Physica 9 RATKAISUT 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä RATKAISUT: 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä 20.1 a) Sähkökenttä vaikuttaa varattuun hiukkaseen voimalla F = QE. Positiivisesti varatulle hiukkaselle voiman suunta on sähkökentän suunta ja negatiivisesti varatulle hiukkaselle kentän vastainen suunta. b) Magneettikenttä vaikuttaa varattuun hiukkaseen voimalla, jonka suuruus on F = QvB sin α . Voiman suunta on kohtisuorassa hiukkasen nopeutta vastaan. c) Nopeudenvalitsimessa voidaan valita halutulla nopeudella etenevät varatut hiukkaset. Nopeudenvalitsimen toiminta perustuu siihen, että toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien magneetti- ja sähkökentän aiheuttamat varattuun hiukkaseen kohdistuvat voimat tasapainottavat toisensa. Hiukkasen liike on näin tasaista. Nopeusehto suoraviivaisesti kulkeville hiukkasille on v = E . B d) Syklotronissa on kaksi onttoa D-kirjaimen muotoista metallikoteloa, jotka ovat suuren sähkömagneetin napojen välissä homogeenisessa magneettikentässä. Kiihdytettävien ionien lähde on laitteen keskellä D-kappaleiden välissä. Kiihdytyksen aikana Dkappaleet ovat tyhjiössä. D-kappaleiden välillä on suuritaajuinen vaihtojännite, joka saa aikaan kappaleiden väliseen rakoon suunnaltaan jaksollisesti vaihtelevan homogeenisen sähkökentän. Sähkökenttä kiihdyttää varattua hiukkasta aina, kun se on raossa. Metallikotelon sisällä ei ole sähkökenttää, joten D-kappaleen sisällä hiukkaseen kohdistuu vain magneettikentän aiheuttama voima. 20.2 Sähkökentän voimakkuus on E = 2,5 kN . C a) Koska elektroni on tyhjiöputkessa, ainoa elektroniin vaikuttava merkittävä on voima sähköinen voima. Dynamiikan peruslain ΣF = ma mukaan Fs = ma eli Qe E = ma, josta saadaan kiihtyvyys a= Qe E . m Sijoitetaan tunnetut arvot 1,602 ⋅10−19 C ⋅ 2,5 ⋅103 N 9,109 ⋅10−31kg m m = 4,3968 ⋅1014 2 ≈ 4, 4 ⋅1014 2 . s s a= © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 2(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä b) Työperiaatteen mukaan W = ΔEk Qe Es = 1 2 mv , 2 josta saadaan nopeus v= 2Qe Es . m Sijoitetaan tunnetut arvot v= 2 ⋅1,602 ⋅10−19 C ⋅ 2,5 ⋅103 N ⋅ 0,010 m 9,109 ⋅10 −31kg = 2,9654 ⋅106 m m ≈ 3, 0 ⋅106 . s s Vastaus: a) Elektronin kiihtyvyys on 4, 4 ⋅1014 b) Elektronin nopeus on 3, 0 ⋅106 m . s2 m . s 20.3 a) Hiukkaseen vaikuttaa sähkökentästä aiheutuva voima Fs = QE , joten se joutuu tasaisesti kiihtyvään liikkeeseen. Koska hiukkasen varaus on positiivinen, kiihtyvyyden suunta on sama kuin sähkökentän suunta. b) Varattuun hiukkaseen vaikuttaa magneettikentässä voima Fm=QvBsin α. Koska hiukkanen on paikoillaan, sen nopeus on nolla ja myös siihen vaikuttava voima on nolla. Hiukkanen pysyy siten paikoillaan. c) Hiukkasen vaikuttaa kentän suuntainen sähkökentästä aiheutuva voima Fs = QE , joten hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä. Sen rata vastaa vinoa heittoliikettä. d) Magneettikenttä ei aiheuta voimavaikutusta, sillä Fm=QvBsin α = 0, kun hiukkanen liikkuu magneettikentän suunnassa. Tällöin α = 0° ja sin α = 0. e) Varattuun hiukkaseen vaikuttava magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan ja suuruudeltaan Fm=QvB. Hiukkanen joutuu ympyräliikkeeseen. 20.4 a) Protonin nopeus on v = 2,6·106 m/s, magneettivuon tiheys B = 3,8 mT ja levyjen välinen jännite U = 150 V. Levyjen välinen välimatka on d = 35 mm. Protoniin vaikuttaa magneettinen voima, jonka suuruus on © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 3(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Fm = Qp vB m ⋅ 3,8 ⋅ 10−3 T s =1,5828 ⋅10−15 N ≈ 16 ⋅10−16 N. = 1, 602 ⋅10−19 C ⋅ 2,6 ⋅ 106 Magneettisen voiman suunta on kuvan hetkellä kohtisuoraan kohti positiivista levyä. Protoniin vaikuttaa sähköinen voima, jonka suuruus on Fs = Qp E = Qp U d = 1, 602 ⋅10−19 C ⋅ 150 V 0,035 m = 6,8657 ⋅10−16 N ≈ 6,9 ⋅10−16 N. b) Kuvan tilanteessa kiihtyvyysvektorin suunta on magneettisen voiman suunta. Kiihtyvyyden suuruus ja suunta kuitenkin muuttuvat, sillä kun nopeus kasvaa niin magneettinen voima kasvaa, mutta sähköinen voima ei muutu. Vastaus: a) Voimien suuruudet ovat, magneettinen voima 16 ⋅10−16 N ja sähköinen voima 6,9 ⋅10−16 N. 20.5 a) Ionien massat ovat m39 = 39 u ja m41 = 41 u. Magneettivuon tiheys on B = 0,25 T ja kiihdytysjännite U = 55 kV. Työperiaatteen mukaan W = ΔEk . Sähkökentän tekemä työ on W = QU. Tästä saadaan ΔEk = QU = 1e ⋅ 55 kV = 55 keV. b) Ionien nopeus kiihdytyksen jälkeen saadaan liike-energian lausekkeesta 1 2 mv 2 2 Ek v= . m Ek = Ionit kulkevat magneettikentässä ympyrärataa, kun niiden nopeus on kohtisuorassa homogeenista magneettikenttää vastaan. Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma . Ainoa ioneihin vaikuttava merkittävä voima on magneettikentästä aiheutuva voima, joten QvB = m v2 , josta ratkaistaan radan säde r r= mv . Sijoitetaan nopeuden lauseke QB r= m 2 Ek = QB m 2mEk QB . © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 4(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Osumakohtien väli on kuviosta katsottuna Δd = 2r41 − 2r39 = 2 ( r41 − r39 ) = = 2 2 Ek QB ( m41 − m39 ) 2 2 ⋅ 55 ⋅103 ⋅1,602 ⋅10−19 J 1,602 ⋅10−19 C ⋅ 0, 25 T ( 41 ⋅1, 66 ⋅10−27 kg − 39 ⋅1, 66 ⋅10−27 kg ) = 0, 4271 ⋅10−2 m ≈ 43 mm. Vastaus: a) Liike-energia on 55 keV. b) Välimatka on 43 mm. 20.6 Kiihdytysjännite on Up = 220 V. Työperiaatteen mukaan W = Δ Ek . 1 2 m mv , sillä v0 = 0 . Tästä saadaan 2 s 2 mv U= . 2Q QU = Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma . Koska magneettikenttä on homogeeninen ja hiukkaset tulevat kohtisuoraan sitä vastaan, saadaan QvB = m v= v2 r QBr . m Yhdistämällä saadaan U = QB 2 r 2 . 2m Qe Br 2 Qe mp U 2me Täten e = = 2 U p Qp Br Qp me 2mp Ue = Qe mp Q p me Up = 1 e ⋅ 1,673 ⋅ 10−27 kg ⋅ 220 V= 4.0406 ⋅105 V ≈ 0, 40 MV. −31 1 e ⋅ 9,109 ⋅ 10 kg Vastaus: Elektronit on kiihdytettävä 0,40 MV:n jännitteellä. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 5(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä 20.7 Kiihdytysjännite on U1 = 1, 2 kV ja levyjen välinen välimatka d = 8, 0 mm ja pituus L = 34 mm. Suihkun suunnanpoikkeama on α =12D . Elektronien liike on vaakatasossa tasaista ja pystytasossa tasaisesti kiihtyvää. Kiihtyvyyden aiheuttaa sähkökentästä aiheutuva elektroniin vaikuttava sähköinen voima. Ratkaistaan sähkökentän voimakkuus. Dynamiikan peruslain mukaan Fs = ma Qe E = ma, josta saadaan kiihtyvyys Qe E . m a= Koska vaakasuorassa liike on tasaista, saadaan läpimenoajaksi t= L . v0 Nopeuden komponenteille saadaan vx = v0 vy = at = Qe E Q EL t= e . m mv0 Kuvasta nähdään, että tan α = vy vx = vy v0 vy = v0 tan α . Sijoitetaan tämä ja ratkaistaan sähkökentän voimakkuus E= mv02 tan α . QL Työperiaatteen mukaan W = ΔEk 1 2 mv0 , josta saadaan 2 mv02 = 2QU1 . QU1 = Sijoitetaan tämä sähkökentän voimakkuuden lausekkeeseen, jolloin saadaan E= 2U1 tan α . Koska U = Ed, saadaan L © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 6(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä 2U1d tan α L 2 ⋅1 200 V ⋅ 0,0080 m ⋅ tan 12D = `0,034 m = 120, 0319 V ≈ 120 V. U= Vastaus: Jännite on 120 V. 20.8 a) Laite A on ionilähde, jossa tutkittava aine ionisoidaan. Ainoastaan varattuja hiukkasia voidaan kiihdyttää ja ohjata magneettikentissä ja sähkökentissä. Kiihdytetyt ionit ovat yleensä positiivisia ja kentät on valittu tämän ehdon mukaisiksi kuvassa. B on kiihdyttävä sähkökenttä E . Ionin kiihdyttämisen seurauksena sille saadaan tietty nopeus ja liike-energia. C on nopeudenvalitsin. Varattuun hiukkaseen vaikuttavat voimat ovat siinä vastakkaissuuntaiset. Saadaan nopeusehto v = E1 . B1 D on homogeeninen magneettikenttä joka saa siihen kohtisuorasti tulevat varatut hiukkaset ympyräradalle. Radan säde riippuu ionin massasta. E on kohtiolevy johon ionit jättävät osuessaan jäljen. Levy voi olla esimerkiksi valokuvauslevy. b) Välimatka on Δd = 10, 2 mm , sähkökentänvoimakkuus on E = 28, 6 kV ja m magneettivuontiheys B1 = 0,110 T . Nopeudenvalitsimessa ionit etenevät suoraan, jos magneettisen voiman ja sähköisen voiman suuruudet ovat samat. Siten dynamiikan peruslain mukaan ∑ F = ma , jossa a=0 m . s2 Saadaan Fm − Fs = 0 QvB1 = QE1 josta v= E1 . B1 Analysoivassa magneettikentässä on dynamiikan peruslain mukaan Fm 2 = ma . Skalaariyhtälönä QvB2 = m v2 , r © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 7(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä josta ionien ympyräradan säteeksi saadaan r= mv . QB2 Osumakohtien etäisyys Δd = 2(r2 − r1 ) = 2Δr = 2vm2 2vm1 2 E Δm 2v − = Δm = 1 QB2 QB2 QB2 QB1 B2 josta V ⋅1, 66 ⋅10−27 kg 2 ⋅ 28, 6 ⋅103 2 E1Δm m = B2 = QB1Δd 1, 602 ⋅10−19 C ⋅ 0,110 T ⋅ 0,0102 m = 0,5283 T ≈ 0,528 T. Vastaus: b) Magneettivuontiheys on 0,528 T. 20.9 Metallilevyjen välinen jännite on U = 580 V. Elektronien nopeus on v = 26·106 m/s ja levyjen väli d = 18 mm. Levyjen välissä elektroniin vaikuttaa sähkökentästä aiheutuva sähköinen voima Fs . Koska sähkökenttä on homogeeninen, voiman suuruus on vakio. Fs = QE = Q U . d Koska ainoa merkittävä elektroniin vaikuttava voima on Fs , vaakasuunnassa liike on tasaista ja pystysuunnassa tasaisesti kiihtyvää. Dynamiikan peruslain mukaan Fs = ma QU = ma, joten d QU . a= dm v0y = 0, joten r= t= 1 2 at 2 2r = a d = a L = v0 t = v0 d d 2m QU m QU Sijoitetaan annetut lukuarvot L = 26 ⋅106 m 9,11 ⋅10−31kg ⋅18 ⋅10−3 m s 1,602 ⋅10 −19 C ⋅ 580 V = 0, 0463 m ≈ 46 mm. Vastaus: Levyjen pituus voi olla korkeintaan 46 mm. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 20.10 a) 1. painos 8(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Syklotronin taajuus on f = 19,1 MHz ja D-kappaleiden säde on r = 35 cm. Protoneihin vaikuttaa magneettinen voima Fm = Qp vB, jossa Qp on protonin varaus, v on sen nopeus ja B magneettivuon tiheys. Voima on kohtisuorassa nopeusvektoria vastaan, joten se kaareuttaa protonien rataa, mutta ei muuta protonien vauhtia eli ratanopeutta. Dynamiikan peruslain ΣF = ma mukaan protonien liikeyhtälö on tällöin Fm = man Qp vB = m v2 , r josta saadaan magneettivuon tiheydelle lauseke B= mv . Qp r Jotta protonit kiihtyisivät syklotronissa, vaihtojännitteen taajuuden on oltava sama kuin protonien kierrostaajuus f = ω 2π . v r Koska kulmanopeus on ω = 2π f = , saadaan ratanopeudelle lauseke v =2πfr. Sijoittamalla protonien ratanopeuden lauseke magneettivuon tiheyden lausekkeeseen saadaan B= 2π frm 2π fm = . Qp r Qp Sijoitetaan tunnetut arvot, jolloin saadaan 2π ⋅ 19,1 ⋅106 Hz ⋅1,673 ⋅ 10−27 kg 1, 602 ⋅ 10−19 As = 1, 2533 T ≈ 1,25 T. B= b) Protonin ratanopeus syklotronissa on v = ω r = 2π fr , joten protonien nopeus on suurin, kun radan säde on suurin vmax = 2π ⋅ 19,1 ⋅106 = 4,2003 ⋅107 1 ⋅ 0,35 m s m m ≈ 4, 20 ⋅107 . s s Protonin maksimiliike-energia on siten Ekmax = 1 2 mv max 2 1 m⎞ ⎛ ⋅1,673 ⋅ 10−27 kg ⋅ ⎜ 4,20003 ⋅107 ⎟ 2 s ⎠ ⎝ −12 −12 = 1, 4758 ⋅10 J ≈ 1,5 ⋅10 J. 2 = Vastaus: a) Magneettivuon tiheys on 1,25 T. b) Protonin energia on 1,5 ⋅10−12 J . © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät