Præskriptiv modellering –
udfordringer og muligheder
Mogens Niss,
IMFUFA/NSM, Roskilde Universitet
Introduktion
• Den klassiske tilgang:
Formålet med modellering er at indfange,
repræsentere, forstå, eller analysere foreliggende
extra-matematiske fænomener/situationer/områder,
oftest som et middel til at besvare praktiske,
intellektuelle eller videnskabelige spørgsmål, og til at
løse problemer i tilknytning til et givet område.
For eksempel:
• Hvilket internet abonnement skal jeg vælge?
• Hvornår skal en vinavler høste sine druer for at opnå
den bedste balance mellem kvantitet og kvalitet?
• Hvad er udviklingen af den danske befolkning på langt
sigt, i alt og fordelt på aldersgrupper?
• Hvor høj er kæmpekranen derovre?
• Vil Nordpolen blive isfri på noget tidspunkt før 2050?
Lad os kort kalde modellering med sådanne formål
”deskriptiv modellering”. I deskriptiv modellering
forsøger vi at få hold på, og måske handle i en del af
”verden”, dvs. et foreliggende extra-matematisk
område.
• Traditionelt har didaktikken for matematiske
modeller og modellering - et delområde af
matematikkens didaktik - fokuseret på ”deskriptiv
modellering”.
• Deskriptiv modellering repræsenteres gerne af en
version af den såkaldte ”modelleringscyklus”, fx:
Modelleringscyklussen
Extramatematisk
område D
Specifikation
Idealiseret
situation med
spørgsmål
Matematisk
univers M
Idealisering
Matematisering f
oversættelse
Matematiseret
situation
med spørgsmål
svar
Matematiske
svar
Af-matematisatering
fortolkning
Det er modelleringsformålet der er
deskriptivt, ikke modellen!
• Det at kunne modellere er svært at lære!
– Belagt med massiv forskningsmæssig evidens
• Det er ikke nok at kunne meget matematik
og at kunne den godt.
• Hvis vi ønsker, at folk skal lære at modellere,
må vi undervise dem i det.
Forskningen på feltet har navnlig fokuseret på de
centrale (del)processer i modelleringscyklussen:
• Præparering af det extra-matematiske område D til
modellering ved at specificere og idealisere den
betragtede situation, gøre antagelser om den, og ved
at udvælge og formulere de spørgsmål der skal
besvares – kort kaldet præmatematisering.
• Matematisering af den idealiserede situation samt
spørgsmål, ved at oversætte (gennem en afbildning, f)
alle objekter, fænomener, relationer, antagelser og
spørgsmål i D til matematiske ”repræsentanter” for
dem i et matematisk domæne M. Derved opstår
modellen (D,M,f), som skal betragtes som et tripel.
• Benytte matematiske begreber, betragtninger,
sætninger, procedurer, teknikker og
ræsonnementer til udledning og
retfærdiggørelse af svar på de matematiske
spørgsmål som fulgte af matematiseringen – kort
benævnt matematisk behandling
• Af-matematisering af de matematiske resultater
af den foretagne matematiske behandling ved at
oversætte (fortolke) dem tilbage til extramatematiske svar på de oprindelige extramatematiske spørgsmål, som i første omgang gav
anledning til modelleringen.
• Validering af modellen gennem (a) konfrontation
af model-output med kendte realiteter vedrørende
det extra-matematiske område, og gennem (b)
evaluering af kvaliteten og relevansen af de
opnåede svar i forhold til hele formålet med
modelleringsøvelsen.
I litteraturen er alle disse (del)processer af
modellerings cyklussen blevet grundigt
studeret, både fra teoretiske, empiriske og
praktiske synsvinkler.
MEN der er også andre formål med
matematisk modellering, nemlig:
• At specificere eller designe objekter eller
strukturer med visse krævede eller ønskede
egenskaber til installation i et eller andet extramatematisk område
For eksempel:
• Hvor bør et nyt kraftværk eller
kæmpeindkøbscentercenter blive placeret?
• Hvordan bør mandaterne fordeles mellem
partierne efter et folketingsvalg?
• På hvilken måde skal de m medlemmer af en
bestyrelse vælges blandt p kandidater (m < p)?
• Hvad vil være et godt mål for surhedsgraden af
substanser?
• Hvad vil være et godt mål for viskositeten af en
væske?
• Hvordan skal vi specificere amortiseringsreglerne
for et lån, så det opfylder bestemte krav/har
bestemte egenskaber?
• Hvordan skal plane tegninger konstrueres så de
leverer en virkelighedstro gengivelse af vore
synsbilleder?
• Hvilke dimensioner skal en kasse (et ret
parallepipedum) som rummer 1 l have så
materialeforbruget minimiseres?
• +++ millioner af andre eksempler
Formålet med sådan modellering er ikke først og
fremmest at få hold på en del af den givne verden,
bredt forstået, men at designe, foreskrive,
organisere eller strukturere aspekter af den.
Lad os, med Phil Davis (1991), kalde modellering
med sådanne formål ”præskriptiv modellering”.
• I præskriptiv modellering er hensigten at
muliggøre handlinger ud fra beslutninger der
træffes ud fra (en særlig slags) matematisk
modellering.
Didaktiske træk ved præskriptiv matematisk
modellering er i fokus for resten af dette oplæg.
• For at give diskussionen et grundlag, lad os
analysere tre – simple - eksempler i detaljer.
Eksempler
• BMI (Body Mass Index)
En persons body mass index defineres som
BMI = v/h2
hvor v er personens vægt (i kg), og h er personens højde
(i m). Enheden er altså kg/m2.
Sammenknyttet med en intervalinddeling:
BMI ≤ 18.5
18.5 ≤ BMI
≤ 25
25 ≤ BMI
≤ 30
30 ≤ BMI
undervægtig
normalvægtig
overvægtig
svært
overvægtig
(Siden modificeret til: BMI ≤ 20, 20 ≤ BMI ≤ 30, 30 ≤ BMI)
Hvad er der på færde her, fra et modelleringssynspunkt?
• Formål: At opstille et ”tyngdeindex” for medlemmerne
af en population. Et meta-spørgsmål!
• Hvert individ matematiseres (parametriseres) ved
hjælp af en 2-vektor (v,h) ∊ ℜ2, der tjener som
argument for en funktion f(v,h) = v/h2. Derved
defineres et bestemt ”relativt tyngde”- mål, der
kombinerer vægt og højde.
• Ved hjælp af dette mål matematiseres videre mængden
af alle mennesker – verdens befolkning – gennem
placering i et af fire (nu om dage: tre) intervaller,
]0 ; 18.5], [18.5 ; 25], [25 ; 30], [30; ∞[.
• Matematiseringen oversætter virkelige entiteter
(individer og populationer, vægte og målestokke)
til et matematisk domæne af reelle talrum og
(rationale) funktioner på dem. Den matematiske
behandling af de matematiske entiteter: (a)
udregning af et individs BMI fra v og h, og (b)
placering af resultatet i et (eller to) af
intervallerne.
• Af-matematiseringen består simpelthen i at sætte
”virkelighedsetiketter” på hvert individ, baseret på
hans/hendes BMI-værdi: undervægtig,
normalvægtig, overvægtig, eller svært overvægtig.
• Ad validering: Det giver næppe mening at konfrontere
det af-matematiserede modelresultat med den extramatematiske virkelighed (med mindre vi har et
uafhængigt ikke-impressionistisk må for relativ tyngde).
Det samme gælder evaluering af kvalitet og relevans af
de opnåede svar set i relation til modellens formål.
Validering er, til forskel fra deskriptiv modellering, ikke
rigtig mulig.
• BMI-modellen kan ikke falsificeres! Men den kan
kritiseres og meta-valideres: (a) Hvad hvis et andet
mål var valgt (fx v/hα, med α ≠ 2)? (b) Hvad hvis
intervalgrænserne blev ændret? (c) Hvorfor skelner
modellen ikke mellem mænd og kvinder, unge og
ældre? (d) Hvorfor tages kropsbygning ikke i
betragtning? Etc.
Ergo er modelleringscyklussen her særdeles
rudimentær:
• Intet egentligt modelleringsspørgsmål, blot et
meta-spørgsmål. Kun trivielle extra-matematiske
facts eller antagelser indgår.
• Matematisering: Formlen BMI = v/h2 og
intervallerne kommer ud af det blå.
• Matematisk behandling: Blot udregning af den
specifikke værdi af BMI for givne v og h, samt
opsøgning af det interval, værdien ligger i.
• Af-matematisering: Påhæftning af
vægtklasseetiket til den fundne værdi.
• Validering: Ingen. Meta-validering: Masser!
• A-papirformater (DIN)
Antag, at vi vil designe et system af papirformater
med disse egenskaber:
(1) Hvert ark papir er rektangulært
(2) Arealet af det største ark papir i system et er 1m2
(3) Hvis et ark papir i systemet halveres langs
midtpunktstransversalen mellem de to længste
sider, er også hvert halvark med i systemet og er
ligedannet med det foregående, dvs. forholdet
mellem siderne forbliver det samme.
Ad modelleringscyklussen:
• Modelleringens formål er at designe et system af
papirformater ved at specificere sidelængderne af
samtlige ark i systemet.
• Antagelser er erstattet af krav/ønsker.
Modelleringsspørgsmålene er: Kan disse krav /
ønsker opfyldes? Hvis ja, hvordan?
• Matematisering: Vi benævner det n’te ark i
systemet An , n ≥ 0. An matematiseres som et
rektangel, defineret ved dets dimensioner (ln , sn),
hvor ln angiver den længste side, sn den korteste
(ln ≥ sn).
(matematisering fortsat):
• De resterende krav matematiseres således
– Enheden for længde er cm, for areal cm2
– (a) l0 ∙ s0 = 10.000 (cm2)
– (b) Ligedannethed: For hvert n ≥ 0 må vi have
ln+1/sn+1 = ln/sn, og tillige ln+1 = sn og sn+1 = ln/2,
• De matematiserede spørgsmål er:
– Findes der en følge (ln, sn), n ≥ 0, med positive
komposanter, som tilfredsstiller (a) og (b)?
– I så fald, hvilke elementer har den / kan den
have?
• Det matematiske domæne M: reelle tal og følger.
• Matematisk behandling:
• Først ses, at eftersom for alle n ≥ 0,
ln+1/sn+1 = ln/sn og ln+1 = sn og sn+1 = ln/2,
fås ln/sn = ln+1/sn+1 = sn / (ln/2),
hvilket giver 2sn2 = ln2 , dvs. ln = 21/2 sn.
• Dette gælder også for n = 0, hvorved l0 = 21/2 s0. Da
samtidig l0s0 = 104, får vi ved indsættelse
21/2 s02 = 104 , dvs. s0 = 102/21/4 . Ergo er
l0 = 21/2 s0 = 21/2 102 / 21/4 = 21/4 102 . I alt finder vi
l0 = 21/4 102, and s0 =102/21/4.
• Dernæst har vi l1 = s0 = 102/ 21/4 og s1 = l0/2 =
21/4 102/2 = 102/23/4. Fortsættes ved rekursion og
induktion, opnår vi for vilkårligt n ≥ 0
ln = 102/ 2(2n-1)/4 og sn = 102/ 2(2n+1)/4 .
• Af-matematisering: Tilføj enheden cm for at
besvare det oprindelige spørgsmål: Ja, der findes
en entydigt bestemt (uendelig!) følge af
papirformater, der tilfredsstiller kravene /
ønskerne. Dimensionerne af ark An er hhv.
ln = 100/ 2(2n-1)/4 cm og sn = 100/ 2(2n+1)/4 cm.
For eksempel er dimensionerne af A4–arket lig
l4 = 100/27/4 ~ 29.7301778751 (!) cm og
s4 = 100/29/4 ~ 21.0224103813 (!) cm.
• Validering: De stillede spørgsmål blev besvaret
bekræftende og entydigt. Designet skaber
virkelighed, det beskriver den ikke! Derved
bliver konfrontation af modellen med virkeligheden
enten triviel eller meningsløs.
Også denne modelleringscyklus er meget
rudimentær:
• Indledningsvis fandtes intet foreliggende extramatematisk område at modellere (kun i en meget
generel og vag forstand: rektangulære papirark). Vi
ønskede at skabe et, ved at specificere nogle krav /
ønsker til vores design, om muligt. Disse krav /
ønsker er allerede af en præ-matematisk natur.
Ingen antagelser på færde.
• Matematisering bestod i at oversætte de opstillede
krav til matematiske krav på en form som muliggør
matematisk behandling.
• Selve den matematiske behandling udgjorde
kernen i arbejdet.
• Af-matematiseringen var triviel: Hæft enhed på tallene
og producer arkene som foreskrevet!
• Ingen validering var mulig ud over den blotte
konstatering af, at (entydige) positive og
tilfredsstillende svar på design spørgsmålene findes.
Konfrontation med egenskaberne ved en foreliggende
extra-matematisk realitet giver ingen mening.
• (Situationen ville være helt anderledes, hvis vi ønskede
at finde ud af om de eksisterende A-formatpapirark
fulgte et underliggende mønster. Så ville vi udføre
deskriptiv, ikke præskriptiv modellering!)
• Meta-validering: ikke relevant her.
• Gini koefficienten som ulighedsmål
• Vi ønsker at skabe et index for indkomstulighed i
en befolkning.
• Til det formål fastlægges først den brøkdel L(p)
(∈ [0; 1]) af befolkningens samlede indkomst der
ejes af den brøkdel p (∈ [0; 1]) af befolkningen der
har den laveste indkomst – de 100p % ”fattigste”. L
kaldes Lorenz-funktionen og dens graf i
[0; 1] × [0; 1] for Lorenz-kurven.
• Ved fuld lighed, ville brøkdelen p med den laveste
indkomst eje brøkdelen p af den samlede indkomst,
dvs. L(p) = p for alle p. Ved maksimal ulighed ville
en ”person” eje alting, dvs. L(p) = 0 for p < 1 and
L(1) = 1.
1
Brøkdel
af total
indkomst
Lorenz
kurven
P
0
0
Brøkdel af befolkning
1
• I Corrado Gini’s ulighedsindex (1912) ser vi først
på den ”faktiske kumulerede ulighed”, specificeret
som den integrerede differens mellem Lorenzfunktionen for fuld lighed og den faktiske Lorenzfunktion, dvs. arealet mellem de to kurver
1
1
IL =∫0 𝑝𝑝 − 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ½ − ∫0 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑.
Under maksimal ulighed er den kumulerede ulighed
1
∫0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = ½
• Gini koefficienten defineres så som forholdet
mellem den faktiske kumulerede ulighed og
maksimal ulighed, dvs.
G=
1
1
−∫0 𝐿𝐿
2
𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑
1/2
=
1
1 - 2∫0 𝐿𝐿
𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑,
altså to gange arealet mellem Lorenz-kurven og
linjen for fuld lighed.
Åbenbart har vi, G ∊ [0; 1], hvor G = 0 svarer til fuld
lighed og G = 1 til maksimal ulighed. G måler graden
af indkomstulighed.
Målet muliggør sammenligning af indkomstulighed,
mellem fx lande, eller over tid.
• Ad modelleringscyklussen:
• Formålet med bestræbelsen er at skabe et index mål,
som indfanger indkomstulighed i en befolkning.
Begrebet ”indkomst” må præciseres. Det antages at
hvert individ har en kendt veldefineret indkomst.
Kravene til målet er:
• Indexet må være defineret for enhver population,
hvori individernes indkomster er kendt.
• Indexet må være baseret på et begreb om faktisk
kumuleret ulighed i forhold til den maksimalt
mulige ulighed.
Matematisering:
• Først rangordnes alle individer efter indkomst i
ikke-aftagende orde. Så matematiseres den
kumulerede indkomstfordeling ved Lorenzfunktionen L: [0; 1] → [0; 1]. Det matematiske
domæne består af reelle funktioner af en reel
variabel.
• Benyt dette til at matematisere fuld lighed ved Le(p)
= p for alle p, og maksimal ulighed, ved Lmi(p) = 0,
for p < 1, Lmi(1) = 1. Matematiser dernæst
kumuleret faktisk ulighed ved
1
IL =∫0
𝑝𝑝 − 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑
• Sluttelig matematiseres graden af indkomstulighed
i en befolkning ved Gini koefficienten
GL = IL/Imi
En ret kompleks matematiseringsproces!
• Matematisk behandling: (a) Udregn IL og Imi og
1
videre (b) GL = IL / Imi =1 - 2∫0 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∊ 0; 1 .
Lige ud ad landevejen.
• Af-matematisering: Intet andet end at udsige: Gini
indkomstuligheds indexet for populationen P er G!
• Ad validering: Som for BMI: Det giver næppe mening at
konfrontere det af-matematiserede model output med
virkeligheden i det extra-matematiske område (med
mindre vi har et andet uafhængigt ikke-impressionistisk
mål for indkomstulighed som reference). Det samme
gælder evaluering af kvalitet og relevans af de fundne
svar i relation til modelleringens formål. I modsætning
til i deskriptiv modellering er validering ikke rigtig
mulig.
• Gini koefficientmodellen kan ikke falsificeres! Men
den kan kritiseres og meta-valideres: (a) Er valget af
indkomster der tages i betragtning, rimeligt? (b) Hvilke
befolkningsudsnit tages i betragtning? Hvordan indgår
børn? Gør det befolkningssammenligninger rimelige?
(c) Hvad med andre ulighedsmål? Etc.
• Endnu en rudimentær modelleringscyklus!
• Det extra-matematiske område bestående af
mennesker og befolkninger og indkomster
findes sandelig(!) og er komplekst, ligesom de
træk man har valgt at tage i betragtning.
• Matematiseringen var kringlet og sammensat.
• Den matematiske behandling var nærmest
triviel, eller i det mindste meget simpel.
• Af-matematiseringen var triviel.
• Direkte validering var ikke mulig. Kun metavalidering angående hensigtsmæssighed etc.
Præskriptiv modellering i
matematikundervisningen
• Eksemplerne viser, at
modelleringscyklussen for præskriptiv
modellering typisk er meget rudimentær
på afgørende punkter.
• Afhængigt af de (del)processer der
påvirkes, skaber dette vigtige
udfordringer for undervisning og læring!
• Hvis modelleringsformålet er meget generelt
eller vagt defineret og komplekst (fx ”skab et mål
for…”), er det normalt ikke realistisk for elever
eller studerende at gennemføre matematiseringen
og håndtere dens forudsætninger (i nogle
sammenhænge vil det faktisk være videnskabeligt
arbejde). Derfor vil modelleringsprocessen stoppe,
med mindre den guides.
– Undtagelse: Hvis modelleringsformålet er elementært
fx angående ratioer: ”noget” pr. ”noget”
• For elever/studerende bliver matematiseringen i
bedste fald passiv, mens den matematiske
behandling og af- matematiseringen i princippet
bliver simple.
• Validering giver ingen mening, men det gør metavalidering i høj grad!
• Hvis modelleringsformålet er veldefineret, og
hviler på klart formulerede specifikke krav /
ønsker, ligner modelleringsprocessen den for
deskriptiv modellering, om end med en stærkt
reduceret eller rudimentær modelleringscyklus:
• Matematiseringen giver ofte sig selv, den
matematiske behandling bliver kerneaktiviteten,
mens af-matematiseringen og valideringen typisk
er simple, hvis ikke trivielle.
• Også meta-validerinen er typisk simpel og tenderer
mod at fokusere på indebyrden af krav / ønsker.
• Med andre ord er denne type præskriptiv
modellering inden for rækkevidde for elever.
• Præskriptiv modellering er
allestedsnærværende og højst vigtig, med
markant samfundsmæssig og videnskabelig
indflydelse. Den bør i almindelighed
underkastes omhyggelig meta-validering.
Matematikundervisningen kan give vigtige
bidrag, så vi må programsætte præskriptiv
modellering såvel i
matematikundervisningen som i
matematikkens didaktik.
• Dette giver anledning til både udfordringer og
muligheder.
Udfordringer og muligheder
Vi må skabe undervisnings- og læringsaktiviteter
med præskriptiv modellering, også med situationer,
hvor elever / studerende ikke kan gennemløbe den
reducerede modelleringscyklus uden hjælp.
• To fokuspunkter for sådanne ativiteter
(muligheder):
• Elever / studerende bør engageres i at analysere
de implicitte eller eksplicitte antagelser, krav,
ønsker og forudsætninger som ligger bag den
foretagne eller påtænkte matematisering.
• Elever / studerende bør engageres i metavalidering af modeller dannet ved præskriptiv
modellering, vedrørende (bl.a.)
– Konsekvenserne af modelleringsresultaterne, fx
for diskussionen om de spørgsmål
modelleringshensigten angår
– Sammenligning og modstilling af eksisterende
eller potentielle alternative modeller
– Undersøge konsekvenserne for
modelleringsresultaterne af ændrede krav /
ønsker.
• M.m.m
• Sidst men bestemt ikke mindst:
Vi må designe og udføre meget mere
teoretisk og empirisk forsknings- og
udviklingsarbejde angående undervisning i
og læring af præskriptiv modellering,
specielt vedrørende ligheder og forskelle i
forhold til deskriptiv modellering.
Det er vi kun lige begyndt på!
Tak for opmærksomheden!
