
pp = pe −
h
λ
= 6, 01275 ⋅10−23
= 5,35015 ⋅10−23
h
λ
, joten ytimen liikemäärä on
kgm 6, 626 ⋅10−34 Js
−
s
0,100 ⋅10-9 m
kgm
kgm
≈ 5,35 ⋅10−23
.
s
s
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
11(11)
23. Kvantittuminen
Protoni lähtee vastakkaiseen suuntaan kuin elektroni.
Protonin liike-energia on nyt
Ek,p =
=
mp2 vp2
pp2
1
mp vp2 =
=
2
2mp
2mp
kgm 2
)
s
2 ⋅1, 673 ⋅10−27 kg
(5,35015 ⋅10−23
= 8,5547 ⋅10−19 J = 5,340 eV ≈ 5,34 eV.
Vastaus:
a) Elektronin liike-energia on 12,4 keV ja liikemäärä 6, 012 ⋅10−23
b) Ytimen liike-energia on 5,34 eV ja liikemäärä 5,35 ⋅10−23
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
kgm
s
kgm
s