‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11‬‬ ‫תרגיל ‪ – 11‬הנגזרת‬ ‫‪ .1‬עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות‪ ,‬קבעו האם היא גזירה ב־‪ 0‬והאם היא גזירה ב־‪:1‬‬ ‫|‪f4 (x) = − |x − 1‬‬ ‫‪f3 (x) = |x| − 1‬‬ ‫|‪f2 (x) = |x − 1‬‬ ‫|‪f1 (x) = |x‬‬ ‫= )‪f8 (x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪f7 (x) = x2 − 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪f6 (x) = x2‬‬ ‫|‪f5 (x) = |x| − |x − 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .2‬חשבו לפי ההגדרה )אחת מהשתיים( את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = x2 + 5x + 8‬‬ ‫‪ .3‬חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = cos x‬‬ ‫‪ .4‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)א(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x − 5‬‬ ‫)ד(‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‬ ‫)ז(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5x2‬‬ ‫‪4x3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ה(‬ ‫‪x+2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪f (x) = x2 − 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)ג(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ .5‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪) f (x) = x +‬ב( )‪f (x) = 3x2 − 2 (4 + 3x‬‬ ‫)א(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)ד(‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(5x + 2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫)ה( ‪x4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)ז( √ = )‪f (x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫)‪x (x + 1) (x + 2‬‬ ‫)ט(‬ ‫)‪(x − 1) (x − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)ג(‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√ = )‪f (x‬‬ ‫)ו(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫√‬ ‫‪x x+1‬‬ ‫)ח(‬ ‫‪2 − 3x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) = (3x + 1) 5 −‬‬ ‫)ו(‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 + 2x − 3‬‬ ‫)ח(‬ ‫‪x2 − 2x + 3‬‬ ‫√‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)ט(‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ .6‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫)א( )‪f (x) = sin (2x‬‬ ‫‪cos2 x + sin2 x‬‬ ‫)ד(‬ ‫‪sin x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‬ ‫)ז( ‪f (x) = tan sin2 x‬‬ ‫)ב( ‪f (x) = cot x‬‬ ‫)ג( ‪f (x) = x cos x‬‬ ‫)ה( )‪f (x) = cos (sin x‬‬ ‫)ו( )‪f (x) = sin (cos x‬‬ ‫‬ ‫)ח( ‪f (x) = cos tan3 x‬‬ ‫‬ ‫)ט( ? ‪f (x) = sin2 cos4 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11‬‬ ‫‪ .7‬חשבו באמצעות המשפט אודות נגזרת של פונקציה הפוכה את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = arccos x‬‬ ‫‪ .8‬תהי ‪ f : R → R‬פונקציה הפיכה‪ ,‬ונניח כי ‪ .f 0 (1) = 3 ,f (1) = 2‬האם )‪ f −1 (x‬גזירה ב־‪ ?2‬אם לא‪ ,‬הסבירו מדוע‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אם כן‪ ,‬חשבו את )‪. f −1 (2‬‬ ‫‪ .9‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3 x + 1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪f (x) = x3 + 3x + 4‬‬ ‫)א(‬ ‫‪1−x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)ד(‬ ‫‪3x2 − 1‬‬ ‫√ = )‪f (x‬‬ ‫‬ ‫)ז( ‪f (x) = ln x7 + 3x6 + 3‬‬ ‫‬ ‫)ג(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x2 − 1‬‬ ‫‬ ‫‪f (x) = ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x) = ex sin‬‬ ‫‬ ‫)ה( ‪f (x) = x arctan x2‬‬ ‫)ו(‬ ‫)ח( )‪f (x) = 2arcsin(3x‬‬ ‫)ט( ‪f (x) = 34‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .10‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬פונקציה שאינה חסומה ב־]‪ [a, b‬אינה גזירה בקטע הסגור ]‪.[a, b‬‬ ‫‪ .11‬מצאו דוגמה לפונקציה רציפה וגזירה על כל הישר‪ ,‬מלבד נקודה אחת שבה היא אינה רציפה‪ ,‬ונקודה אחת אחרת שבה‬ ‫היא רציפה אך לא גזירה‪.‬‬ ‫‪ ? .12‬ידוע כי )‪ f (x‬רציפה ב־‪ ,x = 2‬ומקיימת‬ ‫)‪f (x) − π − 3 (x − 2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫חשבו את )‪ f (2‬ואת )‪.f 0 (2‬‬ ‫‪ .13‬יהיו )‪ f (x) , g (x‬שתי פונקציות המוגדרות על כל הישר הממשי‪ g (x) ,‬גזירה על כל הישר הממשי‪.‬‬ ‫נגדיר )‪ h1 (x) = f (x) + g (x‬ו־)‪ .h2 (x) = f (x) g (x‬ענו על כל אחד מן הסעיפים הבאים בנפרד‪:‬‬ ‫)א( אם ידוע כי )‪ h1 (x‬גזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי )‪ f (x‬גזירה על כל הישר הממשי?‬ ‫)ב( אם ידוע כי )‪ h2 (x‬גזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי )‪ f (x‬גזירה על כל הישר הממשי?‬ ‫‪ ? .14‬תנו דוגמה לפונקציה שאינה גזירה באינסוף נקודות שונות‪.‬‬ ‫‪2‬‬