Foreløbig udgave August 2015 - Kontext+ 5
Foreløbig udgave August 2015 MATeMATiK lÆReRVeJleDninG/web Michael Wahl andersen Bent lindhardt rikke saron dalsGaard 5 Alinea KonteXt+ 5, Lærervejledning Forfattere: Bent Lindhardt, Rikke Saron Dalsgaard og Michael Wahl Andersen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen Tryk: © 2015 Alinea, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 1. oplag 2015 ISBN: 978-87-23513-120 www.alinea.dk Indhold X Ideen bag Kontext+ XX Elementerne til Kontext+ XX Læringshjulet XX Forenklede Fælles mål XX De matematiske kompetencer XX Digitale værktøjer XX It som medie XX X XX XXX XXX XXX XXX XXX XXX Regn med store tal Brøker Vinkler og figurer Negative tal og koordinatsystemet Decimaltal og procent Rumfang og flade Tal og bogstaver Data og chance 3 Ideen bag KonteXt+ Systemets navn er ikke tilfældigt. KonteXt tager udgangspunkt i, at matematik er lettest at lære, når det opleves i en sammenhæng, som eleverne kan indleve sig i. Derfor introduceres de matematiske begreber i et genkendeligt hverdagssprog i en mulig virkelighed. Der skabes således kontakt mellem hverdagens erfaringer og sprog og så matematikkens verden. Vi har hentet vores inspiration fra det kendte hollandske forskningscenter Freudenthal Institut, som i mange år har arbejdet med, hvad de kalder Realistic Mathematical Education – at lære matematik ved at se den gennem genkendelige og mulige virkelighedsnære sammenhænge. Disse sammenhænge omtaler vi som scenarier. Disse fortællinger er ikke den rigtige virkelighed men en tillempet virkelighed, så de bedst muligt illustrerer de matematiske pointer, der er udvalgt. Man kunne sammenligne det med et teaterstykke, hvor man indordner lyd og lys og kulisser, så de er rettet mod og fremhæver stykkets pointer. Fast og overskuelig kapitelstruktur Hvert kapitel følger en fast og overskuelig læringsstruktur, som gør det genkendeligt og enkelt for både lærer og elev. Vi bevæger os fra en indledende klassesamtale og afsøgning af forståelse og præcisering af det indhold der er, gennem 2-3 scenarier som præsenterer matematikken i en kontekst, og gennem praktiske, eksperimentelle og spillende aktiviteter til matematisk opsamling i ”Viden om” samt træning og problemløsning i breddeopgaverne. Der afsluttes med en evalueringsprocedure Eftertanken – som også involverer mere kompetencelignende opgaver. I overensstemmelse med forenklede Fælles Mål Indholdet i Kontext+ er revideret gennemgribende, så det er i overensstemmelse med forenklede Fælles Mål. Der indgår således anvisninger på de færdigheds-og vidensmål, som er valgt til at repræsentere matematikken på femte klassetrin – samt deres nedbrydning til læringsmål for de 4 IDEEN BAG KONTEXT+ enkelte kapitler. Der er også anvisninger på tegn på læring og evalueringspraksis – i overensstemmelse med UVMs læringsmålstyret undervisning. Vi har valgt IKKE at skrive læringsmålene direkte i kernebogen men derimod skrive dem i lærervejledningen som inspirationskilde til læreren. Den indledende sætning på hver af kapitlernes side ”I dette kapitel skal du lære om” er således mere en listning, som kan bruges af læreren til selv at formulere de mål, som passer til den enkelte klasse. Fokus på evaluering Hvert kapitel afsluttes med en række evalueringstiltag. • Eftertanke-siden som retter sig mod mere kompeteceorienterede opgaver inden for ræsonnements og tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen og kommunkationskompetencen. • Der indgår et tosiders EVA-ark som på side 1 undersøger deres færdighedsniveau og på side 2 mere fokuserer på deres problemløsnings adfærd og evner. • Eleverne samler egen viden i Huskeren, der anvendes som faglig logbog. Der er på hjemmeside anvisninger på tegn på læring knyttet til de enkelte læringsmål. Differentierede og varierede arbejdsformer og opgaver Der er læringsværdi i varieret undervisning – såvel i form som organisation. Hvert kapitel lægger derfor op til forskellige arbejdsformer fx makkerpar arbejde i scenarier, gruppearbejde i aktiviteterne hvor der spilles, leges, undersøges osv., individuelt arbejde i breddeopgaverne, hvor der øves og trænes samt klasseaktiviteter, hvor der samles op og igangsættes. Opgaverne er differentierede, idet de veksler mellem at være lukkede og mere udfordrende opgaver, samt veksler mellem at være rent matematiske færdighedsopgaver og mere virkelighedsnære tekstopgaver. Dialogen er vigtig KonteXt lægger vægt på kommunikation—at bruge sproget som limen i forståelse. Der indtænkes derfor både i elev-elevsamtaler og lærer-elevsamtaler, hvor opgaveløsning diskuteres, og hvor viden opsummeres og begrundes. Der indgår således flere steder krav til at eleverne sammen argumenterer og begrunder deres valg. Faglig læsning Skal eleverne opnå fortrolighed med matematikken senere i deres liv, skal de kunne afkode og læse matematikholdige tekster. De skal også kunne udvælge relevant data til løsning af matematiske opgaver. Derfor gør vi noget ud af tidligt at sætte matematikken i en tekstuel kontekst og ikke kun præsentere matematik som ”rene” matematikopgaver. Vi lader informationen og data til opgaverne være uden for opgaven, så de skal bruge energi på at søge efter de nødvendige oplysninger – hvilket er en træning i senere livsførelse. Integrering af digitale værktøjer og medier It indgår som et naturligt hjælpemiddel i KonteXt – se beskrivelse senere. Det inddrages såvel som medie, som læringsmiddel og som værktøj til matematisk problembehandling. Der er sat hovedfokus på, at eleverne anvender få alsidige programmer som GeoGebra og regneark typisk Excel. Programmerne er knyttet til de opgaver, der stilles i kernebogen. I 5. klasse vil der primært være præfabrikerede filer, som eleverne skal arbejde ud fra. Alle filer kan downloades fra kontextplus.dk. Der er udformet en strategi for, hvordan de forskellige funktioner i de udvalgte programmer kan anvendes, så eleverne gradvist bliver fortrolige med dem. Se senere. It som medie indgår med film, der viser eksempler på de matematiske pointer i virkeligheden og film som uddyber ”Viden om” med animationer og forklaringer. Den er også som en del af elevernes mulighed for at kommunikere matematisk viden. IDEEN BAG KONTEXT+ 5 Elementerne til Kontext+ Til femte klasse indgår der følgende elementer: • KonteXt+ 5, Kernebog/Web • Kontext+ 5, Lærervejledning/Web • www.kontextplus.dk med hjælpeark, arbejdsark, videofilm, filer, facitliste. læringsmål, EVA-ark m.m. • Tavlebog, Kontext+ 5 • Træningshæfte, Kontext+ 5 • eller • Flexbog, Kontext+ 5, Kernebog, som er en digital udgave af kernebogen med elementer fra web indllejret og tilknyttet KonteXt+ 5, Lærervejledning i en digital udgave oldet er skrevet ud fra de nye forenklede med en gennemtænkt og afprøvet struktur. g ind i matematikkens verden af symboler ennem EVA-ark og observationer på tegn de opgaver. nterede opgaver. og synliggørelse af de faglige områder. kontekst. spille osv. ne samles op og præciseres. ion, ræsonnement og problemløsning. ktøjer oftest regneark og GeoGebra. k. Filerne er dels demonstrationsfiler MATeMATiK Kernebog 5 lev adgang til www.kontextplus.dk.: n giver læreren en udvidet adgang til mentarer MATeMATiK Kernebog ISBN 978-87-23510-228 AlineA Klassesamtalen • • • • • • Hvilke slags geometriske figurer kan I se på fotoet? Kan I se rette vinkler? Er der vinkler, der ser ud til at være lige store? Hvor mange vinkler kan I se på det blå stel? Hvilke vinkler er ikke spidse? Hvordan vil I lave en skitse af cyklen? Klasseaktivitet: Find vinkler I skal undersøge vinkler i og uden for klassen. I skal afgøre, om det er en ret vinkel, eller om vinklen er større eller mindre end en ret vinkel. a. Fremstil eller skaf en genstand, som har en ret vinkel. Den kan I bruge som vinkelmål. b. Find steder og udfyld et skema som dette: Tegning eller beskrivelse af sted Ret vinkel Større Mindre c. Afgør hvilke vinkelstørrelser, I mener, der er typiske og hvorfor. d. Fremlæg jeres undersøgelse for resten af klassen. I dette kapitel skal du lære om • • • • • • • at beskrive vinkler ud fra deres gradtal. at måle vinkler med en vinkelmåler. at måle vinkler på computeren. at undersøge egenskaber ved figurer. at aflæse og fremstille skitser. at konstruere nøjagtige tegninger. at tegne ud fra et målestoksforhold. Hvornår står viserne på et ur vinkelret på hinanden? vinkler og figurer 43 Kernebogen til femte klasse er på 164 sider og opdelt i otte kapitler som er: • Regn med store tal • Brøker • Vinkler og figurer • Negative tal og koordinatsystemet • Decimaltal og procent • Rumfang og flade • Tal og bogstaver • Data og chance Kernebog nt til opgaverne i kernebogen og egreber og lære programmerne at kende. Vinkler og figurer Michael Wahl andersen Bent lindhardt rikke saron dalsGaard sVend hessinG 5 AlineA Den trykte bog hedder kernebogen, fordi det er kernestoffet for matematikundervisningen, som står her. Kernebogen fører eleverne gennem stoffet, så man opfylder de faglige målsætninger, man kan sætte på femte klassetrin ud fra forenklede Fælles Mål. Det er samtidig kernebogen, som styrer og giver blikket for, hvordan de supplerende materialer kan indgå i det løbende arbejde. 6 ELEMENTERNE TIL KONTEXT+ Lærervejledning Den trykte lærervejledning indeholder • En gennemgang af systemets opbygning og ide. • Faglige og didaktiske baggrundsviden, som har formet Kontextsystemet. • En grundig side-til-side vejledning med anbefalinger til læringsmål, supplerende aktiviteter, faglige uddybende kommentarer og gode råd. Læreradgangen: 2 hjælpeark • H jælpeark i en samlet udgave og serviceark, som kan understøtte opgaverne i kernebogen • Supplerende arbejdsark til de ”hurtige” elever • Facitliste til kernebogens opgaver. • Tosiders EVA-ark med tilhørende observationsark med anvisning på tegn på læring og bemærkninger til målopfyldelse. Tavlebog www.kontextplus.dk Til KonteXt +5 hører der en hjemmeside med en lang række supplerende materialer. Elevadgangen til www.kontextplus.dk fås automatisk ved køb af kernebøgerne, og læreradgangen fås ved køb af lærervejledningen. Hjemmesiden er påtænkt løbende at blive videreudviklet og udbygget. Elevadgangen: • GeoGebrafiler og regnearksfiler, der er vist med ikon i kernebogen – se senere. Der er ca. 80 filer til femte klasse. Der skelnes mellem: • demo-filer, til brug ved klassesamtalen. • øve-filer, som er supplerende træning til breddeopgaverne • værksteds-filer, hvor eleverne eksperimenterer, visualiserer og anvender it som alsidigt og raffineret værktøj. • Instruktionsvideoer til Geogebra og Excel i form af screencast. • ”Viden om” videoer knyttet til hvert af de otte kapitler. Korte videoer som gennemgår centrale dele af det matematiske stof i kapitlet. Kan fx bruges individuelt af eleverne eller til klassesamtalen. • Ekstra fotomateriale, som supplerer fotografiet på introsiderne i hvert kapitel. • Hjælpeark, som understøtter opgaverne i kernebogen Kernebogen udgives også som tavlebog. En tavlebog er en avanceret pdf-udgave af bogen til brug på IWB. Flexbog Flexbog, KonteXt+ 5, er kernebogen og webdelen samlet i et digitalt produkt. Det vil sige, at der i den digitale udgave af bogen er indsat klikbare ikoner for film, digitale-filer, arbejdsark og lignende. Man skal altså ikke ind på et site og hente den. Man kan skrive og tegne på siderne og arbejdsarkene, man kan indsætte egne noter, man kan skrive løsninger i filen, man kan kommunikere elev/lærer og elev/ elev. De arbejdsark, der indeholder brikker, grafer, figurer eller lignende, kan printes. Træningshæfte Der vil kunne suppleres med et træningshæfte på 48 sider, som knytter sig til kernebogens breddeopgaver. Træningshæftet er delt op i to dele: • Opslag hvor alle opgaver er direkte i kontakt med de enkelte kapitler. • Opslag hvor opgaverne er blandede fra alle dele af de forskellige kapitler – akkumuleret igennem hæftet. ELEMENTERNE TIL KONTEXT+ 7 Læringshjulet Tænk efter og evaluering Opgaveløsning Førtanken, læringsmål og værksteder • M ålramme – eleverne får en angivelse af det der skal læres om, som læreren kan bruge som basis for klassens læringsmål. Matematik i en kontekst Fase 2. Kontekst (Fordybelse) Kapitlerne i kernebogen er opbygget efter en særlig struktur som vi kalder for læringshjulet – blandt andet med inspiration fra Gudrun Malmer og Freudenthals planlægningsmodeller (se evt. ”Brå matematik for alle” og Freudenthals model som omtales ”The iceberg”). Begge lægger vægt på, at der skal bygges på erfaringer, hverdag og sproglig formåen for at skabe forståelse for de matematiske begreber – fra det enkle til svære, fra det hverdagsorienterede konkrete og uformelle matematik til det abstrakte og formelle matematik. Deres synspunkt er, at grunden til, at eleverne mangler forståelse, er, at de for hurtigt udsættes for ”øvelser” og træning i den formelle og abstrakte matematik uden nogen kontakt til deres forforståelse. Fase 1. Intro og synlige mål (Førtanken) Negative tal og koordinatsystemet Klassesamtalen • • • • • • Hvad viser termometret? Hvordan ser man på dette termometer forskel på minusgrader og plusgrader? Hvor mange grader har temperaturen ændret sig, hvis den før var –3 grader og nu er +4 grader? Hvor mange minusgrader tror I, at den koldeste måned i Danmark har været inden for de sidste 100 år? Hvis man tegner en tallinje og sætter et nulpunkt, hvor vil så –7 og +7 ligge? Hvorfor er –7 større end –10? Klasseaktivitet: Talhjulet Materialer: Hjælpeark med talhjul og spilleplade, clips og spillebrikker. deltagere: 2-4 personer. Regler: 1. Stil alle deltagernes spillebrikker på 0. 2. Hver spiller drejer clipsen på Talhjulet. Spilleren med højeste tal begynder. 3. Hver spiller drejer clipsen to gange. 4. Er summen af tallene negativ, så rykker man baglæns. Er resultatet positivt, så rykker man fremad. 5. Den, der først når –20 eller 20, vinder. I dette kapitel skal du lære om • • • • • • tal før nul på tallinjen, som kaldes de negative tal. at der til hvert positivt tal er et modsat negativt tal fx +6 og –6. at finde afstanden mellem negative og positive tal på tallinjen. at beregne enkle opgaver med negative tal. at koordinatsystemet beskriver punkter gennem talpar fx (–3,5). at placere, navngive og sammenligne punkter i et koordinatsystem. Giv et eksempel på to negative tal hvor forskellen er 5. negative tal og koordinatsystemet 65 Introen foregår som en klasseaktivitet og er knyttet til de første to sider i kapitlet. Den har til formål at inddrage elevernes erfaringer, associationer og intuitive forståelser fra hverdagen og samtidig give læreren et indledende indtryk af, hvor eleverne er læringsmæssigt i kapitlets stofområde. Den har også til formål at skærpe elevernes opmærksomhed og fokuseringen for de matematiske begreber, der skal arbejdes med. Introen består af tanker og tale som: • Fællessamtale 1 – en indledende dialog med en lang række forslag og inspiration i lærervejledningen. • Fællesamtale 2 – oplæg/spørgsmål med udgangspunkt i introfotoet. Spørgsmålene uddybes i lærervejledningen. • Fællesaktivitet, der er aktiviserende praktiske opgaver, som giver eleverne mulighed for at ”snuse” til emnet og læreren mulighed for at iagttage deres umiddelbare viden og færdigheder i emnet. 8 LÆRINGSHJULET Først mange år senere i 1956 fandt nogle dykkere vraget. Senere blev det bjærget, så man i dag kan se det udstillet. 14 m Krigsskibet der sank En dag i 1628 sejlede et af de største og flotteste svenske krigsskibe Vasa ud fra Stockholm. Kongen, hans følge og mange nysgerrige var mødt op for at se det. Blot en time efter, på vej ud af skærgården, gik det galt. Et vindpust fik skibet til at krænge. Vandet løb ind, så Vasa efter kort tid sank. Du kan på tegningen se, hvordan skibet så ud, inden det sank. 50 m 50 m Opgave 1 a. Hvor langt er der fra havets overflade til mastens top? b. Hvor langt er der fra havets overflade til bunden af skibet? c. Hvorfor står der –5 m på tegningen? d. Hvor langt er der fra skibets bund til mastens top? 55 m m 0 m 0m 5m m –5 66 negative tal og koordinatsystemet Opgave 2 a. Hvor mange meter under havoverfladen lå skibet? b. Hvor langt var der fra havoverfladen til kranernes top? c. Hvordan vil du svare på opgave a og b, hvis du skulle bruge + og – til at beskrive afstande over og under havoverfladen? Opgave 3 a. Beskriv hver af placeringerne A - H med plustal og minustal fx “Dykker 1 er ved –6 m.” b. Hvor vil dykker 1 D være, hvis han er 3 m højere oppe? Skriv med minustal. c. Hvor vil fisk E være, hvis den er 2 m dybere? Skriv med minustal. Opgave 4 a. Hvad er afstanden mellem toppen af kranen B og havbunden H ? b. Hvad er afstanden mellem fisk E og dykker 1? c. Hvad er afstanden mellem toppen af kranen B og dykker F ? A fugl 12 m 10 m Top af kran Fig. Nr.B 4.5 Havbunden skal benævnes h) 8m 6m 4m 2m C Havoverflade 0m –2 m –4 m –6 m D Dykker 1 –8 m –10 m –12 m –14 m E Fisk –16 m –18 m –20 m F Dykker 2 –22 m –24 m –26 m G Skibsvrag –28 m – 30 m H Havbund negative tal og koordinatsystemet 67 I fase 2 er der 2-3 små fortællinger eller scenarier, der indeholder beskrivelser og spørgsmål, hvor de matematiske begreber præsenteres i en mulig kontekst. Det hele er forsøgt holdt i en hverdagssproglig form. Det giver mulighed for, at eleverne via indlevelse kan skabe sig mentale billeder af ”hvad det handler om”. Det skal bemærkes, at scenarierne ikke er virkeligheden, men en konstrueret virkelighed, som blot skal understøtte forståelsen af matematikken. Det er således ikke emnearbejde eller projektarbejde, men fantasien, som er det bærende element i konteksten. Det er ikke meningen, at eleverne skal “udføre og undersøge” men i stedet “indleve sig og forestille sig”. Det hele foregår på tankens plan, som ved et teaterstykke med udvalgte miljøer og personer, som skal understrege en bestemt pointe for publikum. Fase 2 er udpræget et dialogbaseret arbejde, som vi anbefaler kan foregå som makkerpar arbejde. Fase 3. Aktiviteter (Praktisk og eksperimentel matematik) Ud over “at tænke og tale matematik” skal eleverne opleve matematikken ved at gøre og røre. En alsidig og varieret læring cementerer forståelsen bedre. I denne fase indgår der praktiske og eksperimentelle aktiviteter, hvor der spilles, måles, bygges, matematiseres og hvor der indgår modelleringsopgaver. Nogle af de matematiske begreber er reserveret til en sådan førstehåndserfaring fx ved arbejdet med sandsynlighedsbegrebet. Der kan således også være nyt stof i aktiviteterne. Der inddrages enkle og billige materialer, som vil findes AKTIVITETER Gæt det næste tal Over og under havoverfladen Materialer: 16 stykker papir/karton i spillekortstørrelse. Materialer: Stort papir ca. i A2 størrelse, stor lineal, farver. Fase 6. Eftertanken (Evaluering) deltagere: 2 personer. Kontinent Over havet Laveste punkt Nordamerika Mount Mckinley 6096 m Den Døde Dal 85 m Afrika 5802 m Assaløen 151 m Kilimanjaro Asien Klip 16 stykker papir ud i spillekortstørrelse fx ved at folde to A4-ark tre gange. Skriv tallene fra –7 til +7 og to kort med 0. Læg dem med bagsiden op ad i en tilfældig rækkefølge. Højeste punkt Mount Everest 8708 m Det Døde Hav Sydamerika Mount Aconcagua 6849 m Peninsuladalen 2228 m Eyre søen Australien Mount Kosciusko Europa Mount Elbrus 5553 m Det Kaspiske Hav Antarktis Vinson bjerget 5059 m Bentley Kløften Under havet 394 m 39 m 15 m EFTERTANKEN 28 m 2498 m I skemaet kan du se nogle af verdens højeste bjerge og dybeste huller i havet. Lav en illustration, som viser, hvor højt bjergene rager op over havoverfladen, og hvor dybt der kan være bestemte steder på havene. Skaf et stort stykke papir, så fx 1 cm svarer til 100 m, dvs at Mckinley er ca. 61 cm og Den Døde Dal er ca. 1 cm. Regler: • Det første kort vendes. Det er i dette spil –2. • For hver gang skal deltagerne beslutte, om det næste kort er større eller mindre end det foregående. • Næste kort er 0. I det her tilfælde er tallet større, idet 0 er større end –2. Gætter man rigtigt får man et point. • Den deltager der har flest point, når det sidste kort er vendt, har vundet. Stjerneløb på skolen 19 Et af de nordligste bosteder på Grønland er Qaanaaq. Stedet hed Thule tidligere. I nærheden er der en stor amerikansk militærbase. a. Fremstil en tabel for temperaturen for hver måned gennem et år for Qaanaaq og København. Find det på nettet. b. Vis det på en graf. Brug regneark til hjælp. c. Beskriv forskellen i temperaturerne for hver måned. d. Hvornår er forskellen størst? Mindst? Førsteaksen 0 1 2 5 Andenaksen 4 6 8 14 a. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter, som du mener passer. b. Tegn tallene ind i en graf i et koordinatsystem. c. Beskriv den graf der kan tegnes. d. Hvis grafen fortsætter, vil så talparret (-1, 2) være med på grafen? Vil talparret (100,204) også være med på grafen? I et stjerneløb har man et startpunkt og løber frem og tilbage til posterne. Lav et stjerneløb, der kan bruges på din skole. Brug et luftfoto fx fra Google maps og sæt det ind i et koordinatsystem. Brug (0,0) som startpunkt. Lav selv nogle opgaver, man skal løse på posterne. Tag stilling til hver af de tre påstande. a. Der findes et modsat negativt tal til alle positive tal. b. Man kan ikke udregne 4 – 7. c. Tal, som ligger til venstre for –3 på tallinjen, er alle mindre. Øjentallene på en terning er placeret på en særlig måde. Lægger man øjentallene over for hinanden sammen, får man altid 7, fx er 1 og 6 overfor hinanden. Fremstil en terning, hvor summen af de modsatte tal er –1. 21 Vis det Brug tegninger og eksempler til at illustrere disse to regnestykker: AA B C C Julies hjemby M K 10 km L N en o At finde forskellen Skal man finde forandringen fra –9 til + 4 svarer det til 13 hop til højre på tallinjen. Resultatet er +13. +13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 V M · id Tallinjen –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Punkterne får en plads og et navn 7 8 9 Et koordinatsystem består af to tallinjer. Den ene har navnet førsteaksen. Den anden har navnet anden akse. Der, hvor de to tallinjer møder hinanden, er nulpunktet (0,0). 10 (–3,2) D (3,2) A 3 2 C D a. 11 E– 14 = –3 b. –9 – 12 = –21 E E Huskeren Brug dine egne ord. Tegn, skriv, forklar og giv eksempler. • Giv en beskrivelse af forskellige typer af firkanter. • Giv en beskrivelse af forskellige typer af trekanter. • Giv eksempler på figurer, som har rette vinkler. • Tegn et koordinatsystem og giv eksempler på talnavne til punkter. negative tal og koordinatsystemet V M · id Tallene 1, 2, 3, ... kaldes de positive hele tal. Man kalder dem også for de naturlige tal. Tallene ... –3, –2, –1 kaldes de negative hele tal. …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 … kaldes samlet for de hele tal. D 25 Fase 4. Viden om (Matematisk viden) De hele tal D a. Et tal – 7 – 7 – 7 giver –21. Hvilket tal er det? b. Et tal er større end –7 og mindre end –2. Det er deleligt med 2, men ikke med 3. Hvilket tal er det? c. Et tal er ti gange mindre end –5. Hvilket tal er det? på de fleste skoler eller som er nemme og overkommeligt økonomisk at anskaffe. Der er således tale om centicubes, terninger, cm-mål, stopur, udendørs vinkelmålere m.m. Disse aktiviteter er typisk gruppearbejde. 82 BB 77 Julie skal besøge fire byer på en rejse. Hun A begynder og slutter i sin hjemby. Figuren viser, hvor byerne ligger. Vejene ligger kun på stregerne i gitteret. Hvilken rute bliver den korteste? –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 • Læg et tal og det modsatte tal sammen. Hvad giver det? • Hvis du nu fortsætter med at lægge tallet til, og så det modsatte tal, og så tallet osv. • Hvornår bliver det 0? Hvornår bliver det et positivt tal? Hvornår bliver det et negativt tal? • Hvilken regel kan du bruge, hvis du lægger et tal og det modsatte tal sammen? 24 20 negative tal og koordinatsystemet Man kan fortsætte tallinjen til venstre for nul. De tal kalder man de negative tal. Når man tegner en tallinje, skal man bestemme sig for, hvor nulpunktet skal være. Alle tal til venstre for nul, er de negative tal fx –5. Alle tal til højre for nul, er de positive tal fx +5 eller bare 5. Undersøg det Flyt diagrammerne A, B, C, D og E, et af gangen, ind på skemaet. Undersøg, hvilket diagram som dækker det største antal prikker. Find en temperaturtabel over vejret for den kommende uge fx www.DMI.dk. Tegn et koordinatsystem og en graf, som viser temperaturen fra dag til dag i den uge. Brug vejledningen på hjælpearket Stjerneløb og GeoGebra. negative tal og koordinatsystemet en o Påstanden I eventyret om Pinocchio vokser hans næse, når han lyver. Den bliver 8 cm længere. Hvis han taler sandt bagefter bliver den 3 cm kortere. Da hans næse var 7 cm lang, sagde han fem sætninger og efter det var hans næse 25 cm lang. Hvor mange af sætningerne var sande? 23 Der er koldt i Thule 76 22 18 a. Tegn et koordinatsystem. b. Indtegn punkterne (1,1) (1,3) (3,1) (3,3) og tegn linjer mellem punkterne, så det danner et kvadrat. c. Gør alle koordinaterne dobbelt så store og tegn den nye figur. d. Beskriv forskellen mellem de to figurer. negative tal og koordinatsystemet 83 Som afsluttende på kapitlet kan der anvendes: • De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Disse opgaver fokuserer primært på opgaver inden for ræsonnements- og tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen og kommunkationskompetencen. • Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Der kan tages udgangspunkt i de oplæg, der er forneden på siden. 1 Tallinjen er inddelt i enheder fx 1, 2, 3 osv. Der er ikke altid den samme enhed på de to akser. Hver gang man bevæger sig til venstre på tallinjen, bliver tallene mindre. Hver gang man bevæger sig til højre, bliver tallene større. –3 –2 –1 –1 1 2 –2 Hvert eneste punkt i koordinatsystemet har sit eget C –3 ”navn”. (3,5) beskriver det punkt, som ligger ud for 3 (–3,–2) på førsteaksen og 5 på andenaksen. Man kalder (3,5) for punktets koordinater, talpar eller koordinatsæt. Man giver punkterne navne. Som regel bruger man store bogstaver A, B, C osv. Man kan regne med negative tal Hvis man skal regne med negative tal, er det en god ide at bruge en tallinje til hjælp. Eksempel: 1) Regnestykket –7 – 5 svarer til at gå fra –7 og så fem hop mod venstre. Resultatet bliver –12. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grafer eller kurver 2) Regnestykket 7 – 9 svarer til at gå fra +7 og så hoppe 9 hop mod venstre. Resultatet bliver –2. De streger man tegner i koordinatsystemet, kalder man nogle gange for grafer og nogle gange for kurver. Her er fx en graf over værdien på et hus gennem 10 år. –9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 en o V M · id 9 en o –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 78 Evaluering Læg mærke til, at der er fire områder i koordinatsystemet. I hvert område ser koordinaterne ud på en bestemt måde. Se forskellene på punkterne A, B, C og D. –5 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 4 3 B (3,–2) negative tal og koordinatsystemet negative tal og koordinatsystemet 79 V M · id I ”Viden om” opsummeres elevernes erfaringer til mere formel matematisk viden og det faglige sprog præciseres. “Viden om” er typisk fællesarbejde for hele klassen. Kan fx anvendes som: • samtaleside, hvor der samles op i fællesskab. • forberedelsesside, for grupper af elever som efterfølgende fremlægger for resten af klassen. Til denne fase er der knyttet ”Viden om”-film, som kan findes på hjemmesiden www.kontextplus.dk. På hjemmesiden kan man finde et evalueringssæt til hvert kapitel. Det består af Fase 5. Breddeopgaver (træning) BREDDEOPGAVER 1 2 b c d e 12 Gør tallene 13 mindre. a. 49 b. 11 d. 0 e. –3 g. 1000 h. –28 8 a f –20 –10 0 10 20 °C 40 40 30 30 30 20 3 4 10 10 10 0 0 0 –10 –10 –20 A 5 10 Brug en tallinje til hjælp og udregn. a. –3 + 8 b. –4 – 6 c. –23 – 10 d. 17 – 22 e. 0 – 9 f. –15 + 7 6 Sebastian måler temperaturen udenfor til at være 3 °C frost og indenfor i stuen viser termometret 22 °C. Hvor stor forskel er der på temperaturen inde og ude? 80 negative tal og koordinatsystemet 11 Gør tallet 17 større. a. –34 b. –17 d. 0 e. 17 c. –10 f. –110 1 0 –1 1 2 3 4 5 –2 G –3 (–1,–3) –4 D 2 A (4,5) C (2,0) 1 D (0,–4) H (4,–3) –20 C Tag stilling til, om det er rigtigt eller forkert. a. –7 er 2 mindre end –5. b. 0 er større end –123. c. Det modsatte tal af –9 er +18. d. +2 er 6 større end –2. c. –1 til 2? f. 1 til –99? –5 –4 –3 –2 –1 –10 –20 B F (0,5) 3 C A 1 2 3 4 5 6 2 E (–3,0) –5 –20 Aflæs termometrene. 9 Skriv hele regnestykket. a. 2 + ■ = 17 b. –9 + 9 = ■ c. 1 – 10 = ■ Hvor stor er forskellen fra a. 3 til –5? b. 10 til –10? d. –4 til 8? e. 7 til 0? 5 4 B (–3,2) 20 10 0 –10 a. Indsæt følgende tal på en tallinje. 5 –9 –3 2 12 –1 4 b. Indsæt, så godt du kan, følgende tal på en tom tallinje fra –100 til +100. –52 35 –45 –5 23 79 4 3 °C 40 30 20 B 5 13 °C 40 30 Se på tallinjen. Hvilket tal peger pilene på? 15 Skriv tre regnestykker, hvor resultatet giver –3. c. 2 f. –13 j. –37 °C 20 –30 1. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Evalueringsarket består af to sider. • Første side er færdighedsregning med udvalgte opgaver, som kan afsløre elevernes misopfattelser. • Anden side er problemregning, som er mere kontekstorienterede, og hvor der skal udvises en større problemløsningsadfærd. Følg ruten · Find skatten · Koordinatsystemet 1 - 5 · Undersøg koordinatsystemet 7 Skriv tallene i rækkefølge med det mindste tal først. a. 7 0 –2 –8 4 –1 b. –2 4 –3 1 0 –6 c. 0 –9 –1 2 9 –5 a. Aflæs koordinatsættet for hver af de otte punkter. b. Punktet A flyttes tre enheder ]til højre til punktet K. Skriv koordinaterne. c. Punktet B flyttes 5 enheder f ned til punktet L. Skriv koordinaterne. d. Punktet C flyttes 5 enheder [til venstre til punktet M. Skriv koordinaterne. 14 a. Indsæt A = (2,2) B = (–2,2) C = (–2, –2) i et koordinatsystem. b. Forbind punkterne til en trekant. c. Tegn videre på figuren, så arealet er dobbelt stort. d. Beskriv hjørnernes koordinater. a. Hvilke koordinater har hjørnerne i trekant ABC? b. Tegn trekanten i et koordinatsystem i dit hæfte og spejl den i andenaksen. c. Hvilke koordinater har hjørnerne i den nye trekant? d. Indtegn følgende punkter: A = (1,5) B = (1, 1) C = (5,1) D = (5,5) og forbind punkterne, så der kommer en firkant. e. Hvilken figur danner punkterne? 16 a. Tegn et koordinatsystem. Forbind punkterne: (2,1) ] (1,2) ] (3,3) ] (1,4) ] (2,5) ] (3,3) ] (4,5) ] (5,4) ] (3,3) ] (5,2) ] (4,1) ] (3,3) ] (2,1) b. Tegn din egen figur i koordinatsystemet og beskriv tegneruten på samme måde. 17 En plantes højde er målt hver dag. 1. dag 2. dag 3. dag 4. dag 5. dag 5 cm 7 cm 10 cm 11 cm 12 cm a. Tegn et koordinatsystem med passende enheder for førsteaksen og andenaksen. b. Sæt tallene ind som punkter og fremstil en graf. c. Hvornår har planten vokset mest? d. Hvordan kan man se det i koordinatsystemet? negative tal og koordinatsystemet 81 Breddeopgaverne er et bredt udvalg af træningsopgaver, hvor eleverne individuelt kan arbejde sig igennem. Breddeopgaverne indeholder både lukkede opgaver og mere åbne problemløsende opgaver. De mere grublende opgaver står til sidst og er markeret specielt. Der hører et træningshæfte til, som kan supplere denne træning. 2. Et observations – og ”Tegn på læring”sark, som angiver adfærd hos eleverne der kan bruges som angivelse af en vis målopfyldelse. Det er vores holdning, at det er i samtalen, man bedst afslører forståelsesniveauet, så de anviste tegn skal kun opfattes som umiddelbare indikatorer. LÆRINGSHJULET 9 Forenklede Fælles Mål Opgaveløsning Opgaveløsning 10 FORENKLEDE FÆLLES MÅL Tal og Algebra Geometri og måling Statistik og sansynlighed Hjælpemidler Kommunikation Matrixmodel Repræsentation og symbolbehandling Vi hilser velkomment, at man fra det politiske niveau ønsker et stærkere fokus på overvejelserne om, hvad der skal undervises i. Det er dog ikke så enkel en øvelse, så vi har forsøgt at hjælpe uden at handlingslamme eller overtage lærerens eget valg. Vi har: • udvalgt færdigheds-og vidensmålene fra forenklede Fælles Mål, så de nu passer til et – tre målpar pr. kapitel. Udvalgene af målpar er fortrinsvis hentet fra fase 2 på 4.-6. klassetrin men dog også med strejftog i fase 1 og 3. Derudover samler vi op på tidligere mål, så der foregår en vis gentagelse. • beskrevet en målramme for eleverne i hvert kapitel. På introsiderne i hvert kapitel indgår der en introduktion til arbejdet ”I dette kapitel skal du lære om” – og derefter en række dots, som kan give en ide om det faglige indhold. Det er bevidst, at vi IKKE skriver dem som læringsmål, idet vi overlader til klassens matematiklærer at vælge de konkrete læringsmål. Det er bevidst, at vi viser ydmyghed og trækker os lidt tilbage, så der er plads til disse valg, der passer sig bedst til den sammenhæng undervisningen foregår i. • fremstillet forslag til læringsmål til læreren, beskrevet i indledningen til hvert scenarie og aktivitet. Man kan således forholde sig til disse læringsmål og udvælge eller omforme dem som det passer – de skal altså tænkes som Den viden og de færdigheder, eleverne skal opnå for at leve op til formålet, skal være et samspil mellem kompetenceområdet ”Matematiske kompetencer” og de læringsmål, der er knyttet til stofområderne ”Tal og algebra”, ”Geometri og måling” samt ”Statistik og sandsynlighed”. Elevernes udvikling og udøvelse af matematiske kompetencer finder sted i deres arbejde med faglige stofområder, og elevernes arbejde med stofområderne bliver meningsfuldt, når det forbindes med de processer og arbejdsmåder, der er beskrevet i de matematiske kompetencer. I læseplanen til forenklede Fælles Mål indgår der en arbejdsog planlægningsmodel, som beskriver denne samhørighed mellem de matematiske kompetencer og det matematiske stof. Resonnement og tankegang I forenklede Fælles Mål, har man lagt vægt på, at man skal målstyre frem for aktivitetstyre sin undervisning. Der er sat fokus på, at eleverne får synliggjort de læringsmål, der er for undervisningen. I udgivelsen ”Læringsmålstyret undervisning” introduceres en planlægningsmodel for et forløb, som vi mener fint passer ind i vores struktur på et kapitel. Se ellers tidligere inspiration og samtidig angive den faglige retning vi har valgt. Problembehandling Kontext+ har stort fokus på de forandringer og ikke mindst den progression og systematik som de nye forenklede Fælles Mål lægger op til. Matematik Matematik i i enen kontekst kontekst g ring lærin på læ gn på Tegn Te Tegn Tegn påpå læring læring Førtanken, Førtanken, læringsmål læringsmål ogog værksteder værksteder Ak Aktiv tivite iteter te r Tænk Tænk efter efter ogog evaluering evaluering Modellering UndervisningsUndervisningsaktiviteter aktiviteter Evaluering Evaluering Ev Evalu aluer ering in g ål ml gsmå rings Lærin Læ Læringsmål Læringsmål De matematiske kompetencer Hvordan håndterer vi det i Kontext? I oplægget om læringsmålstyret undervisning angiver man læringsmål i relation til undervisningsforløb af 3-4 uger varighed. Det kunne svare til et kapitelforløb i kernebogen. Som det ses af overskrifterne i kernebogen er der tænkt i at fordele de udvalgte færdigheds – og vidensmål ud på de otte kapitler. De stoffaglige mål er derfor rimeligt overskuelige og tydeliggjorte kapitel for kapitel. Det stoffaglige er formodentligt også, det der er flest erfaringer og stærke traditioner omkring, som gør det enklere at handle på. Anderledes står det til med de matematiske kompetencer, som angivet i Matrixmodellen. Det er mere komplekse mål, og det kan være ganske vanskeligt at ”få dem ned i elevhøjde”, så de på den ene side ikke taber i værdi, idet de bliver for banale eller på den anden side ikke er så højtflyvende, så de ikke kan omsættes til undervisning. Derudover kan det være vanskeligt at skille kompetencerne fra hinanden, idet mange kompetenceorienterede opgaver inddrager flere kompetencer. Symbolbehandlingskompetencen er næsten med i de fleste matematikprocesser, hjælpemiddelskompetencen er med alle de gange, man anvender papir, it, konkrete materialer, måleinstrumenter osv., problembehandling og ræsonnementskompetencen er tæt forbundet osv. Når det er sagt, bør det ikke handlingslamme os til ikke at fokusere på kompetenceundervisning i samspil med det stoffaglige. Vi vil i det næste redegøre nærmere for dette. I planlægningen af hvert undervisningsforløb skal læreren udvælge læringsmål fra både de matematiske kompetencer og fra de matematiske stofområder. I hvert undervisningsforløb sigtes der således samtidigt på udvalgte mål fra en eller flere af de matematiske kompetencer og på udvalgte mål fra et eller flere af stofområderne. I det følgende har vi forsøgt generelt at beskrive og eksemplificere, hvordan vi gennem kernebogen har indtænkt hver af de seks kompetencer. Problembehandling Problembehandling” vedrører løsning og opstilling af matematiske problemer, dvs. matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder. Det er individuelt, om et matematisk spørgsmål udgør et problem for en elev. Et spørgsmål, som for nogle elever udgør et matematisk problem, kan for andre elever være en rutineopgave Fase 1 Eleven kan opstille og løse matematiske problemer Eleven har viden om kendetegn ved lukkede, åbne og rene matematiske problemer samt problemer, der vedrører omverdenen Fase 2 Eleven kan anvende forskellige strategier til matematisk problemløsning Eleven har viden om forskellige strategier til matematisk problemløsning, herunder med anvendelse af digitale værktøjer Opfyldelse af kompetencemål I scenarierne vil der løbende være spørgsmål som er ikke-rutineprægede opgaver. Det er opgaver, hvor eleverne skal gå på opdagelse i begreberne. Det involverer elevernes egentænkning og en vilje til at undersøge. Ved hvert af de enkelte scenarier afsluttes der som hovedregel med en udfordrende opgave, som appellerer til øgede evner til problembehandling. Disse opgaver er ofte af mere åben karakter. I Breddeopgaverne er de sidste opgaver af mere grublende karakter og vil udfordre elevernes kreative problemløsningsadfærd. Udvalget af opgaver i Eftertanken har klare referencer til problembehandlingskompetencen. DE MATEMATISKE KOMPETENCER 11 Modellering ”Modellering” vedrører dels processer, hvor matematik anvendes til behandling af situationer og problemstillinger udenfor matematikken dels analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver forhold i virkeligheden Fase 1 Eleven kan gennemføre enkle modelleringsprocesser Eleven har viden om enkle modelleringsprocesser Fase 2 Eleven kan anvende enkle matematiske modeller Eleven har viden om enkle matematiske modeller Opfyldelse af kompetencemål Vi har forkortet modelleringsprocessen til følgende: 1 Problemstilling i virkeligheden 2 Indkredsning og matematisk beskrivelse Matematisk analyse 3 Matematiske resultater 4 Svar i virkeligheden Tolkning og vurdering 1) Det hele starter i virkeligheden. En eller anden problemstilling synes interessant. Det tænkes og formuleres i hverdagstermer. Som et eksempel kunne man stille spørgsmålet ”Hvor meget tandpasta bruges der på en dag i Danmark?”. Denne problemstilling kan ikke løses med et beregningsmæssigt snuptag. Den behøver en indkredsning og en oversættelse til matematik for, at man kan regne på den. Det kræver valg af de faktorer, som synes at være relevante for at løse problemstillingen. Det drejer sig således om at indkredse de centrale elementer og udelade andre som ikke synes relevante eller for ubetydelige. 12 DE MATEMATISKE KOMPETENCER 2) Indkredsningen og oversættelsen ender i en matematisk model. Det kunne være en model som: (antal mennesker i Danmark – dem der ikke børster tænder) * ml tandpasta pr. tandbørstning. Når variable og præmisserne således er på plads, kan der laves en matematisk analyse fx kan der regnes på modellen – måske med forskellige overvejelser om hvilke enheder, der skal regnes i, og hvordan resultatet skal fremstå og præsenteres. Det kan være tandpasta i tuber, km (hvis man måler længden af en tandpastastribe), liter, kubikmeter osv. De tal, man anvender i modellen, kan enten være estimater ud fra en række fornuftige antagelser eller mere minutiøse undersøgelser, hvor man forsøger at finde eller måle sig til de ”rigtig” tal. 3) Når de relevante tal er valgt, skal resultatet tolkes ind i virkeligheden. Kan det passe? Er der kommet et rimeligt svar på problemstillingen? I en vis sammenhæng er her tale om en form for konklusion på baggrund af analysen under punkt 2. Matematisk model Kritik og justering af model Som eksempel kræver det overvejelser om hvad man skal mene med en dag? En diskussion af hvordan man måler dem der børster tænder og dem der ikke gør det osv. 4) Afslutningsvis forholder man sig kritisk til den model man har brugt. Kunne den nuanceres og forbedres? Er de valg der gjort fornuftige og relevante nok.? Det kan i sidste ende give anledning til en justering af modellen og en ”ny runde”. Ræsonnement og tankegang ”Ræsonnement og tankegang” vedrører matematisk argumentation og karakteristika ved matematisk tankegang. Fase 1 Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til undersøgende arbejde, herunder undersøgende arbejde med digitale værktøjer Fase 2 Eleven kan anvende ræsonnementer til at udvikle og efterprøve hypoteser Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til udvikling og efterprøvning af hypoteser Opfyldelse af kompetencemål I Eftertanken er indlagt udsagn – formodninger – hypoteser - som eleverne skal vurdere rigtigheden af. I det hele taget indgår der løbende gennem et kapitel opgaver, hvor eleverne stilles over for spørgsmålet ”hvorfor…” som afkræver et argument eller en forklaring. Det kan for mange elever være vanskeligt at redegøre for egne tanker og være klare i deres argumenter, så der forventes ikke fyldestgørende svar, men snarere eksempler og ”som om” situationer som kan illustrere en besvarelse. Det er også muligt at inddrage skitser og tegninger til at vise sine tanker. I evnen til at ræsonnere indgår der sproglige vendinger som ”… fordi …” eller ”hvis … så”. I tankegangskompetencen indgår der evnen til selv at formulere spørgsmål, som kan besvares med brug af matematik. Opgaver, hvor eleven skal formulere en opgave eller historie, som kan danne begrund for et matematisk spørgsmål, indgår jævnligt. Repræsentation og symbolbehandling ”Repræsentation og symbolbehandling” vedrører anvendelse og forståelse af repræsentationer i matematik, herunder matematisk symbolsprog. Fase 1 Eleven kan oversætte regneudtryk til hverdagssprog Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af regneudtryk Fase 2 Eleven kan oversætte mellem hverdagssprog og udtryk med matematiske symboler Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af udtryk med matematiske symboler Opfyldelse af kompetencemål Anvendelse af matematiske symboler er en del af den viden, vi bibringer eleverne gennem Viden om. De matematiske symboler er dog begrænset til det nødvendige for at illustrere de matematiske begreber. Vi vil på mellemtrinnet undlade at lære symboler for symbolernes egen skyld. Repræsentationer er en central forståelsesfaktor udover en kompetence, så den lægges der stor vægt på i hele Kontext+ systemet. Vi forsøger derfor en spændvidde i brugen af beregningsmetoder, i brug af matematiske modeller, i brug af værktøjer, i brug af kontekstuelle iklædninger, i anvendelse af konkrete materialer osv. Vi tænker bl.a. i repræsentative hovedgrupper som følgende • Matematiske holdbare udsagn herunder symbolsk notation • Sproglige hverdagsudtryk såvel mundtligt som skriftligt • Visuelle udtryk herunder såvel tegning som film • Modeller for sammenhænge • Konkrete matrialeorienterede udtryk Kommunikation ”Kommunikation” vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om matematik. Fase 1 Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik Eleven har viden om formål og struktur i tekster med og om matematik Fase 2 Eleven kan skriftligt og mundtligt kommunikere varieret med og om matematik Eleven har viden om skriftlige og mundtlige kommunikationsformer med og om matematik, herunder med anvendelse af digitale medier Fase 3 Eleven kan anvende fagord og begreber mundtligt og skriftligt Eleven har viden om fagord og begreber Opfyldelse af kompetencemål Netop kommunikation via tekst er en væsentlig del af Kontext+. Vi tænker, at tal og tekst er uhjælpeligt forbundet, og at man gør eleverne en bjørnetjeneste ved at undlade at lære dem at forbinde disse udtryksformer i en sammenhæng – ved at kunne læse, skrive og forstå via tekst samt kunne omsætte fra tekst til symboler og tilbage igen. Vi sætter fokus på formidlingsdelen i Eftertanken. Her skal eleverne via opgaver som ”Vis det” og ”Forklar det” kommunikere deres viden til klassekammeraterne – ikke mindst ved brug af et varieret brug af digitale værktøjer. Hjælpemiddel ”Hjælpemidler” vedrører kendskab til, anvendelse og valg af relevante hjælpemidler i matematik. Fase 1 Eleven kan anvende hjælpemidler med faglig præcision Eleven har viden om forskellige hjælpemidlers anvendelighed i matematiske situationer Fase 2 Eleven kan vælge hjælpemidler efter formål Eleven har viden om forskellige konkrete materialer og digitale værktøjer Opfyldelse af kompetencemål Hjælpemiddelkompetencen består i Kontext+ af brug af et varieret brug af konkrete materialer og måleapparater. En væsentlig del er selv følgelig inddragelse af digitale hjælpemidler som en tankeforlængelse på den matematiske virksomhed som udføres. Se mere under ”Digitale værktøjer”. DE MATEMATISKE KOMPETENCER 13 Digitale værktøjer Som udgangspunkt betragter vi it som et hjælpemiddel og ikke et mål i sig selv. En sådan måldimension hører mere til en teknologidiskussion end en matematikdiskussion. Det er således ikke programmerne i sig selv, som er interessante, men hvordan de kan bidrage til øget læring i matematik. Vi arbejder primært med brugen af det dynamiske geometriprogram GeoGebra, regneark som Excel og et indledende kendskab til CAS programmer. Gennem kernebogen er der således henvisninger til hjælpefiler – markeret ud for de opgaver, som hjælpefilerne relaterer sig til. På nuværende tidspunkt er der ca. 80 filer, som kan ændre sig over tid. Hjælpefiler Der vil løbende gennem Kernebogen være henvisning til hjælpefiler – markeret ud for de opgaver, som hjælpefilerne relaterer sig til. GeoGebrafiler angives med Regnearksfiler angives med Eleverne kan downloade de relevante filer fra www.kontextplus.dk ved at bruge deres uni-login. Når filen åbnes, ser eleverne en opgavebeskrivelse og eventuelle hints til hjælp. Til mange af opgaverne vil der være en respons, så eleverne trygt kan gå videre uden først at rådføre sig med andre elever eller læreren. Da hjælpefilen altid indeholder en beskrivelse af opgaven, behøver eleverne ikke at have Kernebogen ved siden af sig – opgaven står på skærmen. Filerne vil i de indledende opgaver indeholde et tip om, hvilket redskab eleverne kan bruge til at løse opgaven. Andre filer er mere komplekse. De kan fx indeholde starten på en geometrisk konstruktion, som eleverne skal undersøge nærmere. Filerne kan deles op i tre typer (med glidende overgange) med følgende formål: Demo-filer Som navnet antyder, er der tale om filer, som kan anvendes på klassebasis fx præsenteret på en interaktiv tavle. Det kan f.eks. være tale om en fil, der viser, hvordan man bruger forskellige slags vinkelmålere. Øve-filer Filer der træner færdigheder som variation. De kan overflødiggøre træningsopgaver på papir og har samtidig 14 DIGITALE VÆRKTØJER den fordel, at eleverne får en respons uden en lærers medvirken. Værksteds–filer Filer til eksperimenter og som avanceret værktøj. Eleverne undersøger vinkelsummen i en trekant eller firkant eller konstruerer en figur præcist og enkelt ud fra en skitse og angivne mål. Dynamisk geometri I Kontext+ fokuserer vi på at anvende GeoGebra som dynamisk geometri-program. Det er der flere grunde til. • Programmet er gratis. • Det kan anvendes på flere platforme (pc, tablets, Linux, Mac og er på vej til telefoner). • GeoGebra favner bredt, også langt ud over geometri, og samtidig er det forholdsvis nemt at gå til. • Det tillader både at arbejde med geometri, regneark, CAS og simulering. • Det giver mulighed for at opfylde en lang række af de mål, som står i nye Fælles Mål. Ligesom anvendelsen af lommeregner har ændret matematikundervisningen ved at mindske behovet for træning i talbehandling og anvendelse af tabeller, ændrer anvendelsen af GeoGebra matematikundervisningen. En stor del af det traditionelle arbejde med at konstruere f.eks. polygoner med bestemte egenskaber vil naturligt foregå på computeren frem for på papir. Samtidig bliver der mulighed for at udvide elevernes arbejde med geometrisk konstruktion, analyse og opbygning mønstre, undersøgelser med henblik på forståelse af geometriske regler og ræsonnementer. Der fokuseres på følgende læringsfaciliteter i GeoGebra • Øger muligheden for visualisering af de matematiske begreber. • Letter tegnearbejdet og fremmer muligheden for at arbejde undersøgende og eksperimenterende. • Øger muligheden for at præsentere flere og sværere matematiske problemstillinger. • Kan fremme erfaring og forståelse af geometriske formler og sammenhænge. • Øger motivationen hos eleverne. I Kontext+ arbejdes der med GeoGebra på en systematisk måde. GeoGebras mange funktioner inddrages gradvist helt fra 1. trin. For overskuelighedens skyld vises på de første trin kun de værktøjer, som eleverne skal bruge. På mellemtrinnet vises alle værktøjer og vi fortsætter med at inddrage nye værktøjer, så eleverne på de ældste klassetrin vil kende GeoGebra som et naturligt værktøj til løsning af et bredt spektrum af matematiske problemstillinger. Et regneark kan bruges i mange situationer i matematikundervisningen: • Statistik • Budget/regnskab • Simulering • Fremskrivninger • Sortering Funktion 4. kl. 5.kl. Benytte flyt (pile)-værktøj x x Benytte knapper x x Polygonværktøjet x x Farve polygoner x x Linjestykkeværktøjet x x Vinkelrette linjer x x Parallelle linjer x x Funktion 4. kl. 5.kl. Linjestykker med given længde x x Grundlæggende kendskab til regneark, herunder navngivning og formatering af celler x x Spejlingsværktøjet Et regneark indeholder et stort antal faciliteter, hvoraf mange er særdeles avancerede og rækker langt udover, hvad eleverne i folkeskolen skal kunne benytte. Derfor er der i Kontext+ foretaget et udvalg af faciliteter, som bliver inddraget på en systematisk måde. Der begyndes med de mest simple og i løbet af mellemtrinnet bygges disse gradvist op. Benytte skydere x x Ændre cellefarve x x Vise længde af linjestykker x x Tegne søjlediagram/pindediagram x x Finde midtpunkt af linjestykke x Formler: autosum x x Vise akser og gitter x Benytte andre formler x x Regulære polygoner x Kopiere formler (udfyld) x x Tegne kvadrater og rektangler x x Koordinatsystemet x x Vise areal af polygoner x Tekstværktøjet x x x Isometrisk tegning x Måle vinkler x Afsætte vinkler med given størrelse x Tegne polygoner med givne mål x Regneark i GeoGebra x Regneark som digitalt værktøj Tegne kurvediagram (xy-diagram) x Der findes et stort udvalg af regneark og de fleste indeholder de samme grundlæggende faciliteter fx.: • E xcel (er en del af Office-pakken). Programmet er ikke gratis og skal installeres på computeren. • C alc (er en del af Open Office-pakken og Libre Office). Programmet er gratis og skal installeres på computeren. Calc kan åbne Excel-filer og gemme i Excel format. • R egnearket i Google Dokumenter. Programmet er gratis og skal ikke installeres på computeren. Dokumenterne ligger online, så eleverne kan arbejde videre med dem derhjemme. Regneark er oprindeligt udviklet som et bogholderiprogram, men har i dag så mange muligheder, at det er blevet attraktivt at anvende i matematikundervisningen. Udover at det er attraktivt, er det også efter nye Fælles Mål blevet obligatorisk fra 3. kl. DIGITALE VÆRKTØJER 15 It som medie Der indgår løbende gennem hele Kontext+ 5 brug af it som medie. Det falder i to grupper. • Oplæg til elevproducerede tekster med brug af videokameraer, Ipad, mobiltelefoner eller lignende • Forlagsproducerede film med forskellige typer af information De elevproducerede tekster I forbindelse med Aktivitetssider i hvert kapitel kan der være oplæg til, at eleverne anvender diverse programmer til præsentation af resultater og problemstillinger. Heri kan indgå brugen af power point, grafiske programmer, tegneprogrammer m.m. Da udviklingen på dette område er rivende stærk, og der hele tiden dukker nye programmer op, som kan andet og mere, overlader vi til skolen selv at vælge det mest hensigtsmæssige. Der vil særligt i Eftertanken være oplæg til, at eleverne anvender digitale værktøjer til kommunikation fx via deres Ipad, mobiltelefon, kameraer eller andre medier. Se nærmere under de enkelte kapitler. De forlagsproducerede film Ved hvert af de otte kapitler i Kernebogen indgår der et ”Viden om” afsnit. I dette kan der indgå 1-3 små klip i en film af 2-3 minutters varighed, hvor de forskellige matematiske begreber forklares og uddybes gennem eksempler. Her vil eleverne hjemme eller i lektiecafeer få visuelle forklaringer på den matematik, der indgår i det kapitel, der arbejdes med. Der er en række instruktionsfilm, som beskriver udvalgte funktioner i regneark og GeoGebra, der ikke intuitivt er enkle nok at gennemskue. De vil fremstå som screencast, hvor eleverne kan følge ”hvoran man gør”. Der er planlagt små videofilm, som anskueliggør kapitlets faglige pointer gennem situationer fra virkeligheden. De vil kunne bruges, som intro til de enkelte scenarier. Dens primære mål er at supplere klassesamtalen. Altså en motiverende videofilm, som understreger, at matematikken også handler om den virkelige verden uden for skolen. Der er ekstra fotos, som kan anvendes fx ved den indledende klassesamtale ved hvert af de faglige kapitler – til brug på klassens IWB. 16 IT SOM MEDIE Regn med store tal side til side-vejledning · tal og tælling 17 Om regn med store tal Kernebogen side 4-21 Fælles Mål Regne strategier Fase 1 Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi Regnealgoritmer Eleven har viden om beregninger med de fire regningsarter inden for de naturlige tal, herunder anvendelse af regneark Regneprocesser Der er i femte klasse fortsat brug for fordybelse i multiplikations- og divisionsprocesser. At tage stilling til, hvornår en beregning er en multiplikationsproces, og hvornår det er en divisionsproces, kan være vanskeligt. Det er derfor vigtigt, at man i klassen får mange erfaringer med mange forskellige iklædninger af disse regneprocesser. Det er også centralt, at man fortsætter forståelsen af, at multiplikation og division er hinandens modsatte regningsarter. Det drejer sig både om ligheder og forskelle i de to beregninger. Faktorernes orden er ligegyldig i en multiplikationsproces: 7 · 12 = 12 · 7 – den kommutative lov gælder. Dette er ikke tilfældet i en division. Regnestykket 25 : 5 er noget andet end 5 : 25. Ganske banale konstateringer vil de fleste sige, men det synes ikke så åbenlyst for eleverne. Ifølge den norske KIM undersøgelse (Kvalitet i Matematik- undervisningen ved Gerd Brekke m.fl.) svarer omkring 25 % af eleverne i syvende klasse, at 25 : 5 og 5 : 25 beskriver den samme division. Vi udvider beregningernes sværhedsgrad ved at lade eleverne arbejde med divisionsprocesser, hvor divisoren er tocifret. Det kræver valg af, om beregningen skal foregå som en algoritme på papir, som hovedregning eller lommeregnerregning. Alene valget, hvornår det ene er at foretrække frem for det andet, er en væsentlig matematisk hjælpemiddelkompetence. 18 OM REGN MED STORE TAL I debatten om udvikling af elevernes regnekunst er der ofte fokus på deres evne til at gennemføre en regnealgoritme på papir, og spørgsmålet er tit, hvor langt man som lærer skal gå. Spørgsmålene er bl.a.: Hvor svære stykker eleverne skal kunne løse? Hvor solide og hurtige elever skal være? Og hvor ofte de skal øve sig i det til fordel for fx hovedregning og lommeregnerregning? Der er ikke entydige svar på dette, men vi er af den opfattelse, at papirregning langsomt men forudsigeligt forsvinder for at ende som “det personlige notat”, der kunne minde om den personlige indkøbsliste, når man handler ind. Der bør således være vide rammer til accept af orden og systemer i elevernes valg af algoritme, dog betinget af en professionel lærers vurdering af elevernes mulighed for at forbedre deres vaner. Vi tror ikke på, at man for enhver pris skal acceptere alt, hvad eleverne finder på. Som i så mange andre sammenhænge kan positiv vurdering og kritik samt vejledning være befordrende. I nogle tilfælde vil det således være behjælpeligt at introducere traditionelle algoritmer. Man bør på dette klassetrin og kommende klassetrin sikre sig, at alle elever har tilegnet sig en overskuelig og operationel algoritme i alle fire regningsarter. I den sammenhæng er det interessant, at færdighedsdelen i de seneste afgangsprøver i matematik mere og mere er enkle beregninger, som kan løses ved enkel hoved– og notatregning fremfor omfangsrige og komplicerede regnestykker, som skal udregnes gennem fx standardalgoritmer. Det kan fx være opgaver som 5608 : 8 eller 11 * 23. Eleverne skal være bevidste om, hvilke kontekstuelle iklædninger de forskellige regningsarter har. Være opmærksomme på de ord som signaler brugen af regningsart fx at ”forskel” involverer subtraktion, at ” fem gange større” er en multiplikation osv. Der vil indgå opgaver, hvor eleverne oplever multiplikation og addition, som er meget almindelig i handelssituationer. Store tal Vi udvider i dette kapitel elevernes kendskab til de naturlige tal ved at arbejde med store tal. Da vi ved, hvor vigtig forståelsen af positionssystemet er, er her samtidig en mulighed for at repetere denne del. At store tal kan skrives i positioner inden for titalssystemet, kan stadig være vanskeligt for nogle elever og bør derfor indgå i samtalerne. Her kan indgå opløsninger af tal i positioner som fx 916 355 = 900 000 + 10 000 + 6000 + 300 + 50 + 5. Der arbejdes på dette trin med millioner og milliarder, som skal sammenlignes og placeres i størrelsesforhold til hinanden. Der kan være elever, som kan have svært ved at styre store tal, når der kommer mange cifre med. Rent auditivt skal de ind i sammenhænge, hvor der kan skabes mentale billeder af svære lydbilleder som fx 3 753 214 – tre millioner syv hundrede og treoghalvtreds tusind to hundrede og fjorten. Specielt er der erfaringer for, at tal over fire cifre er vanskelige at fastholde og at gengive. Især når der indgår 0 fx er 20 210 et tal mange elever skal tænke en ekstra gang over, før de gengiver det på skrift. Da store tal ofte er uhåndterlige, vil man i mange sammenhænge foretage en afrunding, fx lade 345 627 afrunde til 346 000. Eleverne vil opdage, at forskellige tal pludselig fremstår ens ved afrunding, og at der kan være problematiske afrundinger, hvor tallet “forsvinder”. Skal man afrunde 1 235 614 og 45 521 til nærmeste hundredetusinde, vil der blive tale om tallene 1 200 000 og 0 – hvilket er korrekt matematisk men didaktisk problematisk, idet det opleves, som om det sidste resultat ikke eksisterer. Om lommeregneren Lommeregneren som selvstændig fysisk enhed er ved at skifte karakter så den i højere grad er integrereret i mobiltelefoner, eller på Ipad eller … Vi bruger fællesbetegnelsen lommeregner for alle disse former. Man kan i nogle tilfælde møde det argument, at lommeregneren fratager elevernes evne til at regne. Vi mener, at den tværtimod understøtter arbejdet i matematik, hvis det vel at mærke foregår som et strategisk valg knyttet til fx kompleksiteten af det regnestykke, som skal udregnes. Lommeregneren skal bruges som en tænkeforlænger og ikke en tankeerstatter. Den har sat færdigheder i at regne med de tidligere standardalgoritmer ganske meget under pres. Der er derfor i dag regnestykker, som man ikke forventer, eleverne kan udføre gennem papirregning som tidligere fx 2384,79 : 23 eller lignende sager. Det betyder dog ikke, at eleverne ikke skal kunne foretage enkle beregninger i hovedet og på papir. Opgaver som fx 115 : 5 eller 7 · 26 bør ikke kræve en lommeregner. Det er heller ikke rimeligt, at elever anvender lommeregneren til et regnestykke som fx 10 · 155. Lommeregneren kan også virke som et metodisk hjælpemiddel til at gå på opdagelse i forståelsen af tallene og regningsarterne. Hvis man fx trykker 4 ind på lommeregneren og derefter trykker på + og =, =, = ..., fremkommer fire- tabellen på mange lommeregnere. Hvis man trykker på gangetegnet og derefter =, får man fordoblinger. Det skal dog bemærkes, at der kan være varianter af dette alt efter hvilket lommeregnermærke, man er i besiddelse af. Tag stilling til, om det er nødvendigt at afsætte tid til, at eleverne undersøger deres lommeregner nærmere, hvis dette ikke er gjort tidligere. Hvad betyder fx MC og MR? Hvorfor står der ^? osv. Der kan være elever, som har anskaffet sig avancerede lommeregnere, der kræver nærmere forklaring. Lommeregneren udvider mulighederne for at håndtere avancerede talmæssige problemstillinger i virkeligheden. OM REGN MED STORE TAL 19 43 35 a. Hvor lang tid tager det at tælle til 100? Brug stopur. Prag Amsterdam Rom b. Hvor lang tid tager det at tælle til 1000? Silje vil lave sit eget diagram c. Hvor lang tid tager det at tælle til 1 million? Kompetence-fokus Kernebogen side 4-21 Berlin med de syv populære hovedstæder. I en kasse er der 252 appelsiner, som skal fordeles i mindre poser. Der skal være lige mange appelsiner Madrid London Paris i hver pose. a. Hvor mange forskellige muligheder er der? b. Hvilke af mulighederne er realistiske? 36 44 a. 38 · 105 b. 27 · 210 c. 19 · 225 Opgave 11 Populære hovedstæder Alfreds bil kører 13 km på a. Beregn indbyggertallene for de syv hovedstæder, 37 1 mm = 100 000 indbyggere. en liter benzin. hvis Afrund til nærmeste 1000. Hvad koster det Alfred b. Fremstil et diagram på papir, som viser indbyggertallene. a.Tegn 36 432 b. 4tallinje 255 417og visc.med 715 pile, hvor indbyggertallene at køre c. en passende til Som det kan læses i de indledende side xx – xx om de matematiske kompetencer vil dea.seks kompetencer indgå på tværs af 26 km? de syv hovedstæder ligger. arbejdet med kapitlet. De vil således gennem de forskellige typer af opgaver og aktiviteter udsættes for matematisk 38 b. 52uvilkårligt km? d. Fremstil et diagram i et regneark, som viser indbyggertallene for de virksomhed, som berører mange siderSkriv af de er på den ene side c. naturligt to seks gangestykker, som giverDet ca. 2000. 104 km?og rigtigt at man ikke bare kan Opgave 8 kompetencer. syv hovedstæder. tale om at en opgave udelukkende orienterer sig mod en kompetence, men det kan på den anden side i en læringssituation caa. Hvor mange indbyggere bor der i København? 45 39 b. Hvor mange vil der bo i København, hvis der bor 1000 flere? mouflere de arbejdsprocesser, som indgår i de enkelte kompetencer. Opgave 12 mest? Hvad koster Hvilke tal skal der stå c. de Hvor mange vil der bo, hvispeger der bormod 100 de 000forskellige flere? På denne side kan man se eskempler a. på dele af kapitlet, som en til tallinje 0 - 1 6million. forkompetencer. hver a.Tegn 8 toast 15 kr. eller toast tilIndsæt 18 kr.? interval på 50 000i stedet for d. Hvor mange vil der bo, hvis der bor 10 gange flere? b.centimeter. 5 is til 19 kr. eller 7 is til 14 kr.? spørgsmålstegnene? b. Indsæt på tallinjen de fem hovedstæder fra skemaet i opgave 3 med Silje ønsker at gøre oplysningerne mere overskuelige, så indbygger40færrest indbyggere. Kompetence Eksempel tallet er nemmere at aflæse. Hun afrunder derfor indbyggertallet til 46 Sandt eller falsk? hele millioner fx hvis der i en hovedstad bor 1 364 422 mennesker, Dette år vil det på dagen efter min fødselsdag være a. 5 · 6 + 3 = 3 + 5 · 6 b. 3 + 7 · 8 = 80 kan36det til ca. d. 1 000 Problembehandling korrekt at sige ”dagen efter i morgen er en onsdag.” c. – 7afrundes ·5=1 4 + 000. 9·6=4+9·6 Udfordringen Fx Udfordringen samt grublerne i Breddeopgaverne Hvilken dag har jeg fødselsdag? e. 36har : 9svært – 3 = 6ved at forestille f. 17 · 3sig, - 20hvor = 85 mange - 50 mennesker Silje der egentlig Indbyggertal afrundet Indbyggertal borHovedstad i København. Hun forestiller sig derfor, at alle byens indbyggere til millioner 47 41 stiller sig op i en række. Silje afsætter 1 m pr. person. Hvilke af disse tre tal har det største ciffer på 7007 er et tal, der er det samme, når du læser det 10-tusindernes plads? forfra og bagfra. a. Hvor lang vil rækken af mennesker blive i meter? I kilometer? a. 31 097 45 768 18 092 Hvilke af de følgende tal er ikke det? b. Kig på et Europakort. Hvor i Europa kan rækken af mennesker ende, b. 190 212 708 385 673 094 a. 3993 b. 2424 c. 2112 den i København? Beskriv tre forskellige forslag. c. hvis 8 687 211starter 1 390 744 2 033 455 d. 8888 e. 191 f. 321321 c. Hvor lang vil rækken blive, hvis der stod 3 mennesker for hver meter? Opgave 9 425 mennesker for hver meter? 48 a. Afrund indbyggertallene fra de fem største og fem mindste hovedHvor stor er den højeste værdi af summen af Asger har 9 hundrede-kroner, 9 ti-kroner og stæder til hele millioner. Se skemaet i opgave 2. cifrene i et tre-cifret tal? 10 en-kroner. Hvor mange penge har Asger i alt? regn med store tal b. Kig på Reykjavik, Islands hovedstad. Forklar, hvorfor afrundingen af indbyggertallet bliver speciel. Modellering Fx Aktivitetsopgave AKTIVITETER 20 regn med store tal Silje beslutter at gøre tallene mere præcise. Hun afrunder derfor alle Vandforbrug indbyggertallene tillitermål 100-tusinder i stedet for millioner. Vandforbrug Materialer: Ur, måleglas, m.m. Hovedstad 8 Indbyggertal Indbyggertal i 100-tusinder Opgave 10 a. Afrund indbyggertallene i de samme hovedstæder til 100-tusinder. Se hjælpearket fra opgave 2. b. Hvilken afrunding vil du vælge, hvis du skal fortælle en ven hvor mange indbyggere, der er i de fem største hovedstæder? Begrund dit svar. EFTERTANKEN Ræsonnement og tankegang Fx opgaver som kræver argumentation og begrundelse. regn med store tal Eftertanken a. Hvor meget vand bruger man, når man skyller ud i toilettet? Undersøg det. b. Hvor meget vand bruger den danske befolkning hver dag på toiletbesøg? På en uge? På et år? Hvorfor det? c. Hvor meget vand bruger man på at børste tænder på en dag? På et år? a. Hvorfor kan et gangestykke skrives som et plusstykke? Vis et eksempel. b. Hvorfor kan et divisionsstykke som et minusstykke? Lommeregneren – regn jer tætskrives på 1000 Vis et eksempel. Materialer: Lommeregner. c. Hvorfor er det rigtigt, at 3 489 796 kan afrundes til 3 000 000? I skal benytte alle cifrene fra 0 til 9. Hvert ciffer må kun benyttes én gang. I må bruge alle fire regnetaster. a. Hvoren tæt historie kan I komme på 1000? Giv b. Hvor få tast behøver I ? Skriv en historie, hvor mindst 3 regningsarter indgår. 20 KOMPETENCE-FOKUS · REGN MED STORE TAL 14 regn med store tal 9 b. divisionsstykke skrives som et minusstykke? g. Hvorfor 1089 kan et h. 24 319 i. 3 245 865 f. 25 · 10 · 10 : 100 · 10 · 100 Vis et eksempel. c.21 Hvorfor er det rigtigt, at 3 489 796 kan afrundes til 3 000 30 000? Afrund tallene i forrige opgave til nærmeste 10. Repræsentation og symbolbehandling Fx Breddeopgaverne og Viden om Skriv en regnehistorie til regnestykket 23 · 15. 22 31 Giv entallene historie Gør alle 30 000 større. Vælg de rigtige regningsarter (+, –, ·, :) så det a. 243 b. 432 c. 7 121 079 passer. Samme tegn må gerne bruges flere gange. Skriv en009 historie, hvor mindst 3 regningsarter indgår. d. 901 e. 3002 f. 3 678 881 a. 4 ■ 4 ■ 4 ■ 4 = 16 b. 4 ■ 4 ■ 4 ■ 4 = 8 Regnemetoder 23 c. 4 ■ 4 ■ 4 ■ 4 = 9 Talsystemet Har du· ikke på papir, kan du fx a. 20 623 allerede b. en 30 metode · 296 til atc.regne 50 · 613 ■ 4 ■ 4 = 60 d. bruge 4 ■ 4disse: 1 000 tusind V M · id en o en o ER VITETmed AKTIRegn store tal V M · id 24 32 10 000 100 000 1 000 000 1 000 000 000 Vandforbrug Gør tallene 10 000 mindre. Skriv en regnehistorie, som passer til 355 : 5. Vis Vandforbrug Materialer: Ur, måleglas, litermål m.m. a. 49det 077 b. 11 376 c. 2 899 401 Klassesamtale Hvad sker der med tallet? · Hvordan skrives tallet? At regne med tallene Kommunikation Fx mundtlige klasse samtaler Læse og skriveopgaver i scenarier Formidling i Eftertanken Læse Viden om titusind hundredetusind million milliard Fremstil en kort film, hvor du forklarer, hvordan du regner: 33 Der er fire regningsarter plus, minus, gange og division. • Hvor mange sedler tror I, der er i et bundt? Plus er det modsatte af minus. Gange er det modsatte af a.25 31 · 56 a. 125 : 5 b. 1326 : 3division. c. 1491 : 7 Der er mange måder at regne på. • Hvor mange penge er der i hvert bundt? • Man kan regne med overslag – som hovedregning. b. 3670 : 5tallet. Skriv hele Fx 367 · 3 er ca. 400 · 3 = 1200 • Hvor mange bundter kan I se? • Man kan regne på lommeregner. • Man kan regne på papir. 34 a. Tre millioner og sytten. • Hvordan vil I regne ud, hvor mange penge der er i alt? a. 23 + 23 + 23 + 45 + 45 + 45 + 45 b. To hundrede tusind fire hundrede og femogfyrre. • Kan man bære en million kroner? b. 123 + 321 + 123 + 321 + 123 + 321 c. Tre hundrede millioner og syv. Overslag og afrunding Alfredo er den stolte ejer af Pizzaria Bellano i Sandør. Bellanoc.er17 + 17 + 17 + 5 · 17 Når man regner i hovedet, bruger man ofte overslag. Man kan regne med overslag ved at afrunde tallene. 26 d. 3 · 48 + 10 · 48 + 48 · 100 Alfredo er den stolte ejer af Pizzaria Bellano i Sandør. Bellano er 4152 · 19 er næsten 4000 · 20 altså ca. 80 000. populær både blandt byens lokale beboere og blandt turister. 23 899 : 8 er næsten 24 000 : 10 altså ca. 2400. Gør tallet 20 gange større. populær både blandt byens beboere og blandt turister. Louis er Pizzaria Bellano er kendt forlokale sine gode og billige pizzamenuer. Der er særlige regler, når man afrunder. • 234 556 rundet af til nærmeste 100 bliver 234 600. a. 23 Bellano 30 I for c. Pizzaria erb.kendt gode ogtilbillige pizzamenuer. Louis er stamkunde hos Bellano. dagsine køber han100 sin familie to børnemenuer • 234 556 rundet af til nærmeste 1000 bliver 235 000. Pizzaria Pizzaria Bellano Bellano Skriv selv Regneregler Når der er flere regningsarter i samme opgave, gælder der nogle regneregler. Der skal ganges og divideres, før der skal lægges sammen og trækkes fra. Fx 3 + 5 · 6 – 10 = 3 + 30 – 10 = 23 De naturlige tal Tælletallene 1,2,3,4,5,6 … kalder man de naturlige tal. Der er uendelig mange af dem, så vi har kun navne på nogle af dem. Man skriver nogle gange mio. for millioner fx 3,2 mio. • 234 556 rundet af til nærmeste 10 000 bliver 230 000. stamkunde hos Bellano. I dag køber han til sin familie to børnemenuer og to voksenmenuer. Klasseaktivitet: Hvor mange numre? Brug egne ord. Tegn, skriv, forklar og giv eksempler. og to dine voksenmenuer. 16 regn med store tal I sangforeningen Morgenrøde har man en sangbog med 700 sange. • Giv et1 eksempel på, hvordan du lægger sammen, trækker fra, ganger og dividerer. Opgave Nårregneregler man mødes, har sangforeningens formand Clausen allerede • Giv Hvilke er der, når man regnestykke både Opgave a. et1overslag på den samlede pris,i samme som Louis skal betale, og skal +,–, · og : Giv eksempler. sat numrene på de 14 sange, somtilman skal synge op påTilenhele nummertavle. •a. beskriv, Hvordan vil du afrunde 483 097 hele 100-tusinder? Giv et overslag samlede pris, som Louis skal betale, og millioner? hvordanpåduden gjorde. Der er altidpå fireregnestykket sange. Han 49 bruger talkort med cifrene 0 - 9 til at lave tallene. •b. Hvor Giv et overslag – 31. beskriv, hvordan du gjorde. meget skal Louis præcist betale? på tegningen. • Hvor Vis, Se hvordan du dividerer 3416 med b. meget skal Louis præcist betale? c. Beskriv, hvordan du regnede det ud. 8. regn med store tal 19 en o en o V M · id c. du regnede ud. d. Beskriv, HvorClausen storhvordan forskel er der på ditdet overslag og den nøjagtige pris? vil gerne kunne vise alle 700 sange på nummertavlen. Talsystemet d.Alfredo HvorFind stor forskel er der på dit overslag nøjagtige pris? ud af, hvor få talkort han har og brug for. 1 000om tusind han ikke hellere spørger Louis, vilden have en familiemenu, V M · id 10 000 titusind 100 000 hundredetusind som er beregnet til1 000 to000børn og to voksne. Louis overvejer Alfredos forslag. regn med store tal 21 million hvor mange talkort Clausen kan nøjes med, 1 000 000 000 milliard man, når man skyller ud i toilettet? Undersøg det. a. HvorUndersøg, meget vand bruger cifret 6 også kanden bruges som cifret 9. hver dag på toiletbesøg? På en uge? På et år? b.Opgave Hvorhvis meget vand bruger danske befolkning 2 Pizzeria Bellano c.a.Hvor meget vand bruger man på at børste tænder på en dag? På et år? betale sig for Louis atRegneregler købe familiemenuen? AtKan regnedet med tallene Der er fire regningsarter plus, minus, gange og division. Når der er flere regningsarter Begrund svar. Plus er det modsatte af dit minus. Gange er det modsatte af i samme opgave, gælder der nogle I dette kapitel skal du lære om division. regneregler. er mange måder på. skal divideres, b. Der Hvor storat regne prisforskel er der påDer deganges toogmuligheder, som Louis Hvilket tal • Man kan regne med overslag – som hovedregning. før der skal lægges sammen og • at læse og skrive storetrækkes tal.fra. Fx 367 · 3 er ca. 400 · 3 = 1200 overvejer? • Man kan regne på lommeregner. Fx 3 + 5 · 6 – 10 = 3 + 30 – 10 = 23 indeholder 1 million Lommeregneren – regn jer tæt på 1000 • Man kan på papir. •regneat afrunde store tal til fx hele millioner. c. Hvor mange børnemenuer kan du købe for prisen på en familiemenu? 3 tusinder 15 hundreder • metoder til at regne med store tal. Materialer: Lommeregner. 23 tiere og • regler for, hvordan man regner med tal. 2 enere?. Overslag og afrunding De naturlige tal • at genkende situationer fra hverdagen, hvor man bruger plus, I Alfredo skal benytte alle cifrene frabestiller 0 til Tælletallene 9. 4 børnemenuer, Når man regner i hovedet, bruger man ofte overslag. 1,2,3,4,5,6 … kalder har en kunde, der 3 voksenmenuer Man kan regne med overslag ved at afrunde tallene. man de naturlige tal. Der er gange og division. Hvert må· 20kun benyttes én gang. 4152 · ciffer 19 er næstenminus, 4000 altså ca. 80 000. uendelig mange af dem, så vi har samt 1 familiemenu. Kunden betaler kontant med en 1000 krone-seddel. 23 899 : 8 er næsten 24 000 : 10 altså ca. 2400. kun navne på nogle af dem. Man skriver nogle gange mio. for I måDerbruge alle fire regnetaster. er særlige regler, når man afrunder. millioner fx 3,2 mio. Fx brug af regneark og lommeregner • 234 556 rundet af til nærmeste 1000 bliver 235 000. Opgave 3 • 234 556 rundet af til nærmeste 10 000 bliver 230 000. a.a.Hvor tæt kan kommeskrive på 1000? Hvordan kanI Alfredo regnestykket op? 16 b. Hvor få tast behøver I ? Særligt fokus b. Hvor meget skal kunden betale? Hvor mange penge skal kunden have tilbage? I dette kapitel foreslår vi særligt fokusc.på Modelleringskompetencen. d. Vis, hvordan du regnede opgave c. regn med store tal 14 regn med store tal en o • 234 556 rundet af til nærmeste 100 bliver 234 600. Vid · M en o regn med store tal regn med store tal Hjælpemiddel V M · id 10 10 regn med store tal 17 regn med store tal Opgave 4 Modellering a. hvor Hvilken bestilling passer dette til regnestykke til af situationer og problemstillinger udenfor matema”Modellering” vedrører dels processer, matematik anvendes behandling 2 · 176 + 4 ·modeller, 44 + 5 · 68?som beskriver forhold i virkeligheden tikken dels analyse og vurdering af matematiske b. Beregn resultatet. 4.-6. klassetrin Fase 1 4.-6. klassetrin Fase 2 Eleven kan gennemføre enkle modelleringsprocesOpgave 5 ser Eleven har viden om enkle modelleringsprocesser a. Hvad bliver den samlede pris for tre børnemenuer og tre voksenmenuer? Eleven kan anvende enkle matematiske modeller Eleven har viden om enkle matematiske modeller b. Skriv det som regnestykke. c. Hvordan kan han have regnet forkert, hvis resultatet bliver 9180 kr.? En kunde køber pizzaer til en børnefødselsdag. Hun køber 24 børnemenuer. Se tidligere beskrivelse af modelleringsprocessen. Udvælg en af de to modelleringsopgaver på aktivitetsiderne. Se nærmere i den Opgave 6 indledende tekst side xx. a. Hvilket regnestykke passer til denne bestilling? b. Hvor meget skal kunden betale? Vis hvordan du regner. KOMPETENCE-FOKUS · REGN MED STORE TAL 21 regn med store tal 11 5 Regn med store tal Klassesamtale • • • • • Hvad sker der med tallet? · Hvordan skrives tallet? Hvor mange sedler tror I, der er i et bundt? Hvor mange penge er der i hvert bundt? Hvor mange bundter kan I se? Hvordan vil I regne ud, hvor mange penge der er i alt? Kan man bære en million kroner? Klasseaktivitet: Hvor mange numre? I sangforeningen Morgenrøde har man en sangbog med 700 sange. Når man mødes, har sangforeningens formand Clausen allerede sat numrene på de sange, som man skal synge op på en nummertavle. Der er altid fire sange. Han bruger talkort med cifrene 0 - 9 til at lave tallene. Se på tegningen. Clausen vil gerne kunne vise alle 700 sange på nummertavlen. Find ud af, hvor få talkort han har brug for. Undersøg, hvor mange talkort Clausen kan nøjes med, hvis cifret 6 også kan bruges som cifret 9. I dette kapitel skal du lære om • • • • • at læse og skrive store tal. at afrunde store tal til fx hele millioner. metoder til at regne med store tal. regler for, hvordan man regner med tal. at genkende situationer fra hverdagen, hvor man bruger plus, minus, gange og division. Hvilket tal indeholder 1 million 3 tusinder 15 hundreder 23 tiere og 2 enere?. regn med store tal 5 Intro Kernebogen side 4-5 Om klassesamtalen Det er formodentlig de fleste elever, der har hørt om store lottogevinster med svimlende høje tal. Spørg ind til, om eleverne kender nogen, som har vundet en stor pengesum og snak om, hvor store gevinsterne kan være. Skriv eksempler på store tal og lad eleverne læse tallene højt. Tal om positionerne i tallene og logikken i vores talsystem. Lad eleverne finde på tal, som ligger mellem 8 250 000 og 9 100 000. Skriv fem store tal op på tavlen fx 10 032 155, 4 890 031, 72 001 334, 7 200 134, 4 878 997. Bed eleverne om at sortere tallene med det mindste tal først. Lad eleverne læse tallene højt for hinanden i makkerpar eller for klassen. Fortæl denne historie til eleverne: “Et multinationalt firma har haft et overskud på 5 milliarder kroner. Forestil jer, at disse penge bliver delt ud med én 1000-kroneseddel til hver eneste, der vil stille sig op på række.” Hvor lang vil rækken blive, hvis den startede i skolegården? Hvor lang tid vil det tage at uddele pengene? Hvor høj ville stablen af 1000-kronesedler være? Bemærkning: Hvis man regner med to personer pr. meter, er der tale om en menneskekø på 2500 km, hvilket svarer til en kø i lige linje fra Danmark til Sicilien. Om fotoet Hvor mange sedler tror I, der er i et bundt? Hvor mange penge er der i hvert bundt? Hvor mange bundter kan I se? Det første spørgsmål sigter mod at gennemskue et antal sedler ikke værdien af pengene. Det er en pokerturnering i USA og det er 100 dollar sedler. I hvert bundt med papirstrimmel om er der 100 sedler á 100 22 side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL dollar, så der sammenlagt er 10 000 dollar i hvert bundt. Hvert bundt med papirstrimmel er samlet med en elastik, så der er 5 bundter, svarende til 50 000 dollar. Det er ikke helt tydeligt, hvor mange elastikbundter der er, men med lidt flytten rundt med sedlerne kan man estimere ca. 5 x 5 bundter i bunden og ca. 5 bundter i højden altså sammenlagt 125 elastikbundter a 50 000 dollar, hvilket svarer samlet til ca. 6 250 000 dollar. Man kan lade kursen på dollaren indgå som element i samtalen. I skrivende stund er den ca. 7 kr. Det vil sige, at der i alt er ca. 40 mio. danske kroner. Hvordan vil I regne ud hvor mange penge, der er i alt? Lad eleverne selv vise det for hinanden ved hjælp af fx udregning og illustration. Bed eleverne forklare deres fremgangsmåde. Lad dem komme med resultatet i både dollars og danske kroner. Kan man bære en million kroner? Lad eleverne reflektere over, hvor meget en million kroner er i pengebundter som disse. Snak med dem om en situation, hvor der er tale om bundter á ti 1000 kr. sedler. Hvor mange bundter vil det så blive til? Og dernæst den formodede vægt af disse. Måske involverer det en vægt. Hvordan vil man finde ud af det med brug af en almindelig køkkenvægt? Lad eleverne indse, at det er snedigt at måle flere sedler for at få større præcision i målingen. Nogen har undersøgt det og fundet frem til, at 1 million kroner vejer ca. 9,4 kg, hvis den bliver udbetalt i 100-kronesedler. Og den fylder 37 cm x 27 cm x 13 cm. I en anden sammenhæng har en trykker fra Nationalbanken beskrevet, at en 1000-kroneseddel vejer ca. 1,5 g. Dvs. at 1 000 000 kr. vejer 1000 · 1,5 g = 1,5 kg. Man kan udvide til en milliard – dermed fås omkring 1500 kg, hvilket gør det vanskeligt at transportere. Om klasseaktiviteten Supplerende aktiviteter Opgaven handler om at finde det nødvendige antal talkort, der er brug for. Der er følgende antal, hvor 6 og 9 er forskellige talkort. Tæl til en milliard Lad eleverne undersøge, hvor lang tid det tager at tælle til en milliard. Lad dem overveje, hvordan de vil tælle. I grupper afprøver de hinanden. De opdager formodentlig hurtigt, at de store tal tager længere tid at sige end de mindre tal. Her skal de måske have hjælp til at finde en gennemsnitlig tid. Bemærkning: Hvis det tager omkring 1 sekund pr. tal, vil det tage: (1 000 000 000 : (60 · 60 · 24 · 365)) = ca. 31 år, hvis man ellers tæller uafbrudt i 24 timer. Ciffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Antal 8 9 9 9 9 9 9 8 8 8 Nullerne: Der kan højest være to nuller i hver række. Det bliver otte muligheder. Etter – sekser: Der kan højest være et tal med det samme ciffer fx 111 – de øvrige fire her så hver 2 af det samme ciffer fx 131, 211 og 115. Det bliver samlet til 9 · 6 = 54 Syv – ni: Da der kun er op til 700 sange kan det første ciffer ikke være 7. Der må da være højest 8 muligheder fx 377, 477, 577 0g 677. Det giver 3 · 8 = 24 muligheder. Sammenlagt er der brug for 86 talkort fordelt som i tabellen. Hvis man lader 6 og 9 være det samme talkort ser fordelingen ud sådan her: Tegn en tidslinje Begivenhed Antal år siden Tidslinje Solen opstår 5 000 000 000 5 km Jorden opstår 4 500 000 000 4,5 km Det første liv 600 000 000 600 m De første landdyr 350 000 000 350 m De første dinosaurer 150 000 000 150 m De første pattedyr 80 000 000 80 m Ciffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 De første menneskeaber 30 000 000 30 m Antal 8 9 9 9 9 9 9 8 8 8 De første mennesker 1 000 000 1m I denne situation er der kun brug for 81 talkort. It og GeoGebra – Hvad sker der med tallet? Hvordan skrives tallet? Denne GeoGebra-fil kan bruges til fælles gennemgang af store tal. Hvordan læses de? Hvad sker der, når man lægger 100 000 til? Filen kan bruges som demofil, en indledning til at snakke om ”store” tal eller som en øve-opgave, da eleverne får respons, når de vælger rigtigt. Indled aktiviteten med en snak i klassen om: · Hvor mange år siden, tror I, det er, at jorden blev dannet? · Hvornår kom de første mennesker til? · Hvordan kan man fremstille en illustration af jordens udvikling? Vi har valgt at lade 1 mia svare til 1 km og dermed 1 mio svare til 10 m Lad eleverne arbejde sammen i makkerpar om at udtænke deres egen tidslinje i området omkring skolen. side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL 23 Opgave 8 a. Hvor mange indbyggere bor der i København? b. Hvor mange vil der bo i København, hvis der bor 1000 flere? c. Hvor mange vil der bo, hvis der bor 100 000 flere? d. Hvor mange vil der bo, hvis der bor 10 gange flere? Silje ønsker at gøre oplysningerne mere overskuelige, så indbyggertallet er nemmere at aflæse. Hun afrunder derfor indbyggertallet til hele millioner fx hvis der i en hovedstad bor 1 364 422 mennesker, kan det afrundes til ca. 1 000 000. Opgave 4 a. Hvor stor er forskellen på antal indbyggere i de to hovedstæder med flest og færrest indbyggere? b. Nævn nogle hovedstæder, som har næsten lige mange indbyggere. c. Hvilke hovedstæder har mellem 3 mio. og 4 mio. indbyggere? d. Hvilken hovedstad ligger tættest på en million otte hundrede tusinde indbyggere? Europas hovedstæder Afrund tallene I Siljes klasse har de emnedage om Europas hovedstæder. De har set en tv-udsendelse om hovedstæderne i Europa, hvor man fortalte om byernes forskelle og ligheder, begivenheder og historie. Silje er lidt i tvivl om de tal, hun har fundet, også er de rigtige. Hun vælger derfor at undersøge, hvad hun kan finde på nettet. Maria, Siljes klasselærer, har på internettet fundet en oversigt over Europas hovedstæder og byernes indbyggertal. Opgave 6 a. Gå på nettet og find forskellige steder, hvor de skriver om indbyggertallet for London. b. Hvorfor tror du, at indbyggertallet for London er forskelligt på nettet? c. Hvor stor er forskellen i de oplyste indbyggertal? Opgave 2 a. Find indbyggertallene for Europas hovedstæder. Brug hjælpearket ”Europas hovedstæder” fra hjemmesiden. b. Sammenlign de fundne indbyggertal med dine gæt fra opgave 1. Europas hovedstæder Opgave 3 a. Gør skemaet i regnearket færdigt. Brug tallene fra opgave 2. b. Sorter hovedstæderne efter indbyggertal. 6 Prag Hovedstad Opgave 5 a. Hvilken hovedstads indbyggertal er tættest på Københavns indbyggertal? b. Beregn forskellen. c. Passer det, at Rom har cirka en fjerdedel af de indbyggere, som bor i London, men omtrent dobbelt så mange som København? Begrund dit svar. Opgave 1 a. Hvad afgør om en by er en hovedstad? b. Skriv navnene på de europæiske hovedstæder, du kender. c. Gæt på hovedstædernes indbyggertal og noter dine gæt. Indbyggertal Indbyggertal afrundet til millioner Opgave 9 a. Afrund indbyggertallene fra de fem største og fem mindste hovedstæder til hele millioner. Se skemaet i opgave 2. b. Kig på Reykjavik, Islands hovedstad. Forklar, hvorfor afrundingen af indbyggertallet bliver speciel. Silje beslutter at gøre tallene mere præcise. Hun afrunder derfor alle indbyggertallene til 100-tusinder i stedet for millioner. Hovedstad Indbyggertal Indbyggertal i 100-tusinder Amsterdam Rom Berlin Madrid London Paris Silje vil lave sit eget diagram med de syv populære hovedstæder. Opgave 11 Populære hovedstæder a. Beregn indbyggertallene for de syv hovedstæder, hvis 1 mm = 100 000 indbyggere. b. Fremstil et diagram på papir, som viser indbyggertallene. c. Tegn en passende tallinje og vis med pile, hvor indbyggertallene til de syv hovedstæder ligger. d. Fremstil et diagram i et regneark, som viser indbyggertallene for de syv hovedstæder. Opgave 12 a. Tegn en tallinje 0 - 1 million. Indsæt interval på 50 000 for hver centimeter. b. Indsæt på tallinjen de fem hovedstæder fra skemaet i opgave 3 med færrest indbyggere. Udfordringen Silje har svært ved at forestille sig, hvor mange mennesker der egentlig bor i København. Hun forestiller sig derfor, at alle byens indbyggere stiller sig op i en række. Silje afsætter 1 m pr. person. Opgave 10 a. Afrund indbyggertallene i de samme hovedstæder til 100-tusinder. Se hjælpearket fra opgave 2. b. Hvilken afrunding vil du vælge, hvis du skal fortælle en ven hvor mange indbyggere, der er i de fem største hovedstæder? Begrund dit svar. Opgave 7 a. I år 2012 boede der i Sveriges hovedstad Stockholm ca. en million tre hundrede og halvfjerds tusinde indbyggerne. Skriv tallet. b. I Finlands hovedstad Helsinki boede der ca. 1 060 000 indbyggere. Skriv tallet med bogstaver. c. I Athen bor der i dag ca. 3,07 mio. indbyggere. Skriv tallet helt ud. regn med store tal Turistmagasinet ”Rundt i Europa” har udvalgt syv af Europas mest besøgte hovedstæder: Amsterdam, Madrid, Berlin, London, Paris, Prag og Rom. Magasinet har sammenlignet byernes indbyggertal, som du kan se på tegningen her. regn med store tal 7 8 a. Hvor lang vil rækken af mennesker blive i meter? I kilometer? b. Kig på et Europakort. Hvor i Europa kan rækken af mennesker ende, hvis den starter i København? Beskriv tre forskellige forslag. c. Hvor lang vil rækken blive, hvis der stod 3 mennesker for hver meter? 5 mennesker for hver meter? regn med store tal regn med store tal 9 Europas hovedstæder Kernebogen side 6 - 9 Læringsmål Eleverne kan • sortere store tal efter størrelse. • læse og skrive store tal. • foretage hensigtsmæssige afrundinger med store tal. • addere og subtrahere med store tal. • bruge positionssystemet til at beskrive og sammenligne størrelsen på store tal. Faglige og metodiske kommentarer Eleverne arbejder her med store tal og sammenligning mellem store tal. I vores afsøgning af indbyggertallene på de enkelte hovedstæder har vi konstateret større forskelle.Vi har derfor valgt det tal som beskrives som "city" i FNs databank (www.undata.dk) - forstået som bydelen og ikke regionen knyttet til byen. Det er tal som er opgivet inden for årene 2012 - 14. I disse indledende opgaver er det anbefalelsesværdigt at arbejde ud fra disse tal, så der kan sammenlignes mellem elevernes resultater. Tallene kan hentes fra et hjælpeark fra hjemmesiden. I opgave 6 beder vi eleverne selv søge på nettet, hvad de kan finde af forskellige indbyggertal på nettet. Senere i scenariet vil eleverne blive stillet i en valgsituation, hvor de skal tage stilling til dilemmaet mellem nøjagtighed og overskuelighed, når der afrundes. Skal tallene fx afrundes til 10 000 eller 1 000 000? Hvad er bedst? Eleverne skal kunne overskue store tal og placere dem i størrelsesorden. I samtalerne om løsningen af opgaverne må eleverne rent sprogligt forholde sig til, hvordan man siger store tal. Kommentarer til opgaver og IT It og GeoGebra – Afrund tallene Denne fil er en demo-fil til at genopfriske afrunding, inden eleverne senere skal i gang med selve afrundingsopgaverne i scenariet omkring Europas hovedstæder. Opgave 1 Definitionen på en hovedstad er den by, hvor regeringen har til huse – dog med enkelte undtagelser. Fx anser man hovedstaden i Holland for at være Amsterdam, selvom regeringen holder til i Haag. Hvis eleverne har tilgang til atlas eller internettet, kan de supplere deres viden med nærmere undersøgelse i disse. På hjælpeark på hjemmesiden er udvalgte 24 side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL hovedstæder skrevet ind på et Europakort. Opgaven er tænkt som en opvarmning på de følgende opgaver. Den kan evt. løses sammen i klassen, hvor der er mulighed for at nogle af eleverne kan fortælle om ferieoplevelser el. lign. fra besøg i forskellige af disse hovedstæder. Opgave 2 – 4 Opgaverne her går ud på at aflæse i tabellen på hjælpeark for at sammenligne og sortere indbyggertallene for hovedstæderne. Eleverne skal forholde sig til forskellen mellem store tal og forsøge at tænke i regnestrategier fx en fylde op metode. Læg i opgave 4 op til, at eleverne kan systematisere deres undersøgelse frem for at arbejde sig slavisk igennem tallene. Hjælp evt. eleverne med, hvad det vil sige at have næsten lige mange indbyggere. Til opgave 4 c kan det være en god ide at vise en tallinje og derigennem snakke om hvilke tal der ligger mellem 3 mio. og 4 mio. IT og regneark - Europas hovedstæder I denne fil rettes fokus mod funktioner som at omforme tal fx ved brug af enheden mio, eller anvendelse af punktum til at skille cifrene så de nemmere kan aflæses. Derudover genopfriskes det for eleverne, hvordan man kan tegne et pindediagram. Ny funktion: Sortering præsenteres. Opgave 5 Gennem afrunding og overslag kan det ses, at Roms 2,2 mio. indbyggere er ca. 4 gange Københavns ca. 0,56 mio. indbyggere. Londons 8,6 mio. indbyggere er ca. fire gange så stor som Roms indbyggere. Opgave 6 Denne opgave ligger op til snakken om at være kildekritisk, når man søger oplysninger på nettet. Eleverne skal her overveje og reflektere over årsager til, at indbyggertallet kan være optræde forskelligt. Det kan her være relevant at tale med eleverne om hvor stort et område som indgår i afgrænsningen af indbyggertallet for en hovedstad fx om forstæder tælles med eller ej. Opgave 7 – 8 I disse opgaver fokuseres på elevernes forståelse af store tal, når tallet skrives med såvel bogstaver som talsymbol. Elevernes positionssystems-forståelse er i opgave 8 omdrejningspunkt for at kunne besvare opgaven. Opgave 9 – 10 Opgaverne her omhandler afrunding til først millioner derefter til 100-tusinder. Eleverne skal gerne gennem besvarelserne i opgave 9 blive opmærksomme på, at afrundingen til hele millioner kan være voldsom og have store konsekvenser for indsigten i hovedstædernes indbyggertal. Tag fx Madrid med 3 220 387 indbyggere som afrundes til 3 000 000 eller Tirana med 418 495 indbyggere som afrundes til 0. De skal gøre sig overvejelser om forskellen i afrundet svar til millioner og til 100-tusinder. At svare på ”hvad der er bedst” afhænger af situationen. It og regneark - Store tal I denne opgave får eleverne mere frit spil. Her skal de anskueliggøre en top 10, hvori der indgår store tal. Resultatet kan være en traditionel planche eller en it-udgave på computeren. Opgave 11 - 12 Begge opgaver handler her om, hvordan store tal kan databehandles og vises på en overskuelig og letaflæselig måde fx via diagram eller tallinje. "Magasinet" har valgt at opgøre indbyggertallet på en anden måde, som indbyggertal knyttet til by og omegn. Det er derfor ikke sammenligneligt med tidligere tal. Disse tal er afrundet til Prag 1 200 000, Amsterdam 1 400 00, Rom 2 800 000, Berlin 6 000 000, Madrid 6 600 000, London 12 400 000 og Paris 12 600 000 VIGTIGT: I 1. udgave, 1. oplag 2015 skulle der have stået 1 mm = 200 000 indbyggere. I opgave 11.c skal der tegnes en passende tallinje. En passende tallinje kan fx være, hvis 1 cm = 500 000 indbyggere. It og GeoGebra – Populære hovedstæder Funktioner til at tegne ”linjestykker med pile” introduceres. Der benyttes tallinjer, hvor tallene ikke er skrevet helt ud, altså 9 i stedet for 9 000 000. Blandingen af billeder, tal og tallinje er forøvelsen til en mere selvstændig opgave. Udfordringen Formålet med denne opgave er at visualisere store tal. Inden eleverne går i gang med denne opgave, kan det være hensigtsmæssigt at tale om målestoksforholdet på de kort, de har fundet og valgt at arbejde med. De kan fx anvende hjælpearket med Europakortet, hvorpå hovedstæderne er indtegnet. Det skal også afklares om rækken af mennesker skal være i fugleflugtslinje og om den må gå over vand osv. Lad eleverne selv vælge en løsning og lad dem argumentere for deres valg. side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL 25 Ida er sendt til Bellano af sin far for at købe pizzaer. Hun har fået 300 kr. med og må bruge dem alle. Alfredo spørger Louis, om han ikke hellere vil have en familiemenu, som er beregnet til to børn og to voksne. Louis overvejer Alfredos forslag. Opgave 7 a. Hvad kan Ida købe for de 300 kr.? Giv mindst to forslag og beregn, hvad der bliver tilbage af de 300 kr. b. Hvor tæt kan du komme på at bruge alle 300 kr.? Opgave 2 Pizzeria Bellano a. Kan det betale sig for Louis at købe familiemenuen? Begrund dit svar. b. Hvor stor prisforskel er der på de to muligheder, som Louis overvejer? c. Hvor mange børnemenuer kan du købe for prisen på en familiemenu? Midt i travlheden har Alfredo taget imod penge fra en kunde, men glemt at skrive ned, hvad kunden bestilte. Opgave 8 Hvad kan kunden have bestilt, hvis der på regningen står 448 kr.? Alfredo har en bestilling på 27 voksenmenuer. Kasseapparatet er gået i stykker, så han må regne prisen ud på papir. Han får det til 1836 kr. Opgave 3 a. Hvordan kan Alfredo skrive regnestykket op? b. Hvor meget skal kunden betale? c. Hvor mange penge skal kunden have tilbage? d. Vis, hvordan du regnede opgave c. Alfredo er den stolte ejer af Pizzaria Bellano i Sandør. Bellano er populær både blandt byens lokale beboere og blandt turister. Pizzaria Bellano er kendt for sine gode og billige pizzamenuer. Louis er stamkunde hos Bellano. I dag køber han til sin familie to børnemenuer og to voksenmenuer. Opgave 1 a. Giv et overslag på den samlede pris, som Louis skal betale, og beskriv, hvordan du gjorde. b. Hvor meget skal Louis præcist betale? c. Beskriv, hvordan du regnede det ud. d. Hvor stor forskel er der på dit overslag og den nøjagtige pris? 10 Opgave 11 a. Hvor mange drikkepenge får hver? Vis, hvordan du regner. b. Hvor mange drikkepenge er der kommet ind en aften, hvor de hver har fået 483 kr.? Vis din udregning. Line og hendes fem venner har fået en fælles regning på 1008 kr. Alfredo har en kunde, der bestiller 4 børnemenuer, 3 voksenmenuer samt 1 familiemenu. Kunden betaler kontant med en 1000 krone-seddel. Pizzaria Bellano Det har været en travl, men god dag i Pizzaria Bellano. Efter lukketid tæller de ansatte drikkepengene op. Der er i alt 1348 kr. De er fire ansatte om at dele drikkepengene. Opgave 12 a. Hvor meget skal hver gæst betale, hvis de splitter regningen lige over? b. Vis, hvordan du regner. Lines ven Per foreslår, at de andre bare kan betale 100 kr. hver, så betaler han resten samt lægger 125 kr. i drikkepenge. Opgave 4 a. Hvilken bestilling passer dette regnestykke til 2 · 176 + 4 · 44 + 5 · 68? b. Beregn resultatet. Opgave 13 Hvor meget skal Per så betale? Vis din udregning. Opgave 5 a. Hvad bliver den samlede pris for tre børnemenuer og tre voksenmenuer? b. Skriv det som regnestykke. c. Hvordan kan han have regnet forkert, hvis resultatet bliver 9180 kr.? Opgave 9 a. Kontroller om Alfredo har regnet rigtigt. Vis, hvordan du ville regne det. b. Hvordan havde regnestykket set ud, hvis det havde været familiemenuer? Udfordringen En kunde køber pizzaer til en børnefødselsdag. Hun køber 24 børnemenuer. Opgave 10 a. Hvordan havde Alfredos regnestykke set ud, hvis det havde været 35 voksenmenuer? b. Hvor meget skulle kunden så have betalt? a. Hvor meget lyder regningen nu på, som Lines venner skal dele? b. Giv et overslag på, hvor meget Lines venner hver især skal betale uden drikkepenge. c. Hvor mange penge skal de hver især præcist betale med drikkepenge? Vis, hvordan du regner. Opgave 6 a. Hvilket regnestykke passer til denne bestilling? b. Hvor meget skal kunden betale? Vis hvordan du regner. regn med store tal regn med store tal 11 12 regn med store tal Pizzaria Bellano Kernebogen side 10 - 13 Eleverne kan • afgøre, hvornår man skal addere, subtrahere, multiplicere og dividere i en hverdagsøkonomisk kontekst • anvende regnehierarkierne inden for de hele tal. • regne med overslag. • benytte en hensigtsmæssig regnealgoritme inden for multiplikation og division. Faglige og metodiske kommentarer Udgangspunktet for dette scenarie er opgaver og problemstillinger knyttet til brugen af alle fire regningsarter inden for de naturlige tal. Konteksten omkring Pizzaria Bellano er formodentlig genkendelig og eleverne skulle gerne kunne nikke genkendende til hverdagsøkonomisk situationerne omkring køb, betaling, drikkepenge osv. Via problemstillingerne skal eleverne overveje, hvilke regneudtryk der passer og hvordan de bedst udregnes. I opgaverne i dette scenarie inddrages både lommeregner-regning, papirregning og hovedregning. I flere tilfælde vil eleverne med rette kunne konstatere, at lidt fornuftig hovedregning kan klare mange opgaver. Det er helt bevidst og bør også indgå i den løbende dialog med eleverne, når opgaverne i scenariet forløber. Det er ikke altid det hurtigste at bruge lommeregneren. Eleverne skal også tage stilling til brug af overslag i scenariet. Eleverne kan undervejs vælge de metoder til beregning, de mener, der er mest hensigtsmæssige. Som opsamling kan man lade eleverne regne nogle af opgaverne på forskellige måder, så de oplever såvel hovedregning som skriftlig regning og lommeregnerregning. Lommeregnerens muligheder og begrænsninger skal eleverne kende til. De skal bl.a. være opmærksomme på, om den regner efter det hierarkiske system (AOS). Et stykke som 4 + 2 · 3 giver fejlagtigt 18 på nogle lommeregnere (de billige uden regnehierarki) og giver det rigtige resultat 10 på andre. Eleverne skal undervejs i dette scenarie genopfriske og raffinere deres algoritmer fortrinsvis for division og multiplikation. Lad dem demonstrere evt. overfor hinanden, hvordan de arbejder med deres algoritmer. 26 side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL Line vil ikke dele regningen lige med sine venner, da hun kun har købt for 113 kr. De bliver derfor enige om, at hun betaler 113 kr. og så deles de andre ligeligt om at betale resten. Alle lægger hver 30 kr. i drikkepenge til Alfredo. regn med store tal 13 Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 I denne opgave skal eleverne tage stilling til brug af overslag. Lad dem tænke over, hvornår det er smart at bruge overslag, og hvornår det ikke giver mening. Opgave 2 Eleverne skal her sammenligne priser og tage stilling til, hvad der bedst kan betale sig at købe. Lad eleverne reflektere over, hvorfor man mon ikke holder sig til én størrelse pizza og dermed en pris. Hvad kan der være af fordele og ulemper ved de tre menuers størrelse og pris – fordele for kunderne? Fordele for Alfredo? It og regneark – Pizzaria Bellano I denne opgave skal eleverne udforme et regneark til at finde prisen på bestilling af pizzaer. Eleverne skal erfare, at regnearket kan være en hjælp til at sammenligne menuers pris og til at finde ud af, hvad der bedst kan svare sig at købe. Opgave 3 – 6 Alle disse opgaver tager på den ene eller den anden måde afsæt i brug og valg af regneoperationer. Eleverne skal her tage stilling til brug af regneudtryk og derved arbejde med regnehierarkierne. Eleverne skal anvende de regnehierarkiske regler. De skal vide, at man skal gange og dividere før man lægger til eller trækker fra. De skal således i opgave 5 opdage, at Alfredo har glemt denne regneregel. Han har bare regnet fra venstre mod højre og sagt 3 · 44 er 132, 132 + 3 er 135 og 135 · 68 er 9180 kr. Det rigtige svar er 336 kr. I disse opgaver er der lagt op til, at eleverne skal begrunde deres svar og vise, hvordan de regner. forklaring deres valg. Gør dem opmærksomme på, at de i opgave 7 skal så tæt som muligt på at bruge alle 300 kr. I opgave 8 er der krav om, at de præcis skal bruge 448 kr. Opgaverne lægger op til forskellige overvejelser om sammensætningen/fordelingen af henholdsvis børne-, voksenog familiemenuer. Opgave 9 – 10 I begge disse opgaver er fokus på multiplikation af tocifret tal gange tocifret og valg af algoritme. Lad eleverne demonstrere, hvordan de arbejder med deres multiplikationsalgoritme. Det kan som i eksemplet på side 12 være en god ide at anvende opstillinger, hvor man spalter/kløver gangestykket. Opgave 11 Det handler om drikkepenge og i den sammenhæng skal eleverne bruge division. Lad dem forklare og vise deres divisionsalgoritme for hinanden. Det afgørende i denne opgave er, at eleverne noterer, hvordan de regner. Selve udregningen, opstillingen og valget heraf er udgangspunkt for samtalen om denne opgave. Opgave 12 - 13 Med udgangspunkt i en regning på 1008 kr. skal eleverne vælge regningsart og vise hvordan de regner sig frem til et svar. Udfordringen I denne opgave skal flere regningsarter i spil og eleverne skal vise at de kan anvende regnehierarkierne. Opgave 7 - 8 Dette er begge åbne opgaver med flere svarmuligheder. Lad eleverne illustrere vha. tegning, udregning og mundtlig side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL 27 AKTIVITETER Vandforbrug Materialer: Ur, måleglas, litermål m.m. Kom tæt på 0 Vandforbrug Materialer: Lommeregner. Start med, at lommeregneren viser 1000. I må bruge alle fire regnetaster. I skal benytte alle cifrene fra 0 til 9, men hvert ciffer må kun benyttes én gang. a. Hvor tæt kan I komme på 0? b. Hvor få tast behøver I? c. Prøv at finde en god regel for, hvordan I nemt når 0. a. Hvor meget vand bruger man, når man skyller ud i toilettet? Undersøg det. b. Hvor meget vand bruger den danske befolkning hver dag på toiletbesøg? På en uge? På et år? c. Hvor meget vand bruger man på at børste tænder på en dag? På et år? Lommeregneren – regn jer tæt på 1000 Materialer: Lommeregner. I skal benytte alle cifrene fra 0 til 9. Hvert ciffer må kun benyttes én gang. I må bruge alle fire regnetaster. a. Hvor tæt kan I komme på 1000? b. Hvor få tast behøver I ? Start et hundeluftningsfirma I skal starte jeres egen hundeluftningsfirma. Inden I starter firmaet, skal I gøre jer en række overvejelser over, hvordan I vil organisere arbejdet, hvilke priser der er, og hvordan I vil fordele indtægten mellem jer. Giv firmaet et navn og aftal, hvor mange der er med. I kan overveje følgende: • Skal det være en bestemt pris pr. gåtur eller fx en fast ugepris? • Hvor tit skal hundene luftes? • Hvor mange hunde kan I gå med af gangen? • Er der forskel i prisen på de forskellige hunde? • Er der forskel på prisen efter hvor lang gåturen er? • Hvilke udgifter er der i Hundeluftningsfirmaet? Fremstil evt. et budget for den første måned. • Skal indtægten fordeles ligeligt mellem jer eller …? • Andre ting … Præsenter jeres valg for resten af klassen. 14 regn med store tal regn med store tal 15 Aktiviteter Kernebogen side 14 - 15 Materialer: Ur, måleglas, litermål m.m. Vandforbrug Denne modelleringsopgave ligger med sin åbne form op til, at eleverne skal i gang med at undersøge vandforbrug både ved toiletbesøg og ved tandbørstning. Eleverne kan opfordres til både at finde oplysninger herom på nettet og evt. konkret at prøve det efter. Det er centralt i en modelleringsproces at afgøre hvilke elementer (vaiable) som er væsentlige at inddrage i en model for vandforbruget. Skal den langsomme udsivning indgå. Når hanerne løber, vaskemaskinen kører og toiletterne skyller, render der mere vand gennem systemet, end man lige går rundt og tror – men er det så meget at det bør indgå. Er det den samme mængde vand som udtrækkes efter et besøg på toilettet? Er der forskel på de forskellige toiletkummer? Er der både tale om små og store skyl? Hvordan målet vi antal besøg? Osv. Vi har her en række hjælpetal: • Vandforbruget for én person er gennemsnitligt 130 liter i døgnet – det bliver til 46 m3 om året. • En stor del af vandforbruget i hjemmet går til toiletskyl, især hvis det er ældre toiletter. • Helt gamle toiletter med en cisterne der hænger højt på væggen bruger 12 liter vand eller mere pr. skyl. • Ældre toiletter, hvor cisterne og wc-kumme er bygget sammen (normalt i dag) bruger ca. 9 liter pr. skyl – nogle en del mere. • Nyere toiletter bruger ca. 6 liter pr. skyl. • Toiletter med 2-skylsknap bruger typisk 3 liter til lille skyl og 6 liter til stort skyl Vil man undersøge mængden af vand i cisternen, kan man fx have glæde af en hævertvirkning så vandet via en plastslange kan tømmes over i et fad. Det kan så efterfølgende måles med litermål. Ofte tænker man ikke over, hvor meget vand man bruger under tandbørstning. Tandbørstning med rindende vand (2 x 3 min. dagligt) svarer til ca. 21 m³ vand pr. år Regnearket omhandlende vandforbrug tager udgangspunkt i en familie Jensens vandforbrug i forhold til wc-skyl. Ved hjælp af regnearket kan vandforbruget sammenlignes. Det kan være en fordel at indlede aktiviteten om vandforbrug med dette regneark, da det kan være en hjælp for nogle elever til, hvorledes de skal angribe denne åbne modelleringsopgave. 28 side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL Materialer: Lommeregner Lommeregneren – regn jer tæt på 1000 Kom tæt på 0 I begge disse aktiviteter skal eleverne som en naturlig forlængelse af afsnittets fokus på beregning bruge deres lommeregner til problemløsning af talgrublerier. Et eksempel på tæt på 1000 er: 9 · 8 · 7 · 2 – 5 – 3 – 4 · 1 · 0 = 1000. Et eksempel på tæt på 0 er: 1000 : 5 : 4 – 8 · 6 – 7 + 3 + 2 · 1 = 0 Er der stadig sider af lommeregneren, som eleverne ikke er fortrolige med, kan det evt. indgå i denne aktivitet. Det er fx værd at kontrollere, om elever med visse lommeregnere kan anvende Memory-knappen. Der er også en mulighed for at lade eleverne sammenligne, hvordan deres forskellige lommeregnere regner. Start et hundeluftningsfirma I denne aktivitet arbejder eleverne med modelleringskompetencen, som ved Vandforbrug. Da det kan være en tidsforbrugende aktivitet bør eleverne vælge mellem denne og den tidligere opgave. Igen er det centralt, at eleverne fokuserer på indkredsningen af de faktorer, som er centrale for at kunne beskrive en god forretningsmodel for et hundeluftningsfirma. Eleverne skal således forholde sig til indtægt i forhold til udgifter og til det sidste fx indtænke deres egen timeløn og arbejdsbyrde. Det skal føre til en prissættelse af, hvad man skal betale for en hundeluftning, hvor lang tid det er osv. Lad endelig eleverne få frit spil men det kan være en fordel at lave et par ophold i arbejdet så de forskellige grupper kan inspirere hinanden omkring de overvejelser man har gjort sig. side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL 29 asse er der 252 appelsiner, som skal fordeles dre poser. Der skal være lige mange appelsiner pose. vor mange forskellige muligheder er der? vilke af mulighederne er realistiske? ds bil kører 13 km på er benzin. koster det Alfred re km? km? 4 km? e tal skal der stå et for smålstegnene? EFTERTANKEN Hvorfor det? a. Hvorfor kan et gangestykke skrives som et plusstykke? Vis et eksempel. b. Hvorfor kan et divisionsstykke skrives som et minusstykke? Vis et eksempel. c. Hvorfor er det rigtigt, at 3 489 796 kan afrundes til 3 000 000? Giv en historie Skriv en historie, hvor mindst 3 regningsarter indgår. Vis det Fremstil en kort film, hvor du forklarer, hvordan du regner: a. 31 · 56 b. 3670 : 5 år vil det på dagen efter min fødselsdag være kt at sige ”dagen efter i morgen er en onsdag.” en dag har jeg fødselsdag? er et tal, der er det samme, når du læser det og bagfra. e af de følgende tal er ikke det? 93 b. 2424 c. 2112 888 e. 191 f. 321321 har 9 hundrede-kroner, 9 ti-kroner og -kroner. Hvor mange penge har Asger i alt? Skriv selv Brug dine egne ord. Tegn, skriv, forklar og giv eksempler. • Giv et eksempel på, hvordan du lægger sammen, trækker fra, ganger og dividerer. • Hvilke regneregler er der, når man i samme regnestykke både skal +,–, · og : Giv eksempler. • Hvordan vil du afrunde 14 483 097 til hele 100-tusinder? Til hele millioner? • Giv et overslag på regnestykket 49 – 31. • Vis, hvordan du dividerer 3416 med 8. regn med store tal 21 Eftertanken Kernebogen side 21 Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: • De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. • Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. • Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Se hjemmesiden. Evalueringsarket består af to sider. - Første side er færdighedsregning med udvalgte opgaver, som kan afsløre elevernes misopfattelser. - Anden side er problemregning, som er mere kontekstorienterede, og hvor der skal udvises en større problemløsningsadfærd. • Et observations – og ”Tegn på læring”sark, som angiver adfærd hos eleverne, der kan bruges til vurdering af målopfyldelsen. Se hjemmesiden. Hvorfor det? I denne opgave arbejder eleverne med kommunikationskompetencen og ræsonnementskompetencen. Eleverne skal forsøge at forklare deres svar vha. ” … fordi…” og samtidig også vise/illustrere deres forklaring gennem et eksempel. Der samles således op på den viden, eleverne har fået præsenteret. Opgaven her er at skabe en sproglig formulering af deres viden. Eleverne skal vide at gange er forløbende addition og division er fortløbende subtraktion, ligesom de skal kende til reglen omkring afrunding. 30 side til side-vejledning · REGN MED STORE TAL Giv en historie Eleverne skal her fremstille en historie, hvori tre regningsarter indgår. Vær opmærksom på, at det ikke er et spørgsmål men en beskrivelse af en situation, noget eller nogen. Der sættes fokus på elevernes forståelse og brug af regnehierarkiet og dets regler. Vis det I denne eftertankeopgave arbejder eleverne med udgangspunkt i kommunikationskompetencen. De skal vise, forklare og eksemplificere deres valgte multiplikationsalgoritme samt divisionsalgoritme. Brøker 31 Om brøker Kernebogen side 22 - 41 Fælles Mål Tal Fase 1 Regne strategier Fase 2 Eleverne kan anvende decimaltal og brøker i hverdagssituationer Eleven har viden om brøkbegrebet og decimaltals opbygning i titalssystemet Eleven kan udvikle metoder til beregninger med decimaltal, enkle brøker og negative tal Eleven har viden om strategier til beregninger med decimaltal, enkle brøker og negative tal Brøker er svært stof Dette kapitel bygger videre på det arbejde, der er foregået i 4. klasse. I kapitlet arbejdes der med ægte brøker, uægte brøker samt blandede tal. Begrundelsen for at arbejde dybere med brøker er primært et ønske om, at udvikle elevernes talforståelse. Vi finder belæg for arbejdet i den fagdidaktiske forskning, der viser, at arbejdet med brøker og brøktal generelt understøtter elevernes læring i matematik. Et stort forskningsprojekt har vist, at viden om brøker hos elever på 10 år tydeligt forudsiger deres præstationer generelt i matematik som 16-årige. Arbejdet med brøker vil ligeledes være en støtte for eleverne, når de skal til at lære om algebra, fordi de teknikker man anvender, går igen i dele af algebraen og i arbejdet med formler, som fx formlen på en trekant 1 · h · g. 2 Brøkbegrebet kan stadig være en gåde for mange, fx at 41 er mindre end 31 , idet “4 jo er større end 3”. Sådanne misopfattelser er ganske almindelige selv sent i skoleforløbet – og 32 OM BRØKER senere i ens voksenlivet. Det betyder derfor, at man skal bevare tålmodigheden, idet mange elever skal have meget god tid og flere varierende gentagelser, før de har en tilstrækkelig solid erkendelse. En af de centrale abstraktioner er, at forstå forskellen på de to fremtrædelsesformer, brøktallene optræder i. Fx kan brøktallet 41 opfattes som en fast position på tallinjen, eller det kan opfattes som repræsenterende en del af en defineret helhed, fx 41 af denne A4-side. I den sidste sammenhæng vil størrelsen variere efter, hvad helheden er. I den første sammenhæng vil 41 ligge fast på det samme sted tallinjen. En anden central abstraktion er forståelsen af, at der ofte skal samme nævner til for at kunne sammenligne brøktal. Det kan her være en hjælp at finde mange eksempler på hvilke tal, som indgår i flere gangetabeller, fx at 36 indgår i 2-, 4-, 6- og 9-tabellen. Mange forskellige geometriske eksempler er også læringsfremmende. Ved en sammenligning af hvilket brøktal der er størst, fx 25 eller 31 , kan det være en hjælp at arbejde med forskellige geometriske repræsentationer. En del af fællesnævnerproblematikken er knyttet til regneprocessen at forlænge en brøk. Umiddelbart et upassende ord for noget som netop IKKE forlænges, men blot omskrives – til gengæld er den modsatte proces “at forkorte” en logisk konsekvens af førnævnte. Det skal overvejes, hvornår og hvor meget denne regneproces skal fylde til fordel for den geometriske tilgang til fænomenet. Risikoen for, at der opstår en ikke reflekteret remse, som “Man ganger tæller og nævner med det samme tal”, er overhængende. Brøk som division Brøker kan forstås som en division. Eleverne erfarer, at talemåden a over b kan skrives som brøken ba , hvilket er det sammen som divisionen a : b fx at 2 over 4 er det samme som 42 , som igen er det samme som 2 : 4. Denne ide anvendes som division med rest, når man arbejder med uægte brøker og blandede tal. Fx er 8 over 6 det sammen som 68 , der kan skrives som regnestykket 8 : 6 = 1 62 Brøk som division anvendes ligeledes, når man omsætter brøker til decimaltal. Fx er 83 = 3 : 8 = 0,375. Uægte brøker Arbejdet med uægte brøker – hvor tælleren er større end nævneren - danner overgangen til blandede tal. Her er det vigtigt, at eleverne forstår relationen mellem uægte brøker og blandede tal, og hvordan man omsætter uægte brøker til blandede tal og omvendt. Fx at 21 + 21 + 21 = 23 . Det er hensigtsmæssigt at understøtte arbejdet med konkrete repræsentationer. Blandede tal Et blandet tal er en kombination af et naturligt helt tal og en ægte brøk. Det er vigtigt her at være opmærksom på, hvad det er for en historie, der bliver fortalt med et blandet tal. Fx, hvis Lisa har to hele æbler og et halvt æble, så kan det skrives som 2 + 21 æble eller 2 21 æble. Man kan koble blandede tal til konkrete hændelser, så eleverne forstår, at det er et ”skjult” additionstegn, der står mellem tallet og brøken og ikke et ”skjult” multiplikationstegn. Blandede tal er ikke så stor en del af hverdagen, som det har været tidligere, men da det er en del af en samlet brøktalsforståelse, har vi valgt at gøre noget ekstra ved det. OM BRØKER 33 Det har været et dårligt frugt- og bærår, så priserne er steget meget på nogle af Lucas’ tærtestykker. Det betyder, at • Vindruestykket koster 2 kr. • Brombærstykket koster 5 kr. • Jordbærstykket koster 9 kr. • Ananasstykket koster 12 kr. Kompetence-fokus Kernebogen side 22 - 41 33 san svømmer en bane på 29 103 sekunder. Clara ømmer den samme længde på 33 109 sekunder. or meget hurtigere var Susan end Clara? Opgave Magnus 14 går 1 41 km til skole. Amir går 1 23 km til a. Tegn fire Maxitærter. Hver bestå af en slags frugt. skole. Hvor meget længere gårtærte Amirmå endkun Magnus b. Beregn priserne på hver tærte. for at komme i skole? c. Hvilken slags frugt, mener du, er dyrest? Hvorfor? 34 xx – xx om de matematiske kompetencer vil de seks kompetencer indgå på tværs af Som det kan læses i de indledende side a og Line var udearbejdet at fiske. Line 2 21De kg vil såledesEtgennem bræt er 128 Hvor stortyper en brøkdel er medfangede kapitlet. decm. forskellige af opgaver og aktiviteter uvilkårligt udsættes for matematisk 1 Lucas fremstiller også trekantede tærter. De erside kun naturligt fremstillet og i den kg fisk. Hvor mange kilok og Lisa fangedevirksomhed, 4 2 a. seks 64 cm b. 32 cm 8 cmene som berører sider af alle kompetencer. Det er påc.den rigtigt at man ikke bare kan tale om størrelse, du ser her. m fisk fangede Lisa mere end Line? d. sig Forkort brøkerne, hvis du ikke harpå gjort at en opgave udelukkende orienterer om en kompetence, menallerede det kan den anden side i en læringssituation camouflere de Handet. harkompetencer. to modeller i vinduet. En meget billig og en meget dyr tærte. arbejdsprocesser, som indgår i de enkelte or meget er 41 af b. 24 e. 1000 8 108 c. 368 f. 760 Kompetence or meget er 25 af Problembehandling 10 b. 250 c. 635samt grubFx Udfordringen lerne i Breddeopgaverne 1260 e. 1000 f. 22 500 r er 2 43 liter appelsinsaft i en kande. Emil hælder af en liter op i et glas, hvor meget saft er der age i kanden? gn. 4 23 3 51 3 21 5 48 35 Opgave 15 a. Givmeget et eksempel Hvor er på, hvordan en billig tærte kan se ud. 1 b. Giv et eksempel på, hvordan dyrflasker tærte kan se ud. a. af 200 kr. b. 81 afen816 Eksempel 10 12 Opgave 1 2 af 9 kg mel. d. af 9 kg mel. c. 3 3 a. Hvor stor en del af maxitærten udgør et ananasstykke? b. Hvad skal et ananasstykke koste? 36 Udfordringen Tærteforme · Lav tærter Fremstil en tærte, hvor du selv bestemmer form og smag. Opgave 13 100 m 1 mange 1 gange dyrere 1 er et ananasstykke end et vindruestykke? a. Hvor 8 4 2 a. Beskriv tærten ved hjælp af brøker. b. Hvor mange gange dyrere er et jordbærstykke end et vindruestykke? 33 25 b. Giv din af tærten makker og lad makkeren Linjen viserbrøkbeskrivelse afstanden mellem skolentilogdin Karla. Susan svømmer eni bane Magnus går 1 41 km til skole. Amir går 1 23 km til bygge tærten. Hvor langt er der alt? på 29 103 sekunder. Clara svømmer den samme på 33 109 sekunder. skole. Hvor meget længere går Amir end Magnus c. Sammenlign jeres længde tærter. Hvordan er tærterne ens? Det har været et dårligt frugt- og bærår, så priserne er steget meget på Hvor meget hurtigere var Susan end Clara? for at komme i skole? 37 Hvordan er de forskellige? nogle af Lucas’ tærtestykker. En hoppebold bliver kastet fra taget på et hus 10 m Det betyder, at 34 26 oppe. Hver gang bolden hopper op, er det kun 45 af • Vindruestykket koster 2 kr. brøker Lisa Line hop. var ude at fiske. Line fangede 2 21 kg Et bræt er 128 cm. Hvor stor en brøkdel er det og forrige • Brombærstykket koster 5 kr. 1 bolden fisk. Hvor mange kilofisk ogmange Lisa fangede a. 64 cm b. 32 cm c. 8 cm Hvor gange 4skal hoppe, før den 2 kg • Jordbærstykket koster 9 kr. gram fisk fangede Lisa mere end Line? d. Forkort brøkerne, hvis du ikke allerede har gjort hopper under 5 m? • Ananasstykket Hvem har ret?koster 12 kr. 27 det. 1 kan skrives som 1 + 1 , der er det samme som ”en plus en halv”. • 38Line mener,erat 11 af Hvor meget 2 42 1 Opgave 14 1 · 21 , der er det samme som • Simon mener, at 1 2 kan skrives som 35 ”en gange en halv”. a.Giv 8 etikke b. c. 368 Der er modelleringsopgaver i dette 1 af noget, som eksempel på 24 er detkapitel samme 3 Hver Tegn har fire ret? Maxitærter. tærte må kun en slags frugt. •a. Hvem Begrund dit svar ved hjælp af bestå tal, ordafeller tegning. Hvor meget er d.som 1081 af noget andet. e. 1000 f. 760 4 b. Beregn priserne på hver tærte. a. 101 af 200 kr. b. 81 af 816 flasker c. Hvilken slags frugt, mener du, er dyrest? Hvorfor? 2839 d. 23 af 9 kg mel. c. 31 af 9 kg mel. EFTERTANKEN +■ +■ –■ –■ =8 =5 =2 =3 Modellering iv de blandede tal som uægte brøker. b. 10 91 Ræsonnement c. 2 129 1 35 og tankegang Fx opgaver som kræver argumentation og begrunad er halvdelen af halvdelen af halvdelen? delse. Eftertanken en o en o V M · id øker Vid · M Repræsentation og symbolbehandling Fx Breddeopgaverne og Viden om 34 27 2 af talrække Hvor meget eri denne Find systemet 5 Hvorfor det? 36 a. c. 635 10 … 1 102 21 4 21 7b. 250 Lucas fremstiller også trekantede tærter. De er kun fremstillet i den Nina mener, at chancen for at få et rødt d. 1260 e. 1000 f. 22bolsje 500 er lige stor, 100 m størrelse, serfårher. hvad entendu man fra kasse 1 eller kasse 2. 1 8 Han har to modeller i vinduet. En meget billig og en meget dyr tærte. Giv 29 en forklaring på, hvorfor det ikke er rigtigt. 1 4 1 2 Der er 2 43 liter appelsinsaft i en kande. Emil hælder Linjen viser afstanden mellem skolen og Karla. 15 5Opgave af en liter op i et glas, hvor meget saft er der 8a. Giv et eksempel på, hvordan en billig tærte kan se ud. Hvor langt er der i alt? tilbage i kanden? b. Giv et eksempel på, hvordanKasse en dyr tærte kan se 2ud. 1 Kasse 37 30 En hoppebold bliver kastet fra taget på et hus 10 m af Regn. Opdel rektanglet oppe. Hver gang bolden hopper op, er det kun 45 Sammenligning af brøker Tærteforme · Lav tærter Udfordringen 2en Giv historie a. 4 + ■ = 8 det forrige hop. Hvis to3 brøker har samme nævner, er den brøk med den største tæller Fremstil en tærte, hvor du selv bestemmer form og smag. 1 ■ 4 =på 5 og fortæl3 historierne om disse to b. Sæt3 enheder størst. 5 Fx+ er 5 større end 5 . c. 3 21 – ■ = 2 regnestykker. Hvor mange gange skal bolden hoppe, før den hopper under 5 m? a. Beskriv tærten ved hjælp af brøker. d. 1 5 48 1– ■ = 3 1 2 din = 1 brøkbeskrivelse af tærten til din makker og lad makkeren 2b.2 –Giv 38 4 331 + bygge 2 = 1 1 tærten. 5 Giv et eksempel på 31 af noget, som er det samme 4 4 4 c. Sammenlign jeres tærter. Hvordan er tærterne ens? Skriv de blandede tal som uægte brøker. som 41 af noget andet. Hvordan er de1 forskellige? b. 10 9 c. 2 129 a. 1 35 3 5 39 Hvis to brøker har samme tæller, er den brøk med den største nævner 32 Find systemet i denne talrække mindst. Fx er 71 mindre end 51 . Hvad er halvdelen af halvdelen af halvdelen? 1 2 1 4 21 7 10 … Brøker kan se forskellige ud, selv om de har samme værdi og ligger 2 Huskeren samme sted på tallinjen. Brug dine egne ord. Tegn, skriv, forklar og giv eksempler. • Giv forskellige eksempler på brøkdele af noget. KOMPETENCE-FOKUS · 40 BRØKERbrøker • Giv eksempler på ægte brøker, uægte brøker og på blandede tal. • Hvad gør man, når man forkorter en brøk, og når man forlænger en brøk? Brøker med samme værdi Forkorte eller forlænge• brøker Giv eksempler på, hvordan man regner med brøker. brøker 27 Hvem har ret? • Line mener, at 1 21 kan skrives som 1 + 21 , der er det samme som ”en plus en halv”. • Simon mener, at 1 21 kan skrives som 1 · 21 , der er det samme som ”en gange en halv”. • Hvem har ret? Begrund dit svar ved hjælp af tal, ord eller tegning. Brøker Hvorfor det? Nina mener, at chancen for at få et rødt bolsje er lige stor, hvad enten man får fra kasse 1 eller kasse 2. Giv en forklaring på, hvorfor det ikke er rigtigt. Kommunikation Fx mundtlige klasse samtaler Læse og skriveopgaver i scenarier Formidling i Eftertanken Læse Viden om Klassesamtalen • Hvor mange skiver tror I, man kan lave af de rugbrød, der er på fotografiet? Kasse 1 Kasse 2 • Hvis man deler det venstre rugbrød i 12 skiver, hvor stor en brøkdel er så hver skive? • Hvor mange skiver passer til 41 af rugbrødet? Giv en historie • Det højre rugbrød bliver delt i 18 skiver. Sæt enheder på og fortæl historierne om disse to Hvor mange skiver i det venstre rugbrød regnestykker. vil svare til 6 skiver i det højre rugbrød? er dermange en chokoladebutik, som er kendt for sine hjem1 1 – 1 1 =•1 Hvor 2I Midtkøbing 2 skiver rugbrød bliver der af 2 2 melavede chokolader. Ejeren hedder og hun har denne dag det venstre rugbrød? DetKaroline, højre rugbrød? 3 2 =11 valgt lave 4 + 4 at 4 et særligt reklamefremstød. Hun sætter tre æsker med 20 stykker i hver frem foran disken og sætter et skilt på, hvor der står ”værsgo –Klasseaktivitet: spis et stykke”. Tættest på Det varer Materialer: ikke længe, førHjælpeark, hun har kunder saks i butikken. Chokoladebutikken Chokoladeæsken, Chokoladehjerter og Chokolade til deling I skal arbejde sammen i makkerpar. Opgave 1 Huskeren denbrøkkort ene æske. Hvor lærer. mange stykker er der a. Kunderne taget 25 af Få ethar hjælpeark med af jeres taget? Brug dine Klip egnebrøkkortene ord. Tegn, skriv, ud. forklar og giv eksempler. Hvor mange er der •b. Giv forskellige eksempler aftilbage? noget. Tegn enstykker tallinjechokolade på på et brøkdele A4 ark. Sæt 0 og 1 ind på tallinjen. Hvor stor en brøkdel er der tilbage? •c. Giv eksempler på ægte brøker, uægte brøker og på blandede Læg brøkkortene i en bunke med bagsiden opad. tal. • Hvad gør man, når man forkorter en brøk, og når man forlænger en brøk? 0 eller 1. I skal skiftes til at trække et kort og beslutte, om det er nærmest • Giv eksempler på, hvordan man regner med brøker. Afgør i fællesskab, om I er enige. Talsystemet Efter lidt tid er det der taget fra alle tre æsker. Der er 25 stykker chokolade Træk næste kort. tilbage. Hun tænker, hun vil fylde så mange hele æsker op som muligt. Hjælpemiddel Fx brug af GeoGebra en o en o V M · id V M · id 30 1 000 10 000 100 000 1 000 000 1 000 000 000 tusind titusind hundredetusind million milliard brøker 41 Opgave 2I dette kapitel skal du lære om a. At Hvor mange fyldes? regne med tallene hele æsker kanRegneregler • brøker som del af en figur, et antal og en værdimængde. Hvorfor er Hvorfor kan man skrive antallet af chokoladestykker som 1 41 æske? Særligt fokus • at sammenligne brøkdele. 1 1 1 __ __ __ b. Hvor stor en brøkdel mangler der i, at æsken er fyldt helt op? 2 + 2 + 2 at samme brøkdel kanog have forskellige brøknavne. I dette kapitel foreslår vi særligt fokus på• repræsentationsymbolkompetencen det samme som c. Hvor mange chokoladestykker vil svare til 1 21 æske chokolade? • ægte og uægte brøker. 1__21 ? • blandede tal. Repræsentation og symbolbehandling brøker • at regne med og brøker. ”Repræsentation og symbolbehandling” vedrører anvendelse forståelse af repræsentationer i matematik, herunder matematisk symbolsprog. Der er fire regningsarter plus, minus, gange og division. Plus er det modsatte af minus. Gange er det modsatte af division. Der er mange måder at regne på. • Man kan regne med overslag – som hovedregning. Fx 367 · 3 er ca. 400 · 3 = 1200 • Man kan regne på lommeregner. • Man kan regne på papir. Når der er flere regningsarter i samme opgave, gælder der nogle regneregler. Der skal ganges og divideres, før der skal lægges sammen og trækkes fra. Fx 3 + 5 · 6 – 10 = 3 + 30 – 10 = 23 Overslag og afrunding De naturlige tal Når man regner i hovedet, bruger man ofte overslag. Man kan regne med overslag ved at afrunde tallene. 4152 · 19 er næsten 4000 · 20 altså ca. 80 000. 23 899 : 8 er næsten 24 000 : 10 altså ca. 2400. Tælletallene 1,2,3,4,5,6 … kalder man de naturlige tal. Der er uendelig mange af dem, så vi har kun navne på nogle af dem. Man skriver nogle gange mio. for millioner fx 3,2 mio. Fase 1 Eleven kan oversætte regneudtryk til hverdagssprog Fase 2 Eleven kan oversætte mellem hverdagssprog og udtryk med matematiske symboler Der er særlige regler, når man afrunder. • 234 556 rundet af til nærmeste 100 bliver 234 600. • 234 556 rundet af til nærmeste 1000 bliver 235 000. • 234 556 rundet af til nærmeste 10 000 bliver 230 000. 16 regn med store tal brøker Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af regneudtryk Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af udtryk med matematiske symboler KOMPETENCE-FOKUS · BRØKER 35 Brøker Klassesamtalen • Hvor mange skiver tror I, man kan lave af de rugbrød, der er på fotografiet? • Hvis man deler det venstre rugbrød i 12 skiver, hvor stor en brøkdel er så hver skive? • Hvor mange skiver passer til 41 af rugbrødet? • Det højre rugbrød bliver delt i 18 skiver. Hvor mange skiver i det venstre rugbrød vil svare til 6 skiver i det højre rugbrød? • Hvor mange 21 skiver rugbrød bliver der af det venstre rugbrød? Det højre rugbrød? Klasseaktivitet: Tættest på Materialer: Hjælpeark, saks I skal arbejde sammen i makkerpar. Få et hjælpeark med brøkkort af jeres lærer. Klip brøkkortene ud. Tegn en tallinje på et A4 ark. Sæt 0 og 1 ind på tallinjen. Læg brøkkortene i en bunke med bagsiden opad. I skal skiftes til at trække et kort og beslutte, om det er nærmest 0 eller 1. Afgør i fællesskab, om I er enige. Træk det næste kort. I dette kapitel skal du lære om • • • • • • brøker som del af en figur, et antal og en værdimængde. at sammenligne brøkdele. at samme brøkdel kan have forskellige brøknavne. ægte og uægte brøker. blandede tal. at regne med brøker. Hvorfor er 1 1 1 __ __ __ 2 + 2 + 2 det samme som 1__21 ? brøker 23 Intro Kernebogen side 22-23 Om klassesamtalen Følgende aktivitet kan være et godt udgangspunkt for den indledende klassesamtale. Skriv fx disse tre udsagn på whiteboardet eller tavlen. Udsagn Antal Ja Udvælg 12 elever tilfældigt. Læs det tredje udsagn op og bed eleverne om at stemme med håndsoprækning. Skriv resultatet ind i skemaet som tidligere. Lad eleverne evt. i makkerpar tale om, hvordan resultatet af den afstemning kan beskrives og vurderes ved hjælp af brøker og antal. Brøkdel Nej Ja Nej Hvis der er flest drenge i klassen, skal de have lov til at bestemme De tre klogeste i klassen skal bestemme Læreren ved bedst, så det er ham/hende, der skal bestemme Udvælg tilfældigt otte elever fx ved at trække en navneseddel op af en æske. Læs det første udsagn op og bed de udvalgte elever om at stemme med håndsoprækning. Skriv resultatet både som antal og brøkdel ind i skemaet. Spørg ind til, hvordan antal og brøkdele passer sammen. Beskriv og spørg ind til, hvad der er tæller og nævner, og hvad de hver især repræsenterer, hvilken brøkdel der er størst osv. Udvælg dernæst fire elever tilfældigt. Læs det andet udsagn op og bed eleverne om at stemme med håndsoprækning. Skriv resultatet ind i skemaet som før. Der vil givet komme en diskussion om hvem der er kloge – og til hvad? Der er måske flere slags klogskab – er klogskab i tilstrækkelig grad koblet til rimelige og fornuftige valg? Pas på det ikke tager al opmærksomheden fra det faglige fokus, så find en passende balance i tidsforbruget af denne diskussion. Spørg igen ind til, hvordan antal og brøkdele passer til hinanden – hvad tæller og nævner beskriver. Er der brøker, som er lige så store som ved første afstemning fx 2 og 6 eller … 4 8 36 side til side-vejledning · BRØKER Om fotoet Hvor mange skiver tror I, man kan lave af de rugbrød, der er på fotografiet? Der er mange forskellige måder at dele rugbrødene op i. Det, der er fokus på, er om eleverne er opmærksomme på del/helheds problematikken og lige store dele. Når man fx deler helheden i to lige store stykker, deler man i halve. Det er nævneren, der beskriver, hvilke dele brødet deles i. Tal med eleverne om muligheden for at tegne en model af rugbrødene, så man kan tegne sig til brøkdele. Hvilken form skal modellen have? Hvor stor skal den være? Hvordan skal den inddeles? Hvis man deler det venstre rugbrød i 12 skiver, hvor stor en brøkdel er så hver skive? Her gælder det om at være opmærksom på, om eleverne kan overføre argumentationen fra det første spørgsmål. Tal med eleverne om, at brødet skal deles i lige store stykke/dele. Det er ikke kun antallet, der er fokus på, men skal også sikre sig, at stykkerne er lige store. Hvor mange skiver passer til 41 af rugbrødet? Spørgsmålet henvender sig til opdelingen af rudbrødet til venstre, som er opdelt i 12 skiver. For nogle elever kan det være svært at forstå, at 41 ikke er et bestemt tal, men afhænger af hvor mange skiver brødet er delt op i, så spørg evt ind til flere mulige skiver af. Hvad nu, hvis rugbrødet i stedet blev opdelt i 13 skiver og der skulle findes 41 af hele rugbrødet? Det højre rugbrød bliver delt i 18 skiver. Hvor mange skiver i det venstre rugbrød vil svare til 6 skiver i det højre rugbrød? Under forudsætning af, at det højre rugbrød er delt i 18 skriver, vil det svare til 186 eller 31 . men det venstre kan være delt i andre forhold. Hvis der er delt i 12 stykker som det venstre rugbrød, vil 6 stykker udgøre 21 . Det kan være en god ide at tegne en model af brødene fx som aflange rektangler og inddele det, så eleverne visuelt kan sammenligne. Hvor mange 21 skiver rugbrød bliver der af det venstre rugbrød? Det højre rugbrød? Her videreføres de 12 skiver i venstre rudbrød og 18 skiver i højre rugbrød. Måske skal der dvæles lidt ved, hvad der menes med en 21 skive. Der skal således foretages en division svarende til 18 : 21 og 12 : 21 . Det er dog ikke hensigten at formalisere regneprocessen men tale om at der for hver skive bliver to lige store dele altså 24 halve skiver i venstre og 36 halve skiver i højre rugbrød. Om klasseaktiviteten Mange vanskeligheder med brøker kan overkommes, hvis eleverne kan skønne brøkers størrelse – altså omsætte det til simple brøkdele, som de kan overskue beliggenheden af på en tallinje samt placere i rækkefølge efter størrelse. ”Tættest på” er en aktivitet, hvor eleverne skal afgøre, om en given brøk ligger mellem 0 og 1 eller er tættest på 0 eller 1 for at kunne reflektere over rimeligheden af placeringen på tallinjen. Der er et hjælpeark på hjemmesiden med brøkkort. Eleverne kan evt. forholde sig til om halvdelen af nævneren bliver mindre eller større end tælleren. Det kan være en støtte for nogle elever at have en ”facitliste” med brøkdele fra halve til tiendedele placeret sammenlignelig på en tallinje fx som følger 1 2 1 1 1 4 1 1 2 5 1 1 5 8 0 1 1 1 1 1 Supplerende aktiviteter Brøk line up En udvidelse af ”tættest på” er ”brøk line up”. Uddel brøkkort til eleverne. Eleverne skal stille sig i rækkefølge fra det mindste til det største brøktal. Gentag aktiviteten. Tag tid, hvor hurtigt kan eleverne stille sig i den rigtige rækkefølge? Brøker med Tangram Lad eleverne arbejde i par. Giv dem et sæt tangrambrikker. Det kan være en fordel at brikkerne er farvede, da der er mange ligedannede trekanter i tangram-kvadratet. Eleverne kan foretage forskellige undersøgelser. 1 8 1 4 1 8 1 16 1 4 Brøk som areal • Hvor stor en brøkdel udgør en orange trekant af hele tangram-kvadratet? • Hvor stor en brøkdel udgør en blå trekant af hele tangram-kvadratet? • Hvor stor en brøkdel udgør den gule trekant af hele tangram-kvadratet? Brøk som antal • Hvor mange blå trekanter skal der til for at dække hele tangram-kvadratet? • Hvor mange gule trekanter skal der til for at dække hele tangram-kvadratet? • Hvor mange orange trekanter skal der til for at dække hele tangram-kvadratet? Sammenligning af brøkdele 1 4 1 4 1 8 1 8 2 8 1 16 1 16 1 16 1 16 4 16 • Hvilke trekanter kan dække 21 af hele tangram-kvadratet? • Hvilke brikker kan dække 41 af hele tangram-kvadratet? • Hvor stor en del udgør de enkelte tangrambrikker af helheden? Hvordan kan man vide det? • Hvis en orange trekant udgør 81 af hele Tangram kvadratet, hvad kan man så ellers vide? • … side til side-vejledning · BRØKER 37 1 8 1 16 Tærtestykker Jordbærtærte Vindruetærte Brombærtærte Lucas har nogle sekskantede tærter, som du kan se her. Ananastærte 11 22 33 4 4 5 5 Eksempel Opgave 2 a. Beskriv de fem tærter som plusstykker med brøker. b. Beskriv tærte 1 med to forskellige plusstykker. Hos bager Lucas Bager Lucas har fundet på en smart frugttærte. ”Bestil en tærte efter din egen smag og form”. Bageren har fire forskellige tærtestykker, som passer sammen. Kunderne kan dermed få lige præcis den tærte, de har lyst til. Man kan vælge mellem ananas, vindrue, brombær og jordbær. Man kan se de forskellige tærtestykker på skiltet. Opgave 1 a. Hvis ananasstykket er en hel, hvor stor en brøkdel er jordbærstykket så? b. Hvis ananasstykket er en hel, hvor stor en brøkdel er brombærstykket så? c. Hvis ananasstykket er en hel, hvor stor en brøkdel er vindruestykket så? 1 1 1 2+3+6 Opgave 3 a. Hvilken slags tærte kan skrives som 31 + 31 + 31 ? b. Hvilke tærtestykker indgår, hvis tærten kan skrives som 64 + 31 ? Opgave 4 a. Hvor meget af tærten mangler, hvis 62 er fyldt ud? b. Hvor meget af tærten er fyldt ud, hvis 31 mangler? Opgave 5 Sekskantede tærter a. Tegn tre sekskantede tærteforme eller få et hjælpeark. b. Udfyld tærteformene med tærtestykker, som ikke er vist øverst. c. Skriv brøkdele for de forskellige tærtestykker. Lucas har fremstillet en ny og større tærte – en stjernetærte. Stjernetærten Opgave 6 a. Hvor stor en brøkdel af hele stjernetærten er ananas? b. Hvor stor en brøkdel af tærten er vindrue? 24 brøker brøker 25 Hos bager Lucas Kernebogen side 24 - 27 Læringsmål Eleverne kan • arbejde med delen og helheden af en figur. • anvende addition af brøker med forskellig nævner. • anvende brøker til at beregne delen af noget. • sammenligne størrelsen på brøker. Faglige og metodiske kommentarer I dette scenarie er der fokus på brøker som en del af en figurs areal. Her er det vigtigt, at eleverne forstår, at når der er tale om brøkdele af en figur, er der ikke nødvendigvis tale om en bestemt form. Den samme brøkdel kan have mange udformninger. Der indgår beregninger med brøker, men det er fortrinsvis enkel addition og fortløbende addition. I scenariet kan eleverne have brug for en klarhed over størrelsesforholdet mellem de enkelte tærtestykker. Den grønne trekant udgør 1/3 af den røde trapez osv. I disse opgaver lægges der også op til, at eleverne skal beskrive tærterne. Det kan være en fordel at give eleverne en metode til beskrivelsen, fx: • Hvor mange forskellige tærtestykker er der? • Hvilke forskelle der mellem tærtestykkernes farve og form? • Hvor stor en del udgør de enkelte brikker/kagestykker af hele tærten? Figurerne er udvalgt, så de er lette at tegne på trekantspapir. Det kan derfor være hensigtsmæssigt at lade eleverne illustrere de forskellige tærter på dette trekantpapir, inden de går i gang. Trekantspapiret findes som hjælpeark og serviceark. Det kan evt. kopieres op i størrelse, hvis tegningen af figurerne bliver for lille. Eleverne kan ligeledes anvende mønsterbrikker. De forhandles af bl.a. firmaet Gonge (se under matematik og geometriske mønsterblokke af træ). At have disse brikker forenkler arbejdsopgaverne en del, så det kan varmt anbefales. Det er dog ingen forudsætning for at løse opgaverne. Det er også muligt at lade eleverne arbejde med mønsterbrikker på internettet. Brug evt. http://gingerbooth.com/shapegame/. Hvis man er Ipad-bruger findes mønsterbrikkerne (patternblocks) som en app. Lad evt. eleverne lime deres illustrationer ind i deres arbejdshæfte, så de ikke bliver “væk”. 38 side til side-vejledning · BRØKER Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Hensigten med denne opgave er at bevidstgøre eleverne om tærtestykkernes indbyrdes forhold beskrevet ved brøkdele. Udgangspunktet er, at den gule sekskant udgør en hel og de andre brikker udgør brøkdele af sekskanten. Opgave 4 Her skal eleverne fylde de manglende områder ud. Der er stadig tale om de små sekskantede tærter. Lad eleverne starte med at finde de tærtestykker, der mangler, hvorefter de kan beskrive dem ved hjælp af addition af brøker. Disse tærter må gerne ligne dem fra opgave 2 og 3. Vekslingstabel for brikker: Gul sekskant 11 6 grønne trekanter Rødt trapez 21 3 grønne trekanter Blåt parallelogram 31 2 grønne trekanter Grøn trekant 61 1 grøn trekant Opgave 2-3 I disse opgaver skal eleverne beskrive tærter ved hjælp af brøker. Der er tale om, at eleverne skal anvende addition i deres beskrivelser. Her skal man være opmærksom på, at elever ikke nøjes med at anvende form og farve i beskrivelsen. Det er selvfølgelig i orden at form og farve anvendes, men der er fokus på brøker. Henled elevernes opmærksomhed på, at de kan kontrollere om beskrivelsen er i orden ved at lægge brøkerne sammen, og at brøkerne tilsammen bliver 1 eller 11 eller 33 eller … Specielt ved opgave 3 skal man være opmærksom på, at den tærte, der er beskrevet som 64 + 31 , består af fire grønne trekanter og et blåt parallelogram, det er ikke meningen, at eleverne skal omskrive 4/6, men de skal forstå, at 64 er det samme som 61 + 61 + 61 + 61 . Opgave 5 Her skal eleverne selv fremstille små sekskantede tærter. Der er en GeoGebrafil, som eleverne kan anvende til arbejdet. I opgave 5b skal man udfylde tærte der ikke har været vist øverst. Det betyder, at man gerne må anvende de tærter, der er beskrevet i opgave 3a og 3b. Mulige tærter der ikke har været anvendt før: It og GeoGebra – sekskantede tærter I denne GeoGebra fil er det muligt at fremstille sekskantede tærte ved hjælp af mønsterbrikker. I filen er der ved hjælp af brøker beskrevet en række tærter som eleverne skal fremstille visuelt. Opgave 6 Vigtigt! I denne opgave ændres helheden. Den gule sekskant er ikke længere en hel men 21 , da kagens areal er blevet fordoblet, hvilket betyder, at den grønne trekant er 121 . Der er med andre ord fokus på, at delene altid skal ses som et for- side til side-vejledning · BRØKER 39 Lucas har fået en bestilling på en stor sekskantet maxitærte. Lucas ved, at kunden elsker jordbær og vindrue. Lucas bager denne tærte. Opgave 7 a. Hvor stor en brøkdel af maxitærten er vindrue? b. Hvor stor en brøkdel af maxitærten er jordbær? Maxitærte. En anden kunde bestiller også en maxitærte, men vil gerne have nogle forslag til, hvordan tærten kan se ud. Opgave 8 a. Hvordan kan maxitærten se ud? Giv to forskellige forslag. b. Beskriv tærtens dele ved hjælp af brøker. En tredje kunde kommer ind i butikken. Han bestiller en maxitærte, hvor der skal være lige meget jordbær og vindrue, men dobbelt så meget ananas, som der er jordbær og vindrue. Opgave 9 Fremstil et forslag til, hvor stor maxitærten skal være, og hvordan den kan se ud. Lucas har bestemt, at alle maxitærter skal koste det samme, ligegyldigt hvad indholdet af tærten er. Han har sat prisen til 48 kr. Hver af de fire forskellige frugtstykker får pris efter, hvor store de er. Maxitærten og Mitsubishitærten Opgave 10 a. Hvor mange jordbærstykker skal der bruges til en maxitærte? b. Hvad skal et jordbærstykke koste? Opgave 12 a. Hvor stor en del af maxitærten udgør et ananasstykke? b. Hvad skal et ananasstykke koste? Opgave 13 a. Hvor mange gange dyrere er et ananasstykke end et vindruestykke? b. Hvor mange gange dyrere er et jordbærstykke end et vindruestykke? Det har været et dårligt frugt- og bærår, så priserne er steget meget på nogle af Lucas’ tærtestykker. Det betyder, at • Vindruestykket koster 2 kr. • Brombærstykket koster 5 kr. • Jordbærstykket koster 9 kr. • Ananasstykket koster 12 kr. Opgave 14 a. Tegn fire Maxitærter. Hver tærte må kun bestå af en slags frugt. b. Beregn priserne på hver tærte. c. Hvilken slags frugt, mener du, er dyrest? Hvorfor? Lucas fremstiller også trekantede tærter. De er kun fremstillet i den størrelse, du ser her. Han har to modeller i vinduet. En meget billig og en meget dyr tærte. Opgave 15 a. Giv et eksempel på, hvordan en billig tærte kan se ud. b. Giv et eksempel på, hvordan en dyr tærte kan se ud. Udfordringen Tærteforme · Lav tærter Fremstil en tærte, hvor du selv bestemmer form og smag. Opgave 11 a. Hvad skal et brombærstykke koste? b. Hvad skal et vindruestykke koste? 26 a. Beskriv tærten ved hjælp af brøker. b. Giv din brøkbeskrivelse af tærten til din makker og lad makkeren bygge tærten. c. Sammenlign jeres tærter. Hvordan er tærterne ens? Hvordan er de forskellige? brøker brøker hold til den givne helhed. Gør evt. eleverne opmærksomme på, at helheden er ændret. It og GeoGebra – Stjernetærten I denne GeoGebrafil kan eleverne fremstil en stjernetærte ved hjælp af mønsterbrikker. Det er muligt at sammenligne tærtestykkerne ved fx at fremstille en sekskantet tærte af seks vindruestykker og derefter sammenligne og beregne. 27 ligegyldigt, hvordan tærterne skal se ud. Her er det en fordel at lade eleverne tage udgangspunkt i den mindste del (det mindste tærtestykke), der kan indgå i maxitærterne, og på den baggrund via addition beregne, hvad de andre tærtestykker skal koste. Hvis tærten skal koste 48 kr., betyder det, at et vindruetærtestykke skal koste 2 kr., brombær koster 4 kr., jordbær koster 6 kr. og ananas koster 12 kr. Opgave 7 Denne opgave har det samme udgangspunkt som opgave 6, men helheden er igen ændret så nu udgør den grønne trekant 241 og det røde trapez udgør 81 . Opgave 8-9 Disse opgaver er en fortsættelse af opgave 7, eleverne skal udforme forskellige Maxitærter ud fra de i opgaverne givne forudsætninger. I opgave 9 arbejders der med forhold. Her skal man være opmærksom på, at når arealet fordobles bliver nævneren på brøkdelen halveret. It og GeoGebra – Maxitærten og Mitsubishitærten I denne GeoGebrafil kan eleverne fremstille de to tærter. Brikker ”lægges” på trekantpapir og prikpapir, der umiddelbart lægger op til at anvende vindruestykke når der skal beregnes hvor storebrøkdele de enkelte tærtestykker udgør. Opgave 10-13 Her ændrer opgaverne karakter. Eleverne skal finde priser på de enkelte tærtestykker, hvis prisen skal være 48 kr. 40 side til side-vejledning · BRØKER Opgave 14 I denne opgave skal eleverne fortsætte arbejdet med sekskantede Maxitærter, men priserne på tærtestykkerne er ændret. De fire tærter skal hver især består af de samme tærtestykker. Man kan ikke anvende ananastærtestykke, men man kan fremstille maxitærter af de andre tærtestykker. Det er også her hensigtsmæssigt at tage udgangspunkt i vindruestykket, når man skal sammenlige priser, igen ud fra præmissen, at når brøkdelene er en del af samme enhed, kan de sammenlignes. Opgave 15 Det er nu blevet en trekantet tærte. Tærten har en bestemt størrelse der frem af tegningen på side 27 i kernebogen. Man skal ligeledes være opmærksom på, at priserne på frugt er ændret i disse opgaver. Eleverne skal sammenligne priser på tærterne ved hjælp af brøkdele. Det er en pointe ved brøker, at de nemt kan sammenlignes, når de er en del af samme helhed. Her er det ligeledes en fordel at tage udgangspunkt i den mindste brøkdel (den grønne trekant) og på den baggrund ræsonnere og beregne priser på billige og dyretærter. Udfordringen Dette er en åben opgave, hvor eleverne selv kan bestemme form og størrelse. Der er tale om makkerarbejde, hvor det er hensigten, at eleverne sætter ord på deres forståelser, at de med andre ord kan kommunikere med og om matematik. Det kan for nogle elever være nødvendigt med en mere begrænset opgave, så figurerne ikke bliver for komplekse. Det kan fx være, at der kun må anvendes 12 klodser. It og GeoGebra – Tærteforme og Lav tærter Denne fil er konstrueret, så eleverne kan fremstille forskellige tærter efter eget valg. Der er ligeledes en hjælpefil, der kan støtte eleverne i, at indse hvor store brøkdele, de enkelte tærtestykke er i forhold til hinanden. side til side-vejledning · BRØKER 41 Byfesten Vingummibamser og Byfesten Villads, Cecilie, Astrid og Kasper er blevet enige om, at de vil samle tomme plastglas ved byfesten. Så kan de tjene lidt penge på pant. De er blevet enige om at dele plastglassene ligeligt mellem sig. Opgave 1 a. Hvor stor en brøkdel skal de have hver? b. Hvor mange havde der været i gruppen, hvis de hver skulle have 61 ? Opgave 4 a. Hvor mange små plastglas er der? b. Hvor mange mellem plastglas er der? c. Hvor mange store plastglas er der? Efter et kvarter har de i alt samlet 24 plastglas. Opgave 5 a. Hvor stor en brøkdel er store plastglas? b. Hvor stor en brøkdel er små plastglas + mellem plastglas? Opgave 2 a. Hvor mange plastglas får hver af de fire børn? b. Hvorfor kan man skrive regnestykket i opgave a som ” 41 af 24”? c. Hvordan havde regnestykket set ud, hvis der var seks i gruppen? 28 Cecilie går tilbage til sin gruppe, hvor de bliver enige om at indløse panten for deres 24 glas. Da de kommer hen til pantbetalingen, opdager de, at der er forskellige priser på forskellige plastglas. Der er tre størrelser lille, mellem og stor. De kan se, at 31 af glassene er små, 41 er mellem og resten er store. Cecilie går hen til den anden gruppe for at se, hvor mange de har samlet af de forskellige plastglas. De har skrevet det ned på papir. Der er en anden gruppe på byfestpladsen, som leder efter plastglas. De er også 4 personer. Cecilie er henne at se, hvor mange de har samlet. Hun bliver lidt forbløffet – 48 plastglas. Opgave 6 a. Hvor stor en brøkdel er små plastglas? b. Hvorfor kan man skrive brøkdelen som 125 ? Opgave 3 a. Hvor mange plastglas får de hver? b. Hvorfor er der forskel på 41 i den ene gruppe og en 41 i den anden gruppe? Udfordringen a. Hvorfor er det rigtigt, at 31 af plastglassene er mellem plastglas? b. Hvorfor er det rigtigt, at antallet af stor glas og mellemste glas svarer til 127 ? brøker brøker 29 Byfesten Kernebogen side 28 - 29 Læringsmål Eleverne kan • bestemme og beskrive brøkdele af et antal. • redegøre for hvordan en bestemt brøkdel af et antal varierer efter antallets størrelse. Faglige og metodiske kommentarer I dette scenarie arbejdes der med brøker som et antal. Der arbejdes med et antal plastikglas, der er fordelt på tre typer. Til forskel for en brøkdel af en figur er en brøkdel af et antal entydigt fx er svarer 31 af 21 til 7. Modsat er det også entydigt, at hvis man kender antallet og brøkdelen kan man regne sig til helheden fx hvis antallet er 5, som svarer til 41 , må helheden være 20. Brøker som et antal kan være svære for nogle elever, da der kan være nogle begrebsmæssige og sproglige problemer knyttet til denne forståelse. En almindelig misopfattelse ved antalsmodeller er, at eleverne fokuserer på antallet af elementer i stedet for på brøkdelen. I følgende eksempel vil nogle elever mene, at de tre lastbiler udgør en tredjedel og ikke en fjerdedel, eller at lastbilerne udgør en større brøkdel fordi lastbilerne fysisk er større. Det ses også, at elever skriver 83 for brøkdelen af lastbiler, idet de blot tæller ”de andre elementer” og gør dem til nævneren frem for helheden som er 11. I princippet kan disse elever – formodentligt ubevidst - have fat i noget, idet tanken kan udvikles til beskrivelsen af forholdet mellem de to biltyper. Man kan således sige, at forholdet mellem antallet af lastbiler og personbiler er 3 : 8. Det er dog erfaringsmæssigt vanskeligt, så det gemmer vi til senere. 42 side til side-vejledning · BRØKER Kommentarer til opgaver og IT It og GeoGebra – Vingummibamser og Byfesten Denne fil er ikke direkte knytte til scenariet, men skal mere opfattes som en opvarmningsøvelse i forbindelse med fordeling af elementer. Opgave 1 Denne opgave er en indledningsopgave til scenariet. Der er fokus på, om eleverne forstår, at brøkdele kan være lige store dele. Opgave 2 Man skal være opmærksom på, at ordet brøkdel nu repræsenterer et antal. Det kan være en fordel helt konkret at have plastikglas i tre størrelser i klassen, evt. skrevet A, B og C på med tusch. I opgave 2b er der fokus på elevernes sproglige begrundelser. Her kan det være en fordel at give eleverne nogle ord at arbejde ud fra. Vær opmærksom på, om eleverne anvender matematiske begreber i deres besvarelser eller ej. De begreber, der er i fokus, kan evt. synliggøres i klassen som en støtte til eleverne, når de skal formulere deres begrundelser. Opgave 3 Opgaven indeholder problemstillingen, at en brøkdel ikke er et absolut tal men en relativ størrelse til en given helhed. I dette scenaries opgave 2 og 3 udgør en fjerdedel henholdsvis 6 og 12 plastglas. Opgave 4 - 5 De to opgaver viser forskellen mellem at opgive plastglassene i antal og opgive plastglassene i brøkdele. Opgave 6 Eleverne skal bestemme brøkdelen ud fra antallet af små plastglas. Man skal være opmærksom på, at helheden er alle glassene. Antallet af glas står til højre på siden. I opgave 6b er der fokus på, at en brøk kan have flere navne. I denne opgave, at 20 48 kan skrives som 125 . Her skal eleverne ligeledes være opmærksomme på, at der er tale om forskellige brøknavne og ikke forskellige brøkdele. Udfordringen I udfordringen er der fokus på elevernes kommunikative kompetencer i forbindelse med, at de skal formulere deres tanker. Der åbnes ligeledes for, at der kan sættes fokus på elevernes ræsonnements- og tankegangskompetence, da det i en kommunikativ kompetence fordres, at eleverne kan begrunde deres svar. side til side-vejledning · BRØKER 43 Karoline har nogle mindre kasser, hvor der kan være 12 stykker chokolade. Dem bruger hun til de 25 stykker chokolade, der er tilbage. Opgave 3 a. Hvor mange æsker og chokoladestykker svarer det til? b. Hvordan vil du skrive det som blandet tal? Blandede tal Tal som består af et helt tal og et brøktal fx 3 21 . Det betyder 3 + 1 . 2 Opgave 4 a. Hvor mange stykker chokolade svarer til, at 3 41 æske er fyldt? b. Hvor mange stykker chokolade svarer til, at 5 23 æske er fyldt? Chokoladebutikken Chokoladeæsken, Chokoladehjerter og Chokolade til deling I Midtkøbing er der en chokoladebutik, som er kendt for sine hjemmelavede chokolader. Ejeren hedder Karoline, og hun har denne dag valgt at lave et særligt reklamefremstød. Hun sætter tre æsker med 20 stykker i hver frem foran disken og sætter et skilt på, hvor der står ”værsgo – spis et stykke”. Det varer ikke længe, før hun har kunder i butikken. Opgave 1 a. Kunderne har taget 25 af den ene æske. Hvor mange stykker er der taget? b. Hvor mange stykker chokolade er der tilbage? c. Hvor stor en brøkdel er der tilbage? Efter lidt tid er der taget fra alle tre æsker. Der er 25 stykker chokolade tilbage. Hun tænker, hun vil fylde så mange hele æsker op som muligt. Opgave 2 a. Hvor mange hele æsker kan fyldes? Hvorfor kan man skrive antallet af chokoladestykker som 1 41 æske? b. Hvor stor en brøkdel mangler der i, at æsken er fyldt helt op? c. Hvor mange chokoladestykker vil svare til 1 21 æske chokolade? 30 Karoline har forskellige chokolader på lager. De er i forskellige farvede æsker, så hun kan se forskel. Der kan være 12 stykker i hver æske. Hun samler nogle af æskerne og stiller dem frem i butikken. Opgave 5 a. Hvilken æskefarve svarer til 3 21 æske chokolade? b. Hvilke blandede tal svarer til de to andre æskefarver? Opgave 6 a. Hvilket blandet tal svarer til antallet af chokolader i de røde æsker plus de gule æsker? b. Hvilket blandet tal svarer til antallet af chokolader i æskerne tilsammen? Opgave 7 a. Hvor stor er forskellen i antallet af chokolader mellem de gule og de røde æsker? Beskriv det med et blandet tal. b. Hvor stor er forskellen mellem de grønne og de røde æsker? Udfordringen Maja har 2 chokolader. Hun ved, at det er 61 af alle chokolader. Louise har 31 , Lisa har 121 , Victor har 41 og Nina har resten. Hvor mange stykker chokolade har de hver? brøker brøker 31 Chokoladebutikken Kernebogen side 30 - 31 Læringsmål Eleverne kan • anvende uægte brøker til at beskrive brøkdele, som er større end 1. • omsætte uægte brøker til blandede tal og omvendt. • regne med enkle blandede tal. Faglige og metodiske kommentarer Fokus i dette scenarie er beskrivelse af situationer, hvor både brøkdele og heltallige størrelser indgår repræsenteret ved uægte brøker og blandede tal. Begrebet ”uægte brøk” anvendes til at beskrive brøker, der er større end 1 som fx 25 . Ordet uægte kan være en kilde til forvirring for nogle elever, da ordet uægte indikerer, at noget er forkert. Dette kan få den utilsigtede betydning, at uægte brøker ikke er så acceptable, som de ægte brøker, hvilket absolut ikke er tilfældet. I nogle situationer kan det derfor være hensigtsmæssigt bare at anvende ordet brøk eller en brøk der er større end 1. Det mystiske for nogle elever kan også være, at man overhovedet kan tale om en brøk, som er større end 1. De fleste indledende opgaver har været dele af en given enhed, men her blander vi tingene. Man kan altså godt have 2 31 pizza, eller 5 21 æske chokolade osv. Eleverne skal indse, at vi har med et blandingsprodukt at gøre – at blandede tal er en kombination af et helt tal og en brøk. Der er erfaring for, at ikke alle elever ser, at der er et plus mellem heltallet og brøktallet – altså, at 5 21 skal læses som 5 + 21 . Det kan betyde noget for deres regnestrategier i scenariet. 44 side til side-vejledning · BRØKER Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Opgaven er en opvarmningsopgave til senere opgaver. Her repeterer eleverne øvelsen i at finde en brøkdel af et antal. Opgave 2 Her introduceres blandede tal. Eleverne skal fordele 25 chokolader, så der kommer en fyldt æske ud af det suppleret 5 , der med 5 stykker i en anden æske. Det svarer til 1 hel + 20 5 eller 1 41 . Eleverne kan også tænke, at det kan skrives som 1 20 25 som uægte brøk. er 25 chokolader ud af 20 og dermed får 20 Her er det vigtigt at huske eleverne på, at 1 41 er det samme som 1 + 41 , hvilket kan udtrykkes som ”jeg har en hel og så en fjerdedel mere”. Opgave 3 Eleverne skal fylde chokolader i æsker. Der er forskellige tilgange til at arbejde med denne opgave. Nogle elever vil fylde chokolader i æsker og tælle op bagefter. Andre elever arbejder med brøker, ud fra devisen at 12 12 + 12 12 + 121 = 2 + 121 . Der kan også være andre, som tegner sig til løsninger. Opgave 4 I denne opgave skal eleverne anvende blandede tal til at beregne det samlede antal chokolader. Her kan det måske for nogle elever være et problem, at 3 41 æske svarer til 39 chokolader. Dette kan være et resultat af, at de oplever begge størrelse som absolutte tal og ikke er opmærksomme på, at der er tale om æsker og chokolader. Undgå derfor så vidt muligt, at eleverne skriver deres resultat som 3 41 = 39, idet det rent matematisk er en forkert brug af lighedstegnet. Brug evt. pile eller andre relationstegn. Opgave 5 - 7 Her forsætter arbejdet med at omsætte fra blandede tal til antal og omvendt. Det er hele tiden vigtigt, at eleverne overvejer, hvornår der er tale om æsker, og hvornår der er tale om antal chokolader. I disse opgaver bliver eleverne bedt om at regne med blandede tal. De skal således indse, at man kan lægge blandede tal sammen og trække dem fra hinanden fx ved at adskille de hele tal fra brøkdelene fx at 3 21 + 6 41 kan skrives som 3 + 6 + 21 + 41 . Udfordringen I denne opgave er helheden ukendt. Eleverne skal på baggrund af informationen om, at 2 chokolader svarer til 61 af alle chokolader finde helheden. Tænkningen bag opgaven handler om: ”Hvis jeg ved, hvad 61 er, kan jeg finde ud af hvad 66 er”. side til side-vejledning · BRØKER 45 Opgave 3 a. Tegn en skitse af en vandbeholder og vis, hvad der bliver tilbage i vandbeholderen, hvis både en elefant og en zebra har drukket samme dag. b. Beskriv med brøktal, hvor stor en del af vandet, dyrene har drukket. c. Beskriv med brøktal, hvor stor en del der er tilbage i vandbeholderen. d. Vis det samme, hvis en elefant og et næsehorn har drukket af vandbeholderen samme dag. Opgave 4 a. Hvor stor en del af vandet er tilbage, hvis 4 zebraer har drukket den ene dag og 2 zebraer den anden dag? b. Hvor stor en del af vandet er tilbage, hvis 2 næsehorn og 4 zebraer har drukket af vandbeholderen. Savannen Brøkdel af vandbeholder Zebra Elefant Næsehorn 1 12 1 2 1 8 Vandbeholderen I Sambesi dyrepark har de haft en meget varm sommer og næsten ingen regn. Så parkbetjentene er begyndt at køre vand ud til dyrene. Vandet hældes op i store beholdere, som dyrene kan drikke af. Parkbetjentene har regnet ud, hvor meget de forskellige dyr drikker pr. dag. Se tabellen. Opgave 1 a. Tegn en skitse af en vandbeholder, som viser, hvad der er tilbage, når en zebra har drukket i tre dage. b. Tegn en vandbeholder, som viser, hvad der er tilbage, når et næsehorn har drukket i tre dage. Opgave 2 a. Hvor stor en brøkdel af vandet i vandbeholderen er tilbage, hvis en zebra har drukket i tre dage? b. Hvor stor en brøkdel er tilbage, hvis et næsehorn har drukket i tre dage? c. Hvor mange dage er et næsehorn om at drikke halvdelen af en vandbeholder? 32 Opgave 5 a. Hvor mange vandbeholdere kan 9 elefanter tømme om dagen? b. Hvor mange vandbeholdere kan 10 næsehorn tømme om dagen? c. Hvor mange vandbeholdere kan 30 zebraer tømme om dagen? Vandbeholderen er på 480 liter vand, når den er helt fyldt. Opgave 6 a. Hvor meget vand vil en elefant drikke om dagen? b. Hvor meget vand vil en zebra drikke om dagen? c. Hvor meget vand vil 3 næsehorn drikke på en dag? d. Hvor meget vand vil 5 zebraer drikke på en dag? Udfordringen Vandet i beholderen er blevet drukket på en dag. Hvilke dyr kan have drukket af beholderen denne dag? Giv flere forslag. brøker brøker 33 Savannen Kernebogen side 32 - 33 Læringsmål Eleverne kan • arbejde med del- og helhedsrelationer ved hjælp af brøker som et mål. • bestemme brøkdele ved hjælp af et mål. Faglige og metodiske kommentarer I dette scenarie fokuseres der på, at man kan beskrive brøkdele af en måling eller en værdi. Man kan fx finde 31 af 12 kg. Det adskiller sig i sværhedsgrad fra de tidligere scenarier, hvor man ved brøkdele af figurer kan ”se” sig til et resultat eller ved brøkdele af antal kan tælle og opdele sig til resultatet. At arbejde med brøkdele af målinger som liter eller værdier som kroner synes derfor ofte vanskeligere. I dette scenarie repræsenterer vandbeholderne meget store cylindriske målebægre. Det kan være en fordel, at eleverne tegner vandbeholdere og sætter mål på, hvor fx den mindste måleenhed er 121 , så de derefter kan farvelægge de brøkdele der efterspørges. Vær opmærksom på, at ottendedele og tolvtedele ikke umiddelbart korresponderer, så her kan der være brug for to modeller af vandbeholderne. Vandbeholderne er valgt til en volumen og form, som er beregningsmæssig overskuelig. Der vil givet være eksempler fra virkeligheden, hvor man vil have andre måske bedre vandbeholdere, men det undlader vi grundet en formodet for stor kompleksitet. Tallene for de enkelte dyr er også tillempet af beregningsmæssige årsager, men dog forsøgt holdt så tæt på de tal, man kender fra undersøgelser om, hvor meget vand dyrene gennemsnitligt indtager. 46 side til side-vejledning · BRØKER Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Eleverne skal tegne to vandbeholdere, der er inddelt i henholdsvis tolvtedele og ottendedele, derefter skal eleverne farvelægge, hvor meget forskellige dyr har drukket. Hvis eleverne tegner vandbeholdere, der er 24 tern høje, skal den første vandbeholder inddeles i enheder af 2 tern og den anden vandbeholder skal deles i enheder af 3 tern. Vandbeholderne tænkes fyldt helt op til kanten. It og GeoGebra – Vandbeholderen Denne GeoGebrafil er konstrueret, så vandspejlet i vandbeholderen kan hæves og sænkes. Fra bund til top er der knyttet en tallinje med brøker, så eleverne kan aflæse, hvor meget vand der er i beholderen. Opgave 2 Her skal eleverne tegne tre vandbeholdere. En der er inddelt i tolvtedele og to der er inddelt i ottendedele. Det understøtter elevernes forståelse af, at man kan forestille sig vandmængderne på en måleskala som stregerne på et målebæger. Opgave 3 og 4 I disse opgaver arbejdes der med addition og subtraktion af brøker. Der er fokus på tællernes og nævnernes betydning, når der regnes med brøker. Opgave 6 I denne opgave giver det mening, at eleverne tegner fire vandbeholdere og deler beholderne op henholdsvis halve, tolvtedele, ottendedele og tolvtedele. Lad eleverne beregne, hvor vand der er mellem hver målestreg på de fire beholdere. Udfordringen Der er tale om en åben opgave med mange løsningsmuligheder. Sæt fokus på elevernes begrundelser for deres valg. Læg op til, at eleverne er tydelige omkring strategivalg og metode. Der er flere løsningsforslag fx Enkle begrundelser: ”12 zebraer eller 2 elefanter eller 8 næsehorn fordi at 12 12 og 22 og 88 er en hel.” Komplekse begrundelser: ”For at kunne tømme hele beholderen, er der nødt til at være dyr som præcist udgør 11 , det betyder fx at 6 zebraer og 1 elefant kan drikke hele beholderen fordi 126 + 21 = 11 eller, at 1 elefant og 4 næsehorn kan være resultatet, fordi 21 + 84 = 11 ”. Generelle begrundelser: ”De brøkdele, som dyrene drikker om dagen, skal udgøre en hel. Det betyder, at de brøktal, der lægges sammen, skal være lig med 1. Fx 21 + 123 + 82 kan skrives som 42 + 41 + 41 = 1”. Opgave 5 I denne opgave arbejder eleverne med brøker, der er større end 1. Eleverne kan med fordel omsætte disse brøker til blandede tal, der kan gøre det mere overskueligt. side til side-vejledning · BRØKER 47 AKTIVITETER Opskriften gælder for 10 personer Muffins Start Mål 0 Materialer: Hjælpeark med spilleplade, 2 x 7 spillebrikker i to farver, 31 brøkkort. deltagere: 2 personer. Skaf en spilleplade. Fremstil 31 brøkkort med brøktallene fra 21 til 109 . Hver spiller skal have syv brikker, som stilles ved start på alle syv tallinjer. Regler: Det gælder om at få de syv spillebrikker i mål. Spiller 1 trækker et kort fra bunken. Spilleren vælger en eller flere værdier, som tilsammen passer til brøktallet på kortet. Han flytter en eller flere brikker frem fra den eller de pladser, hvor den står, til det sted eller de steder, som passer til værdien af brøken på brøkkortet. 34 2 5 1 6 0 2 6 1 8 1 10 2 8 2 10 1 2 4 1 5 0 Brøkræs 2 3 1 4 0 0 50 g smør 1 3 0 3 10 5 10 1 5 6 5 8 6 10 1 4 5 4 6 4 8 4 10 1 3 4 3 5 3 6 3 8 1 4 tsk natron 1 4 tsk bagepulver 1 1 2 0 100 g hvedemel Opskrifter 6 8 7 10 Yoghurtkage 50 g smelter afkølet chokolade 1 2 dl groft hakkede pistacienødder 1 4 kop margarine 3 4 kop mel 3 teskefulde sukker 2 - 3 teskefulde vand 1 kop yoghurt 1 æg 1 2 spsk vanillesukker 50 g yoghurt 10% 3 4 dl vand 1 2 liter softice 1 21 spsk kakao Opskriften giver ca. 4 kager. 1 7 8 8 10 1 21 dl sukker 9 10 Der kan være brøker i opskrifter. Hvis man skal lave en større eller mindre portion, skal man kunne regne med brøker. 2 a. Gå på nettet og find opskrifter med mindst 2 brøktal som Muffins her på siden. b. Fremstil et skema, hvor I viser, hvor meget der skal bruges til det halve antal, det dobbelte antal, 10 gange så mange. 1 a. Hvad betyder 2 21 teskefulde ved vand? Se opskriften. b. Tegn skemaet og udfyld de tomme felter med brøktal. 3 a. Undersøg, hvordan man kan lave en opskrift, som passer til det antal, I er i klassen. b. Fremlæg jeres regnemodel for de andre i klassen. 1 Eksempel Spilleren har en brik stående på en 21 og en anden brik stående på 62 Spilleren trækker nu kortet med 3 6 . Spilleren kan nu vælge at flytte en brik, der står på 21 i mål eller vælge at flytte brikken, der står på 2 5 6 frem til 6 eller en hvilken som helst værdi på de andre brøklinjer, der svarer til 63 . Det er også muligt at dele 63 op i 61 og 31 , og flytte to brikker på de tallinjer. • Når spilleren har flyttet sin/sine brikker og alle er enige om, at flytningen er korrekt, er det næste spillers tur. • Hvis man ikke kan flytte en brik, overgår turen til den næste spiller. • Når alle kort er brugt, vendes bunken og man begynder forfra. • Den, der først får alle sine brikker i mål, har vundet. 4 kager Margarine Mel Sukker Vand Yoghurt 1 4 kop 3 4 kop 2 kager 8 kager 1 8 3 8 1 2 6 kager 10 kager 16 kager 3 teske 2 1 2 teske 1 kop brøker brøker 35 Aktiviteter Kernebogen side 34-35 Materialer: Hjælpeark med spilleplade, 2 x 7 spillebrikker i to farver, hjælpeark med 31 brøkkort. Brøkræs Deltagere: 2 personer. 1) der står på den tallinje, der er delt i halve, en halv frem. 2) der står på den tallinje, der er delt i kvarte, to hop frem. 3) der står på tallinjen, der er delt i ottendele, fire hop frem. 4) eller tænke 21 som 63 eller 105 osv. Der er tale om et strategispil, hvor eleverne skal overveje hvilken eller hvilke brikker, det bedst kan betale sig at flytte. Hver af de syv tallinjer fra 0 til 1 er et spil, som skal gennemføres. De syv brikker lægges ud for starten af hver tallinje, inden man starter. Når en elev fx trækker 21 fra bunken af kort, er der flere mulige valg. Eleven kan flytte brikken: MEN eleven kan også dele kortet ud på flere brikker fx ved at tænke 21 som 82 + 41 , så han flytter to brikker i stedet for en. I de tilfælde, hvor brikkerne er inde på tallinjen, flytter man den brik, som er mest hensigtsmæssigt. Man skal ramme mål præcist altså 23 + 43 går ikke. Den, der først har alle brikker i mål, har vundet. 48 side til side-vejledning · BRØKER Opskrifter Mange elever vil have bemærket, at brøker ofte indgår i opskrifter. Vi har derfor valgt dette scenarie, fordi det er muligt direkte at omsætte brøkforståelse til konkret handling i forbindelse med bageopskrifter. Eleverne skal afkode og forstå opskrifterne. Hvis brøkdelene ikke er korrekte, vil kagerne ikke smage særlig godt. Disse kager kan bages og spises, hvis man ønsker, at eleverne skal have en konkret erfaring med at blande de beskrevne forhold. Eleverne skal kunne omsætte opskrifterne i forhold til hvor store portioner dej, der skal fremstilles. Der er vist et skema, som eleverne skal kopiere eller man kan anvende et hjælpeark fra hjemmesiden. Der indgår en halvering af brøktal i skemaet, når eleverne går fra opskriften på 4 kager til 2 kager. Det kan ekstra hjælp for nogle elever, at de indser, at det er en fordobling af nævneren. Anbefal evt. en skitse her af fx en strimmel, hvor eleverne først halverer til halve, så halverer disse til fjerdedele og til sidst halverer disse til ottendedele. I andre dele af skemaet er der tale om brug af additionsstrategier, idet eleverne kan sammenlægge mængden for fx 6 kager ved at addere 2 kager plus 4 kager. Nogle elever kan blive forvirrede, hvis tallene ikke ”går op”. Hvad skal de gøre, når Yoghurtkagerne er til 4 personer, og de er 23 i klasse? Her kan man evt. bede eleverne om at finde en brøkdel som omtrentlig passer fx 4 ud af 24 fremfor 4 ud af 23. Man kan evt. ved brug af lommeregner få eleverne til at dele portionen med 4 og gange med 23. http://www.bagning.dk/ er en meget nem og overskuelig hjemmeside med bageopskrifter, som man kan anvende, hvis man ønsker at udvide aktiviteten. side til side-vejledning · BRØKER 49 EFTERTANKEN us går 1 41 km til skole. Amir går 1 23 km til Hvor meget længere går Amir end Magnus komme i skole? æt er 128 cm. Hvor stor en brøkdel er cm b. 32 cm c. 8 cm rkort brøkerne, hvis du ikke allerede har gjort t. meget er af 200 kr. af 9 kg mel. Hvem har ret? • Line mener, at 1 21 kan skrives som 1 + 21 , der er det samme som ”en plus en halv”. • Simon mener, at 1 21 kan skrives som 1 · 21 , der er det samme som ”en gange en halv”. • Hvem har ret? Begrund dit svar ved hjælp af tal, ord eller tegning. Hvorfor det? Nina mener, at chancen for at få et rødt bolsje er lige stor, hvad enten man får fra kasse 1 eller kasse 2. Giv en forklaring på, hvorfor det ikke er rigtigt. b. 81 af 816 flasker d. 23 af 9 kg mel. Kasse 1 1 8 1 4 1 2 viser afstanden mellem skolen og Karla. angt er der i alt? Kasse 2 Giv en historie Sæt enheder på og fortæl historierne om disse to regnestykker. 2 21 – 1 21 = 1 ppebold bliver kastet fra taget på et hus 10 m Hver gang bolden hopper op, er det kun 45 af rrige hop. mange gange skal bolden hoppe, før den r under 5 m? eksempel på 31 af noget, som er det samme af noget andet. ystemet i denne talrække 4 21 7 10 … 3 2 1 4 + 4 =14 Huskeren Brug dine egne ord. Tegn, skriv, forklar og giv eksempler. • Giv forskellige eksempler på brøkdele af noget. • Giv eksempler på ægte brøker, uægte brøker og på blandede tal. • Hvad gør man, når man forkorter en brøk, og når man forlænger en brøk? • Giv eksempler på, hvordan man regner med brøker. brøker 41 Eftertanken Kernebogen side 41 • Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: • De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. • Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. • Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Se hjemmesiden. Evalueringsarket består af to sider. - Første side er færdighedsregning med udvalgte opgaver, som kan afsløre elevernes misopfattelser. - Anden side er problemregning, som er mere kontekstorienterede, og hvor der skal udvises en større problemløsningsadfærd. • Et observations – og ”Tegn på læring”sark, som angiver adfærd hos eleverne, der kan bruges til vurdering af målopfyldelsen. Se hjemmesiden. · · Hvem har ret I denne opgave arbejder eleverne med udgangspunkt i ræsonnements- og tankegangskompetencen. Opgaven tager udgangspunkt i to påstande, som eleverne skal forholde sig til. Line har ret. Mulige svar til spørgsmålene: • ”Jeg har en hel, og så har jeg en halv mere.” • ”Halvanden af noget betyder, at man har en hel og den anden er halv.” • ”1 21 kan skrives som 21 + 21 + 21 = 1 + 21 .” Her kan man observere, hvor fuldstændigt og fuldkomment eleverne gennemfører argumentationen. Se også på kvaliteten og omfanget af fagsprog og præsentation. Bemærk, hvor klart og tydeligt elevernes redegørelser er, og hvor enkelt det er at følge redegørelsen. 50 side til side-vejledning · BRØKER Hvorfor det I denne opgave arbejder eleverne med kommunikationskompetencen samt ræsonnements- og tankegangskompetencen. Der er fokus på, om eleverne argumenterer på baggrund af et forhold, der er grundlaget for en sammenligning, eller om argumentet bygger på et antal. I ordet forklaring lægger vi derfor en forventning om, at eleverne anvender argumenter, der bygger på et forhold. Giv en historie I denne opgave skal eleverne arbejde med repræsentationsog symbolbehandlingskompetencen samt kommunikationskompetencerne ved at fortælle en historie om to symboludtryk, der indeholder blandede tal. Der sættes fokus på deres forståelse af den kommutative lov. Se på • om eleverne viser forståelse for de anvendte symboler. • hvor fuldstændigt og fuldkomment eleverne gennemfører den valgte historie. • i hvilke grad historien er meningsfuld i forhold til de anvendte symboler.
© Copyright 2024