Kul-49.3100 Dynamiikka II Harjoitus 2 30.9.2015 (KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon ennen laskuharjoitusten alkua viimeistään klo 12.00 (30.9.2015). 1. (KOTITEHTÄVÄ) Kuvan tela pyörii pituusakselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ωs ja pystyakselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ωp . Määritä sylinterin kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys välikoordinaatistossa. Käytä Eulerin kulmia ja jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja. Esitä vastauksesi Eulerin kulmien välikoordinaatiston ξηζ-kannassa. Huomaa, että sopiva välikoordinaatiston valinta on annettu kuvassa. (2 p.) Vastaus: ω = ωp eη − ωs eζ & α = −ωp ωs eξ 2. (KOTITEHTÄVÄ) Automaattinen aurinkopaneelin kääntölaite seuraa kello-ohjattuna auringon liikettä. Paneeli pyörii jalustansa ympäri kulmavauhdilla φ̇ (vakio). Samanaikaisesti kallistuskulman muutosnopeus horisonttiin nähden on θ̇ vakio. Määritä paneelin kulmanopeus ja -kiihtyvyys paneeliin sidotussa xyz-kannassa. Älä käytä jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälöitä, vaan muodosta kulmanopeuden lauseke ja käytä tarvittaessa yhteyttä ė = ω × e kantavektoreiden muutosnopeuksille. (2 p.) Vastaus: ω = φ̇(sin θi+cos θj)+θ̇k & α = φ̇θ̇(cos θi−sin θj) 3. (KOTITEHTÄVÄ) Lentokone irtautuu kiitoradasta vauhdilla v likimain vaakasuoraan ja kääntää laskutelineen pyörät (säde R) siipien sisään vakiokulmanopeudella θ̇. Pyörän ja kiitoradan kosketuksen lakattua pyörä jää pyörimään akselinsa ympäri. Määritä pyörän kulmavauhti ω ja kulmakiihtyvyyden itseisarvo α. Käytä ratkaisussasi Eulerin kulmia, kulmanopeuden esitystä välikoordinaatistossa ja yhteyttä ė = ω×e kantavektoreiden muutosnopeuksille. (2 p.) q Vastaus: ω = θ̇2 + (v/R)2 & α = |θ̇v/R| 4. Johda suhteellisen liikkeen nopeuden v ja kiihtyvyyden a esitykset v = vO + v r + ω × ρ a = aO + ar + α × ρ + ω × (ω × ρ) + 2ω × vr derivoimalla paikkavektorin esitystä r = rO + ρ ajan suhteen puolittain ja käyttämällä kantavektorin muutosnopeuden lauseketta ė = Ω × e ja merkintää α = ω̇. 5. Johda inertiaalikoordinaatistossa (kantavektorit {I, J, K}) lauseke jäykän kappaleen partikkelin P nopeudelle ṙ kuvan mukaisessa tilanteessa, jossa kappale pyörii vakiokulmanopeudella γ̇ x-akselin ympäri. Kappalekoordinaatiston (xyz) akselit ovat yhdensuuntaisia inertiaalikoordinaatiston (XY Z) akseleiden kanssa, kun kulma γ = 0. Lisäksi r0 on vakio ja ρ = ρx i + ρy j + ρz k. Laske partikkelin P nopeus myös käyttäen suhteellisen liikkeen kaavoja ja vertaa saamiasi tuloksia. Vastaus: ṙ = −γ̇(ρy sin γ + ρz cos γ)J + γ̇(ρy cos γ − ρz sin γ)K 6. Oheisen kuvan mukaisessa tilanteessa lautasantenni pyörii jalustansa ympäri kulmanopeudella Ω (vakio) samaan aikaan kun antennin kulma vaakatasoon muuttuu nopeudella β̇ (vakio). Käytä Eulerin kulmia, kulmanopeuden esitystä välikoordinaatistossa ja jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja ja määritä antennin kulmanopeus ω ja kulmakiihtyvyys α. Esitä tuloksesi sekä välikoordinaatiston kannassa että antenniin sidottun kappalekoordinaatiston (xyz) kannassa. Kappalekoordinaatiston z-akseli pysyy koko ajan inertiaalikoordinaatiston XY -tasossa. Vastaus: Välikoordinaatiston kannassa ω = Ωeη + β̇eζ ja α = Ωβ̇eξ . 7. Kuvan xyz-koordinaatisto pyörii Z-akselin ympäri vakiokulmanopeudella ωp . Hyrrä pyörii samanaikaisesti x-akselin ympäri kulmanopeudella ωs = ω0 sin ω0 t (mitattuna xyzkoordinaatistossa), jossa ω0 on vakio. Lisäksi hyrrän kallistuskulma α vakio. Määritä hyrrän kulmanopeus sekä kulmakiihtyvyys lausuttuina xyz-koordinaatiston kannassa ijk. Määritä kulmakiihtyvyys derivoimalla saamaasi kulmanopeuden esitystä ja hyödyntäen yhteyttä ė = ω × e kantavektoreiden muutosnopeuksille. Vastaus: ω = ωp (cos αi + sin αk) + ω0 sin(ω0 t)i α = ω02 cos(ω0 t)i + ωp ω0 sin α sin(ω0 t)j 8. Ohuesta homogeenisesta ympyrälevystä (säde r) ja akselista koostuva kappale on nivelöity Z-akselin pisteeseen O kuvan mukaisesti. Kiekko vierii pitkin XY -tasoa liukumatta ja kiertää täyden kirroksen Z-akselin ympäri ajassa T . Määritä kiekon kulmanopeuden lauseke välikoordinaatistossa. ! R 2π R Vastaus: ω = ± √ eη − eζ T R2 + r 2 r