Begrebsmæssige redskaber

Roskilde Universitet
imfufa
BEGREBSMÆSSIGE REDSKABER
Vejleder:
Forfattere:
Tinne Hoff Kjeldsen
Asger Senbergs
Henrik Wessel
Hortensia C. Ursta Anghel
Peter fristrup
Januar, 2015
Resumé
Dette projekt forsøger at få et indblik i hvordan matematikken udvikler sig. Vi besøger tre matematikere i
deres værksted gennem de publikationer de har efterladt til eftertiden. Disse tre matematikere er
Geraloma Cardano (1501-1576), John Wallis (1616-1703) og Hermann Minkowski (1864-1909). Vi
undersøger den rolle deres begrebsmæssige redskaber har haft i deres matematiske arbejde. Vi udvikler to
begrebspar par til forståelsen, forklarende - fordybende og Generator – terminator. Vi finder at disse to
begrebspar hjælper os med at bedre at forstå hvordan matematikere skaber matematisk viden.
Abstract
This project is an investigation into the development of mathematics. We travel back in time to meet
mathematicians in their own work-shop through their publications. We visit Geraloma Cardano (1501-1576),
John Wallis (1616-1703) of Hermann Minkowski (1864-1909). We investigate the role of their conceptual
artefacts in relation to their production of mathematical knowledge. To do so, we develop two pairs of concepts,
explaining-exploring and generator-terminator. Our study finds that these concepts improve the understanding
of the production of mathematical knowledge
1
Indhold
Resumé ....................................................................................................................................................... 1
Abstract ....................................................................................................................................................... 1
Klangbund ................................................................................................................................................... 3
Indledning ................................................................................................................................................... 3
Problemformulering .................................................................................................................................... 6
Afgrænsning ................................................................................................................................................ 6
Metodisk tilgang .......................................................................................................................................... 7
Repræsentationer .................................................................................................................................... 8
Kognitive artefakter ................................................................................................................................12
Heersminks taxonomi .........................................................................................................................12
Normans begrebsapparat....................................................................................................................16
Begrebsmæssige redskaber .................................................................................................................19
Vores cases .................................................................................................................................................23
Cardanos komplekse tal ..........................................................................................................................23
Historisk baggrund ..............................................................................................................................23
Kildeteksten ........................................................................................................................................25
Analyse af Cardano .............................................................................................................................33
Wallis......................................................................................................................................................38
Historisk baggrund ..............................................................................................................................38
Kildeteksten ........................................................................................................................................41
Analyse af Wallis .................................................................................................................................48
Minkowskis gitter ...................................................................................................................................51
En moderne version ............................................................................................................................51
I Minkowskis værksted ........................................................................................................................58
Analyse af Gitteret ..............................................................................................................................63
Diskussion...................................................................................................................................................65
Konklusion ..................................................................................................................................................67
Perspektivering ...........................................................................................................................................68
Bibliografi ...................................................................................................................................................69
2
Klangbund
Vores nysgerrighed tager udgangspunkt i en undren over, hvordan matematik opstår. Denne nysgerrighed
har vi af praktiske og tidsmæssige grunde valgt at fokusere.
Vi forsøger i dette projekt at være til stede i ”det matematiske værksted” under nogle udvalgte
matematiske opdagelser. Vi dykker ned i Cardanos værksted og ser på negative tal, i Wallis’ værksted og de
komplekse tal, og i Minkowskis værksted med de kvadratiske former, som udvikler sig til konvekse legemer.
Denne ”tidsrejse” foretager vi ved at udfolde både erkendelsen og de erkendelser, erkendelsen bygger på
eller gå op imod. Tidsrejserne struktureres i forhold til de begreber og perspektiver, vi sætter i spil i
projektet.
På forsiden findes Janushovedet et billede som er taget fra Andreas Alciato: Emblemata (Det kongelige
Bibliotek, 2015) og repræsenterer et hoved med to ansigter der vender til hver sin side. Janus
karakteriseres ved sit dobbelte hoved, der giver ham overblik og gør ham i stand til at se både frem og
tilbage på samme tid. Han kan se en sag fra to sider – han er objektiv og uvildig.
Fra vores perspektiv symboliserer Janushovedet at på den ene side præsenteres matematikken via
arbejdsmetoden, som den professionelle matematiker anvender i udviklingen af matematikken -den
induktive og eksperimentelle tilgang. På den anden side presentæres matematikkens landvindinger,
systematisk, logisk og deduktivt. Desuden symboliserer billedet at matematik er resultatet af
matematikernes arbejde gennem tiden.
Indledning
Søren Kirkegård sagde at ” Livet leves forfra, men forstårs bagfra” men hvis man skal placere udtrykket i
sammenhæng med vores projekt, vil jeg sige at ”Matematikken udvikles forfra, men forstås bagfra”.
Hvis vi betragter den første del af sætningen: ”Matematikken udvikles forfra…”, vil det næste spørgsmål
være, Hvordan udvikles matematikken og hvordan startede man med at udvikle matematikken? Inden vi
svare på det spørgsmål vil vi se på hvordan udviklingen forholder sig inden for andre grene af
naturvidenskab, for kan vi sige at matematikken udvikler sig på samme måde som andre grene af
naturvidenskaben, da matematikken som oftest lægger til grund for udviklingen inde for de andre grene.
Dannelse af ny viden inden for naturvidenskab er forholdsvis enkelt. Naturvidenskab i den her kontekst er
fysik, kemi, geovidenskab og biologi, altså ser vi bort fra matematik som et naturvidenskabeligt fag lige nu.
Dannelse af naturvidenskabelig viden er antageligt lige så gammelt som menneskeligheden. Fra kalendere
der kunne forudsige høj og lav vande, til forudsigelser af solformørkelser. Disse opdagelser eller
3
forudsigelser har det tilfældes at de er lavet på baggrund af det man kalder den naturvidenskabelige
metode. Den naturvidenskabelige metode er den metode man bruger inden for naturvidenskab for at
danne ny viden. Naturvidenskab er i sin reneste form upersonlig og uafhængig af kultur, og er derfor
objektiv. Måden ny viden bliver dannet inden for naturvidenskab er bygget på empiri og teori. Den
naturvidenskabelige metode er bygget op af at man stiller et problem, laver observationer, opstiller en
hypotese, efterprøver sin hypotese (laver forsøg) og laver danner en konklusion. Ofte vil man få en underen
når man ser et naturfænomen, man ikke helt kan forstå. Man har måske en forudgående viden man kan
koble sin underen op på uden at det passer helt. Ud fra sin underen og sin eksisterende viden danner man
sig en hypotese om hvordan sammenhængen. Man kan nu efterprøve sin hypotese igennem et eller flere
forsøg og se om ens hypotese passer. Efter man har lavet sine forsøg må man sammenholde sine resultater
med sin hypotese. Hvis observationerne eller resultaterne ikke passer med hypotesen forkaster vi
hypotesen og starter forfra med en ny eller modificeret hypotese. Hvis vores observationer eller
resultaterne, der imod passer med vores hypotese kan vi nu ophøje vores hypotese til en gældende teori.
Inden for naturvidenskab er en teori kun gældende ind til der kommer resultater som teorien ikke kan
forklare og derefter må teorien forkastes og en ny hypotese dannes. Et eksempel på en gennemgang af den
naturvidenskabelige metode kunne være; findes der kun hvide svaner. Hypotesen kunne være ja der findes
kun hvide svaner. Man tager rundt og observere alle de svaner man kan finde. Man konkluderer at
observationerne passer med hypotesen og ophøjer der ved sin hypotese til den gældende teori. På et
tidspunkt kommer der en sort svane flyvende. Den sorte svane passer ikke ind i teorien og derfor må vores
teori forkastes og en ny hypotese formuleres. Det vil sige at en teori kun er gældende ind til den kan
modbevises. Den moderne naturvidenskab er bygget op omkring den naturvidenskabelige metode, hvor
alle gældende teorier skal kunne forklare bestemte typer forudsigelser.
Matematikken derimod er ikke opbygget på baggrund af observationer, men derimod på baggrund af
beviser. Det vil sige at man skal kunne bevise alle sine påstande inden for matematik. Hvis vi kigger på
eksemplet med svanerne, så er det ikke et bevis hvis man observere alle svaner i Danmark, da man stadig
ikke helt generelt kan sige at der ikke findes andre farver svaner. Så hver gang man skal videre inden for
matematikken skal man kunne bevise sit næste skridt. Hvis man spørg en matematiker hvad matematik er
for en videnskab kan man få at vide at matematik er en aksiomatisk deduktiv videnskab (Kjeldsen, 2011).
Hvis matematikken er bygget op omkring beviser må den være starter et sted. Matematikken starter med
aksiomer som er sætninger vi går ud fra er sande og som vi ikke kan bevise. Ud fra vores aksiomer kan man
langsomt bygge matematikkens regler og beviser op. Det sker ved deduktion, altså en ud ledelse fra vores
aksiomer og tidligere beviser. De nye beviser og sætninger der kommer frem i matematikken kommer frem
ved hjælp af logik og deduktion.
4
Selv om matematikken ikke er bygget op på samme måde som den naturvidenskabelige metode, kan man
godt bruge elementer fra den naturvidenskabelige metode. Selv om alle tingene inden for matematikken
skal bevises, skal man have en undren eller en interesse et sted fra, hvad det er man gerne vil bevise
efterfølgende. Et eksempel kunne være at man så at der var en sammenhæng mellem en cirkels radius og
dens omkreds. Man kunne nu danne en hypotese om hvad den sammenhæng ville være. Dette ville lede
hen til forsøget i den naturvidenskabelige metode, eller beviset inden for matematik. Hvis man kan lave
beviset er vores hypotese bekræftet ellers er det afkræftet. Vi vil nu kunne bruge den viden vi nu har
opnået til at lave flere observationer og nye beviser. Det kunne også være man undrede sig over hvad
sammenhængen var mellem to af siderne i en retvinklet trekant og den sidste side i den retvinklede trekant.
Vi danner os en hypotese, der kunne være at der er en sammenhæng mellem siderne i trekanten, ud fra
vores baggrundsviden, som i det her tilfælde kunne være viden om arealer i et kvadrat. Man udfører nu
forsøget eller laver beviset og kommer frem til sit resultat. Man kommer nu frem til at der er en
sammenhæng (Pythagoras sætning) og vi kan derved ophøje vores hypotese til vores matematiske sætning.
En mulig undren kunne også være en ny måde at anskue matematikken på, hvad ville der ske hvis man
anskuede det på en ny måde. Denne undren eller nye måde at anskue matematikken på, kunne udspille sig
fra en fremstille konstruktion, man vil anskue matematikken ud fra. Disse konstruktioner kunne være en så
kaldt kognitiv artefakt. Et kognitiv artefakt er et menneskeskabt hjælpemiddel der gør at man kan anskue
ting på en ny måde (Heersmink, 2013). Selv om det er menneskeskabt skal man ikke kun se et kognitivt
artefakt som værende et fysisk objekt, det kan også være et tanke objekt. Det kognitive artefakt løser ikke i
sig selv problemet for en, men sætter en i stand til at anskue problemet på en ny måde. Det er ikke kun
inde for matematikken der findes kognitive artefakter, men inde for alle dele af vores hverdag. Et eksempel
kunne være en GPS. GPS’en hjælper os med at finde vej, men den fører os ikke automatisk frem, vi skal
stadig selv være i stand til at forstå hvad det er GPS’en fortæller os. Inden for matematikken ville et
kognitivt artefakt kunne være tallene. I stedet for at lægge 50 sten op foran os for at have styr på antallet af
f.eks. får, kan man skrive med tal 50. Her hjælper tallet 50 til at anskueliggøre problemet bedre, men
samtidig kan vi se at det ikke er tallet i sig selv der løser vores problem med at holde styr på antallet af får.
Vi skal stadig kunne forstå hvad 50 står for. Det er ikke tallet 50 vi ser som et kognitivt artefakt, men mere
den måde tallet bliver brugt i sammenhængen (Heersmink, 2013). Ved at danne disse kognitivt artefakt
kan matematikken muligvis udvikle sig, da man kan danne ny viden, ved at få en ny undren som i den
naturvidenskabelige metode. I denne opgave vil vi gerne undersøge om disse kognitivt artefakt kan være
med til at bringe matematikken frem af. Måden vi vil gøre det på er at lave case analyser af tre forskellige
tilfælde hvor vi mener vi har tale om kognitive artefakter. Vi vil i hver case se om der er tale om et kognitivt
artefakt og der efter se på hvordan de kognitive artefakter har haft af indflydelse på den matematik der er
5
kommet ud af de tre cases. Hvis der er tale om kognitive artefakter i vores cases håber vi at vi kan se om
der har været en udvikling inden for matematikken, som ellers ikke ville kunne have fundet sted. Ved hjælp
af et begrebspar vil vi undersøge indvirkningen af de kognitive artefakter i vores cases, i forhold til
udviklingen inden for matematikken, for at se om de kan generere ny matematik ud fra dem.
Problemformulering
Giver det ny erkendelse om, hvordan matematikere skaber matematisk viden, når man analyserer
matematisk kildetekster med begrebsparrene Forklarende-Fordybende og Generator-Terminator som
forståelsesramme?
Afgrænsning
Da der ikke er mange, der har beskæftiget sig med kognitive artefakter i den kontekst, som vi er
interesseret i at undersøge, har vi ikke haft en stor mængde anerkendt litteratur at læne os op af. Vi har
derfor brugt det, der har været til rådighed, samt hentet inspiration fra forskere og teoretikere, der
beskæftiger sig med lignende emner. Derfor er det nødvendigt at vi her, fastslår hvad man kunne have gjort,
hvilket kunne have givet projektet et andet præg, men som vi ikke kan gå i dybden med her.
Vi har som sagt hentet inspiration fra forskellige forskere og teoretikere, der beskæftiger sig med emner, vi
har fundet relevant at sætte os ind i og redegøre for i vores projekt, for at besvare vores problemformulering. Vi vil redegøre for vores valg af teorier i vores afsnit metodisk tilgang, men vi er klar over at de
teoretikere vi har udvalgt, ikke nødvendigvis karakterisere hele forskningsfeltet. Vores projekt kunne
dermed muligvis have fået en anderledes udformning, hvis vi havde brugt en anden litteratur, som grundlag.
Tilsvarende har vi, for at kunne besvare vores problemformulering, udvalgt os nogle cases, som vi analysere
med vores dannede begreber, og disse begreber vi har dannet på baggrund af vores litteratur. Disse cases
er udvalgt, fordi vi mener, der foregår noget i dem, vi er interesseret i, nemlig brugen af kognitive
artefakter. Lignende tendenser kunne vi muligvis også have fundet i andre cases, og hvordan analysen af
disse andre cases ville have påvirket vores problemformulering, kan vi ikke udtale os om.
Vi er således klar over, at man kunne strukturere projektet anderledes og bygge det op om andre teorier og
analysere andre cases med andre metoder. Men vi påstår heller ikke, at vores konklusion nødvendigvis
rækker ud over projektets rammer, men kun at vi, med vores valgte teori, er i stand til at analysere de
udvalgte cases med vores valgte teori.
6
Metodisk tilgang
I dette afsnit vil vi forklare hvordan vi agter at besvare vores problemformulering og gennemgå den teori vi
benytter for at kunne gøre det.
Grundlæggende ønsker vi at få en forståelse for, hvad der i vores tre udvalgte cases, gjorde at den givne
matematiker har kunnet løse en opgave eller opnå en bestemt erkendelse. Dette er udspecificeret i vores
problemformulering og problemfelt. For at få denne forståelse vil vi analysere hver enkelt case, hvor vi har
specielt fokus på, hvordan de egentlig arbejder og kommer igennem, de opgaver og beviser de arbejder
med. Vi ender dermed op med tre analyser, som vi i vores diskussions afsnit vil sammenligne, for at kunne
se forskelle og ligheder, hvilket vil gøre os i stand til at besvare vores problemformulering.
For at kunne svare på om begrebsmæssige redskaber og kognitive artefakter bidrager med forståelse af,
hvordan matematik udvikler sig og hvad der i bestemte cases hjælper matematikere til at løse en opgave og
opnå forståelse har vi valgt at danne to begrebspar. Disse to begrebspar, vil vi bruge til at analysere vores
tre cases med, hvilket vil give os tre analyser, hvor disse to begrebspar danner grundlag for en
sammenligning og samlende diskussion, vi kan konkludere på. På denne måde vil vores to begrebspar både
give os en ensartet måde at snakke om vores cases på og samtidig, kan vi diskutere om brugen af disse
begrebspar giver os ny viden og indsigt i vores cases, eller om de ikke gør en mærkbar forskel.
Disse to begrebspar har vi dannet igennem en længere iteration, som vi ikke gennemgår, men vi fortæller
hvordan denne proces foregik, hvad vi har brugt og hvad slutresultatet blev. Først har vi læst relevant
litteratur om kognitive artefakter og repræsentationer, for at danne os et overblik over, hvad der bliver
forsket i på feltet og hvordan andre beskriver og snakker om kognitive artefakter. Derefter har vi læst vores
udvalgte kildetekster og sat os ind i hvilken historisk kontekst de er skrevet i, for at blive i stand til at
analysere dem uden at læse vores matematiske viden ind i kildeteksten. Så har vi dannet vores begreber ud
fra vores teoretiske forståelse for den læste litteratur og vores forståelse for den matematik der bliver
præsenteret og gennemgået i kildeteksterne. Herefter har vi så benyttet vores begreber til at analysere
vores cases med, hvilket har givet en ny forståelse af teorien, casene og vores begreber, hvilket har ført til
evaluering af vores begreber, der endte i en ændring af begreber.
På denne måde fik vi dannet nye begreber, der igen kunne bruges til en ny analyse, der igen kunne give ny
viden og indsigt og så fremdeles. Så vores begreber er altså dannet igennem en iteration, hvor viden fra
litteraturen og erfaring med kildeteksterne har spillet sammen og dannet det grundlag vi har dannet vores
begreber ud fra. Så det vi præsentere her i dette afsnit er et stilbillede af det, der har været en dynamisk
proces igennem projektskrivningen.
7
Vi vil starte med at præsentere det litteratur vi har sat os ind i, samt hvorfor vi mener det givne litteratur er
relevant i forhold til vores problemformulering. Derefter vil vi præsentere, hvordan vores begrebspar endte
med at se ud, efter den sidste af vores ovenfor beskrevne iterationer. Men altså som sagt, først en
gennemgang af den litteratur vi har brugt som teorigrundlag i vores projekt.
Repræsentationer
Inden vi går i gang med beskrivelsen af vores to begrebspar vil besøge den forståelsesramme, der hedder
repræsentationer. Vi har valgt at tage denne tilgang med fordi den på visse områder beskriver nogle af de
samme tendenser og processer, som vi ønsker at udtale os om, men ud fra en helt anden grundlæggende
ide. Denne tilgang er forholdsvis velbeskrevet i litteraturen. Det er ikke vores intention at positionere os i
forhold til repræsentationstankegangen, men derimod at se, om vores tilgang bringer nyt i forhold til
forståelse af vores problemformulering.
Vores cases er udvalgt, fordi de lagde grundstenene til noget, der var større end det problem, de
oprindeligt søgte at adressere. Vi har derfor en ide om at, der i vores cases er noget andet og mere på
færde end, hvad der kan forklares med repræsentationer, hvilket naturligvis er årsagen til vores underen og
lyst til at arbejde med dette projekt. Men for at kunne konkludere om vi har ret, må vi forstå, hvad der
menes med repræsentationer og hvad disse begreber kan indfange i vores udvalgte cases, hvilket vi så kan
diskuterer i forhold til vores eget begrebsapparat. Dette vil endeligt lede os til en diskussion om vores
begrebsapparat kan bidrage til den diskussion, der er på feltet om hvad der i visse tilfælde driver og hjælper
den matematiske udvikling, eller om vores begrebsapparat i virkeligheden er en anden måde at tale om
repræsentationer på.
Jessica Carter (Carter, 2012, s. 147) siger, at en af de vigtigste matematiske handlinger er
repræsentationerne, idet de både simplificerer og afdækker skjulte strukturer. Dermed bliver
repræsentationerne nærmest en forudsætning for at lave matematik. Man laver derfor ikke matematik
med teknisk kunnen, men ved at være god til at vælge de rigtige repræsentationer.
En af styrkerne ved repræsentationer er at de kan beskrive et matematisk objekt, så man bedre kan forstå
hvad dette objekt egentlig er og kan. Repræsentationerne kan også skabe overblik over en sammenhæng
mellem flere matematiske objekter, så man kan se forbindelser, der før lå skjult.
Til et eksempel på, hvor vigtige repræsentationerne kan være henter vi inspiration fra (Katz, 2009, pp.
409-11). Eksemplet tager udgangspunkt i Francois Viétes (1540-1603) algebraiske arbejde. Den
matematiske notation i algebraen bruger endnu ikke så mange tegn og symboler, så Viete skriver ligningen
, som A cubus + C plano in A aequetus D solido. To ting støjer her. Dels brugen af de (lange)
8
latinske navne, dels hans insisteren på det fysiske i matematikken, nemlig at det er vigtigt at holde øje med
enhederne (plano og solido). Udover, at det er (i alt fald for os) unødigt besværligt, så er der stor fare for, at
strukturer overses. Et tænkt eksempel kunne være udregningen af
I moderne notation ville vi få:
I Viétes notation ville resultatet nok være “A quadrato-quadratum + A cubus in B in 4 + A quadratum in B
quadratum in 6 + A in B cubus in 4 + B quadrato-quadratum.” I den skrivemåde kan det være svært at på
øje på binomialformlen, fordi strukturerne ikke træder så tydeligt frem.
En åbenlys fordel ved en moderne fremstilling er, hvor meget mindre plads det tager at skrive det helt ud.
Her tillader repræsentationer af ord og sammenhæng altså, at man kan give en masse information ved brug
af få simple symboler, der ikke bruger meget plads, hvilket giver læseren overblik. Dette overblik tillader
læseren både hurtigt at få øje på relevante informationer og sammenhæng, samt se bort fra ligegyldige
detaljer. Så det at være i stand til at repræsenterer givne sammenhæng, på en bestemt måde, kan altså
være utroligt vigtigt for, hvordan man forstår disse sammenhæng og hvilke spørgsmål man så kan stille og
endvidere, hvilke svar man kan give. Næste naturlige spørgsmål vil så være, hvad en repræsentation så er?
Carters (Carter, 2012) repræsentationsforståelse hvilker på den amerikanske logiker og semiotiker Charles
Sanders Pierce (1839-1914) arbejder med at systematisere vores forståelse af tegn og repræsentationer.
Pierce introducerede (Pierce C. S., 1868) et begrebsapparat til forståelse af logikkens væsen. Pierce
arbejdede med en tredeling: et logisk system består af tre dele: selve repræsentationen , det
repræsenterede objekt og fortolkningen af den givne repræsentation.
I hans kategori ”Quality (Reference to a Ground) indgår begrebet tegn. En vigtig forudsætning, for
overhovedet at kunne tale om tegn er, at det givne tegn også bliver fortolket og forstået, som et tegn.
Pierce formulerer en underopdeling i tre kategorier som tegn kan tilhøre, alt efter hvilket forhold der er
mellem de førnævnte tre dele. De tre kategorier er: ikoner, indicier og symboler, hvilket han illustrerer
således ( (Pierce C. S., 1932, s. 307):
De uddybende definitioner hos Pierce bygger på hele hans store begrebsapparat, men følgende citater
giver en forståelse af hvad, der er på spil.
9
An Icon is a sign which refers to the Object that it denotes merely by virtue of characters
of its own and which it possesses, just the same, whether any such Object actually exists
or not. It is true that unless there really is such an Object, the Icon does not act [as] a
sign; but this has nothing to do with its character as a sign. Anything whatever, be it
quality, existent individual, or law, is an icon of anything, in so far as it is like that thing
and used as a sign of it. (Pierce C. S., 1998, s. 291)
Et ikon repræsenterer et givent objekt ved at ligne dette objekt, for eksempel når vi snakker om en trekant,
som så benævnes
. Så vil
være et ikon, da denne repræsentation ligner det den repræsenterer og
dermed viser læseren, at der er tale om en trekant.
An Index is a sign which refers to the Object that it denotes by virtue of being really
affected by that Object. It cannot, therefore, be a Qualisign, because qualities are
whatever they are independently of anything else. In so far as the Index is affected by
the Object, it necessarily has some Quality in common with the Object, and it is in
respect to these that it refers to the Object. It does, therefore, involve a sort of Icon,
although an Icon of a peculiar kind; and it is not the mere resemblance of its Object,
even in these respects which makes it a sign, but it is the actual modification of it by
the Object. (Pierce C. S., 1998, s. 291-2)
Indicier er tegn, der bærer på mere information om det underliggende objekt end ikonet gør. Et tegn for en
retvinklet trekant er tættere forbundet til objektet trekant, end tegnet trekant er. Pierces eget eksempel er,
at en vejrhane peger på vindretningen.
A Symbol is a sign which refers to the Object that it denotes by virtue of a law, usually an
association of general ideas, which operates to cause the Symbol to be interpreted as
referring to that Object. It is thus itself a general type or law, that is, is a legisign. As
such it acts through a replica. Not only is it general itself, but the Object to which it
refers is of a general nature. Now that which is general has its being in the instances
which it will determine. There must, therefore, be existent instances of what the symbol
denotes, although we must here understand by “existent,” existent in the possibly
imaginary universe to which the symbol refers. The symbol will indirectly, through the
association or other law, be affected by those instances; and thus the symbol will involve
a sort of index, although an index of a peculiar kind. It will not, however, be by any
10
means true that the slight effect upon the symbol of those instances accounts for the
significant character of the symbol. (Pierce C. S., 1998, s. 292)
Symboler er repræsentationer, der er forbundet med det de repræsenterer via regler og lovmæssigheder.
For eksempel hvis man kigger på tegnet for uendelig,
. Dette tegn repræsenter et begreb, fordi vi har
vedtaget at det gør det og så har vi opstiller nogle regler for, hvordan vi skal bruge det i forskellige
sammenhæng. Så både bogstaver, ord og mange matematiske tegn, vil altså i denne sammen
karakteriseres, som symboler.
Pierce formulerer en yderligere under opdeling af ikoner, som er relevante i en matematik sammenhæng,
disse underkategorier er: billeder, diagrammer og metaforer. Vi bruger (Carter, 2012, s. 140-2) til at folde
det ud.
Billede:
Når et ikon fungerer som et billede, er der fordi billedet deler nogle lighedstræk med det objekt som
billedet repræsenterer. Dette kunne for eksempel være en skitse, som en matematiker laver af en situation
vedkommende ønsker at undersøge. Skitsen er som sådan ikke baseret på eksakte love, men deler vise
ligheder, med det den repræsenterer. Ligheder som matematikeren har bedømt til at være vigtige for
undersøgelsen.
Diagram:
Et diagrams sammenhæng med det objekt som det repræsenter er, at der er en given relation mellem
diagrammet og selve objektet. Søljediagrammer, grafbilleder og skemaer er eksempler på diagrammer. Hvis
vi for eksempel ser på funktion givet ved
sammenhængen mellem
og grafbilledet af denne funktion, så er
og grafbilledet ikke, at de som sådan ligner hinanden, men der er en relation
mellem disse to repræsentationer, som følger eksakte og veldefinerede matematiske love.
Metafor:
En metafor fungerer igennem parallelisme. Et eksempel på parallelisme kunne være følgende omskrivning
af formel 1
(1)
Vi ville sige at begge sider af lighedstegnet repræsenter det sammen, selv om det er tydeligt at de tegn, der
bliver brugt på de to sider, ikke er ens. Men fordi vi kender de regler og lovmæssigheder, der gør sig
gældende i denne situation, ved vi at den omskrivning er lovlig, hvorved der står det samme (Carter, 2012, s.
140-1).
11
Så repræsentationer kan altså have forskellige udformninger, hvilket kan gøre en i stand til at fokusere på
vigtige detaljer, se udover uinteressante detaljer, hvorved man kan få en bedre forståelse for den givne
sammenhæng eller opdage nye ukendte strukturer i det man betragter.
Nogle matematikere ville nok mene, at når en sådan repræsentation gør én i stand til at opnå forståelse
eller til at indse nye sammenhæng, så har denne repræsentation en anden rolle, end en repræsentation der
bare bruges til at videregive information. Et eksempel kunne være et matematisk udtryk som et teorem,
altså en symbolsk repræsentation af en matematisk sammenhæng, der i nogle tilfælde bare vil videre givne
den indlejrede viden til en observatør, men i enkelt tilfælde, vil dette teorem måske hjælpe en given
observatør til at indse, sammenhæng, der før lå skjult for vedkommende. Her ville man kunne indvende, at
denne repræsentation har en grundlæggende anden rolle og denne rolle, som repræsentationer og andre
begreber og objekter kan antager, bliver i nogle kredse kaldt for Kognitive artefakter.
Kognitive artefakter
I dette afsnit vil vi beskrive, hvordan to forskere har beskrevet kognitive artefakter og hvordan de virker i
forskellige situationer, samt hvilke objekter der kan virker som et kognitivt artefakt. Vi mener selv at der i
vores tre case, er tale om at der bliver benyttet kognitive artefakter, til at løse en opgave og opnå en form
for erkendelse. Men for at kunne udtale os om dette og altså besvar vores problemformulering, bliver vi
nød til at sætte os ind i, hvordan andre har karakteriseret disse kognitive artefakter, så vi om muligt kan
genkende dem i vores cases.
Heersminks taxonomi
Vi har valgt at bruge filosoffen Richard Heersminks beskrivelse kognitive artefakter, fordi han i dannelsen af
sin taxonomi bruger Pierces arbejde, der ligeledes blev brugt i vores beskrivelse af repræsentationer. Så
ved at bruge Heersminks arbejde, kan vi trække på allerede gennemgået materiale hvorved
sammenhængen mellem et objekt og den funktion dette objekt har, bliver tydelig.
Noget af det første Heersmink uddyber, er brugen af selve ordet ”cognitive artifact”, som vi har oversat til
kognitive artefakt. I denne sammenhæng er en artefakt noget kunstigt, altså menneskeskabt og i den
forbindelse, beskriver han distinktionen mellem ”teknisk” og ”teknik”. Begge begreber refererer til noget
menneskeskabt, men teknisk har en helt klar fysisk dimension og til en vis grad også mekanisk dimension.
Hvorimod teknik er metode man kan have tilegnet sig, for at udfører en handling på en bestemt måde. Her
12
siger Heersmink at ordet ”evne”, kan bruges som synonym for ”teknik” i denne sammenhæng (Heersmink,
2013, s. 468).
Et eksempel kunne være en pianist, der spiller på sit klaver. Her vil man sige at selve klaveret er et teknisk
artefakt, da klaveret består af en masse komponenter der virker på en meget bestemt måde, for at der
kommer de rigtige toner ud. Men selve pianisten er i besiddelse af en speciel teknik, altså en viden og
kunnen, der gør vedkommende i stand til at forstå hans instrument og noderne, hvormed vedkommende
kan spille det rigtigt.
Men en sådan teknik, behøves ikke at være en teknik der udmønter sig i fysiske handlinger, for Heersmink
er teknik nok nærmere tænkt som en måde at huske og/eller forstå noget på. Så de objekter som
Heersmink, i sit artikel fremhæver som kognitive artefakter, er objekter der indgår i en tanketeknik, altså en
kognitiv teknik.
Dette kunne for eksempel være et kort over geografisk område. Et sådan kort kan hjælpe en bruger til at
navigere i det givne område, fordi kortet er en overskuelig repræsentation, der gør brugeren i stand til at
overskue hvorhenne vedkommende befinder sig, så man kan finde vej. Man kunne også bare have spurgt
en stedkendt om hvordan området så ud, men sådan en mundtlig berettet kan man for det første ikke være
sikker på er korrekt og for det andet, kan de allerfærreste holde så mange informationer i hovedet på en
gang, samtidig med at man skal placere sig selv og tage bestik af hvilken retning man skal bevæge sig. Så
kortet gør, som sådan ikke en bruger klogere, men den løfter en arbejdsopgave, som brugen ellers selv
skulle have løftet, hvilket formentlig ville resultere i dårligere resultat, for eksempel at man fór vild.
Så kortet medvirker altså i en kognitiv teknik, som gør brugen i stand til at klare en opgave, som ellers ville
have været svær eller umulig, og det er i denne rolle som kortet har, som Heersmink ville karakterisere som
et kognitivt artefakt. Selve teknikken ligger i at personen der bruger kortet ved hvordan vedkommende skal
tolke de forskellige repræsentationer af virkelige objekter der er på kortet og overfører denne viden til
omgivelserne. Så i dette tilfælde vilde man sige at selve kortet i sig selv er et kognitivt artefakt, fordi det
medvirker i en kognitiv teknik, hvor ingen af delene giver mening uden hinanden (Heersmink, 2013, s. 468).
Herefter kommer han med en mere formel definition af et kognitivt artefakt, som at
”… a cognitive artifact is neither defined by intrinsic properties of the artifact nor by the
intentions of the designer, but by its function, which is established by the intentions of the user
and by how it is used.” (Heersmink, 2013, s. 471).
Så for Heersmink, er det altså selve funktionen, et givent objekt optræder i, der er afgørende for om han vil
kategorisere dette objekt som et kognitivt artefakt, i den pågældende situation. Ser vi på det forrige
eksempel, hvor vi omtalte klaveret som et teknisk artefakt, ville man godt kunne forestille sig en situation,
13
hvor det faktisk godt kunne kategoriseres som et kognitivt artefakt. Dette kunne for eksempel være, hvis
klaveret blev brut til at forklare tonernes indbyrdes sammenhæng og en person, ud fra tangenterne på
klaveret kunne få opbygget en forståelse af musikkens væsen, som vedkommende ikke ville kunne have
fået før. Så et teknisk artefakt, kan sagtens fungere som en del i en kognitiv teknik. I eksemplet med musik,
kunne man forestille sig at den givne person, ville være i stand til at huske hvordan noderne hænger
sammen ved genkalde sig tangenternes placering for sit indre øje og bruge dette til at udfører en opgave.
Således kan et teknisk artefakts fysiske tilstedeværelse blive overflødig, for en bruger, men stadig hjælpe
med at udfører en kognitiv opgave.
Men en helt afgørende egenskab, der gør at artefakter overhovedet kan bruges til at udfører kognitive
opgaver, er at der er struktur på den information, som den givne artefakt indeholder eller kan levere. I
eksemplet med tangenterne, så er de jo netop placeret på en helt bestemt måde, hvilket netop gør at det
kan bruges som kognitivt artefakt i nogle tilfælde.
Heersmink skildre således mellem to typer af informationsstrukturer, som kognitive artefakter kan
kategoriseres efter: repræsentationel og ikke-repræsentationel. Hvor repræsentationelle artefakter
indeholder informationsstrukturer om verden, hvor ikke-repræsentationelle artefakter indeholder
informationsstrukturer som verden (Heersmink, 2013, s. 476).
I denne sondring vil et landkort, som tidligere omtalt, kategoriseres som et repræsentiationelt artefakt, da
denne type artefakt indeholder en informationsstruktur om, hvordan et givent geografisk område ser ud. Et
eksempel på et ikke-repræsentiationelt artefakt, som Heersmink også giver, er placering af givne objekter,
hvilket kan hjælpe med at huske, hvilket kunne være altid at lægge ens bilnøgler på skabet i gangen.
Hverken bilnøglerne eller skabet, indeholder i sig selv nogle information, der kunne hjælpe med at huske
bilnøglerne. Men i det man indretter verden på helt bestemt måde, bliver kombinationen af bilnøgle og
skab, samt en gentagelse af man altid lægger bilnøglerne der, til et kognitivt artefakt.
Kategorien af repræsentationelle kognitive artefakter underopdeler Heersmink, så yderligere i følgende tre
kategorier: ikoner, indicier og symboler. Hans definition på disse tre kategorier er baseret på Pierces
arbejde, som vi har gennemgået i afsnittet om repræsentationer. Heersminks terminologi er udviklet til at
beskrive fysiske artefakter der hjælper til en kognitivt opgave, som at huske eller forstå, så derfor er hans
eksempler på hvilke objekter der tilhører de forskellige grupper naturligvis også fysiske objekter. Her
nævner han landkortet som et ikonisk artefakt, et kompas som et indeks artefakt og en kugleramme som et
symbolsk artefakt.
Landkortet indeholder lighed med den verden som den repræsenterer, hvorved det ifølge Pierces
kategorisering er et ikon. Et kompas er et aggregat som i bogstaveligste forstand peger på noget andet end
sig selv, nemlig nord. Det giver information om noget, der ligger ud over dets egne grænser, på en anden
14
måde end et kort gør, da et kompas ikke nødvendigvis ligner det, det peger på. En kugleramme tilhører den
symbolske gruppe da, kuglerne igennem love og regler kan bruges til at udfører meget mere komplekse
udregninger, end en person ville have været i stand til uden dette hjælpemiddel.
Figur 1 – En oversættelse af Heersminks taksonomi fra engelsk til dansk (Heersmink, 2013, s. 473)
Den anden kategori ikke-repræsentationel, opdeler Heersmink i to kategorier: rummelig og strukturel. Hans
eksempler på hver af de to kategorier er placering af bilnøgler, som er en rummelig kognitiv artefakt og så
rotation af Tetris brikker, hvilket er et strukturelt kognitivt artefakt.
Den rummelige kategori indeholder artefakter, der igennem deres placering i forhold til andre objekter
eller artefakter, hjælper med at løfte en kognitiv opgave. Så selve artefaktet i dette tilfælde, er ikke alene
selve objektet, men sammenhængen mellem objektet og en bestemt sekvens af tanker, der danner den
kognitive artefakt.
Kategorien med de strukturelle artefakter, indeholder som det nævnte eksempel rotation af Tetris blokke.
Når man spiller Tetris gælder det om at udnytte de givne blokkes facon optimalt og får at finde ud af hvor
den aktuelle bloks skal placeres, kan spilleren bruge tasterne til at roterer blokken. Denne rotation
visualiserer de forskellige muligheder, spilleren har for at få den aktuelle blok, til at indgå i de eksisterende
blokke. Spilleren kunne også bare udføre en rotation af blokken i hovedet, men det ville kræve mere
tankekraft, som spilleren nu kan bruge til at udtænke placering af denne blok. Så idet blokken bliver roteret,
kan spilleren overskue nogle strukturer og muligheder, der før var mere komplicerede at udtænke.
15
Dette var en beskrivelse af hvordan Heersmink, har valgt at kategorisere kognitive artefakter, men for at
danne os et mere fyldestgørende billede af den litteratur, der omhandler kognitive artefakter, har vi valgt
at beskrive endnu en måde at snakke om dem på.
Normans begrebsapparat
Vi har valgt at hente inspiration fra Donald A. Normans værk ”Things that makes us smart”, der, ligesom
Heersmink, beskriver kognitive artefakter primært som fysiske objekter. Men selv om vi primært er
interesserede i ikke fysiske kognitive artefakter, kan Normans kategorisering og generelle forståelse kan
vise sig at være nyttig i vores analyse.
Norman starter sin beskrivelse af kognitive artefakter med at beskrive to synsvinkler: Det personlige og det
systemiske synspunkt.
Det personlige synspunkt pointere at et kognitivt artefakt ikke gør den person, der bruger det klogere, men
artefaktet ændrer selve opgaven. Hvis man for eksempel beder en person om at bestemme en given
afstand mellem to punkter i et rum, hvor vedkommende ikke har nogen hjælpemiddel, vil denne person
kun have sit øjemål og måske sin skridtlængde til at bestemme denne afstand. Her vil arbejdsopgaven altså
være at tage så ensartede skridt som muligt, hvilket så vil være vedkommes svar. Hvis man giver personen
et målebånd, er arbejdsopgaven ændret. Målebåndet bliver langt ud mellem de to punkter, men svaret er
dermed ikke fundet, for personen skal være i stand til at oversætte de relevante informationer fra
målebåndet til ord og begreber. Så hvor opgaven før var at bruge sin krop og sit øjemål til at bestemme en
afstand, er opgaven nu at anvende sin viden om, hvordan et målebånd fungerer og oversætte disse
informationer til et længdemål.
Det systemiske synspunkt siger at en person, der har adgang til et kognitivt artefakt og som forstår at bruge
det, vil være bedre i stand til at løse den givne opgave, end personen og artefaktet hver for sig. Hvilket igen
er fordi at et kognitivt artefakt ikke gør en person klog, så hvis man mister sine kognitive artefakter, vil der
være arbejdsopgaver, man ikke længere vil kunne udfører (Norman, 1993, s. 78).
Efter denne indledning, definere Norman to sæt af to begreber, hvor hvert begreb i sættet er den andens
modsætning. De to sæt er henholdsvis

Aktiv – Passiv (på engelsk: Active – Passiv)

Overflade – Indre (på engelsk: Surface – Internal)
De første to begreber aktiv og passiv referer til om kognitive artefakter er i stand til at ændre hvilke
informationer de giver. Ser vi på eksemplet fra før, så vil målebåndet være et passivt kognitivt artefakt, da
16
alle tallene står på målebåndet, uanset hvor langt, det man måler, er. En aktiv artefakt kunne for eksempel
være et ur. Her vil viserne eller tallene på uret ændre sig, når tiden går, netop fordi at dette kognitive
artefakt hjælper folk med at få en fornemmelse af tid. En lommeregner vil også være et eksempel på et
aktivt kognitivt artefakt da displayet vil ændre sig, alt efter hvilken sekvens at taster du har trykket på.
I begge tilfælde vil det kræve en form for afkodning, hvis en person ønsker at bruge et artefakt, til at
udfører en opgave, så forskellen ligger i at de aktive selv vil komme med de informationer, det blev bedt
om at bringe.
Det andet sæt af begreber overflade og indre referer til hvordan den information du skal afkoder
fremkommer. I tilfældet af overflade artefakter, vil alle informationer være tilgængelig til at starte med,
hvor der ved de indre artefakter, foregår processer inden i mekanikken du aldrig bliver involveret i. Tager vi
målebåndet igen, så er det en passiv overflade artefakt, da alle informationerne står på det og den er
præcis sådan som den fysisk fremstår. Hvorimod lommeregneren vil være en aktiv indre artefakt, da de
algoritmer og systemer, den bruger til at processer de indtastede informationer, ikke er noget du får indblik
i som bruger. Der foregår altså noget inden i dette artefakt, som du ikke blive bedt om at tage stilling til.
Beslutningen om, hvad du ser og hvad du skal tage stilling til, er nemlig blevet taget før du interagere med
artefaktet, af designeren.
Det er dog ikke unikt for de indre artefakter, det er generelt sådan at designet af et givent artefakt,
bestemme hvor effektiv den er til det givne formål og det vil sjældent være sådan, at der kan laves et
artefakt, der er optimalt i alle henseende, til dette formål (Norman, 1993, s. 79-81).
Hvor effektivt et artefakt er til et bestemt formål, afhænger blandt andet af om designeren har været i
stand til at vælge effektive repræsentationer, til det givne artefakt. Norman beskriver at en forståelse for
repræsentationer er helt essentiel til at forstå kognitive artefakter. Kognitive kan lette en tankemæssig
opgave, fordi selve artefaktet ændre den måde du tænker det givne problem på, og det gør artefaktet ved
at bruge repræsentationer, til at fremstille problemet på en ny måde.
I tilfældet med målebåndet, skal du altså nu forstå, at de tal du ser på målebåndet, er en repræsentation af
en given længde. De fleste målebånd er designet sådan at man bruge en standard og vedtaget enhed, til at
opdele målebåndet, da en ubrugelig eller ugennemskuelig enhed ville forøge det kognitive arbejde. Der er
dog flere forhold der gør sig gældende, for om en repræsentation er velegnet til et bestemt formål, for
repræsentationen skal også udelade, ligegyldige detaljer. Derfor vil de fleste målebånd kun gå ned til
millimeter, selv om skalaen principielt fortsætter, men her har man bedømt at denne del af virkeligheden,
ikke er relevant for de fleste tilfælde, som målebåndet er tiltænkt at hjælpe i.
Et effektivt kognitivt artefakt er altså bygget op omkring velvalgte repræsentation, der udelader ligegyldige
detaljer, hvorved de vigtige detaljer fremstår tydeligt (Norman, 1993, s. 49).
17
Norman beskriver to typer af repræsentationer, der har hver sine fordele og ulemper, nemlig:
eksperimentale og refleksive repræsentationer. Grundlæggende kan man sige at eksperimentale giver
mulighed for at erfarer og handle i verden, hvor refleksive giver mulighed for at håndtere og manipulere
andre repræsentationer. De fleste måleinstrumenter er eksempler på eksperimentale artefakter, da de
giver informationer om et bestemt forhold i verden, som tillader dig at agere i forhold til det. Lyd
optagelser og film af forskellig slags, er også eksempler på eksperimentale artefakter, da man igennem
disse kan opleve begivenheder og handlinger, på tværs af tid og rum.
Refleksive artefakter tillader at man ser bort fra den virkelige verden og kun beskæftiger sig med
repræsentationer af forhold i den virkelig verden eller bare helt abstrakte repræsentationer. Brugen af
symboler i algebra er et eksempel på netop refleksive artefakter. Her beskæftiger man sig med abstrakte
symboler og operer med dem ud fra vedtagne regler og lovmæssigheder, hvilket ikke nødvendigvis giver
viden om den om givne verden.
Et eksempel på forskellen mellem disse to typer af repræsentationer kunne være, hvis man skulle regne ud,
hvor mange kugler af en given diameter, der er en bestemt beholder. Man kunne hælde alle kuglerne ud og
så tælle dem, ved at sætte en streg for hver kugle man lagde tilbage. Så ville disse streger være et eksempel
på den eksperimentale repræsentation, fordi der er et et-til-et forhold mellem repræsentationen og det
repræsenterede. Man kunne også gribe situationen anderledes an og måle både beholderen og kuglerne,
hvor efter man kunne lave nogle antagelser og lave en udregning. Nu har man flyttet problemet fra
virkeligheden og ind i abstrakte matematiske repræsentationer, som nu virker på og med hinanden
igennem lovmæssigheder. Så når man analysere modeller og prognoser af forskellige forhold, er det altså et
eksempel på refleksive repræsentationer.
Styrken ved disse refleksive repræsentationer er at de tillader os at ignorer virkeligheden og fokusere på en
kunstig verden, hvor man kan opdage nye sammenhæng og genere ny viden. Men Norman nævner også
faren ved disse refleksive repræsentationer, nemlig at man kan glemme at disse repræsentationer ikke er
direkte forbundet med den omgivne virkelighed. Denne fejlslutning kan fører til falske antagelser og en
tvistet verdensopfattelse.
Vi har nu gennemgået det litteratur vi har brugt, som vores teoretiske grundlag, så vi kunne analysere vores
cases og danne vores begreber. Så vi vil nu gå videre til at beskrive hvordan vi endte med at beskrive vores
begrebspar efter den sidste iteration.
18
Begrebsmæssige redskaber
I dette afsnit vil vi komme med vores beskrivelse af de begreber, vi ønsker at anvende til vores analyse. Det
er vigtigt at lægge mærke til at vores begreber er udviklet med henblik på at besvare vores
problemformulering. Vi har ikke udviklet vores begreber til, nødvendigvis, at være i stand til at indfange
detaljer om kognitive artefakter i alle tænkelige tilfælde. Det er muligt at vores begreber er i stand til at
bruges i andre sammenhæng, men det ville kræve en yderligere analyse og undersøgelser, både af de nye
cases de skal bruges i og vores begreber som genstand. I denne rapport er vores begreber ikke en genstand
der som sådan står til undersøgelse, men et værktøj vi benytter til at kunne besvare vores
problemformulering.
Man kunne med rette indvende, hvordan vi vil påstå, vi er i stand til at konkludere noget, når man
undervejs undre sit værktøj, hvormed man netop skal finde frem til konklusionen. Denne indvending vil vi
vende tilbage til i diskussionsafsnittet.
Vi har valgt at benytte et andet ord frem for kognitive artefakter, nemlig begrebsmæssige redskaber.
Hvilket vi har valgt fordi det meste af det litteratur vi har beskæftiget os med, beskriver hvordan fysiske
objekter som målebånd og kort, hjælper mennesker med at udfører svære kognitive opgave, hvor vi
primært interesser os for ikke-fysiske objekter, der spiller samme rolle. Vi interesser os altså for ikke-fysiske
objekter, der hjælper med at kunne udfører en opgave eller opnå en erkendelse, som en given person ikke
ville have været i stand til at udfører eller opnå selv. Når vi siger ”ikke-fysiske” mener vi, at de ikke på
samme måde er forankret i en konkret fysisk objekt, men selvfølgelig har en fysisk repræsentation.
Et eksempel kunne være en kridtcirkel på en tavle. Det fysiske objekt her er selve kridtet og tavlen, men når
en matematiker bruger denne kridtcirkel i sine udregninger, tænker han på det som noget andet end dens
egentlige fysiske repræsentation. Så vil han se på det som en cirkel, der har nogle bestemte egenskaber og
indgår i helt bestemte sammenhæng, og dette objekt er noget andet end den fysiske cirkel af kridt på
tavlen. Det er således de tankebilleder man kan have og bruge i forskellige sammenhæng, vi ønsker at
beskrive og undersøge
Så for at tydeliggøre at vi beskæftiger os med noget lidt andet, end den øvrige litteratur, valgte vi at omtale
disse objekter, som begrebsmæssige redskaber. Men selv om vi har valgt et andet ord, synes vi det ligger så
tæt op af meningen i det oprindelige ord ”kognitive artefakter”, så det er tydeligt, vi beskæftiger os med
objekter, der spiller samme grundlæggende rolle, som kognitive artefakter.
For at blive i stand til at analysere vores cases og besvare vores problemformulering, har vi som sagt valgt
at danne to begrebspar. Begge disse begrebspar er udledt af de forskellige situationer, som vi har
19
observeret i vores cases at begrebsmæssige redskaber kan indgå og hvilke effekter de kan have i disse
situationer. Her har vi især set på hvordan Heersmink beskriver at det er konteksten og brugen, der er
afgørende for om man kan snakke om at givent objekt fungere som et kognitivt artefakt. Selv samme
tendens har vi kunnet observere i vores cases, da de objekter der bliver brugt her, i andre sammenhæng,
ikke ville spille samme afgørende rolle. Vores begreber afhænger altså af hvilken matematisk kontekst, vi
befinder os i. Men selv om begge vores begrebspar beskriver den matematiske kontekst, beskriver de ikke
samme forhold i denne kontekst. De to begrebspar er:

Forklarende – Fordybende

Generator – Terminator.
Det første begrebspar beskriver den rolle et givent redskab spiller i den helt konkrete matematiske
kontekst, altså i selve kildeteksten. Det andet begrebspar beskriver hvilken rolle et givent redskab havde for
matematikken, udover i den matematiske kontekst, altså inden for den matematiske udvikling fremafrettet.
Vi starter med at uddybe forskellene mellem begreberne i det først par, Forklarende – Fordybende.
Grundlæggende kan man sige at et forklarende redskab operer inden for den etablerede matematik, hvor
et fordybende redskab peger på noget uden for den etablerede matematik. Når et redskab fungere
forklarende er det altså fordi dette redskab gør matematikere i stand til at løse et veldefineret og
anerkendt problem, som nu er blevet løst ved hjælp af dette redskab. Det kan også hjælpe med forståelse
og erkendelse, hvis man har formuleret nogle problemer eller teori, som ikke hang sammen, men som
pludselig giver mening, hvis man anvender dette redskab – så vil man også sige at det er et forklarende
redskab. Men det behøver ikke løse et uløst problem eller skabe mening, hvor der ikke tidligere var mening,
det kan også bare forbedre en allerede eksisterende løsning på et problem, eller være bedre til at skabe
mening om noget bestemt teori. Billedet her er at et forklarende redskab kan forklare, hvordan en bestemt
opgave kan løses eller forklare hvordan noget bestemt teori hænger sammen.
Et fordybende redskab kan også løse et problem og hjælpe med forståelse og erkendelse, men de
problemer og den erkendelse et sådan redskab kan hjælpe med, ligger uden for den etablerede matematik.
Sådanne problemer der ligger uden for den etablerede matematik, kan i sagens natur være svære at have
en forståelse for da de, netop ligger uden for vores etablerede matematik. Men man skal blot tænke på
dem som problemer vi endnu ikke har formuleret, stødt på eller haft brug for at løse. Man kan således
forestille sig at en matematiker, der arbejde på et givent emne og danner et begrebsmæssigt redskab til at
hjælpe i vedkommendes arbejde. Hvis dette redskab i kraft af dets udformning og funktion i konteksten
giver anledning til at til at stille nye spørgsmål og forsøge at løse en ny type problemstillinger, så ville vi
kalde dette redskab for fordybende. Et andet scenarie kunne være hvis dette redskab igen i kraft af dets
20
udformning og funktion i konteksten gjorde matematikeren i stand til at se sammenhæng, strukturer
og/eller matematiske objekter, vedkommende ikke var i stand til at beskrive og få en forståelse af før – så
ville vi også kalde dette redskab for fordybende. Billedet her er at et fordybende redskab kan give en
dybere forståelse af matematiske spørgsmål og problemstillinger, idet man ser dybere ind i matematikkens
væsen.
Det ovenfor forklarede begrebspar beskriver altså som sagt den rolle et redskab havde i en helt speciel
kontekst, altså en kildetekst. Men den kildetekst er jo fremkommet i en helt bestemt historisk kontekst, og
det er denne historiske kontekst det sidste begrebspar beskriver, nemlig Generator – Terminator.
Når et redskab fungere som generator, mener vi at dannelse og brugen af dette redskab har affødt en
masse andre spørgsmål og/eller bidraget til den matematiske udvikling. Et redskab kan fungere generende
på mange måder. Hvis man for eksempel benytter et redskab til at kunne besvare et problem, man har haft
inden for et givent matematisk felt, kan resultaterne som brugen af redskabet har medført give anledning
til at man beskæftiger sig med andre problemstillinger, inden for dette felt. Man kunne også forestille sig at
nogle matematikere så hvor effektivt dette redskab var til at løse et problem, så de forsøger at anvende
dette redskab på andre problemstillinger i håb om at det også kan løse disse problemer. Andre kunne
måske finde på at undersøge selve redskabet, som genstand for at finde ud af hvorfor det var i stand til at
løse det givne problem. I disse tilfælde ville vi kategorisere redskabet som et generende redskab, da
dannelsen og brugen dette redskab generede spørgsmål og viden, inden for et eller flere matematiske
felter.
En terminator er det modsatte af en generator. Det er altså et begrebsmæssigt redskab, vis dannelse og
brug enten ikke har givet anledning til at stille nye spørgsmål eller bragt ny erkendelse med sig. Et redskab
kan fungere terminerende i situationer, hvor der har været diskussioner om hvilken løsning der var rigtig
eller bare bedst, til at løse en bestemt problemstilling. Her kan et nyt redskab vise sig at løse opgaven
fuldstændigt eller bare være bedre end de andre muligheder, så yderligere diskussion om hvilken løsning
man skal bruge, bliver overflødig. Her ville man sige at dette redskab fungerede terminerende, da man i
tiden efter dannelsen og brugen af det givne redskab, ikke havde en grund til at debattere den givne
problemstilling yderligere, da den mest optimale løsning var fundet. Et andet scenarie, hvor et redskab kan
virker som terminator, er hvis en matematiker danner og bruger et redskab til at løse et problem eller opnå
erkendelse, men dette problem eller denne erkendelse, har ingen almen interesse. Det ikke altid en
matematiker ved præcis, hvad vedkommende ender med at konkludere når man kommer igennem med sit
arbejde. Så nogle matematiske indsigter, som folk har gjort sig igennem tiden, må siges at være sande eller
delvist sande, men uden den store interesse eller nyttevirkning for andre. Og dermed heller ikke affødt nye
21
spørgsmål eller ny viden, hvormed vi vil kategorisere sådanne artefakter, der har indgået denne
sammenhæng, for terminerende.
Det er vigtigt at notere sig at vores to begrebspar ikke udelukker hinanden, så et begrebsmæssigt redskab
kan godt fungere forklarende og generende i en given kontekst. Men de er indbyrdes udelukkende, så et
begrebsmæssigt redskab kan ikke fungere måde forklarende og fordybende i en given kontekst.
Dette var vores gennemgang af de begreber vi vil anvende til at analysere vores tre cases med. Deres
udformning og hvordan vi bruger dem i analysen vil vi tage op i vores diskussion. Nu går vi videre til
afsnittet med vores cases.
22
Vores cases
Da vi nu har gennemgået den nødvendige teori og beskrevet hvilken metode vi vil anvende for at besvare
vores problem formulering vil vi nu gå videre til vores case afsnit.
Vi vil grundlæggende arbejde med vores tre cases på en nogenlunde ensartet måde, så det giver mening at
sammenligne dem, på ens vilkår. Denne sammenligning vil vi bruge til at besvare vores problemformulering.
Grundlæggende er hver af de tre case afsnit opbygget af tre dele: en historisk baggrund, en beskrivelse af
det matematiske arbejde og en analyse samt diskussion.
Den historiske baggrund er vigtig for at vi ikke kommer til at tænke vores nutidige matematik forståelse ind
i de tekster vi beskæftiger os med, hvilket man hurtigt kan komme til når man kigger på ældre matematisk
arbejde. Derfor vil vi også gøre opmærksom på forskelle på notationer og beskrive hvordan de forskellige
elementer og udtryk bliver brugt i den givne tekst. Denne vil vi især gøre hvis der er store forskelle på
hvordan man normalt ville gøre det i dag i forhold til i teksten.
Når vi har sat vores kildetekst ind i en historiske sammenhæng, vil vi beskrive hvordan matematikeren bag
kildeteksten kommer frem til sine resultater og hvordan han undervejs arbejder og argumentere. I dette
afsnit prøver vi så vidt muligt at holde os neutrale og blot referer kildetekste og fremhæve de vigtigste
elementer i forhold til besvarelse af vores problemformulering.
Til sidst vil vi analyse det matematiske arbejde og diskutere om det giver mening at snakke om
begrebsmæssige redskaber netop i den givne kildetekst og om vi opnår en dybere forståelse for hvordan
matematikeren har arbejdet i den givne tekst, ud fra vores definerede begrebspar.
Vi ender således med tre analyser af hver af vores tre cases og det er disse tre analyser, der danner
grundlag for vores endelige diskussion, hvor vi vil besvare vores problem formulering, hvilket endelig vil
udmønte sig i en konklusion.
Cardanos komplekse tal
Den første case vi vil beskæftige os med er en tekst af den italienske matematiker Girolamo Cardanos
arbejde fra midten af 1500-tallet. Vi starter med at beskrive hvilket samtid han levede i og hvilken slags
matematik man generelt beskæftige sig med på hans tid.
Historisk baggrund
Første gang man støtte på behovet for at kunne regne med komplekse eller imaginære tal var da de
italienske matematikere Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia (1499-1557), Girolamo Cardano
23
(1501-1576) og Ludovico Ferrari (1522-1565) begyndte at løse tredje og fjerde grads ligninger (Lindstrøm,
2006).
Del Ferro var den første løste en general klasse af tredje grads ligninger. På grund af den måde
universitetssystemet i Italien virkede i 1500 tallet gjorde at del Ferro ikke delte sin opdagelse (Katz, 2009).
Stillingerne på universiteterne blev tildelt i en matematiks tvekamp mellem to ansøgere. Den som kunne
løse flest af den andens opgaver ville få stillingen. Det gjorde at alle holdte på deres hemmelighed, da man
også kunne udfordre en siddende professor. Inden del Ferro døde delte han sin hemmelighed med sin elev
Antonio Maria Fior. Fior udfordrede Tarlaglia til en tvekamp om Tarlaglias stilling. Da Tarlaglia opdagede at
alle Fiors opgaver omhandlede en bestemt type tredjegrads ligninger, tænkte han at del Ferro havde fundet
en løsning og derfor arbejdede han på at finde en løsning selv. Tarlagia fandt frem til samme løsning som
del Ferro og vandt tvekampen. Cardano hørte om tvekampen, og skrev til Tarlagia hvor han spurgte om han
kunne få hans hemmelighed. Cardano fik overtalt Tarlagia til at dele sin hemmelighed, hvis Cardano lovede
ikke at publicere det. Senere fandt Cardano ud af at det i virkeligheden var del Ferro der havde fundet ud af
løsningen til den type tredjegrads ligninger, og følte sig derfor ikke bundet til sit løfte til Tarlagia mere.
Cardano arbejdede videre med Del Ferros arbejde og kunne i 1545 vise hvordan man løste alle variationer
af en tredje grads ligning. Cardano viste blandt andet i sit værk Ars Magna (den store kunst) at der til
ligningen
(2)
Hvor p og q er positive, har netop en positiv løsning, og han udled følgende formel til at finde den
(3)
Denne ligning fungerer godt i de fleste tilfælde, men hvis man kigger på ligningen
(4)
Kommer man ud i nogen problemer med Cardanos formel. Hvis man sætter ind i formlem får man følgende
udtryk
(5)
Hvor udtrykket
opstår. Hvilket var en ”forbudt” kvadratrod på det tidspunkt. Selv om der indgår
en ”forbudt” kvadratrod, kan man få Cardanos ligning til at give mening, hvis man lader som om det er et
24
reelt tal og bruger de gængse regne regler for kvadratrødder. Udtrykket for (5) kan skrives om til følgende
udtryk
(6)
Som vi kan se giver (5) en reel løsning som er 4.
I dette tilfælde giver det mening at regne videre med
, da man får
når man ganger
parenteserne sammen. Dette var dog ikke Cardano men Rafael Bombelli (1526-1572), der gjorde det.
Bombelli begyndte at arbejde med de imaginære tal, som viste sig for hverken at være positive eller
negative. Bombelli angav forskellige love for multiplikation af imaginære tal, og samtidig viste at man kunne
bruge de almindlige regler for addition og subtraktion til det vi vil opfatte som de imaginære tal.
Ud over arbejdet med tredjegrads ligninger i Ars Magna havde Cardano også noget om de imaginære tal,
dog ikke i forhold til hans tredjegrads ligninger, men i forhold til anden grads ligninger (som vi skal se på).
I 1500 og 1600 tallet var det en accepteret praksis at man kunne bruge kvadratroden af negative tal til at
løse matematiske problemer, men der har sikkert været nogen der har haft beting ligheder ved det da man
ikke på det tidspunkt viste præcist hvad
og hvordan kan man stole på en udregning, hvor man bruger
ikke eksisterende størrelser (Lindstrøm, 2006) (Katz, 2009). Faktisk var de imaginære tal nærmest set om en
nødløsning. Cardano selv kaldte de imaginære tal for fiktive og Bombelli anså dem ikke selv som noget der
var rødder (Katz, 2009). Det var først i 1700 tallet de imaginære tal begyndte at vende indpas.
Kildeteksten
Første gang det vi ville kalde i imaginære tal dukkede op var i Cardanos bog Ars Magna fra 1545 (Katz,
2009). Det var ikke i forbindelse med løsning af tredjegrads ligninger, men der imod i forbindelse af
løsninger af anden grads ligninger. På figuren herunder ser vi et billede af hans original tekst, som den er
skrevet på latin. Vi har dog arbejdet med en engelsk oversættelse.
25
Figur 2 – Cardanos oprindelige latinske tekst fra Ars Magna som casen er bygge om omkring. (Lützen & Ramskov, 1999)
Matematikken i 1500 tallet var bygget op omkring geometrien, og derfor var Euklids sætninger en stor del
af matematikken. Af samme grund bliver vi nød til at have en forståelse for den matematik som Cardaon
kendte til. Inden vi skal se på det eksempel hvor Cardano regner med imaginære tal, skal vi først have styr
på et bestemt bevis fra Euklid, nemlig sætning 28 fra bog 6.
Euklid bog VI. 28. (Lützen & Ramskov, 1999)
26
Ifølge Euklid kan man lægge en firkant
danne et kvadrat
langs en linje
. Dog må arealet af figuren
, på det resterende linjestykke vil man kunne
må ikke være større end det areal af det kvadrat der
fremkommer ved at kvadrere halvdelen af linjestykket
.
I dette eksempel kigger vi på det særtilfælde hvor vi arbejder med rektangler og figuren d er et kvadrat,
frem for det tilfælde hvor figurerne kan være parallelogrammer.
Euklid starter med at kigge på en ret linje
, og en firkantet figur
Figur 3 – Euklids udgangspunkt, med linjen
Arealet på figuren
af linjestykket
, og en firkantet figur
må ikke være større end areal af kvadrat der fremkommer ved at kvadrere halvdelen
.
Langs linjestykket
stykke
se Figur 3.
ligger man figuren
. Vi kan nu konstruere et kvadrat på det resterende linje
.
Linjestykket
halverer man i punktet E. På linjestykket
beliggende med
tegnes kvadratet
. Der tegnes nu et tilsvarende kvadrat på linjestykket
se Figur 4
27
som er ligedan
, dette kvadrat kaldes
Figur 4 –linjestykket
Hvis
der er delt ind i to lige store kvadrater, samt firkanten figur
så vil
, da
Men ellers hvis
vi vil finde
bliver dannet på det rasterende linjestykke
har vi opfyldt betingelsen om at danne et kvadrat
. Yderligere kan vi sige at kvadratet
vi kender og
. Derfor
på det rasterende linjestykke, i tilfældet
svarer til kvadratet
fra Figur 4
har vi et andet tilfælde.
og når de er ens må det gælde at
Man kan nu konstruerer en firkant
.
så
og er lige dannet med
er ligedan med
Lad linjestykket
ligge på linjestykket
I det at
linjestykket
og linjestykket
må det betyde at
og
, da både
på
.
, det må samtidig betyde at
og
er kvadrater og derfor må det også
gælde at det mindste kvadrat har de korteste sider. Der fremkommer nu et nyt kvadrat på tegningen, der er
lig med
. Det kvadrat kaldes
.
28
Figur 5 -
med de firkanter der fremkommer når firkanten
er trukket fra. Her kan det ses at
og
Da
kan det omskrives til
, så har vi at
.
Hvis vi trækker firkanten
tre firkanter
og da vi ved at
fra
,
og
kan vi se på Figur 5 at vi vil have et gnomon der består af de
. Et gnomon er en L formet figur. Det vil sige at
da vi husker på at
Man kan se at
.
da de er dannet omkring de samme kvadrater, det vil sige at de har
samme længder på deres lange linjestykker dannet fra kvadratet
linjestykker dannet fra kvadratet
og samme længder på deres korte
. Efter som at
må det også gælde at
da der kun bliver lagt
Da
på begge sider.
, som vi kan se fra Figur 5, må det også gælde at
. Hvis vi lægger
til på begge sider får vi
. Da vi husker at
fra tidligere og vi kan se ud fra Figur 5 at
får man at
lige præcis er et kvadrat
resterende linjestykke for
. Man kan se at der på det resterende linjestykke
og det kvadrat svare til
, da vi kaldte det kvadrat på det
.
Matematikken i det 1500-århundrede var bygget op omkring en geometrisk tilgang og derfor også på
mange af Euklids sætninger.
I det specielle tilfælde, hvor vi har taget
ligningssystemet
af
og
, x svare til længden af
som et kvadrat, vil nogen mene at det kan forståes som
med vores dags notation, hvor linjestykket
side og y svare til højden af
29
, c er arealet
eller sidernes længde af kvadratet
som
vi kan se på Figur 6. Det er rigtigt man kan oversætte Euklids bevis til et sådan udsagn, men om Euklid selv
tænke på det sådan, er ikke så sikkert. Dette er en stadig i gangværende diskussion inden for matematik
historie, altså hvordan man kan og skal læse ældre matematiske tekster. Denne diskussion ligger uden for
målet med dette projekt, men vil blot her gøre opmærksom på at en sådan diskussion eksistere.
Figur 6 – Linjestykket
er delt ind i to dele i punktet S. Linjestykket
lignings system
svarer til x og linjestykket
svarer til y, i vores
og
Cardano kom med forskellige løsningsteknikker for ligninger. Disse løsningsteknikker opstillede han som
regler. En af de regler for ligningsløsning er den vi skal se nærmere på og er den hvor Cardano støder på de
imaginære tal.
Den regel vi skal se på er regel 2 fra kapitel 37 I Cardanos eget værk Ars Magna.
Reglen er løst oversat fra engelsk fra bogen (Lützen & Ramskov, 1999, s. 53), den latinske tekst kan ses i
Figur 2.
Regel 2:
Den anden regel omkring negative løsninger involverer kvadratroden af negative tal. Jeg vil give et
eksempel: hvis det skulle blive sagt, del 10 ind i to dele hvor produktet 30 eller 40, det er klart at dette
tilfælde er umuligt. Ikke desto mindre vil vi arbejde videre med det. Vi deler 10 ind i to lige store dele,
hvilket gør hver del 5. så tager vi kvadratet af det, hvilket giver 25. Træk 40, hvis du vil, fra produktet hvilket
giver, som jeg viste jer i kapitlet om operationer i kapitel 6, en rest på -15, kvadratroden af det lagt til eller
trukket fra 5 giver delene hvor produktet giver 40. Det vil være
30
og
.
Vi skal her lige tilføje at Cardano ikke brugte denne notation, men skrev
(7)
hvilket også kan ses i den oprindelige kildetekst midt på siden ude til højre, Figur 2. Vi har vi vores
gennemgang valgt at bruge vores moderne notationer for overskuelighedens skyld, men man skal altså
forestille sig han regnede med ovenstående notationer. Hvilke implikationer det kan have for vores
forståelse af hans arbejde, kommer vi tilbage til når vi analysere casen.
Cardano laver en demonstration af hans regel som vi vil gennemgå her. Cardano bruger sin viden fra Euklids
6 bog sætning 28, det man bare skal være opmærksom på mens man gennemgår Cardanos demonstration
af reglen er at han bryder en af de regler der er i Euklids sætning. Euklids sætning siger at produktet af de
to dele linjen bliver delt op i, ikke må overstige produktet af det kvadrat der opstår når man halvere
linjestykket. Cardano er godt klar over at han bryder den regel i Euklids sætning, men ser hvad der sker hvis
man regner videre med det.
Forestil jer at vi har en linje
med en længde 10. Vi vil nu dele linjen op i to dele, hvor vi gerne vil have
dette produktet af de to giver 40. Her skal vi være opmærksomme på at det selvfølgelig ikke kan lade sig
gøre, da det kun er muligt at dele en linje på 10, så det højst kan give en produkt der er 25 eller lavere.
Cardano starter med at tegne opstillingen, men da han ikke kan tegne et firkant med et areal på 40 stopper
han med at tegne, se Figur 7. Selvom Cardano kan se at det ikke kan lade sig gøre, regner han videre med
det alligevel.
Figur 7 – Tegningen som Cardano prøvede at tegne til at starte med, da han ville finde firkanten med arealet 40, ved at dele
linjestykket med længden 10 ind i to dele. Dette kunne ikke lade sig gøre, og han kunne ikke færdigøre tegningen. Den
oprindelige tegning kan ses i kildeteksten Figur 2
40 er det samme som 4 gange 10 eller det samme som 4 gange
fremkommer hvis man deler
. Vi kan lave kvadratet
i midten i punktet E, og kvadrere linjestykket
at finde ud af hvad siderne i vores rektangel på 40 skal være.
31
som
. Vi vil nu gerne prøve
Hvis vi kigger på Euklids sætning vi lige har vist, kan man se at man kan finde sidernes længde på følgende
måde.
hvor
og
.
Hvis vi kigger på tegningen fra vores Euklid bevis kan vi se at længden af siderne af kvadratet
præcis giver os hvor meget længere og kortere siderne af
lige
skal være for at vi får
. Husk at
.
Figur 8 – et forsøg på at tegne linjestykkerne
og
ind, som der fortæller hvor længere eller kortere linjestykket
skal være. Da længederne af
og
er imaginære kan de i princippet ikke tegnes ind.
I det her eksempel ønsker Cardano at arealet af
sidelængderne
er 40 og ud fra det ønsker han at finde
og
I tilfældet med Cardano vil formlen se således ud
(8)
Hvor Cardano siger at
da begge ting giver 40 hvis
.
Hvis vi sætter de samme tal, som Cardano brugte som eksempel, ind i formlen får vi at siderne af vores
rektangel skal være
eller
. Cardano støder nu ind i problemet med
, men
arbejder videre med det. Cardano er nu kommet frem til at siderne i rektangelet med arealet på 40 skal
have siderne med længden
og
. Et forsøg på at tegne linjestykkerne kan ses i Figur 8.
Man kan nu undersøge om kravene fra starten stadig er opfyldt, nemlig at siderne lagt sammen stadig skal
give 10 og produktet af de to sider skal give 40, som var start betingelserne. Hvis vi starter med at lægge
siderne sammen får vi følgende
. Som vi kan
se får vi stadig 10 hvis vi lægger siderne sammen. Hvis vi tager produktet af de to sider får vi
32
. Som før kan vi se at den overholder vores betingelser og vi
kan se at produktet af siderne stadig giver 40 som vi ønskede.
Som Cardano selv skriver ” Yet the nature of AD is not the same as that of 40 or AB, since a surface is far
from the nature of a number and from that of a line, though somewhat closer to the latter. This truly is
sophisticated, since with it one cannot carry out the operations one can in the case of a pure negative and
other [numbers].” (Lützen & Ramskov, 1999, s. 54) hvor det Cardano omtaler som AD er den firkant der
svare til c i Euklids eksempel, eller det der svare til firkanten
i Figur 8, det eneste der er forskel er
en anden notation af punkter i den tegning som Cardano selv tegnede (se kildetekst i starten af kapitlet
Figur 2). Så det Cardano er kommet frem til er at
hverken er en linje eller et almindligt tal, men må
være noget andet. Yderligere siger Cardano, at kan man sige at da
betyde at
både kan være 4 og -4, må det
hverken kan være 4 eller -4, men endnu engang være noget helt tredje og derfor ikke være
et tal som vi kender det (Lützen & Ramskov, 1999).
Cardano selv beskrev de imaginære tal som fiktive, som nævnt tidligere. Han kunne se at hans udregninger
var rigtige, men han var ikke glad for løsningen, som han selv skrev ”So progresses arithmetic subtlety the
end of which, as is said, is as refined as it is useless” (Katz, 2009, p. 404)de er raffinerede men nytteløse.
Analyse af Cardano
Når man i dag som matematiker læser Cardanos arbejde, kan det være svært at sætte sig ud over sin egen
viden og forstå hvilken tid Cardano lavede dette arbejde i, derfor kan vi i dag fejlagtigt, tro at Cardano
indførte de komplekse tal, når han arbejder med
. Men som vi har beskrevet i vores historiske
baggrund for Cardano, var det først i 1700-tallet at de komplekse tal rigtigt blev defineret og en del af den
almindelige matematiske praksis. Så da vi kender den matematiske baggrund for Cardanos arbejde, ved vi
at han ikke så disse tal, som komplekse tal. Det er slet ikke en gang sikkert han så dem som egentlige tal, da
man på dette tidspunkt slet ikke havde udviklet en generel og systematisk måde at arbejde med dem på. Vi
kan faktisk ikke udtale os om hvordan Cardano i virkeligheden så disse størrelser, da vi kun har hans tekst at
gå ud fra, så vi kan kun forholde os til hvordan disse tal virker og bliver brugt i teksten.
Disse tanker har Heersmink formuleret mere specifikt ud fra Pierces arbejde. Heersmink beskriver at man i
stedet for at se på de tre dele som Pierce beskriver et tegn består af, ser på to relationer der udspringer af
disse tre dele. De tre dele er objektet der bliver repræsenteret, selve repræsentationen og en persons
33
fortolkning af repræsentationen. Ud fra disse tre dele beskriver Heersmink to relationer, hvor den først er
mellem objektet og repræsentationen af dette objekt og den anden relation er så mellem
repræsentationen og en persons fortolkning (Heersmink, 2013, s. 473).
Vi kan som sagt ikke udtale os om hvordan Cardano forstod
, da den tekst vi arbejder med ikke
tillader os at drage den slags konklusioner, derfor kan vi ikke beskæftige os med den anden relation. Men vi
kan udtale os om den første relation, altså mellem selve objektet og hvordan dette objekt bliver
repræsenteret og brugt i teksten. Her skal vi igen pointere at Cardano ikke skrev
, men
hvilket vi mener, har den store indflydelse på hvordan vi skal analysere det matematiske arbejde, da det er
brugen af notationen, der er vigtigt i denne sammenhæng, og ikke notationens egentlige udformning.
En anden vigtig detalje vi her vil fremhæve er Heersminks kommentar om at det den funktion et givent
objekt spiller i en konkret kontekst der er afgørende for at dette objekt kan kategoriseres som et kognitivt
artefakt, hvilket i vores analyse vil svare til et begrebsmæssigt redskab.
Der er således to ting vi vil have specielt fokus på i vores analyse: forholdet mellem det objekt der bliver
repræsenteret og selve repræsentationen, som det første og det andet er den rolle som objektet
spiller i teksten.
Vi vil starte med at analysere casen ud fra Pierces begreber, for at se hvilken forståelse det giver af
Cardanos arbejde.
I Pierces sematik er det mest nærliggende at betragte
som et symbol, da det er dannet af forskellige
dele der beskriver bestemte størrelser eller operationer, der er defineret gennem regler og ikke igennem
repræsentationernes udformning. Men hvis det er et symbol, hvad symbolisere det så? Her kommer vi ind
på forholdet mellem selve objektet og repræsentationen af dette objekt, for som vi beskrev i vores afsnit
om repræsentation, er en vigtigt forudsætning for at man i Pierces sematik overhovedet kan snakke om
tegn, at et givent tegn også bliver tolket som et tegn. I dette tilfælde, hvis man ser
som et symbol, er
det i Cardanos tekst ikke klart, hvad det så reelt skal symbolisere, derfor er det også tvivlsomt om vi
overhovedet kan betragte det som et tegn.
Dette er en interessant detalje, da denne repræsentation er kommet til omvendt i forhold til hvordan
repræsentationer normalt bliver dannet. Det normale er at en matematiker har en ide om en objekt og så
udtænker vedkommende en repræsentation der vil være fordelagtig at bruge i vedkommendes arbejde ud
fra bestemte kriterier. Men i Cardanos tilfælde bruger han almindelig tal og notationer, hvor efter han
ender med at få en repræsentation af et objekt, han ikke helt ved hvordan han skal håndtere.
Så forholdet mellem objektet og repræsentationen, er ikke klar i denne tekst. Men hvordan endte Cardano
med at være i denne situation og hvordan kom han igennem med at bruge
34
?
Cardano tog udgangspunkt i en af Euklids sætninger og et problem, som Euklid opstillede og man kan da
også se ligheder mellem Cardanos tegning og Euklids opsætning. Men Cardano ændre en betingelse som
Euklids satte op, nemlig at man ikke måtte trække et areal fra et mindre areal, så man får et negativt areal,
hvilket er præcis det Cardano gør. Hvis man ser på figur 2 af Cardanos original tekst, kan man se at han
startede med at bruge geometrien sideløbende med at han regnede med sine tal og symboler. Men han
støder ind i problemer da han skal til at tegne et negativt areal og tegne de sider hvor
indgår.
Men han kommer alligevel igennem fordi han går væk fra at betragte det som et geometrisk bevis, som
Euklid fremstillede det, og i stedet for går han over og bruger symbolerne og de gængse regler for symbol
manipulation. I det øjeblik han fjerne sig fra det geometriske perspektiv, er han ikke længere bundet op på
at han skal kunne tegne det, for at kunne regne på det. Dette perspektiv skifte tillader ham at bruge sin
viden om hvordan forskellige matematiske størrelser virker med hinanden, og så ender han faktisk med at
komme igennem og få et svar, der løser det spørgsmål han stillede.
Ser vi på hvordan Heersmink tænker på en kognitiv artefakt, må vi sige at det passer ret godt i vores case,
da det er rollen i en bestemt kontekst, der er afgørende. Det er altså ikke nødvendigt om
kan
betegnes som et symbol eller ej, det er den rolle det spiller i Cardanos tekst, der er afgørende.
Vi synes godt vi kan kategorisere den rolle som
spiller i Cardanos tekst som et begrebsmæssigt
redskab, da Cardano, idet han bruger det som en selvstændig størrelse, der ikke er bundet op på en
geometrisk figur, kommer igennem hans problem. Hvis man forestiller sig Cardano kun havde forsøgt at
løse hans problem ved hjælp af geometri, ville han tidligt være gået i stå da denne type repræsentationer
ikke tillader ham at arbejde med negative arealer. Men han kan fjerne sig fra geometrien, fordi han har en
anden type repræsentationer, der gør han kan arbejde videre med hans problem og dermed komme uden
om det problem, han ellers havde ovre i geometrien.
Så fordi
i denne tekst bliver brugt til at flytte et problem fra en forståelses ramme over i anden, hvor
det er muligt at løse det givne problem, mener vi at
fungerer som et begrebsmæssigt redskab, da
Cardano formentlig ikke ville have kunne løses dette problem, hvis han ikke havde lavet dette skift.
Da vi nu har argumenteret for at
fungere som et begrebsmæssigt redskab i tekste, vil vi benytte
vores to begrebspar til at diskutere, hvilket rolle
mere specielt har i teksten.
I teksten beskæftiger Cardano sig med et problem, som mange matematikere i hans samtid beskæftigede
sig med, og Cardano faktisk var i stand til at løse dette problem ved hjælp af hans brug af
, hvilket var
en af de ting, vi karakteriserede de forklarende artefakter som. Så ud fra dette synspunkt kunne man anse
brugen af
som forklarende.
35
Omvendt kunne man indvende at Cardano, for at kunne komme med en løsning til et givent problem,
måtte anvende noget matematik der ikke var beskrevet entydigt på hans tid, hvilket er en af
karakteristikkerne ved de fordybende artefakter. For Cardano bevægede jo sig ud i noget matematik, hvor
han faktisk ikke vidste om de operationer han foretog sig havde nogen som helst gyldighed, selv om det
sådan set passede til sidst, hvilket han ikke havde nogen garanti for.
Vi kommer her til en spændende diskussion af vores analyse af Cardanos arbejde og vores egen forståelse
af vores to begreber, forklarende og fordybende. For vi kan jo med vores nutidsøjne godt se at Cardano
bevægede sig ud i det, vi senere ville kalde komplekse tal og som vi med vores historie viden ved, ikke var
grundigt beskrevet og defineret i hans samtid. Så har han jo teknisk set bevæget sig uden for sine
matematiske rammer og opdaget, at den etablerede matematik på nogle punkter, ikke var dækkende. Men
spørgsmålet er om han selv havde den opfattelse af situationen? Fik han en oplevelse af at tæppet blev
hevet væk under ham og at han pludselig havde fundet en måde at se nye matematiske objekter og
strukturer eller var det bare en smart løsning til et problem han beskæftigede sig med. Noget tale for at det
er det sidste, der er tilfældet, da man kan læse at Cardano til sidst siger at hans svar er raffineret, men
ubrugeligt. Cardano skriver: ”… hucusque progreditur Arithmetica cuius hoc extremum ut dixi adeo est
subtile ut fit inutile”, hvilket kan oversættes til noget i retning af: ”… thus far, as we said, this is an
arithmetical progresses so subtle that it becomes unusable”.
Dette tyder på at Cardano så hans resultat mere som en matematisk spidsfindighed end en egentlig
opdagelse af et hidtil forholdsvis beskrevet matematisk objekt. Hvilket tyder på at Cardano ikke har følt at
tæppet blev hevet væk under ham og at han var på helt nyt og ukendt land, hvilket gør vi ikke mener vi kan
sige det er fordybende.
Så spørgsmålet er man vi skal karakterisere begrebsmæssige artefakter efter vores forståelse af dem eller
efter hvordan de blev forstået i deres samtid. Vi har valgt at gøre det sidste, da vi ikke mener vi med rette
kan trække en flere hundrede års matematisk udvikling ind i vores analyse af en bestemt case.
Så vi mener at Cardanos brug af
i hans arbejde fungere som et forklarende begrebsmæssigt redskab,
da det tillader ham at se bort fra en ellers umulig problemstilling og komme frem til et svar.
Ser vi på vores sidste begrebspar, må vi sige at dette redskab virker terminerende både i Cardanos egen
tekst og i tiden efter. Det mener vi fordi, Cardano som sagt ser hans resultat som en matematisk
spidsfindighed og ikke som en egentlig opdagelse, og derfor har han tilsyneladende heller ikke gået videre i
dybden med det. Som vi har beskrevet i vores historiske baggrund, var problemstillinger som dem Cardano
beskæftigede sig med ikke ukendte på denne tid og flere matematikere ville de efterfølgende år beskæftige
36
sig med kvadratet af negative tal. Men som vi har læst litteraturen udsprang der ikke et væld af forsknings,
fra Cardanos egen side, som respons på hans arbejde i dette specifikke (Katz, 2009).
Så afrundende ville vi altså mene at Cardanos brug af
fungerer som et forklarende terminerende
begrebsmæssigt redskab, da det løser en problemstilling der ikke kunne løses før, uden at afføde yderligere
spørgsmål.
37
Wallis
Historisk baggrund
I 16. hundredtallet var matematikken stadig bundet meget op på den græske matematik der byggede på
den geometriske fremstilling, hvor det hele gerne skulle kunne tegnes. Det der gjorde det svært for
forståelsen af de imaginære tal var, at det ikke var muligt at forklare dem med den geometriske fremstilling.
Det var ikke muligt at tegne en fremstilling af kvadratroden af et negativt tal. Det gjorde at de imaginære tal
var svære at acceptere.
Leonhard Euler (1707-1783) skrev i hans værk Algebra ”All such expressions as
,
, etc., are
consequently impossible or imaginary numbers, since they represent roots of negative quantities; and of
such numbers we may truly assert that they are neither nothing, nor greater than nothing, nor less than
nothing, which necessarily constitutes them imaginary or impossible.” (Nahin, 1998)Så de imaginære tal
forblev svære at forstå i lang tid. Hvordan skal man forstå en størrelse som ikke er ingenting, men heller
ikke er mindre eller større end ingenting. Det gør de imaginære tal til imaginære eller umulige. Det var ikke
den del af ud trykket, der handlede om kvadratroden der var problemet, for kvadratroden af et positivt tal,
var ikke besværlig at forstå på samme måde. Rent geometrisk kunne man få en forståelse for kvadratroden
af positive tal.
René Descartes (1596-1650) viste i sit værk La Geometrie fra 1637 hvordan man kunne se en generel
fremvisning af en geometrisk fremstilling af kvadratroden af et positivt tal.
I den geometriske fremstilling starter man med at kigge på den rette linje
længde der svare til
og man vil gerne finde den
.
Figur 9 – Linjestykket
Man starter med at forlænge linjen
hvor til man vil finde kvadratroden af længden
til punktet F. Længden
er en enhedslængde med længden 1.
Linjestykket
kan nu beregnes til at have længden
Linjestykket
deles nu i midtpunktet K. Man kan nu konstruerer en halvcirkel
og med radius
, se Figur 9.
med centrum i K
.
I punktet G laver man en ret linje der er vinkelret på linjestykket
i punktet I. Linjestykket
. Linjestykket skærer halvcirklen
vil også svare til radius i halvcirklen, se Figur 10.
38
Figur 10 – Geometrisk fremstilling af kvadratroden af linjestykket
.
svarer til linjestykket
Man kan nu se at det må gælde at
(9)
Ud over det gælder der også følgende
(10)
Hvis vi nu bruger pytagoras sætning på den trekant, der opstår mellem punkerne I, K og G får man
(11)
39
Det vil sige at linjestykket (IG) svarer til længden af
, se Figur 10. Så ud fra det kan man se, at man
kan rent geometrisk kan få en forståelse for, hvad kvadratroden af et positivt tal er.
Descartes viste desuden, at han kunne tegne sig frem til en anden grads lignings løsninger, hvis den havde
reelle løsninger. I Figur 11 kan man se Descartes geometriske konstruktion med begge positive løsninger til
, hvor både a og b2 er positive.
Figur 11 – Descartes geometriske konstruktion til at finde de positive rødder i en andengradsligning
Descartes skrev til sin konstruktion ” And if the circle described about N and passing through L neither cuts
nor touches the line MQR, the equation has no root [real root, is what Descartes should have said], and so
we may say that the construction of the problem is impossible [my emphasis]” (Nahin, 1998).
En løsning til ligningen
diskriminanten
findes altså kun, hvis
En algebraisk løsning ville kræve, at
Dette stemmer helt overens med
John Wallis (1616-1703) troede på at man kunne lave en konstruktion der kunne lave en repræsentation af
kvadratroden af et negativt tal. Lige som mange matematikere i det 1600-1700 tallet arbejdede Wallis med
integrations regning og grænseværdier. Ud over det kom han med hans berømte produkt formel til at
bestemme π. Han kom frem til at π kunne regnes på følgende måde (Katz, 2009)
40
(12)
Ud over at finde en måde at beregne π på arbejdede han også med imaginære tal og hvordan man kunne
lave en konstruktion der kunne repræsentere dem, som vi skal se.
Kildeteksten
Udnævnelsen som professor i geometri ved universitetet i Oxford i 1649, markerer starten på en intens
matematisk aktivitet for Wallis, som munder ud i offentliggørelsen, af hans afhandling om algebra i 1685,
en vigtig undersøgelse af ligninger, hvor han forudsiger de imaginære tal ( a + b√ (- 1), hvor a og b er reelle
tal). (Encyclopædia Britannica, 2014)
For at forstår Wallis konkrete matematiske praksis, betragtes de fire eksempler fra (Lützen & Ramskov,
1999, s. 76-80).
Wallis betragter de reelle tal som linjestykker på et tallinje, og den positive eller negative fortegn forstårs
som linjestykkets retning. Desuden betragter Wallis de negative tal, som tal som har en helt klar fysisk
fortolkning i virkeligheden og han udnytter positive og negative tal og deres forhold til hinanden.
Figur 12 - Skitse for eksempel 1
I sin første eksempel antag Wallis at en person rykker frem fem meter fra A til B og derefter han trækker sig
to meter tilbage fra B til C. I alt er personen rykket tre meter i løbet at hele turen, set i forhold til punktet A,
på grund at
.
Men hvis personen rykker 5 meter frem til B, og derefter trækker sig 8 meter tilbage til D, er personen
rykket frem
meter, i forhold til punktet A, endnu engang på grund af
. Det vil sige at
personen har rykkes sig 3 meter mindre frem end ingen ting.
Wallis benytter tallinjen for at introducerer positive og negative tal, da han i det andet eksempel
konkludere at personen er rykket 3 meter mindre frem end ingenting. Et begreb som denne gang var
uforståeligt.
41
Dette give ikke rigtig mening på dette tidspunkt, fordi der ikke kan være noget, som er mindre end
ingenting og Wallis antag at linjen forlænges bagud fra punkt A og punktet D markeres 3 meter bagud for A.
På denne mod vil personen rykket sig -3 meter fremad, eller at i D er personen 3 meter bagud i forhold til
der han var i A.
Så +3 betyder 3 meter fremad og -3 betyder 3 meter bagud, langs den samme rette linje.
Hvis man kun betragter den reale tallinje, hvor de reelle positive tal er placeret til højre for nul, og de
negative tal er placeret til venstre for nul, er manden gået 3 meter mindre end nul!
Wallis bruger tallinjen som et redskab, som giver mulighed for at forklare algebraisk det fysiske eksempel
han betragter. I eksempel 1 (Figur 12) betragter Wallis først et positiv afstand (+3) på tallinjen, og bruger
tallinjens negative retning, for at introducere og argumentere for et negative tal (-3) og dens algebraisk
fortolkning i den reel eksempel fra den virkelige verden.
I de næste to eksempler (eksempel 3 og 4) forsøger Wallis at give en geometrisk tolkning af de positive og
negative tal, baseret på den Euklidisk geometri som var kendt på dette tidspunkt. Wallis antager at de ting
der gælder for en linje også gælder for et plan. For at forstår Wallis ræsonnement, skal det nævnes at en
engelsk acre er lig med et areal der længden 40 perches og 4 bredden perches, hvor 1 peach er en gammel
engelsk måleenhed der varierer lidt i længde men er omkring 6 meter lang. Dermed vil 10 acres svarer til
1600 kvadrat perches. Hvis arealet skrives som et kvadrat, ville de 1600 perches have en sidelængde på +40
perches (eller -40 perches), fordi begge tal ganget med sig selv giver 1600.
I eksempel 3 antag Wallis at hvis et sted man får 30 acres og et andet sted mister 20 acres, vil man kunne
forklare at i alt har man fået: +10 acres (fordi
), altså et kvadrat der har sider med længden
40 perches (eller -40 perches). Denne længde kan man ment finde ved at side
Men hvis vi et andet sted mistes 20 acres til, vil man i alt miste:
mindre end ingenting. Hvis vi nu prøver at finde sidernes længde af det kvadrat får vi
acres, 10 acres
, som ikke
kan løses.
Men som Wallis skriver ”But now (supposing this Negative Plain, −1600 Perches, to be in the form of a
Square;) must not this Supposed Square be supposed to have a Side? And if so, What shall this Side be? We
cannot say it is 40, nor that it is −40. (Because either of these Multiplyed into itself, will make +1600; not
−1600).” (Nahin, 1998). Skal et negativt areal ikke have en sidelængde. Hvis den skal kan den sidelængde
ikke være +40 eller -40, da de begge giver 1600 hvis de bliver ganget med sig selv. Siderne vil i stedet være
eller
Tegnet
.
refererer i dette tilfælde til en geometrisk gennemsnit mellem en positiv og en negativ værdi.
42
Det geometriske gennemsnit kan forstås rent geometrisk. Det geometriske gennemsnit af to tal, b og c, er
den længde siderne vil have i et kvadrat som har samme areal som rektanglet med sidelængde b og c. Det
udregnes på følgende måde
.
refererer til et geometrisk gennemsnit mellem to positive værdier, henholdsvis +b og +c, eller to
negative værdier, henholdsvis –b og –c (som via multiplikation giver en positiv værdi). Derfor må
referere til et geometrisk gennemsnit mellem en positiv værdi og en negativ værdi (+b og –c, eller –b og +c,
hvilket ganget med hinanden give –bc).
Denne algebraiske tankegang er grundidéen for imaginære, negative kvadratrødder,
og Wallis prøver
at argumentere geometrisk for både de positive og de negative kvadratrødder.
For at forstår Wallis argumentation, skal man betragte sætningen for et punkts potens, når punktet ligger
uden for cirklen, (Rosenkilde, 2015). Dette er en version af Euklids sætninger om et punkts potens med
hensyn til en cirkel.
Figur 13 - Sætning om et punkts potens (Rosenkilde, 2015)
Betragt et punkt P som er uden for cirklen, og en vilkårlig linje gennem P som skærer cirklen i punkterne A
og B. Ved at tegne tangenten til cirklen gennem P og at notere rørringspunktet med Q, er
P’s
potens med hensyn til cirklen, se Figur 13.
Vi betragter Wallis eksempel (Figur 14). Wallis benytter et trekant APC, et punkt B på grundlinjen AC, hvor
AC er diameteren i et cirkel.
Ved at benytte den samme metafor med bevægelse på tallinjen, betragter Wallis at hvis man rykker frem
fra A til B,
, og fra B rykker frem til C,
, så har man i alt fra A til C rykket sig
.
Højden PB i det retvinklet trekant APC( P=90 ), findes ved hjælp af de to ligedannede trekanter
.
43
Derfor er:
.
Wallis konkludere at geometrisk fortolkes PB som højden i trekanten APC og svarer algebraisk til
.
Figur 14 - Geometrisk fortolkning af √(+b∙c)
I den næste eksempel (Figur 15), benytter Wallis den samme tankegang for at forklare geometrisk
proportionaliteten mellem – b og .
Wallis antag at man trækker sig tilbage fra A til B,
I alt fra
til
, og derefter rykker frem fra
har man rykket
til ,
.
.
Ved at betragte sætningen for et punkt potens (Figur 13) giver:
(13)
Nu bliver stykket
en af kateterne i den retvinklede trekant
(
PO=90 ), hvor O er origo for
cirklen med diameter AC. Lige som i sidste eksempel (Figur 14), forsøger man at beregne stykket PB, som i
denne eksempel repræsenteres geometrisk som tangenten i punktet P , til cirklen med diameter AC, og
dermed forklare algebraisk, tallet
.
44
Figur 15 - Skitse for eksempel 4. Geometrisk fortolkning for √(-b∙c)
Nu har vi Wallis forklaring til
, Hvor den positive løsning vil give en geometrisk forklaring på
højden PB, mens den negative forklaring vil give tangenten, til punktet P der hører til buestykket AP.
Wallis var selv ikke helt glad for denne forklaring, men det en hjælp iforhold til at komme videre til en
anden fremstilling af imaginære tal (Nahin, 1998).
I de næste eksempler (eksempel 5) betragter Wallis linjen
og en trekant som ligger på stykket AC. I
eksempel 5 han antag at AP=20, PC=12 og PB=15 se Figur 16. Ved hjælp af Pythagora sætningen beregner
stykket AB.
Figur 16 - Skitse for eksempel 5
Ved at benytte Pythagoras sætning i de to retviklede trekanter :
=90 , fås at :
45
=90
og
(14)
AC giver √256 = 16 eller -16, alt afhængigt af om vi tager den positive eller negativ rod og dermed giver
Wallis en tvetydig længde af segmentet AB.
Hvis :
giver stykket AB , følgende værdier:
Hvis :
giver stykket AB , følgende værdier:
Wallis konkluderer at i dette tilfælde , lige meget i hvilken retning man bevæger sig på tallinjen, dvs. man
rykker frem på linjen , og vælges den affirmative løsning +16 eller man rykker tilbage på linjen
og vælges
den negative løsning -16, vil punktet B befinde sig på linjen
Og med den samme regnemetode , fortsatter Wallis med eksempel 6, men ligger desværre ikke op til
noget revolutionerende.
Eksempel 6 Wallis Betragter linjen
og en trekant som ligger på stykket AC. Antag at AP=15, PC=12 og
PB=20 og stykket AB skal beregnes, se Figur 17.
Figur 17 - Skitse for eksempel 6
Ved at benytte Pythagoras sætning i de to retviklede trekanter :
=90
og
=90 , fås at :
(15)
46
På samme måde som i eksempel 4, fås at:
Hvis :
giver stykket AB , følgende værdier:
Hvis :
giver stykket AB , følgende værdier :
Som kan ses i denne eksempel, giver stykket AB de samme værdier , men modsætte tegn.
Også i eksempel 6, er punktet B fundet på linjen AC, enten som affirmativ(positiv) eller negativ løsning som
svarer til at man er rykket frem eller tilbage på linjen AC.
Og Wallis konkludere at alle kvadratiske ligninger af denne type, giver reelle løsninger (både positive, både
negative, en positive og en negative, eller en negative og en positive).
I eksempel 7 betragter Wallis en ”umulig” situation og forsøge ar give en mystisk forklaring for negative tal
(imaginære tal)
Han betragt en trekant som ligger på stykket AC (Figur 18 tv) og antag at AP=20, PC=15 og PB=12 og stykket
AB skal beregnes.
Figur 18 - Skitse for eksempel 7
Ved at benytte den same tankegang som i eksempel 5, beregnes stykket
kvadraten af PC(225) udfra kvadraten af PB (144) , fås at
. Når man subtrahere
.
Kvadraten af BC , lige som i eksempel 5, er differencen mellem kvadraten af PB og PC, dog med minus tegn.
Dette minus tegn kan foklares , hvis man tage i betrægning at stykket PC antages i starten , at være 15 og
trekanten PBC med retvinklen i C. Regnestykket viser at PC har en mindre værdi og at trekaten PBC har
retvinklen i B.
Stykket AB beregnes til at være :
47
(16)
I forhold til eksempel 5, giver resultatet af beregningen af stykket AB kvadraten af en netativ tal, og dette
løsning er algebraisk umulig idet kvadratiske ligninger giver relle løsninger (selvom man har positive og
negative løsningen), når de ganges sammen, får ikke en negativ kvadrat.
Man kan konkludere at dette umulig algebraisk løsning opnås på grund at man betragter forkert den
geometriske løsning : derfor punktet B kan ikke betragtes at være på linjen AC, ved at rykke frem eller
tilbage fra punkt A!
Ved at betragte Figur 18 th, kan man se, at de to punkter A og B ikke befinder sig på samme linje, men i
samme plan. I første eksempel lå punktet B på linjen AC,men i den sidste eksempel er linjen BB løftet over
linjen
og derfor kan punktet B kan ikke findes på linjen AC, og beregnes som i forregående eksempel.
Dette er den geometriske forklaring af kvadratiske ligninger med ikke reelle (imaginære) løsninger.
Wallis introducere de imaginære tal ved at betragte en imaginære situation som svarer til at punktet B ikke
længere ligger på linjen AC , men i planen, dvs. den negative tal findes ikke på grundlinjen af trekanten,
men ud i planen. Men han forklarer ikke rigtigt hvad forskellen mellem de to tegninger i Figur 18, dvs. hvad
bliver trekanten til i Figur 18(tegningen til højre)
I virkligheden tage det mere end 100 år før de komplekse tal blev forklaret ordenlidt geometrisk. Casper
Wessel (1745-1818) betragtet de komplekse tal som punkter i planet, hvor de vandrette og lodrette
retninger er den reele og imaginære retninger (Nahin, 1998). Men uden tvivl var Wallis meget tæt på at
forklare geometrisk de imaginære tal og i dag , kun historikere husker Wallis arbejde med komplekse
geometri numre (Nahin, 1998).
Analyse af Wallis
Vi skal huske på at lige som i vores case med Cardano var der stadig ikke samme forstårelse for imaginære
tal som vi har i dag. De imaginære tal var stadig en svær størrelse at forstå, da man ikke havde en algebraisk
og geometrisk forklaring af dem. Wallis prøvede at skabe en algebraisk og geometrisk forståelse af de
imaginære tal. Da vi ikke kan vide, hvordan Wallis selv så på de imaginære tal, forholder vi os til det han
skriver og hvordan han fremstiller dem i sin tekst.
Det vi vil lægge vægt på i analysen er Wallis brug af den tal linjen, som han bevæge sig frem og tilbage på i
starten af hans tekst Figur 1 . Det er tallinjen der gør det muligt for Wallis at komme med en nu forklaring
på de imaginære tal. Og det er tallinjen, der lægger til grund for alle hans eksempler. Ved at lave tallinjen
korrespondere til noget fysisk, nemlig det med at bevæge sig frem og tilbage på en tallinje, kan Wallis give
48
en fysisk forklaing på tal der er mindre end nul. Repræsentatioinen for tallinjen passer med et ikon.
Tallinjen representerer et objekt der ikke eksisterende i geometrisk forstand. Det specielle er at den peger
på noget vi ikke ved hvad er (Pierce C. S., 1998, s. 291).
Ifølge Normans begrebsapparat er tallinjen et passivt artefakt, idet han bruger tallinjen for at bestemme et
negativ eller positiv afstand, alt afhængig hvilken situation han betragter, og at Wallis skal selv afkode hvad
de negative arealer betyder geometrisk og algebraisk. Tallinjen har også en systemisk vinkling, fordi Wallis
forstår tallinjen og hvordan han skal benytte den, og er i stand til løse opgaven, som for Wallis var at give
en fortolkning af negative tal. Og dette er mere Wallis eller selve tallinjen kunne forklare hver for sig. Ifølge
overflade-indre begrebssættet, er tallinjen en overflade artefakt, fordi at for at afkode informationen, som
fremkommer ved at benytte tallinjen, skal man bare aflæse tallene som står på den. Så tallinjen er en passiv
oveflade artefakt.
Vi vil nu undersøge om vi kan betragte Wallis tallinje, som et begrebsmessigt redskab. Vi mener godt at det
kan betegnes som et begrebsmessigt redskab, da Wallis ikke ville kunne lave sine antagelser hvis han ikke
begynder at gå frem og tilbage på tal linjen. Han bruger det på en ny måde der gør det muligt at komme
med nogen nye antagelser, der ikke havde været muligt før.
Da vi nu mener at tal linjen fungerer som et begrebsmessigt redskab, vil vi nu benytte vores to begrebspar
til at se hvilken rolle tallinjen har haft i teksten.
Da vi ser på teksten ud fra den samtid den er skrevet i, er det ikke vores nutidige forståelse af imaginære tal
vi skal forhode os til, men derimod den samtid som Wallis skrev det i.
Sammenlignet med med vores begrebpar, kan Wallis tallinje virke som et forklarende redskab, idet tallinjen
hjælpe med at løse og forklare de imaginære tal og dets geometrisk fortolkning. Tal linjen kunne også godt
fungerer som en fordybende redskab, da han ud fra tal linjen kan konstruerere de imaginære tal som tal i
planen i stedet for på en linje. Denne konstruktion giver en ny indsigt i strukturen af forståelsen af tal og
imaginære tals opbygning. Den giver der ved en dybere forståelse af noget matematik, som der ikke har
været en god forståese af på det tidspunkt. Så ud fra det ville Wallis tallinje kunne fungerere som en
fordybende kognitiv artefakt. Da vi lægger mest vægt på at det er en forbydende forståelse af strukturen af
tal og imaginære tal der kommer ud af Wallis tallinje, mener vi at det er et fordybende redskab frem for et
forklarende redskab.
I forhold til vores anden del af vores begrebspar, vil tal linjen være en terminator. Tal linjen åbner ikke op
for andere måder at løse imaginære problemer på, rent matematisk, man bruger stadig de samme regler
som før tal linjen blev lavet. Det tal linjen gør er at den kommer med en ny fortolkning af de imaginære tal,
49
det vil sige at den løser en opgave bedre end før, men at forklare hvordan man skal forstå de imaginære tal.
Hvilket er grunden til at den passer ned i en terminerende kategori.
Så Wallis tal linje er bedste med vores begrebspar fordybende og terminator.
50
Minkowskis gitter
Dette besøg i en matematikers værksted handler om, hvordan Hermann Minkowski arbejder med
kvadratiske former og via indførelsen af et gitter gik fra talteori til talgeometri, og endte med at
grundlægge konveksitetsbegrebet. Besøget i Minkowskis værksted afviger fra besøgene hos Wallis og
Cardano på mange måder. Dels kigger vi på en større produktion hos Minkowski end hos de to andre. Dels
er der flere værker fra andre matematikere, der er relevante af inddrage.
Vores indgang til gitteret har være (Kjeldsen, 2009), der handler om, hvordan begrebet ”ægformer” blev til
begrebet ”konvekse legemer”, og hvorfor det var Hermann Minkowski og ikke hans samtidige, Karl
Hermann Brunn, der havde succes med at etablere et nyt matematisk begreb. En af artiklens pointer er, at
hvor Brunn tog udgangspunkt i ægformen som noget fysisk, så var Minkowskis ægformer udsprunget af
matematikken, nemlig hans arbejder med at forstå kvadratiske former.
Vi starter med at præsenterere Minkowskis gitter og de tilhørende resultater i en moderniseret form, inden
vi går til hans samtid og den matematik, hans resultater opstod i.
En moderne version
Minkowski arbejdede med positivt definitte kvadratiske former i n variable.
De kvadratiske former har formen:
(17)
De positivt definitte er den delmænge af formerne, hvor der gælder, at
(18)
Minimumsproblemet for positivt definitte kvadratiske former går ud på at finde den mindste værdi af
for heltallige værdier af
Fjernes heltalsbindingen, så er minimumsværdien lig den mindste egenværdi for den kvadratiske matrix.
Ved heltalsbindingen bliver man nødt til at afsøge nogle heltalsværdier. Denne søgeproces har et omfang af
størrelsen
Det todimensionelle tilfælde
I to dimensioner udtrykkes kvadratiske former som følger:
51
(18)
(Gauss, 1831) introducerer en geometriske tilgang til problemet ved at indføre polære koordinater.
Minkowski tager udgangspunkt i Gauss’ metode, hvorved gitteret konstrueres som et polært
koordinatsystem med en afstand på
mellem gitterlinjerne på førsteaksen og afstanden
mellem
gitterlinjerne på andenaksen. Vinklen ϕ mellem de to akser er givet ved
(19)
Nedstående figur fra Kjeldsen (2009) illustrerer et sådant gitter, hvor de to fede streger angiver et gitterfelt
for funktionen
.
Figur 19 - Et gitter, der svarer til den binære kvadratiske form
Gitterpunkterne er der, hvor
gitterlinjerne mødes. For denne kvadratiske form er minimumsværdien
For heltallige
og
ud af anden-aksen.
findes
i gitret ved at gå
(Kjeldsen, 2009, s. 97)
gitter-linjer ud af første-aksen og
gitter-linjer
vil da være kvadratet på afstanden mellem origo og det fundne gitterpunkt,
hvor afstanden skal måles i det underliggende retvinklede koordinatsystem. Niveaukurverne for den
kvadratiske form vil være cirkler i det retvinklede koordinatsystem. Cirklen i figuren ovenfor repræsenter
således
=1.
52
Der er således tre gode grunde til at introducerer gitteret.
1) For heltallige værdier af
og
ville man alligevel lave afsøgningen i et gitter og afsøgt de 8
kantpunkter.
2)
er nem at aflæse i gitteret, fordi den er kvadratet på afstanden i mellem punktet og origo.
3) De cirkulære niveaukurver gør, at man ikke behøver at beregne funktionsværdien for alle
kantpunkterne, fordi niveauerne er meget tydelige. På figuren ovenfor er der således kun 4 af de
otte kantpunkter, der er interessante, og man kan med det samme se, at de har samme
funktionsværdi
Inden vi går videre, laver vi to alternative beviser for påstanden om, at funktionsværdien er kvadratet på
afstanden til origo. Pointen med de to beviser er at illustrere de mange valg og derfor mange veje, man
nødvendigvis står over for, når man gøre matematik.
Bevis 1 - koordinatsystemstilgang:
I gitret afbildes de retvinklede koordinater
over i det polære koordinater
I det
retvinklede koordinatsystem har det polære punkt koordinaterne
.
Kvadratafstanden til origo er
(20)
hvilket giver det ønskede resultat.
Bevis 2 – ved hjælp af Synthetic Geometry, og derfor mere klassisk ren:
Resultatet kan også findes ved at bruge cosinus-relationerne, idet kvadratet på afstanden til origo er givet
ved
(21)
hvilket igen giver det ønskede resultat.
53
Jagten på minimumsværdien i to dimensioner
Gitteret består af en masse enheds-parallelogrammer med sidelængder og vinkel som anført ovenfor.
Parallelogrammets ene diagonal er givet via dens kvadrat:
(22)
Den anden diagonals kvadrat, her kaldet , findes ved cosinusrelationen:
(23)
Inspektion af gittertegningen viser, at vi også kunne have fundet
(24)
Det ses, at
og
I det
todimensionelle tilfælde bliver minimumsværdien for således den mindste af de 4 værdier
og
det vil sige den mindste af
og
,
Denne
minimumsværdi vil vi kalde
I eksemplet, som er afbildet i figuren ovenfor, har vi at
, hvorfor
(25)
,
,
Hvorved mindsteværdien,
Vi kan finde et øvre bånd på
er 1.
ved at bruge parallelogrammets areal som reference. Arealet er givet ved:
(26)
Hvis der i alle gitterpunkter placeres et kvadrat med midtpunkt i gitterpunktet og sidelængden
, så vil
disse kvadrater ikke kunne dække hele fladen, da
jo er den mindste afstand mellem to gitterpunkter.
Derfor må
.
, hvorfor
I eksemplet knyttet til figuren ovenfor ville vi få
54
Det generelle tilfælde
I den generelle form ser kvadratformen således ud:
(27)
hvor matricen i midten er en symmetrisk matrice. Man kan for øvrigt vise, at hvis matricen ikke var
symmetrisk, så kunne man erstatte den med gennemsnittet af matricen og dens transponerede, og få
samme resultat. Denne nye matrix ville være symmetrisk, så det giver ikke tab af generalitet at antage, at
matricen er symmetrisk.
I det todimensionelle tilfælde behandlet ovenfor bliver formen:
(28)
Lad nu
betegne determinanten for matricen. Det giver:
(29)
hvorved arealet af det grundlæggende parallelogram i gitteret bliver
Det todimensionelle tilfælde præsenterede Minkowski til sin Habilizationsforelæsning i marts 1887.
Senere samme år valgte Minkowski ved sin prøveforelæsning at lave en endnu skarpere bestemmelse af
minimumsværdien i 3 dimensioner ved at anvende kugler med centrum i gitterpunkterne til at bestemme
minimumsværdierne. Volumen, , af en kugle med centrum i et gitterpunkt og radius =
er givet ved
(30)
Udfordringen med kugler er, at forskriften for rumfanget er forskellig for lige og ulige dimensioner, og
Minkowski bruger derfor også en approksimation (Minkowski, 1891, s. 292) via gammafunktionen for at
tage hånd om det. Det har ingen betydning for fortællingen, men gør vurderingen af minimumsværdien lidt
løsere end ved den eksakte metode.
I det n-dimensionale tilfælde vender Minkowski tilbage til at gennemføre beviser ved hjælp af ndimensionale terninger med midtpunkt i gitterpunkterne. Han sætter sidelængden til
. Med denne
sidelængde bliver afstanden fra gitterpunktet ud til et hjørne i terningen
terningerne ikke overlapper hinanden. Denne tilnærmelse giver
kvadratiske forms determinant. Dette sidste udtryk kan omskrives til
55
hvorved
hvor
er den
At hans resultat er en forbedring af det eksisterende ses ved sammenligne med Hermites resultat, nemlig at
(31)
Figur 20 viser de tre beregningsmåder i sammen graf. Til og med
det strammeste bånd. For
er det Hermites metode, der giver
ses, at kuglerne strammer mere end kasserne, men begge metoder er
stadig ringere end Hermites metode.
Tabel 1 illustrerer også forskellen på de tre tilnærmelser. I tabellen er den bedste tilnærmelse fremhævet
med en understregning. Hermites metode er bedre en Minkowskis kasser op til
, hvor efter kasser
tager over. Kasserne er dog intet steds bedre end Minkowskis sfærer. Sfærerne bliver dog slået af Hermites
metode til og med
.
Hermites metode er bedst for lave dimensioner, hvor en inspektion af gunstige gitterpunkter er en
overkommelig mulighed. Til gengæld er beregningsformen for sfærerne ganske uskøn.
Faktor foran
Minkowski
Hermite
Dimension
Kasse Sfære
2
1.15
2
1.27
3
1.33
3
1.54
4
1.54
4
1.80
5
1.78
5
2.06
8
2.74
8
2.82
9
3.16
9
2.45
10
3.65
10
2.32
11
4.21
11
2.97
22
20.50
22
23
23.68
23
Tabel 1: Både Hermites og Minkowskis to beregningsmetoder er et produkt mellem en faktor og den n-te rod af den kvadratiske
forms determinant. Tabellen angiver denne faktor som funktion af n. Den mindste værdi af faktoren er understreget (egen
produktion).
56
Figur 20 - Grafen viser lidt af forløbet af de tre metoder (egen produktion)
57
I Minkowskis værksted
Ifølge Schwermer (2007) blev Hermann Minkowski født i 1864 i en by i det vi i det kender som Lithauen.
Hans familie flyttede til Königsberg i 1872. Minkowski tog i studentereksamen foråret 1880, men allerede
inden havde universitetet i Königsberg allerede hørt om denne begavede elev, der havde stor interesse for
talteori og af egen drift havde kastet sig over Dirichlets værker.
Minkowski starter med at læse matematik på universitetet i Königsberg umiddelbart efter gymnasiet. Efter
blot et år på universitet udskriver det franske videnskabernes akademi en prisopgave.
Figur 21– (Charve, 1881, s. 622)
Opgaven tog udgangspunkt i Eisensteins ”conjectures” fra 1847, der handlede om repræsentationer af et
givet heltal som en sum af fem heltalskvadrater. Minkowskis besvarelse på prisopgaven, indleveret inden
hans selv fyldte 18, vandt konkurrencen og Minkowski havde dermed slået sit navn som matematiker fast.
En revideret udgave af prisopgaven publiceres i akademiets tidsskrift i 1884. Minkowski afsluttede
universitetet i 1885 og gik i gang med at kvalificere sig til at blive universitetslærer.
Hans forskning havde i den periode fokus på kvadratiske former. Et centralt tema er reducerede former. For
at finde en reduceret form foretages en lineær transformation af de oprindelige variable på en sådan måde,
at matricen for den transformerede form bliver en diagonalmatrix. Transformationen foretages således, at
diagonalelementerne er sorteret fra mindst til størst når man bevæger sig ned gennem diagonalen. Derved
bliver mindsteværdien for den kvadratiske form lig med elementet
Det kræver en vis systematik, at
finde den rette transformation. I (Minkowski, Zur Theorie der positive quadratischen Formen, 1887)
gennemfører Minkowski øvelsen for n=6:
58
Figur 22 - (Minkowski, 1887, s. 202)
Noget nedslående konstaterer han, at denne metode ikke kan bruges for højere dimensioner.
Hans arbejde har tætte referencer til og udgangspunkt i Dirichlets og Hermites arbejder, hvorfor
repræsentation og reduktion af kvadratiske former står centralt. Han ser i artiklen på 6-dimensionelle
former. Her bliver der undersøgt determinanter og underdeterminanter. Der arbejdes med diagonalisering
af matricerne og numerisk ordning af elementerne i den diagonaliserede matrice. Vi vender derfor kort
blikket mod tre af de hovednavne, han læner sig op ad.
Gauss, Dirichlet og Hermite
Allerede i 1831 havde Gauss (Gauss, 1831) vist, at man kan bruge et gitter til at analysere 3-dimensionelle
(ternære) kvadratiske former:
59
Figur 23 - (Gauss, 1831, s. 1075)
Dirichlet (Dirichlet, 1850) kombinerede dette med egenskaberne ved reducerede former til en analyse af
det 2-dimensionelle tilfælde. Hans gitter fra artiklen er her:
Figur 24 - (Dirichlet, 1850, s. 228)
Hans reducerede kvadratisk form er givet ved
der
, og
og
, og
. I gitteret er
. På grund af, at han arbejder med en reduceret form, så ved han yderligere, at
. Dirichlet bruger disse uligheder til at vise, at diagonalen
er længere end hver
af de to sider og han definerer begrebet ”Ein reducirtes Grundparallelogramm”. Med udgangspunkt i
egenskaberne
for
et
sådant
parallelogram
gennemfører
Dirchlet
en
analyse
af,
hvordan
minimumsværdierne bestemmes både i to og tre dimensioner. I hans analyse konstruerer hans først centre
(græske bogstaver på figuren) for omskrevne cirkler til de 6 halvparallelogrammer nærmest origo. Dernæst
finder han radius for den omskrevne cirkel til den derved dannede sekskant. Kvadratet på radius giver en
nedre grænse for værdien af den kvadratiske form. Den udviklede algoritme kræver, at man med
60
udgangspunkt i egenskaberne for reducerede parallelogrammer inspicerer de seks halvparallelogrammer,
hvilket givet et sæt af ligninger, der skal løses med hensyn til alle fortegns specialtilfældene.
Hermite (Hermite, 1850) adresserer det samme minimumsproblem, men via differential- og
integralbetragtninger. Det ses let, at der for kvadratiske former gælder, at
(32)
Hans påstand er, at man kan finde
så
, hvor
er
determinanten for den kvadratiske form:
Figur 25 - (Hermite, 1850, s. 263)
På trods af 9 siders tætskrevne beregninger, kommer han ikke helt i mål:
Figur 26 - (Hermite, 1850, s. 277)
Han siger, at han forventer hans metoder til at finde de heltallige værdier kan gøres mere præcis. Hans
tilgang til beviset er vel i virkeligheden ikke velegnet til at se på heltal.
61
Minkowski og gitteret
Minkowski havde ganske tidligt fokus på gitteret. I (Schwermer, 2007) er der en faksimile af en af
Minkowskis håndskrevne noter fra 20. maj 1884, hvor gitteret er tegnet for det todimensionelle tilfælde:
Figur 27 - (Schwermer, 2007, s. 498)
Hans anvendelser af gitteret bliver dog først publiceret i 1891 (Minkowski, 1891), hvor Minkowski indfører
en n-dimensionel mangfoldighed (Minkowski, 1891, s. 282).I Hilberts (Hilbert, 1911) samling af Minkowskis
arbejder er denne artikel den første i anden del ”Zur Geometrie der Zahlen”.
Den store revolution er ikke så meget gitteret, men mere, at netop ved indførelsen af det n-dimensionale
rum, så giver det ikke længere mening af fastholde fokus på determinanter, underdeterminater eller
størrelsen på diagonalelementerne. Det er da også i denne artikel, at Minkowski finder sine formler for
minimumsværdien. Det første resultat præsenteres sådan her:
Figur 28 - (Minkowski, 1891, s. 291)
62
Referencerne er således til Hermite, men han fortæller ikke, hvor stor n skal være, før Minkowskis
tilnærmelse er bedre en Hermites. De to udtryk ligner hinanden, men Minkowskis har den styrke, at det
tager udgangspunkt i heltallige betragtninger, nemlig gitterpunkterne.
Måske har han alligevel været usikker på, om hans metode ville give ham anderkendelse, når nu hans
approximation ikke var bedre for alle n. I alt fald fortsætter han:
Figur 29 - (Minkowski, Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, 1891, s. 291)
Dette er starten på beviset, hvor han bruger kugler i stedet for kasser. Da det som sagt er besværligt at
ændre dimension i en kugleformel laver han det lidt råt, og stiller læsere i udsigt, at der vil komme en
endnu bedre approximation fra hans hånd.
Senere samme år, nemlig i årsberetningen fra Deutschen Mathematiker-Vereinung (Minkowski, 1891)
beretter Minkowski, at hans forskning for tiden drejer sig om ikke-konkave legemer placeret i gitteret, og at
der i det retvinklede gitter gælder, at den maksimale størrelse, et sådan legeme kan have uden at ramme
andre gitterpunkter, er 23.
I 1893 præsenterer han et papir i Chicago, hvor fokus nu er stråleafstand i gitteret. Det er disse stråler, der
fører frem til hans konveksitetsbegreb.
Her slutter vores fortælling om Minkowski og gitteret, for det har nemlig skiftet status hos Minkowski fra at
være et redskab til at være forskningsobjekt.
Analyse af Gitteret
Det ser ud som om, at Gauss introducerede gitteret for at repræsentere de kvadratiske former. I
Heersminks taksonomi er repræsentationen her et ikon, fordi det netop svarer til et landkort over en
kvadratisk form. Det er også et ikon hos Pierce, men her i form at et billede, fordi korrespondancen til den
kvadratiske form ikke er abstrakt. Repræsentationen hos Gauss har to helt centrale styrker:
1) Gitterpunkterne repræsenterer netop de heltallige værdi af variablene, og
2) Funktionsværdien i et gitterpunkt får en geometrisk fortolkning, nemlig som kvadratet på
afstanden mellem origo og gitterpunktet.
63
I forhold til vores kategorier er rollen for gitteret forklarende, idet gitteret forklar den kvadratiske form.
Dirichlet går videre end Gauss, idet han ikke længere blot taler om reducerede kvadratiske former, men nu
også om reducerede parallelogrammer, hvor gitterbenene er sorteret i stigende længde, og ingen
diagonaler er mindre end nogen af gitterbenene. Dirichlet bliver i stand til at erkende nyt i forhold til
reducerede former. Denne indsigt giver ham en algoritme til at en reduktion, der fører frem til en vurdering
af den kvadratiske forms middelværdi. Gitteret har hos Dirichlet ikke ændret status i forhold til Heersminks
taksonomi. I forhold til Pierce er det sket i lille skift, idet gitteret nu tydeligt er et diagram, hvor man kan
udtale sig om egenskaber ved kvadratiske former. I forhold til vores begrebsapparat er rollen nu
fordybende, fordi han får større indsigt i reducerede former.
Ydermere giver gitteret, eller rettere hans geometriske overvejelser over gitteret, ham en indsigt, så han
kan lave en mere generel formulering af løsningen på minimumsproblemet, der på simpel vis anvender de
oprindelige koefficienter fra den kvadratiske form. Gitteret vil her i vores forstand have rollen som
genererende, idet det gav ham mulighed for at adressere minimumsproblemet uden at skulle afsøge alle
minimumskandidaterne.
Hos Minkowski virker det som om gitteret installeres som en nødvendighed. Han konstaterer, at den
omstændelige metode med at reducere kvadratiske former virker ikke fra
. Udover Minkowskis
talteoretiske diskussioner, så løfter han sig fra diagrammerne, og går nærmest tilbage til billederne igen,
fordi han ikke bruger gitteret til at udtale sig om den kvadratiske form, men alene om den kvadratiske
forms mindsteværdi.
Gitteret får hos ham først rollen som fordybende, fordi det giver ham mulighed for at analysere kvadratiske
former i højere dimensioner. Men fordi han flytter fokus væk fra de reducerede former, får gitteret rollen
som generator. Minkowski kigger på to geometriske former i gitteret, kasser og kugler. Kuglerne er de mest
naturlige at se på, fordi deres overflade repræsenterer niveaukurver for de kvadratiske former. Kuglerne er
også kernen i strålemålene, der senere dannede grundlaget for konveksitetsbegrebet. På den anden side,
så var det kasserne, der gav gitterpunktsætningen, som var hans første resultat, hvor gitteret var
forskningsobjektet. Heldigvis brugte han både kugler og kasser.
Ingen af taksonomierne, hverken hos Pierce, Heersmink eller os, fanger Minkowskis frigørelse fra fokus på
de reducerede former. Vores har dog en rem af huden, idet gitteret i sin rolle som generator, en status
Dirichlet havde givet det 30-40 år før Minkowski, netop kom til at virke genererende.
64
Diskussion
I Cardano casen installerer Cardano
, eller rettere R2 m: 15. Denne repræsentation er ikke designet,
men nærmere en beskrivelse af en mulig løsning til det analyserede problem. Løsningen her følger blot den
sædvanlige syntaks for løsninger til problemer af den type.
I Peirce’s taksonomi ligner det et symbol, fordi det via en lovmæssighed – her beregningsalgoritmen beskriver en løsning til problemet, men da det ingen mening giver, holder klassificeringen ikke. Det
repræsenterer løsningen på et problem, så det kunne måske være et indeks, men her volder det ukendte
også problemer. Vi må derfor bruge laveste kategori og karakterisere det som et ikon – et skribl. Men
måske er det heller ikke engang det, for Peirce fordrer at tegn opleves som tegn for at kunne være tegn. Og
det ved vi ikke, om Cardano gør. Det virker nærmest som om,
, er noget, der falder ud af problem-
løsningsprocessen. Og er skrevet på et sprog, Cardano ikke forstår.
Med de kognitive artefakters perspektiv, idet
løser opgaven med at huske, hvad konsekvensen var af
at bruge løsningsalgoritmen på det oprindelige problem. På den måde kan de siges at have de egenskaber,
som en løsning skal have. Det er lige før, man kan kalde det en effektiv artefakt. Ingen ved, hvad værdien er,
men det er det bedste bud på en løsning til problemet. Problemet henstår derfor ikke længere uløst.
De begrebsmæssige redskaber vil umiddelbart karakterisere
som have en forklarende rolle, idet vi nu,
da geometrien er kommet til kort, alligevel kan forklare løsningen. En ufattelige forklaring, men stadig en
forklaring. Der er også en snert af den fordybende rolle i det, fordi Cardano nu kan pege på ny matematik
uden for geometriens område.
får ikke en genererende rolle, fordi Cardano selv betegner det som
ganske raffineret, men ubrugeligt. Matematikkens binding til geometri bliver for stor.
I Wallis’ tilfælde er præmissen, at de imaginære tal stadig er umulige. Med ved at lade tallinjen
korrespondere til noget fysisk, nemlig bevægelse frem og tilbage, bliver det tydeligt, at det giver fysisk
mening at tale om elementer til venstre for nul. Selvom tallinjen har denne tætte korrespondence til noget,
så kan den næppe siges at være et indeks, fordi den ikke indekserer matematik, men fysik.
Repræsentationen er derfor et ikon.
Tallinjen fremstår som et passivt artefakt, idet Wallis bruger tallinjen til at give en fortolkning til negative
arealer. Hos Wallis for tallinjen også en systemisk vinkel, fordi Wallis forstår tallinjen og hvordan han skal
arbejde med den.
I forhold til vores begrebsapparat er den lidt sværere at placere. Den er forklarende i den forstand at den
viser, hvordan man trækker et større tal fra et mindre, og derved giver plads og berettigelse til de
imaginære tal. Men den er sandelig også fordybende, netop fordi den giver muligheden for at trække et
større tal fra et mindre.
65
I casen om Minkowskis gitter er der tre, der bruger gitteret: Gauss, Dirichlet og Minkowski. Vi så, at Dirchlet
arbejdede med at forstå, hvordan kvadratiske former og gitterbillede hang sammen. Gitteret bliver et
indeks for den kvadratiske form. Minkowski ender egentlig med at træde et skridt tilbage i forhold ti
Dirichlet, idet han nedtoner det indekserende og nøjes med diagrammet, der ligger i repræsentationskategorien ikoner.
Som konceptuel artefakt betragtet, så er der den væsentlige afvigelse fra de to første cases, at både Gauss,
Dirichlet og Minkowski må have været fuldt bevidste om, hvad gitteret repræsenterede. I gitteret kunne
man gøre den kvadratiske form, hvilket gør gitteret til en repræsentationel artefakt, et index. Når først
vinklen og benlængderne er bestemt, så er gitteret et målebånd for den underliggende kvadratiske form,
og dermed passiv artefakt. Gitteret skal kalibreres i forhold til den kvadratiske form, det skal programmeres.
Det betyder, at målebåndet er meget fleksibelt, hvorved det får karakter af at være en indre artefakt.
I vores begrebsapparat starter gitteret som forklarende hos Gauss. Bliver fordybende hos Dirichlet. Og hos
Minkowski bliver en generator for ny indsigt.
I de to første cases med Cardono og Wallis udfordres repræsentationstankegangen af, at de næppe har
været klar over, hvad der egentlig blev repræsenteret. I disse to cases bliver repræsentationen en
pladsholder for en (imaginær) løsning på et problem. I gittercasen er situationen noget anderledes, fordi
Gauss er helt skarp på, at gitteret repræsenterer en kvadratisk form, hvorfor repræsentationen bliver et
index.
Som konceptuelt artefakt er
passivt. Det eneste, man kan gøre med det er at kigge på det eller
kvadrere det. Tallinjen har mere at byde på, fordi den udover at være passiv, også er en overflade artefakt,
og kan aflæses. Gitteret er også passivt, men har den styrke, at når først det er kalibreret, så kan man
aflæse kvadratiske former på det.
Vores begrebsapparat sigter mod at sige noget om forholdet mellem artefakt og matematiker gennem den
rolle, artefaktet får lov at spille. Og det lykkes til dels. Vi ser at i de to første cases har artefakterne to
mulige roller, nemlig som forklarende eller som fordybende, alt efter hvor meget det imaginære betyder. I
gittercasen, ser vi artefaktet havende tre forskellige roller hos tre matematikere.
66
Konklusion
Vi skal selvfølgelig være forsigtige med at overkonkludere, for vi var jo ikke til stede i matematikernes
værksted. Vi ved ikke, hvad de vidste, hvad de tænkte, og hvad de gjorde. Vi har alene bygget vores
forståelser på nedslag i deres publikationer. Og selv om vi havde læst hele deres produktion, så afspejler
deres publikationer kun en del af det underliggende forskningsarbejde, og er ydermere er publikationerne
underlagt diverse kodeks for matematisk faglig kommunikation.
Vi har med projektet søgt at forstå, hvordan matematikere skaber ny matematisk viden. Til dette formål er
det ikke nok at betragte matematikken som noget statisk eller invariant. Vores begrebsapparat giver os
mulighed for at diskutere forholdet mellem matematikken og matematikeren, og vi har set, at dette forhold
kan have mange former. Vi har i alt fald fundet tre af de fire roller i vores begrebsapparat i analysen af
kildeteksterne.
Samtidigt må vi erkende, at vores begrebsapparat næppe er fyldestgørende som forklaring på forholdet
mellem matematik og matematiker. Vi kunne sikkert have vundet ved at have nærstuderet alle Peirces 66
kategorier. Omvendt har vores begrebsapparat givet mulighed for at diskutere nogle dynamikker, som ikke
trådte så tydelige frem i de etablerede perspektiver.
67
Perspektivering
Det er svært for os egentlig at fatte, hvor meget geometrien betød for forfatterne til vores kildetekster. Så
måske har der været noget på spil, der rækker langt ud over, hvad vores begrebsapparat i analysen kan
dække. Noget der handler om mod, om "civil ulydighed" og om mønsterbrydning. For både Cardano og
Wallis dristede sig til at gå ud over Euklids geometri, selvom de selv var dybt forankrede i den. Og
Minkowski lod talteori være talteori og kastede sig over gitteret.
Det er ikke sikkert at et større antal kilder eller matematikere ville have ændret på vores konklusioner, men
havde vi haft et fokus på en periode, hvor der var større skriftlig kommunikation mellem matematikerne,
som i det 19. århundrede, ville vil kunne få større indsigt i de af deres tanker, der lå ud over det, som var
publikationer værdigt.
Havde vi haft mere tid kunne det have været interessant at besøge nogle af de værksteder, hvor de
matematiske eksperimenter var uden succes. Der kunne vi sikkert have fundet masser af artefakter
alligevel. Mere tid ville også have givet os mulighed for at raffinere vores perspektiv og besøge
værkstederne en gang til. Det ville også have givet os mulighed for at se på fysiske artefakter, som vi helt
har set bort fra i dette projekt.
68
Bibliografi
(2015, januar 5). Retrieved januar 5, 2015, from Det kongelige Bibliotek: http://wayback01.kb.dk/wayback/20100504144806/http://www2.kb.dk/elib/mss/skatte/f3_bib/billeder/178_3_9
_b2.htm
Carter, J. (2012, Oktober). The role of representations for understanding. NotaePhilosophicae Scientiae
Formalis, pp. 135 - 147.
Charve, M. (1881). Programme des Prix Annoncee pour l'annees 1881, 1882, 1883 et 1885. Comptes rendus.
Dirichlet, J. P. (1850). Über die Reduction der positiven quadratischen Formen in drei unbestimmten ganzen
Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 40, pp. 209-227.
Encyclopædia Britannica, T. E. (2014, 12 31). John Wallis | biography - English mathematician. Retrieved
from Encyclopædia Britannica: http://global.britannica.com/EBchecked/topic/634927/John-Wallis
Gauss, C. F. (1831). Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Intersuchungen über die Eigenschaften der
positiven ternären quadratischen Formen usw. Göttisches gelehrte Anziehen (2), pp. 1065-77.
Heersmink, R. (2013, Maj 25). A Taxonomy of Cognitive Artifacts: Function,. Review of Philosophy and
Psychology, pp. 465-481.
Hermite, C. (1850). Extraits des lettres de M. Ch. Hermite á M. Jacobi sur différents objects de la théorie des
nombrs. Journal für de reine und angewendte Mathematik 40, pp. 261-315.
Hilbert, D. (1911). Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski, Erster Bind. Leipzig und Berlin: B. G.
Teubner.
Katz, V. J. (2009). A History of Mathematics - An Introduction (3. ed.). Addison-Wesley.
Kjeldsen, T. H. (2009). Egg-Forms and Measure Bodies: Different Mathematical Practices in the Early History
of the Modern Theory of Convexity. Science in Context 22(1), pp. 85-113.
Kjeldsen, T. H. (2011). Hvad er matematik.
Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus.
Lützen, J., & Ramskov, K. (1999). Kilder til matematikkens historie.
Minkowski, H. (1887). Probevorlesung: Über einige Anwendungen der Arithmetik in der Analysis. Gengivet i
Schwermer (1991), 84-88.
Minkowski, H. (1887). Zur Theorie der positive quadratischen Formen. Journal für de reine und angewendte
Mathematik 101, pp. 449-58.
Minkowski, H. (1891). Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen.
Journal für die reine und angewandte Mathematik 107, pp. 278-97.
Minkowski, H. (1891). Über Geometrie der Zahlen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Verein 1, pp.
64-5.
69
Nahin, P. J. (1998). An Imaginary Tale The Story of i the Square Root of Minus One.
Norman, D. A. (1993). Things that makes us smart. Addison-Wesley Publishing Company.
Pierce, C. S. (1868). On a new List of Categories. Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences
7, pp. 287-98.
Pierce, C. S. (1932). Collected Papers of Charles Sanders Peirce, bind 2, Elements of Logic. Cambridge, MA:
Harvard University Press.
Pierce, C. S. (1998). The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings, Bind 2. Indiana University Press.
Rosenkilde, K. (2015, Januar). georgmohr.dk. Retrieved Januar 4, 2015, from
http://www.georgmohr.dk/tr/tr09geom1u.pdf
Schwermer, J. (1991). Räumliche Anschauung und Minima positive definiter quadratischer Forment.
Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 93, pp. 49–105.
Schwermer, J. (2007). Reduction Theory of Quadratic Forms: Towards Räumliche Anschauung in
Minkowski’s Early Work. In C. Goldstein, N. Schappacher, & J. Schwermer, The Shaping of
Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae (pp. 483–504). Berlin, Heidelberg, New
York: Springer.
70