Peter Harremoës
Matematik B med hjælpemidler
17. august 2015
Opgave 6
a)
Se Bilag 2.
b)
Renten r3 isoleres
r
=
((1 + r1 ) (1 + r2 ) (1 + r3 ))
1+r
=
((1 + r1 ) (1 + r2 ) (1 + r3 ))
3
=
(1 + r1 ) (1 + r2 ) (1 + r3 )
(1 + r)
(1 + r1 ) (1 + r2 )
=
1 + r3
r3
=
(1 + r)
−1
(1 + r1 ) (1 + r2 )
(1 + r)
1/3
−1
1/3
3
3
Opgave 7
a)
Nedenfor er vist et xy-plot af sammenhængen mellem antal år efter 1996 og entréindtægten i mio. kr.
b)
Den bedste eksponentielle udvikling til at beskrive data er y = 73.74 · 1.066x . Den estimerede årlige stigning er
6.6 % så målsætningen om en årlig stigning på 5 % må siges at være opfyldt.
c)
For at estimere hvilket år entréindtægten kommer til at overstige 250 mio. kr. løses ligningen 73.74·1.066x = 250
250
ln 73.74
hvilket giver x = ln 1.066
=19.1 så ifølge modellen vil denne entréindtægt opnås efter ca. 19 år.
side 1 af 5
Peter Harremoës
Matematik B med hjælpemidler
17. august 2015
d)
Der er samlet oplysninger om samlede entréindtægter fra perioden 1996-2013 som illustreret på figuren. Da der
har været en målsætning om en årlig vækst på 5 %, er data forsøgt modelleret med en eksponentiel vækst.
Målsætningen er for såvidt opfyldt i perioden, men i den periode der er data for passer det ikke så godt med
en eksponentiel vækst, og det er derfor højst usikkert om den eksponentielle udvikling kan fremskrives. Ifølge
modelle skulle entréindtægterne i år 2015 nå op på ca. 250 mio. kroner men dette tal er behæftet med stor
usikkerhed.
Opgave 8
a)
Data optælles ved hjælp af en pivottabel, hvilket giver
b)
Vi vil teste følgende hypotese.
H0 : Alder
Alder og straf
uafhængige af
hinanden.
og er
holdning
til
straf
er uafhængige.
Da p-værdien er 0.0001 og dermed under signifikansniveauet på 5 % kan vi afvise nulhypotesen og konkluderer
derfor at der er en sammenhæng mellem alder og straf.
side 2 af 5
Peter Harremoës
Matematik B med hjælpemidler
17. august 2015
Opgave 9
a)
Når de variable enhodsomkostninger er givet ved
V E (x) = 0.015x2 − 0.6x + 45, x ≥ 0,
så er de variable enhedsomkostninger ved en produktionsmængde på 100 liter V E (100) = 0.015 · 1002 − 0.6 ·
100 + 45 = 150 − 60 + 45 = 135 kroner.
b)
De grafen er en konveks parabel er der minimum når x =
−b
2a
=
0.6
0.030
=20 liter.
c)
De samlede produktionsomkostninger er
C (x)
=
=
=
V E (x) · x + 50000
0.015x2 − 0.6x + 45 · x + 50000
0.015x3 − 0.6x2 + 45x + 50000 .
For at bestemme den produktionsmængde, som givr samlede produktionsomkostninger på 63 500 kr. løses
ligningen C (x) = 63500, hvilket giver en produktionsmængde på 100 liter.
Opgave 10A
a)
Sandsynligheden for at en tilfældigt valgt tube indeholder under 48 ml er 0.048.
side 3 af 5
Peter Harremoës
Matematik B med hjælpemidler
17. august 2015
b)
Hvis en stikprøve på 56 pakker har gennemsnit 49.8 ml
og standardafvigelse 1.1 ml så bliver kan et 95 % konfidensinterval i l beregnes til [49.51; 50.09].
side 4 af 5
Peter Harremoës
Matematik B med hjælpemidler
17. august 2015
Opgave 10B
a)
Funktionen f er givet ved f (x) = x + 1 − ln (x) , x > 0. Da er f 0 (x) = 1 − x1 . Vi søger stationære punkter:
f 0 (x) = 0
1
1−
= 0
x
1
1 =
x
x = 1.
Ved at indsætte passende valgte værdier for x ses at f 0 (x) < 0 for x < 1 og f 0 (x) > 0 for x > 1. Derfor er f
aftagende i ]0; 1] og f er voksende i [1; ∞[.
b)
For at bestemme, hvor tangenten med hældning 1/2 fører grafen for f , løses ligningen
f 0 (x)
1−
=
1
=
x
1
=
2
x =
1
2
1
2
1
x
2.
Vi udregner f (2) = 2 + 1 − ln (2) = 3 − ln (2) .Røringspunktet er derfor (2, 3 − ln (2)).
Opgave 10C
a)
Hvis 15 000 kroner indsættes på en konto 1/1 2015 med månedlig rente på 0.15 %, vil der den 1/1 2016 stå
1.001512 =15 272.24 kroner.
b)
Hvis der fra og med 1/1-2016 yderligere indsættes 800 kroner på kontoen om måneden, så vil der den 1/1 2017
stå
1.001513 − 1
= 26043.54
15000 · 1.001524 + 800 ·
0.0015
eller 26 043.54 kroner på kontoen.
side 5 af 5