RATKAISUT: 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
RATKAISUT: 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja
magneettikentässä
20.1 a) Sähkökenttä vaikuttaa varattuun hiukkaseen voimalla F = QE. Positiivisesti varatulle
hiukkaselle voiman suunta on sähkökentän suunta ja negatiivisesti varatulle hiukkaselle
kentän vastainen suunta.
b) Magneettikenttä vaikuttaa varattuun hiukkaseen voimalla, jonka suuruus on F =
QvB sin α . Voiman suunta on kohtisuorassa hiukkasen nopeutta vastaan.
c) Nopeudenvalitsimessa voidaan valita halutulla nopeudella etenevät varatut hiukkaset.
Nopeudenvalitsimen toiminta perustuu siihen, että toisiaan vastaan kohtisuorassa
olevien magneetti- ja sähkökentän aiheuttamat varattuun hiukkaseen kohdistuvat voimat
tasapainottavat toisensa. Hiukkasen liike on näin tasaista. Nopeusehto suoraviivaisesti
kulkeville hiukkasille on v =
E
.
B
d) Syklotronissa on kaksi onttoa D-kirjaimen muotoista metallikoteloa, jotka ovat suuren
sähkömagneetin napojen välissä homogeenisessa magneettikentässä. Kiihdytettävien
ionien lähde on laitteen keskellä D-kappaleiden välissä. Kiihdytyksen aikana Dkappaleet ovat tyhjiössä. D-kappaleiden välillä on suuritaajuinen vaihtojännite, joka saa
aikaan kappaleiden väliseen rakoon suunnaltaan jaksollisesti vaihtelevan homogeenisen
sähkökentän. Sähkökenttä kiihdyttää varattua hiukkasta aina, kun se on raossa.
Metallikotelon sisällä ei ole sähkökenttää, joten D-kappaleen sisällä hiukkaseen
kohdistuu vain magneettikentän aiheuttama voima.
20.2 Sähkökentän voimakkuus on E = 2,5
kN
.
C
a) Koska elektroni on tyhjiöputkessa, ainoa elektroniin vaikuttava
merkittävä on voima sähköinen voima.
Dynamiikan peruslain ΣF = ma mukaan
Fs = ma eli Qe E = ma,
josta saadaan kiihtyvyys
a=
Qe E
.
m
Sijoitetaan tunnetut arvot
1,602 ⋅10−19 C ⋅ 2,5 ⋅103 N
9,109 ⋅10−31kg
m
m
= 4,3968 ⋅1014 2 ≈ 4, 4 ⋅1014 2 .
s
s
a=
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
2(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
b) Työperiaatteen mukaan
W = ΔEk
Qe Es =
1 2
mv ,
2
josta saadaan nopeus
v=
2Qe Es
.
m
Sijoitetaan tunnetut arvot
v=
2 ⋅1,602 ⋅10−19 C ⋅ 2,5 ⋅103 N ⋅ 0,010 m
9,109 ⋅10 −31kg
= 2,9654 ⋅106
m
m
≈ 3, 0 ⋅106 .
s
s
Vastaus:
a) Elektronin kiihtyvyys on 4, 4 ⋅1014
b) Elektronin nopeus on 3, 0 ⋅106
m
.
s2
m
.
s
20.3 a) Hiukkaseen vaikuttaa sähkökentästä aiheutuva voima Fs = QE , joten se joutuu tasaisesti
kiihtyvään liikkeeseen. Koska hiukkasen varaus on positiivinen, kiihtyvyyden suunta on
sama kuin sähkökentän suunta.
b) Varattuun hiukkaseen vaikuttaa magneettikentässä voima Fm=QvBsin α. Koska
hiukkanen on paikoillaan, sen nopeus on nolla ja myös siihen vaikuttava voima on
nolla. Hiukkanen pysyy siten paikoillaan.
c) Hiukkasen vaikuttaa kentän suuntainen sähkökentästä aiheutuva voima Fs = QE , joten
hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä. Sen rata vastaa vinoa heittoliikettä.
d) Magneettikenttä ei aiheuta voimavaikutusta, sillä Fm=QvBsin α = 0, kun hiukkanen
liikkuu magneettikentän suunnassa. Tällöin α = 0° ja sin α = 0.
e) Varattuun hiukkaseen vaikuttava magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta
vastaan ja suuruudeltaan Fm=QvB. Hiukkanen joutuu ympyräliikkeeseen.
20.4 a) Protonin nopeus on v = 2,6·106 m/s, magneettivuon tiheys B = 3,8
mT ja levyjen välinen jännite U = 150 V. Levyjen välinen
välimatka on d = 35 mm.
Protoniin vaikuttaa magneettinen voima, jonka suuruus on
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
3(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
Fm = Qp vB
m
⋅ 3,8 ⋅ 10−3 T
s
=1,5828 ⋅10−15 N ≈ 16 ⋅10−16 N.
= 1, 602 ⋅10−19 C ⋅ 2,6 ⋅ 106
Magneettisen voiman suunta on kuvan hetkellä kohtisuoraan kohti positiivista levyä.
Protoniin vaikuttaa sähköinen voima, jonka suuruus on
Fs = Qp E
= Qp
U
d
= 1, 602 ⋅10−19 C ⋅
150 V
0,035 m
= 6,8657 ⋅10−16 N ≈ 6,9 ⋅10−16 N.
b) Kuvan tilanteessa kiihtyvyysvektorin suunta on magneettisen voiman suunta.
Kiihtyvyyden suuruus ja suunta kuitenkin muuttuvat, sillä kun nopeus kasvaa niin
magneettinen voima kasvaa, mutta sähköinen voima ei muutu.
Vastaus:
a) Voimien suuruudet ovat, magneettinen voima 16 ⋅10−16 N ja sähköinen voima
6,9 ⋅10−16 N.
20.5 a) Ionien massat ovat m39 = 39 u ja m41 = 41 u. Magneettivuon tiheys on B = 0,25 T ja
kiihdytysjännite U = 55 kV.
Työperiaatteen mukaan
W = ΔEk .
Sähkökentän tekemä työ on W = QU. Tästä saadaan
ΔEk = QU = 1e ⋅ 55 kV = 55 keV.
b) Ionien nopeus kiihdytyksen jälkeen saadaan liike-energian lausekkeesta
1 2
mv
2
2 Ek
v=
.
m
Ek =
Ionit kulkevat magneettikentässä ympyrärataa, kun niiden nopeus on kohtisuorassa
homogeenista magneettikenttää vastaan. Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma . Ainoa
ioneihin vaikuttava merkittävä voima on magneettikentästä aiheutuva voima, joten
QvB = m
v2
, josta ratkaistaan radan säde
r
r=
mv
. Sijoitetaan nopeuden lauseke
QB
r=
m 2 Ek
=
QB m
2mEk
QB
.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
4(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
Osumakohtien väli on kuviosta katsottuna
Δd = 2r41 − 2r39 = 2 ( r41 − r39 )
=
=
2 2 Ek
QB
(
m41 − m39
)
2 2 ⋅ 55 ⋅103 ⋅1,602 ⋅10−19 J
1,602 ⋅10−19 C ⋅ 0, 25 T
(
41 ⋅1, 66 ⋅10−27 kg − 39 ⋅1, 66 ⋅10−27 kg
)
= 0, 4271 ⋅10−2 m ≈ 43 mm.
Vastaus:
a) Liike-energia on 55 keV.
b) Välimatka on 43 mm.
20.6 Kiihdytysjännite on Up = 220 V.
Työperiaatteen mukaan
W = Δ Ek .
1 2
m
mv , sillä v0 = 0 . Tästä saadaan
2
s
2
mv
U=
.
2Q
QU =
Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma . Koska magneettikenttä on homogeeninen
ja hiukkaset tulevat kohtisuoraan sitä vastaan, saadaan
QvB = m
v=
v2
r
QBr
.
m
Yhdistämällä saadaan U =
QB 2 r 2
.
2m
Qe Br 2
Qe mp
U
2me
Täten e =
=
2
U p Qp Br
Qp me
2mp
Ue =
Qe mp
Q p me
Up =
1 e ⋅ 1,673 ⋅ 10−27 kg
⋅ 220 V= 4.0406 ⋅105 V ≈ 0, 40 MV.
−31
1 e ⋅ 9,109 ⋅ 10 kg
Vastaus: Elektronit on kiihdytettävä 0,40 MV:n jännitteellä.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
5(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
20.7 Kiihdytysjännite on U1 = 1, 2 kV ja levyjen välinen välimatka d = 8, 0 mm ja
pituus L = 34 mm. Suihkun suunnanpoikkeama on
α =12D .
Elektronien liike on vaakatasossa tasaista ja pystytasossa tasaisesti kiihtyvää.
Kiihtyvyyden aiheuttaa sähkökentästä aiheutuva elektroniin vaikuttava sähköinen
voima.
Ratkaistaan sähkökentän voimakkuus.
Dynamiikan peruslain mukaan
Fs = ma
Qe E = ma, josta saadaan kiihtyvyys
Qe E
.
m
a=
Koska vaakasuorassa liike on tasaista, saadaan läpimenoajaksi
t=
L
.
v0
Nopeuden komponenteille saadaan
vx = v0
vy = at =
Qe E
Q EL
t= e .
m
mv0
Kuvasta nähdään, että
tan α =
vy
vx
=
vy
v0
vy = v0 tan α .
Sijoitetaan tämä ja ratkaistaan sähkökentän voimakkuus
E=
mv02 tan α
.
QL
Työperiaatteen mukaan
W = ΔEk
1 2
mv0 , josta saadaan
2
mv02 = 2QU1 .
QU1 =
Sijoitetaan tämä sähkökentän voimakkuuden lausekkeeseen, jolloin saadaan
E=
2U1 tan α
. Koska U = Ed, saadaan
L
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
6(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
2U1d tan α
L
2 ⋅1 200 V ⋅ 0,0080 m ⋅ tan 12D
=
`0,034 m
= 120, 0319 V ≈ 120 V.
U=
Vastaus: Jännite on 120 V.
20.8 a) Laite A on ionilähde, jossa tutkittava aine ionisoidaan. Ainoastaan varattuja hiukkasia
voidaan kiihdyttää ja ohjata magneettikentissä ja sähkökentissä.
Kiihdytetyt ionit ovat yleensä positiivisia ja kentät on valittu tämän ehdon mukaisiksi
kuvassa.
B on kiihdyttävä sähkökenttä E . Ionin kiihdyttämisen seurauksena sille saadaan tietty
nopeus ja liike-energia.
C on nopeudenvalitsin. Varattuun hiukkaseen vaikuttavat voimat ovat siinä
vastakkaissuuntaiset. Saadaan nopeusehto v =
E1
.
B1
D on homogeeninen magneettikenttä joka saa siihen kohtisuorasti tulevat
varatut hiukkaset ympyräradalle. Radan säde riippuu ionin massasta.
E on kohtiolevy johon ionit jättävät osuessaan jäljen. Levy voi olla
esimerkiksi valokuvauslevy.
b) Välimatka on Δd = 10, 2 mm , sähkökentänvoimakkuus on E = 28, 6
kV
ja
m
magneettivuontiheys B1 = 0,110 T .
Nopeudenvalitsimessa ionit etenevät suoraan, jos magneettisen voiman ja sähköisen
voiman suuruudet ovat samat. Siten dynamiikan peruslain mukaan ∑ F = ma , jossa
a=0
m
.
s2
Saadaan
Fm − Fs = 0
QvB1 = QE1
josta
v=
E1
.
B1
Analysoivassa magneettikentässä on dynamiikan peruslain mukaan
Fm 2 = ma .
Skalaariyhtälönä
QvB2 = m
v2
,
r
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
7(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
josta ionien ympyräradan säteeksi saadaan
r=
mv
.
QB2
Osumakohtien etäisyys
Δd = 2(r2 − r1 ) = 2Δr
=
2vm2 2vm1
2 E Δm
2v
−
=
Δm = 1
QB2 QB2 QB2
QB1 B2
josta
V
⋅1, 66 ⋅10−27 kg
2 ⋅ 28, 6 ⋅103
2 E1Δm
m
=
B2 =
QB1Δd 1, 602 ⋅10−19 C ⋅ 0,110 T ⋅ 0,0102 m
= 0,5283 T ≈ 0,528 T.
Vastaus: b) Magneettivuontiheys on 0,528 T.
20.9 Metallilevyjen välinen jännite on U = 580 V. Elektronien nopeus on v = 26·106
m/s ja levyjen väli d = 18 mm.
Levyjen välissä elektroniin vaikuttaa sähkökentästä aiheutuva sähköinen voima Fs .
Koska sähkökenttä on homogeeninen, voiman suuruus on vakio.
Fs = QE = Q
U
.
d
Koska ainoa merkittävä elektroniin vaikuttava voima on Fs , vaakasuunnassa liike
on tasaista ja pystysuunnassa tasaisesti kiihtyvää. Dynamiikan peruslain mukaan
Fs = ma
QU
= ma, joten
d
QU
.
a=
dm
v0y = 0, joten
r=
t=
1 2
at
2
2r
=
a
d
=
a
L = v0 t = v0 d
d 2m
QU
m
QU
Sijoitetaan annetut lukuarvot
L = 26 ⋅106
m
9,11 ⋅10−31kg
⋅18 ⋅10−3 m
s
1,602 ⋅10 −19 C ⋅ 580 V
= 0, 0463 m ≈ 46 mm.
Vastaus: Levyjen pituus voi olla korkeintaan 46 mm.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
20.10 a)
1. painos
8(8)
20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
Syklotronin taajuus on f = 19,1 MHz ja D-kappaleiden säde on r = 35 cm.
Protoneihin vaikuttaa magneettinen voima Fm = Qp vB, jossa Qp on protonin varaus, v on
sen nopeus ja B magneettivuon tiheys. Voima on kohtisuorassa nopeusvektoria vastaan,
joten se kaareuttaa protonien rataa, mutta ei muuta protonien vauhtia eli ratanopeutta.
Dynamiikan peruslain ΣF = ma mukaan protonien liikeyhtälö on tällöin
Fm = man
Qp vB = m
v2
,
r
josta saadaan magneettivuon tiheydelle lauseke
B=
mv
.
Qp r
Jotta protonit kiihtyisivät syklotronissa, vaihtojännitteen taajuuden on oltava sama kuin
protonien kierrostaajuus
f =
ω
2π
.
v
r
Koska kulmanopeus on ω = 2π f = , saadaan ratanopeudelle lauseke
v =2πfr. Sijoittamalla protonien ratanopeuden lauseke magneettivuon tiheyden
lausekkeeseen saadaan
B=
2π frm 2π fm
=
.
Qp r
Qp
Sijoitetaan tunnetut arvot, jolloin saadaan
2π ⋅ 19,1 ⋅106 Hz ⋅1,673 ⋅ 10−27 kg
1, 602 ⋅ 10−19 As
= 1, 2533 T ≈ 1,25 T.
B=
b) Protonin ratanopeus syklotronissa on
v = ω r = 2π fr , joten protonien nopeus on suurin, kun radan säde on suurin
vmax = 2π ⋅ 19,1 ⋅106
= 4,2003 ⋅107
1
⋅ 0,35 m
s
m
m
≈ 4, 20 ⋅107 .
s
s
Protonin maksimiliike-energia on siten
Ekmax =
1 2
mv max
2
1
m⎞
⎛
⋅1,673 ⋅ 10−27 kg ⋅ ⎜ 4,20003 ⋅107 ⎟
2
s ⎠
⎝
−12
−12
= 1, 4758 ⋅10 J ≈ 1,5 ⋅10 J.
2
=
Vastaus:
a) Magneettivuon tiheys on 1,25 T. b) Protonin energia on 1,5 ⋅10−12 J .
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät