Download Report

Propositio- ja predikaattilogiikka, ylimääräisiä harjoitustehtäviä
Aloitetaan tämä kurssi ylimääräisillä lisätehtävillä. Nämä tehtävät ovat nimensä mukaisesti ylimääräisiä eli niitä ei käsitellä demoissa eikä ratkaisuja julkaista, vaan tehtävät on tarkoitettu ihan vain yleisesti mietittäviksi. Osa näistä on
melko vaikeita, osa helpompia – varsinkin tuossa jäljempänä olevat rehti-retkutehtävät ovat aika yksinkertaisia. Näitä ylimääräisiä tehtäviä tulee esiintymään
myöhemminkin. Varsinaiset demoissa käsiteltävät tehtävät erottaa numeroinnista: niiden tunnuksena on kaksinumeroinen koodi, esim. 4.3, kun taas ylimääräisten tehtävien koodi on esim. Y3.
Aloitetaan alakoululaisille muotoillulla tehtävällä.
Y1. Alakoulun opettaja on valinnut kaksi kokonaislukua x ja y, 2 ≤ x, y ≤ 100,
ja antanut kahdelle oppilaalle, Maijalle ja Matille, luvut xy ja x + y, Maijalle
luvun xy ja Matille luvun x + y. Maija ja Matti tapaavat. Maija sanoo: ”Tiedän
luvun xy, mutta en osaa päätellä lukuja x ja y.” Matti vastaa: ”Tiesin tuon.”
Tähän Maija: ”Nyt tiedän luvut x ja y.” Matti ilmoittaa: ”Niin minäkin.”
Mitkä ovat luvut x ja y?
Tämä on kohtalaisen vaikea ratkaistava, joten lupaan ensimmäiselle oikean ratkaisun esittäjälle pari hyvityspistettä tenttiin.
Ohje: On ensinnäkin hämmästyttävää, että näin vähäisestä informaatiosta voi
ulkopuolinen tarkkailija todellakin päätellä kyseiset luvut. Lähtökohta on tietenkin se, että Maija ja Matti ovat salamannopeita ja täydellisiä päättelijöitä
sekä täysin rehellisiä lausunnoissaan. Lisäksi he tietävät, että 2 ≤ x, y ≤ 100
sekä sen, että toiselle on kerrottu lukujen summa ja toiselle tulo.
Tässä on tietenkin alunperin valtava määrä vaihtoehtoja, mutta Maijan ensimmäinen lausunto poistaa joitakin. Ei voi esimerkiksi olla x = y = 100, sillä
tulosta 10000 ja tiedosta 2 ≤ x, y ≤ 100 voi päätellä kyseiset luvut. Vastaavasti
ei voi olla x = y = 2 tai x = 2, y = 3.
Matin vastaus ”Tiesin tuon” poistaa sitten suuren määrän summavaihtoehtoja.
Matin saama summa on siis sellainen, että siitä voi päätellä, että Maija ei voi
päätellä lukuja x ja y. Esimerkiksi edelläkerrotuista syistä johtuen summa ei siis
voi olla esimerkiksi 200, 4 tai 5, mutta moni muukaan summa ei tule kyseeseen.
Itse asiassa on vain kymmenen eri summaa, jotka Matin lausunnon jälkeen ovat
mahdollisia. Itse luvuille x ja y vaihtoehtoja on tietysti useampia. Maijan toinen kommentti poistaa näistä osan, ja lopullisen niitin antaa Matin viimeinen
ilmoitus, jonka jälkeen jäljelle jää vain yksi vaihtoehto.
Jos alakoulutehtävät tuntuvat liian lapsellisilta, siirrytään pelien kiehtovaan
maailmaan:
1
Y2. Tarkastellaan seuraavanlaista lautapeliä: pelilauta muodostuu ruudukosta, jossa viivan yläpuolella on viisi riviä ja alapuolella periaatteessa ääretön
määrä rivejä – myöskään sarakkeiden määrää ei ole rajoitettu. Pelaaja asettaa
haluamansa määrän nappuloita viivan alapuolella oleviin ruutuihin haluamallaan tavalla – kuitenkin korkeintaan yhden kuhunkin.
5
4
3
2
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Esimerkki mahdollisesta aloitusasemasta
Pelaaja voi siirtää nappuloitaan vaaka- tai pystysuoraan (ei vinottain) ”syömällä” oman, viereisessä ruudussa olevan nappulansa, mikäli sen takana oleva
ruutu on tyhjä. Siirto tapahtuu siis näin (vaakasuora esimerkki):
ennen
o
jälkeen
o
o
Pelaajan tavoitteena on saada jokin nappula tasolle 5 eli viidennelle riville viivan
yläpuolelle, ks. esimerkkikuva yllä. Pelaaja voi siis vapaasti valita aloitusaseman
kuten myös käytettävien nappuloiden määrän. Tehtävänä on nyt laskea kullekin tasolle 1-5 pääsemiseksi tarvittavien nappuloiden vähimmäismäärä.
Osoita, että tasolle 1 pääsemiseen tämä määrä on 2, tasolle 2 määrä on 4 ja
tasolle 3 määrä on 8. Osoita edelleen, että tasolle 4 pääsemiseksi tarvitaan ainakin 19 nappulaa. Montako nappulaa tarvitaan tavoitteeseen eli viidennelle riville
pääsyyn?
Y3. ”Minä valehtelen nyt.”
Miten kommentoit? Tämä on nimeltään valehtelijan paradoksi.
Y4. Periaatteessa kaikki mahdolliset joukot voidaan jakaa kahteen luokkaan:
niihin jotka sisältävät itsensä alkiona ja niihin, jotka eivät sisällä itseään alkiona. Olkoon M niiden joukkojen joukko, jotka eivät sisällä itseään alkiona,
2
ts.
M = {A | A on joukko ja A 6∈ A}.
Selvästihän M on ainakin epätyhjä. Nyt kysymys kuuluu, että sisältääkö M
itsensä alkiona, ts. onko M ∈ M vai M 6∈ M ? Tämä on Russellin paradoksi. Asiaan tulee selvyys aksiomaattisen joukko-opin kurssilla, joka toivottavasti
luennoidaan lähitulevaisuudessa.
Y5. Jotkut numeroilla 0, 1, . . . 9 vahvistetussa suomen kielen aakkostossa ja
kieliopissa järkevät (äärellisen pituiset) lauseet määrittelevät yksikäsitteisesti
jonkun reaaliluvun. Esimerkkinä vaikkapa lause
”Reaaliluku, jonka kokonaisosa on 2 ja n:s desimaali on 1, jos n on parillinen ja
0, jos n on pariton.”
määrittelee luvun 2.10101 . . . = 208
99 . Tarkastellaan nyt kaikkien tällaisten suomen kielisten ilmausten joukkoa M , joka on ilmeisesti ääretön. Suomen kielen
aakkosto on kuitenkin äärellinen, joten M voidaan järjestää aakkosjärjestykseen niin, että ensin järjestetään ilmauksen pituuden mukaan (lyhimmät ensin)
ja sitten aakkosten mukaan kuten puhelinluettelossa. Näin M :n alkiot tulevat
järjestykseen ja ne voidaan numeroida juoksevasti edellä rakennetun aakkosjärjestyksen mukaan: M = {m1 , m2 , m3 , . . .}. Olkoon rn se (yksikäsitteinen) reaaliluku, jota ilmaus mn tarkoittaa. Esitetään kukin rn desimaaliesityksenä.
Tarkastellaan seuraavaa suomen kielistä ilmausta:
”Reaaliluku, jonka kokonaisosa on 2 ja n:s desimaali on 1, jos rn :n n:s desimaali ei ole 1 ja 2, jos rn :n n:s desimaali on 1.”
Tämä ilmaus määrittelee yksikäsitteisen reaaliluvun x, joten se on joukon M
alkio – siis jokin alkioista mn ja siten x = rn jollekin n. Tämä ei kuitenkaan ole
mahdollista, koska x:n ja rn :n n:s desimaali eroavat toisistaan riittävästi.
Mitenkäs tämän selität? Ongelma on nimeltään Richardin paradoksi.
Y.6 ”Jyväskylä on Helsingin pohjoispuolella. Oulu on Jyväskylän pohjoispuolella. Siispä Oulu on Helsingin pohjoispuolella.”
Oikein vai väärin päätelty?
Y.7 ”If this is December, then last month was November. If last month was
November, then six months ago it was June. If six months ago it was June, then
eleven months ago it was January. If next month will be January, then this is
December. Last month was November. Therefore, this is December.”
Oikein vai väärin päätelty?
3
Tehtävissä Y.8-24 muukalainen M vierailee saarella ja tapaa siellä alkuasukkaat A, B ja C. Saaren asukkaat ovat kaikki joko rehtejä, jotka puhuvat aina
totta tai retkuja, jotka valehtelevat aina. Tehtävät on tarkoitus ratkoa ihan pelkällä maalaisjärjellä; mitään varsinaisen (propositio)logiikan virityksiä tai hienouksia ei tarvita.
Y.8 Tullessaan tapaamispaikkaan M kysyy vastaantulijalta: ”Oletko sinä rehti
vai retku?” Vastaantulija sanoo olevansa retku. Minkä johtopäätöksen tästä voi
vetää? Entä jos vastaantulija sanookin: ”Minä olen retku tai kaksi plus kaksi on
viisi.”?
Y.9 M kysyy A:lta: ”Oletko sinä rehti vai retku?” A vastaa niin epäselvästi,
että M ei ymmärrä, joten hän kysyy B:ltä: ”Mitä A sanoi?” B vastaa: ”A sanoi
olevansa retku.” C puuttuu puheeseen ja sanoo: ”Älä usko B:tä, hän valehtelee!”
Mitä ovat B ja C? Entä A?
Y.10 M kysyy A:lta: ”Oletko sinä rehti vai retku?” A vastaa niin epäselvästi, että M ei ymmärrä, joten hän kysyy B:ltä: ”Mitä A sanoi?” B vastaa: ”A
sanoi, että joukossamme on täsmälleen yksi rehti.” C puuttuu puheeseen ja sanoo: ”Älä usko B:tä, hän valehtelee!”
Mitä ovat B ja C? Entä A?
Y.11 A sanoo: ”Joko minä olen retku tai B on retku.” Mitä ovat A ja B?
Y.12 A sanoo: ”Joko minä olen retku tai B on rehti.” Mitä ovat A ja B?
Y.13 A sanoo: ”Minä olen retku ja B on rehti.” Mitä ovat A ja B?
Y.14 A sanoo: ”Me (siis A, B ja C) olemme kaikki retkuja.” B väittää kuitenkin: ”Täsmälleen yksi meistä on rehti.” Mitä ovat A, B ja C?
Y.15 A sanoo: ”Me olemme kaikki retkuja.” B väittää kuitenkin: ”Täsmälleen
yksi meistä on retku.” Mitä ovat A, B ja C?
Seuraavissa kahdessa tehtävässä sanotaan, että X ja Y ovat samaa tyyppiä,
jos he molemmat ovat rehtejä tai molemmat ovat retkuja.
Y.16 A sanoo: ”B on retku.” B jatkaa: ”A ja C ovat samaa tyyppiä.” Mikä
C on?
Y.17 B sanoo: ”A ja C ovat samaa tyyppiä.” M kysyy C:ltä: ”Ovatko A ja
B samaa tyyppiä?” Mitä C vastaa?
4
Seuraavissa tehtävissä tutustutaan loogiseen ehtolauseeseen, joka on tyyppiä
”Jos X, niin Y.”
(∗)
Jos sekä X että Y ovat tosia väittämiä (eli teesejä), niin on intuitiivisesti selvää,
että myös teesi (∗) on tosi: Jos Y pätee, niin se pätee myös silloin kun X pätee.
Vastaavasti, jos Y pätee, niin se pätee myös silloin kun X ei päde, joten teesi
(∗) pätee, jos X on epätosi ja Y tosi. Jos taas X on tosi ja Y epätosi, niin (∗) on
selvästi epätosi. Ongelmallisin tilanne syntyy silloin, kun molemmat teeseistä X
ja Y ovat epätosia. Onko silloin (∗) tosi vai epätosi? Tästä voi olla erimielisyyttä,
mutta yleisesti silloin teesiä (∗) pidetään totena. Sovitaan näin, jolloin teesin (∗)
totuusarvot (T=tosi, E=epätosi) määräytyvät seuraavan taulukon mukaisesti
X
Y
jos X, niin Y
T
T
E
E
T
E
T
E
T
E
T
T
Palataan rehtien ja retkujen saarelle ja tavataan siellä taas alkuasukkaat A, B
ja C.
Y.18 A esittää seuraavat väitteet:
1) Olen velkaa B:lle.
2) Jos olen velkaa B:lle, olen velkaa myös C:lle.
Onko A rehti vai retku?
Y.19 A sanoo: ”Jos minä olen rehti, niin myös B on rehti.” Mitä ovat A ja
B?
Y.20 A sanoo: ”Jos minä olen rehti, niin syön hattuni.” Onko A:n syötävä
hattunsa?
Y.21 A sanoo: ”Jos minä olen rehti, niin kaksi plus kaksi on neljä.” Onko A
rehti vai retku?
Y.22 A sanoo: ”Jos minä olen rehti, niin kaksi plus kaksi on viisi.” Mitä tästä
voi päätellä?
Y.23 A sanoo: ”Jos B on rehti, niin minä olen retku.” Mitä ovat A ja B?
Y.24 A sanoo: ”B on rehti.” B jatkaa: ”Jos A on rehti, niin C:kin on.” Mitä ovat A, B ja C?
5
6
Propositio- ja predikaattilogiikka, 1. demot 18.9.2015
1.1 Tarkastellaan luonnollisten lukujen joukkoa N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Nolla eli
0 on siis ”ensimmäinen” luonnollinen luku. By definition jokaisella luonnollisella
luvulla n on yksikäsitteinen ns. seuraaja s(n) ∈ N. Kymmenjärjestelmässä on
tapana merkitä s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3, s(3) = 4 ja niin edelleen.
Luonnollisten lukujen n ja m yhteenlasku n + m määritellään rekursiivisesti
m:n suhteen (kiinteälle, mielivaltaiselle n) seuraavasti:
Ensin sovitaan, että n + 0 = n ja n + 1 = s(n). Sitten, jos m ≥ 1 ja n + m ∈ N
on jo määritelty, sovitaan, että
n + (m + 1) = s(n + m).
Tämä on toimiva määritelmä, joka tuottaa seuraajan yksikäsitteisyyden perusteella hyvin määritellyn yhteenlaskufunktion kaikille n ∈ N, vrt. rekursioperiaatteen määritelmä luentomonisteen sivulla 9 ja siihen liittyvät huomautukset
sivuilla 10-12.
Kun yhteenlasku on onnistuneesti määritelty, voidaan sen avulla määritellä myös
kertolasku n · m kiinteälle (mutta mielivaltaiselle) n. Tämäkin määritelmä on
rekursiivinen m:n suhteen: ensin sovitaan, että n · 0 = 0 ja jos n · m ∈ N on jo
määritelty, sovitaan, että
n · (m + 1) = (n · m) + n.
Tämäkin on hyvä määritelmä, ja näin kertolaskukin saadaan määriteltyä. Ja
sitten itse tehtävään:
a) Osoita, että 2 + 2 = 4.
b) Osoita, että 2 · 2 = 4.
1.2 a) Osoita, että luonnollisten lukujen yhteenlasku on assosiatiivinen, ts.
kaikille n, m, k ∈ N pätee
(n + m) + k = n + (m + k).
b) Osoita, että kaikille n ∈ N pätee
0 + n = n.
c) Osoita, että kaikille n ∈ N pätee
1 + n = n + 1.
7
d) Osoita, että yhteenlasku on kommutatiivinen, ts. kaikille n, m ∈ N pätee
n + m = m + n.
Ohje: Induktiollahan nämä menevät.
Y.25 Osoita, että luonnollisten lukujen kertolasku on myös assosiatiivinen ja
kommutatiivinen.
1.3 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 1.2.1, ts. tutki ovatko propositiokielen sanat
a) [[[[[p1 → p2 ] → f ] → f ] → [[p2 → p1 ] → f ]] → f ],
b) [[[[p1 → p2 ] → f ] → f ] → [[p2 → p1 ] → f ]] → f ] tai
c) [[[[p1 → p2 ] → f ] → f ] → [[p2 → p1 ] → f ]
kaavoja.
1.4 Todista lemma 2.1, ts. osoita, että jokaisessa propositiokielen kaavassa on
yhtä monta nuolta sekä vasenta ja oikeaa sulkumerkkiä.
1.5 a) Lemma 2.1 antaa hyvän kriteerin tarkistaa, milloin jokin sana ei ole
kaava. Tätähän voi soveltaa esimerkiksi tehtävään 1.3. Toisaalta, vaikka lemman 2.1 vaatimus jollekin sanalle täyttyisi, se ei takaa, että kyseessä todellakin
olisi kaava. Osoita esimerkiksi, että sana
[[p1 → p2 → p3 ]]
ei ole kaava.
b) a)-kohdan ratkaisemiseksi tarvitset jonkin lemman 2.1 kriteeristä poikkeavan kaavakriteerin K, jota a)-kohdan sana ei toteuta. Keksi tämän kriteerin
lisäksi vielä jokin muu kriteeri K 0 , joka kaavan täytyy toteuttaa. Anna sitten
(ei-triviaali) esimerkki sanasta, joka toteuttaa lemman 2.1 kriteerin lisäksi kriteerin K mutta ei kriteeriä K 0 , eikä sen vuoksi voi olla kaava.
1.6 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävät 2.1.4 ja 2.1.5, ts. osoita, että
minkään kaavan aito alkupää ei voi olla kaava ja mieti, voiko kaavan loppupää
olla kaava.
1.7 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävät 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8 ja ja 2.1.9,
ts. jos A ja B ovat kaavoja, niin osoita, että myös
¬A,
A ∨ B,
A∧B
A↔B
8
ja
ovat kaavoja.
1.8 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 2.1.10, ts. kirjoita auki ilman
mitään lyhennysmerkintöjä kaava
p1 ↔ p2 .
1.9 Konstruoi päättelyjono teoreemoille
a)
` ¬f,
b)
` A ∨ ¬A ja
c)
` ¬[A ∧ ¬A],
missä A on mielivaltainen kaava.
Ohje: Pura lyhennysmerkinnät auki ja käytä päättelylausetta. a)- ja b)-kohdat
ovat hyvin helppoja, c)-kohdassa kannattaa soveltaa b)-kohtaa. Muista perustella, miksi konstruoimasi jono on todellakin päättelyjono, vrt. määritelmä 2.2.
1.10 Lähtökohtaisesti lyhennysmerkintä A ∨ B näyttää epäsymmetriseltä A:n
ja B:n suhteen. Tässä tehtävässä osoitetaan, että tämä on vain näennäistä.
a) Osoita, että
` [A ∨ B] → [B ∨ A],
missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja.
b) Osoita, että
` [A ∨ B] ↔ [B ∨ A],
missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja.
Ohje a)-kohtaan: Pura lyhennysmerkintä auki, käytä päättelylausetta ja lausetta 2.15. b)-kohdassa käytä a)-kohtaa ja menettele samaan tapaan kuin lauseen
2.18 todistuksessa.
1.11 Osoita, että myös lyhennysmerkintä A∧B symmetrinen A:n ja B:n suhteen
todistamalla, että
` [A ∧ B] ↔ [B ∧ A],
missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja.
Y.26 Osoita, että yhden aakkosen f muodostama kaava ei ole teoreema. Voiko
yhden aakkosen kaava pi olla teoreema?
9
Propositio- ja predikaattilogiikka, 2. demot 25.9.2015
Tehtävissä 2.1-3 tarkoitus on perustella väitteet syntaktisesti eli päättelyjonojen avulla. Väitetyt teoreemathan on helppo nähdä teoreemoiksi toteamalla ne
valideiksi ja käyttämällä täydellisyyslausetta, mutta nyt pitäisi harjoitella päättelyä, koska sitä taitoa tarvitaan predikaattikielten yhteydessä.
2.1 Todista lause 2.19, ts. osoita, että
` A → [B → A ∧ B],
missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja.
2.2 Osoita, että
a)
` ¬A → [A → B],
b)
` [A → ¬B] → [B → ¬A] ja
c)
` ¬[A → B] → A,
missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja.
2.3 Osoita, että
a)
` A → [A ∨ B],
b)
` B → [A ∨ B],
c)
` [A ∧ B] → A ja
d)
` [A ∧ B] → B,
missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja.
2.4 Osoita, että propositiokielen päättelylauseelle pätee myös käänteinen tulos, ts. jos A ja B ovat kaavoja siten, että A → B on teoreema, niin pätee
A ` B.
Y.27 Olkoon A propositiokielen kaava, joka ei ole teoreema. Onko tällöin välttämättä kaava ¬A teoreema?
Y.28 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 2.1.41, ts. todista, että ekvivalenssin sijoitussääntö pätee.
Käännä propositiokielelle seuraavat englanninkieliset päättelyt, vrt. luentomonisteen esimerkkiin sivuilla 30-31. Jos päättely on mielestäsi pätevää, esitä myös
jokin propositiokielinen päättelyjono, joka todistaa päättelyn päteväksi. Jos
päättely on mielestäsi epäpätevää, perustele eheys- ja päättelylauseen avulla
10
(vrt. luentomonisteen esimerkki ss. 44-45), miksi päättely ei toimi.
2.5 If prices are high, then wages are high. Prices are high or there are price
controls. Also, if there are price controls, then there is not an inflation. However, there is an inflation. Therefore, wages are high.
2.6 If either wages or prices are raised, there will be inflation. If there is inflation, then either Congress must regulate it or the people will suffer. If the
people suffer, Congressmen will be unpopular. Congress will not regulate inflation, and Congressmen will not be unpopular. Therefore, wages will not rise.
2.7 If there are no government subsidies of agriculture, then there are government controls of agriculture. If there are government controls of agriculture, there is not an agricultural depression. There is either an agricultural depression
or overproduction. As a matter of fact, there is no overproduction. Therefore,
there are government subsidies of agriculture.
2.8 If Algernon is in jail, then he is not a nuisance to his family. If he is not in
jail, then he is not a disgrace. If he is not a disgrace, then he is in the army. If
he is drunk, he is a nuisance to his family. Therefore, he is either in the army
or not drunk.
2.9 If Algernon is a nuisance, then he is not in jail. If he is in jail, then he
is not in the army. Therefore, he is either not in the army or not a nuisance.
11
Propositio- ja predikaattilogiikka, 3. demot 2.10.2015
3.1 Olkoot A ja B propositiokielisiä kaavoja, jotka eivät ole valideja. Mitä voit
sanoa kaavojen ¬A, A → B, A∨B, A∧B ja A ↔ B validisuudesta? Ovatko nämä
siis ei koskaan/joskus/aina valideja? Perustele mahdolliset ”joskus”-vastauksesi
konkreettisilla esimerkeillä. Muunlaiset vastaukset tulee perustella myös.
3.2 Osoita totuustaulujen avulla, että lauseiden 2.10-19 teoreemat ovat valideja.
3.3 Olkoot A ja A1 , A2 , . . . , An propositiokielisiä kaavoja ja oletetaan, että
` An → [An−1 → [An−2 → [. . . A3 → [A2 → [A1 → A]] . . .]]].
Osoita, että A1 , A2 , . . . , An ` A.
Ohje: Induktio. Huomaa, että tämä on käänteinen tulos päättelylauseen versiolle 2. Vertaa myös tehtävään 2.4.
Käännä propositiokielelle seuraavat englanninkieliset päättelyt. Perustele, miksi
päättely on oikein tai väärin.
3.4 Either John and Henry are the same age, or John is older than Henry.
If John and Henry are the same age, then Elizabeth and John are not the
same age. If John is older than Henry, then John is older than Mary. Therefore, either Elizabeth and John are not the same age or John is older than Mary.
3.5 Marianne believed that Colonel Brandon was too old to marry. If Marianne’s conduct was always consistent with her beliefs, and if she believed that
Colonel Brandon was too old to marry, then she did not marry Colonel Brandon. But Marianne married Colonel Brandon. Therefore, Marianne’s conduct
was not always consistent with her beliefs.
3.6 If this is December, then last month was November. If last month was
November, then six months ago it was June. If six months ago it was June, then
eleven months ago it was January. If next month will be January, then this is
December. Last month was November. Therefore, this is December.
3.7 If Mary is a true friend, then John is telling the truth. If John is telling the
truth, then Helen is not a true friend. If Helen is not a true friend, then Helen
is not telling the truth. If Helen is not telling the truth, then Mary is a true
friend. But if Mary is a true friend, then Helen is not a true friend. Therefore,
Helen is not telling the truth.
3.8 If hedonism is not correct, the eroticism is not virtuous. If eroticism is
virtuous, then either duty is not the highest virtue or the supreme duty is the
12
pursuit of pleasure. But the supreme duty is not the pursuit of pleasure. Therefore, either duty is not the highest virtue or hedonism is not correct.
3.9 Olkoon A = {A1 , A2 , . . . , An } joukko propositiokielisiä kaavoja. Sanotaan,
että joukko A on ristiriitainen, jos pätee
A1 , A2 , . . . , An ` f.
(1)
Muussa tapauksessa joukko A on ristiriidaton eli konsistentti. Jos päättelyn
oletukset ovat ristiriitaiset, niistä voidaan päätellä mitä tahansa, vertaa lauseen
2.10 jälkeiseen huomautukseen. Ristiriitaisen oletusjoukon esittäminen on siis
loogiselta kannalta mieletöntä, vaikkakin tätä arkipäättelyssä valitettavan usein
tapaa.
Joukon A ristiriitaisuus voidaan todistaa esimerkiksi suorittamalla päättely (1).
Osoita toisaalta, että joukko A on konsistentti jos ja vain jos on olemassa jokin
tulkintafunktio t siten, että t(Ai ) = 1 kaikille i = 1, . . . , n. Tämähän tarkoittaa
intuitiivisesti sitä, että jossakin maailmantilanteessa (jota annettu tulkintafunktio kuvaa) konsistentit oletukset saadaan voimaan. Ristiriitaiset oletukset eivät
siis toteudu koskaan, missään maailmantilanteessa.
Käännä propositiokielelle seuraavat englanninkieliset päättelyt. Perustele, miksi
päättely on oikein tai väärin.
Y.29 If, and only if, Roger has entered into the contract, and the contract
is legal, and Roger has not performed the contract, Jones will win the lawsuit.
If Roger has not accepted Jones’ offer, Roger has not entered into the contract.
The fact is that Roger has not accepted Jones’ offer. Therefore, Jones will not
win the lawsuit.
Y.30 If Brown entered into the contract, or if Brown received substantial benefits from acts performed by Smith, Brown will not win the lawsuit. If Brown
revoked his offer before Smith accepted it, Brown did not enter into the contract. The fact is that Brown did not revoke his offer before Smith accepted it.
Therefore, Brown will not win the lawsuit.
Y.31 If Brown did not enter into the contract, or if Brown performed the
contract, Smith will not win the lawsuit. If Brown failed to deliver the goods on
the due date, Brown did not perform the contract. The fact is that Brown did
enter into the contract and failed to deliver the goods on the due date. Therefore, Smith will win the lawsuit.
13
Propositio- ja predikaattilogiikka, 4. demot 9.10.2015
Jos kaava L(x) imitoi teesiä henkilö x on loogikko ja kaava K(x) teesiä henkilö x ei osaa solmia kengännauhojaan, niin intuitiivisesti ajatellen sekä kaava
∀x¬[L(x) ∧ K(x)] että kaava ¬∃x[L(x) ∧ K(x)] imitoivat teesiä yksikään loogikko ei osaa solmia kengännauhojaan. Jotta teoria vastaisi intuitiota, pitäisi
näiden kaavojen olla ekvivalentteja. Näin onkin. Tämä näkyy tehtävästä 4.1.
Tehtävissä 4.1 – 4.5 A on mielivaltainen predikaattikielinen kaava sekä x ja y
mielivaltaisia muuttujasymboleja.
4.1 Todista teoreema ` ∀x¬A ↔ ¬∃xA.
4.2 Todista teoreemat
a)
` ∀x¬¬A → ∀xA ja
b)
` ∀xA → ∀x¬¬A.
4.3 Todista teoreema ` ¬∀xA ↔ ∃x¬A.
4.4 Todista teoreema ` ∀xA → ∃xA.
4.5 Lauseen 3.12 nojalla kaava ∀xA → A on aina teoreema, mutta onko kaava
A → ∃xA välttämättä teoreema? Vertaa tehtävään 4.4.
4.6 Todista teoreema ` ∃y∀xA → ∀x∃yA.
Tehtävään 4.6 liittyen mieti jonkinlainen (epämääräinen) intuitiivinen selitys
sille, miksi kaava ∀x∃yA → ∃y∀xA ei ole teoreema. Tämän väitteen tarkka todistus saadaan vasta predikaattikielten semantiikan avulla. Vastaava tilannehan
on propositiokielessä: kaava voidaan (yleensä) osoittaa ei-teoreemaksi osoittamalla että se on ei-validi ja käyttämällä kielen eheyslausetta.
Tehtävissä 4.7 – 4.10 on tarkoitus kääntää annetut englanninkieliset päättelyt sopivalle predikaattikielelle ja mikäli päättely on pätevää, todistaa se päteväksi. Koska näissä päättelyissä esiintyy nimettyjä yksilöitä, ne pitää nimetä
myös predikaattikielessä, esimerkiksi niin, että v1 = Adams ja v2 = Mary. Huomaa myös, että tehtävässä 4.9 tarvitaan kaksipaikkaista predikaattisymbolia,
esimerkiksi ”D(x, y) = x dates y”. Oletuspäättelyjonoja kirjoittaessasi ole tarkkana kiellettyjen kvantifiointien suhteen.
4.7 Anyone who works in the factory is either a union man or in a managerial position. Adams is not a union man, and he is not in a managerial position.
Therefore, Adams does not work in the factory.
4.8 Every member of the policy committee is either a Republican or a De14
mocrat. Some members of the policy committee are wealthy. Adams is not a
Democrat, but he is wealthy. Therefore, if Adams is a member of the policy
committee, he is a Republican.
4.9 Adams is a boy who does not own a car. Mary dates only boys who own
cars. Therefore, Mary does not date Adams.
4.10 If anyone likes Aquinas, then he does not like Kant. Everyone either likes
Kant or likes Russell. Someone does not like Russell. Therefore someone does
not like Aquinas.
Y.32 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 3.1.9 osoittamalla, että propositiokielisellä teoreemalla A on päättelyjono, jossa esiintyvät vain samat propositiokirjaimet kuin kaavassa A. Jonkinlaisen päättelyjonon olemassaolohan
seuraa välittömästi siitä, että kyseessä on teoreema, mutta millä perusteella
esiintyvien propositiokirjainten määrää voidaan rajoittaa?
15
Propositio- ja predikaattilogiikka, 5. demot 16.10.2015
Tehtävissä 5.1 ja 5.2 P1 ja P2 ovat jonkin predikaattikielen yksipaikkaisia predikaattisymboleja, x on muuttuja, m kielen malli ja tm siihen liittyvä totuusarvofunktio.
5.1 Osoita, että
a)
tm (∀xP1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) = N,
b)
tm (∀x¬P1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) = ∅,
c)
tm (∀x[P1 (x) → P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) ⊂ m(P2 ),
d)
tm (∀x[P1 (x) ∨ P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) ∪ m(P2 ) = N,
e)
tm (∀x[P1 (x) ∧ P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) = m(P2 ) = N ja
f)
tm (∀x[P1 (x) ↔ P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) = m(P2 ).
5.2 Osoita, että
a)
tm (∃xP1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) 6= ∅,
b)
tm (∃x¬P1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) 6= N,
c)
tm (∃x[P1 (x) → P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) \ m(P2 ) 6= N,
d)
tm (∃x[P1 (x) ∨ P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) ∪ m(P2 ) 6= ∅,
e)
tm (∃x[P1 (x) ∧ P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(P1 ) ∩ m(P2 ) 6= ∅ ja
f)
tm (∃x[P1 (x) ↔ P2 (x)]) = 1 jos ja vain jos
(m(P1 ) ∪ m(P2 )) \ (m(P1 ) ∩ m(P2 )) 6= N.
Y.33 Tässä P1 ja P2 ovat jonkin predikaattikielen yksipaikkaisia predikaattisymboleja, x 6= y muuttujia, m kielen malli ja tm siihen liittyvä totuusarvofunktio. Tehtävänä on miettiä joukkojen m(P1 ) ja m(P2 ) välille jokin joukkoopillinen ehto, joka tehtävien 5.1 ja 5.2 tavoin karakterisoi annetun semanttisen
ehdon.
a)
tm (∀x∀y[P1 (x) → P2 (y)]) = 1 jos ja vain jos ...,
b)
tm (∀x∃y[P1 (x) → P2 (y)]) = 1 jos ja vain jos ...,
c)
tm (∃x∀y[P1 (x) → P2 (y)]) = 1 jos ja vain jos ... ja
d)
tm (∃x∃y[P1 (x) → P2 (y)]) = 1 jos ja vain jos ....
Y.34 Tässä P1 ja P2 ovat jonkin predikaattikielen predikaattisymboleja, P1 yksipaikkainen ja P2 kaksipaikkainen, x 6= y muuttujia, m kielen malli ja tm siihen
liittyvä totuusarvofunktio. Tehtävänä on miettiä joukkojen m(P1 ) ja m(P2 ) välille jokin joukko-opillinen ehto, joka tehtävien 5.1 ja 5.2 tavoin karakterisoi an16
netun semanttisen ehdon. Huomaa, että tässä m(P1 ) ja m(P2 ) ovat ”eri dimensiossa”, joten joudut käyttämään joko projektioita N2 → N tai upotuskuvauksia
N → N2 .
a)
tm (∀x∀y[P1 (x) → P2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos ...,
b)
tm (∀x∃y[P1 (x) → P2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos ...,
c)
tm (∃x∀y[P1 (x) → P2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos ...,
d)
tm (∃x∃y[P1 (x) → P2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos ...,
e)
tm (∀x∀y[P2 (x, y) → P1 (x)]) = 1 jos ja vain jos ...,
f)
tm (∀x∃y[P2 (x, y) → P1 (x)]) = 1 jos ja vain jos ...,
g)
tm (∃x∀y[P2 (x, y) → P1 (x)]) = 1 jos ja vain jos ... ja
h)
tm (∃x∃y[P2 (x, y) → P1 (x)]) = 1 jos ja vain jos ....
5.3 Olkoon m jonkin predikaattikielen malli, tm siihen liittyvä totuusarvofunktio
ja A, B mielivaltaisia kaavoja. Osoita, että
a) tm (A ∨ ¬A) = 1,
b) tm (A ∧ B) = 1 jos ja vain jos tm (A) = 1 = tm (B) ja
c) tm (A ↔ ¬A) = 0.
Huomaa, että näissä kaavat A ja B eivät välttämättä ole suljettuja. Vertaa
lauseeseen 3.27 ja sen jälkeiseen varoittavaan huomautukseen. Vertaa myös tehtävään 5.1.
5.4 Päteekö tehtävän 5.3 b)-kohdan vastine ”∨”-konnektiiville eli väite
tm (A ∨ B) = 1 jos ja vain jos tm (A) = 1 tai tm (B) = 1
”jompaan kumpaan suuntaan”, ts. onko
joko tm (A ∨ B) = 1 ⇒ tm (A) = 1 tai tm (B) = 1
tai tm (A ∨ B) = 1 ⇐ tm (A) = 1 tai tm (B) = 1?
Tehtävissä 5.5 – 5.8 on tarkoitus kääntää annetut englanninkieliset päättelyt
sopivalle predikaattikielelle ja mikäli päättely on pätevää, todistaa se päteväksi. Muussa tapauksessa tarkoitus on osoittaa päättely- ja eheyslauseiden nojalla
päättely epäpäteväksi.
5.5 For every x and y either x is at least as heavy as y or y is at least as
heavy as x. Therefore, x is at least as heavy as itself.
5.6 If one man is the father of a second, then the second is not father of the
first. Therefore, no man is his own father.
17
5.7 Ptah is an Egyptian god, and he is the father of all Egyptian gods. Therefore he is the father of himself.
5.8 All men are animals. All men are mortal. Therefore all animals are mortal.
18
Propositio- ja predikaattilogiikka, 6. demot 23.10.2015
6.1 Olkoon A predikaattikielinen kaava ja x, y muuttujia. Osoita esimerkillä,
että kaava
∀x∃yA → ∃y∀xA
ei välttämättä ole teoreema. Vertaa tehtävään 4.5 ja erityisesti sen jatko-osaan.
6.2 a) Osoita, että tyyppiä (Ax4) oleva kaava ei välttämättä ole validi (eikä
siis myöskään eheyslauseen nojalla teoreema) ilman siihen liittyvää lisäoletusta
”sijoitus Sax (A) ei sido”.
b) Osoita, että tyyppiä (Ax5) oleva kaava ei välttämättä ole validi (eikä siis
myöskään eheyslauseen nojalla teoreema) ilman siihen liittyvää lisäoletusta ”x
ei esiinny vapaana A:ssa”.
6.3 Olkoot C ja D predikaattikielisiä kaavoja. Oletetaan, että teesi
”jos C on teoreema, niin myös D on teoreema”
(1)
pätee. Oletetaan lisäksi, että ollaan rakentamassa oletuspäättelyjonoa (An ) (jollekin väitteelle, joistakin oletuksista), johon on saatu C johonkin kohtaan, eli
An = C jollekin n. Voidaanko tähän päättelyjonoon seuraavaksi lisätä kaava
An+1 = D teesin (1) perusteella? ”Oikeasti” päättelyjonon sääntöjen mukaan
tähän pitäisi kirjoittaa näin:
..
.
An = C
An+1 = C → D
An+2 = D
..
.
teesi (1) (?)
modus ponens
Tämä saattaa vaikuttaa pikkumaiselta pilkunviilaukselta, mutta ei ole sitä. Kysymys on nimittäin siitä, että saadaanko teesin (1) perusteella teoreema
C → D,
(2)
jolloin sitä voisi käyttää yllä olevan päättelyjonon kohdassa An+1 , ja silloin kaikki olisi hyvin – edellyttäen tietysti, että teoreeman (2) todistuksessa ei käytetä
kiellettyjä kvantifikaatioita. Vastaus on, että ei saada. Silloin kyseinen oletuspäättelyjonoviritelmä on virheellinen. Muuttuuko tilanne jotenkin, jos kyseessä
onkin teoreemapäättelyjono?
Keksi esimerkki kaavoista C ja D, joille teesi (1) pätee, mutta kaava (2) ei
ole teoreema. Tähän löytyy vastausesimerkki tehtävästä 6.4, mutta helpompiakin esimerkkejä on olemassa ja niitä tässä tehtävässä etsitään.
19
6.4 Olkoon tehtävässä 6.3 C = A → B ja D = ∀xA → ∀xB joillekin kaavoille A ja B. Osoita, että tätä tyyppiä olevat kaavat toteuttavat aina teesin
(1). Varo kiellettyjä kvantifikaatioita, joista ei kylläkään ole mitään tietoa. Tämä johtaa siihen, että päättelylausetta ei kannattane tässä käyttää, vaan on
turvauduttava ”suoraan” teoreemapäättelyyn, jossa saa vapaasti kvantifioida.
Keksi toisaalta esimerkki kaavoista A ja B, joille kaava C → D eli
[A → B] → [∀xA → ∀xB]
ei ole teoreema.
Tehtävissä 6.5 – 6.8 on tarkoitus kääntää annetut englanninkieliset päättelyt
sopivalle predikaattikielelle ja mikäli päättely on pätevää, todistaa se päteväksi. Muussa tapauksessa tarkoitus on osoittaa päättely- ja eheyslauseiden nojalla
päättely epäpäteväksi.
6.5 All mathematicians are autistic. Some autistic people are clever. Therefore some mathematicians are clever.
6.6 No red-haired women use backpack, but some red-haired women use boots.
Therefore, some women use boots and not backpack.
6.7 Some racists are ignorant. Some Finns are ignorant. Therefore some racists
are Finns or some Finns are racists.
6.8 Keuruu is north of Lahti. Tornio is north of Keuruu. Therefore Tornio
is north of Lahti.
Luentomonisteen huomatuksessa 3.9 todettiin, että oletusten lisääminen päättelyihin on ongelmallista samoin kuin teoreemojen käyttäminen, koska kvantifiointia oletuksissa mahdollisesti esiintyvien vapaiden muuttujien suhteen tulee
välttää. Kuten 3.9:ssä mainitaan, tämä on osoitus määritelmän 3.5 heikkoudesta. Ongelmat poistuvat, kun oletuspäättelyn määritelmän 3.5 ehtoihin 1) – 4)
lisätään ehto 5), joka kuuluu näin:
5) Bi on muotoa
Bi = ∀xSxy (C) → ∀yC,
missä C on jokin kaava sekä x ja y muuttujasymboleja siten, että y esiintyy
vapaana ainakin yhdessä oletuksessa Oj ja x ei esiinny lainkaan kaavassa C.
Huomaa, että ehdon 5) kaava on teoreema, mikä seuraa lauseesta 3.18. Tällä ”ylimääräisellä” päättelysäännöllä pystytään kiertämään kielletyt kvantifioinnit lisättävissä oletuksissa tai käytettävissä teoreemoissa ”vaihtamalla hankalan muuttujan nimi toiseksi”. Tämä todistetaan tehtävissä Y.36 ja Y.37. On
kuitenkin huomattava, että tällä uudella säännöllä ei kuitenkaan voi kiertää si20
tä ehdotonta perusperiaatetta, että itse oletuspäättelyssä ei koskaan saa
kvantifioida oletuksissa vapaana esiintyvän muuttujan suhteen.
Tämä uusi vaihtoehto 5) koskee siis vain päättelyitä, joissa on oletuksia – teoreemojen päättelyjonoihin ei puututa. Käytetään merkintää
5)
O1 , . . . , On ` A,
mikäli A voidaan päätellä oletuksista O1 , . . . , On päättelyjonolla, jossa on sallittu myös vaihtoehto 5).
Y.35 Osoita, että päättelylauseen 1. versio pätee muodossa
5)
jos A ` B, niin ` A → B
ja että päättelylauseen 2. versio pätee muodossa
5)
5)
jos A1 , . . . , An ` B, niin A1 , . . . , An−1 ` An → B.
Huomaa, että nämä päättelylauseen versiot ovat (huomattavasti) kovempia (ja
vaikeammin todistettavia) tuloksia kuin alkuperäiset päättelylauseet, koska uusi
oletuspäättelysäännöstö on laveampi ja siten oletuspäättelyitä on helpompi muo5)
dostaa eli esimerkiksi 1. version uusi metaoletus ”jos A ` B” on heikompi kuin
metaoletus ”jos A ` B”. Samaan lopputulokseen näistä kuitenkin päästään eli
teoreemaan ` A → B.
Y.36 Olkoon B teoreema ja olkoot C1 , . . . , Cm mielivaltaisia kaavoja. Osoita,
että
5)
C1 , . . . , Cm ` B.
5)
Huomautus. Merkintä ` määriteltiin edellä. Tämä tehtävä Y.36 kertoo, että
teoreemoja voi tuoda vapaasti oletuspäättelyyn, kunhan käytetään oletuspäättelysäännöstöä, jossa on mukana vaihtoehto 5). Tämä seuraa siitä, että jos B
on teoreema, niin se voidaan yllä olevan mukaan (oletus-)päätellä myös käsiteltävän päättelyn oletuksista lähtien – näin siis vaikka B:n ”alkuperäisessä”
todistuksessa olisi mukana oletuspäättelyssä C1 , . . . , Cm ` B luvattomia kvantifiointeja. Tämä tieto helpottaa tavattomasti oletuspäättelyitä, koska ei tarvitse
enää huolehtia käytettävien teoreemojen käyttökelpoisuudesta.
5)
Y.37 Olkoon A1 , . . . , An ` B ja olkoot C1 , . . . , Cm mielivaltaisia kaavoja. Osoita, että
5)
A1 , . . . , An , C1 , . . . , Cm ` B.
Huomautus. Tehtävä Y.37 siis sanoo, että oletuspäättelyn oletuksia voi rajattomasti lisätä, kunhan taas käytetään oletuspäättelysäännöstöä, jossa on mukana
21
vaihtoehto 5). Ilman tätä vaihtoehtoa oletusten lisääminen on ongelmallista, sillä jos ”tavalliselle” päättelylle A1 , . . . , An ` B on saatu oletuspäättelyjono, niin
tämä ei enää olekaan oletuspäättelyjono päättelylle A1 , . . . , An , C1 , . . . , Cm ` B,
jos siinä on satuttu kvantifioimaan jossakin Ci :ssä vapaana esiintyvän muuttujan suhteen. Tämäkin ongelma siis poistuu tällä uudella oletuspäättelysäännöstöllä.
22
Propositio- ja predikaattilogiikka, 7. demot 30.10.2015
Kuten vaikkapa tämän kierroksen tehtävistä käy ilmi, päättelyjonon löytäminen
intuitiivisesti oikealta vaikuttavalle oletuspäättelylle saattaa olla varsin visainen
pulma, jos sekä oletuksissa että johtopäätöksessä on ∃x-alkuinen kaava. Tehtävän 7.2 aputulos auttaa useassa tilanteessa. Senkin todistus on melko hankala,
joten tehtävässä 7.1 on muotoiltu toinen aputulos, joka auttaa 7.2:n ratkaisussa.
7.1 Olkoot A1 , . . . , An , A ja B kaavoja siten, että on olemassa päättely
A1 , . . . , An , A ` B.
Olkoon lisäksi x muuttujasymboli, joka ei esiinny vapaana kaavoissa A1 , . . . , An .
Oletetaan, että B on suljettu kaava – huomaa ero tehtävän 7.2 vastaavaan oletukseen. Osoita, että tällöin on olemassa päättely
A1 , . . . , An , ∃xA ` B.
7.2 Olkoot A1 , . . . , An , A ja B kaavoja siten, että on olemassa päättely
A1 , . . . , An , A ` B.
Olkoon lisäksi x muuttujasymboli, joka ei esiinny vapaana kaavoissa A1 , . . . , An .
Oletetaan, että ∃xB on suljettu kaava. Osoita, että on olemassa päättely
A1 , . . . , An , ∃xA ` ∃xB.
Tarkastellaan seuraavia englanninkielisiä päättelyjä, joista osa on oikein, osa
väärin. Etsi oikeat ja väärät, anna oikeille päättelyjono sekä perustele (kunnolla) miksi väärät päättelyt ovat mielestäsi väärin.
7.3 Some foolish people drink whisky. Some students do not drink whisky. Therefore, some students are not foolish.
7.4 No intelligent person who drinks to excess also eats to excess. Some prudent
persons eat to excess. Therefore, some prudent persons are not intelligent.
7.5 Some scientific subjects are not interesting, but all scientific subjects are
edifying. Therefore, some edifying things are not interesting.
7.6 All boxers are strong. Some policemen are strong. Therefore, some policemen are boxers.
7.7 All boxers are strong. Some policemen are not strong. Therefore, some
policemen are not boxers.
23
7.8 Some of Aristotle’s followers like all of Aquinas’ followers. None of Aristotle’s followers like any idealist. Therefore none of Aquinas’ followers are idealists.
Y.37 Todista tehtävien 7.3 – 7.8 oikeat päättelyt oikeiksi soveltaen huomautusta 3.49. Vertaa myös luentomonisteen harjoitustehtävään 3.3.54.
Y.38 Osoita, että ekvivalenssin sijoitussääntö (vrt. tehtävä Y.28) pätee myös
predikaattikielissä.
Y.39 Tehtävien 2.4 ja 3.3 mukaan päättelylauseelle pätee propositiokielessä
myös käänteinen versio. Päteekö vastaava käänteinen tulos myös predikaattikielissä?
24