Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan ops-perusteita koskevassa keskustelutilaisuudessa 15.1.2015. Pikaisen lukemisen perusteella ehdotus näyttää antavan suuntaviivoja sellaiseen uudistukseen, joka ei johda lukion pitkän matematiikan tason romahtamiseen vaan päinvastoin on monelta osin parempi kuin nykyinen opetussuunnitelma. Halmetoja on pyytänyt minua kommentoimaan ehdotustaan. Kommenttini ovat hänelle henkilökohtaisesti, mutta asia on tärkeä ja joillakin niistä saattaa olla yleisempää mielenkiintoa. Siksi Halmetoja voi vapaasti käyttää tätä kommentaaria haluamallaan tavalla mikäli katsoo sen tarpeelliseksi. Hän on tehnyt ehdotuksensa uusimpaan versioon muutaman kommentin mukaisia muutoksia. Nykyistä pitkää matematiikkaa pidetään varsin yleisesti liian laajana, vaikeana ja suuritöisenä. Tällä kannalla olijat suhtautuvat varmaan samoin myös Halmetojan ehdotukseen. Tosiasiassa nykyinen oppimäärä on yhdelle liian laaja, toiselle sopiva ja kolmannelle liian suppea. Ensiksi mainittu voi rajoittua kurssien keskeisiin sisältöihin, ja viimeksi mainitulle opettaja voi antaa lisämateriaalia. En viitsi pohtia sitä, mitkä ehdotuksen aihekokonaisuudet kuuluvat kurssien keskeisiin sisältöihin ja mitkä eivät. Kuitenkin kiinnitän huomiota tämän jaottelun tärkeyteen. Mielestäni pitkän matematiikan yo-tehtävien pitäisi vaihdella paitsi vaikeustasoltaan myös niin, että suurin osa kuuluu keskeisiin sisältöihin mutta osa ei. Se lisäisi motivaatiota opiskella keskeisiin sisältöihin kuulumattomiakin asioita. Valinnaisuutta voitaisiin lisätä kasvattamalla tehtävien lukumäärää. Yksityiskohtaisia kommentteja (K1, K2, . . . ) ja ehdotuksia (E) seuraa. MAB01: Matematiikan johdantokurssi K1. Pitkän ja lyhyen matematiikan yhteisestä kurssista aiheutuvaa haittaa on onnistuneesti minimoitu, mutta kurssi taitaa olla monille melkoinen ”kulttuurisokki”, ja peruskoulun puutteellisten tietojen paikkaaminen vie aikaa. Siksi kurssia pitäisi keventää ja sen sisältöä karsia. Induktio on osoittautunut vaikeaksi jopa joillekin matematiikan yliopisto-opiskelijoille. Sen esittäminen jo johdantokurssissa saattaa pelottaa pois niitäkin, joilla on edellytykset opiskella pitkää matematiikkaa. 1 E. Siirretään induktio kurssiin MA07 ja tehdään seuraavat tämän siirron aiheuttamat muutokset. Siirretään sivun 2 lopussa mainitut induktiotodistukset kurssiin MA07. Lasketaan n-alkioisesta joukosta saatujen jonojen lukumäärä ja tämän joukon osajoukkojen lukumäärä tuloperiaatteen sovelluksina (eli siirretään ne kohtaan ”Kombinatoriikkaa”). Siirretään epäyhtälö n < 2n harjoitustehtäväksi (joka siis ratkaistaan yksinkertaisella joukko-opillisella päättelyllä). K2. Tässä vaiheessa kombinatoriikkaa ja lukujonoja siis käsitellään tavanomaisesti eli ilman induktiota, jolloin sisältö kevenee. E. Tehdään seuraavat muutokset. Käsitellään tuloperiaate tavanomaisesti. Rajoitutaan binomikerrointen niihin ominaisuuksiin, jotka voidaan helposti todistaa kombinatoriikan avulla. Johdetaan aritmeettisen ja geometrisen summan kaavat tavanomaisesti. MA02: Funktio E. Ehkä ”Funktiot” on parempi otsikko. K3. Aritmeettinen ja geometrinen jono ovat jo kurssissa MAB01, joten lukujonon käsite kannattaa nyt määritellä. E. Määritellään ääretön lukujono funktiona Z+ → R ja äärellinen lukujono vastaavasti. K4. Yhdistetyn funktion esittäminen vasta kurssilla MA08 saattaa antaa sen väärän viestin, että tämä käsite koskee vain reaalifunktioita. Muutenkin yhdistetty funktio ja käänteisfunktio liittyvät läheisesti toisiinsa. E. Muutetaan ”käänteisfunktio alustavasti” muotoon ”käänteisfunktio ja yhdistetty funktio alustavasti”. 2 MA03: Geometria 1 E. Ehkä ”Tasogeometria” on parempi nimi. K5. Sekanttilause (eli ”pisteen potenssilause”) ansaitsee tulla esitetyksi kokonaan eikä vain ”tyypillisessä tehtävässä” annettuna erikoistapauksena, jossa tarkasteltava piste on ympyrän sisällä. E. Lisätään sekanttilause. Poistetaan sen erikoistapauksen sisältävä ”tyypillinen tehtävä”. MA04: Vektorit ja trigonometria K6. Geometria-trigonometrian, analyyttisen geometrian ja vektorien muodostama ”kolmiyhteys” on aina tuottanut ongelmia opetussuunnitelmien laatijoille ja oppikirjojen tekijöille. Nimittäin kukin näistä aloista hyödyntää kahta muuta, joten on vaikea päättää, mihin järjestykseen vastaavat kurssit pannaan. E. Puretaan ”kolmiyhteys” pitämällä vektoreita geometria-trigonometrian ja analyyttisen geometrian työkaluina. Käsitellään vektoreita sitä mukaa kun niitä tarvitaan. Muutetaan kurssin nimeksi ”Trigonometria”. Ehkä napakoordinaatisto kannattaa esittää lyhyesti (r = xi+yj = r(i cos θ+j sin θ)), koska kyseessä on vektoreita käyttävä trigonometrian kurssi. Kysymykseen, mitä trigonometriaa skalaaritulo muka on, vastataan, että onhan siinä kosini. ^ ¨ MA05: Analyyttinen geometria ja kompleksiluvut K7. On parempi käsitellä analyyttista geometriaa kiireettömästi ja jättää kompleksiluvut syventävän kurssin varaan. Jos valtakunnallisia syventäviä kursseja on vain kolme, niin koulukohtainen syventävä kurssi voisi koostua kompleksiluvuista ja differentiaaliyhtälöistä. E. Poistetaan kompleksilukujen osuus. Muutetaan kurssin nimeksi ”Analyyttinen geometria”. MA06: Todennäköisyyslaskenta K8. Tämän kurssin ”tyypillinen tehtävä” taitaa olla aloittelijalle kovin vaikea, ja sama koskee paria muutakin ”tyypillistä tehtävää”. Ne, jotka pitävät Halmetojan ehdotusta epärealistisena, saavat tällaisista tehtävistä lisäpontta mielipiteelleen. Toisaalta esimerkiksi kurssin MA02 ”tyypilliset tehtävät” valaisevat hyvin sitä, millaisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä aiotaan käsitellä. 3 Mutta mitä tämä tehtävä valaisee? Sitäkö, että tn-laskenta on vaikea aihe, joten tehtävienkin pitää olla vaikeita? ^ ¨ E. ”Tyypillisiä tehtäviä” olisi pikemminkin lisättävä kuin vähennettävä, mutta niiden vaikeuden pitäisi olla keskitasoa. MA07: Lukuteoria E. Ehdotan siis induktion siirtämistä tänne, ks. K1. K9. Käsitelläänkö jakoyhtälö (jos kokonaisluvut a ≥ 0 ja b > 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb + r ja 0 ≤ r < b) jo kurssilla MAB01 vai vasta nyt? Entä jaollisuussääntöjen (luvuilla 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100, 1000) todistukset? E. Esitetään kurssissa MAB01 jakoyhtälö, kerrataan siihen liittyvät termit (jaettava, jakaja, osamäärä, jakojäännös), luetellaan jaollisuussäänöt ja ehkä todistetaan ne 2:lle ja 5:lle. ”Jos ja vain jos” -rakenteen takia edes 2:n jaollisuussäännön todistaminen ei ole niin triviaali kuin miltä se saattaa näyttää. Tässä kurssissa MA07 todistetaan jakoyhtälö ja kaikki edellä mainitut jaollisuussäänöt (osa harjoitustehtävinä). Niille jaollisuussäännöille, jotka on mahdollisesti todistettu jo kurssissa MAB01, saadaan nyt uudet todistukset (kongruensseilla). K10. Koska induktio vaatii tilaa, jotakin on poistettava. E. Poistetaan Wilsonin lause ja RSA-algoritmi. MA08: Differentiaalilaskenta 1 E. Ehdotan siis yhdistetyn funktion alustavaa määrittelemistä jo kurssissa MA02, ks. K4. K11. Myös lukujonon raja-arvo kannattaa määritellä tässä lyhyesti. E. Tyyppiä x → ∞ olevan epäolennaisen raja-arvon yhteydessä todetaan, että sama tulos saadaan usein myös, kun mennään äärettömään ”kokonaislukujen kautta”, jolloin kyseessä on vastaavan lukujonon raja-arvo. K12. Entä e? E. Määritetään limn→∞ an a:n eri arvoilla. Määritellään e = limn→∞ (1+ n1 )n . Todetaan kokeellisesti, että tämä raja-arvo on olemassa, ja lasketaan sille likiarvo. Yleisen potenssin määrittelyn jälkeen mainitaan (ilman todistusta), että e = limx→∞ (1 + x1 )x . K13. Korkeammat derivaatat, funktion kulun (kasvaa, vähenee) tutkiminen ja ääriarvotehtävät kuulunevat tähän kurssiin. 4 E. Lisätään nämä. MA09: Differentiaalilaskenta 2 Ei kommentteja. MA10: Integraalilaskenta Ei kommentteja. MA11: Geometria 2 E. Ehkä ”Avaruusgeometria” on parempi nimi. MA12: Lukujonot ja sarjat E. Ehdotan siis lukujonon määrittelemistä jo kurssissa MA02, ks. K3, ja lukujonon raja-arvon havainnollista määrittelemistä jo kurssissa MA08, ks. K11. K14. Yliharmoninen sarja korostuu liikaa, jos sitä käsitellään pakollisessa oppimäärässä (MA10) mutta geometrista sarjaa ei. E. Siirretään yliharmonisen sarjan suppenemistodistus kurssista MA10 tänne. MA13: Analyysin jatkokurssi E. Ehdotan siis kompleksilukujen poistamista kurssista MA05, ks. K7, joten poistetaan niiden osuus myös tästä. 5