Matematisk modellering

WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Krogerup Højskole, 19. oktober 2015
At I får

indblik i matematisk modellering, og i hvad
undervisning i matematisk modellering kan
bestå i på forskellige klassetrin.

konkrete ideer til undervisningen, og at I
reflekterer over udfordringer og potentialer i
disse ideer.

Hvad er matematisk modellering – vi tager
udgangspunkt i en opgave.

Matematisk modellering i skolen

Afprøvning af og refleksion over undervisningsideer
”En matematisk model er en matematisk beskrivelse af
virkeligheden, og matematisk modelleringskompetence
handler derfor om at kunne opstille matematiske modeller af
virkeligheden samt kunne analysere og fortolke foreliggende
modeller.”
Vejledning for faget matematik, afsnit 4.1.
(se review)
oversættelse
virkeligt
problem
matematisk
løsning
fortolkning og anvendelse
Hvor sandsynligt er det, at
en kvinde bliver gravid
inden for en given periode
(forudsat den nødvendige
aktivitet)?
Medicinsk forskning
fortæller:
Af par, der prøver, vil 25 %
opnå graviditet i en
konceptionsperiode.
1
4
3
4
1
4
3
4
1
4
3
4
1
4
3
4
Sandsynlighed for graviditet efter 𝑛 perioder:
1-
3 𝑛
4
Sandsynlighed for ikke opnået graviditet opnået efter 𝑛
perioder:
𝑛
1
1−
4
Den samme model kan repræsenteres på forskellige måder,
men det matematiske indhold er det samme.
Antal måneder
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Gravide+) i %
0 25 44 58 68 76 82 87 90 92 94 96 97
Ikke gravide i % 100 75 56 42 32 24 18 13 10 8
6
4
3

+) Graviditet påbegyndt i perioden

Efter 2 år er der kun omkring 1 promille af parrene, som ikke
har opnået graviditet
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0
1
2
3
4
5
Gravide
6
7
Ikke gravide
8
9
10
11
12
Modellen siger noget om, hvad der sker for store grupper.
I små grupper er der en forbavsende stor variation.
En simulering:
Kast klodsen indtil graviditet bliver opnået, dog højest 12
gange.
Gentag for 5 par i alt, og noter hvornår graviditeten indtrådte.

Vi hører resultaterne.

Hvad kan modellen fortælle det enkelte par?

Som udgangspunkt kender lægen ikke parrets fertilitet.

Man begynder først behandling efter en længere periode,
sådan at graviditeten var indtruffet i langt de fleste tilfælde.

Af de par der ikke har opnået graviditet efter fx 1 år, vil langt
de fleste have nedsat fertilitet (men der vil være en lille
gruppe tilbage hvor det skyldes rent tilfælde).
•
Modellen tager ikke hensyn til at parrene har forskellig
fertilitet
•
Den antager, at sandsynligheden for det enkelte par er
konstant
•
Den handler sig slet ikke om den psykologiske side af sagen
Der sker
•
•
•
•
en afgrænsning af, hvad modellen beskæftiger sig med
oversættelse
et valg af forudsætninger
en matematisk formalisering, som ikke er identisk med
matevirkeligheden
matematiskevirkeligt
modeller kan ændre den måde, vi tænker og
matisk
handler
problem
løsning
fortolkning og anvendelse
består i at kunne
•
•
•
•
•
•
•
strukturere situationen
foretage matematisering
behandle den opståede model
løse matematiske problemer som modellen rejser
bedømme modellens holdbarhed
analysere modellen kritisk
styre den samlede modelleringsproces
Færdighedsmål
Vidensmål
Eleven kan undersøge enkle
hverdagssituationer ved brug af
matematik
Eleven har viden om
sammenhænge mellem
matematik og enkle
hverdagssituationer
Eleven kan tolke matematiske
resultater i forhold til enkle
hverdagssituationer
Eleven har viden om
sammenhænge mellem
matematiske resultater og
enkle hverdagssituationer
Færdighedsmål
Vidensmål
Eleven kan gennemføre enkle
modelleringsprocesser
Eleven har viden om enkle
modelleringsprocesser
Eleven kan anvende enkle
matematiske modeller
Eleven har viden om enkle
matematiske modeller
Færdighedsmål
Vidensmål
Eleven kan afgrænse
problemstillinger fra omverdenen
i forbindelse med opstilling af en
matematisk model
Eleven har viden om
strukturering og afgrænsning
af problemstillinger fra
omverdenen
Eleven har viden om
Eleven kan gennemføre
elementer i
modelleringsprocesser, herunder
modelleringsprocesser og
med inddragelse af digital
digitale værktøjer, der kan
simulering
understøtte simulering




Hvor langt er der rundt om skolen?
Hvad kan man købe for 100 kr.?
Hvor mange bøger er der på biblioteket?
Hvad koster det for en familie at gå i Tivoli?

Hvor mange penge får børn i lommepenge?

Hvor meget vand bruger en familie?

Hvor mange toiletter er der brug for på en
skole?




Sover teenagere for meget?
Hvilken form har den bedste tagrende?
Hvor meget skal man betale i skat af lønnen
fra et fritidsjob?
Hvornår er et glas halvt fyldt?
Allan og Camilla skal på vandretur med ti overnatninger i de svenske
fjelde. Som alle moderne vandrere pakker de let, dvs. de gør alt for at
oppakningen vejer mindst muligt.
Allan er begejstret over den minitube tandpasta, han har fundet,
men Camilla siger: ”Der er overhovedet ikke nok, så kan vi lige så
godt lade helt være at slæbe tandpasta med”.
Hvad mener I?
Løs opgaven med al den matematiske viden, I selv har, og overvej
derefter, hvordan elever på jeres klassetrin kunne have gjort.

Rejsekort 25 kr. (20 kr. uden for myldretiden)

Abonnementskort 630 kr.

Bøde for ingen billet: 750 kr.
Hvad kan bedst betale sig?
Fermi stillede problemer som
Hvor mange klaverstemmere er der i Chicago?
Opgaver som
•
ikke kræver store beregninger eller avancerede
matematiske metoder
•
blot forudsætter almen viden
•
ikke skal være præcise, men have rigtig
størrelsesorden
Enrico Fermi,
italiensk fysiker
1901 - 1954
Hvor meget vand drikker du på et år?
Hvor mange blade er der på et træ?
Hvor meget brændstof bruges der på at køre
elever til jeres skole hver dag?
Hvor mange timer bruger du på matematik hele
livet?
(Fra Jensen m.fl.: MateMatrix 7, Alinea)

Arbejd med et eller flere udvalgte eksempler
på modelleringsproblemer (udskrift), og
overvej, om/hvordan de kunne bruges med
dine egen elever.

Hvilke udfordringer/potentialer ser du?
•
Hvilke sider af modelleringskompetencen kan
man arbejde med på de forskellige klassetrin?
•
Hvilke udfordringer og potentialer ligger der i
undervisning rettet mod matematisk
modellering?