1. No category

1. Useamman muuttujan funktiot
ja toisen kertaluvun
∂2g
∂x2
∂2g
∂y∂x
∂2g
∂x∂y
∂2g
∂y 2
1.1 Osittaisderivaatat
Tarkastellaan esimerkkinä sähkökentässä liikkuvaa
varattua hiukkasta. Jos kentän voimakkuus riippuu
paikasta, hiukkasen potentiaalienergiakin riippuu
hiukkasen paikasta kolmiulotteisessa avaruudessa,
koordinaateista x, y ja z. Hiukkasen energiaa w voisi
kuvata useamman muuttujan funktio
w = w(x, y, z).
Kysymykseen, mikä on energian muutos kun hiukkasen
x-koordinaatti muuttuu hieman, antaa vastauksen
osittaisderivaatta ∂w
∂x :
∂w
w(x + ∆x, y, z) − w(x, y, z)
= lim
.
∆x→0
∂x
∆x
∂
(3x2 + 14xy) = 6x + 14y
∂x
∂
(3x2 + 14xy) = 14x
∂y
∂
(7x2 − 3y 2 ) = 14x
∂x
∂
(7x2 − 3y 2 ) = −6y.
∂y
=
=
=
=
Nähdään mm. että
∂2g
∂x∂y
=
∂2g
∂y∂x ,
kuten pitääkin.
Osittaisderivaattoja merkitään joskus myös kirjoittamalla
alaindeksiksi muuttujat, joiden suhteen on derivoitu. Esim.
gy =
(1.1)
∂2g
∂g
∂2g
, gxx =
, jne.
, gxy =
∂y
∂x∂y
∂x2
Energian muutos kun on kirjoitettavissa muotoon
∆w ≈
Kokonaisdifferentiaali
∂w
∆x.
∂x
Tarkastellaan useamman muuttujan funktiota
f (x1 , x2 , . . . , xn ) Muuttujien variaatiosta aiheutuva
funktion muutos on
Vastaavasti määritellään osittaisderivaatat funktion
muidenkin muuttujien suhteen.
Funktion osittaisderivaatta jonkin muuttujan suhteen
saadaan siis derivoimalla funktio tämän muuttujan
suhteen pitäen muita muuttujia vakioina.
Mikäli osittaisderivaatat ovat edelleen muuttujiensa
derivoituvia funktioita, voidaan laskea korkeampia
derivaattoja. Jos esimerkiksi ∂w
∂x on muuttujien x, y ja z
derivoituva funktio, voimme konstruoida mm.
osittaisderivaatat
∂2w
∂2w
∂ ∂w
=
=
∂x∂x
∂x ∂x
∂x2
∂ ∂w
∂2w
=
.
∂y∂x
∂y ∂x
∆f ≈
df =
3x2 + 14xy
=
7x2 − 3y 2
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 + · · · +
dxn .
∂x1
∂x2
∂xn
(1.3)
Suuretta df sanotaan kokonaisdifferentiaaliksi.
Miksi summa?
Tehtävänä on laskea
∆f = f (x + ∆x, y + ∆y, z, . . .) − f (x, y, z, . . .).
Siirrytään ensin pisteeseen (x + ∆x, y, z, . . .), missä
f (x + ∆x, y, z, . . .) ≈ f (x, y, z, . . .) +
∂f (x, y, z, . . .)
∆x.
∂x
Jatketaan tästä pisteeseen (x + ∆x, y + ∆y, z, . . .), missä tällä
kertaa
f (x + ∆x, y + ∆y, z, . . .)
Osittaisderivaatan kertaluku kertoo, kuinka monta kertaa
funktiota on derivoitu.
Esim. Funktion g(x, y) = x3 + 7x2 y − y 3
osittaisderivaatat toiseen kertalukuun saakka
Ensimmäisen kertaluvun derivaatat ovat
=
(1.2)
Tämä relaatio saadaan tarkaksi infinitesimaalisella rajalla
∆xi → 0. Tällöin kirjoitetaan
Jos funktio ja sen osittaisderivaatat ovat riittävän
”pehmeitä”(useimmissa fysikaalisissa probleemoissa ne
ovat) sekaderivaatoissa ei derivointijärjestyksellä ole
merkitystä, ts.
∂2w
∂2w
=
.
∂x∂y
∂y∂x
∂g
∂x
∂g
∂y
∂f
∂f
∂f
∆x1 +
∆x2 + · · · +
∆xn .
∂x1
∂x2
∂xn
≈
f (x + ∆x, y, z, . . .)
∂f (x + ∆x, y, z, . . .)
+
∆y.
∂y
Nyt
∂f (x + ∆x, y, z, . . .)
∆y
∂y
∂
∂f (x, y, z, . . .)
f (x, y, z, . . .) +
∆x ∆y
≈
∂y
∂x
=
1
∂f (x, y, z, . . .)
∂ 2 f (x, y, z, . . .)
∆y +
∆x ∆y.
∂y
∂y∂x
eksplisiittisesti ajasta. Ketjusäännön (??) mukaan
x-koordinaattiin liittyvä muutos on tällöin
Koska variaatiot ∆x, ∆y, . . . ovat pieniä, ovat niiden tulot sitäkin
pienempiä. Infinitesimaalisella rajalla kvadraattiset termit
dx2 , dx dy, . . . häviävät kokonaan verrattuna lineaarisiin termeihin.
Siksi voimme kirjoittaa
∂w ∂x
∆t.
∂x ∂t
∂f (x, y, z, . . .)
∂f (x + ∆x, y, z, . . .)
∆y ≈
∆y,
∂y
∂y
Jos x ei riipu ajan lisäksi muista muuttujista, voidaan
osittaisderivaatta ∂x
∂t korvata tavallisella derivaatalla
.
dx
x.
=
Muihin
muuttujiin
liittyvät vastaavat lausekkeet.
dt
Kun vielä otetaan huomioon eksplisiittinen
aikariippuvuus päädytään muutokseen
jolloin
f (x + ∆x, y + ∆y, z, . . .)
≈
f (x, y, z, . . .)
∂f (x, y, z, . . .)
+
∆x
∂x
∂f (x, y, z, . . .)
+
∆y.
∂y
∆w ≈
Käsittelemällä samoin loputkin muuttujat päädymme
summalausekkeseen (1.2) ja siitä edelleen kokonaisdifferentiaaliin
(1.3).
Tämä saadaan jälleen eksaktiksi siirtymällä
infinitesimaaliselle rajalle:
∂w . ∂w . ∂w . ∂w
y+
x+
z+
dt.
dw =
∂x
∂y
∂z
∂t
Esim. Sylinterin tilavuuden mittaus
Määrätään sylinterin tilavuus mittaamalla sen korkeus h
ja pohjan halkaisija d. Tilavuus on silloin
V =
1 2
πd h.
4
”Jakamalla”puolittain differentiaalilla dt päädymme
kokonaisderivaataksi kutsuttuun lausekkeeseen
∂w . ∂w . ∂w . ∂w
dw
y+
x+
z+
=
.
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
Mikään mittaus ei ole absoluuttisen tarkka. Arvioidaan
nyt, että halkaisijan mittauksessa virhe on
suuruusluokkaa |∆d| ja vastaavasti korkeuden
mittauksessa suuruusluokkaa |∆h|. Näistä mittausten
epätarkkuuksista aiheutuu tilavuuteen virhe
∆V
≈
=
Itse asiassa kokonaisderivaatta on aivan tavallinen
derivaatta. Jos nimittäin sijoitamme funktioon
w = w(x, y, z, t)
∂V
∂V
∆d +
∆h
∂d
∂h
1
1
πdh ∆d + πd2 ∆h.
2
4
koordinaattifunktiot
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Poikkeamat ∆d ja ∆h voivat olla positiivisia tai
negatiivisia. Arvioitaessa varman päälle valitaan merkit
siten, että termit ovat positiivisia eli
|∆V |max
∂w .
∂w .
∂w
∂w .
y ∆t +
x ∆t +
z ∆t +
∆t.
∂x
∂y
∂z
∂t
päädymme vain ajasta riippuvaan funktioon. Merkitään
tätä funktiota kuten
g(t) = w(x(t), y(t), z(t), t).
1
1
≈ πdh|∆d| + πd2 |∆h|.
2
4
Kokonaisderivaatta dw
dt ja funktion g tavallinen
yhtyvät,
ts.
aikaderivaatta dg
dt
Koska virheet tahtovat olla sitä suurempia mitä
suurempia ovat mitattavat suureet, relevantimpi
epätarkkuuden mitta on suhteellinen virhe
∆V 1
|∆d| |∆h|
= 1 2 |∆V |max ≈ 2
+
.
V d
h
d
h
max
4
dg
∂w . ∂w . ∂w . ∂w
y+
x+
z+
=
.
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
Esim. Funktion f (x, y, t) = sin(xy 2 + 2t)
kokonaisderivaatta, kun x(t) = t ja y(t) = cos. t
.
Koordinaattien aikaderivaatat ovat x = 1 ja y = − sin t,
joten kokonaisderivaatta on
Ajatellaan nyt, että aikaisemmassa esimerkissämme
sähkökentän voimakkuutta vaihdellaan ajan funktiona.
Hiukkasen energia riippuu nyt siis myös ajasta t:
df
=
dt
∂f . ∂f . ∂f
y+
x+
∂x
∂y
∂t
.
.
= y 2 cos(xy 2 + 2t) x + 2xy cos(xy 2 + 2t) y
w = w(x, y, z, t).
=
Vastaus kysymykseen, mikä on energian muutos
aikavälillä ∆t, on hieman monimutkaisempi. Hiukkasen
paikka näet muuttuu myös ajan myötä, ts. x = x(t),
y = y(t) ja z = z(t), sen lisäksi että energia riippuu
+2 cos(xy 2 + 2t)
= cos(t cos2 t + 2t) cos2 t − 2t sin t cos t + 2 .
2
Käytännössä implisiittinen derivaatta muodostetaan
usein suoraviivaisemmin. Olkoon
Toisaalta voidaan kirjoittaa
f (x, y, t) = sin(xy 2 + 2t) = sin(t cos2 t + 2t) = g(t).
f (x, y) = c
Funktion g derivaatta on
muuttujia x ja y toisiinsa sitova ehto. Oletetaan,
muuttuja y on ratkaistavissa muuttujan x funktiona, ts.
y = y(x). Sijoittamalla tämä saadaan
dg
= cos(t cos2 t + 2t) cos2 t − 2t sin t cos t + 2 ,
dt
mikä on sama kuin kokonaisderivaatta.
f (x, y(x)) = c.
Implisiittinen derivointi
Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f (x, y) ja
Derivointi muuttujan x suhteen yhtälön vasemmalla
yhtälöä
puolella antaa
f (x, y) = c,
(1.4)
∂f (x, y(x)) ∂f (x, y(x)) dy(x)
df (x, y(x))
=
+
missä c on vakio. Periaatteessa tästä yhtälöstä voitaisiin
dx
∂x
∂y
dx
(ehkä) ratkaista muuttuja y. Tämä ratkaisu riippuisi
tietenkin muuttujasta x. Voimme siis ajatella, että yhtälö ja oikealla puolen
(1.4) määrää implisiittisesti funktion y(x).
dc
Funktion f (kokonais)differentiaali on
= 0 (c vakio),
dx
∂f
∂f
dx +
dy.
df =
joten
∂x
∂y
∂f (x, y) ∂f (x, y) dy
+
= 0.
∂x
∂y dx
Jos halutaan yhtälön (1.4) olevan voimassa, täytyy myös
differentiaalien noudattaa sitä, ts. täytyy olla
Tämä johtaa aikaisempaan derivaatan lausekkeeseemme
(1.5).
df = dc.
Esim. Muodosta implisiittisesti derivaatta
yhtälöstä
sin(xy) + y = x
Voitaisiin kirjoittaa vaikkapa f (x, y) = sin(xy) + y − x,
jolloin olisi f (x, y) = 0. Toisaalta muotoa p(x, y) = q(x, y)
olevien yhtälöiden kanssa voimme edetä
suoraviivaisemmin ja yksinkertaisesti derivoida yhtälöt
molemmin puolin. Tässä tapauksessa siis
d
dy
dy
(sin(xy) + y) = cos(xy) y + x
+
dx
dx
dx
Vakion differentiaali on nolla, joten saamme yhtälön
∂f
∂f
dx +
dy = 0.
∂x
∂y
”Jakamalla”differentiaalilla dx saamme
∂f
∂f dy
+
=0
∂x
∂y dx
ja funktion y derivaataksi niin ollen
ja
d
x = 1.
dx
Hieman ryhmittäen voidaan kirjoittaa
∂f
dy
∂x
= − ∂f
.
dx
∂y
(1.5)
Tämä derivaatan muodostustapa tunnetaan
implisiittisenä derivointina.
Esim. Yksikköympyrän tangentti
Olkoon nyt f (x, y) = x2 + y 2 . Silloin origokeskisen
yksikköympyrän yhtälö on
(1 + x cos(xy))
1 − y cos(xy)
dy
=
.
dx
1 + x cos(xy)
Ympyrän kehällä derivaatta on
dy
=−
dx
dy
= 1 − y cos(xy),
dx
josta saamme derivaataksi
x2 + y 2 = f (x, y) = 1.
∂f
∂x
∂f
∂y
dy
dx
On helppo todeta, että kaava (1.5) johtaa samaan
lausekkeeseen.
x
=− .
y
Tulos on helppo tarkistaa derivoimalla ympyrän yhtälöstä
ratkaistu y muuttujan x suhteen.
3