1. No category

Mallin laadinta
• Miksi matemaattisia malleja tarvitaan?
Yksikköoperaatiot ja teolliset
prosessit
CHEM-A2100 (5 op)
–
–
–
–
–
Voidaan tehdä ennusteita prosessien käyttäytymisestä
Saadaan perusteet suunnittelua varten (mitoitus)
Tuetaan investointi- tai muita päätöksiä
Optimoidaan uusia tai olemassa olevia prosesseja
Havainnollistetaan prosesseja / opetetaan tai opetellaan
niiden käyttäytymistä
– jne...
Prosessien mallitus
1
3
Osaamistavoitteet tälle kerralle
Matemaattisen mallin idea
• Tuntea matemaattisen mallituksen idea ja sen
liittyminen todellisuuteen
• Ymmärtää eri mallityyppien luonne: tilastolliset vs.
mekanistiset mallit
• Ymmärtää mallitukseen liittyvät peruskäsitteet: syötöt
(input), tuotteet (output) ja tilat (state); mallin
rakentaminen taseiden ja nopeusyhtälöiden avulla
• Tuntea esimerkkien kautta kemian tekniikan
mallitusmenetelmiä sekä joitain mallien ratkaisuun
käytettäviä työkaluja
2
Todellisen
maailman
ongelma
1 Matemaattinen 2 Matemattinen
ongelma
ratkaisu
3 Tulokset
4
1.
2.
3.
4.
Todellisen maailman ongelman matemaattinen mallitus
Ratkaiseminen
Ratkaisun tulkinta
Tulosten käyttö todellisen ongelman ratkaisemiseksi
4
Mallin rakentamisen vaiheet
Mallin rakentamisen vaiheet
• Kolmas taso: oleta
miten asiat tapahtuvat
pienessä
mittakaavassa, ja
sovella sitä ison
mittakaavan malliin
Hahmota koko mallin kuvaama kokonaisuus ja
määrittele mitä halutaan mallittaa
Ensimmäinen taso: ”musta laatikko” -malli
xin
Ulkopuolella
virtaava kaasu tai
neste
• Esimerkiksi
aineensiirtovastus
katalyytin ympärillä
xout
• Moniskaalamallitus
xout = f(xin)
5
Kiinteä (huokoinen)
katalyytti
7
Laatikoiden värit
Mallin rakentamisen vaiheet
Toinen taso: oleta jotain muutoksista paikan tai
ajan suhteen (täydellinen sekoitus, tulppavirtaus,
ajasta riippumaton tai riippuva...)
Esim. tulppavirtaus
Aineen- ja
lämmönsiirtovastus
• ”Musta laatikko” -mallit:
–
–
–
–
Empiirisiä
Prosessien ymmärtäminen ei välttämätöntä
Perustuu havaittuihin syöttöihin ja tuotteisiin
Puhtaasti matemaattisia korrelaatioita (vastakohtana
fysikaalis-kemialliselle malleille)
– Usein polynomeja tai muita käyränsovituksia
dx/dh = f(x)
h
xout
xin
D
L
6
8
Absorberista on mitattu poistuvan kaasun pitoisuus
käytetyn liuotin / kaasu suhteen funktiona
Laatikoiden värit
”Valkoinen laatikko” -mallit
–
–
–
–
Perustuu vain fysiikan lakeihin, F=ma…
Mitään mittauksia ei (teoriassa) tarvita
Johtaa yleensä hyvin monimutkaisiin malleihin
Periaatteessa ekstrapoloituvat täydellisesti (mittakaavan
kasvattaminen tms.)
– Voi periaatteessa ennustaa uusia ilmiöitä
9
Absorberista on mitattu poistuvan kaasun pitoisuus
käytetyn liuotin / kaasu suhteen funktiona
11
Laatikoiden värit
”Harmaa laatikko” -mallit
– Käytännössä puhtaasti valkoisia laatikoita ei ole
– Taseet ja fysikaalisesti oikean muotoiset tasapainoja nopeusyhtälöt tuovat luotettavuutta
– Tasapaino- ja nopeusyhtälöissä on parametreja,
jotka pitää sovittaa mittaustuloksiin
Usein kannattaa tehdä kokeita prosessin kannalta
epäoptimaalisissa olosuhteissa, jotta parametrit identifioituvat!
10
12
Absorberista on mitattu poistuvan kaasun pitoisuus
käytetyn liuotin / kaasu suhteen funktiona
y b - y*b æ L ö
=ç
÷
y a - y*a è KV ø
Syötöt ja tuotteet ovat usein selviä. Tilaa kuvaavia muuttujia
joutuu joskus miettimään.
N
Taseet perustuvat pohjimmiltaan ekstensiivisuureisiin, joten ne
kuvaavat lähtökohtaisesti myös systeemin tilaa.
Malli on ”oikean
muotoinen”, johdettu
tietyin oletuksin
ainetaseista ja
tasapainoyhtälöstä
Mistä parametrien (K, N…) arvot kannattaa hankkia?
Parametrit voidaan mitata tai arvioida erikseen, niillä on
fysikaalinen tulkinta. Mallin oletuksia voidaan myös tarkastella
Mallin rakentamisen vaiheet
Mille seuraavista voidaan kirjoittaa tase?
1. Tietyn ionin moolimäärä
2. Lämpötila
3. Paine
4. Mekaaninen energia
5. Entropia
6. Tilavuus
15
Mallin rakentamisen vaiheet
Ajasta riippuvissa malleissa tilan kuvaaminen on keskeisempää
kuin steady-state malleissa (esim. Aspen perinteisessä
moodissa).
Kun tasealue (laatikon rajat) on valittu, valitaan
muuttujat:
–
–
–
–
Mallin rakentamisen vaiheet
syötöt (input), usein annettu
tuotteet (output), mitä halutaan laskea?
systeemin tilaa kuvaavat muuttujat
riippumattomat muuttujat (aika, paikka jne)
Ajasta riippumattomia erotusprosessien malleja on käsitelty
tällä kurssilla aiemmin, seuraavaksi kaksi muunlaista
esimerkkiä
14
16
Esimerkki
Esimerkki
Pystyasennossa olevaan säiliöön syötetään vettä 1 kg/s. Säiliön
pohjassa on reikä, josta vettä valuu ulos.
patm+rgh
Laske veden määrä säiliössä, kun
säiliötä aletaan täyttää. Säiliö on
aluksi tyhjä.
patm
Oletetaan, että virtaus pohjassa olevassa
reiässä on turbulenttia. Paine reiän
ulkopuolella on ilmanpaine, sisäpuolella
ilmanpaine + veden hydrostaattinen paine.
Näiden ero on sama kuin painehäviö reiässä
Turbulentissa virtauksessa painehäviö on
verrannollinen virtausnopeuden toiseen
potenssiin. Paine-ero reiässä riippuu suoraan
veden määrästä säiliössä ja se on
verrannollinen massavirran toiseen potenssiin
Aiemmin on havaittu, että jos
säiliöön syötetään vettä 2 kg/s,
niin pitkän ajan kuluttua
vesimäärä säiliössä on 400 kg 17
·
m out = a m
Esimerkki
Mitkä ovat syötöt, tuotteet, ja minkälaisia säiliön tilaa kuvaavia
muuttujia tarvitaan?
Minkälainen ainetase tarvitaan?
Minkälaisia malleja tarvitaan kuvaamaan taseen termejä?
Ajasta riippuva ainetase. Syöttönä veden
massa sisään, tuotteena veden massa
ulos. Tilaa kuvaa veden määrä säiliössä
·
·
dm
= m in - m out
dt
Miten veden virtaus ulos riippuu veden
18
määrästä säiliössä?
19
Esimerkki
·
m out = a m
patm+rgh
patm
Tämä on nyt ainetaseeseen tarvittava
fysikaalinen nopeusyhtälö, eli yhtälö, joka
”sulkee” malliyhtälöt. Näitä tarvitaan, jotta
tuntemattomia on yhtä paljon kuin yhtälöitä.
Mistä parametri a saadaan?
Jos massavirta sisään = ulos = 2 kg/s,
massa on 400 kg Þ a = 0.1 kg0.5/s
20
function vesiallas
Esimerkki
tint = [0,1000]; % integrointiaika nollasta tuhanteen sekuntiin
·
·
·
dm
= m in - m out = m in - a m
dt
patm+rgh
Tässä tapauksessa löytyy
analyyttinen ratkaisu:
m+
m in æ
a
lnçç1 a
è m in
ö
a
m ÷÷ = - t
2
ø
Voidaan ratkaista myös numeerisesti
vaikkapa Excelillä tai Matlabilla 21
% veden massa alussa
[t,m]=ode15s(@derivaatta, tint, mini); % kutsutaan ratkaisijaa
figure(1)
plot(t,m)
·
dm
= m in - a m
dt
Miten ratkaistaan?
patm
mini = 0;
% piirretään kuva
function dmdt=derivaatta(t,m)
% lasketaan derivaatta dm/dt Matlabin ratkaisualgoritmille
% m on hetkellä t säiliössä olevan veden määrä
Matlabin hallitseminen ei
ole osa tämän kurssin
vaatimuksia.
Osaamistavoite tässä on
ymmärtää miten
mallitustyökalut yleisesti
toimivat
a = 0.1;
min = 1;
% asetetaan arvot parametreille
mout = a*m^0.5;
% lasketaan ulosmenevän veden määrä
dmdt=min-mout;
% asetetaan arvo derivaatalle ainetaseesta
23
Veden massa ajan funktiona
Mallitustyökalujen rakenne
120
Pääohjelma, muuttujien alustus
Käyttäjän malli, joka antaa
lähdetermit tai taseiden virheet
arvausten pohjalta
veden massa (kg)
Ratkaisija
100
80
60
40
20
Tulosten tarkastelu (kuvaajat jne.)
0
0
22
200
400
600
800
aika (s)
1000
1200
1400
24
Aineensiirto ja reaktio,
esimerkki
Aineensiirto ja reaktio, esimerkki
Aineen- ja
Partikkelin ulkopuolella
lämmönsiirtovastus
virtaa reagoivaa ainetta,
jonka täytyy kulkeutua
katalyytin sisälle jotta
reaktio tapahtuu.
Reaktio on nopea, joten
halutaan tarkastella voiko
aineensiirtonopeus rajoittaa
havaittua reaktionopeutta.
Oletetaan partikkelin
Kiinteä (huokoinen)
sisäpuoli homogeeniseksi
katalyytti
(sama pitoisuus kaikkialla).
Ulkopuolella
virtaava kaasu tai
neste
dn
= kA(c b - c ) - k r cV
dt
V
dc
= ka(c b - c ) - k r c
dt
27
Aineensiirto ja reaktio,
esimerkki
Aineensiirtovuo, suunta bulkista partikkeliin N = k (c b - c )
r = -krc,
kr=0,1 1/s
Aineensiirtokertoimen laskemiseksi tarvitaan empiirinen
korrelaatio. Pallomaisille partikkeleille esim. seuraava:
Sh = 2 + 0.552 Re1 / 2 Sc1 / 3
Mistä aineensiirron suunnan näkee?
Minkälainen reaktio on kyseessä?
Minkälainen olisi ajasta riippuva ainetase ainemäärälle
katalyytin sisällä (dn/dt)?
ACC = IN – OUT + GEN
dn
= NA + rV = kA (c b - c ) - k r cV
dt
Mistä saadaan k ja a ?
25
Aineensiirto ja reaktio,
esimerkki
Reaktionopeus katalyytin tilavuutta kohti
dc
= kA(c b - c ) - k r cV
dt
Muokkaa yhtälöä niin, että
tilaa kuvaava muuttuja on
konsentraatio ja jaa puolittain
partikkelin tilavuudella
Sh =
26
kd
D AB
Re =
r vd
h
Sc =
h
r D AB
Miten vesisäiliötä kuvaavaa Matlab –esimerkkiä pitäisi muuttaa,
että se kuvaisi tätä partikkeliesimerkkiä?
28
function katalyyttipartikkeli
function dcdt=derivaatta(t,c)
tint = [0,10];
% integrointiaika, pienelle partikkelille
tapahtumat nopeita
% asetetaan arvot (vakioita tässä esimerkissä)
kr = 0.1;
% reaktionopeusvakiio
cb = 100;
% bulkkikonsentraatio
d = 0.001;
% partikkelin halkaisija
myy = 0.001;
% viskositeetti
rhoo = 1000;
% tiheys
Dab = 1e-9;
% diffuusiokerroin
v = 0.1;
% virtausnopeus partikkelin suhteen
cini = 0;
% konsentraatio alussa
[t,c]=ode15s(@derivaatta, tint, cini);
% kutsutaan Matlabin ratkaisijaa
figure(1)
% piirretään kuva
plot(t,c)
axis([0 10 0 100]) % lukitaan kuvan akselit
Miten tätä mallia voisi käyttää kokonaisen
reaktorin toiminnan kuvaamiseen?
dc
= ka(c b - c ) - k r c
dt
Re = rhoo*v*d/myy;
Sc = myy/(rhoo*Dab);
Oletetaan steady state
Sh = 2+0.552*Re^(1/2)*Sc^(1/3);
k=Sh*Dab/d;
% aineensiirtokerroin
NA = k*a*(cb-c); % Aineensiirto mol/s
Käykää parin kanssa läpi mitä
missäkin kohdassa tapahtuu
r = -kr*c;
100
100
90
90
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
% asetetaan arvo derivaatalle
0
1
2
3
4
5
6
v = 0.1 m/s
10
7
8
9
10
0
ka
cb
ka + k r
r = k rc = kr
ka
cb
ka + k r
31
Yhteenveto
20
v = 1 m/s
10
0
Ratkaistaan reaktionopeus
havaittavan (bulkki-)
konsentraation perusteella
% reaktio mol/s
dcdt=NA+r;
ainetaseesta
c=
Ratkaistaan c
a=6/d;
% aineensiirron ominaispinta-ala
partikkelin halkaisijasta
dc
= 0 = ka (c b - c ) - k r c
dt
0
1
2
3
Mitä kaikkea tässä oli oletettu?
Ovatko oletukset oikeasti valideja?
Onko katalyytti hyvä?
Miten tätä mallia voisi käyttää
kokonaisen reaktorin toiminnan
kuvaamiseen (moniskaalamallitus)?
4
5
6
7
8
9
30
10
• Matemaattinen mallitus on todellisuuden kuvaamista
matemaattisin menetelmin.
• Luotu malli pitää pystyä ratkaisemaan ja tuloksista
pitää voida tehdä johtopäätöksiä.
• Tulosten perusteella voidaan tehdä todellisuuteen
(teollisiin prosesseihin) liittyviä suunnittelupäätöksiä.
32
Yhteenveto
• Tilastolliset mallit (black box) ovat tyypillisesti
käyränsovituksia mittauksiin. Tilastollisia malleja on
nopea muodostaa, mutta niiden käyttöalue on kapea.
• Mekanistiset mallit perustuvat taseisiin sekä niiden
termejä kuvaaviin nopeus- ja tasapainoyhtälöihin.
• Käytännössä nopeus- ja tasapainoyhtälöt sisältävät
koetuloksiin sovitettuja parametreja, mutta nämä
mallit ovat silti luotettavampia kuin tilastolliset.
33
Yhteenveto
• Mallin ennustuskyvylle on tärkeää, että malli on
matemaattisesti vähintään oikean muotoinen.
• Nopeus- ja tasapainoyhtälöiden parametreja on paras
mitata sellaisilla koejärjestelyillä, joissa kyseinen
mallin osa vaikuttaa mahdollisimman paljon tuloksiin.
• Itse laadittuja malleja voidaan ratkaista monenlaisilla
laskennallisilla työkaluilla (Excel, Matlab, Comsol...).
34