t - szymanski spil
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse ...................................................................................................................................................... 1 Koordinatsystem i rummet ........................................................................................................................................... 2 Centrale begreber.......................................................................................................................................................... 3 Linjer ............................................................................................................................................................................ 5 Parameterfremstillinger for linjer ............................................................................................................................. 5 Skift mellem parameterfremstilling og ligning (kun i planen) .............................................................................. 7 Fra parameterfremstilling til ligning: .................................................................................................................. 7 Fra ligning til parameterfremstilling: .................................................................................................................. 8 Skæring mellem linjer i planen: ............................................................................................................................ 9 Skæring mellem linjer i rummet: ........................................................................................................................11 Plot i Maple: .......................................................................................................................................................12 Linjer med ikke-jævn bevægelse: ........................................................................................................................13 Cirkler .........................................................................................................................................................................14 Jævn cirkelbevægelse: ............................................................................................................................................14 Ikke-jævn cirkelbevægelse: ....................................................................................................................................16 Epicykler: ....................................................................................................................................................................17 Snurretoppen:.........................................................................................................................................................19 Ellipser: .......................................................................................................................................................................22 Parabler: .....................................................................................................................................................................24 Cykloider: ....................................................................................................................................................................28 Mere om parameterfremstillinger: ..........................................................................................................................28 1 Koordinatsystem i rummet Vi skal i dette forløb arbejde både i planen og i rummet, dvs. både i 2 og 3 dimensioner. Som det første ser vi derfor kort på, hvordan man udvider vektorbegrebet til tre dimensioner. Meget kort sagt tilføjer man bare en ekstra z-koordinat til vektorerne, når man går fra 2 til 3 dimensioner. Udvidelsen af vores retvinklede koordinatsystem fra planen foregår ved, at man tilføjer en z-akse, der står vinkelret på både x-aksen og y-aksen, og som har nulpunkt i det "gamle" origo, således at det "nye" origo bliver (0,0,0). Der er to mulige retninger for ovenstående z-akse. Men man har vedtaget, at z-aksen skal have den retning, der opfylder, at hvis man står oppe på z-aksen og kigger ned på xy-planen, skal omløbsretningen fra x-aksen til y-aksen være positiv. Dette kan også beskrives ved højrehåndsreglen, hvor du på højre hånd skal vende tommelfinger, pegefinger og langfinger, så de står vinkelret på hinanden, hvorefter tommelfinger vil pege i x-aksens retning, pegefinger i y-aksens retning og langfinger i z-aksens retning. Koordinaterne til en vektor indføres så på samme måde som i planen ved, at det er koefficienterne foran 7 de tre enhedsvektorer i , j og k , der er vektorens koordinater, dvs. hvis a 7 i 3 j k er a 3 . 1 De fleste regneregler kan overføres direkte fra plangeometri til rumgeometri ved en tilføjelse af et ekstra led, f.eks. alle grundlæggende regneregler for vektorer, længde af vektor, prikprodukt, vinkel mellem vektorer og projektion af vektor på vektor. Der er dog også forskelle mellem plan- og rumgeometri: Begreberne tværvektor og determinant findes ikke i rumgeometrien, og begrebet krydsprodukt findes ikke i plangeometrien. Man kan sige, at begrebet krydsprodukt ved sine egenskaber erstatter begreberne tværvektor og determinant. 2 Centrale begreber Definition: En vektorfunktion er en funktion f :U V , der afbilder fra en mængde U til en mængde af vektorer V. Vektorfunktioner returnerer altså vektorer. Disse vektorer kan have 2, 3 eller flere koordinater. Vi skal kun se på vektorfunktioner, der returnerer vektorer med 2 eller 3 koordinater, da vi kun arbejder i planen eller (3-D-)rummet. Hvis U , dvs. hvis vi afbilder fra en delmængde af de reelle tal, kalder vi det ofte for parameterfremstillinger og kalder skalaren (tallet) for parameteren. Selv hvis U er en mængde af vektorer, kan man dog tale om parameterfremstillinger, hvor der i så fald er flere parametre. Eksempel 1: Vektorfunktionen f : x t 4 3 t 4 3 V givet ved f t y t 1 5 t 1 t 5 ; t 1 z t 7 t 7 3 er parameterfremstillingen for en ret linje i rummet, der går gennem punktet (4,1,-7) og hvor r 5 er 1 en retningsvektor for linjen. Bemærk de forskellige skrivemåder. Der er ikke forskel på, om man skriver: x t 4 3 4 3 x 4 3t eller eller f t 1 t 5 y t 1 t 5 . y 1 5t 7 1 z 7 t 1 z t 7 Pointen er, at hver koordinat til linjens punkter er en funktion af parameteren t. 2 x( s, t ) 3 s 2t 7 V givet ved g s, t Eksempel 2: Vektorfunktionen g :U kan siges at y ( s, t ) log(t ) 5 s t afbilde vektorer (s,t) over i vektorer (x,y) i planen, eller man kan sige, at man har parametrene s og t. Betegnelse: De "almindelige" funktioner, der beskriver hvordan de enkelte koordinater afhænger af parametrene ( x t 4 3t , y t 1 5t , z t 7 t , x s, t 3s 2 2t 7 og y s, t log(t ) 5s t ), kaldes for koordinatfunktioner. I forskellige sammenhænge kan det være en fordel af dele vektorfunktionen op i de enkelte koordinatfunktioner og arbejde med hver af disse for sig. 3 Hvis vi arbejder med vektorfunktioner, hvor U , kan vi definere den afledede funktion: Definition: Hvis vektorfunktionen f : V har differentiable koordinatfunktioner, er den afledede x ' t funktion f ' t y ' t bestemt som vektorfunktionen, der fremkommer ved, at hver koordinatfunktion ... differentieres for sig (uanset antallet af koordinatfunktioner). For alle værdier t0 , hvor koordinatfunktionerne er differentiable, kan man desuden bestemme x ' t0 differentialkvotienten i t0 ved f ' t0 y ' t0 . ... Den afledede funktion er altså en vektorfunktion. Differentialkvotienten er en vektor. Hvis differentialkvotienten er en egentlig vektor (dvs. hvis den ikke er nulvektoren), kaldes f ' t0 en tangentvektor til grafen for f i f t0 . Den linje, der går gennem f t0 , og hvor f ' t0 er en retningsvektor for linjen, kaldes for tangenten til grafen for f i f t0 . Hvis vi arbejder med stedfunktioner, kan vi desuden definere følgende størrelser: Definition: Hvis parameteren t i vektorfunktionen s: V kan betragtes som tiden, og hvis s t er en stedfunktion, der angiver et objekts placering til tiden t, og hvis s har koordinatfunktioner, der er to gange differentiable, kan man indføre følgende størrelser: v t s ' t kaldes hastighedsfunktionen. v t0 s ' t0 kaldes hastigheden til tiden t0 . v t0 s ' t0 kaldes farten til tiden t0 . a t v ' t s '' t kaldes accelerationsfunktionen. a t0 v ' t0 s '' t0 kaldes accelerationen til tiden t0 . Med alle disse begreber på plads er vi nu klar til at tage fat på nogle konkrete tilfælde: 4 Linjer Parameterfremstillinger for linjer I både planen og rummet gælder, at enhver vektor, der er parallel med en given linje, kaldes for en retningsvektor for den pågældende linje. Enhver linje har altså uendeligt mange retningsvektorer, der alle er indbyrdes parallelle (dvs. for to vilkårlige retningsvektorer til en linje gælder r1 k r2 ; k 0 ). En linje i planen eller i rummet kan angives ved parameterfremstillingen OP OP0 t r , hvor P0 er et punkt på linjen og r en retningsvektor for linjen. Denne sammenhæng fremgår af følgende figur (i rummet), hvor punktet P er et vilkårligt punkt på linjen, mens P0 er et fast punkt på linjen: Eksempler: x 1 2 l : t ; t y 3 1 er en parameterfremstilling for den linje i planen, der går gennem punktet 2 (1,3) og har r som retningsvektor. 1 x 2 5 m : y 2 t 3 ; t z 0 3 er en parameterfremstilling for den linje i rummet, der går gennem 5 punktet (-2,2,0) og har r 3 som retningsvektor. 3 5 Hastighed og acceleration: Hvis vi betragter eksemplerne fra forrige side som stedfunktioner, hvor t er tiden, får vi: For l: x ' t 1 2t ' 2 v t s ' t y ' t 3 t ' 1 x ' t0 2 v t0 s ' t0 y ' t0 1 v t0 22 12 5 Heraf fremgår det, at det er en bevægelse med konstant hastighed, og farten er 5. I en bevægelse med konstant hastighed er accelerationen nulvektoren. 0 a t s '' t 0 For m: x '(t ) 5 v(t0 ) v(t ) s '(t ) y '(t ) 3 z '(t ) 3 v0 t 5 2 Igen er det altså en bevægelse med konstant hastighed og accelerationen 0 3 32 25 9 9 43 2 0 a t 0 0 Generelt har vi altså, at hvis OP OP0 t r angiver en stedfunktion, er v t r . Retningsvektoren svarer altså med denne opskrivning til hastigheden i bevægelsen. Dette fører frem til følgende vigtige observation: Fysik vs. matematik I matematik er vi ofte kun interesserede i at vide, hvilke punkter der ligger på en linje. I matematik er der derfor uendeligt mange parameterfremstillinger for en konkret linje, da man frit kan vælge et punkt på linjen samt en vilkårlig retningsvektor. I fysik er man interesseret i at beskrive en konkret bevægelse, og derfor kan man ikke frit vælge retningsvektor, da denne svarer til bevægelsens hastighed. Man kan i princippet frit vælge sit punkt, da man selv bestemmer, hvornår man starter tiden, men oftest er der ét eller to punkter, der er mere oplagte at vælge som udgangspunkt. I fysik vil man inden for kinematikken ikke anvende ligninger for linjer, da disse ikke indeholder tidsdimensionen. 6 Skift mellem parameterfremstilling og ligning (kun i planen) Parameterfremstillinger for linjer indeholder mere information end ligninger for linjer, fordi ligningerne kun fortæller hvilke punkter, der ligger på linjen, mens parameterfremstillingen ud over dette også fortæller, hvornår de enkelte punkter fremkommer (hvis man betragter parameteren som tiden). Fra parameterfremstilling til ligning: 1. metode: I en parameterfremstilling kan vi aflæse en retningsvektor r for linjen samt et punkt P0 , som linjen går igennem. For at kunne bestemme ligningen for en linje, skal man kende en normalvektor og et punkt. Vi udnytter nu, at tværvektoren til en retningsvektor giver en normalvektor til linjen: n r , hvorefter ligningen fremkommer ved a x x0 b y y0 0 , hvor P0 x0 , y0 og a n . b x 5 2 2 Eksempel: t er en parameterfremstilling for linjen l. Dvs. r er en y 1 3 3 3 retningsvektor, og dermed er n r en normalvektor. Linjens ligning fremkommer nu ved: 2 3 x 5 2 y 1 0 3x 2 y 17 0 . 2. metode: I den øverste koordinatfunktion isolerer vi t (udtrykt ved x) og indsætter dette i den nederste koordinatfunktion. x 5 2 Eksempel: t . y 1 3 Først anvendes den øverste koordinatfunktion x 5 2t t 1 5 x . 2 2 5 3 15 3 17 1 Dette indsættes i den nederste koordinatfunktion: y 1 3 x 1 x x 2 2 2 2 2 2 Hvis vi vil have ligningen på samme form som ved første metode, kan vi forlænge ligningen med 2 og samle alle led på den ene side: 2 y 3x 17 3x 2 y 17 0 . Man kan nu stille sig spørgsmålet: Hvad vil der ske, hvis man forsøger at anvende de to metoder på linjer i rummet? 7 Vi ser først på 1. metode. Her kommer vi ret hurtigt i problemer, da vi støder på ordet tværvektor, et begreb vi kun kender fra planen, og som vi hurtigt kan se ikke kan udvides til rummet. x 3 1 2. metode: y 2 t 4 . z 5 3 Vi isolerer først t i den øverste koordinatfunktion: x 3 t t x 3 Dette indsættes i de to andre koordinatfunktioner: y 2 4 x 3 4 x 14 z 5 3 x 3 3x 14 For at komme videre forlænges den øverste ligning med 3 og den nederste med 4, hvorefter de lægges sammen: 3 y 4 z 14 . Men dette udtryk giver tydeligvis ikke mening, for det afhænger ikke af x. Forklaringen på dette problemer er, at man ikke kan angive en linje i rummet ved hjælp af en ligning. Fra ligning til parameterfremstilling: 1. metode: Hvis ligningen er på formen y ax b , hvor a er hældningen, vil en retningsvektor være 1 r , da hældningen netop fortæller, hvor meget man skal gå op/ned, hvis man går 1 ud ad x-aksen. a Man kan benytte punktet (0,b), da man ved, at linjen skærer y-aksen i dette punkt. Dvs. en x 0 1 parameterfremstilling er: t . y b a a 2. metode: Hvis ligningen er på formen ax by c 0 , kan man aflæse en normalvektor n . En b b retningsvektor kan så bestemmes ved r n . Man kan finde et punkt på linjen ved at indsætte a en vilkårlig x-værdi og så udregne den tilsvarende y-værdi. 4 7 Eksempel: 4 x 7 y 5 0 . En normalvektor aflæses til n , dvs. r n . Når x = 0 er 7 4 5 7 y 5 0 y . Altså er en parameterfremstilling: 7 8 0 x 7 5 t . y 4 7 Skæring mellem linjer i planen: To ikke-parallelle linjer i planen vil altid skære hinanden ét sted. Hvis linjerne er repræsenteret ved ligninger, kan man finde disse skæringspunkter ved at løse det tilhørende ligningssystem bestående af to ligninger med to ubekendte. Hvis den ene linje er angivet med en parameterfremstilling og den anden ved en ligning, kan man bestemme skæringspunktet ved at indsætte koordinatfunktionerne i ligningen og løse den fremkomne ligning med hensyn til parameteren: Eksempel 1 (ligning og parameterfremstilling): l : 5 x 2 y 10 0 x 2 1 m : t y 4 3 5 2 t 2 4 3t 10 0 t 12 0 t 12 Denne t-værdi indsættes i parameterfremstillingen: x 2 1 14 12 dvs. skæringspunktet er 14, 40 y 4 3 40 Eksempel 2 (ligning og parameterfremstilling): l : 3x 4 y 12 0 x 1 4 m : t y 7 3 3 1 4t 4 7 3t 12 0 27 0 Der fremkommer en absurditet, så der er ingen skæringspunkter (linjerne er parallelle). Eksempel 3 (ligning og parameterfremstilling): l : 3x 4 y 25 0 x 1 4 m : t y 7 3 3 1 4t 4 7 3t 25 0 0 0 Der fremkommer en identitet, dvs. alle punkter på l ligger også på m (de to linjer er sammenfaldende). Hvis begge linjer er angivet ved parameterfremstillinger, kan man stadigvæk finde skæringspunkter, men i dette tilfælde kan man udvide undersøgelsen til at spørge om, hvorvidt de to objekter støder sammen, hvis man betragter parameterfremstillingerne som stedfunktioner. 9 Eksempel 1 (Parameterfremstilling og parameterfremstilling): x 2 3 m : t y 5 2 x 1 2 l : s y 3 1 Vi skal finde de værdier for s og t, der giver ens punkter (x,y) i parameterfremstillingerne, dvs. der skal både gælde, at x-værdierne og y-værdierne skal være ens. Dette giver os ligningssystemet: 2 3t 1 2s 5 2t 3 s Dette er to ligninger med to ubekendte, og vi løser ved at forlænge den nederste ligning med 2 og lægge de to ligninger sammen: 2 3t 10 4t 1 2s 6 2s 8 t 7 t 15 x 2 3 43 Dette indsættes i udtrykket for m: 15 , dvs. skæringspunktet er (-43,25) y 5 2 25 Man kan kontrollere, at man har regnet rigtigt, ved at finde den tilsvarende s-værdi: 5 2 15 3 s s 22 x 1 2 43 Indsat: l : 22 . Dette passer med det allerede beregnede. y 3 1 25 Vi har altså fundet et skæringspunkt, men vi kan samtidig sige, at de to objekter ikke vil støde sammen, for det sted, hvor deres baner krydser, passerer det ene objekt til tiden -22, mens det andet passerer til tiden 15. Eksempel 2 (Parameterfremstilling og parameterfremstilling): x 2 3 m : t y 5 2 Vi får ligningssystemet: x 73 2 l: s y 40 1 2 3t 73 2s 5 2t 40 s Dette er to ligninger med to ubekendte, og vi løser ved at forlænge den nederste ligning med 2 og lægge de to ligninger sammen: 2 3t 10 4t 73 2s 80 2s 8 t 7 t 15 x 2 3 43 Dette indsættes i udtrykket for m: 15 , dvs. skæringspunktet er (-43,25) y 5 2 25 Den tilsvarende s-værdi er: 5 2 15 40 s s 15 Da s t støder objekterne sammen. 10 Skæring mellem linjer i rummet: I rummet er der følgende muligheder: 1) Linjerne er sammenfaldende (uendeligt mange fællespunkter) 2) Linjerne er parallelle (ingen skæringspunkter) 3) Linjerne er ikke parallelle og skærer heller ikke hinanden (vindskæve linjer). 4) Linjerne er ikke parallelle og skærer hinanden ét sted. Derudover kommer der i tilfælde 4 den ekstra detalje med, om to objekter vil støde sammen eller ej. Det er specielt tilfældene 3 og 4, der kræver nogle overvejelser, fordi det er ret nemt at se, om to linjer er parallelle, da man kan se nøjes med at kigge på deres retningsvektorer (der i så fald er parallelle). x 4 1 Eksempel 1: l : y 3 s 5 z 2 3 x 5 2 m : y 1 t 4 z 0 3 Retningsvektorerne er tydeligvis ikke parallelle, og vi vil undersøge, om de to linjer skærer hinanden, dvs. vi stiller spørgsmålet: Findes der en værdi for s og en værdi for t, der giver ens værdier for x, y og z? For at besvare dette spørgsmål stiller vi koordinatfunktionerne op overfor hinanden: 4 s 5 2t 3 5s 1 4t 2 3s 3t Her har vi tre ligninger med to ubekendte, og vi skal nu være opmærksomme på, at alle tre ligninger skal give sande udsagn for én værdi af s og én værdi af t. De to første ligninger løses ved at forlænge den øverste ligning med 2 og trække den fra den midterste ligning: 3 5s 8 2s 1 4t 10 4t Indsat i den øverste ligning giver dette: 4 11 3s 11 s 22 3 22 49 49 5 2t 2t t 3 3 6 Disse værdier for s og t sørger for, at x- og y-værdierne er ens, mens spørgsmålet er, om også zværdierne er ens. Dette afgøres ved at se, om den sidste ligning fører til et sandt udsagn med de pågældende værdier: 22 49 49 49 2 22 20 Dette er en absurditet, dvs. der er ingen 3 6 6 6 skæringspunkter (linjerne er vindskæve). 2 3 11 x 6 5 Eksempel 2: l : y 1 s 2 z 3 7 x 3 3 m : y 21 t 8 z 20 2 Vi opstiller igen ligningssystemet bestående af tre ligninger med 2 ubekendte: 6 5s 3 3t 1 2s 21 8t 3 7 s 20 2t I dette tilfælde er det nemmest at forlænge den nederste ligning med 4 og lægge de to nederste ligninger sammen: 1 2s 12 28s 21 8t 80 8t 11 30s 101 30s 90 s 3 Indsat i den nederste ligning giver det: 3 7 3 20 2t 24 20 2t t 2 Disse værdierne for s og t sikrer altså, at y- og z-koordinaterne er ens. Ved at indsætte i den øverste ligning undersøger vi nu, om de også giver den samme x-værdi: 6 5 3 3 3 2 9 9 Dette er et sandt udsagn, dvs. x-værdierne er også ens, og derfor skærer linjerne hinanden (men objekterne ville ikke støde sammen, hvis det var stedfunktioner). Plot i Maple: Man kan plotte parameterkurver i Maple på følgende måde: Funktionen defineres med vektornotation, og man plotter efterfølgende hver koordinat for sig, dvs. indekset skal skrives med ctrl+shift+"underscore" svarende til det første af disse symboler 12 Linjer med ikke-jævn bevægelse: Hidtil har alle vores parameterfremstillinger kunnet fortolkes som bevægelser med konstant hastighed. Men man kan godt bevæge sig langs en ret linje, uden at det nødvendigvis skal være med konstant hastighed. Dette kan vi klare ved at pille ved vores parameter, mens punkt og retningsvektor får lov at blive. Det væsentlige er bare, at vi ændrer parameteren på samme måde i hver koordinatfunktion. x 4 6 Eksempel: l : t 3 ; t y 7 2 Vi ser først på et plot i Maple: Grafen er en ret linje, og vi kan altså ikke skelne den fra vores andre parameterfremstillinger, når vi alene kigger på grafen. Man kunne også se dette, hvis man omformede parameterfremstillingen til en ligning: x 4 6 t3 t3 x4 6 Indsættes: y 7 2 t 3 7 2 x4 x 4 1 25 7 y x 6 3 3 3 3 Vi har som forventet fået ligningen for en ret linje. Men lad os nu se på hastighed og acceleration: x ' t 6 3t 2 18t 2 v t s ' t 2 2 y ' t 2 3t 6t x '' t 36t a t s '' t y '' t 12t Både hastigheden og accelerationen afhænger af tiden, dvs. vi har ikke en bevægelse med konstant hastighed. Vi skal senere se, hvordan man ved at lade parameteren optræde forskelligt i de forskellige koordinatfunktioner kan få beskrevet med komplicerede og interessante baner end rette linjer. 13 Cirkler Jævn cirkelbevægelse: Vi ser nu på, hvordan en cirkel kan angives ved en parameterfremstilling: Det er den sorte cirkel, vi vil angive en parameterfremstilling for. Den har centrum C a, b og radius r, og punktet P x, y angiver et vilkårligt punkt på cirklen, dvs. det er alle disse punkter, vi skal kunne frembringe med vores parameterfremstilling. Den røde cirkel er en enhedscirkel. Vores parameter t angiver her vinklen målt i radianer med udgangspunkt i den stiplede blå linje. Vektoren e er en enhedsvektor, der går fra cirklens centrum til retningspunktet på enhedscirklen, og den har derfor koordinatsættet, der er angivet på figuren. cos t Enhedsvektoren e og CP er ensrettede, og da radius i cirklen er r, gælder altså CP r e r . sin t Indskudsreglen giver os OP OC CP , og da OP er en stedvektor med samme koordinatsæt som punktet P, kan vi komme frem til parameterfremstillingen: OP OC CP cos t x a r sin t y b Hvis vi kun ønsker at bevæge os én omgang rundt på cirklen, lader vi parameteren t løbe fra 0 til 2 . Men vi kan også bare lade t og dermed regne med uendeligt mange omløb. 14 Eksempel: Vi kan tegne en cirkel med centrum i (2,-3) og radius 4 i Maple ved: Dette er den mest simple form at angive en cirkel på. Hvis man også gerne vil kunne regulere hastighed og begyndelsessted, skal man udnytte vores resultater fra trigonometriske funktioner, hvor vi husker: f t A sin t . er vinkelhastigheden , der er forbundet med farten v ved v r , hvor r er radius i cirklen. er fasen, der forskyder startstedet. A er amplituden, når man arbejder med trigonometriske funktioner. Vi er kun interesserede i hastigheden og arbejder derfor i det følgende kun med tilføjelse af vinkelhastigheden: x t a cos t s t r y t b sin t x ' t r sin t sin t v t s ' t r y ' t r cos t cos t v t r sin t cos t 2 2 r Vi regner her vinkelhastigheden og radius som positive størrelser. Egentlig kan man godt lade vinkelhastigheden være negativ, hvis man have bevægelsen til at løbe med uret, men det ser vi ikke på her. Vi har altså "genfundet" vores kendte resultat, at v r . Accelerationen bliver så: 2 x '' t r cos t a t s '' t 2 y '' t r sin t cos t 2 a t 2 r r sin t Vi har altså fundet farten og størrelsen af accelerationen. Begge er konstante. 15 Vi kan finde retningerne af hastighedsvektoren og accelerationsvektoren i forhold til CP (bemærk: det er altså IKKE i forhold til stedfunktionen, da centrum for cirklen ikke er i origo) ved at kigge på vektordelene i udtrykkene, hvor det ses, at: sin t cos t cos t sin t cos t sin t og sin t cos t Dvs. v er fremkommet ud fra CP ved at dreje denne 90° mod uret og gange med en faktor . Og a fremkommer så ud fra v ved at dreje denne 90° mod uret og gange med en faktor . Hastigheden bliver altså en tangentvektor til cirklen i P, og accelerationsvektoren peger fra P mod centrum. Ikke-jævn cirkelbevægelse: Vi kan lige som ved den retlinede bevægelse gøre bevægelsen ikke-jævn ved at ændre parameteren t, hvorved farten og accelerationens størrelse ikke længere vil være konstante. 16 Epicykler: Under forløbet om Verdensbilleder stødte I på de såkaldte epicykler, der er cirkelbevægelser omkring et centrum, der selv bevæger sig i en cirkelbevægelse omkring et andet centrum. Den slags bevægelse kan beskrives ved parameterkurver: Vores objekts position beskrives ved punktet P. Det bevæger sig jævnt rundt i den lille røde cirkel med centrum C2 med vinkelhastigheden 2 . Radius i den lille, røde cirkel kaldes r2 . Centrum C2 bevæger sig selv jævnt rundt i den store, sorte cirkel med vinkelhastigheden 1 . Radius i den store cirkel kaldes r1 . Vi lader t være vores parameter (tiden) og antager, at der ikke er nogen faser. Vi får så: a OC1 b cos 1 t a C1C2 r1 sin t b 1 cos 2 t x C2 P r2 sin t y 2 Og dermed har vi parameterfremstillingen: cos 1 t cos 2 t x a r1 sin t r2 sin t y b 1 2 17 Eksempel: Vi ser på et konkret eksempel på en epicykelbevægelse og plotter den i Maple: cos 0.1 t cos 1.3 t x 2 10 sin 0.1 t 3 sin 1.3 t ; t y 3 Man kan bl.a. bemærke sløjfebevægelse (retrograd bevægelse). Eksempel: Hvis vi gør farten i den lille cirkelbevægelse mindre end i den store, forsvinder sløjfebevægelsen: cos 0.1 t cos 0.3 t x 2 10 sin 0.1 t 3 sin 0.3 t ; t y 3 18 Snurretoppen: Tivolis forlystelse Snurretoppen er et eksempel på en epicykelbevægelse, men den afviger fra ovenstående eksempler ved at have forskellige omløbsretninger. Bevægelsen i den store cirkel er mod uret (positiv omløbsretning), mens den er med uret i den lille (negativ omløbsretning). På øjemål vurderes radius i den store cirkelbevægelse at være rs 5m , mens radius vurderes til rl 2m i den lille cirkelbevægelse. Omløbstiden i den store cirkelbevægelse måles til Ts 6,6s og i den lille cirkelbevægelse er Tl 4, 0s . Da vi kender omløbstiden, kan vi beregne vinkelhastighederne (vi regner videre uden enheder): s 2 2 0,95 Ts 6, 6 l 2 2 1,57 Tl 4, 0 Vi placerer centrum i den store cirkelbevægelse i O 0, 0 , og får så stedfunktionen (bemærk at vi får vendt omløbsretningen i den lille cirkel ved at skifte fortegn på vinkelhastigheden): x t cos 0.95 t cos 1.57 t s t 5 2 ; t 0,120 y t sin 0.95 t sin 1.57 t 19 (Turens varighed sættes til 2 min.) Ovenstående to grafer viser altså banerne for bevægelsen, men hvis man skal forstå oplevelsen af forlystelsen, er det mere hastighedsfunktionen og accelerationsfunktionen, man skal kigge på: x ' t sin 0.95 t sin 1.57 t v t s ' t 4, 75 3,14 y ' t cos 0.95 t cos 1.57 t x '' t cos 0.95 t cos 1.57 t a t s '' t 4,5125 4,9298 y '' t sin 0.95 t sin 1.57 t Accelerationsfunktionen Hastighedsfunktionen Disse grafer giver os sted, hastighed og acceleration som vektorer, dvs. vi kan både se størrelse og retning. Det får vi brug for lige om lidt, men lad os først se på farten og størrelsen af accelerationen: Først farten: Farten ligger altså på hele turen mellem ca. 2 og 8 m/s. Vi ønsker nu at finde de steder, hvor farten er henholdsvis størst og mindst, og vi kigger kun på intervallet [0s,3s], da funktionen er periodisk. 20 Vi har her undersøgt, hvor den afledede funktion har nulpunkter, og da vi har en graf, vi kan sammenligne med, kan vi konkludere, at farten er størst, når t 1, 247s og mindst når t 2, 493s . Så accelerationen: Accelerationens størrelse ligger altså mellem en værdi tæt på tyngdeaccelerationen og nul. Vi vil nu se på, hvor accelerationens størrelse er størst og mindst, og igen kan vi nøjes med at kigge på intervallet [0s,3s]. Sammenholdt med grafen ser vi altså, at accelerationen er mindst efter 1,247s og størst efter 2,493s. Efter 1,247s gælder altså: Farten er størst, men accelerationen er mindst. Efter 2,493s gælder altså: Farten er mindst, men accelerationen er størst. Vi skal nu se, hvor vi er henne i bevægelsen til disse to tidspunkter: Det er altså, når man bevæger sig ind over midten, at farten er størst og accelerationen mindst, dvs. på dette tidspunkt skulle man næsten ikke mærke et tryk i ryggen. Når man er ude i siden, er farten mindst, men accelerationen størst, dvs. det er ude i siderne, man kan mærke det største pres i ryggen fra stolen. 21 Ellipser: Udvidelsen fra cirkler til ellipser er forholdsvis simpel. Man skal blot anvende forskellige "radier" for de to koordinatfunktioner: x x0 a cos t y b sin t y 0 Den største af koefficienterne a og b (normalt vælger man at lade a være størst) angiver så den halve storakse, mens den mindst angiver den halve lilleakse. Eksempler på ellipser: 22 Det er nemmest at rotere et objekt, hvis man anvender matrix-regning. Man skal i dette tilfælde benytte følgende regneregel: a11 a12 b1 a11 b1 a12 b2 a 21 a22 b2 a21 b1 a22 b2 Eksempel: 7 3 5 7 5 3 8 59 2 4 8 2 5 4 8 22 cos v sin v Man roterer med vinklen v omkring origo O 0, 0 ved at gange med matricen . sin v cos v Så g t er fremkommet ved udregningen: cos 6 sin 6 5 cos t cos 6 5 cos t sin 6 2 sin t 2 sin t sin cos sin 5 cos t cos 2 sin t 6 6 6 6 Efter dette mangler man bare at flytte centrum til 3,3 Man kan lade Maple foretage denne udregning ved at benytte prikken kendt fra prikproduktet. 23 Parabler: Vi ved, at parabler er grafer for funktioner med forskrifter af typen f x ax 2 bx c Det er meget nemt at overføre dette til en parameterfremstilling, da man bare kan lade vores parameter t være identisk med variablen x og derefter angive y-koordinaten som funktion af t. 1 Eksempel: Vi ser på parablen, der er graf for funktionen f x x 2 3x 7 . 2 t x En parameterfremstilling er så: 1 2 y t 3 t 7 2 Dette eksempel er ikke særlig interessant, da parameterfremstillingen i dette tilfælde er mere kompliceret end funktionsforskriften. Men lige som i alle andre tilfælde, kan man i parameterfremstillingen beskrive en bevægelse ved at lade parameteren t fungere som tiden. Man kan forskyde parablen op eller ned ad y-aksen ved bare at lægge et tal til den anden koordinatfunktion. Hvis man vil forskyde langs x-aksen, et det den første koordinatfunktion, man skal lægge et (positivt eller negativt) tal til. Hvis man i stedet multiplicerer med et tal ændrer parablen form: 24 Eksempel: Vi ser på en parabel, der først forskydes lodret, derefter vandret og endelig ændres til en ny parabel: t f t 2 t 3t 5 t f t 2 t 3t 5 7 3t f t 2 t 3t 5 t 5 f t 2 t 3t 5 Vi kan spejle grafen omkring y-aksen ved at ændre fortegn på den første koordinatfunktion, og vi kan spejle grafen omkring x-aksen ved at ændre fortegn på den anden koordinatfunktion. Vi skal nu se på et eksempel fra fysik. 25 Eksempel: Vi ser på en bevægelse i tyngdefeltet uden luftmodstand. Den vandrette bevægelse er en bevægelse med konstant hastighed, mens den lodrette bevægelse er en bevægelse med konstant acceleration (tyngdeaccelerationen). Vi ser på et spydkast sluppet i højden 2m og en kastevinkel på 42°. Farten er fra start 20m/s. Dette giver os følgende parameterfremstilling: vx ,0 t x0 20 cos(42) t 0 20 cos(42) t x 1 1 2 2 2 g t v y ,0 t y0 9.82 t 20 sin 42 t 2 4.91 t 20 sin 42 t 2 y 2 2 Ved at kigge på koordinatfunktionerne kan man efterfølgende regne sig frem til, hvornår spyddet er højest oppe og hvornår det rammer jorden. Eksempel: Vi kan også ret nemt vende parablen ved at bytte rundt på koordinatfunktionerne: 1 x t2 3 t 7 2 y t 26 Eksempel: Endelig kan man rotere en parabel omkring origo (her med 50°): t Vores parabel har forskriften: f x x 2 , dvs. vores parameterfremstilling bliver: g t 2 . t Nu roterer vi: cos 50 sin 50 t cos 50 t sin 50 t 2 2 2 sin 50 cos 50 t sin 50 t cos 50 t 27 Cykloider: Cykloider er banekurver frembragt af et punkt på en cirklen, når cirklen triller hen ad en ret linje. På følgende figur er parameteren t vinklen målt i radianer, dvs. at det fine, røde stykke på cirklen er t r , da cirklens radius er r: Som det fremgår af figuren, er parameterfremstillingen for en cykloide: t sin t x r t sin t r y r 1 cos t 1 cos t Eksempel: Vi ser på et eksempel med radius 3: Mere om parameterfremstillinger: Der findes naturligvis langt flere kurver end de gennemgåede (klotoider, kardioider, asteroider, ...), og man kan også selv prøve sig frem og konstruere flotte figurer. Desuden er begreberne krumning og krumningsradius vigtige i forbindelse med banekurver. 28 29
© Copyright 2024