1. No category

Matematik-teknologi 3. semester
Projekt introduktion
Thomas Arildsen,
Arne Jensen,
Rafael Wisniewski
Version 3
31. august 2015
1
Indledning
Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3. semester matematik-teknologi
uddannelsen. Ifølge studieordningen [8] er temaet dynamiske systemer. Dette er et meget bredt
tema. I denne introduktion giver vi en afgrænsning af temaet og nogle forslag til emner man
kan koncentrere projektet om.
Et dynamisk system kan for eksempel være et pendul eller en tennisbold. I begge eksempler
er det systemets tidsudvikling man ønsker at studere. Den første afgrænsning af projektet
består i at vi studerer systemer der har en kontinuert tidsparameter. En af grundene til denne
afgrænsning er, at 4. semesters projekttema er centreret om diskret tid systemer. Derudover er
der på 4. semester et kursus i diskret tid systemer.
Et dynamisk system med kontinuert tid er oftest beskrevet ved brug af differentialligninger.
Vi vil begrænse os til dynamiske systemer der kan beskrives ved hjælp af systemer af sædvanlige
differentialligninger. Lad os se på eksemplet med en tennisbold. Der er valgt et koordinatsystem
med lodret z-akse. Positionen til tiden t er beskrevet ved en positionsvektor r(t). Hastigheden
2
og accelerationen til tiden t er givet ved v(t) = dtd r(t) og a(t) = dtd 2 r(t). Fysikkens love giver
en ligning mellem de tre vektorer r(t), v(t) og a(t), den dynamiske ligning. I eksemplet er det
Newtons lov, der siger at
ma(t) = F(t, r(t), v(t)),
(1.1)
hvor F er den kraft der påvirker tennisbolden og m er dens masse. Skrevet som et system af
differentialligninger er det
2
m dtd 2 r(t) = F(t, r(t), dtd r(t)).
(1.2)
For at komme videre i analysen af dette dynamiske system skal vi beslutte hvilken model vi
vil anvende for kraften. Man kan vælge at modellere tennisbolden som en punktpartikel og alene
at tage hensyn til tyngdekraften, eller man kan vælge at modellere tennisbolden som en genstand
med en endelig udstrækning, hvor det så bliver relevant at tage hensyn til luftmodstanden. Man
kan også inddrage tennisboldens rotation (spin). Modellen kan hurtigt blive meget kompliceret.
Eksemplet giver nogle af de deltemaer der kan indgå i projektet.
1. Modellering af dynamiske systemer.
2. Eksistens af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Entydighed af løsning.
Løsningers afhængighed af begyndelsesbetingelser og parametre. Er der løsninger for
vilkårligt lange tidsrum?
1
3. Approksimation af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Numeriske
og grafiske metoder til undersøgelse af løsningerne.
4. Hvor god en beskrivelse giver den approksimative model af det dynamiske system?
2
Matematiske aspekter
De matematiske værktøjer, der er til rådighed til en stringent analyse af et differentialligningssystem som (1.2) er blandt andet den lineære algebra fra 1. semester og calculus fra 2. semester.
Derudover kurserne Analyse 1 og Linearitet og differentiabilitet, som skal følges i dette semester.
Lad os se på et simpelt problem, en enkelt første ordens differentialligning:
dx
= ax,
dt
a ∈ R.
(2.1)
Det er velkendt at samtlige løsninger er x(t) = ceat , c ∈ R en vilkårlig konstant. En entydig
løsning fås, hvis man tilføjer en begyndelsesbetingelse, for eksempel x(t0 ) = x0 , således at
løsningen der opfylder denne betingelse er x(t) = x0 ea(t−t0 ) .
En generel første ordens differentialligning for en enkelt funktion x(t) er af formen
dx
= f (t, x),
dt
(2.2)
hvor f : Ω → R er en funktion, der er defineret på en åben delmængde Ω ⊆ R2 . En begyndelsesbetingelse er givet ved
x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) ∈ Ω.
(2.3)
For at formulere et matematisk resultat er det nødvendigt at gøre antagelser om funktionen
f . En mulig antagelse er at forlange, at f : Ω → R skal være en kontinuert funktion. Under
den antagelse er der altid en løsning til (2.2) der opfylder (2.3), men den er ikke nødvendigvis
entydig. Det leder til første problemstilling.
Problemstilling 2.1. Formulér præcise betingelser for eksistens og entydighed af løsninger til
et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3).
Det resultat man kan formulere generelt er et lokalt eksistensresultat. Det betyder, at
løsningen eksisterer i et (lille) interval (t0 − δ, t0 + δ). Det leder til følgende problemstilling.
Problemstilling 2.2. Undersøg eksistens af et maksimalt løsningsinverval Imax 3 t0 . Hvis f
er defineret på hele R2 , er der betingelser på f der sikrer at Imax = R?
I anvendelser har man ofte data der er behæftet med fejl. Det er derfor relevant at spørge,
at hvis vi har to begyndelsesbetingelser x(t0 ) = x0 og x(t0 ) = x̃0 , hvor x0 − x̃0 er lille, vil de
to løsninger også være tæt på hinanden? Hvis det er tilfældet taler man ofte om stabilitet af
løsninger. Man kan også spørge om stabilitet hvis vi ser på løsninger til to differentialligninger
dx
= f (t, x) og
dt
dx
= f˜(t, x),
dt
(2.4)
hvor f (t, x) − f˜(t, x) er lille.
Problemstilling 2.3. Undersøg stabilitet af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2),
(2.3). Dette omfatter en præcisering af hvad der menes med at x0 − x̃0 er lille, eller at f (t, x) −
f˜(t, x) er lille.
2
Der er mange varianter af formuleringen af stabilitet. Det er et meget vigtigt begreb i
anvendelser og i modellering. Det vil vise sig at det kan være svært at præcisere hvad man
forstår ved stabilitet.
I stedet for en enkelt første ordens differentialligning kan man se på et system af første
ordens differentialligninger. Et eksempel på et system af to differentialligninger er
dx1
= f1 (t, x1 , x2 ),
dt
dx2
= f2 (t, x1 , x2 ).
dt
Begyndelsesbetingelsen er da af formen
x1 (t0 ) = x01 ,
x2 (t0 ) = x02 .
Ofte anvender man vektornotation
x1 (t)
x
x(t) =
, x0 = 01 ,
x2 (t)
x02
f1 (t, x1 , x2 )
f (t, x) =
,
f2 (t, x1 , x2 )
således at begyndelsesværdiproblemet kan skrives på formen
dx
= f (t, x),
dt
x(t0 ) = x0 .
(2.5)
Problemstillingerne ovenfor kan generaliseres til et system af N første ordens differentialligninger.
Problemstilling 2.4. Formulér resultater for systemer af første ordens differentialligninger,
der er analoge med resultaterne for en enkelt første ordens differentialligning.
Systemet (1.2) er et system af tre anden ordens sædvanlige differentialligninger. Man kan
reducere dette system til et system af seks første ordens differentialligninger.
Vi ser først på en enkelt anden ordens differentialligning
d2 x
= f (t, x, dx
).
dt
dt2
(2.6)
dx
.
dt
(2.7)
Vi introducerer
x1 = x,
x2 =
Ligningen (2.6) kan da skrives som systemet
dx1
= x2 .
dt
dx2
= f (t, x1 , x2 ).
dt
Generalisationen til orden højere end to og til systemer af højere ordens differentialligninger er
ligefrem. Igen er det en fordel at benytte vektornotation.
Det er vigtigt at have kendskab til et antal sædvanlige differentialligninger, der kan løses på
lukket form. Et simpelt eksempel er given i (2.1). Det leder til følgende problemstilling.
Problemstilling 2.5. Lav et katalog over nogle første og anden ordens sædvanlige differentialligninger, der har løsninger på lukket form. Giv eksempler på systemer af første ordens
differentialligninger, der har løsninger på lukket form.
3
En vigtig klasse af systemer af første ordens differentialligninger er dem, der af matematikere
kaldes lineære og autonome. Autonome systemer kaldes af ingeniører for tidsinvariante systemer.
Lad A være en reel N ×N matrix, og lad x(t) være en vektorfunktion x : I → RN , I ⊆ R. Et
lineært og autonomt første ordens system af differentialligninger med en begyndelsesbetingelse
er da givet som
dx
= Ax, x(0) = x0 .
(2.8)
dt
Ligningen (2.1) er et eksempel på (2.8), svarende til N = 1. Løsningen er givet ved en
eksponentialfunktion, se ovenfor. Formelt set er løsningen til (2.8) også givet ved en eksponentialfunktion
x(t) = etA x0 .
(2.9)
Dette giver først mening når vi har defineret eksponentialfunktionen af en matrix. Heraf følger
Problemstilling 2.6. Hvordan kan vi definere etA , når A er en N × N matrix? Hvilke egenskaber har etA ? Hvordan kan vi beregne etA ?
3
Numeriske aspekter
I kurset Computerstøttede beregninger er der givet en introduktion til nogle metoder til numerisk løsning af sædvanlige differentialligninger. Man kan vælge at arbejde videre med disse
metoder, både for at illustrere løsninger til nogle ligninger, og med henblik på en teoretisk
forståelse af de numeriske metoder.
Man kan også vælge at studere andre algoritmer til numerisk løsning af differentialligninger.
For eksempel implicitte metoder og multistep metoder (Adams-Bashforth-Moulton metoder)
Til illustration af løsninger og for eksempel stabilitet/instabilitet kan man også anvende
Maple pakken DEtools.
Det anbefales som minimum at sætte sig ind i den version af Runge-Kutta metoderne, der
kaldes enten Runge-Kutta-Fehlberg eller RKF4(5). Det er en af de oftest anvendte algoritmer
til løsning af systemer af sædvanlige differentialligninger. Det er en adaptiv version af den
klassiske RK4 algoritme. RKF4(5) justerer automatisk skridtlængden baseret på en på forhånd
givet tolerance for den numeriske løsning.
De numeriske metoder spiller en vigtig rolle, da de allerfleste differentialligninger ikke kan
løses på lukket form.
4
Anvendelser
Der er utallige anvendelser af differentialligninger. Nedenfor er angivet et par eksempler. I
porjektet anbefales det at vælge én anvendelse, og analysere den baseret både på meget simple
modeller og på mere realistiske modeller.
4.1
Rovdyr-byttedyr modeller
Nogle af disse modeller blev analyseret ved numeriske eksperimenter i kurset Computerstøttede
beregninger. Vi repeterer den basale model.
4
Populationen af byttedyr til tiden t er x1 (t), og populationen af rovdyr er x2 (t). Udviklingen
i tid kan modelleres ved følgende system af differentialligninger
dx1
(t) = αx1 (t) − βx1 (t)x2 (t),
(4.1)
dt
dx2
(t) = −γx2 (t) + δx1 (t)x2 (t).
(4.2)
dt
Her er α, β, γ, og δ fire positive parametre, der karakteriserer systemet.
Parameteren α er vækstraten for byttedyrene, mens leddet −βx1 (t)x2 (t) angiver med hvilken
rate byttedyrene bliver spist af rovdyrene. Parameteren γ angiver hvor hurtigt rovdyrene uddør,
hvis der ingen byttedyr er. Endelig angiver leddet δx1 (t)x2 (t) vækstraten i rovdyrene, når de
spiser byttedyrene.
I de numeriske eksperimenter blev det vist, at løsningskurverne alle var lukkede kurver. Det
leder til følgende problemstilling
Problemstilling 4.1. Gennemfør en matematisk analyse af alle løsninger til systemet givet
ved (4.1) og (4.2).
Når den matematiske analyse er gennemført kan man begynde at se på forskellige mulige generalisationer, hvor man for eksempel erstattet den eksponentielle vækstmodel for byttedyrene
med den logistiske model. Det leder til systemet
dx1
(t) = αx1 (t) − βx1 (t)x2 (t) − µx1 (t)2 ,
dt
dx2
(t) = −γx2 (t) + δx1 (t)x2 (t).
dt
Alle fem parametre ovenfor er positive.
Dette system kan man også forsøge at analysere matematisk, og man kan se på andre mulige
generalisationer.
4.2
Pendulet
Det matematiske pendul består af en ideel stang ophængt friktionsfrit, så at stangen kan bevæge
sig i en lodret plan. For enden af stangen er en masse, der modelleres som en punktpartikel
med masse m. Længden at stangen er `, og gravitationskonstanten betegnes med g. Vinklen
mellem stangen og en lodret linie gennem ophænget betegnes med θ. Pendulets svingninger er
da i denne model bestemt ved følgende differentialligning
d2 θ g
+ sin θ = 0.
(4.3)
dt2
`
I en mere detaljeret model kan man inddrage luftmodstand og friktion i ophænget. Man kan
også modellere stangen som et fysisk objekt med endelig udstrækning og med en masse, der
ikke er nul.
I en mere idealiseret model antager man, at man kun ser på små udsving, dvs θ lille. Fra
Taylors formel får vi da, at sin θ ≈ θ og ligningen bliver da
d2 θ g
+ θ = 0.
dt2
`
Det er den ligning der oftest bruges til at beskrive et pendul.
(4.4)
Problemstilling 4.2. Gennemfør en matematisk analyse af (4.4). Analysér løsningerne til
(4.3) numerisk. Påbegynd en matematisk analyse af (4.3).
5
4.3
Kranen
Model for det matematiske pendul kan udvides til at beskrive en kran. Kort sagt består en kran
af et pendul med en last, hvor pendulet er monteret på en vogn.
Bevægelse af lasten beskrives af to koordinater x = (x1 , x2 ) i R2
x1 = y1 + l sin θ
x2 = l cos θ,
hvor l er afstanden fra vognen til lasten, θ er vinklen mellem kablet og lodret retning, og
y = (y1 , 0) er vognens position. Bemærk at vognens bevægelse foregår i vandret retning, som
opgives af koordinaten y1 . Variablerne x, y og θ kan ses som funktioner af tiden. I mekanik
bruger man ofte en anden notation for afledede med hensyn til tid end den matematikere
anvender. Hvis x er en variable der afhænger af tiden t, så skriver man
ẋ =
dx
dt
og ẍ =
d2 x
.
dt2
Deres anden afledede med hensyn til tiden giver
ẍ1 = ÿ1 − θ̇2 l sin θ + θ̈l cos θ + 2θ̇l˙ cos θ + ¨l sin θ,
ẍ2 = −θ̇2 l cos θ − θ̈l sin θ − 2θ̇l˙ sin θ + ¨l cos θ.
(4.5)
(4.6)
To krafter påvirker lastens bevægelse: tyngdekraft G og friktion F :
θ̇
F =k ,
l
G = mg,
hvor m er lastens masse, og k er friktionskoefficienten. Newtons anden lov anvendt på lasten
giver
mẍ1 cos θ = mẍ2 − G − F.
(4.7)
Ved at sætte (4.5) og (4.6) i (4.7) får vi følgende differential ligning der beskriver θ ændring i
tiden
k θ̇
lθ̈ = −y1 cos θ − g sin θ − 2θ̇l˙ −
.
(4.8)
ml
Derudover beskrives vognens bevægelse ved hjælp af Newtons anden lov
M ÿ1 + bẏ1 − m(θ̇2 l + g cos θ) sin θ = K,
(4.9)
hvor M er vognens masse, b er en gnidningskoefficient, K er en ydre kraft (fra vognens motor
eller lignende). Udtrykket θ̇2 l i (4.9) er centripetalaccelerationen.
Ligningerne (4.5), (4.6), (4.8) og (4.9) tilsammen danner en model for kranen dvs. vognen
med hængende last. Hvori variablerne l og K kan styres af kranens operatør.
4.4
Masse-fjeder-systemer
Mange systemer i vores dagligdag kan modelleres som forskellige kombinationer af masser og
fjedre. Det gælder mange systemer, som kan vibrere/oscillere på forskellig vis. Sådanne systemer
kan evt. modelleres mere kompleks ved at inkludere dæmpning. Tænk f.eks. på bilers ophæng
med støddæmpere, springmadrasser, trampoliner, “Hoptimisten” osv.
6
Figur 1: Hoptimisten.
Som et simpelt eksempel på et masse-fjeder-system kan vi betragte en enkelt masse ophængt
i en enkelt fjeder uden dæmpning, se Figur 2a. En fjeder udøver en kraft proportional med den
længde, fjederen er udstrakt/sammentrykket i forhold til sit ligevægtspunkt (Hooke’s lov):
F = −kx
(4.10)
hvor k [N/m] er en fjederkonstant, som udtrykker, hvor “stærk” fjederen er, og x [m] er den
udstrakte afstand af fjederen. Det negative fortegn udtrykker, at fjederen trækker/skubber
imod træk-/trykretningen. I eksemplet (Figur 2a) vil tyngdekraften – ud over fjederen – påvirke
massen med en kraft:
d2 x
F = ma = m 2
(4.11)
dt
hvor m [g] er massen og a [m/s2 ] er accelerationen – her tyngdeaccelerationen a = g. Hvis vi
betragter situationen med ligevægt mellem kræfterne, kan vi opstille følgende ligning:
F =m
d2 x
= −kx
dt2
(4.12)
(4.12) udtrykker en differentialligning, som for dette simple system har løsningen:
x(t) = A cos(ωt + φ)
(4.13)
Heraf kan vi se, at massen i dette tilfælde vil oscillere harmonisk (cosinus-funktionen).
m
m
m
k1
k
k
k2
(a)
Massefjeder-system.
(b)
Massefjeder-system
med rotation.
(c)
Massefjeder-system
med to fjedre.
Figur 2: Eksempler på masse-fjeder-systemer.
7
Som sagt kan vi fra dette første simple system udvide systemerne på mange forskellige
måder. To eksempler ses i Figur 2b og 2c. I Figur 2b tilføjes endnu en bevægelsesretning;
rotation omkring fjederens akse, og i Figur 2c tilføjes endnu en fjeder således, at massen er
ophængt på to forskellige fjedre i forlængelse af hinanden. Dette er blot to af uendeligt mange
eksempler. Man kunne også betragte to forskellige fjedre forbundet “parallelt” ved siden af
hinanden eller tilføje en dæmpning – dvs. et element med friktion, som bremser bevægelsen.
Herudover kunne man udvide de nævnte en-dimensionelle eksempler til bevægelser i to eller
flere dimensioner.
Projektgruppen kan selv finde eksempler på anvendelser til inspiration i opbygningen af
systemet. Vejlederne kan her hjælpe med afgrænsning af systemet til en passende kompleksitet.
5
Litteratur
Der findes en meget omfattende litteratur om differentialligninger, på mange forskellige niveauer. Her er kun nogle få bøger nævnt.
Først nogle af bøgerne anvendt på 1. og 2. semester. Lærebogen fra Calculus [2] har i Chapter
8 en introduktion til differentialligninger. Kompendiet til Calculus [6] har en del resultater
vedrørende differentialligninger. Lærebogen fra Computerstøttede beregninger [9] indeholder
mange relevante resultater. Appendix E i Langtangens bog [4] har en del information om
numerisk løsning af differentialligninger i Python.
Bogen af Hirsch et al. [3] indeholder meget information om differentialligninger og dynamiske
systemer. Den starter relativt elementært, men når meget langt. En stor del af bogen kræver
forudsætninger, som I endnu ike har.
Bogen af Betounes [1] er en god matematisk solid introduktion til dynamiske systemer og
differentialligninger. Bogen af Møller [5] giver en meget stringent introduktion til sædvanlige
differentialligninger.
Den helt nye bog af Strang [7] indeholder utrolig meget information om differentialligninger,
lineær algebra, og samspillet mellem disse. Bogen er skrevet til ingeniør-studerende, og indeholder ikke stringente matematiske beviser. Men den indeholder mange eksempler og modeller,
og korte beskrivelser af hovedresultater for disse.
6
Krav til projektet
Der er i studieordningen [8] stillet en række krav til projektet. Kravene under indgangene
“Viden” og “Færdigheder” vil given mening efterhånden som projektetarbejdet gennemføres.
Kravene under “Kompetencer” kræver nok et par kommentarer. Det første krav er
skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske
begreber indenfor lineær algebra og matematisk analyse
Det betyder at der i projektet skal være korrekte beviser og argumenter for et antal centrale
resultater vedrørende samspillet mellem lineær algebra og sædvanlige differentialligninger. Med
andre ord, numeriske beregninger er ikke nok for at etablere et resultat.
Det andet krav er
skal udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt
og præcis matematisk fremstilling
8
var også et krav til projektet på 2. semester.
I vil opleve at det kræver en betydelig indsats af formulere et matematisk bevis korrekt,
både mundtligt og skriftligt.
Vedrørende afvejningen mellem de teoretiske og matematiske overvejelser og analyse af
konkrete modeller baseret på differentialligninger, så er kravene, at mindst 31 af projektet skal
koncentrere sig om det matematisk stringente, og mindst 13 af projektet skal koncentrere sig om
analyse af en konkret model eller anvendelse.
Litteratur
[1] D. Betounes, Differential Equations: Theory and Applications, Springer 2001.
[2] C. H. Edwards and D. E. Penney, Calculus – Early transcendentals, 7th ed., Prentice Hall,
2008.
[3] M. E. Hirsch, S. Smale, and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems,
and an Introduction to Chaos, 2nd ed., Elsevier 2004.
[4] H. P. Langtangen, A Primer on Scientific Computing with Python, 3rd ed., Springer 2012.
[5] J. S. Møller, Ordinary Differential Equations. An Introduction for Mathematicians, Aarhus
Universitet 2014.
[6] E. B. Saff et al., Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition),
Pearson, 2010.
[7] G. Strang, Differential Equations and Linear Algebra, SIAM 2014.
[8] Studieordning for bacheloruddannelsen i matematik-teknologi, 2013.
[9] P. Turner, Guide to scientific computing, Macmillan Press 2000.
9